∞Astrolábio · Funções: limites e resolução aproximada de equações
Matemática A · 12.º ano · Aprendizagens Essenciais

Funções: limites e resolução aproximada de equações

O que acontece quando não se pode substituir. Limites e indeterminações, limites notáveis e a regra de L’Hôpital, continuidade, assíntotas, o estudo completo de uma função e a resolução aproximada de equações — de Bolzano-Cauchy à bisseção e a Newton-Raphson. Teoria, laboratórios interativos e exercícios no formato do Exame Nacional, com resolução passo a passo.

\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a) Continuidade é isto: o limite acerta na imagem.
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Limites: propriedades e indeterminações

Já usámos limites sem lhes chamar nomes: a derivada é um. Agora vale a pena arrumar a casa. Um limite não pergunta quanto vale a função no ponto — pergunta para onde vão os valores à volta do ponto. Essa distinção é toda a matéria.

Aprendizagens Essenciais
  • Retomar a utilização da noção intuitiva e informal de limite num ponto.
  • Conhecer as propriedades operatórias dos limites: adição, subtração, multiplicação e divisão.
  • Levantar indeterminações por técnicas de cálculo simples.

1 · O que o limite pergunta

Escrever \lim\limits_{x \to a} f(x) = L quer dizer: fazendo x aproximar-se de a, os valores de f(x) aproximam-se de L — e podemos torná-los tão próximos de L quanto quisermos, desde que x esteja suficientemente perto de a.

Quatro observações que vale a pena fixar:

não é relevante que a pertença ao domínio de f;pode existir \lim\limits_{x \to a} f(x) e não ser igual a f(a);o limite, quando existe, é único;a noção estende-se ao caso de a ser +\infty ou -\infty, desde que o domínio o permita, e ao caso de o limite ser +\infty ou -\infty.

A primeira já a conhecias sem dar por isso: na razão incremental \frac{f(a+h)-f(a)}{h} o valor em h = 0 nunca existe — e no entanto o limite existe e chama-se derivada.

x y 1 2 3 4 2 4 6 (2, 4)
O gráfico de f(x) = \dfrac{x^{2}-4}{x-2}. Em x = 2 a expressão dá \frac{0}{0} e o ponto não existe — daí a bola vazia. Mas os valores de f aproximam-se de 4 dos dois lados: o limite existe e vale 4. O limite não pergunta o que se passa no ponto; pergunta o que se passa à volta dele.

2 · Limites laterais

Aproximar-se de a pode fazer-se por dois lados. Escreve-se x \to a^{-} para a aproximação pela esquerda (por valores menores) e x \to a^{+} pela direita.

Existência do limite

\lim\limits_{x \to a} f(x) = L se e só se \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) = \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = L.

Se os dois limites laterais existirem mas forem diferentes, o limite não existe.

3 · Propriedades operatórias

Se \lim\limits_{x \to a} f(x) = L e \lim\limits_{x \to a} g(x) = M, com L e M finitos, então:

Limites e operações

\lim\left(f+g\right) = L+M\lim\left(f-g\right) = L-M\lim\left(f \times g\right) = L \times M\lim\dfrac{f}{g} = \dfrac{L}{M}, se M \neq 0

São estas quatro — adição, subtração, multiplicação e divisão — as que as Aprendizagens Essenciais nomeiam.

Duas consequências imediatas usam-se a toda a hora e valem a pena escrever: \lim\left(kf\right) = kL para k real (é o produto por uma constante) e \lim f^{n} = L^{n} para n natural (é o produto repetido). E, por continuidade das funções envolvidas, o limite passa para dentro de uma raiz ou de um logaritmo — é o que se faz, por exemplo, em \lim \ln\frac{3x-1}{2x+4} = \ln\frac{3}{2}.

Todas estas regras pedem que os dois limites existam e sejam finitos. É por isso que falham nos casos interessantes — e é aí que entram as indeterminações.

4 · O que se sabe calcular — e as quatro indeterminações

Com infinitos há operações que estão decididas de antemão. Vale a pena tê-las na cabeça, porque metade dos erros vem de tratar como indeterminação o que não é.

Cálculo com infinitos

a \pm \infty = \pm\infty, com a \in \mathbb{R}a \times \infty = \infty, com a \neq 0\dfrac{a}{0} = \infty, com a \neq 0\dfrac{a}{\infty} = 0, com a \in \mathbb{R}\infty^{n} = \infty, com n \in \mathbb{N}\sqrt[n]{\infty} = +\infty, com n \in \mathbb{N}

Nestes casos só falta, quando muito, decidir o sinal — e isso lê-se no quadro de sinais ou nos limites laterais.

Os quatro símbolos de aviso

\dfrac{0}{0}\dfrac{\infty}{\infty}\infty - \infty0 \times \infty

Uma indeterminação não é um valor: é um aviso de que é preciso trabalhar mais. Repara que \dfrac{5}{0} não está na lista.

As Aprendizagens Essenciais nomeiam as duas primeiras, \frac{0}{0} e \frac{\infty}{\infty} — e as outras duas reduzem-se sempre a essas, reduzindo ao mesmo denominador ou reescrevendo o produto como quociente.

Exemplo 1 Levantar uma indeterminação \frac{0}{0}

Calcular \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{2x^{3}-x^{2}-5x-2}{2x^{2}-5x+2}.

  1. Substituindo, numerador e denominador dão 0: indeterminação \frac{0}{0}.
  2. Como ambos se anulam em 2, ambos são divisíveis por x-2. Dividindo: 2x^{3}-x^{2}-5x-2 = (x-2)\left(2x^{2}+3x+1\right), \qquad 2x^{2}-5x+2 = (x-2)(2x-1).
  3. Para x \neq 2, o quociente é \dfrac{2x^{2}+3x+1}{2x-1}.Simplificar exige x \neq 2 — e no limite é sempre esse o caso.
  4. Agora já não há indeterminação: \dfrac{8+6+1}{3} = 5.
Resposta5
Exemplo 2 Uma indeterminação \infty - \infty disfarçada

Calcular \lim\limits_{x \to 2}\left(\dfrac{1}{x-2}-\dfrac{x-3}{x^{2}-3x+2}\right).

  1. Cada parcela tende para infinito: indeterminação \infty - \infty.
  2. Fatorizando o segundo denominador, x^{2}-3x+2 = (x-1)(x-2). Reduzindo ao mesmo denominador: \frac{(x-1)-(x-3)}{(x-1)(x-2)} = \frac{2}{(x-1)(x-2)}.
  3. Já não há indeterminação: o numerador vale 2 e o denominador tende para 0. O limite é infinito.
  4. Que sinal? À direita de 2, x-2 > 0 e x-1 > 0: +\infty. À esquerda, x-2 < 0: -\infty.
RespostaNão existe: os limites laterais em 2 são distintos

5 · No infinito manda o maior grau

Num polinómio, quando x \to \pm\infty, o termo de maior grau esmaga todos os outros. Pondo-o em evidência isso vê-se logo:

\lim_{x \to +\infty}\left(3x^{4}-100x^{3}+7\right) \overset{(\infty-\infty)}{=} \lim_{x \to +\infty}\left[x^{4}\left(3-\frac{100}{x}+\frac{7}{x^{4}}\right)\right] = (+\infty) \times 3 = +\infty.
Funções racionais no infinito

Para \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{P(x)}{Q(x)}, com P e Q polinómios:

grau de P menor do que o de Q: o limite é 0;graus iguais: o limite é o quociente dos coeficientes de maior grau;grau de P maior: o limite é \pm\infty.

x y 2 4 6 8 1 2 3 y = 2 y = (2x+1)/(x+1) y = (2x²+1)/(x²+3)
Duas funções racionais com o mesmo limite em +\infty. Em ambas, o grau do numerador é igual ao do denominador — e o limite é o quociente dos coeficientes de maior grau: \frac{2}{1} = 2. Os primeiros termos vão-se tornando irrelevantes; só o de maior grau conta.

Cuidado com as raízes. Ao pôr x^{2} em evidência dentro de uma raiz quadrada sai \sqrt{x^{2}} = |x|. Para x \to +\infty isso é x; para x \to -\infty é -x. Trocar os dois é o erro mais frequente em todo o capítulo.

6 · Um resumo de estratégias

Que fazer, conforme o caso

x \to a com \frac{0}{0}: fatorizar numerador e denominador e simplificar o fator (x-a);x \to a com \infty-\infty ou 0 \times \infty: reduzir ao mesmo denominador ou reescrever como quociente — a indeterminação passa a \frac{0}{0};x \to \pm\infty com \frac{\infty}{\infty}: pôr em evidência o termo de maior grau;com radicais: multiplicar pelo conjugado;com módulos: abrir o módulo no lado que interessa antes de passar ao limite.

Exemplo 3 Um limite com módulo

Calcular \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\left|4-x^{2}\right|}{2x^{2}-4x+3}.

  1. Por definição de módulo, \left|4-x^{2}\right| = 4-x^{2} se -2 \leq x \leq 2, e x^{2}-4 caso contrário.
  2. Como x \to +\infty, podemos supor x > 2. Nesse ramo, \left|4-x^{2}\right| = x^{2}-4.É este o passo decisivo: o módulo abre-se antes do limite, escolhendo o ramo com a informação sobre para onde x vai.
  3. Fica um quociente de polinomiais de graus iguais: \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}-4}{2x^{2}-4x+3} = \frac{1}{2}.
Resposta\frac{1}{2}

Laboratório · O limite ao microscópio

interativo

Arrasta a distância até ao fim. Nos quatro casos a função não está definida em x = 2 — e mesmo assim comportam-se de quatro maneiras diferentes: limite finito, limites laterais distintos, +\infty dos dois lados, e infinitos de sinais contrários.

Python Ver a indeterminação levantar-se 
def f(x):
    return (2*x**3 - x**2 - 5*x - 2) / (2*x**2 - 5*x + 2)

print('    x            f(x)')
for d in [0.1, 0.01, 0.001, 1e-4, 1e-5, 1e-6]:
    print('%9.6f  %14.9f' % (2 - d, f(2 - d)))
    print('%9.6f  %14.9f' % (2 + d, f(2 + d)))

print('valor simplificado em x = 2 :', (2*4 + 3*2 + 1) / (2*2 - 1))

As duas colunas fecham sobre 5. Experimenta d = 10^{-9}: os valores começam a afastar-se — é o mesmo erro de arredondamento da secção A. A máquina sugere o limite; não o demonstra.

Exercícios propostos

Catorze exercícios de limites, do imediato ao com parâmetro. Antes de aplicar qualquer técnica, substitui: metade dos erros vem de levantar uma indeterminação que não existia.

Exercício 1§01 · substituir e ver

Calcula, sem calculadora, cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to 2}\left(x^{2}-3x+1\right)b) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x+5}{x^{2}+1}c) \lim\limits_{x \to 1} e^{x-1}d) \lim\limits_{x \to 8}\left(2 - 3\log_{2} x\right)

Exercício 2§01 · zero a dividir por zero

Calcula cada um dos limites, levantando a indeterminação por fatorização.

a) \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{x^{2}-9}{x-3}b) \lim\limits_{x \to -1} \dfrac{x^{2}+2x+1}{x+1}c) \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{x^{3}-8}{x-2}d) \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2}

Exercício 3§01 · limites no infinito

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^{2}-x}{5x^{2}+7}b) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{4x+1}{x^{2}-3}c) \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2x^{3}+x}{x^{2}+1}d) \lim\limits_{x \to +\infty}\left(x^{3}-100x^{2}\right)

Exercício 4§01 · limites laterais

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} 2x+1 & \text{se } x < 1\\ 5 & \text{se } x = 1\\ x^{2}+2 & \text{se } x > 1\end{cases}

a) Calcula \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x).b) Existe \lim\limits_{x \to 1} f(x)? Em caso afirmativo, indica o seu valor.c) Compara esse valor com f(1).

Exercício 5§01 · o truque do conjugado

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to 4} \dfrac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4}b) \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1}c) \lim\limits_{x \to 9^{-}} \dfrac{10-x}{\sqrt{x}-3}

Exercício 6§01 · infinito menos infinito

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)b) \lim\limits_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)

Exercício 7§01 · raízes e o sinal de x

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{9x^{2}-2}}{x}b) \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{2x-1}

Exercício 8§01 · com exponenciais

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{e^{x}+5}{x}b) \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{2}{5^{-x}+1}c) \lim\limits_{x \to +\infty}\left[\ln(3x-1)-\ln(2x+4)\right]

Exercício 9§01 · um modelo com limite

A concentração de um medicamento no sangue, em miligramas por litro, t horas após a toma, é dada por

C(t) = \frac{18t}{t^{2}+9}, \quad t \geq 0.

a) Determina \lim\limits_{t \to +\infty} C(t) e interpreta o resultado no contexto.b) Ao fim de quanto tempo a concentração vale metade do valor que teria se o denominador fosse apenas t^{2}? Justifica que a pergunta não faz sentido para t = 0.

Exercício 10§01 · ler limites num gráfico

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio \mathbb{R}\setminus\{2\}.

x y −2 2 4 6 −2 1 3 5 y = 1 f

Calcula, se existirem, os limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x)b) \lim\limits_{x \to 2^{+}}\left[f(x)\right]^{2}c) \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{1}{f(x)}d) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}

Exercício 11§01 · o que o gráfico diz e o que não diz

De uma função g, de domínio \mathbb{R}, sabe-se que \lim\limits_{x \to 3} g(x) = 5.

Indica, para cada afirmação, se é necessariamente verdadeira, justificando.

I. g(3) = 5.II. \lim\limits_{x \to 3^{-}} g(x) = 5.III. g toma valores próximos de 5 para x próximo de 3.IV. Existe outro número real L \neq 5 com \lim\limits_{x \to 3} g(x) = L.

Exercício 12§01 · determinar um parâmetro

Considera, para cada número real k, a função f definida em \mathbb{R}\setminus\{2\} por

f(x) = \frac{x^{2}+kx-6}{x-2}.

a) Mostra que, se k \neq 1, o limite de f quando x \to 2 é infinito.b) Determina k de modo que \lim\limits_{x \to 2} f(x) seja finito e calcula esse limite.

Exercício 13§01 · quando o limite não existe

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}, definida por g(x) = \dfrac{|x|}{x}.

a) Mostra que g(x) = 1 para x > 0 e g(x) = -1 para x < 0.b) Justifica que não existe \lim\limits_{x \to 0} g(x).c) Existe \lim\limits_{x \to 0}\left[x\,g(x)\right]? Justifica.

Exercício 14§01 · ramos e parâmetros

Considera, para certos números reais a e b, a função h de domínio \mathbb{R} definida por

h(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x+4}-2}{x} & \text{se } x < 0 \text{ e } x \geq -4\\[6pt] a & \text{se } x = 0\\[6pt] \dfrac{x^{2}+bx}{x} & \text{se } x > 0\end{cases}

a) Calcula \lim\limits_{x \to 0^{-}} h(x).b) Determina b de modo que exista \lim\limits_{x \to 0} h(x).c) Para esse valor de b, qual deve ser a para que h(0) coincida com o limite?

Nenhum destes limites é indeterminado: as funções são contínuas nos pontos em causa, e por isso basta substituir.

  1. a) \lim\limits_{x \to 2}\left(x^{2}-3x+1\right) = 2^{2}-3 \times 2 + 1 = -1.
  2. b) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x+5}{x^{2}+1} = \dfrac{0+5}{0+1} = 5.
  3. c) \lim\limits_{x \to 1} e^{x-1} = e^{1-1} = e^{0} = 1.
  4. d) \lim\limits_{x \to 8}\left(2 - 3\log_{2} x\right) = 2 - 3\log_{2} 8 = 2 - 3 \times 3 = -7.Substituir só é legítimo porque estas funções são contínuas — é o que a secção 3 vai arrumar. Para já, fica a regra prática.
Respostasa) -1 · b) 5 · c) 1 · d) -7

Em todas, o numerador e o denominador anulam-se no ponto. Isso garante que (x-a) é fator dos dois: fatoriza e simplifica antes de substituir.

  1. a) \lim_{x \to 3} \frac{x^{2}-9}{x-3} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 3} \frac{(x-3)(x+3)}{x-3} = \lim_{x \to 3}\,(x+3) = 6.
  2. b) \lim_{x \to -1} \frac{x^{2}+2x+1}{x+1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to -1} \frac{(x+1)^{2}}{x+1} = \lim_{x \to -1}\,(x+1) = 0.
  3. c) \lim_{x \to 2} \frac{x^{3}-8}{x-2} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)\left(x^{2}+2x+4\right)}{x-2} = \lim_{x \to 2}\left(x^{2}+2x+4\right) = 12.
  4. d) \lim_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{(x-1)(x-2)} = \lim_{x \to 1} \frac{x+1}{x-2} = \frac{2}{-1} = -2.Simplificar \frac{x-1}{x-1} só é legítimo porque x \neq 1: no limite, x aproxima-se de 1 mas nunca lá chega.
Respostasa) 6 · b) 0 · c) 12 · d) -2

No infinito manda o termo de maior grau. Põe-no em evidência, ou compara os graus do numerador e do denominador.

  1. a) Graus iguais — vale o termo de maior grau: \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^{2}-x}{5x^{2}+7} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^{2}}{5x^{2}} = \frac{3}{5}.
  2. b) \lim_{x \to +\infty} \frac{4x+1}{x^{2}-3} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{4x}{x^{2}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{4}{x} = 0.
  3. c) \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{3}+x}{x^{2}+1} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{3}}{x^{2}} = \lim_{x \to -\infty}\,(2x) = -\infty.
  4. d) \lim_{x \to +\infty}\left(x^{3}-100x^{2}\right) \overset{(\infty-\infty)}{=} \lim_{x \to +\infty}\left[x^{3}\left(1-\frac{100}{x}\right)\right] = (+\infty) \times 1 = +\infty.Em x = 100 a função ainda vale 0. O «no infinito» é mesmo no infinito: o que domina só se vê muito longe.
Respostasa) \frac{3}{5} · b) 0 · c) -\infty · d) +\infty

Cada limite lateral calcula-se com o ramo que está desse lado — e só com esse. O valor f(1) = 5 não entra em nenhum dos dois.

  1. a) À esquerda vale o ramo 2x+1 e à direita o ramo x^{2}+2: \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}}\,(2x+1) = 3, \qquad \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}}\left(x^{2}+2\right) = 3.
  2. b) Os dois limites laterais são iguais, logo \lim\limits_{x \to 1} f(x) = 3.
  3. c) f(1) = 5 \neq 3: o limite existe mas não coincide com a imagem. O gráfico tem um ponto deslocado para fora da curva.É exatamente esta situação que a secção 3 vai chamar descontinuidade.
Respostasa) 3 e 3 · b) sim, 3 · c) f(1) = 5 \neq 3

Todas dão \frac{0}{0} e todas têm uma raiz. Multiplica numerador e denominador pelo conjugado da parte com raiz: \left(\sqrt{a}-b\right)\left(\sqrt{a}+b\right) = a - b^{2}.

  1. a) Forma \frac{0}{0}. Racionalização pelo conjugado \sqrt{2x+1}+3.

    Cálculo auxiliar: \left(\sqrt{2x+1}-3\right)\left(\sqrt{2x+1}+3\right) = (2x+1)-9 = 2x-8 = 2(x-4).

    \lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{2x+1}-3}{x-4} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 4} \frac{2(x-4)}{(x-4)\left(\sqrt{2x+1}+3\right)} = \lim_{x \to 4} \frac{2}{\sqrt{2x+1}+3} = \frac{2}{3+3} = \frac{1}{3}.
  2. b) Forma \frac{0}{0}. Racionalização pelo conjugado \sqrt{x}+1.

    Cálculo auxiliar: \left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right) = x-1.

    \lim_{x \to 1} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1} = \lim_{x \to 1}\left(\sqrt{x}+1\right) = 1+1 = 2.
  3. c) Não há indeterminação. O numerador tende para 10-9 = 1 e só o denominador tende para zero.

    Cálculo auxiliar: quando x \to 9^{-} tem-se x < 9, logo \sqrt{x} < 3 e \sqrt{x}-3 \to 0^{-}.

    \lim_{x \to 9^{-}} \frac{10-x}{\sqrt{x}-3} = \frac{1}{0^{-}} = -\infty.A armadilha está em aplicar o conjugado por hábito. Antes de escolher a técnica, nomeia a forma — e se não houver indeterminação, não há nada a levantar.
Respostasa) \frac{1}{3} · b) 2 · c) -\infty

A indeterminação é \infty - \infty. Multiplica e divide pelo conjugado: a subtração passa para o numerador e transforma-se numa diferença de quadrados, que é pequena.

  1. a) Forma \infty-\infty. Racionalização pelo conjugado x+\sqrt{x^{2}+1}.

    Cálculo auxiliar: \left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right)\left(x+\sqrt{x^{2}+1}\right) = x^{2}-\left(x^{2}+1\right) = -1.

    \lim_{x \to +\infty}\left(x-\sqrt{x^{2}+1}\right) \overset{(\infty-\infty)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{x+\sqrt{x^{2}+1}} = \frac{-1}{+\infty} = 0.
  2. b) Forma \infty-\infty. O mesmo método, com o conjugado \sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}.

    Cálculo auxiliar: \left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}\right) = (x+1)-(x+2) = -1.

    \lim_{x \to +\infty}\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x+2}\right) \overset{(\infty-\infty)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{-1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x+2}} = \frac{-1}{+\infty} = 0.Duas quantidades enormes cuja diferença é minúscula: \sqrt{10^{12}+1} - 10^{6} é da ordem de 5 \times 10^{-7}. É por isso que \infty-\infty não decide nada por si.
Respostasa) 0 · b) 0

Ao pôr x^{2} em evidência dentro da raiz sai \sqrt{x^{2}} = |x|, e não x. Quando x \to -\infty, |x| = -x.

  1. a) Forma \frac{\infty}{\infty}. Colocando x^{2} em evidência dentro da raiz.

    Cálculo auxiliar: como x \to +\infty, tem-se x > 0 e portanto |x| = x:

    \sqrt{9x^{2}-2} = \sqrt{x^{2}\left(9-\frac{2}{x^{2}}\right)} = |x|\sqrt{9-\frac{2}{x^{2}}} = x\sqrt{9-\frac{2}{x^{2}}}. \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^{2}-2}}{x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{x\sqrt{9-\frac{2}{x^{2}}}}{x} = \lim_{x \to +\infty} \sqrt{9-\frac{2}{x^{2}}} = \sqrt{9} = 3.
  2. b) Forma \frac{\infty}{\infty}. O mesmo método, com o cuidado do sinal.

    Cálculo auxiliar: como x \to -\infty, tem-se x < 0 e portanto |x| = -x:

    \sqrt{x^{2}+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} = -x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}. \lim_{x \to -\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{2x-1} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{-x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{x\left(2-\frac{1}{x}\right)} = \lim_{x \to -\infty} \frac{-\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}}{2-\frac{1}{x}} = \frac{-1}{2}.
Respostasa) 3 · b) -\frac{1}{2}

Em a), e^{x} \to 0 quando x \to -\infty. Em b), pergunta-te para onde vai 5^{-x}. Em c), junta os dois logaritmos num só antes de passar ao limite.

  1. a) Não há indeterminação.

    Cálculo auxiliar: \lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = 0, logo o numerador tende para 0+5 = 5.

    \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{x}+5}{x} = \frac{5}{-\infty} = 0.
  2. b) Não há indeterminação.

    Cálculo auxiliar: se x \to -\infty então -x \to +\infty, e 5^{-x} \to +\infty.

    \lim_{x \to -\infty} \frac{2}{5^{-x}+1} = \frac{2}{+\infty} = 0.
  3. c) Forma \infty-\infty. Juntam-se os dois logaritmos antes de passar ao limite.

    Cálculo auxiliar: \ln(3x-1)-\ln(2x+4) = \ln\dfrac{3x-1}{2x+4}, válido para x grande, onde ambos os argumentos são positivos.

    \lim_{x \to +\infty}\left[\ln(3x-1)-\ln(2x+4)\right] \overset{(\infty-\infty)}{=} \lim_{x \to +\infty} \ln\frac{3x-1}{2x+4} = \ln\left(\lim_{x \to +\infty}\frac{3x}{2x}\right) = \ln\frac{3}{2}.Passar o limite para dentro do logaritmo é legítimo por continuidade — mais uma dívida que a secção 3 paga.
Respostasa) 0 · b) 0 · c) \ln\frac{3}{2}

Em a), compara os graus. Em b), começa por escrever a condição pedida e vê o que acontece quando t = 0.

  1. a) Forma \frac{\infty}{\infty}; vale o termo de maior grau. \lim_{t \to +\infty} \frac{18t}{t^{2}+9} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{t \to +\infty} \frac{18t}{t^{2}} = \lim_{t \to +\infty} \frac{18}{t} = 0. Ao fim de muito tempo o medicamento é eliminado: a concentração aproxima-se de zero, sem nunca lá chegar.
  2. b) A condição é \dfrac{18t}{t^{2}+9} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{18t}{t^{2}}. Para t = 0 ambos os membros são 0, mas o segundo nem sequer está definido — t^{2} = 0. Para t > 0 podemos simplificar 18t: \frac{1}{t^{2}+9} = \frac{1}{2t^{2}} \iff 2t^{2} = t^{2}+9 \iff t^{2} = 9 \iff t = 3.
  3. Ao fim de 3 horas.
Respostasa) 0: o medicamento é eliminado · b) 3 horas

Lê primeiro cada limite de f no desenho. Depois aplica as propriedades operatórias — com o limite escrito em cada passo, até haver substituição.

  1. Do gráfico: \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty, \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty, \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 1 e \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1.
  2. a) \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty.
  3. b) \lim_{x \to 2^{+}}\left[f(x)\right]^{2} = \left[\lim_{x \to 2^{+}} f(x)\right]^{2} = (+\infty)^{2} = +\infty.
  4. c) \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)} = \frac{1}{1} = 1.
  5. d) O numerador tende para 1 e o denominador para +\infty: \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \frac{1}{+\infty} = 0.Em c) a divisão só é legítima porque o limite do denominador é 1 \neq 0. Se fosse 0, a propriedade não se aplicava e havia que estudar o sinal.
Respostasa) -\infty · b) +\infty · c) 1 · d) 0

Volta às quatro observações do início da secção. Duas destas afirmações são exatamente duas dessas observações; as outras duas são as armadilhas.

  1. I é falsa. O limite não diz nada sobre f(a). Um contraexemplo: g(x) = 5 para x \neq 3 e g(3) = 0 tem limite 5 em 3 e g(3) = 0.
  2. II é verdadeira. Se o limite existe, os dois limites laterais existem e são iguais a ele.
  3. III é verdadeira. É a própria leitura da definição.
  4. IV é falsa. O limite, quando existe, é único.
RespostasVerdadeiras: II e III. Falsas: I e IV

O denominador tende para 0. Para o limite ser finito, o numerador tem de tender também para zero — caso contrário o quociente rebenta.

  1. a) O numerador em x = 2 vale 4+2k-6 = 2k-2 = 2(k-1). Se k \neq 1, esse valor não é zero, enquanto o denominador tende para 0: o quociente tende para \pm\infty (o sinal depende do lado por que se aproxima).
  2. b) Para o limite ser finito é preciso 2(k-1) = 0, ou seja, k = 1.

    Cálculo auxiliar: com k = 1, x^{2}+x-6 = (x-2)(x+3).

    \lim_{x \to 2} \frac{x^{2}+x-6}{x-2} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 2} \frac{(x-2)(x+3)}{x-2} = \lim_{x \to 2}\,(x+3) = 5.
  3. Repara que k = 1 é necessário, mas é a fatorização que confirma que é suficiente.Anular o numerador garante a indeterminação \frac{0}{0}; não garante, por si só, que o limite exista. Aqui existe porque (x-2) sai por fatorização.
Respostak = 1 e \lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5

Em c), simplifica a expressão x\,g(x) antes de passar ao limite. Um produto de uma função sem limite por outra pode perfeitamente ter limite.

  1. a) Para x > 0, |x| = x e g(x) = \frac{x}{x} = 1. Para x < 0, |x| = -x e g(x) = \frac{-x}{x} = -1.
  2. b) \lim\limits_{x \to 0^{+}} g(x) = 1 e \lim\limits_{x \to 0^{-}} g(x) = -1. Os limites laterais são diferentes, logo o limite não existe.
  3. c) Existe.

    Cálculo auxiliar: para x \neq 0, x\,g(x) = x \times \dfrac{|x|}{x} = |x|.

    \lim_{x \to 0}\left[x\,g(x)\right] = \lim_{x \to 0} |x| = 0.A regra do produto dos limites exige que os dois limites existam. Quando um não existe, a regra não se aplica — mas isso não impede o produto de ter limite. A regra dá condições suficientes, não necessárias.
Respostasb) limites laterais 1 e -1 · c) existe e vale 0

À esquerda, conjugado. À direita, simplifica x. Depois iguala os dois limites laterais.

  1. a) Forma \frac{0}{0}. Racionalização pelo conjugado \sqrt{x+4}+2.

    Cálculo auxiliar: \left(\sqrt{x+4}-2\right)\left(\sqrt{x+4}+2\right) = (x+4)-4 = x.

    \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{x+4}-2}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x}{x\left(\sqrt{x+4}+2\right)} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\sqrt{x+4}+2} = \frac{1}{2+2} = \frac{1}{4}.
  2. b) Forma \frac{0}{0} à direita. Pondo x em evidência no numerador: \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}+bx}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x(x+b)}{x} = \lim_{x \to 0^{+}}\,(x+b) = b. O limite existe se e só se os laterais coincidirem: b = \dfrac{1}{4}.
  3. c) Nesse caso \lim\limits_{x \to 0} h(x) = \dfrac{1}{4}, e para que h(0) coincida basta a = \dfrac{1}{4}.As três condições — limite à esquerda, limite à direita e imagem — são exatamente as três que a secção 3 vai exigir para a continuidade num ponto.
Respostasa) \frac{1}{4} · b) b = \frac{1}{4} · c) a = \frac{1}{4}
02

Limites notáveis e a regra de L’Hôpital

Há indeterminações que a álgebra não levanta: \frac{e^{x}-1}{x} não fatoriza nem tem conjugado. Faltava uma ferramenta — e ela vem das derivadas, que já temos. Meia dúzia de limites passam a saber-se de cor, e uma regra trata do resto.

Aprendizagens Essenciais
  • Estudar o limite de funções que conduzem a indeterminações do tipo \frac{0}{0} e \frac{\infty}{\infty}, aplicando a regra de L’Hôpital, usando limites notáveis ou técnicas de cálculo simples.
  • Conhecer a tabela dos limites notáveis.
  • Reconhecer as condições em que não é possível aplicar a regra de L’Hôpital e os casos em que não é aconselhável o seu uso.

1 · Os limites notáveis saem da definição de derivada

Não é preciso decorar nada de novo. Repara em \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x} e escreve 1 = e^{0}:

\lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-e^{0}}{x-0} = \left(e^{x}\right)^{\prime}\Big|_{x=0} = e^{0} = 1.

É a razão incremental da exponencial em 0 — ou seja, o declive da tangente em (0,\,1), que o capítulo Funções já tinha fixado em 1. O mesmo argumento dá os outros:

Tabela dos limites notáveis

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x}-1}{x} = 1\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen} x}{x} = 1

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\log_{a} x}{x^{p}} = 0, com a > 1 e p \in \mathbb{N}\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{a^{x}}{x^{p}} = +\infty, com a > 1 e p \in \mathbb{N}

Os três primeiros dizem que, perto de zero, e^{x}-1, \ln(x+1) e \operatorname{sen} x são todos aproximadamente iguais a x. Os dois últimos dizem quem ganha a corrida no infinito. As funções trigonométricas são do 11.º ano — estão revistas no capítulo de Trigonometria —, mas este limite é do 12.º e é aqui que ele vive: as Aprendizagens Essenciais pedem-no na tabela dos limites notáveis, obtido pela regra de L’Hôpital.

2 · A hierarquia das magnitudes

Os dois limites do infinito arrumam-se numa frase:

Quem esmaga quem

Quando x \to +\infty, com a > 1 e p \in \mathbb{N}, os dois limites notáveis do infinito dizem que

\lim_{x \to +\infty} \frac{\log_{a} x}{x^{p}} = 0 \qquad \text{e} \qquad \lim_{x \to +\infty} \frac{a^{x}}{x^{p}} = +\infty.

Ou seja: a exponencial cresce mais depressa do que qualquer potência, e qualquer potência cresce mais depressa do que qualquer logaritmo — seja qual for a base e seja qual for o expoente.

Num quociente entre duas destas famílias, o limite é 0 se a que cresce mais depressa estiver no denominador, e +\infty se estiver no numerador.

x y 2 4 6 8 10 12 200 400 600 800 1000 2x​ = x3​ y = 2x​ y = x3​ y = 40 ln x
A corrida das magnitudes. O logaritmo arrasta-se, a potência sobe bem e a exponencial parece adormecida: em x = 8, 2^{8} = 256 ainda é metade de 8^{3} = 512. Só perto de x \approx 9{,}94 é que a apanha — e a partir daí ganha por uma margem que cresce sem limite. Longe de zero, exponencial esmaga potência, e potência esmaga logaritmo, seja qual for o expoente.

3 · A regra de L’Hôpital

Regra de L’Hôpital

Sejam f e g funções deriváveis numa vizinhança de a (exceto talvez em a), com g'(x) \neq 0. Se

\lim\limits_{x \to a} f(x) = \lim\limits_{x \to a} g(x) = 0  ou  \lim\limits_{x \to a} |f(x)| = \lim\limits_{x \to a} |g(x)| = +\infty,e existir \lim\limits_{x \to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)},

então

\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}.

Vale igualmente para a = \pm\infty e para limites laterais.

Três avisos que valem cotação.

0. Assinala sempre que usaste a regra — escrevendo \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} por cima do sinal de igual, ou dizendo-o por palavras. Numa correção de Exame, uma aplicação não assinalada é uma aplicação não justificada.1. Derivam-se o numerador e o denominador separadamente. Não é a regra do quociente.2. É preciso verificar a indeterminação antes. Aplicada a \frac{e-1}{0}, a regra dá um número — e esse número está errado.3. A conclusão exige que o limite do quociente das derivadas exista. Se não existir, a regra não diz nada — nem sequer que o original não existe.

Exemplo 4 A mesma indeterminação, por três caminhos

Calcular \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-1}{x}.

  1. Pelo limite notável. Mudança de variável u = 2x, que tende para 0: \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} 2 \lim_{u \to 0} \frac{e^{u}-1}{u} = 2 \times 1 = 2.
  2. Por L’Hôpital. \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{x} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{1} = 2.
  3. Pela definição de derivada. É a razão incremental de x \mapsto e^{2x} em 0, cujo valor é a derivada nesse ponto: 2e^{0} = 2.
  4. Os três caminhos são o mesmo caminho, visto de três lados.L’Hôpital não é magia: é a definição de derivada, aplicada duas vezes ao mesmo tempo.
Resposta2
Exemplo 5 Quando é preciso reescrever primeiro

Calcular \lim\limits_{x \to 0^{+}} \left[x \ln x\right].

  1. É uma indeterminação 0 \times (-\infty), e L’Hôpital não se aplica a produtos.
  2. Passa-se a quociente escrevendo x = \dfrac{1}{1/x}: x\ln x = \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}, \qquad \text{que é } \frac{-\infty}{+\infty}.
  3. Agora sim: \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0^{+}}\,(-x) = 0.
  4. A escolha importa. Se em vez disso escrevêssemos \dfrac{x}{1/\ln x}, L’Hôpital daria uma expressão pior do que a inicial.
Resposta0

4 · Três casos em que L’Hôpital não ajuda

Caso 1 · a regra entra em ciclo

Em \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}, uma aplicação dá \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} — o inverso do quociente inicial. A segunda aplicação devolve o primeiro. A regra é legítima e nunca decide.

Caso 2 · funciona, mas dá mais trabalho

A regra precisa de duas aplicações:

\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^{2}-1}{2x^{2}+x} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{6x}{4x+1} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{6}{4} = \frac{3}{2},

enquanto o termo de maior grau resolve num só passo:

\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^{2}-1}{2x^{2}+x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{3x^{2}}{2x^{2}} = \frac{3}{2}.
Caso 3 · o limite das derivadas não existe

Em \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x+\operatorname{sen} x}{x}, derivando obtém-se 1+\cos x, que oscila entre 0 e 2 e não tem limite. A regra é inaplicável.

Mas o limite original existe: \dfrac{x+\operatorname{sen} x}{x} = 1 + \dfrac{\operatorname{sen} x}{x}, e como \operatorname{sen} x nunca sai de [-1,\,1] enquanto x \to +\infty, a segunda parcela tende para 0. O limite é 1.

A moral dos três casos. Quando a manipulação algébrica é simples e direta, prefere-a. E, sobretudo: não existir \lim \frac{f'}{g'} não implica que não exista \lim \frac{f}{g}. A regra dá uma condição suficiente para calcular o limite, nunca uma condição necessária para ele existir.

Laboratório · A corrida das magnitudes

interativo

Sobe o expoente p e vê o cruzamento fugir para a direita — mas acontecer sempre. Com p = 12 e a = 1{,}1 é preciso ir a x na ordem dos milhares. É essa a diferença entre «grande» e «infinito».

Python Procurar o ponto em que a exponencial passa a potência 
def cruzamento(a, p):
    x = 1.0
    while a**x <= x**p:
        x = x + 0.5
        if x > 1e6:
            return None
    return x

print(' a     p    a^x passa x^p perto de x =')
for a in (1.1, 1.5, 2.0, 3.0):
    for p in (2, 5, 10):
        print('%4.1f  %3d   %12s' % (a, p, cruzamento(a, p)))

Com a = 1{,}1 e p = 10 o cruzamento acontece perto de x = 1400. Repara no 10^{6} de segurança: sem ele, uma escolha infeliz de a e p punha o programa a correr para sempre — o mesmo travão da secção A.

Exercícios propostos

Doze exercícios com os limites notáveis e com L’Hôpital. Em cada um, pergunta-te primeiro qual é a indeterminação — e se há mesmo alguma.

Exercício 15§02 · usar os limites notáveis

Calcula cada um dos limites seguintes, usando os limites notáveis.

a) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{x}-1}{2x}b) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{3x}-1}{x}c) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{3x}d) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2x}{\ln(8x+1)}

Exercício 16§02 · L’Hôpital em 0/0

Calcula, aplicando a regra de L’Hôpital.

a) \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln x}{x-1}b) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x}-1}{e^{x}-1}c) \lim\limits_{x \to 2} \dfrac{e^{x-2}+x-3}{x^{2}-4}

Exercício 17§02 · L’Hôpital em ∞/∞

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(x^{3}\right)}{2x}b) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{5x-1+\ln x}{-x}c) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2-\ln x}{3\ln x+1}

Exercício 18§02 · a hierarquia das magnitudes

Sem fazer contas, indica o valor de cada limite, justificando com a hierarquia exponencial > potência > logaritmo.

a) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{5}}{e^{x}}b) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{2^{x}}{x^{100}}c) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{\sqrt{x}}d) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2}+\ln x}{x^{2}}

Exercício 19§02 · dois notáveis no mesmo limite

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(x+1)}{e^{x}-1}b) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln\sqrt{x+1}}{3x}c) \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\ln(1-x)}{x}

Exercício 20§02 · logaritmos no infinito

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(2x+1)}{\ln(x+4)}b) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{6+\log_{4} x}{\log_{2} x}

Exercício 21§02 · a indeterminação 0 × ∞

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to 0^{+}}\left[x \ln x\right]b) \lim\limits_{x \to 0^{+}}\left[(x-1)\ln x\right]c) \lim\limits_{x \to -\infty}\left[x\left(e^{\frac{1}{x}}-1\right)\right]

Exercício 22§02 · pôr em evidência antes de derivar

Calcula cada um dos limites seguintes.

a) \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{x e^{x}-x}{3x-3}b) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(e^{x}+3\right)}{x}

Exercício 23§02 · quando L’Hôpital não ajuda

Considera \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x^{2}+1}}{x}.

a) Aplica a regra de L’Hôpital uma vez e depois outra. O que acontece?b) Calcula o limite por um método elementar.

Exercício 24§02 · combinar logaritmos

Calcula \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\left[\ln(x+1)\right]^{2}-\ln\left[(x+1)^{2}\right]}{x}.

Exercício 25§02 · determinar um parâmetro

Considera, para cada número real k, a função f definida em \mathbb{R}\setminus\{0\} por

f(x) = \frac{e^{2x}-1+kx}{x}.

a) Determina \lim\limits_{x \to 0} f(x) em função de k.b) Determina k de modo que esse limite seja 0.c) Para esse valor de k, determina \lim\limits_{x \to +\infty} f(x).

Exercício 26§02 · magnitudes com justificação

Mostra que \lim\limits_{x \to +\infty}\left(e^{x}-x^{100}\right) = +\infty.

Na tua resposta deves apresentar a transformação que permite levantar a indeterminação e identificar o limite notável utilizado.

Todos se reduzem a \lim\limits_{u \to 0}\frac{e^{u}-1}{u} = 1 ou a \lim\limits_{u \to 0}\frac{\ln(u+1)}{u} = 1. O trabalho é fazer aparecer o mesmo u em cima e em baixo.

  1. a) Forma \frac{0}{0}. Limite notável \lim\limits_{u \to 0}\frac{e^{u}-1}{u} = 1. \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{2x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{2} \times \frac{e^{x}-1}{x}\right) = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}.
  2. b) Forma \frac{0}{0}. Mudança de variável u = 3x, que tende para 0.

    Cálculo auxiliar: \dfrac{e^{3x}-1}{x} = 3 \times \dfrac{e^{3x}-1}{3x} = 3 \times \dfrac{e^{u}-1}{u}.

    \lim_{x \to 0} \frac{e^{3x}-1}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} 3 \lim_{u \to 0} \frac{e^{u}-1}{u} = 3 \times 1 = 3.
  3. c) Forma \frac{0}{0}. Limite notável \lim\limits_{u \to 0}\frac{\ln(u+1)}{u} = 1. \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{3x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{3} \times \frac{\ln(x+1)}{x}\right) = \frac{1}{3} \times 1 = \frac{1}{3}.
  4. d) Forma \frac{0}{0}. Mudança de variável u = 8x; o notável aparece invertido.

    Cálculo auxiliar: \dfrac{2x}{\ln(8x+1)} = \dfrac{2}{8} \times \dfrac{8x}{\ln(8x+1)} = \dfrac{1}{4} \times \dfrac{u}{\ln(u+1)}.

    \lim_{x \to 0} \frac{2x}{\ln(8x+1)} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \frac{1}{4} \lim_{u \to 0} \frac{u}{\ln(u+1)} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{1} = \frac{1}{4}.O limite notável está escrito com o numerador em cima; aqui aparece invertido. Como o limite é 1 \neq 0, o inverso também tende para 1.
Respostasa) \frac{1}{2} · b) 3 · c) \frac{1}{3} · d) \frac{1}{4}

Confirma primeiro que há mesmo indeterminação \frac{0}{0}. Depois deriva o numerador e o denominador separadamente — não é a regra do quociente.

  1. a) \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{x-1} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x}}{1} = 1.
  2. b) \lim_{x \to 0} \frac{e^{2x}-1}{e^{x}-1} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to 0} \frac{2e^{2x}}{e^{x}} = \frac{2}{1} = 2.
  3. c) \lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2}+x-3}{x^{2}-4} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to 2} \frac{e^{x-2}+1}{2x} = \frac{1+1}{4} = \frac{1}{2}.Repara na diferença: em b) podia também simplificar-se com e^{2x}-1 = \left(e^{x}-1\right)\left(e^{x}+1\right). L’Hôpital é cómodo, mas quase nunca é a única via.
Respostasa) 1 · b) 2 · c) \frac{1}{2}

Em a) e b) compara magnitudes. Em c) põe \ln x em evidência: é o mesmo truque do maior grau, com \ln x no papel de x.

  1. a) Forma \frac{\infty}{\infty}. Pela regra de L'Hôpital:

    Cálculo auxiliar: \ln\left(x^{3}\right) = 3\ln x, logo \left(\ln x^{3}\right)' = \dfrac{3}{x} e (2x)' = 2.

    \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(x^{3}\right)}{2x} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{3}{x}}{2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{2x} = 0.
  2. b) Forma \frac{\infty}{\infty}. Separando as parcelas, sem precisar da regra. \lim_{x \to +\infty} \frac{5x-1+\ln x}{-x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty}\left(-5 + \frac{1}{x} - \frac{\ln x}{x}\right) = -5 + 0 - 0 = -5, usando o limite notável \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} = 0.
  3. c) Forma \frac{\infty}{\infty}. Colocando \ln x em evidência — é o truque do maior grau, com \ln x no papel de x. \lim_{x \to +\infty} \frac{2-\ln x}{3\ln x+1} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x\left(\frac{2}{\ln x}-1\right)}{\ln x\left(3+\frac{1}{\ln x}\right)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{\ln x}-1}{3+\frac{1}{\ln x}} = \frac{-1}{3}.Em c) L’Hôpital também funciona, mas dá \frac{-1/x}{3/x} — que é o mesmo, com mais trabalho.
Respostasa) 0 · b) -5 · c) -\frac{1}{3}

Em qualquer quociente das três famílias, quem manda é o mais forte: se está em cima, o limite é +\infty; se está em baixo, é 0.

  1. a) A exponencial está em baixo e é mais forte: 0.
  2. b) A exponencial está em cima: +\infty. O expoente 100 não muda nada — só adia o cruzamento.
  3. c) \sqrt{x} = x^{1/2} é uma potência, mais forte do que o logaritmo: 0.
  4. d) Forma \frac{\infty}{\infty}. Separando as parcelas: \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}+\ln x}{x^{2}} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{\ln x}{x^{2}}\right) = 1+0 = 1.Em b), o cruzamento entre 2^{x} e x^{100} só acontece perto de x \approx 1000. A hierarquia é uma afirmação sobre o infinito, não sobre os números que se veem numa tabela.
Respostasa) 0 · b) +\infty · c) 0 · d) 1

Em a), divide numerador e denominador por x. Em b), usa \ln\sqrt{u} = \frac{1}{2}\ln u. Em c), cuidado com o sinal: faz u = -x.

  1. a) Forma \frac{0}{0}. Dividindo numerador e denominador por x, para fazer aparecer os dois notáveis. \lim_{x \to 0} \frac{\ln(x+1)}{e^{x}-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\ln(x+1)}{x}}{\frac{e^{x}-1}{x}} = \frac{1}{1} = 1.
  2. b) Forma \frac{0}{0}.

    Cálculo auxiliar: \ln\sqrt{x+1} = \ln(x+1)^{1/2} = \dfrac{1}{2}\ln(x+1).

    \lim_{x \to 0} \frac{\ln\sqrt{x+1}}{3x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0}\left(\frac{1}{6} \times \frac{\ln(x+1)}{x}\right) = \frac{1}{6} \times 1 = \frac{1}{6}.
  3. c) Forma \frac{0}{0}. Mudança de variável u = -x, que tende para 0.

    Cálculo auxiliar: \dfrac{\ln(1-x)}{x} = \dfrac{\ln(1+u)}{-u} = -\dfrac{\ln(u+1)}{u}.

    \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1-x)}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} -\lim_{u \to 0} \frac{\ln(u+1)}{u} = -1.
Respostasa) 1 · b) \frac{1}{6} · c) -1

Em a), L’Hôpital resolve depressa. Em b), muda de base: \log_{4} x = \frac{\log_{2} x}{\log_{2} 4}.

  1. a) \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(2x+1)}{\ln(x+4)} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{2}{2x+1}}{\frac{1}{x+4}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2(x+4)}{2x+1} = 1.
  2. b) Mudança de base.

    Cálculo auxiliar: \log_{4} x = \dfrac{\log_{2} x}{\log_{2} 4} = \dfrac{\log_{2} x}{2}.

    \lim_{x \to +\infty} \frac{6+\log_{4} x}{\log_{2} x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{6+\frac{1}{2}\log_{2} x}{\log_{2} x} = \lim_{x \to +\infty}\left(\frac{6}{\log_{2} x} + \frac{1}{2}\right) = 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}.
  3. Dois logaritmos, mesmo de bases diferentes, crescem à mesma velocidade a menos de uma constante.
Respostasa) 1 · b) \frac{1}{2}

L’Hôpital só sabe tratar \frac{0}{0} e \frac{\infty}{\infty}. Um produto 0 \times \infty tem de ser reescrito como quociente primeiro.

  1. a) Passa-se o produto a quociente e só então se aplica a regra: \lim_{x \to 0^{+}}\left(x\ln x\right) = \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}} \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L'H}}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^{2}}} = \lim_{x \to 0^{+}}\,(-x) = 0.
  2. b) Forma 0 \times \infty. Desdobrando o produto e usando a alínea anterior: \lim_{x \to 0^{+}}\left[(x-1)\ln x\right] \overset{\left(0 \times \infty\right)}{=} \lim_{x \to 0^{+}}\left(x\ln x - \ln x\right) = 0 - (-\infty) = +\infty.
  3. c) Forma \infty \times 0. Mudança de variável u = \dfrac{1}{x}, que tende para 0^{-}.

    Cálculo auxiliar: como x = \dfrac{1}{u}, tem-se x\left(e^{1/x}-1\right) = \dfrac{e^{u}-1}{u}.

    \lim_{x \to -\infty}\left[x\left(e^{1/x}-1\right)\right] \overset{\left(\infty \times 0\right)}{=} \lim_{u \to 0^{-}} \frac{e^{u}-1}{u} = 1.Em c) o limite notável resolve tudo numa linha; L’Hôpital também dá, mas obriga a derivar e^{1/x}.
Respostasa) 0 · b) +\infty · c) 1

Em a), x é fator comum no numerador — mas atenção, o limite é em x \to 1, não em 0. Em b), põe e^{x} em evidência dentro do logaritmo.

  1. a) Em x = 1 o numerador vale e-1 \neq 0 e o denominador vale 0: não há indeterminação. O limite é infinito, com sinais diferentes de cada lado — logo não existe.
  2. À direita de 1: \dfrac{e-1}{0^{+}} = +\infty. À esquerda: -\infty.
  3. b) Colocando e^{x} em evidência dentro do logaritmo.

    Cálculo auxiliar: \ln\left(e^{x}+3\right) = \ln\left[e^{x}\left(1+3e^{-x}\right)\right] = x + \ln\left(1+3e^{-x}\right).

    \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(e^{x}+3\right)}{x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{x+\ln\left(1+3e^{-x}\right)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{\ln\left(1+3e^{-x}\right)}{x}\right) = 1+0 = 1.Em a), quem aplicasse a regra sem verificar obteria \lim\limits_{x \to 1}\dfrac{e^{x}(x+1)}{3} = \dfrac{2e}{3} — um valor errado. Nomear a forma antes de escolher a técnica não é burocracia.
Respostasa) não existe (\pm\infty) · b) 1

Em a), deriva e simplifica com cuidado. Em b), põe x^{2} em evidência dentro da raiz.

  1. a) Primeira aplicação: \dfrac{\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}}{1} = \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+1}} — que é o inverso do limite inicial, e continua indeterminado. Aplicando outra vez volta-se ao ponto de partida: a regra entra em ciclo e nunca decide.
  2. b) Forma \frac{\infty}{\infty}. Colocando x^{2} em evidência dentro da raiz.

    Cálculo auxiliar: como x \to +\infty, x > 0 e \sqrt{x^{2}+1} = |x|\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} = x\sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}}.

    \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+1}}{x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \sqrt{1+\frac{1}{x^{2}}} = \sqrt{1} = 1.
  3. É o exemplo clássico de um limite em que L’Hôpital é aplicável e ao mesmo tempo inútil.
Respostasa) a regra entra em ciclo · b) 1

Usa \ln\left[(x+1)^{2}\right] = 2\ln(x+1) e põe \ln(x+1) em evidência. Depois separa o quociente em dois fatores cujos limites já conheces.

  1. Com L = \ln(x+1), o numerador é L^{2}-2L = L(L-2). Então \frac{L(L-2)}{x} = \frac{L}{x} \times (L-2).
  2. O primeiro fator tende para 1 (limite notável) e o segundo para \ln 1 - 2 = -2.
  3. Logo o limite é 1 \times (-2) = -2.Separar num produto só é legítimo porque os dois fatores têm limite finito. É exatamente a propriedade operatória da secção 1 a ser usada no sítio certo.
Resposta-2

Separa a fração em duas parcelas. Uma delas é um limite notável disfarçado.

  1. a) f(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{x} + k. Com u = 2x, \dfrac{e^{2x}-1}{x} = 2 \times \dfrac{e^{u}-1}{u} \to 2. Logo \lim\limits_{x \to 0} f(x) = 2+k.
  2. b) 2+k = 0 \iff k = -2.
  3. c) Com k = -2, f(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{x} - 2. Pela hierarquia das magnitudes, \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^{2x}}{x} = +\infty: \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty}\left(\frac{e^{2x}-1}{x} - 2\right) = (+\infty) - 2 = +\infty.
Respostasa) 2+k · b) k = -2 · c) +\infty

É uma indeterminação \infty - \infty. Põe e^{x} em evidência e usa a hierarquia das magnitudes na parcela que sobra.

  1. Pondo e^{x} em evidência: e^{x}-x^{100} = e^{x}\left(1-\frac{x^{100}}{e^{x}}\right).
  2. Pelo limite notável \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e^{x}}{x^{p}} = +\infty (com p = 100), o seu inverso tende para 0: \lim_{x \to +\infty}\frac{x^{100}}{e^{x}} = 0.
  3. Logo \lim_{x \to +\infty}\left(e^{x}-x^{100}\right) \overset{(\infty-\infty)}{=} \lim_{x \to +\infty}\left[e^{x}\left(1-\frac{x^{100}}{e^{x}}\right)\right] = (+\infty) \times (1-0) = +\infty.
  4. Note-se que para x = 1000 ainda se tem e^{x} < x^{100}: a diferença só se torna positiva bem depois. O limite não descreve o que se passa em nenhum número concreto.Fica a valer a mesma lição da secção 1: o comportamento no infinito não se lê numa tabela de valores.
Resposta\lim\limits_{x \to +\infty}\left[e^{x}\left(1-\frac{x^{100}}{e^{x}}\right)\right] = +\infty
03

Continuidade

Desenhar o gráfico sem levantar o lápis — é a imagem popular, e não é má. Mas a definição é mais exata e diz três coisas: a função tem de estar definida no ponto, tem de ter limite nesse ponto, e os dois números têm de ser o mesmo. Falhar qualquer uma delas é falhar a continuidade.

Aprendizagens Essenciais
  • Reconhecer uma função contínua num ponto do seu domínio como uma função que admite limite nesse ponto igual à sua imagem.
  • Identificar se uma função é contínua num intervalo aberto, em casos simples, tendo como apoio o conhecimento de uma lista de funções contínuas e respetivas operações.

1 · A definição

Continuidade num ponto

Uma função f é contínua em a quando

\lim_{x \to a} f(x) = f(a).

Esta igualdade exige, de uma só vez, três coisas:

1. a pertence ao domínio de f, isto é, f(a) existe;2. existe \lim\limits_{x \to a} f(x), ou seja, os dois limites laterais existem e são iguais;3. esse limite é igual a f(a).

Se a não pertence ao domínio, não faz sentido falar em continuidade nesse ponto. A função x \mapsto \frac{1}{x} não é «descontínua em 0»: em 0 não é nada, porque 0 não está no domínio. Ela é contínua — em todo o seu domínio.

Uma função diz-se contínua num conjunto A \subseteq D_{f} quando é contínua em todos os pontos de A, e contínua sem mais quando é contínua em todo o seu domínio.

Repara na diferença com a secção 1. Ali o valor f(a) era irrelevante: o limite não pergunta por ele. Aqui o valor é tudo: a continuidade é precisamente a afirmação de que o limite acerta na imagem.

Num ponto de junção de ramos escrevem-se sempre os três valores — limite à esquerda, limite à direita e imagem. É a definição, passo a passo.

2 · Operações entre funções contínuas

Verificar a definição ponto a ponto seria impraticável. O que se faz é o contrário: parte-se de meia dúzia de funções que se sabem contínuas e usam-se as operações que preservam a continuidade.

Operações que preservam a continuidade

Se f e g são contínuas num ponto a \in D_{f} \cap D_{g}, então também são contínuas em a:

f+gf-gf \times g\dfrac{f}{g}, se g(a) \neq 0

E a composta de funções contínuas é contínua. São estas — soma, diferença, produto, quociente e composição — as operações que as Aprendizagens Essenciais nomeiam.

Daqui saem, como consequências, todas as famílias de que precisamos:

Consequências

toda a função polinomial é contínua em \mathbb{R};toda a função racional é contínua no seu domínio — é um quociente de polinomiais;as funções exponenciais e logarítmicas são contínuas no seu domínio;o seno e o cosseno são contínuos em \mathbb{R}, e a tangente no seu domínio, por ser um quociente de contínuas.

A lista é um catálogo de certezas, não uma classificação. Há muitas outras funções contínuas — x \mapsto |x|, por exemplo. E há funções definidas por ramos que são contínuas apesar de nenhum catálogo o dizer: nos pontos de junção dos ramos é sempre preciso ir à definição.

Exemplo 6 Colar dois ramos

Determinar k de modo que a função seguinte, de domínio \mathbb{R}, seja contínua.

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x-2} & \text{se } x \neq 2\\[8pt] k & \text{se } x = 2\end{cases}
  1. Fora de 2, f é um quociente de polinomiais com denominador não nulo: já é contínua.
  2. Em 2: f(2) = k existe, e \lim\limits_{x \to 2} f(x) = \lim\limits_{x \to 2}(x+2) = 4.
  3. A terceira condição obriga a k = 4.Nenhum outro valor serve. A continuidade não deixa margem: o limite escolhe a imagem.
Respostak = 4
Exemplo 7 Contínua num intervalo, sem ir à definição

Mostrar que a função seguinte, de domínio \mathbb{R}, é contínua.

h(x) = \begin{cases} \sqrt{x^{2}+4}-x & \text{se } x > 0\\[6pt] 2 & \text{se } x = 0\\[6pt] \dfrac{x^{3}-7x^{2}+6x}{3x} & \text{se } x < 0\end{cases}
  1. Em \left]0,\,+\infty\right[. É a diferença entre a composta da raiz quadrada com uma polinomial sempre positiva e uma função afim: diferença de contínuas, logo contínua. Não é preciso estudar ponto a ponto.
  2. Em \left]-\infty,\,0\right[. É o quociente de duas polinomiais e o denominador 3x não se anula nesse intervalo: contínua.
  3. Em x = 0. Só aqui é preciso a definição, porque é o ponto de junção: \lim_{x \to 0^{+}} h(x) = \sqrt{4}-0 = 2, \qquad \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{3}-7x^{2}+6x}{3x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}-7x+6}{3} = \frac{6}{3} = 2, \qquad h(0) = 2.
  4. Os três valores coincidem, logo h é contínua em 0 — e portanto em todos os pontos do domínio.Repara na economia: dois terços do trabalho fazem-se citando operações. À definição só se vai onde os ramos se encontram.
Respostah é contínua em \mathbb{R}

3 · Funções que saltam — e fazem bem

Nem todos os modelos são contínuos, e isso não é um defeito. Um tarifário de estacionamento cobra por hora ou fração; os escalões do IRS mudam a taxa de um degrau; a força de um propulsor cai a zero no instante em que se desliga.

t (h) € 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5
O preço de um parque de estacionamento, hora a hora. Em cada instante inteiro o valor salta: aos 59 minutos paga-se um degrau, aos 61 minutos paga-se o seguinte. A função tem 5 descontinuidades e nenhuma delas é um defeito — é o modelo a ser fiel à realidade. As bolas cheias dizem qual é o valor exatamente na fronteira.

Nestes modelos importa saber o que acontece exatamente na fronteira — e é por isso que se desenham bolas cheias e vazias. Aos 60 minutos certos, paga-se o degrau de baixo ou o de cima? A resposta está na definição do tarifário, não na matemática.

Laboratório · Colar os ramos

interativo

Move k até a leitura dizer que a função é contínua. Repara em que só há um valor que serve, e em que ele é sempre o limite — nunca uma escolha livre.

Python Testar a continuidade num ponto 
def f(x):
    if x < 1:
        return x**2 + 1
    return 3*x - 1

def testa(f, a, valor, eps=1e-9):
    esq = f(a - eps)
    dir = f(a + eps)
    print('limite a esquerda :', round(esq, 6))
    print('limite a direita  :', round(dir, 6))
    print('imagem f(a)       :', round(valor, 6))
    if abs(esq - dir) > 1e-6:
        return 'salto: os limites laterais sao diferentes'
    if abs(esq - valor) > 1e-6:
        return 'o limite existe mas nao acerta na imagem'
    return 'contínua em a'

print(testa(f, 1, f(1)))

Troca o segundo ramo por 3x+1 e vê o programa detetar o salto. Mas cuidado: com \varepsilon = 10^{-9}, uma função que saltasse 10^{-12} passaria por contínua. O computador não distingue «igual» de «muito parecido».

Exercícios propostos

Doze exercícios sobre continuidade. Nos que têm parâmetro, o método é sempre o mesmo: calcular os dois limites laterais, calcular a imagem, e igualar os três.

Exercício 27§03 · a definição, em três passos

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} x^{2}+1 & \text{se } x \leq 2\\ 3x-1 & \text{se } x > 2\end{cases}

a) Determina f(2).b) Calcula os dois limites laterais em 2.c) Conclui se f é contínua em x = 2.

Exercício 28§03 · a lista das contínuas

Justifica, usando a lista das funções contínuas e as operações que a preservam, que cada uma das funções seguintes é contínua em todo o seu domínio. Indica também esse domínio.

a) f(x) = x^{3}-4x+e^{x}b) g(x) = \dfrac{2x+1}{x^{2}-9}c) h(x) = \ln\left(x^{2}+1\right)d) j(x) = x\,e^{-x}

Exercício 29§03 · ler no gráfico

Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, de domínio [-3,\,4].

x y −3 −2 −1 1 2 3 4 1 2 3 4 g

a) Indica os pontos em que g não é contínua.b) Para cada um, diz qual das três condições da definição falha.

Exercício 30§03 · o degrau do estacionamento

Um parque de estacionamento cobra 1{,}20 € pela primeira hora ou fração e 0{,}80 € por cada hora ou fração seguinte, até ao máximo de 5 horas.

a) Quanto se paga por 59 minutos? E por 61 minutos?b) Em que instantes é que a função preço não é contínua?c) Explica por que razão essa descontinuidade não é um defeito do modelo.

Exercício 31§03 · determinar um parâmetro

Considera, para um certo número real k, a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\sqrt{x^{2}+12}+2x}{x+2} & \text{se } x < -2\\[8pt] \dfrac{x^{3}-2x+k}{x^{2}+4} & \text{se } x \geq -2\end{cases}

Determina o valor de k de modo que f seja contínua em x = -2.

Exercício 32§03 · continuidade num ponto de junção

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x^{3}-5x^{2}-9x+18}{9x-3x^{2}} & \text{se } x > 3\\[8pt] -\dfrac{5}{3} & \text{se } x = 3\\[8pt] \dfrac{9-\sqrt{5x^{2}+36}}{x-3} & \text{se } x < 3\end{cases}

Sem recorrer à calculadora, verifica se f é contínua em x = 3.

Exercício 33§03 · tapar o buraco

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}\setminus\{1\}, definida por g(x) = \dfrac{x^{3}-1}{x-1}.

a) Justifica que g é contínua em todo o seu domínio.b) Determina \lim\limits_{x \to 1} g(x).c) Define uma função \tilde{g}, de domínio \mathbb{R}, que seja contínua e coincida com g em \mathbb{R}\setminus\{1\}.

Exercício 34§03 · continuidade de uma composta

Seja f a função definida por f(x) = \ln\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right).

a) Determina o domínio de f.b) Justifica que f é contínua em todo o seu domínio.c) Calcula \lim\limits_{x \to +\infty} f(x).

Exercício 35§03 · o foguete

A força exercida pelo propulsor de um foguete, em quilonewton, t segundos após o lançamento, é modelada por

F(t) = \begin{cases} 800 + 40t & \text{se } 0 \leq t < 120\\ 0 & \text{se } t \geq 120\end{cases}

a) Calcula \lim\limits_{t \to 120^{-}} F(t) e F(120).b) Classifica a descontinuidade e explica o que ela representa fisicamente.

Exercício 36§03 · contínua de um lado só

Considera a função h, de domínio \mathbb{R}, definida por

h(x) = \begin{cases} \dfrac{x}{\sqrt{x}} & \text{se } x > 0\\[8pt] 0 & \text{se } x = 0\\[8pt] \dfrac{\sqrt{1-x}-1}{x} & \text{se } x < 0\end{cases}

a) Calcula os dois limites laterais em 0.b) Averigua se h é contínua em x = 0.

Exercício 37§03 · contínua em todo o R

Seja f a função, definida em \mathbb{R}, por

f(x) = \begin{cases} \sqrt{x^{2}-2x+10} & \text{se } x < 1\\[6pt] 3 & \text{se } x = 1\\[6pt] \dfrac{3x^{2}-3}{x^{2}-1} & \text{se } x > 1\end{cases}

Averigua se a função f é contínua em \mathbb{R}.

Exercício 38§03 · dois parâmetros

Considera, para certos números reais a e b, a função h, de domínio \mathbb{R}, definida por

h(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2x}-1}{x} & \text{se } x < 0\\[8pt] a & \text{se } x = 0\\[8pt] b + \ln(x+1) & \text{se } x > 0\end{cases}

Determina a e b de modo que h seja contínua em \mathbb{R}.

Exercício 39§03 · uma afirmação para discutir

Comenta a afirmação seguinte, apresentando um argumento ou um contraexemplo.

«Se f e g não são contínuas em a, então f+g também não é contínua em a.»

Exercício 40§03 · o parâmetro é o próprio ponto

Considera, para cada número real positivo k, a função f, de domínio \mathbb{R}^{+}_{0}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-k}{\sqrt{x}-\sqrt{k}} & \text{se } x > k\\[8pt] k & \text{se } x \leq k\end{cases}

Determina o valor de k para o qual f é contínua em x = k.

São sempre as mesmas três perguntas, por esta ordem: existe f(a)? existe \lim\limits_{x \to a} f(x)? são iguais?

  1. a) Como 2 \leq 2, vale o primeiro ramo: f(2) = 4+1 = 5.
  2. b) \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = 2^{2}+1 = 5 e \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = 3 \times 2 - 1 = 5.
  3. c) Os dois limites laterais coincidem, logo \lim\limits_{x \to 2} f(x) = 5, e esse valor é igual a f(2). Portanto f é contínua em x = 2.
Respostasa) 5 · b) 5 e 5 · c) é contínua

Polinomiais, exponenciais e logarítmicas são contínuas. Somas, diferenças, produtos, quocientes (onde o denominador não se anula) e composições de contínuas continuam contínuas.

  1. a) Soma de uma polinomial com uma exponencial: contínua em \mathbb{R}.
  2. b) Quociente de duas polinomiais, contínuo onde o denominador não se anula: D = \mathbb{R}\setminus\{-3,\,3\}.
  3. c) Composição de \ln com a polinomial x^{2}+1, que é sempre positiva: contínua em \mathbb{R}.
  4. d) Produto de uma polinomial por uma exponencial composta: contínua em \mathbb{R}.A lista não diz que só estas são contínuas — diz que estas seguramente o são. É um catálogo de certezas, não uma classificação completa.
Respostasa) \mathbb{R} · b) \mathbb{R}\setminus\{-3,3\} · c) \mathbb{R} · d) \mathbb{R}

Percorre o gráfico com o dedo, sem levantar. Cada vez que fores obrigado a levantar, há uma descontinuidade — mas repara porquê: falta o ponto, o ponto está fora do sítio, ou os dois lados não se encontram.

  1. a) Em x = -1 e em x = 2.
  2. b) Em x = -1 os limites laterais são diferentes (1 à esquerda e 3 à direita): não existe limite. É um salto.
  3. Em x = 2 o limite existe e vale 1, mas a imagem é g(2) = 3: existe limite, existe imagem, não são iguais. É removível.
Respostasa) x = -1 e x = 2 · b) salto e descontinuidade removível

«Hora ou fração» quer dizer que o preço só muda quando se passa uma fronteira inteira — e muda de um salto.

  1. a) Por 59 minutos paga-se 1{,}20 €; por 61 minutos já se paga 1{,}20 + 0{,}80 = 2{,}00 €.
  2. b) Nos instantes t = 1,\,2,\,3,\,4 horas: aí os limites laterais diferem em 0{,}80 €.
  3. c) Porque o preço é descontínuo na realidade. Um modelo contínuo — que cobrasse proporcionalmente ao minuto — descreveria outro parque, não este. A descontinuidade é informação, não erro.Os escalões do IRS têm a mesma estrutura: a taxa salta ao passar o escalão. É por isso que se discute tanto o que acontece a quem está mesmo na fronteira.
Respostasa) 1{,}20 € e 2{,}00 € · b) em t = 1,\,2,\,3,\,4 · c) o preço é mesmo descontínuo

O ramo da direita é contínuo: dá logo f(-2). O da esquerda tem uma indeterminação \frac{0}{0} — usa o conjugado.

  1. À direita: f(-2) = \dfrac{-8+4+k}{8} = \dfrac{k-4}{8}, que é também \lim\limits_{x \to -2^{+}} f(x).
  2. À esquerda há indeterminação (\sqrt{16}-4 = 0). Multiplicando pelo conjugado \sqrt{x^{2}+12}-2x: \frac{x^{2}+12-4x^{2}}{(x+2)\left(\sqrt{x^{2}+12}-2x\right)} = \frac{-3\left(x^{2}-4\right)}{(x+2)\left(\sqrt{x^{2}+12}-2x\right)} = \frac{-3(x-2)}{\sqrt{x^{2}+12}-2x}.
  3. Substituindo x = -2: \dfrac{-3 \times (-4)}{4+4} = \dfrac{12}{8} = \dfrac{3}{2}.
  4. Igualando: \dfrac{k-4}{8} = \dfrac{3}{2} \iff k-4 = 12 \iff k = 16.
Respostak = 16

À direita, fatoriza numerador e denominador. À esquerda, conjugado. Depois compara os dois com f(3).

  1. À direita. Em x = 3 os dois se anulam. Fatorizando, 2x^{3}-5x^{2}-9x+18 = (x-3)\left(2x^{2}+x-6\right) e 9x-3x^{2} = -3x(x-3). Logo \lim_{x \to 3^{+}} \frac{2x^{2}+x-6}{-3x} = \frac{18+3-6}{-9} = \frac{15}{-9} = -\frac{5}{3}.
  2. À esquerda. Multiplicando pelo conjugado 9+\sqrt{5x^{2}+36}: \frac{81-\left(5x^{2}+36\right)}{(x-3)\left(9+\sqrt{5x^{2}+36}\right)} = \frac{-5\left(x^{2}-9\right)}{(x-3)\left(9+\sqrt{5x^{2}+36}\right)} = \frac{-5(x+3)}{9+\sqrt{5x^{2}+36}}. Substituindo: \dfrac{-30}{18} = -\dfrac{5}{3}.
  3. Os dois limites laterais valem -\frac{5}{3} e f(3) = -\frac{5}{3}. As três condições verificam-se: f é contínua em x = 3.
RespostaÉ contínua: os dois limites laterais e a imagem valem -\frac{5}{3}

Uma descontinuidade em que o limite existe pode ser removida: basta escolher para imagem, nesse ponto, o valor do limite.

  1. a) É um quociente de polinomiais e o denominador só se anula em 1, que está fora do domínio. Logo g é contínua em \mathbb{R}\setminus\{1\}.
  2. b) Forma \frac{0}{0}. Fatorizando o numerador:

    Cálculo auxiliar: x^{3}-1 = (x-1)\left(x^{2}+x+1\right).

    \lim_{x \to 1} \frac{x^{3}-1}{x-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}{x-1} = \lim_{x \to 1}\left(x^{2}+x+1\right) = 3.
  3. c) \tilde{g}(x) = x^{2}+x+1, de domínio \mathbb{R}. Para x \neq 1 coincide com g, e em 1 vale 3, que é o limite. Chama-se prolongamento por continuidade.Só é possível porque o limite existe. Num salto, nenhuma escolha de imagem resolve — não há valor que sirva para os dois lados.
Respostasb) 3 · c) \tilde{g}(x) = x^{2}+x+1

O argumento do logaritmo tem de ser positivo: faz o quadro de sinais do quociente. Depois usa a regra da composta.

  1. a) É preciso \dfrac{x+1}{x-2} > 0. O quociente é positivo fora de [-1,\,2]: D_{f} = \left]-\infty,\,-1\right[ \cup \left]2,\,+\infty\right[.
  2. b) Em D_{f}, a função interior é um quociente de polinomiais com denominador não nulo — contínua — e toma valores positivos; o logaritmo é contínuo em \mathbb{R}^{+}. A composta de contínuas é contínua.
  3. c) Por continuidade do logaritmo, o limite passa para dentro: \lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \ln\left(\frac{x+1}{x-2}\right) = \ln\left(\lim_{x \to +\infty}\frac{x+1}{x-2}\right) = \ln 1 = 0.
Respostasa) \left]-\infty,-1\right[ \cup \left]2,+\infty\right[ · c) 0

Repara no que acontece exatamente no instante em que o propulsor se desliga.

  1. a) \lim\limits_{t \to 120^{-}} F(t) = 800 + 40 \times 120 = 5600 kN, enquanto F(120) = 0.
  2. b) Os dois limites laterais existem (5600 e 0) mas são diferentes: é um salto, e por isso não é removível.
  3. Fisicamente, é o corte do propulsor: a força passa de 5600 kN a zero num intervalo tão curto que o modelo o trata como instantâneo. É a mesma idealização de um interruptor.Nenhuma grandeza física salta mesmo de forma instantânea. O salto é a forma económica de descrever uma transição rápida de mais.
Respostasa) 5600 kN e 0 · b) salto — o corte do propulsor

À direita, simplifica \frac{x}{\sqrt{x}}. À esquerda, conjugado. Depois compara cada um com h(0) — separadamente.

  1. a) À direita, forma \frac{0}{0}.

    Cálculo auxiliar: \dfrac{x}{\sqrt{x}} = \dfrac{\left(\sqrt{x}\right)^{2}}{\sqrt{x}} = \sqrt{x}.

    \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\sqrt{x}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \sqrt{x} = 0.
  2. À esquerda, forma \frac{0}{0}; racionalização pelo conjugado \sqrt{1-x}+1.

    Cálculo auxiliar: \left(\sqrt{1-x}-1\right)\left(\sqrt{1-x}+1\right) = (1-x)-1 = -x.

    \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\sqrt{1-x}-1}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-x}{x\left(\sqrt{1-x}+1\right)} = \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-1}{\sqrt{1-x}+1} = \frac{-1}{2}.
  3. b) Os dois limites laterais são diferentes: \lim_{x \to 0^{-}} h(x) = -\frac{1}{2} \neq 0 = \lim_{x \to 0^{+}} h(x). Logo não existe \lim\limits_{x \to 0} h(x) e, portanto, h não é contínua em x = 0.Falha logo a segunda das três condições. Quando o limite não existe, nem é preciso comparar com h(0).
Respostasa) -\frac{1}{2} à esquerda e 0 à direita · b) não é contínua em x = 0

Em \mathbb{R}\setminus\{1\} usa a lista das contínuas. O único ponto a estudar à mão é x = 1.

  1. Fora de 1. Para x < 1, x^{2}-2x+10 = (x-1)^{2}+9 \geq 9 > 0: é a composta da raiz com uma polinomial positiva, logo contínua. Para x > 1, é um quociente de polinomiais cujo denominador não se anula (só se anularia em \pm 1): contínua.
  2. Em x = 1. Calculam-se os dois limites laterais: \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} \sqrt{x^{2}-2x+10} = \sqrt{9} = 3, \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} \frac{3x^{2}-3}{x^{2}-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 1^{+}} \frac{3\left(x^{2}-1\right)}{x^{2}-1} = \lim_{x \to 1^{+}} 3 = 3.
  3. Os dois limites laterais valem 3, logo \lim\limits_{x \to 1} f(x) = 3 = f(1).
  4. Verificam-se as três condições em 1 e a função é contínua em todos os outros pontos: f é contínua em \mathbb{R}.
RespostaÉ contínua em \mathbb{R}

À esquerda há um limite notável disfarçado. À direita, o logaritmo é contínuo. Iguala tudo.

  1. À esquerda. Forma \frac{0}{0}; mudança de variável u = 2x, que tende para 0: \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{2x}-1}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} 2 \lim_{u \to 0^{-}} \frac{e^{u}-1}{u} = 2 \times 1 = 2.
  2. À direita. \lim_{x \to 0^{+}}\left[b + \ln(x+1)\right] = b + \ln 1 = b.
  3. Para existir limite em 0 é preciso b = 2; para a função ser contínua nesse ponto é preciso ainda a = 2.
  4. Nos restantes pontos h já é contínua: à esquerda é um quociente de contínuas com denominador não nulo, à direita é a soma de uma constante com uma composta de contínuas.
Respostaa = b = 2

As propriedades operatórias dizem que contínua + contínua = contínua. Não dizem nada sobre o que acontece quando as parcelas não são contínuas — e é aí que a afirmação escorrega.

  1. A afirmação é falsa. Basta um contraexemplo.
  2. Sejam, em a = 0, f(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x \geq 0\\ 0 & \text{se } x < 0\end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \geq 0\\ 1 & \text{se } x < 0\end{cases}
  3. Nenhuma é contínua em 0: ambas dão um salto de amplitude 1.
  4. Mas (f+g)(x) = 1 para todo o x: é a função constante 1, contínua em \mathbb{R}.
  5. Os dois saltos são simétricos e cancelam-se. As propriedades operatórias dão condições suficientes, e a recíproca não vale.É o mesmo padrão do exercício 11 da secção 1: uma regra que exige hipóteses não diz nada quando as hipóteses falham.
RespostaFalsa — dois saltos simétricos podem cancelar-se, como em f+g \equiv 1

O ponto de junção é o próprio parâmetro. Calcula na mesma o limite à direita — o conjugado funciona com \sqrt{k} tal como funcionaria com um número.

  1. À esquerda e no ponto. O ramo de baixo é constante: \lim\limits_{x \to k^{-}} f(x) = k e f(k) = k.
  2. À direita. Forma \frac{0}{0}; racionalização pelo conjugado \sqrt{x}+\sqrt{k}.

    Cálculo auxiliar: \left(\sqrt{x}-\sqrt{k}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{k}\right) = x-k.

    \lim_{x \to k^{+}} \frac{x-k}{\sqrt{x}-\sqrt{k}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to k^{+}} \frac{(x-k)\left(\sqrt{x}+\sqrt{k}\right)}{x-k} = \lim_{x \to k^{+}}\left(\sqrt{x}+\sqrt{k}\right) = 2\sqrt{k}.
  3. A continuidade exige 2\sqrt{k} = k. Elevando ao quadrado, 4k = k^{2} \iff k(k-4) = 0, logo k = 0 ou k = 4.
  4. Como k é positivo, fica k = 4.Elevar ao quadrado pode criar soluções falsas — aqui não criou, mas convém sempre voltar à condição original: 2\sqrt{4} = 4. ✓
Respostak = 4
04

Assíntotas

Uma assíntota é uma reta que o gráfico persegue sem nunca apanhar. Não é uma barreira nem uma fronteira: há curvas que atravessam a própria assíntota. O que a define é uma coisa só — a distância entre a curva e a reta tende para zero.

Aprendizagens Essenciais
  • Determinar analiticamente as equações das assíntotas, verticais e não verticais, ao gráfico de uma função.

1 · Assíntotas verticais

Assíntota vertical

A reta de equação x = a é assíntota vertical ao gráfico de f quando pelo menos um dos limites laterais em a é infinito:

\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \pm\infty \qquad \text{ou} \qquad \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \pm\infty.
Método, em três passos

1.º Determinar os pontos a candidatos:

a \notin D_{f}, mas a é fronteira do domínio — zeros de denominadores, fronteiras de logaritmos e de raízes;a \in D_{f}, mas a é ponto de descontinuidade de f — tipicamente um ponto de junção de ramos.

2.º Calcular \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x), os dois que o domínio permitir.

3.º Se algum deles for +\infty ou -\infty, a reta x = a é assíntota vertical ao gráfico de f.

Faltar ao domínio não chega. Em \frac{x^{2}-1}{x-1} o ponto 1 falta ao domínio e não há assíntota nenhuma: há um buraco. É por isso que o 2.º passo não se salta.

E note-se o outro lado: um gráfico pode não ter nenhuma assíntota vertical — como y = e^{x} — ou ter uma infinidade delas — como y = \operatorname{tg} x.

Depois de as encontrar, justifica que não há mais. A frase que se escreve é sempre a mesma: «como f é contínua no seu domínio, o seu gráfico não admite mais assíntotas verticais». Sem ela, a resposta fica incompleta.

Exemplo 8 Uma vertical num ponto de junção — e só de um lado

Determinar as assíntotas verticais do gráfico de f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+3}{x-1} & \text{se } x < 1\\[10pt] 2+\ln x & \text{se } x \geq 1\end{cases}
  1. Candidatos. Em cada ramo, f é contínua: à esquerda de 1 é um quociente de polinómios cujo denominador só se anula em 1, que não pertence a esse ramo; à direita é a soma de uma constante com \ln x, contínua em \mathbb{R}^{+}. O único candidato é o ponto de junção, x = 1.Repara em que 1 pertence ao domínio — f(1) = 2. É o segundo caso da lista do método: não é um ponto que falte ao domínio, é um ponto de descontinuidade.
  2. Limite à esquerda. Quando x \to 1^{-}, o numerador tende para 4 e o denominador para 0^{-}, porque x < 1: \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x+3}{x-1} = \frac{4}{0^{-}} = -\infty.
  3. Limite à direita. O ramo é contínuo em 1: \lim_{x \to 1^{+}}\left(2+\ln x\right) = 2+\ln 1 = 2. É um número real — deste lado a curva não foge para lado nenhum.
  4. Conclusão. A definição pede pelo menos um limite lateral infinito, e há um: a reta x = 1 é assíntota vertical ao gráfico de f. Como f é contínua no resto do domínio, não há mais nenhuma.Uma assíntota vertical não obriga o gráfico a fugir dos dois lados. Aqui foge só à esquerda, e à direita arranca calmamente de (1,\,2) — que é um ponto do gráfico, e não um ponto aberto.
Respostax = 1, com \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = -\infty e \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) = 2
x y −4 −2 2 4 6 8 −6 −4 −2 2 4 x = 1 y = 1 f f
Os dois ramos de f. À esquerda de 1 a curva mergulha; à direita começa em (1,\,2) e sobe devagar. A reta x = 1 é assíntota de um lado só.

2 · Assíntotas não verticais

Uma reta não vertical tem equação y = mx+b. Dizer que ela é assíntota ao gráfico de f em +\infty é dizer que a diferença vertical entre a curva e a reta se desvanece:

\lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-(mx+b)\right] = 0.

Dessa igualdade saem, por esta ordem, os dois números:

Como se calcula m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x}, \qquad b = \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-mx\right].

Se ambos forem números reais, a reta y = mx+b é assíntota. Se algum deles for infinito ou não existir, não há assíntota não vertical nesse sentido.

Quando m = 0, a assíntota diz-se horizontal e reduz-se a b = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x).

Tudo isto se repete, palavra por palavra, com x \to -\infty. E os dois estudos são independentes: pode haver assíntota de um lado e não do outro, ou retas diferentes de cada lado.

Em cada sentido do infinito há exatamente três possibilidades: o gráfico tem uma assíntota horizontal, ou tem uma assíntota oblíqua, ou não tem assíntota nenhuma. Nunca duas.

Partimos da definição e dividimos tudo por x, que tende para +\infty:

\lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-(mx+b)\right] = 0 \iff \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)-mx-b}{x} = 0

porque dividir por uma quantidade que tende para infinito não altera o facto de o limite ser zero. Separando as parcelas:

\lim_{x \to +\infty}\left[\frac{f(x)}{x} - m - \frac{b}{x}\right] = 0 \iff \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} - m - 0 = 0 \iff \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = m.

Conhecido m, volta-se à definição:

\lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-mx-b\right] = 0 \iff \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-mx\right] = b.

É por isso que os dois limites se calculam nesta ordem: o segundo precisa do valor do primeiro. E é por isso que ambos têm de ser finitos — se o primeiro não for, o segundo nem sequer se pode escrever.

x y −2 2 −2 2

vertical

x y −2 2 −2 2

horizontal

x y −2 2 −2 2

oblíqua

Os três tipos. A vertical vem de um limite infinito num ponto — e procura-se nos pontos que faltam ao domínio. As não verticais vêm dos limites em \pm\infty: a horizontal é o caso particular m = 0 da oblíqua. Em cada sentido do infinito há no máximo uma; verticais pode haver muitas.
Exemplo 9 Uma oblíqua nos dois sentidos

Determinar as assíntotas do gráfico de f(x) = \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}+1}.

  1. Verticais. O denominador x^{2}+1 nunca se anula: D_{f} = \mathbb{R} e não há assíntotas verticais.
  2. Declive. Forma \frac{\infty}{\infty}: m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3}-1}{x^{3}+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{3}}{x^{3}} = 1.
  3. Ordenada na origem. Forma \infty-\infty; reduzindo ao mesmo denominador:

    Cálculo auxiliar: x^{3}-1-x\left(x^{2}+1\right) = -x-1.

    b = \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-x\right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x-1}{x^{2}+1} = 0, porque o grau do denominador é maior.
  4. A assíntota é y = x. Os dois limites dão o mesmo em -\infty, portanto a mesma reta serve dos dois lados.É o primeiro dos três exemplos que as Aprendizagens Essenciais dão como referência de dificuldade para este tema.
Respostay = x, em -\infty e em +\infty
x y −4 −2 2 4 −4 −2 2 4 y = x y = (x³ − 1)/(x² + 1)
A assíntota oblíqua de f(x) = \dfrac{x^{3}-1}{x^{2}+1}. Longe da origem, a curva e a reta y = x tornam-se indistinguíveis — a diferença entre elas tende para zero nos dois sentidos. Perto da origem não se parecem nada: a assíntota é uma afirmação sobre o infinito, não sobre a vizinhança.
Exemplo 10 Quando o declive existe mas a reta não

Mostrar que o gráfico de h(x) = x + \ln x, de domínio \mathbb{R}^{+}, não tem assíntota oblíqua.

  1. Forma \frac{\infty}{\infty}. O declive existe: m = \lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{\ln x}{x}\right) = 1+0 = 1.
  2. Mas o segundo limite não é finito: \lim_{x \to +\infty}\left[h(x)-x\right] \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.
  3. Falta uma das duas condições, logo não há assíntota.
  4. A leitura geométrica vale a pena: a curva vai ficando paralela à reta y = x — a diferença de declives tende para zero — e ao mesmo tempo vai-se afastando dela sem limite. Ter a mesma direção não é acompanhar.
RespostaNão há: m = 1 mas b não é finito

Laboratório · Perseguir a assíntota

interativo

A leitura mostra a distância vertical entre a curva e a reta na ponta da janela. Nos dois primeiros casos ela encolhe para zero. Em x+\ln x o declive estabiliza em 1 e a distância cresce — é a diferença entre ter a direção e ser assíntota.

Python Descobrir a assíntota por medição 
from math import log, exp

def f(x):
    return (x**3 - 1) / (x**2 + 1)

print('     x         f(x)/x        f(x) - m x')
m = None
for k in range(1, 8):
    x = 10.0**k
    dec = f(x) / x
    if m is None or k >= 5:
        m = round(dec, 6)
    print('%9.0e  %12.8f  %14.8f' % (x, dec, f(x) - m*x))

print('assintota provavel : y =', m, 'x +', round(f(1e7) - m*1e7, 6))

Troca f por x+\ln x e repara: a primeira coluna estabiliza em 1, mas a segunda continua a subir. É o exemplo 34, visto por medição.

Exercícios propostos

Quinze exercícios sobre assíntotas. Faz sempre a mesma varrida: pontos que faltam ao domínio, depois -\infty, depois +\infty — e nunca partas do princípio de que os dois infinitos dão o mesmo.

Exercício 41§04 · assíntotas verticais

Determina as equações das assíntotas verticais ao gráfico de cada uma das funções seguintes.

a) f(x) = \dfrac{2x+1}{x-3}b) g(x) = \dfrac{x}{x^{2}-4}c) h(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1}d) j(x) = \ln(x-2)

Exercício 42§04 · assíntotas horizontais

Determina as equações das assíntotas horizontais ao gráfico de cada função, indicando em que sentido do infinito existem.

a) f(x) = \dfrac{3x-1}{x+2}b) g(x) = \dfrac{5}{x^{2}+1}c) h(x) = 2 + e^{-x}d) j(x) = \dfrac{x^{2}}{x+1}

Exercício 43§04 · ler no gráfico

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio \mathbb{R}\setminus\{2\}, e duas retas a tracejado.

x y −2 2 4 6 −2 1 3 5 y = 1 x = 2

a) Escreve as equações das assíntotas do gráfico de f.b) Indica, para cada uma, o limite que a justifica.

Exercício 44§04 · a primeira oblíqua

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}\setminus\{-1\}, definida por f(x) = \dfrac{x^{2}}{x+1}.

a) Determina m = \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}.b) Determina b = \lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x)-mx\right].c) Escreve a equação da assíntota oblíqua e verifica que serve também em -\infty.

Exercício 45§04 · uma vertical e uma horizontal

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por

f(x) = \frac{\ln x - 6x^{2}}{x^{2}}.

Estuda a função f quanto à existência de assíntotas verticais e horizontais ao seu gráfico e, caso existam, escreve as respetivas equações.

Exercício 46§04 · comportamentos diferentes em cada ponta

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}\setminus\{-1\}, definida por g(x) = \dfrac{e^{x}}{x+1}.

Estuda o gráfico de g quanto à existência de assíntotas e escreve as equações das que existirem.

Exercício 47§04 · o declive existe, a ordenada não

Considera a função h, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por h(x) = x + \ln x.

a) Mostra que \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{x} = 1.b) Mostra que \lim\limits_{x \to +\infty}\left[h(x)-x\right] = +\infty.c) O que podes concluir quanto à existência de assíntota oblíqua?

Exercício 48§04 · função definida por ramos

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{2x^{2}+1}{x} & \text{se } x < 0\\[8pt] 3 - e^{-x} & \text{se } x > 0\end{cases}

Estuda o gráfico de f quanto à existência de assíntotas.

Exercício 49§04 · a assíntota como patamar

Numa cultura de bactérias, o número de indivíduos, em milhares, t horas depois do início da observação, é dado por

N(t) = \frac{40t+5}{t+2}, \quad t \geq 0.

a) Determina a assíntota horizontal ao gráfico de N.b) Interpreta o seu significado no contexto.c) Ao fim de quanto tempo a população atinge 99\% desse valor?

Exercício 50§04 · a assíntota lida num limite

Seja h uma função de domínio \left]-\infty,\,2\right], tal que

\lim_{x \to -\infty}\left[h(x)+2x-3\right] = 0.

O gráfico de h tem uma assíntota não vertical. Indica uma equação dessa assíntota, justificando.

Exercício 51§04 · deduzir limites da assíntota

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}^{+}. Sabe-se que a reta de equação y = x-1 é assíntota ao gráfico de f.

Indica o valor de cada um dos limites seguintes, justificando.

a) \lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x)-x+1\right]b) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}c) \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{f(x)}

Exercício 52§04 · do gráfico de f para o de 1/f

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por f(x) = \dfrac{1}{x}+2, e seja g = \dfrac{1}{f}.

a) Determina as equações das assíntotas do gráfico de f.b) Mostra que g(x) = \dfrac{x}{2x+1} e determina as equações das assíntotas do gráfico de g.c) Explica por que razão a assíntota vertical do gráfico de f não dá assíntota vertical ao gráfico de g — e diz o que teria de acontecer a f para que g tivesse uma.

Exercício 53§04 · com parâmetro

Considera, para cada número real k, a função f_{k} definida em \mathbb{R}\setminus\{1\} por

f_{k}(x) = \frac{kx^{2}+x-2}{x-1}.

a) Mostra que, para k \neq 0, o gráfico de f_{k} tem assíntota oblíqua e determina a sua equação em função de k.b) Determina k de modo que a assíntota oblíqua passe no ponto (0,\,3).c) Existe algum k para o qual o gráfico não tenha assíntota vertical? Justifica.

Exercício 54§04 · uma oblíqua com logaritmo

Seja f a função, de domínio \left]-1,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = x^{2}e^{-x} + \ln\left(e^{x+1}-1\right).

O gráfico de f tem uma assíntota oblíqua quando x tende para +\infty, de equação y = x+b, com b \in \mathbb{R}. Determina o valor de b.

Exercício 55§04 · escrever a justificação

De uma função g, de domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}, sabe-se que:

a reta de equação y = 2x é assíntota ao gráfico de g quando x \to -\infty e quando x \to +\infty;g é ímpar.

Considera a função q, definida em \mathbb{R}\setminus\{0\} por q(x) = \dfrac{g(x)}{x}.

Elabora uma composição em que justifiques que o gráfico de q tem assíntota horizontal y = 2 e que q é uma função par.

Procura só nos pontos que faltam ao domínio — e confirma sempre com o limite. Nem todo o ponto que falta dá assíntota.

  1. a) D_{f} = \mathbb{R}\setminus\{3\}. Em 3 o numerador vale 7 \neq 0 e o denominador tende para 0: \lim_{x \to 3^{-}} \frac{2x+1}{x-3} = \frac{7}{0^{-}} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 3^{+}} \frac{2x+1}{x-3} = \frac{7}{0^{+}} = +\infty. A reta x = 3 é assíntota vertical ao gráfico de f. Como f é racional e, portanto, contínua no seu domínio, o gráfico não admite mais assíntotas verticais.
  2. b) D_{g} = \mathbb{R}\setminus\{-2,\,2\} e em nenhum deles o numerador se anula, logo os limites laterais são infinitos. As retas x = -2 e x = 2 são assíntotas verticais ao gráfico de g; sendo g racional, não há mais.
  3. c) D = \mathbb{R}\setminus\{1\}, mas h(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1 para x \neq 1, e o limite em 1 é 2, finito. Não há assíntota vertical — há um buraco.
  4. d) D = \left]2,\,+\infty\right[ e \lim\limits_{x \to 2^{+}} \ln(x-2) = -\infty. Assíntota: x = 2.A alínea c) é a armadilha clássica: um ponto fora do domínio não é, por si só, uma assíntota. É preciso o limite ser infinito.
Respostasa) x = 3 · b) x = -2 e x = 2 · c) não tem · d) x = 2

Uma assíntota horizontal é um limite finito em +\infty ou em -\infty. Estuda os dois sentidos separadamente: podem dar respostas diferentes.

  1. a) Graus iguais: \lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = 3. Assíntota y = 3, nos dois sentidos.
  2. b) \lim\limits_{x \to \pm\infty} g(x) = 0. Assíntota y = 0, nos dois sentidos.
  3. c) \lim_{x \to +\infty}\left(2+e^{-x}\right) = 2+0 = 2, logo há assíntota horizontal y = 2 quando x \to +\infty. Já \lim_{x \to -\infty}\left(2+e^{-x}\right) = 2 + (+\infty) = +\infty, pelo que não há assíntota horizontal em -\infty.
  4. d) O grau do numerador é maior: o limite é \pm\infty. Não há assíntota horizontal (mas há oblíqua, como se verá).
Respostasa) y = 3 · b) y = 0 · c) y = 2 só em +\infty · d) não tem

Uma assíntota vertical corresponde a um limite lateral infinito; uma horizontal, a um limite finito no infinito.

  1. a) x = 2 (vertical) e y = 1 (horizontal).
  2. b) A vertical justifica-se por \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = +\infty (e \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty); basta um dos dois ser infinito.
  3. A horizontal justifica-se por \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1.
Respostasa) x = 2 e y = 1 · b) limites laterais infinitos em 2; limite 1 em \pm\infty

São sempre dois limites, por esta ordem: primeiro o declive, depois a ordenada na origem. O segundo usa o valor do primeiro.

  1. a) Forma \frac{\infty}{\infty}. m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{x(x+1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x+1} = 1.
  2. b) Forma \infty-\infty. Reduzindo ao mesmo denominador: b = \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-x\right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}-x(x+1)}{x+1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-x}{x+1} = -1.
  3. c) A assíntota é y = x-1. Os dois limites dão o mesmo resultado quando x \to -\infty, logo a mesma reta serve nos dois sentidos.
Respostay = x-1, nos dois sentidos

Separa a fração em duas parcelas: uma delas é um limite notável. Para a vertical, o único candidato é x = 0, a fronteira do domínio.

  1. Escrevendo f(x) = \dfrac{\ln x}{x^{2}} - 6.
  2. Vertical. Sendo D_{f} = \mathbb{R}^{+}, o único candidato é a fronteira x = 0 — e só pela direita: \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}}\left(\frac{\ln x}{x^{2}} - 6\right) = \frac{-\infty}{0^{+}} - 6 = -\infty. A reta x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de f. Como f é o quociente de funções contínuas em \mathbb{R}^{+} com denominador não nulo, é contínua no seu domínio e o gráfico não admite mais assíntotas verticais.
  3. Horizontal. Pelo limite notável \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x^{p}} = 0 (com p = 2): \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0 - 6 = -6.
  4. Há assíntota horizontal y = -6 quando x \to +\infty. Como o domínio é \mathbb{R}^{+}, não há nada a estudar em -\infty.
Respostasvertical x = 0 · horizontal y = -6

Faz os dois sentidos do infinito em separado — e não te esqueças do ponto que falta ao domínio.

  1. Vertical. D_{g} = \mathbb{R}\setminus\{-1\}. Em x = -1 o numerador tende para e^{-1} \neq 0 e o denominador para 0: \lim_{x \to -1^{-}} \frac{e^{x}}{x+1} = \frac{e^{-1}}{0^{-}} = -\infty, \qquad \lim_{x \to -1^{+}} \frac{e^{x}}{x+1} = \frac{e^{-1}}{0^{+}} = +\infty. A reta x = -1 é assíntota vertical ao gráfico de g. Sendo g o quociente de funções contínuas, é contínua no seu domínio e não há mais assíntotas verticais.
  2. Em -\infty. e^{x} \to 0 e x+1 \to -\infty, logo g(x) \to 0. Assíntota horizontal y = 0.
  3. Em +\infty. Forma \frac{\infty}{\infty}; pela hierarquia das magnitudes, a exponencial esmaga a potência: \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x(x+1)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}+x} = +\infty. Como m não é finito, não há assíntota não vertical em +\infty.
  4. Em resumo: x = -1 e y = 0 (só em -\infty).O gráfico cola-se ao eixo Ox à esquerda e dispara sem reta que o acompanhe à direita. As duas pontas não têm de se parecer.
Respostasx = -1 · y = 0 quando x \to -\infty

São precisas as duas condições. Ter declive não chega.

  1. a) Forma \frac{\infty}{\infty}. Separando as parcelas e usando o limite notável \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} = 0: \lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{x} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{x+\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left(1 + \frac{\ln x}{x}\right) = 1+0 = 1.
  2. b) \lim_{x \to +\infty}\left[h(x)-x\right] = \lim_{x \to +\infty}\left(x+\ln x - x\right) = \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty.
  3. c) O declive existe e vale 1, mas a segunda condição falha: b não é finito. Logo não há assíntota oblíqua.
  4. Geometricamente: a curva sobe com declive cada vez mais parecido com 1, mas afasta-se indefinidamente da reta y = x. Aproximar-se em direção não é aproximar-se em distância.É o contraexemplo que mostra por que razão a definição pede os dois limites. É também o exemplo h(x) = x + \ln x que as Aprendizagens Essenciais dão como referência de dificuldade.
RespostaNão há: m = 1 mas b = +\infty

Cada ramo tem o seu infinito. Em 0, estuda os dois lados: podem dar coisas diferentes.

  1. Em -\infty. Forma \frac{\infty}{\infty} no primeiro limite: m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{2}+1}{x^{2}} = 2, b = \lim_{x \to -\infty}\left[f(x)-2x\right] = \lim_{x \to -\infty} \frac{2x^{2}+1-2x^{2}}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{1}{x} = 0. Assíntota oblíqua y = 2x.
  2. Em +\infty. e^{-x} \to 0, logo f(x) \to 3. Assíntota horizontal y = 3.
  3. Em 0. Calculam-se os dois limites laterais: \lim_{x \to 0^{-}} \frac{2x^{2}+1}{x} = \frac{1}{0^{-}} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^{+}}\left(3-e^{-x}\right) = 3-1 = 2. Basta um deles ser infinito: a reta x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de f. Em cada um dos ramos f é contínua — quociente de polinomiais com denominador não nulo, e diferença de contínuas — logo não há mais assíntotas verticais.
Respostasx = 0 · y = 2x em -\infty · y = 3 em +\infty

Em c), escreve a condição N(t) = 0{,}99 \times L e resolve em ordem a t.

  1. a) Graus iguais: \lim\limits_{t \to +\infty} N(t) = 40. Assíntota y = 40.
  2. b) A população tende para 40 mil indivíduos sem nunca lá chegar: é a capacidade de carga do meio.
  3. c) \dfrac{40t+5}{t+2} = 39{,}6 \iff 40t+5 = 39{,}6t + 79{,}2 \iff 0{,}4t = 74{,}2 \iff t = 185{,}5.
  4. Cerca de 185{,}5 horas, ou seja, pouco mais de 7 dias e meio.
Respostasa) y = 40 · b) capacidade de carga · c) \approx 185{,}5 h

Compara a expressão dada com a definição \lim\left[f(x)-(mx+b)\right] = 0. Basta arrumar os sinais.

  1. Escrevendo a condição dada na forma da definição: \lim_{x \to -\infty}\left[h(x)+2x-3\right] = 0 \iff \lim_{x \to -\infty}\left[h(x)-(-2x+3)\right] = 0.
  2. Logo, por definição de assíntota não vertical, a reta de equação y = -2x+3 é assíntota ao gráfico de h quando x \to -\infty.
  3. Como m = -2 \neq 0, trata-se de uma assíntota oblíqua.Não foi preciso calcular m nem b por limites: a definição estava lá, disfarçada de sinais trocados. Vale sempre a pena tentar reconhecê-la antes de aplicar as fórmulas.
Respostay = -2x+3, oblíqua, quando x \to -\infty

Escreve a definição com m = 1 e b = -1. As três respostas saem dela e das fórmulas de m e de b.

  1. a) Por definição de assíntota, \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-(x-1)\right] = 0, \quad \text{isto é,} \quad \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-x+1\right] = 0.
  2. b) O declive da assíntota é m = 1, e m = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}. Logo o limite é 1.
  3. c) De a) conclui-se que f(x) se aproxima de x-1, que tende para +\infty; logo \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty e \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{+\infty} = 0.
Respostasa) 0 · b) 1 · c) 0

Em b), reduz \dfrac{1}{x}+2 ao mesmo denominador antes de inverter. Em c), pensa no que dá \dfrac{1}{+\infty} e no que dá \dfrac{1}{0}.

  1. a) Vertical. O extremo finito do domínio é 0, e \lim_{x \to 0^{+}}\left[\frac{1}{x}+2\right] = +\infty+2 = +\infty, logo x = 0 é assíntota vertical.
  2. Horizontal. \lim\limits_{x \to +\infty}\left[\dfrac{1}{x}+2\right] = 0+2 = 2, logo y = 2 é assíntota horizontal.
  3. b) A expressão. Reduzindo ao mesmo denominador, f(x) = \dfrac{1+2x}{x}, e portanto g(x) = \frac{1}{f(x)} = \frac{x}{2x+1}.
  4. Assíntotas de g. Em \mathbb{R}^{+} tem-se 2x+1 > 1 > 0: o denominador nunca se anula, e \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{2x+1} = \frac{0}{1} = 0, um valor finito. Não há assíntota vertical.
  5. E \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{2x+1} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{2x} = \dfrac{1}{2}, logo y = \dfrac{1}{2} é assíntota horizontal.
  6. c) Porquê. Onde f tende para +\infty, o inverso tende para \dfrac{1}{+\infty} = 0: a assíntota vertical de f transforma-se num zero de g, não numa assíntota.
  7. Para g ter assíntota vertical seria preciso \dfrac{1}{0}, ou seja, um ponto onde f se anulasse. Ora f(x) = \dfrac{1}{x}+2 > 2 em todo o domínio: f não tem zeros.Inverter troca os papéis: zeros de f ↔ assíntotas verticais de \frac{1}{f}, e assíntotas verticais de f ↔ zeros de \frac{1}{f}. Vários itens de Exame vivem só desta troca.
Respostasa) x = 0 e y = 2 · b) y = \frac{1}{2}, sem verticais · c) porque \frac{1}{+\infty} = 0; seria preciso que f tivesse um zero

Em c), lembra-te do exercício 1: a assíntota vertical só falha se o numerador também se anular no ponto.

  1. a) Forma \frac{\infty}{\infty}: m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f_{k}(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{kx^{2}+x-2}{x^{2}-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{kx^{2}}{x^{2}} = k.

    Cálculo auxiliar: kx^{2}+x-2-kx(x-1) = (k+1)x-2.

    b = \lim_{x \to +\infty}\left[f_{k}(x)-kx\right] = \lim_{x \to +\infty} \frac{(k+1)x-2}{x-1} = k+1. A assíntota é y = kx + k + 1.
  2. b) Passar em (0,\,3) dá k+1 = 3, ou seja, k = 2.
  3. c) Sim. Não há assíntota vertical em 1 quando o numerador também se anula aí: k+1-2 = 0 \iff k = 1. Nesse caso f_{1}(x) = \frac{x^{2}+x-2}{x-1} = \frac{(x-1)(x+2)}{x-1} = x+2 \quad (x \neq 1), e o limite em 1 é 3, finito. Há um buraco, não uma assíntota.
Respostasa) y = kx+k+1 · b) k = 2 · c) k = 1

Põe e^{x+1} em evidência dentro do logaritmo. Depois, b = \lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x)-x\right].

  1. Dentro do logaritmo, pondo e^{x+1} em evidência: \ln\left(e^{x+1}-1\right) = \ln\left[e^{x+1}\left(1-e^{-(x+1)}\right)\right] = x+1+\ln\left(1-e^{-(x+1)}\right).
  2. Logo f(x)-x = x^{2}e^{-x} + 1 + \ln\left(1-e^{-(x+1)}\right).
  3. Passando ao limite parcela a parcela, com \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x^{2}}{e^{x}} = 0 (hierarquia das magnitudes) e \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-(x+1)} = 0: b = \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-x\right] = \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{x^{2}}{e^{x}} + 1 + \ln\left(1-e^{-(x+1)}\right)\right] = 0 + 1 + \ln 1 = 1.
  4. Logo a assíntota é y = x+1.
Respostab = 1

A primeira parte é a definição de declive da assíntota. Para a segunda, calcula q(-x) usando g(-x) = -g(x).

  1. A assíntota horizontal. Dizer que y = 2x é assíntota ao gráfico de g quando x \to +\infty implica, em particular, que o declive é \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 2. Ora esse limite é exatamente \lim\limits_{x \to +\infty} q(x). Logo o gráfico de q tem assíntota horizontal y = 2 em +\infty. O mesmo argumento em -\infty dá a mesma reta.
  2. A paridade. O domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} é simétrico. Para qualquer x do domínio, q(-x) = \frac{g(-x)}{-x} = \frac{-g(x)}{-x} = \frac{g(x)}{x} = q(x), usando que g é ímpar. Logo q é par.
  3. Em consequência, o gráfico de q é simétrico em relação ao eixo Oy — e é por isso que a mesma assíntota horizontal serve nos dois sentidos.Repara em como a informação sobre g se converte em informação sobre q sem nunca se saber quem é g. É o modo de trabalhar dos itens de composição do Exame.
Resposta\lim\limits_{x \to \pm\infty} q(x) = 2 (declive da assíntota de g) e q(-x) = q(x)
05

Estudo de funções, com e sem calculadora

Chegámos com as ferramentas todas: domínio, limites, continuidade, assíntotas, primeira e segunda derivadas. Falta juntá-las num só guião — e perceber onde é que a máquina ajuda e onde é que ela engana. Porque engana, e o programa quer que se saiba porquê.

Aprendizagens Essenciais
  • Resolver problemas, envolvendo o estudo de funções, complementando o uso da tecnologia com o estudo analítico.
  • Compreender que as representações gráficas apresentadas pela tecnologia podem, por vezes, não corresponder com rigor ao gráfico da função em estudo.

1 · O guião do estudo completo

Por esta ordem, sempre

1. Domínio. Denominadores, argumentos de logaritmos, radicandos de índice par.2. Zeros e sinal. Onde a função vale zero e onde é positiva ou negativa.3. Assíntotas. Verticais nos pontos que faltam ao domínio e nas descontinuidades; não verticais em -\infty e em +\infty, separadamente.4. Monotonia e extremos. Sinal de f', no quadro.5. Concavidades e inflexões. Sinal de f'', noutro quadro.6. Esboço. Com o domínio respeitado e as assíntotas a tracejado.

As Aprendizagens Essenciais restringem este estudo a funções polinomiais, racionais, exponenciais e logarítmicas, e a operações entre estas. Não se pede o estudo de funções trigonométricas.

x y 1 2 3 4 5 6 −1 1 (e, 1/e) y = 0
O estudo completo de f(x) = \dfrac{\ln x}{x}: domínio \mathbb{R}^{+}, zero em 1, assíntota vertical x = 0, assíntota horizontal y = 0 em +\infty, máximo em \left(e,\,\frac{1}{e}\right). Cada uma destas características foi obtida analiticamente — o gráfico só as confirma.

2 · O que a calculadora faz — e o que não faz

Uma calculadora gráfica avalia a função num número finito de abcissas, uma por coluna de píxeis, e une os valores com segmentos. Daí vêm todas as suas virtudes e todos os seus enganos.

Quatro enganos previsíveis

A janela esconde. Um extremo de amplitude menor do que um píxel não aparece. Ver ao lado.O traço que não existe. Junto de uma assíntota vertical, a máquina une o último ponto de um ramo ao primeiro do outro, desenhando um segmento quase vertical que não pertence ao gráfico.O buraco invisível. Numa descontinuidade removível, o ponto que falta ocuparia menos de um píxel — e não se vê.O zero que não é zero. Um valor da ordem de 10^{-12} desenha-se em cima do eixo, e parece um zero.

x y −5 5 −500 500

janela [−10, 10] · parece x³

x y −0,2 0,2 −0,005 0,005

janela [−0,3 ; 0,3] · há dois extremos

A mesma função, f(x) = x^{3}-0{,}03x, em duas janelas. À esquerda a máquina mostra uma cúbica banal, sem extremos. À direita, aproximando, aparecem um máximo e um mínimo — que estavam lá desde sempre. A janela não é uma escolha inocente: é parte da resposta.

Nada disto é defeito da máquina: é a consequência de desenhar com um número finito de píxeis. A regra prática é simples — a tecnologia explora, o cálculo conclui. Quando as duas discordam, verifica-se a conta; se a conta estiver certa, é o desenho que não tem resolução.

3 · Como se responde a um item de resolução gráfica

O que tem de constar da resposta

as funções que se visualizaram, escritas: y_{1} = \ldots e y_{2} = \ldots;a reprodução do gráfico num referencial, com os eixos e as funções identificados;os pontos relevantes assinalados — interseções, extremos, zeros;a resposta com o arredondamento pedido e com as unidades do contexto.

Numa equação f(x) = g(x) há duas vias: representar y_{1} = f(x) e y_{2} = g(x) e procurar as interseções, ou representar y = f(x)-g(x) e procurar os zeros. As duas valem; a primeira costuma dar um desenho mais legível.

Exemplo 11 O estudo completo de f(x) = \frac{\ln x}{x}
  1. Domínio. O logaritmo exige x > 0, e o denominador não se anula aí: D_{f} = \mathbb{R}^{+}.
  2. Zeros e sinal. f(x) = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1. Como x > 0, o sinal é o de \ln x.
  3. Assíntota vertical. \lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{\ln x}{x} = \dfrac{-\infty}{0^{+}} = -\infty, logo x = 0. Sendo f contínua no seu domínio, não há mais.
  4. Assíntota horizontal. Pelo limite notável, \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0: a reta y = 0.
  5. Monotonia. f'(x) = \dfrac{1-\ln x}{x^{2}}, com zero em x = e: máximo \dfrac{1}{e}.
  6. Concavidade. f''(x) = \dfrac{2\ln x - 3}{x^{3}}, com zero em x = e^{3/2}: ponto de inflexão.Repare-se em quantas peças do capítulo entram num só estudo: domínio, limites notáveis (§02), assíntotas (§04), derivada do logaritmo e segunda derivada — estas duas últimas do capítulo Funções.
RespostaMáximo \left(e,\,\frac{1}{e}\right); assíntotas x = 0 e y = 0; P.I. em x = e^{3/2}
Exemplo 12 O guião aplicado a f(x) = x^{2}e^{-x}

Estuda a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = x^{2}e^{-x}, sem recorrer à calculadora, e esboça o seu gráfico.

  1. 1 · Domínio, zeros e sinal. D_{f} = \mathbb{R}. Como e^{-x} > 0, o sinal de f é o de x^{2}: f(x) \geq 0 sempre, com um único zero em x = 0.
  2. 2 · Assíntotas. Não há verticais — f é contínua em \mathbb{R}. Nos infinitos, \lim_{x \to -\infty} x^{2}e^{-x} = (+\infty) \times (+\infty) = +\infty, \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}}{e^{x}} = 0, pelo limite notável das magnitudes. Logo y = 0 é assíntota horizontal quando x \to +\infty; no outro ramo não há assíntota, porque \lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \lim\limits_{x \to -\infty} xe^{-x} = -\infty.
  3. 3 · Monotonia. Pela regra do produto, f'(x) = 2xe^{-x} - x^{2}e^{-x} = x(2-x)e^{-x}. Como e^{-x} > 0, o sinal é o de x(2-x):
    x-\infty02+\infty
    Sinal de f'−0+0−
    Variação de f↘0mín↗4e^{-2}máx↘
  4. Há um mínimo f(0) = 0 e um máximo f(2) = 4e^{-2} \approx 0{,}54.
  5. 4 · Concavidades. Derivando outra vez, f''(x) = (2-2x)e^{-x} - \left(2x-x^{2}\right)e^{-x} = \left(x^{2}-4x+2\right)e^{-x}. O trinómio tem zeros x = 2 \pm \sqrt{2} e muda de sinal em ambos: há dois pontos de inflexão, de abcissas 2-\sqrt{2} \approx 0{,}59 e 2+\sqrt{2} \approx 3{,}41.
  6. 5 · O esboço. Junta-se tudo: a curva desce de +\infty até tocar o eixo em 0, sobe até ao máximo em 2 e desce depois, colando-se ao eixo Ox.
    x y 1 2 3 4 5 6 7 8 1 máx y = 0
    O gráfico de f(x) = x^{2}e^{-x}. Os dois pontos cheios são o mínimo (0,\,0) e o máximo \left(2,\,4e^{-2}\right); os dois pontos vazados são as inflexões, em 2 \pm \sqrt{2}. Tudo isto se obteve sem calculadora.
RespostaMínimo 0 em x = 0, máximo 4e^{-2} em x = 2, assíntota y = 0 em +\infty, inflexões em 2 \pm \sqrt{2}

Laboratório · A janela que engana

interativo

Aperta a janela e vê aparecer o que estava escondido. Liga «unir os pontos» em 1/(x-2) e repara no traço vertical que a máquina inventa — e que não é o gráfico.

Python Quantos zeros tem mesmo? 
from math import exp

def f(x):
    return exp(-x*x) * (x*x - 0.0001)

def conta_zeros(a, b, n):
    zeros = 0
    x0, y0 = a, f(a)
    for k in range(1, n + 1):
        x1 = a + (b - a) * k / n
        y1 = f(x1)
        if (y0 < 0) != (y1 < 0):
            zeros += 1
        x0, y0 = x1, y1
    return zeros

for n in (50, 200, 1000, 100000):
    print('%7d pontos -> %d zeros' % (n, conta_zeros(-3, 3, n)))

Com 50 pontos encontra zero zeros; só com dezenas de milhares aparecem os dois. Uma calculadora gráfica tem menos de 400 colunas de píxeis — está no primeiro caso.

NumWorks Resolver uma equação graficamente — e contar as interseções

  1. Tecla casa, aplicação Funções, separador Expressões. Escreve as duas funções da equação e^{-x} = x^{2}-1: f(x) = e^{-x} e g(x) = x^{2}-1.

    A exponencial tem tecla própria; o x vem de x,n,t e o quadrado de x². A máquina classifica cada linha — «Função exponencial», «Função polinomial» — e é a primeira confirmação de que escreveste o que querias.

    Separador Expressões da NumWorks com f(x) igual a e elevado a menos x e g(x) igual a x ao quadrado menos 1
    Uma função em cada linha, como no enunciado: y_{1} e y_{2}.

  2. Separador Gráfico. Desta vez a janela automática serve: mostra as duas curvas e toda a zona onde se poderiam encontrar.

    Nem sempre serve — no capítulo anterior há uma janela automática que esconde precisamente o que interessa. A pergunta a fazer é sempre a mesma: este desenho mostra tudo o que preciso de ver?

    Gráfico da NumWorks com a exponencial decrescente e a parábola, na janela automática de menos 4 a 4
    Janela automática. É este desenho que se reproduz na folha de prova, com os eixos e as funções identificados.

  3. Sobe ao painel de cima e escolhe Cálculo. A máquina pergunta primeiro sobre que função queres trabalhar — escolhe f(x) — e segue depois por Encontrar.

    No mesmo menu estão Zeros, Máximo e Mínimo. É por aí que se faz a outra via: representar y = f(x)-g(x) e pedir os zeros.

    Menu Encontrar da NumWorks com Ponto de interseção assinalado, entre Imagem inversa e Máximo
    O menu Encontrar, com Ponto de interseção.

  4. A máquina assinala o ponto e escreve a abcissa em baixo: x = 1{,}147758. Arredondando às centésimas, x \approx 1{,}15. E não há mais nenhum.

    Era de esperar dois, um de cada lado, como quando uma reta corta uma parábola? À esquerda de -1 a exponencial dispara e a parábola sobe devagar: nunca se encontram. Contar as interseções faz parte da resposta — e é a máquina que resolve a dúvida, desde que a janela mostre os dois lados.

    Ecrã da NumWorks com o ponto de interseção assinalado e a abcissa 1,147758 no rodapé
    Um só ponto de interseção: x = 1{,}147758.

Exercícios propostos

Doze exercícios de estudo de funções. Em todos, o estudo analítico decide — a calculadora serve para explorar, para confirmar e para os itens que pedem expressamente resolução gráfica.

Exercício 56§05 · o guião do estudo completo

Considera a função f definida por f(x) = \dfrac{x}{x^{2}+1}.

a) Determina o domínio e os zeros.b) Estuda o sinal de f.c) Determina as assíntotas do gráfico.d) Estuda a monotonia e determina os extremos.

Exercício 57§05 · resolver graficamente, como no Exame

Recorrendo à calculadora gráfica, determina as soluções da equação e^{-x} = x^{2}-1, com aproximação às centésimas.

Na tua resposta deves:

reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados;assinalar os pontos relevantes para responder à questão.

Exercício 58§05 · a janela esconde

Considera f(x) = x^{3}-0{,}03x.

a) Na janela \left[-10,\,10\right] \times \left[-1000,\,1000\right], quantos extremos parece ter o gráfico?b) Determina analiticamente os extremos de f.c) Que janela terias de escolher para os ver?

Exercício 59§05 · o traço que não existe

Ao representar f(x) = \dfrac{1}{x-2}, muitas calculadoras desenham um traço quase vertical em x = 2, unindo os dois ramos.

a) Explica por que razão esse traço não faz parte do gráfico.b) Que objeto matemático é que ele se parece a imitar?

Exercício 60§05 · estudo completo com exponencial

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = \left(x^{2}-3\right)e^{-x}.

a) Determina os zeros e estuda o sinal.b) Determina as assíntotas do gráfico.c) Estuda a monotonia e determina os extremos.

Exercício 61§05 · estudo completo com logaritmo

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por f(x) = \dfrac{\ln x}{x}.

a) Determina o zero e estuda o sinal.b) Determina as assíntotas do gráfico.c) Estuda a monotonia e determina o extremo.d) Determina o sentido das concavidades.

Exercício 62§05 · quando o valor da máquina engana

Considera g(x) = \dfrac{x^{2}-4}{x-2}.

a) Determina o domínio de g.b) Na calculadora, o gráfico parece ser uma reta. Que reta, e porquê?c) O que é que o desenho não mostra?

Exercício 63§05 · quantas soluções tem a equação?

Considera a equação \ln x = \dfrac{x}{4}, em \mathbb{R}^{+}.

a) Recorrendo à calculadora gráfica, determina o número de soluções e os seus valores aproximados às centésimas.b) Justifica analiticamente que não há mais soluções do que as encontradas.

Exercício 64§05 · modelo com leitura gráfica

A altura, em metros, de uma planta t meses após a plantação é dada por

h(t) = \frac{3}{1+8e^{-0{,}5t}}, \quad t \geq 0.

a) Determina a altura na plantação e a altura limite.b) Recorrendo à calculadora, determina, às décimas, ao fim de quanto tempo a planta atinge 2 m.c) Justifica que a altura nunca chega a 3 m.

Exercício 65§05 · estudo completo, item de Exame

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}, definida por f(x) = x + \dfrac{4}{x^{2}}.

a) Determina as assíntotas do gráfico.b) Estuda a monotonia e determina os extremos.c) Determina o sentido das concavidades.d) Esboça o gráfico, respeitando o domínio.

Exercício 66§05 · analítico contra gráfico

Considera f(x) = e^{-x^{2}}\left(x^{2}-0{,}0001\right), de domínio \mathbb{R}.

a) Determina os zeros de f.b) Numa janela \left[-3,\,3\right] \times \left[-1,\,1\right], quantos zeros parece ter o gráfico?c) Explica a diferença e diz qual das duas respostas é a correta.

Exercício 67§05 · com parâmetro e leitura gráfica

Considera, para cada k \in \mathbb{R}, a função f_{k} definida em \mathbb{R} por f_{k}(x) = e^{x}-kx.

a) Mostra que, para k > 0, f_{k} tem um mínimo, e determina-o em função de k.b) Determina os valores de k para os quais a equação e^{x} = kx tem exatamente duas soluções.c) Confirma a resposta de b) com a calculadora, para k = 5.

Segue sempre a mesma ordem: domínio, zeros, sinal, assíntotas, monotonia. Cada passo usa o anterior.

  1. a) O denominador x^{2}+1 nunca se anula, logo D_{f} = \mathbb{R}. Os zeros vêm de x = 0: um só zero, em x = 0.
  2. b) O denominador é sempre positivo, logo o sinal de f é o de x: negativa em \mathbb{R}^{-}, positiva em \mathbb{R}^{+}.
  3. c) Não há assíntotas verticais: D_{f} = \mathbb{R} e f é racional, logo contínua em todo o domínio. Quanto às não verticais, \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^{2}+1} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{x^{2}} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1}{x} = 0. Assíntota horizontal y = 0, nos dois sentidos.
  4. d) f'(x) = \dfrac{\left(x^{2}+1\right)-x \times 2x}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} = \dfrac{1-x^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}}. O denominador é positivo, logo o sinal é o de 1-x^{2}.
    x-\infty-11+\infty
    Sinal de f'−0+0−
    Variação de f↘-\frac{1}{2}mín↗\frac{1}{2}máx↘
  5. Mínimo -\frac{1}{2} em x = -1 e máximo \frac{1}{2} em x = 1.
Respostasa) \mathbb{R}, zero em 0 · c) y = 0 · d) mín. -\frac{1}{2} em -1, máx. \frac{1}{2} em 1

Duas funções, dois gráficos, e as soluções são as abcissas dos pontos de interseção. Escolhe uma janela onde se veja o que interessa — e conta bem quantas interseções há.

  1. Consideram-se y_{1} = e^{-x} e y_{2} = x^{2}-1, e procuram-se as abcissas dos pontos de interseção.
  2. Numa janela \left[-3,\,3\right] \times \left[-2,\,6\right] vê-se um só ponto de interseção. À esquerda de -1 não há nenhum: a parábola sobe devagar e a exponencial dispara, e a exponencial fica sempre por cima. Entre -1 e 1 também não: a parábola é negativa e a exponencial é positiva.
  3. Usando a função de interseção da calculadora, a abcissa é x \approx 1{,}15.
    Ecrã da calculadora NumWorks com o único ponto de interseção de y igual a e elevado a menos x com y igual a x ao quadrado menos 1
    Um só ponto de interseção, em x = 1{,}147758. À esquerda, as duas curvas afastam-se em vez de se cruzarem.
  4. A solução é x \approx 1{,}15.Numa resposta de Exame, o desenho dos gráficos identificados e o ponto assinalado valem cotação — não é decoração. E vale a pena contar as interseções em vez de as supor: quem espere duas, uma de cada lado, como quando uma reta corta uma parábola, responde a mais.
Respostax \approx 1{,}15 (única solução)

Faz as contas primeiro e só depois olha para o desenho — é essa a ordem que a máquina não impõe, mas que resolve o problema.

  1. a) Nenhum: nessa janela o gráfico parece uma cúbica estritamente crescente.
  2. b) f'(x) = 3x^{2}-0{,}03, que se anula quando x^{2} = 0{,}01, ou seja x = \pm 0{,}1.
  3. Há um máximo em x = -0{,}1, de valor f(-0{,}1) = -0{,}001+0{,}003 = 0{,}002, e um mínimo em x = 0{,}1, de valor -0{,}002.
  4. c) Uma janela da ordem de \left[-0{,}3,\,0{,}3\right] \times \left[-0{,}005,\,0{,}005\right]. Na janela inicial, os extremos distam 0{,}004 em ordenada — menos de um pixel.A máquina não mentiu: desenhou o que cabia. Foi a escolha da janela que escondeu a informação — e a janela é nossa.
Respostasa) nenhum · b) máx. em -0{,}1, mín. em 0{,}1 · c) uma janela muito mais apertada

A máquina calcula pontos e une-os com segmentos. O que acontece entre um ponto à esquerda de 2 e o ponto seguinte, à direita?

  1. a) Porque 2 \notin D_{f}: não há nenhum ponto do gráfico com abcissa 2. A calculadora avalia f num ponto pouco antes de 2 (valor muito negativo) e noutro pouco depois (valor muito positivo) e une os dois com um segmento — que é um artefacto do algoritmo de desenho, não parte do gráfico.
  2. b) Parece-se com a assíntota vertical x = 2, que essa sim existe — mas a assíntota é uma reta que o gráfico nunca toca, e o traço desenhado é uma união indevida de dois ramos.
  3. É por isso que, num Exame, se traçam as assíntotas a tracejado: para as distinguir do gráfico.
Respostasa) 2 não pertence ao domínio; é um artefacto do desenho · b) a assíntota vertical x = 2

e^{-x} é sempre positivo: o sinal de f é o de x^{2}-3. Para a assíntota em +\infty, hierarquia das magnitudes.

  1. a) f(x) = 0 \iff x^{2}-3 = 0 \iff x = \pm\sqrt{3}. Como e^{-x} > 0, o sinal é o de x^{2}-3: positiva fora de \left[-\sqrt{3},\,\sqrt{3}\right], negativa dentro.
  2. b) D_{f} = \mathbb{R} e f é contínua (produto de contínuas), logo não há assíntotas verticais.
  3. Em +\infty, pela hierarquia das magnitudes: \lim_{x \to +\infty} \left(x^{2}-3\right)e^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^{2}-3}{e^{x}} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} 0. Assíntota horizontal y = 0 em +\infty. Em -\infty, x^{2}-3 \to +\infty e e^{-x} \to +\infty, logo f(x) \to +\infty: não há assíntota horizontal, e como \lim\limits_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x} = -\infty, também não há oblíqua.
  4. c) f'(x) = 2x e^{-x} - \left(x^{2}-3\right)e^{-x} = e^{-x}\left(-x^{2}+2x+3\right) = -e^{-x}(x-3)(x+1).
  5. Como -e^{-x} < 0, o sinal de f' é o simétrico do de (x-3)(x+1): negativa fora de [-1,\,3], positiva dentro.
    x-\infty-13+\infty
    Sinal de f'−0+0−
    Variação de f↘-2emín↗6e^{-3}máx↘
  6. Mínimo f(-1) = -2e e máximo f(3) = 6e^{-3}.
Respostasa) zeros \pm\sqrt{3} · b) y = 0 em +\infty · c) mín. -2e em -1, máx. 6e^{-3} em 3

Em b), há uma vertical na fronteira do domínio e uma horizontal em +\infty. Em d), deriva f'.

  1. a) f(x) = 0 \iff \ln x = 0 \iff x = 1. Como x > 0, o sinal é o de \ln x: negativa em \left]0,\,1\right[, positiva em \left]1,\,+\infty\right[.
  2. b) O único candidato a assíntota vertical é a fronteira x = 0: \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln x}{x} = \frac{-\infty}{0^{+}} = -\infty. A reta x = 0 é assíntota vertical ao gráfico de f; sendo f quociente de contínuas com denominador não nulo em \mathbb{R}^{+}, não há mais.
  3. Em +\infty, pelo limite notável \lim\limits_{x \to +\infty}\frac{\ln x}{x} = 0: assíntota horizontal y = 0.
  4. c) f'(x) = \dfrac{\frac{1}{x} \times x - \ln x}{x^{2}} = \dfrac{1-\ln x}{x^{2}}. O denominador é positivo, logo o sinal é o de 1-\ln x, que se anula em x = e.
    x0e+\infty
    Sinal de f'+0−
    Variação de f↗\frac{1}{e}máx↘
  5. Máximo f(e) = \dfrac{1}{e} em x = e.
  6. d) f''(x) = \dfrac{-\frac{1}{x} \times x^{2} - (1-\ln x) \times 2x}{x^{4}} = \dfrac{2\ln x - 3}{x^{3}}, que se anula em x = e^{3/2}.
    x0e^{3/2}+\infty
    Sinal de f''−0+
    Concavidade de f∩\text{P.I.}∪
Respostasa) zero em 1 · b) x = 0 e y = 0 · c) máx. \frac{1}{e} em e · d) P.I. em x = e^{3/2}

Simplifica a expressão para x \neq 2 e compara com o que o desenho sugere.

  1. a) D_{g} = \mathbb{R}\setminus\{2\}.
  2. b) Para x \neq 2, g(x) = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x+2. O gráfico é a reta y = x+2 sem o ponto de abcissa 2.
  3. c) Não mostra o buraco em (2,\,4). A calculadora avalia a função numa grelha de pontos, e a probabilidade de um deles ser exatamente 2 é praticamente nula; mesmo que fosse, o pixel em falta seria invisível.
  4. É o exemplo mais limpo de que a tecnologia não substitui o domínio: quem não o determinar analiticamente nunca saberá que o ponto falta.Repara que x = 2 não é assíntota vertical: o limite aí é 4, finito. É descontinuidade removível.
Respostasa) \mathbb{R}\setminus\{2\} · b) a reta y = x+2 · c) o buraco em (2,\,4)

Em b), estuda a função diferença h(x) = \ln x - \frac{x}{4}: quantas vezes pode uma função com um só extremo cruzar o eixo?

  1. a) Representando y_{1} = \ln x e y_{2} = \dfrac{x}{4} numa janela \left[0,\,12\right] \times \left[-1,\,3\right], veem-se duas interseções, de abcissas x \approx 1{,}43 e x \approx 8{,}61.
  2. b) Seja h(x) = \ln x - \dfrac{x}{4}, de domínio \mathbb{R}^{+}. Então h'(x) = \frac{1}{x} - \frac{1}{4} = \frac{4-x}{4x}.
  3. Em \mathbb{R}^{+} o denominador é positivo, logo o sinal é o de 4-x: h é crescente em \left]0,\,4\right] e decrescente em \left[4,\,+\infty\right[, com máximo h(4) = \ln 4 - 1 \approx 0{,}386 > 0.
  4. Como h é estritamente crescente antes de 4 e estritamente decrescente depois, tem no máximo um zero em cada um desses intervalos — logo no máximo dois ao todo. E como o máximo é positivo e os limites nas pontas são -\infty, há exatamente dois.
Respostasa) duas: x \approx 1{,}43 e x \approx 8{,}61 · b) h tem um só extremo, logo no máximo dois zeros

Em c), olha para o denominador: pode ele alguma vez valer 1?

  1. a) h(0) = \dfrac{3}{1+8} = \dfrac{1}{3} \approx 0{,}33 m. E \lim_{t \to +\infty} h(t) = \frac{3}{1+8 \times 0} = 3, porque e^{-0{,}5t} \to 0. A altura limite é 3 m — a reta y = 3 é assíntota horizontal ao gráfico de h.
  2. b) Representando y_{1} = h(t) e y_{2} = 2 numa janela \left[0,\,15\right] \times \left[0,\,3{,}5\right], a interseção tem abcissa t \approx 5{,}5 meses.
  3. c) Para qualquer t, e^{-0{,}5t} > 0, logo 1+8e^{-0{,}5t} > 1 e portanto h(t) = \frac{3}{1+8e^{-0{,}5t}} < \frac{3}{1} = 3. A altura é sempre estritamente menor do que 3 m.
Respostasa) \frac{1}{3} m e 3 m · b) t \approx 5{,}5 meses · c) o denominador é sempre > 1

Em a), há uma vertical e uma oblíqua — e a oblíqua lê-se quase de imediato na expressão.

  1. a) Vertical. O único candidato é x = 0: \lim_{x \to 0^{\pm}} \left(x + \frac{4}{x^{2}}\right) = 0 + \frac{4}{0^{+}} = +\infty, porque x^{2} > 0 dos dois lados. A reta x = 0 é assíntota vertical; sendo f soma de contínuas em \mathbb{R}\setminus\{0\}, não há mais.
  2. Não vertical. m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty}\left(1 + \frac{4}{x^{3}}\right) = 1, b = \lim_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-x\right] = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{4}{x^{2}} = 0. Assíntota oblíqua y = x, nos dois sentidos.
  3. b) f'(x) = 1 - \dfrac{8}{x^{3}} = \dfrac{x^{3}-8}{x^{3}}, que se anula em x = 2 e não está definida em 0.
    x-\infty02+\infty
    Sinal de f'+n.d.−0+
    Variação de f↗↘3mín↗
  4. Mínimo f(2) = 2+1 = 3 em x = 2. Em x = 0 não há extremo — não pertence ao domínio.
  5. c) f''(x) = \dfrac{24}{x^{4}} > 0 para todo o x do domínio: a concavidade está sempre voltada para cima, e não há pontos de inflexão.
  6. d) O gráfico tem dois ramos, um de cada lado de x = 0, ambos com a concavidade voltada para cima, ambos a subir para +\infty junto de 0, e ambos a colar-se à reta y = x longe da origem.
Respostasa) x = 0 e y = x · b) mín. 3 em x = 2 · c) concavidade sempre para cima

Os zeros vêm do fator que se pode anular. Depois pensa na distância entre eles, comparada com a largura da janela.

  1. a) Como e^{-x^{2}} > 0 para todo o x, os zeros vêm de x^{2} = 0{,}0001, ou seja x = \pm 0{,}01. São dois zeros.
  2. b) Um só — e no ponto x = 0, onde na verdade f não se anula: f(0) = -0{,}0001.
  3. c) A resposta correta é a analítica: dois zeros, em \pm 0{,}01. Numa janela de largura 6 repartida por algumas centenas de pixels, cada pixel vale mais de 0{,}02 — os dois zeros e o mínimo entre eles cabem todos no mesmo pixel.
  4. A tecnologia é uma ferramenta de exploração; a conclusão vem do estudo analítico. Quando as duas discordam, é o desenho que está a mentir por falta de resolução.É exatamente este o ponto que as Aprendizagens Essenciais pedem que se trabalhe: «as representações gráficas apresentadas pela tecnologia podem, por vezes, não corresponder com rigor ao gráfico da função em estudo».
Respostasa) x = \pm 0{,}01 · b) um · c) a analítica; o pixel é maior do que a distância entre os zeros

A equação e^{x} = kx é f_{k}(x) = 0. O número de soluções depende do sinal do mínimo.

  1. a) f_{k}'(x) = e^{x}-k, que se anula quando e^{x} = k, ou seja x = \ln k (possível porque k > 0).
  2. Como e^{x} é crescente, f_{k}' é negativa antes de \ln k e positiva depois: há mínimo em x = \ln k, de valor f_{k}(\ln k) = e^{\ln k} - k\ln k = k - k\ln k = k(1-\ln k).
  3. b) A equação tem duas soluções quando o mínimo é negativo: k(1-\ln k) < 0 \iff 1-\ln k < 0 \iff \ln k > 1 \iff k > e, usando k > 0. Se k = e o mínimo é zero e há uma só solução; se 0 < k < e não há nenhuma. Para k \leq 0 a função é estritamente crescente e há sempre uma só solução.
  4. c) Com k = 5 > e, representando y_{1} = e^{x} e y_{2} = 5x numa janela \left[0,\,3\right] \times \left[0,\,20\right] veem-se duas interseções, de abcissas x \approx 0{,}26 e x \approx 2{,}54 — como previsto.
Respostasa) mínimo k(1-\ln k) em x = \ln k · b) k > e · c) duas soluções, \approx 0{,}26 e \approx 2{,}54
06

Bolzano-Cauchy e a resolução aproximada de equações

Nem todas as equações se resolvem. e^{-x} = x tem uma solução — vê-se no gráfico — e não há fórmula que a escreva. Falta responder a duas perguntas: como garantir que a solução existe, e como chegar-lhe com a precisão que quisermos. A primeira é um teorema; a segunda, dois algoritmos.

Aprendizagens Essenciais
  • Conhecer o teorema dos valores intermédios (Bolzano-Cauchy).
  • Conhecer e aplicar o método da Bisseção.
  • Conhecer e aplicar o método de Newton-Raphson.

1 · O Teorema dos Valores Intermédios

Teorema de Bolzano-Cauchy

Seja f uma função contínua no intervalo fechado \left[a,\,b\right], com f(a) \neq f(b). Então, para qualquer k compreendido entre f(a) e f(b),

\exists\, c \in \left]a,\,b\right[ \ : \ f(c) = k.

Isto é: se f(a) < k < f(b) ou f(b) < k < f(a), existe pelo menos um c entre a e b cuja imagem é k.

Duas coisas que o teorema não diz. Não diz qual é o c — garante que existe, e mais nada. E não diz que é único: pode haver vários. A unicidade, quando é preciso, vem sempre da monotonia.

x y 1 2 3 4 f(a) f(b) k a b c
O Teorema de Bolzano-Cauchy. Se f é contínua em [a,\,b] e k está entre f(a) e f(b), a curva tem de atravessar o nível k. O teorema garante que existe pelo menos um c; não diz qual é, nem diz que é único.
Corolário — o caso do zero

Se f é contínua em \left[a,\,b\right] e f(a) \times f(b) < 0, isto é, se f(a) e f(b) têm sinais contrários, então

\exists\, c \in \left]a,\,b\right[ \ : \ f(c) = 0.

É o caso particular k = 0, e é o que mais se usa.

O teorema não se aplica diretamente a f(x) = g(x). É preciso passar primeiro à função diferença:

h(x) = f(x)-g(x), \qquad \text{e então} \qquad f(x) = g(x) \iff h(x) = 0.

É o passo que falta em metade das resoluções erradas deste tipo de item.

2 · Porquê o intervalo fechado

A hipótese não é decorativa. Se a continuidade só valesse no intervalo aberto, a função poderia saltar por cima do valor k exatamente nas pontas:

x y 1 4 1 2 3 k
Uma função com f(1) = 0{,}7 e f(4) = 3{,}3, mas cujo contradomínio no interior é \left]1{,}2;\,2{,}85\right[. O valor k = 1 está entre f(1) e f(4) e nunca é atingido. Não há contradição: a função não é contínua em \left[1,\,4\right].

3 · O método da bisseção

Localizada a solução num intervalo [a,\,b] onde f muda de sinal, o resto é mecânico.

Método da bisseção

Enquanto o intervalo for maior do que a precisão pretendida:

1. Calcular o ponto médio m = \dfrac{a+b}{2} e o valor f(m).2. Se f(a) \times f(m) < 0, a solução está em \left]a,\,m\right[: fazer b = m.3. Caso contrário está em \left]m,\,b\right[: fazer a = m.

Ao fim de n passos a amplitude é \dfrac{b-a}{2^{n}}, e tomando o ponto médio o erro é no máximo \dfrac{b-a}{2^{n+1}}.

A bisseção termina sempre e o número de passos sabe-se de antemão: cerca de 10 passos por cada três casas decimais. Em troca, é lenta — ganha um bit de cada vez.

4 · O método de Newton-Raphson

A ideia é outra: em vez de partir o intervalo, troca-se a curva pela sua tangente e vai-se onde a tangente vai.

Método de Newton-Raphson

A tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x_{n} é

y = f(x_{n}) + f'(x_{n})\left(x-x_{n}\right).

Fazendo y = 0 obtém-se a abcissa do ponto em que essa reta corta o eixo Ox, e é essa a aproximação seguinte:

x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, \qquad f'(x_{n}) \neq 0.

Onde falha. Se f'(x_{n}) = 0, a tangente é horizontal e não corta o eixo: a fórmula não está definida. E mesmo com derivada não nula, uma tangente quase horizontal pode atirar x_{n+1} para muito longe. Por isso, na prática, combina-se Newton com a bisseção — a secção A leva essa ideia até ao fim.

Exemplo 13 Os dois métodos na mesma equação

Resolver e^{-x} = x.

  1. Existência. Seja h(x) = x-e^{-x}, contínua em \mathbb{R}. Como h(0) = -1 < 0 e h(1) = 1-e^{-1} \approx 0{,}632 > 0, o corolário de Bolzano-Cauchy garante uma solução em \left]0,\,1\right[.
  2. Unicidade. h'(x) = 1+e^{-x} > 0: h é estritamente crescente, logo a solução é única.
  3. Bisseção. De [0,\,1], o primeiro ponto médio é 0{,}5, com h(0{,}5) \approx -0{,}107 < 0: a solução está em \left]0{,}5;\,1\right[. Ao fim de 20 passos, o erro é inferior a 10^{-6}.
  4. Newton. x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}-e^{-x_{n}}}{1+e^{-x_{n}}}. Partindo de x_{0} = 0{,}5, obtém-se x_{1} \approx 0{,}5663, x_{2} \approx 0{,}56714 e x_{3} \approx 0{,}5671433 — sete casas corretas em três passos.Vinte passos contra três. Mas a bisseção nunca falha, e Newton pode falhar. Os dois métodos respondem a perguntas diferentes: «quanto tempo demora, garantidamente?» e «com que rapidez, se correr bem?».
Respostax \approx 0{,}567143
Exemplo 14 A função diferença, e a unicidade

Mostra que a equação e^{x} = 2-x tem exatamente uma solução em \left]0,\,1\right[.

  1. A função diferença. A equação equivale a e^{x}+x-2 = 0. Define-se g(x) = e^{x}+x-2, contínua em \mathbb{R} por ser soma de funções contínuas — em particular, contínua em \left[0,\,1\right].
  2. Os valores nos extremos. g(0) = 1+0-2 = -1 < 0, \qquad g(1) = e+1-2 = e-1 \approx 1{,}72 > 0.
  3. Bolzano. g é contínua em \left[0,\,1\right] e g(0) e g(1) têm sinais contrários; 0 está entre eles. Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,1\right[ tal que g(c) = 0.
  4. A unicidade. O teorema garante que existe pelo menos uma. Para ver que é só uma, olha-se para a derivada: g'(x) = e^{x}+1 > 0 \quad \text{para todo o } x, logo g é estritamente crescente e não pode ter dois zeros.Bolzano dá existência, nunca unicidade. Quando o Exame pede «exatamente uma», falta sempre esta segunda metade — e é quase sempre a monotonia que a fecha.
Respostag(0) < 0 < g(1) com g contínua, e g' > 0 garante a unicidade

Laboratório · Bisseção e Newton, lado a lado

interativo

Compara as duas colunas de erros. Ao terceiro passo Newton já tem mais algarismos corretos do que a bisseção terá ao vigésimo — mas repara também no tamanho do intervalo: a bisseção sabe sempre onde está a solução, Newton não.

Python Os dois métodos, contados passo a passo 
from math import exp

def h(x):  return x - exp(-x)
def dh(x): return 1 + exp(-x)

def bissecao(a, b, passos):
    for k in range(passos):
        m = (a + b) / 2
        if h(a) * h(m) < 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2, (b - a) / 2

def newton(x, passos):
    for k in range(passos):
        x = x - h(x) / dh(x)
    return x

print(' n   bissecao        erro maximo    Newton')
for n in range(1, 9):
    m, e = bissecao(0, 1, n)
    print('%2d   %.9f   %.9f    %.9f' % (n, m, e, newton(0.5, n)))

Repara na coluna do erro da bisseção: 0{,}5, 0{,}25, 0{,}125… sempre a metade. E na de Newton: ao terceiro passo já estabilizou em 0{,}567143290. A bisseção garante; Newton corre.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Nos de Bolzano, escreve sempre as três verificações — continuidade no fechado, os dois valores, o enquadramento — e não te esqueças da função diferença quando a equação é f(x) = g(x).

Exercício 68§06 · aplicar o teorema

Seja f a função definida em \mathbb{R} por f(x) = x^{3}-x.

Mostra que a equação f(x) = 3 é possível no intervalo \left]1,\,2\right[.

Exercício 69§06 · o corolário

Considera g(x) = e^{x}+x-2, de domínio \mathbb{R}.

a) Mostra que g tem pelo menos um zero em \left]0,\,1\right[.b) Justifica que esse zero é único.

Exercício 70§06 · a bisseção passo a passo

Seja f(x) = x^{3}-x-1, contínua em \mathbb{R}. Sabe-se que f(1) = -1 e f(2) = 5.

a) Aplica três passos do método da bisseção ao intervalo [1,\,2], indicando em cada um o novo intervalo.b) Indica um valor aproximado do zero e um majorante do erro cometido.

Exercício 71§06 · um passo de Newton

Seja f(x) = x^{2}-2, e considera x_{0} = 2.

a) Escreve a fórmula de Newton-Raphson para esta função.b) Calcula x_{1} e x_{2}.c) Compara x_{2} com \sqrt{2}.

Exercício 72§06 · a função diferença

Seja f uma função contínua em \left[0,\,1\right], com contradomínio \left]0,\,1\right[.

Mostra que a equação f(x) = x tem pelo menos uma solução em \left]0,\,1\right[.

Exercício 73§06 · com uma reta

Considera um número real a e uma função f, de domínio \mathbb{R}, da qual se sabe que:

f é contínua;f(a) < 2a-1;f(a+1) > 2a+1.

Mostra que o gráfico de f e a reta de equação y = 2x-1 se intersetam em pelo menos um ponto cuja abcissa pertence a \left]a,\,a+1\right[.

Exercício 74§06 · localizar antes de aproximar

Considera f(x) = \ln x + x - 3, de domínio \mathbb{R}^{+}.

a) Mostra que f tem um zero em \left]2,\,3\right[.b) Aplica dois passos da bisseção e indica o intervalo obtido.c) Justifica que o zero é único em \mathbb{R}^{+}.

Exercício 75§06 · a interpretação geométrica de Newton

Seja f derivável e x_{n} uma aproximação de um zero de f.

a) Escreve a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto de abcissa x_{n}.b) Determina a abcissa do ponto em que essa reta interseta o eixo Ox.c) Explica o que acontece se f'(x_{n}) = 0.

Exercício 76§06 · quantos passos são precisos?

Aplica-se o método da bisseção ao intervalo \left[0,\,1\right].

a) Qual é a amplitude do intervalo ao fim de n passos?b) Quantos passos garantem um erro inferior a 10^{-3}?c) E inferior a 10^{-6}?

Exercício 77§06 · porquê o intervalo fechado

Considera a função f, de domínio \left[1,\,4\right], definida por

f(x) = \begin{cases} 0{,}7 & \text{se } x = 1\\[6pt] 1{,}2+0{,}55(x-1) & \text{se } 1 < x < 4\\[6pt] 3{,}3 & \text{se } x = 4\end{cases}

a) Verifica que f(1) < 1 < f(4).b) Mostra que não existe c \in \left]1,\,4\right[ com f(c) = 1.c) Explica por que razão isto não contradiz o Teorema de Bolzano-Cauchy.

Exercício 78§06 · com parâmetro

Considera um número real a e uma função f, de domínio \mathbb{R}, contínua, tal que

f(a)+3 > 4-3a > f(a-2).

Sem recorrer à calculadora, mostra que a equação f(x) = 1-3x é possível no intervalo \left]a-2,\,a\right[.

Exercício 79§06 · bisseção contra Newton

Pretende-se resolver e^{-x} = x com erro inferior a 10^{-6}.

a) Mostra que a equação tem solução única em \left]0,\,1\right[.b) Quantos passos de bisseção garantem esse erro, partindo de [0,\,1]?c) Escreve a fórmula de Newton para este problema.

São sempre três verificações, por esta ordem: continuidade no intervalo fechado, cálculo de f(a) e f(b), e enquadramento de k.

  1. f é uma função polinomial, logo é contínua em \mathbb{R} e, em particular, em \left[1,\,2\right].
  2. f(1) = 1-1 = 0 e f(2) = 8-2 = 6.
  3. Como f(1) < 3 < f(2), o valor 3 está compreendido entre f(1) e f(2).
  4. Logo, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe pelo menos um c \in \left]1,\,2\right[ tal que f(c) = 3, ou seja, a equação é possível nesse intervalo.Repara na redação: continuidade no fechado [1,\,2], conclusão no aberto \left]1,\,2\right[. Trocar os dois desconta.
Respostaf contínua em [1,2] e f(1) < 3 < f(2), logo \exists c \in \left]1,2\right[: f(c) = 3

Em a), usa o corolário: basta que g(0) e g(1) tenham sinais contrários. Em b), estuda a monotonia.

  1. a) g é soma de funções contínuas em \mathbb{R}, logo é contínua em \left[0,\,1\right].
  2. g(0) = 1+0-2 = -1 e g(1) = e+1-2 = e-1 \approx 1{,}718.
  3. Como g(0) \times g(1) < 0, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy existe pelo menos um c \in \left]0,\,1\right[ tal que g(c) = 0.
  4. b) g'(x) = e^{x}+1 > 0 para todo o x: g é estritamente crescente em \mathbb{R}, logo injetiva. Não pode ter dois zeros — o zero é único.O teorema dá existência; a unicidade vem sempre da monotonia, nunca do teorema.
Respostasa) g(0) \times g(1) < 0 · b) g' > 0, logo g é injetiva

Em cada passo calcula-se o valor no ponto médio e guarda-se a metade onde há mudança de sinal. O erro é sempre metade da amplitude do intervalo atual.

  1. Passo 1. m_{1} = 1{,}5 e f(1{,}5) = 3{,}375-1{,}5-1 = 0{,}875 > 0. Como f(1) < 0, o zero está em \left]1;\,1{,}5\right[.
  2. Passo 2. m_{2} = 1{,}25 e f(1{,}25) = 1{,}953-1{,}25-1 = -0{,}297 < 0. O zero está em \left]1{,}25;\,1{,}5\right[.
  3. Passo 3. m_{3} = 1{,}375 e f(1{,}375) = 2{,}600-1{,}375-1 = 0{,}225 > 0. O zero está em \left]1{,}25;\,1{,}375\right[.
  4. b) Toma-se o ponto médio, c \approx 1{,}3125. O erro é, no máximo, metade da amplitude do intervalo: \text{erro} \leq \frac{1{,}375-1{,}25}{2} = 0{,}0625.
  5. Ao fim de n passos a amplitude é \dfrac{b-a}{2^{n}} — cada passo ganha um bit de precisão.
Respostasa) \left]1;1{,}5\right[, \left]1{,}25;1{,}5\right[, \left]1{,}25;1{,}375\right[ · b) c \approx 1{,}31, erro \leq 0{,}0625

A fórmula é x_{n+1} = x_{n} - \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}. Simplifica-a antes de calcular.

  1. a) f'(x) = 2x, logo x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}^{2}-2}{2x_{n}} = \frac{x_{n}}{2} + \frac{1}{x_{n}}.
  2. b) x_{1} = \dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2} = 1{,}5 e x_{2} = \dfrac{1{,}5}{2}+\dfrac{1}{1{,}5} = 0{,}75+0{,}6\overline{6} \approx 1{,}416\overline{6}.
  3. c) \sqrt{2} \approx 1{,}4142136. O erro de x_{2} é cerca de 0{,}0025 — dois passos a partir de x_{0} = 2.
  4. Esta é a fórmula que os babilónios já usavam para extrair raízes quadradas, mil anos antes de Newton.Cada passo aproximadamente duplica o número de algarismos corretos: x_{3} já acerta em seis casas.
Respostasa) x_{n+1} = \frac{x_{n}}{2}+\frac{1}{x_{n}} · b) 1{,}5 e \approx 1{,}4167 · c) erro \approx 0{,}0025

O teorema de Bolzano não se aplica diretamente a uma equação f(x) = g(x). Define a função diferença h(x) = f(x)-g(x) e trabalha com ela.

  1. Seja h(x) = f(x)-x. Como diferença de funções contínuas em \left[0,\,1\right], h é contínua nesse intervalo.
  2. Resolver f(x) = x é o mesmo que resolver h(x) = 0.
  3. h(0) = f(0)-0 = f(0). Como o contradomínio é \left]0,\,1\right[, tem-se f(0) > 0, logo h(0) > 0.
  4. h(1) = f(1)-1. Como f(1) < 1, tem-se h(1) < 0.
  5. Logo h(0) \times h(1) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,1\right[ tal que h(c) = 0, isto é, f(c) = c.A função diferença é o passo que falta em metade das resoluções erradas deste tipo de item. Sem ela, não há teorema a aplicar.
RespostaCom h(x) = f(x)-x: h(0) > 0 e h(1) < 0, logo \exists c: h(c) = 0

Outra vez a função diferença. Repara que 2(a+1)-1 = 2a+1 — é isso que a terceira condição está a dizer.

  1. Seja h(x) = f(x)-(2x-1). Como diferença entre uma função contínua e uma função afim, h é contínua em \mathbb{R} e, em particular, em \left[a,\,a+1\right].
  2. Os pontos de interseção são as soluções de f(x) = 2x-1, isto é, de h(x) = 0.
  3. h(a) = f(a)-(2a-1) < 0, pela segunda condição.
  4. h(a+1) = f(a+1)-\left[2(a+1)-1\right] = f(a+1)-(2a+1) > 0, pela terceira.
  5. Logo h(a) \times h(a+1) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]a,\,a+1\right[ com h(c) = 0, ou seja, f(c) = 2c-1.
RespostaCom h(x) = f(x)-2x+1: h(a) < 0 e h(a+1) > 0

Em b), usa a calculadora só para os valores de f; o método faz-se à mão. Em c), monotonia.

  1. a) f é soma de funções contínuas em \mathbb{R}^{+}, logo contínua em \left[2,\,3\right].
  2. f(2) = \ln 2 - 1 \approx -0{,}307 < 0 e f(3) = \ln 3 \approx 1{,}099 > 0. Como f(2) \times f(3) < 0, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy há pelo menos um zero em \left]2,\,3\right[.
  3. b) m_{1} = 2{,}5: f(2{,}5) = \ln 2{,}5 - 0{,}5 \approx 0{,}416 > 0. O zero está em \left]2;\,2{,}5\right[.
  4. m_{2} = 2{,}25: f(2{,}25) = \ln 2{,}25 - 0{,}75 \approx 0{,}061 > 0. O zero está em \left]2;\,2{,}25\right[.
  5. c) f'(x) = \dfrac{1}{x}+1 > 0 em \mathbb{R}^{+}: f é estritamente crescente, logo injetiva, e o zero é único.
Respostasb) \left]2;\,2{,}25\right[ · c) f' > 0 em \mathbb{R}^{+}

É toda a ideia do método: trocar a curva pela sua tangente e ir onde a tangente vai.

  1. a) y = f(x_{n}) + f'(x_{n})\left(x-x_{n}\right).
  2. b) Fazendo y = 0: 0 = f(x_{n}) + f'(x_{n})\left(x-x_{n}\right) \iff x = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, desde que f'(x_{n}) \neq 0. É exatamente a fórmula de Newton-Raphson: x_{n+1} é a abcissa desse ponto.
  3. c) Se f'(x_{n}) = 0, a tangente é horizontal e não interseta o eixo Ox (a menos que coincida com ele). A fórmula não está definida — divisão por zero — e o método falha nesse ponto.
  4. É por isso que, na prática, se combina Newton com a bisseção: quando a tangente não serve, dá-se um passo de bisseção, que nunca falha.A secção A leva esta ideia até ao fim, com um programa que conta quantos passos de cada tipo foram precisos.
Respostasb) x_{n+1} = x_{n} - \frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} · c) a tangente é horizontal e o método falha

Em b) e c), resolve a inequação com logaritmos — são as inequações com logaritmos do capítulo Funções a aparecer aqui.

  1. a) Cada passo divide a amplitude ao meio, logo ao fim de n passos é \dfrac{1}{2^{n}}. O erro, tomando o ponto médio, é no máximo \dfrac{1}{2^{n+1}}.
  2. b) Basta \dfrac{1}{2^{n}} < 10^{-3}, ou seja 2^{n} > 1000. Aplicando \log_{2}: n > \log_{2} 1000 = \frac{\ln 1000}{\ln 2} \approx 9{,}97. Bastam 10 passos.
  3. c) 2^{n} > 10^{6} \iff n > \log_{2} 10^{6} \approx 19{,}93: bastam 20 passos.
  4. Dez passos por cada três casas decimais — a bisseção é lenta mas perfeitamente previsível. É essa a sua virtude.
Respostasa) \frac{1}{2^{n}} · b) 10 passos · c) 20 passos

Em b), determina o contradomínio do ramo do meio. Em c), verifica todas as hipóteses do teorema.

  1. a) f(1) = 0{,}7 e f(4) = 3{,}3, logo 0{,}7 < 1 < 3{,}3.
  2. b) Em \left]1,\,4\right[, f(x) = 1{,}2+0{,}55(x-1), que é crescente e toma valores em \left]1{,}2;\,2{,}85\right[. Como 1 < 1{,}2, o valor 1 não é atingido.
  3. c) Porque f não é contínua em \left[1,\,4\right]: em x = 1 o limite à direita é 1{,}2 e a imagem é 0{,}7; em x = 4 o limite à esquerda é 2{,}85 e a imagem é 3{,}3.
  4. Falha a hipótese, logo o teorema não se aplica — e não há contradição nenhuma. É exatamente por isto que o enunciado exige continuidade no intervalo fechado, e não apenas no aberto.Um teorema só diz alguma coisa quando as hipóteses se verificam. Verificá-las é parte da resolução, não formalidade.
Respostaf não é contínua em [1,\,4] — falha a hipótese do teorema

Função diferença h(x) = f(x)-(1-3x). Depois traduz cada uma das duas desigualdades num sinal de h.

  1. Seja h(x) = f(x)-(1-3x) = f(x)+3x-1. Como soma de uma função contínua com uma função afim, h é contínua em \mathbb{R} e, em particular, em \left[a-2,\,a\right].
  2. Em a. Da desigualdade f(a)+3 > 4-3a vem f(a) > 1-3a, logo h(a) = f(a)-(1-3a) > 0.
  3. Em a-2. Da desigualdade 4-3a > f(a-2) vem f(a-2) < 4-3a. Ora 1-3(a-2) = 1-3a+6 = 7-3a, e como 4-3a < 7-3a, tem-se f(a-2) < 7-3a = 1-3(a-2), logo h(a-2) = f(a-2)-\left[1-3(a-2)\right] < 0.
  4. Assim h(a-2) \times h(a) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]a-2,\,a\right[ com h(c) = 0, isto é, f(c) = 1-3c.
RespostaCom h(x) = f(x)+3x-1: h(a-2) < 0 e h(a) > 0

Em a), função diferença e monotonia. Em c), a função a anular é h(x) = x - e^{-x}.

  1. a) Seja h(x) = x-e^{-x}, contínua em \mathbb{R} por ser diferença de contínuas.
  2. h(0) = 0-1 = -1 < 0 e h(1) = 1-e^{-1} \approx 0{,}632 > 0. Pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy há pelo menos uma solução em \left]0,\,1\right[.
  3. h'(x) = 1+e^{-x} > 0 para todo o x: h é estritamente crescente, logo injetiva, e a solução é única.
  4. b) A amplitude ao fim de n passos é \dfrac{1}{2^{n}}. De \dfrac{1}{2^{n}} < 10^{-6} vem n > \log_{2} 10^{6} \approx 19{,}93: bastam 20 passos.
  5. c) x_{n+1} = x_{n} - \frac{h(x_{n})}{h'(x_{n})} = x_{n} - \frac{x_{n}-e^{-x_{n}}}{1+e^{-x_{n}}}.
  6. Partindo de x_{0} = 0{,}5, Newton chega ao mesmo erro em quatro ou cinco passos, contra os 20 da bisseção. Em troca, a bisseção nunca falha e o número de passos sabe-se de antemão.
Respostasb) 20 passos · c) x_{n+1} = x_{n} - \frac{x_{n}-e^{-x_{n}}}{1+e^{-x_{n}}}
A

Python e pensamento computacional

Três problemas que só existem porque a máquina existe. Não são traduções de contas para código: são perguntas que a folha de papel não sabe responder — qual é o melhor h?, como é que o algoritmo sabe que já chegou?, porque é que duas formas da mesma equação se comportam ao contrário?

Possíveis aprofundamentos (AE)
  • Utilizar a tecnologia para resolver problemas que envolvam funções exponenciais e logarítmicas, incluindo equações sem solução algébrica.
  • Explorar a utilização da programação na determinação aproximada de zeros, de extremos e de imagens por uma função inversa.

Os programas correm no Python Math Studio, a consola que já vive nesta página. Em cada bloco há o botão ▶ Correr no compilador — a consola abre com o programa escrito, basta carregar em Run Code. O botão 💬 Explicar o código troca o programa pela versão comentada linha a linha.

Nenhum destes três problemas se resolve com uma fórmula. Todos se resolvem com um algoritmo — e todos têm um caso de fronteira que o faz falhar se não for previsto. É esse caso de fronteira o verdadeiro conteúdo de cada problema.

Consola de Python

corre no navegadorprograma inserido no editor — carrega em Run Code

Como usar

  1. Num bloco de código desta página, carrega em ▶ Correr no compilador — a consola abre-se com o programa já escrito.
  2. Carrega em Run Code e lê a saída.
  3. Muda os valores e volta a correr — é assim que se explora.
já vem carregado
from math import * · log, exp, e
numpy · malhas e vetores
sympy · contas exatas
matplotlib · gráficos

Corre tudo dentro do teu navegador: nada sai do computador, e funciona sem ligação à Internet.

A máquina confirma resultados; nos itens de construção o exame exige a resolução analítica justificada.

1 · O melhor h não é o mais pequeno

DecomposiçãoReconhecimento de padrõesErros de vírgula flutuante

Enquadramento

A derivada é um limite: f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. Um computador não sabe fazer limites — sabe fazer contas com um h pequeno mas fixo. Duas escolhas naturais:

\underbrace{\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}}_{\text{razão incremental à direita}} \qquad\text{e}\qquad \underbrace{\dfrac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}}_{\text{diferença centrada}}.

A segunda é a média das razões incrementais dos dois lados, e os erros dos dois lados cancelam-se em parte. Por isso é a que se usa.

O desafio. Diminuir h aproxima a razão incremental do limite — mas cada subtração f(a+h) - f(a-h) subtrai dois números quase iguais, e o computador guarda-os com cerca de 16 algarismos. Quando h é minúsculo, quase todos esses algarismos cancelam-se e sobra ruído. Há portanto dois erros a puxar em sentidos contrários e um h ótimo algures no meio. Descobre-o por medição, não por adivinhação: usa f(x) = \dfrac{\ln x}{x}, cuja derivada sabes calcular — f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}, logo f'(1) = 1 — e mede o erro para h = 10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-14}.

from math import log

def f(x):
    return log(x) / x

def D(f, x, h):                       # diferenca centrada
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2*h)

# f'(x) = (1 - ln x) / x**2  ->  f'(1) = 1.  Qual e' o melhor h?
print(' h        D(f,1,h)            erro')
for k in range(1, 15):
    h = 10.0**(-k)
    d = D(f, 1, h)
    print('1e-%-2d  %18.14f   %.3e' % (k, d, abs(d - 1)))

O erro desce, atinge um mínimo por volta de h \approx 10^{-5} ou 10^{-6} — e depois volta a subir. Em h = 10^{-14} já quase não há algarismos corretos. Este gráfico em V é uma das primeiras coisas que se aprende em cálculo numérico.

Segunda parte. Com o h escolhido, encontra os extremos de f em [0{,}5,\; 8] sem usar a expressão da derivada — só valores de f. O algoritmo é a versão computacional do quadro de sinais: varrer a malha à procura de uma troca de sinal da derivada aproximada, e depois apertar cada troca por bisseção.

from math import log, e

H   = 1e-6            # o h que ganhou a corrida acima
EPS = 1e-12           # criterio de paragem da bissecao

def f(x):
    return log(x) / x

def D(x):
    return (f(x + H) - f(x - H)) / (2*H)

def varre(a, b, n):
    """Percorre a malha e devolve os intervalos onde D muda de sinal."""
    passo = (b - a) / n
    trocas = []
    x0, d0 = a, D(a)
    for i in range(1, n + 1):
        x1 = a + i * passo
        d1 = D(x1)
        if (d0 < 0) != (d1 < 0):        # mudou de sinal: ha' extremo entre os dois
            trocas.append((x0, x1, d0))
        x0, d0 = x1, d1
    return trocas

def aperta(x0, x1, d0):
    """Bissecao sobre a derivada. Termina sempre: o intervalo e' sempre metade."""
    while x1 - x0 > EPS * (1 + abs(x0)):
        m = (x0 + x1) / 2
        dm = D(m)
        if dm == 0:
            return m
        if (dm < 0) == (d0 < 0):
            x0, d0 = m, dm
        else:
            x1 = m
    return (x0 + x1) / 2

for (x0, x1, d0) in varre(0.5, 8, 300):
    c = aperta(x0, x1, d0)
    tipo = 'maximo' if d0 > 0 else 'minimo'
    print('%s relativo em x = %.12f   f(x) = %.12f' % (tipo, c, f(c)))

print('exato:              e = %.12f   1/e  = %.12f' % (e, 1/e))

O programa devolve x = 2{,}718281828\ldots — o número e — com f(e) = 1/e. Confere com a conta à mão: f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e. A máquina não sabia disso; chegou lá só com subtrações e divisões.

Casos de fronteira. (i) O teste (d0 < 0) != (d1 < 0) em vez de d0 * d1 < 0 — o produto dá 0 quando um dos valores é exatamente zero, e um extremo seria perdido. (ii) O critério de paragem é relativo, eps * (1 + abs(x)) — um critério absoluto como x1 - x0 > 1e-12 nunca terminaria para valores da ordem de 10^{6}. (iii) A bisseção termina sempre: o intervalo é exatamente metade em cada passo. Já while dm != 0 podia não terminar nunca.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. O varrimento avalia f em 2n pontos: é O(n). A bisseção divide o intervalo ao meio de cada vez, logo faz O(\log_{2}(1/\varepsilon)) passos. Qual das duas partes domina o tempo total quando \varepsilon = 10^{-12} e n = 300?
  2. Se aumentares n para 3000, que erro deixas de cometer? E que erro não desaparece por mais que aumentes n?
  3. O que acontece se a malha for grosseira e f tiver dois extremos muito próximos dentro do mesmo intervalo da malha? O algoritmo dá erro, ou dá uma resposta errada em silêncio? Qual dos dois é pior?
  4. Experimenta H = 10^{-14} na segunda parte. Quantos extremos falsos aparecem? Explica-os com o gráfico em V da primeira parte.
  5. Numa função com um patamar — f quase constante num intervalo — a derivada aproximada oscila em torno de zero por puro ruído. Que teste acrescentarias para não declarar um extremo em cada oscilação?

2 · Inverter uma função que não se sabe inverter

AbstraçãoOtimização algorítmicaDerivada nulaSeparação de ramos

Enquadramento

Uma função estritamente monótona num intervalo é injetiva, logo tem inversa (secção 5). Calcular f^{-1}(y) é resolver f(x) = y, ou seja, achar o zero de F(x) = f(x) - y.

O método de Newton sai diretamente da secção R2. A tangente ao gráfico de F no ponto de abcissa x_n é y = F'(x_n)(x - x_n) + F(x_n). Onde é que essa recta corta Ox? Fazendo y = 0:

x_{n+1} = x_n - \dfrac{F(x_n)}{F'(x_n)} = x_n - \dfrac{f(x_n) - y}{f'(x_n)}.

Newton é isto e mais nada: trocar a curva pela sua tangente e ir onde a tangente vai.

O desafio. Inverter y = x\,e^{x}. Pela regra do produto, f'(x) = (1+x)e^{x}, que se anula em x = -1: a função não é injetiva em \mathbb{R}. O quadro de sinais dá

x-\infty-1+\infty
Sinal de f'−0+
Variação de f↘-1/emín↗

Logo, para -1/e < y < 0 há duas soluções — uma em cada ramo. Antes de inverter é preciso escolher o ramo. E há um segundo perigo: exatamente em x = -1 a derivada é nula e a tangente é horizontal — nunca corta Ox. Newton, sozinho, atira o ponto para o infinito. A solução é Newton com rede: manter sempre um intervalo [a,b] com mudança de sinal e, sempre que Newton propuser um ponto fora dele (ou a derivada for nula), dar um passo de bisseção.

from math import exp, e

def f(x):                       # queremos inverter  y = x e^x
    return x * exp(x)

def df(x):                      # regra do produto
    return (1 + x) * exp(x)

def newton_seguro(y, a, b, eps=1e-14, maxit=80):
    """Resolve f(x) = y em [a, b]. Newton quando pode, bissecao quando deve."""
    fa = f(a) - y
    fb = f(b) - y
    if (fa < 0) == (fb < 0):
        raise ValueError('sem mudanca de sinal em [%g, %g]' % (a, b))
    x = a
    nn = nb = 0                                  # quantos passos de cada tipo
    for n in range(1, maxit + 1):
        d = df(x)
        xn = None
        if d != 0:                               # derivada nula: Newton nao serve
            cand = x - (f(x) - y) / d
            if a < cand < b:                     # saiu do intervalo: nao serve
                xn = cand
        if xn is None:
            xn = (a + b) / 2                     # rede de seguranca
            nb += 1
        else:
            nn += 1
        fn = f(xn) - y
        if (fn < 0) == (fa < 0):                 # aperta o intervalo
            a, fa = xn, fn
        else:
            b = xn
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, nn, nb
        x = xn
    return x, nn, nb

y = -0.2                        # -1/e < y < 0: DOIS ramos
print('minimo de f em x = -1,  f(-1) = -1/e = %.12f' % (-1/e))
for nome, a, b in (('direito', -1 + 1e-9, 20), ('esquerdo', -10, -1 - 1e-9)):
    x, nn, nb = newton_seguro(y, a, b)
    print('ramo %-9s x = %.12f   f(x) = %.12f   Newton: %d   bissecao: %d'
          % (nome, x, f(x), nn, nb))

Para y = -0{,}2 obtêm-se x \approx -0{,}2592 e x \approx -2{,}5426 — duas imagens inversas do mesmo y, uma por ramo. Repara na contagem dos dois tipos de passo. No ramo direito são 19 de Newton e apenas 1 de bisseção: a partir de x = 9{,}5 a tangente faz o ponto descer cerca de uma unidade de cada vez — Newton só fica rápido quando já está perto. No ramo esquerdo é 6 e 6: ali x e^{x} é quase plano, a tangente é quase horizontal e atira o ponto para fora do intervalo — sem a rede de bisseção, o algoritmo fugia.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. A bisseção ganha um bit de precisão por iteração: O(\log_{2}(1/\varepsilon)), cerca de 50 passos para 10^{-15}. Newton duplica o número de algarismos corretos de cada vez. Conta as iterações dos dois no mesmo problema e confirma a diferença.
  2. Porque é que o programa começa em -1 + 10^{-9} e não em -1? O que imprime df(-1)?
  3. Retira a rede de segurança (fica só Newton, sem bisseção) e arranca em x_0 = -0{,}999. Para onde vai o primeiro iterado? E porque é que o contador nb é tão alto no ramo esquerdo?
  4. O critério de paragem compara |x_{n+1} - x_n|, não |f(x_n) - y|. Dá um exemplo de função em que estes dois critérios discordam — um diz «cheguei» e o outro não.
  5. Este problema tem nome: a inversa de x e^{x} chama-se função W de Lambert, e os seus dois ramos são exatamente os dois que separaste. Onde é que a escolha do ramo tem de ser feita por quem escreve o programa, e não pelo programa?

3 · A mesma equação, duas escritas, dois destinos

Reconhecimento de padrõesConvergênciaOtimização algorítmicaCiclos infinitos

Enquadramento

A equação e^{-x} = x não se resolve com as regras da secção 3: não há como pôr o x de um lado só. Mas pode escrever-se como x = g(x) e iterar x_{n+1} = g(x_n) — o método do ponto fixo. Há duas escritas óbvias:

x = e^{-x} \qquad\text{ou}\qquad -x = \ln x \;\Longleftrightarrow\; x = -\ln x.

São algebricamente equivalentes. Numericamente, comportam-se ao contrário uma da outra.

O desafio. Se x^{*} é o ponto fixo, então perto dele a tangente descreve bem g e g(x_n) - g(x^{*}) \approx g'(x^{*})\,(x_n - x^{*}). Ou seja, o erro é multiplicado por |g'(x^{*})| em cada passo: menor do que 1 encolhe, maior do que 1 cresce. Aqui x^{*} \approx 0{,}567, e

|g_1'(x^{*})| = e^{-x^{*}} \approx 0{,}567 < 1, \qquad |g_2'(x^{*})| = \dfrac{1}{x^{*}} \approx 1{,}76 > 1.

Uma converge, a outra foge. Escreve um iterador que sobreviva às duas: tem de detetar a divergência (o valor explode, ou sai do domínio do logaritmo) e tem de ter um travão de iterações — sem ele, o segundo caso nunca termina.

from math import exp, log

# Equacao:  e^(-x) = x.  Nao se resolve com as regras da seccao 3.
def g1(x): return exp(-x)         # x = e^(-x)   ->  g1'(x) = -e^(-x)
def g2(x): return -log(x)         # x = -ln x    ->  g2'(x) = -1/x

def ponto_fixo(g, x0, eps=1e-13, maxit=300):
    """Iteracao x <- g(x). Devolve (raiz, iteracoes) ou (None, iteracoes)."""
    x = x0
    for n in range(1, maxit + 1):
        try:
            xn = g(x)
        except (ValueError, OverflowError):
            return None, n                       # saiu do dominio: divergiu
        if abs(xn) > 1e12:
            return None, n                       # explodiu: divergiu
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, n
        x = xn
    return None, maxit                           # nao convergiu a tempo

def newton(x0, eps=1e-13, maxit=300):
    x = x0
    for n in range(1, maxit + 1):
        fx = x - exp(-x)
        d  = 1 + exp(-x)                         # f'(x) = 1 + e^(-x) > 0 sempre
        xn = x - fx / d
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, n
        x = xn
    return None, maxit

r1, n1 = ponto_fixo(g1, 0.5)
r2, n2 = ponto_fixo(g2, 0.5)
r3, n3 = newton(0.5)
print('x = e^(-x)  ->', r1, 'em', n1, 'iteracoes')
print('x = -ln x   ->', r2, 'em', n2, 'iteracoes')
print('Newton      ->', r3, 'em', n3, 'iteracoes')

# Porque? Porque o erro e' multiplicado por |g'(x*)| em cada passo.
x = r3
print('|g1\'(x*)| =', abs(-exp(-x)), ' < 1  -> converge')
print('|g2\'(x*)| =', abs(-1/x),     ' > 1  -> diverge')

A primeira escrita chega a 0{,}5671432904\ldots ao fim de umas dezenas de iterações; a segunda devolve None; Newton chega ao mesmo valor em quatro ou cinco. A diferença não está na equação — está na forma como a escrevemos.

Convergência linear e convergência quadrática. No ponto fixo o erro fica multiplicado por 0{,}567 por passo: para ganhar um algarismo decimal são precisos cerca de 4 passos, e para 12 algarismos cerca de 48. Em Newton o erro passa a ser aproximadamente proporcional ao quadrado do erro anterior: 10^{-2} \to 10^{-4} \to 10^{-8} \to 10^{-16}. É a diferença entre O(\log(1/\varepsilon)) e O(\log\log(1/\varepsilon)) iterações.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. Imprime |x_{n+1} - x^{*}| em cada passo da primeira iteração e calcula o quociente entre erros consecutivos. Aproxima-se de 0{,}567? Porquê?
  2. Faz o mesmo com Newton. O quociente |e_{n+1}|/|e_n|^{2} estabiliza — em que valor?
  3. A segunda escrita diverge a partir de x_0 = 0{,}5. Existe algum x_0 a partir do qual ela convirja? (Cuidado: o ponto fixo é o mesmo. O que muda?)
  4. O travão maxit é o que separa um programa de um bloqueio. Que outra condição de paragem acrescentarias para detetar cedo que a sucessão está a afastar-se, em vez de esperar pelas 300 iterações?
  5. Aceleração de Aitken. Com três iterados consecutivos, \tilde{x} = x_0 - \dfrac{(x_1 - x_0)^{2}}{x_2 - 2x_1 + x_0} costuma estar muito mais perto de x^{*} do que x_2. Implementa-o sobre a primeira iteração e conta quantas iterações poupas. Que caso de fronteira tens de tratar no denominador?
07

Teste rápido

Dez questões de resposta imediata, com correção e explicação. Serve para verificares se podes avançar — ou se convém voltar atrás.

Pergunta 1 de 10
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Formulário essencial e referências

Tudo o que precisas de ter na cabeça (ou à mão) para um exame — numa página.

Propriedades operatórias

Se \lim f e \lim g existem e são finitos:

\lim(f \pm g) = \lim f \pm \lim g \lim(f \times g) = \lim f \times \lim g \lim\dfrac{f}{g} = \dfrac{\lim f}{\lim g}, \ \lim g \neq 0

As quatro indeterminações

\dfrac{0}{0} \hspace{1.2em} \dfrac{\infty}{\infty} \hspace{1.2em} 0 \times \infty \hspace{1.2em} \infty - \infty

As duas últimas reduzem-se sempre às duas primeiras.

\dfrac{k}{0} com k \neq 0 não é indeterminação: é \pm\infty, e o sinal decide-se pelo lado.

Limites laterais

\lim_{x \to a} f(x) = b \iff \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = b

Se os dois laterais existem e são diferentes, o limite não existe.

No infinito manda o maior grau

\lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_{n}x^{n} + \cdots}{b_{m}x^{m} + \cdots} = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{a_{n}x^{n}}{b_{m}x^{m}}

n < m \Rightarrow 0 · n = m \Rightarrow \dfrac{a_{n}}{b_{m}} · n > m \Rightarrow \pm\infty

Limites notáveis

\lim_{x \to 0}\dfrac{e^{x}-1}{x} = 1 \hspace{1em} \lim_{x \to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1 \lim_{x \to 0}\dfrac{\operatorname{sen} x}{x} = 1 \lim_{x \to +\infty}\dfrac{\log_{a} x}{x^{p}} = 0 \hspace{1em} \lim_{x \to +\infty}\dfrac{a^{x}}{x^{p}} = +\infty

com a > 1 e p \in \mathbb{N}

Regra de L’Hôpital

Se \dfrac{f}{g} conduz a \dfrac{0}{0} ou a \dfrac{\infty}{\infty}:

\lim \dfrac{f(x)}{g(x)} = \lim \dfrac{f'(x)}{g'(x)}

desde que este último exista. Derivam-se separadamente — não é a derivada do quociente.

Continuidade

f \text{ contínua em } a \iff \lim_{x \to a} f(x) = f(a)

São contínuas em todo o domínio: polinomiais, racionais, exponenciais, logarítmicas e trigonométricas.

Soma, diferença, produto, quociente e composta de contínuas são contínuas.

Assíntotas verticais

x = a é assíntota vertical se

\lim_{x \to a^{-}} f(x) = \pm\infty \ \text{ ou } \ \lim_{x \to a^{+}} f(x) = \pm\infty

Procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade.

Assíntotas não verticais

y = mx + b m = \lim_{x \to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} \hspace{1em} b = \lim_{x \to \pm\infty}\left[f(x)-mx\right]

m = 0 dá uma horizontal. Estudam-se os dois ramos separadamente.

Segunda derivada

f'' > 0 num intervalo \Rightarrow concavidade voltada para cima

f'' < 0 num intervalo \Rightarrow concavidade voltada para baixo

Ponto de inflexão: onde f'' muda de sinal. f''(a) = 0 é necessário, não suficiente.

Teorema de Bolzano-Cauchy

f contínua em \left[a,\,b\right] e k entre f(a) e f(b):

\exists\, c \in \left]a,\,b\right[ : f(c) = k

Corolário: f(a) \times f(b) < 0 \Rightarrow f tem um zero em \left]a,\,b\right[.

Para f(x) = g(x), usar h = f - g.

Métodos aproximados

Bisseção. Amplitude ao fim de n passos: \dfrac{b-a}{2^{n}}; erro \leq \dfrac{b-a}{2^{n+1}}.

Newton-Raphson. x_{n+1} = x_{n} - \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}, com f'(x_{n}) \neq 0.

Escrever a resolução de um limite

Escrever \lim em todos os passos, até à substituição.

Assinalar a indeterminação por cima do igual: \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=}

Assinalar L’Hôpital: \overset{\scriptscriptstyle\mathrm{L\text{'}H}}{=}, depois de nomear a indeterminação.

Guião do estudo de uma função

1. Domínio · 2. zeros e sinal · 3. assíntotas

4. f': monotonia e extremos

5. f'': concavidades e pontos de inflexão

6. esboço e contradomínio

Referências

  • Aprendizagens Essenciais de Matemática A — 12.º ano. Ministério da Educação / DGE, janeiro de 2023.
  • Ministério da Educação. Brochura Funções, 12.º ano. Departamento do Ensino Secundário.
  • Trocado, A. Matemática A — Exames Nacionais. alexandretrocado.com/mat_a
  • Enunciados de Provas Nacionais e Testes Intermédios compilados em mat.absolutamente.net.
  • Emulador da calculadora gráfica NumWorks, versão web oficial: numworks.com.
09

Banco de exercícios · Exame Nacional

Todos os itens são enunciados originais de Provas Nacionais e de Testes Intermédios, com a prova e o ano indicados, do mais recente para o mais antigo. Estão arrumados por tema, na ordem em que os temas aparecem no capítulo, e cada bloco tem os seus próprios filtros. Cada item traz sugestão, para desbloquear, e resolução passo a passo. Marca os que já resolveste — o progresso fica guardado neste dispositivo.

Exercícios de Exame · Limites e continuidade

Sessenta e dois itens de Prova Nacional e de Teste Intermédio, de 1999 a 2026, sobre limites e continuidade — o tema das secções 1 a 3. É o arquivo inteiro. Repara em quantos se resolvem só com os limites notáveis da §02, sem derivar nada.

Item 1 escolha múltiplaExame 1999 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

Na figura está representada parte dos gráficos de duas funções f e g, contínuas em \mathbb{R}. O gráfico de f interseta o eixo Ox no ponto de abcissa 3.

x y 3 f g
Parte dos gráficos de f e de g, contínuas em \mathbb{R}. À esquerda de 3, f é positiva e g também.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{g(x)}{f(x)}?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)-\infty
  • (D)+\infty
Item 2 escolha múltiplaExame 2001 · Prova modelo

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{\log_{2} x}{\operatorname{sen} x}?

  • (A)-\infty
  • (B)0
  • (C)1
  • (D)+\infty
Item 3 escolha múltiplaExame 2001 · 2.ª Fase

Para um certo valor de k, é contínua em \mathbb{R} a função f definida por

f(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x \leq 0\\[10pt] \ln(x+k) & \text{se } x > 0\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)-1
  • (B)0
  • (C)1
  • (D)2
Item 4 construçãoExame 2001 · Prova para militares

A Sofia preparou um pudim. Depois de o ter confecionado, colocou-o a arrefecer na bancada da cozinha. Uma hora depois, colocou-o no frigorífico.

Admite que a temperatura do pudim, em graus centígrados, t minutos depois de ter sido colocado na bancada, é dada, para um certo valor de A, por

f(t) = \begin{cases} 20+80 \times 2^{-0{,}05t} & \text{se } 0 \leq t < 60\\[10pt] 6+A \times 2^{-0{,}05(t-60)} & \text{se } t \geq 60\end{cases}

Atendendo a que a função é contínua, mostra que A = 24, utilizando métodos exclusivamente analíticos.

Item 5 escolha múltiplaExame 2003 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{\log_{2} x}{e^{x}-1}?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)-\infty
  • (D)+\infty
Item 6 escolha múltiplaExame 2004 · 1.ª Fase

Na figura está parte da representação gráfica de uma função f, positiva, cujo gráfico é simétrico relativamente ao eixo Oy, e da qual a reta de equação y = 0 é assíntota.

x y f
Parte do gráfico de f, positiva e simétrica em relação ao eixo Oy, com a reta y = 0 por assíntota.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{f(x)}?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)+\infty
  • (D)-\infty
Item 7 escolha múltiplaExame 2004 · 1.ª Fase

Na figura está parte da representação gráfica de uma função f, positiva, cujo gráfico é simétrico relativamente ao eixo Oy, e da qual a reta de equação y = 0 é assíntota.

x y f
Parte do gráfico de f, positiva e simétrica em relação ao eixo Oy, com a reta y = 0 por assíntota.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{f(x)}?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)+\infty
  • (D)-\infty
Item 8 construçãoExame 2004 · Época especial

Seja f a função definida, em \mathbb{R}, por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x}-1}{x} & \text{se } x < 0\\[10pt] \dfrac{3x+2}{2x+2} & \text{se } x \geq 0\end{cases}

Sem recorrer à calculadora, justifica a seguinte afirmação: a função f é contínua em \mathbb{R}.

Item 9 construçãoExame 2005 · 1.ª Fase

Admite que o número de elementos de uma população de aves, t anos após o início de 1970, é dado aproximadamente por

P(t) = 5{,}2 \times 10^{7} \times e^{(N-M)t}, \qquad t \geq 0,

em que N e M são duas constantes, denominadas, respetivamente, taxa de natalidade e taxa de mortalidade da população.

Sabendo que N < M, calcula \lim\limits_{t \to +\infty} P(t) e interpreta o resultado obtido, no contexto do problema.

Item 10 escolha múltiplaExame 2005 · Época especial

Para um certo valor de k, é contínua em \mathbb{R} a função f definida por

f(x) = \begin{cases} k+\operatorname{sen} x & \text{se } x \leq 0\\[12pt] \dfrac{3x+\ln(1+x)}{x} & \text{se } x > 0\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)1
  • (B)2
  • (C)3
  • (D)4
Item 11 construçãoTeste Intermédio 12.º · 17.03.2006

Com o objetivo de estudar as leis do aquecimento e do arrefecimento, realizou-se, num laboratório de Física, a seguinte experiência: aqueceu-se ao lume uma certa quantidade de água, durante cinco minutos; passado este tempo, apagou-se o lume e deixou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sendo medida ao longo da experiência.

Admite que:

neste laboratório, a temperatura ambiente é constante;a temperatura da água, no instante em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiente;depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tende, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiente.

Concluiu-se que a relação entre a temperatura da água e o tempo t, contado em minutos a partir do instante em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro funções seguintes.

a(t) = \begin{cases} 24-2t & \text{se } 0 \leq t \leq 5\\[6pt] 24+10e^{-0{,}04(t-5)} & \text{se } t > 5\end{cases} \qquad b(t) = \begin{cases} 12(t+2) & \text{se } 0 \leq t \leq 5\\[6pt] 24+70e^{-0{,}04(t-5)} & \text{se } t > 5\end{cases}c(t) = \begin{cases} 14(t+1) & \text{se } 0 \leq t \leq 5\\[6pt] 24+60e^{-0{,}04(t-5)} & \text{se } t > 5\end{cases} \qquad d(t) = \begin{cases} 12(t+2) & \text{se } 0 \leq t \leq 5\\[6pt] 24+60e^{-0{,}04(t-5)} & \text{se } t > 5\end{cases}

Qual das quatro funções é a correta? Numa pequena composição, explica porque não pode ser nenhuma das outras três, indicando, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeitas.

Item 12 escolha múltiplaExame 2006 · 2.ª Fase

De duas funções, f e g, sabe-se que:

o gráfico de f é uma reta, cuja ordenada na origem é igual a 2;o gráfico de g é uma hipérbole;a reta de equação x = 1 é assíntota do gráfico de g.

x y 2

o gráfico de f

x y 1

o gráfico de g

Parte da reta e parte da hipérbole.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 1^{+}} \dfrac{f(x)}{g(x)}?

  • (A)0
  • (B)2
  • (C)+\infty
  • (D)-\infty
Item 13 construçãoTeste Intermédio 12.º · 15.03.2007

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}+2x}{x^{3}+x} & \text{se } x < 0\\[10pt] 2 & \text{se } x = 0\\[10pt] \dfrac{3x^{2}-x\ln(x+1)}{x^{2}} & \text{se } x > 0\end{cases}

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, averigua se a função f é contínua em x = 0. Justifica a tua resposta.

Item 14 escolha múltiplaExame 2007 · 1.ª Fase

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 2^{+}} \dfrac{1}{4-x^{2}}?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)+\infty
  • (D)-\infty
Item 15 escolha múltiplaExame 2007 · 2.ª Fase

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, real de variável real.

x y 3
Parte do gráfico de f. À esquerda de 3 os valores aproximam-se de um número negativo; à direita, de um número positivo.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

  • (A)\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{f(x)} = 0
  • (B)\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1}{2}
  • (C)\lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{f(x)} = -\dfrac{1}{2}
  • (D)Não existe \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{f(x)}
Item 16 construçãoTeste Intermédio 12.º · 29.04.2008

Seja f a função, de domínio [-3,\,3], definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x}-1+x}{x} & \text{se } -3 \leq x < 0\\[10pt] 2-x+\ln(1+3x) & \text{se } 0 \leq x \leq 3\end{cases}

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, mostra que f é contínua no ponto 0.

Item 17 construçãoExame 2008 · 1.ª Fase

Num determinado dia, um grupo de amigos decidiu formar uma associação desportiva.

Admite que, t dias após a constituição da associação, o número de sócios é dado, aproximadamente, por

N(t) = \dfrac{2000}{1+199e^{-0{,}01t}}, \qquad t \geq 0

Determina N(0) e \lim\limits_{t \to +\infty} N(t), usando métodos analíticos. Interpreta os valores obtidos, no contexto do problema.

Item 18 construçãoExame 2008 · Época especial

Aqueceu-se água num recipiente, durante um determinado tempo, num local onde a temperatura ambiente é constante e igual a 25^{\circ}C. Interrompeu-se o processo de aquecimento e, nesse instante, a água começou a arrefecer.

O arrefecimento segue a Lei do arrefecimento de Newton, de acordo com o modelo

T(t) = 25+48e^{-0{,}05t}

em que T(t) representa a temperatura da água, em graus Celsius, t minutos após o início do arrefecimento.

Recorrendo exclusivamente a métodos analíticos, determina T(0) e \lim\limits_{t \to +\infty} T(t). Interpreta os valores obtidos, no contexto do problema.

Item 19 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 11.03.2009

Para um certo valor de a, é contínua em \mathbb{R} a função f definida por

f(x) = \begin{cases} x^{2}-2x & \text{se } x < a\\[10pt] x^{2}-x+3 & \text{se } x \geq a\end{cases}

Qual é o valor de a?

  • (A)-3
  • (B)-2
  • (C)2
  • (D)3
Item 20 construçãoTeste Intermédio 12.º · 27.05.2009

Considera a função g, de domínio \left[-\dfrac{1}{2},\,+\infty\right[, definida por

g(x) = \begin{cases} 2x+\ln\left(1+x-x^{2}\right) & \text{se } -\dfrac{1}{2} \leq x < 1\\[10pt] 2 & \text{se } x = 1\\[10pt] \dfrac{x-1}{\sqrt{x}-1} & \text{se } x > 1\end{cases}

Verifica se a função g é contínua em x = 1, sem recorrer à calculadora.

Item 21 escolha múltiplaExame 2009 · 1.ª Fase

Para um certo número real positivo k, é contínua a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \log_{2}(k+x) & \text{se } x \geq 0\\[12pt] \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x} & \text{se } x < 0\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)1
  • (B)2
  • (C)3
  • (D)4
Item 22 construçãoExame 2009 · 2.ª Fase

Considera a função h, de domínio \mathbb{R}, definida por

h(x) = \begin{cases} \sqrt{x^{2}+4}-x & \text{se } x > 0\\[10pt] 2 & \text{se } x = 0\\[10pt] \dfrac{e^{2x}-1}{x} & \text{se } x < 0\end{cases}

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, estuda a continuidade de h no domínio \mathbb{R}.

Item 23 construçãoTeste Intermédio 12.º · 15.03.2010

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-2}{x-\sqrt{2x}} & \text{se } 0 < x < 2\\[10pt] xe^{-x}+x+1 & \text{se } x \geq 2\end{cases}

Usando exclusivamente métodos analíticos, averigua se a função f é contínua em x = 2.

Item 24 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 19.05.2010

Seja a um número real diferente de zero.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{ax}-1}{ax^{2}+a^{2}x}?

  • (A)\dfrac{1}{a}
  • (B)\dfrac{1}{2a}
  • (C)0
  • (D)+\infty
Item 25 construçãoExame 2010 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left]-\infty,\,2{\pi}\right], definida por

f(x) = \begin{cases} ax+b+e^{x} & \text{se } x \leq 0\\[12pt] \dfrac{x-\operatorname{sen}(2x)}{x} & \text{se } 0 < x \leq 2{\pi}\end{cases}

Determina o valor de b, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, de modo que f seja contínua em x = 0.

Item 26 construçãoExame 2010 · Época especial

Considera a função h, de domínio \mathbb{R}, definida por

h(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2x}-e^{x}}{x} & \text{se } x > 0\\[12pt] \ln\left(x^{2}+1\right) & \text{se } x \leq 0\end{cases}

Estuda a continuidade da função h em x = 0, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Item 27 escolha múltiplaExame 2011 · 2.ª Fase

Para um certo número real positivo k, a função g definida em \mathbb{R} por

g(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen} x}{3x} & \text{se } x > 0\\[12pt] \ln(k-x) & \text{se } x \leq 0\end{cases}

é contínua. Qual é o valor de k?

  • (A)\sqrt[3]{e}
  • (B)e^{3}
  • (C)-\dfrac{e}{3}
  • (D)3e
Item 28 construçãoExame 2011 · Época especial

A função f tem domínio \mathbb{R} e é definida por f(x) = {\pi}-4\operatorname{sen}(5x).

Calcula o valor de \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen} x}{f(x)-{\pi}}.

Item 29 construçãoTeste Intermédio 12.º · 24.05.2012

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{xe^{x}-2e^{2}}{x-2} & \text{se } x < 2\\[10pt] 3e^{x}+\ln(x-1) & \text{se } x \geq 2\end{cases}

Averigua se a função f é contínua em x = 2.

Item 30 escolha múltiplaExame 2012 · 1.ª Fase

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função g, de domínio \left[a,\,+\infty\right[, com a < -\dfrac{1}{3}.

x y 2 a g
Parte do gráfico de g, de domínio \left[a,\,+\infty\right[. Pela figura, g(a) = 2.

Para esse valor de a, a função f, contínua em \mathbb{R}, é definida por

f(x) = \begin{cases} \log_{3}\left(-x-\dfrac{1}{3}\right) & \text{se } x < a\\[10pt] g(x) & \text{se } x \geq a\end{cases}

Qual é o valor de a?

  • (A)-\dfrac{28}{3}
  • (B)-\dfrac{25}{3}
  • (C)-\dfrac{19}{3}
  • (D)-\dfrac{8}{3}
Item 31 construçãoExame 2012 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen} x}{1-\sqrt{1-x^{3}}} & \text{se } x < 0\\[12pt] 1-e^{k+1} & \text{se } x = 0\\[10pt] \dfrac{1-e^{4x}}{x} & \text{se } x > 0\end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}

Determina k, de modo que \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0), recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Item 32 construçãoExame 2012 · Época especial

Considera as funções f e g, de domínio \mathbb{R}, definidas, respetivamente, por

f(x) = -x+\operatorname{sen}\dfrac{x}{2} \qquad \text{e} \qquad g(x) = \begin{cases} \dfrac{f(x)}{x} & \text{se } x \neq 0\\[12pt] e^{k}-1 & \text{se } x = 0\end{cases}, \quad k \in \mathbb{R}

Determina k de modo que a função g seja contínua, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Item 33 construçãoTeste Intermédio 12.º · 28.02.2013 (adaptado)

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x+3}{\sqrt{x^{2}+9}} & \text{se } x \leq 4\\[12pt] \dfrac{\ln(3x-11)}{x-4} & \text{se } x > 4\end{cases}

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigua se a função f é contínua em x = 4.

Item 34 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 24.05.2013

Para um certo número real k, positivo, seja f a função, de domínio \left]-\infty,\,1\right[, definida por

f(x) = \begin{cases} \ln(k-x) & \text{se } x \leq 0\\[10pt] 2e^{x}+\dfrac{1}{\ln x} & \text{se } 0 < x < 1\end{cases}

Sabe-se que f é contínua. Qual é o valor de k?

  • (A)\ln 2
  • (B)e^{2}
  • (C)\ln 3
  • (D)e^{3}
Item 35 construçãoExame 2013 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} xe^{3+x}+2x & \text{se } x \leq 1\\[12pt] \dfrac{1-\sqrt{x}+\operatorname{sen}(x-1)}{1-x} & \text{se } x > 1\end{cases}

Averigua, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, se a função f é contínua em x = 1.

Item 36 construçãoExame 2013 · Época especial

Considera, para um certo número real k positivo, a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{1-e^{2x}} & \text{se } x < 0\\[10pt] \ln k & \text{se } x = 0\\[10pt] \dfrac{x}{2}-\ln\left(\dfrac{6x}{x+1}\right) & \text{se } x > 0\end{cases}

Determina k de modo que \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = f(0), recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Item 37 construçãoExame 2014 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x-4}-3x+11}{4-x} & \text{se } x < 4\\[10pt] \ln\left(2e^{x}-e^{4}\right) & \text{se } x \geq 4\end{cases}

Recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora, averigua se a função f é contínua em x = 4.

Item 38 escolha múltiplaExame 2014 · 2.ª Fase

Considera, para um certo número real k, a função f, contínua em \left[\dfrac{{\pi}}{4},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right], definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\cos x}{x-\dfrac{{\pi}}{2}} & \text{se } \dfrac{{\pi}}{4} \leq x < \dfrac{{\pi}}{2}\\[16pt] k-3 & \text{se } x = \dfrac{{\pi}}{2}\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)2
  • (D)4
Item 39 escolha múltiplaExame 2015 · 2.ª Fase

Para um certo número real k, é contínua em \mathbb{R} a função f definida por

f(x) = \begin{cases} 2+e^{x+k} & \text{se } x \leq 0\\[10pt] \dfrac{2x+\ln(x+1)}{x} & \text{se } x > 0\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)\ln 2
  • (D)\ln 3
Item 40 escolha múltiplaExame 2016 · 1.ª Fase

Seja a um número real diferente de 0.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to a} \dfrac{ae^{x-a}-a}{x^{2}-a^{2}}?

  • (A)\dfrac{1}{4}
  • (B)\dfrac{1}{2}
  • (C)1
  • (D)2
Item 41 construçãoExame 2016 · 2.ª Fase

O José e o António são estudantes de Economia. O José pediu emprestados 600 euros ao António para comprar um computador, tendo-se comprometido a pagar o empréstimo em prestações mensais sujeitas a um certo juro.

Nesse contrato, a prestação mensal p, em euros, que o José tem de pagar ao António é dada por

p = \dfrac{600x}{1-e^{-nx}}

em que n é o número de meses em que o empréstimo será pago e x é a taxa de juro mensal.

Determina, recorrendo a métodos analíticos, \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{600x}{1-e^{-nx}}, em função de n, e interpreta o resultado no contexto da situação descrita.

Item 42 escolha múltiplaExame 2016 · Época especial

Para um certo número real k, é contínua em \mathbb{R} a função f definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(3x+3)}{4x+4} & \text{se } x \neq -1\\[12pt] k+2 & \text{se } x = -1\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)-\dfrac{5}{3}
  • (B)-\dfrac{5}{4}
  • (C)\dfrac{5}{4}
  • (D)\dfrac{5}{3}
Item 43 construçãoExame 2018 · 1.ª Fase

Seja g a função, de domínio \left]-\infty,\,{\pi}\right], definida por

g(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2x}-1}{4x} & \text{se } x < 0\\[12pt] \dfrac{1}{2-\operatorname{sen}(2x)} & \text{se } 0 \leq x \leq {\pi}\end{cases}

Averigua se a função g é contínua no ponto 0. Justifica a tua resposta.

Item 44 construçãoExame 2019 · 1.ª Fase

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-\cos x}{x} & \text{se } x < 0\\[10pt] 0 & \text{se } x = 0\\[10pt] \dfrac{x}{x-\ln x} & \text{se } x > 0\end{cases}

Averigua se a função f é contínua no ponto 0. Justifica a tua resposta.

Item 45 escolha múltiplaExame 2019 · 2.ª Fase

Para um certo número real k, é contínua em \mathbb{R} a função f, definida por

f(x) = \begin{cases} \log_{3} k & \text{se } x = 1\\[10pt] \dfrac{x^{2}-1}{x-1} & \text{se } x \neq 1\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)5
  • (B)6
  • (C)8
  • (D)9
Item 46 escolha múltiplaExame 2019 · Época especial

Para um certo número real k, é contínua em \mathbb{R} a função f, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x-1}{x^{2}+x-2} & \text{se } x > 1\\[12pt] k & \text{se } x \leq 1\end{cases}

Qual é o valor de k?

  • (A)2
  • (B)3
  • (C)\dfrac{1}{3}
  • (D)\dfrac{1}{2}
Item 47 construçãoExame 2019 · Época especial

Considera a função f, definida em \left]0,\,{\pi}\right[ por f(x) = \dfrac{\operatorname{sen} x}{2+\cos x}.

Determina \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{f({\pi}-x)}{x}.

Item 48 construçãoExame 2020 · 2.ª Fase

Seja h a função, de domínio \left]-\infty,\,4\right[, definida por

h(x) = \begin{cases} 1+xe^{x-1} & \text{se } x \leq 1\\[12pt] \dfrac{\sqrt{x-1}}{\operatorname{sen}(x-1)} & \text{se } 1 < x < 4\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função h é contínua em x = 1.

Item 49 escolha múltiplaExame 2020 · Época especial

Para um certo número real k, seja g a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}-x}{k-kx} & \text{se } x < 1\\[10pt] x^{2}-10+8\ln x & \text{se } x \geq 1\end{cases}

Sabe-se que g é contínua no ponto 1.

Qual é o valor de k?

  • (A)\dfrac{1}{6}
  • (B)\dfrac{1}{7}
  • (C)\dfrac{1}{8}
  • (D)\dfrac{1}{9}
Item 50 construçãoExame 2021 · 1.ª Fase

Seja f a função, de domínio \left]0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \begin{cases} -x^{2}(1+2\ln x) & \text{se } 0 < x \leq 1\\[10pt] \dfrac{5-5e^{x-1}}{x^{2}+3x-4} & \text{se } x > 1\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função f é contínua em x = 1.

Item 51 escolha múltiplaExame 2021 · Época especial

Para conhecer a variação do número de bactérias de uma determinada estirpe, colocou-se num tubo de ensaio fechado, com alguns nutrientes, um certo número de bactérias dessa estirpe.

Admite que, nessas condições, o número, N, em milhares, de bactérias vivas existentes no tubo, t horas após a sua colocação nesse tubo, é dado por

N(t) = N_{0}\,e^{1{,}08t-0{,}3t^{2}}

em que N_{0} representa a dimensão, em milhares, da população inicial.

Com o decorrer do tempo, para que tende o número de bactérias vivas existentes no tubo?

  • (A)+\infty
  • (B)0{,}78N_{0}
  • (C)N_{0}
  • (D)0
Item 52 construçãoExame 2022 · 1.ª Fase

Seja f a função, de domínio \mathbb{R} \setminus \{-2\}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2-x}}{x+2} & \text{se } x < -2 \lor x \geq 2\\[12pt] \dfrac{\operatorname{sen}(x-2)}{x^{2}-4} & \text{se } -2 < x < 2\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função f é contínua em x = 2.

Item 53 construçãoExame 2022 · 2.ª Fase

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-\cos x}{x} & \text{se } x < 0\\[12pt] \ln\sqrt{e+x} & \text{se } x \geq 0\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função f é contínua em x = 0.

Item 54 construçãoExame 2022 · Época especial

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x}{e^{5x}-1} & \text{se } x \neq 0\\[10pt] \dfrac{3}{5} & \text{se } x = 0\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função f é contínua em x = 0.

Item 55 construçãoExame 2023 · 1.ª Fase

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}, definida por

g(x) = \begin{cases} \dfrac{4x-4}{e^{x-1}-1} & \text{se } x < 1\\[10pt] 7 \times 3^{x-1}-3 & \text{se } x \geq 1\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função g é contínua em x = 1.

Item 56 escolha múltiplaExame 2023 · 2.ª Fase

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}?

  • (A)0
  • (B)\dfrac{1}{2}
  • (C)1
  • (D)2
Item 57 construçãoExame 2023 · Época especial (adaptado)

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida, para um certo a \in \mathbb{R}^{+}, por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(ax)}{e^{x}-1} & \text{se } x < 0\\[12pt] \ln\left(2-e^{-x}\right)+x+2 & \text{se } x \geq 0\end{cases}

Sem recorrer à calculadora, determina o valor de a para o qual a função f é contínua em x = 0.

Item 58 construçãoExame 2024 · 2.ª Fase

Seja f uma função contínua, de domínio \left[0,\,+\infty\right[, com f(0) = 2, e seja g uma função, de domínio \mathbb{R}, definida, para um certo valor de k real, por

g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{se } x \geq 0\\[10pt] \dfrac{e^{-k}\left(e^{x}-1\right)}{-x^{2}+2x} & \text{se } x < 0\end{cases}

Determina, sem recorrer à calculadora, o valor de k, sabendo que a função g é contínua em x = 0.

Item 59 construçãoExame 2024 · Época especial

Seja f a função, de domínio \left]-2{\pi},\,2{\pi}\right], definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-e^{6x}}{3x} & \text{se } -2{\pi} < x < 0\\[12pt] \dfrac{4\cos x}{\operatorname{sen} x - 2} & \text{se } 0 \leq x \leq 2{\pi}\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função f é contínua em x = 0.

Item 60 construçãoExame 2025 · 1.ª Fase

Seja g a função, de domínio \left]-\infty,\,{\pi}\right], definida por

g(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen} x}{1-\sqrt{1-x}} & \text{se } x < 0\\[12pt] 2\operatorname{sen}^{2} x - 3x + 2 & \text{se } 0 \leq x \leq {\pi}\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função g é contínua em x = 0.

Item 61 construçãoExame 2025 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-e^{-x}}{x} & \text{se } x < 0\\[10pt] 1 & \text{se } x = 0\\[10pt] \dfrac{x^{2}+\ln(ex+e)}{x+1} & \text{se } x > 0\end{cases}

Averigua, sem recorrer à calculadora, se a função f é contínua em x = 0.

Item 62 construçãoExame 2026 · 1.ª Fase

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} 4-e^{3-x}(x+1)-\dfrac{1}{2}x^{2} & \text{se } x \leq 3\\[10pt] \dfrac{e^{x-3}-1}{x^{2}-9} & \text{se } x > 3\end{cases}

Sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, averigua se a função f é contínua em x = 3.

Lê no gráfico: g(3) é um número positivo; e f(x) aproxima-se de zero — por que lado?

  1. Como g é contínua e o seu gráfico está acima do eixo em x = 3, tem-se \lim\limits_{x \to 3^{-}} g(x) = g(3) = k, com k > 0.
  2. Como f é contínua, f(3) = 0; e à esquerda de 3 o gráfico de f está acima do eixo, logo f(x) \to 0^{+}.
  3. Logo \lim_{x \to 3^{-}} \frac{g(x)}{f(x)} = \frac{k}{0^{+}} = +\infty. Atenção ao sinal: com 0^{-} a resposta seria -\infty. Metade dos erros neste tipo de item está aqui.
RespostaOpção (D)

Não há indeterminação nenhuma: calcula os dois limites em separado e repara nos sinais.

  1. O numerador. \lim\limits_{x \to 0^{+}} \log_{2} x = -\infty.
  2. O denominador. Para x pequeno e positivo, \operatorname{sen} x > 0, logo \lim\limits_{x \to 0^{+}} \operatorname{sen} x = 0^{+}.
  3. O quociente. \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log_{2} x}{\operatorname{sen} x} = \frac{-\infty}{0^{+}} = -\infty.Ver um seno em baixo faz pensar logo no limite notável — mas esse é \frac{\operatorname{sen} x}{x}, e aqui em cima está um logaritmo. Não há indeterminação: \frac{-\infty}{0^{+}} é imediato.
RespostaOpção (A)

Basta igualar o limite à direita a f(0) = 0.

  1. A imagem. f(0) = 0, e \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = 0.
  2. Limite à direita. \lim\limits_{x \to 0^{+}} \ln(x+k) = \ln k.
  3. Igualar. \ln k = 0 \iff k = e^{0} = 1.E k = 1 > 0, como o logaritmo exige — vale a pena verificá-lo.
RespostaOpção (C)

Continuidade em t = 60: o limite à esquerda tem de ser igual a f(60).

  1. A imagem. f(60) = 6+A \times 2^{0} = 6+A.
  2. Limite à esquerda. \lim_{t \to 60^{-}} \left(20+80 \times 2^{-0{,}05t}\right) = 20+80 \times 2^{-3} = 20+\frac{80}{8} = 20+10 = 30.
  3. Igualar. Como f é contínua em 60, 6+A = 30 \iff A = 24.
RespostaA = 24

Não é indeterminação. Vê para onde vai cada parcela, e não te esqueças do sinal do denominador.

  1. Quando x \to 0^{+}: \log_{2} x \to -\infty.
  2. E e^{x}-1 \to e^{0}-1 = 0, por valores positivos (pois x > 0 \Rightarrow e^{x} > 1): tende para 0^{+}.
  3. Logo \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\log_{2} x}{e^{x}-1} = \frac{-\infty}{0^{+}} = -\infty.
RespostaOpção (C)

A assíntota y = 0 diz que f(x) \to 0. Como f é positiva, tende para 0^{+}.

  1. Sendo y = 0 assíntota horizontal, \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0; e como f é positiva, esse zero é 0^{+}.
  2. Logo \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty.
RespostaOpção (C)

Duas palavras do enunciado decidem tudo: positiva e assíntota y = 0. Juntas dão o sinal do limite de f.

  1. O limite de f. A reta y = 0 é assíntota, logo \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0. E como f é positiva, aproxima-se de zero por valores positivos: \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^{+}.
  2. O inverso. \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty.Sem a positividade não se poderia escrever 0^{+}, e o limite podia não existir. A opção (D) é para quem esquece esse detalhe.
RespostaOpção (C)

Três coisas: contínua em \mathbb{R}^{-}, contínua em \mathbb{R}^{+}, e contínua em 0. A terceira é a única que dá trabalho.

  1. Em \mathbb{R}^{-}. Quociente de funções contínuas com denominador não nulo: f é contínua.
  2. Em \mathbb{R}^{+}. Função racional cujo denominador 2x+2 não se anula para x \geq 0: f é contínua.
  3. Em x = 0: a imagem. f(0) = \dfrac{2}{2} = 1.
  4. Limite à direita. \lim\limits_{x \to 0^{+}} \dfrac{3x+2}{2x+2} = \dfrac{2}{2} = 1.
  5. Limite à esquerda. \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{x}-1}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} 1, pelo limite notável.
  6. Os três valores são 1, logo f é contínua em 0 e, portanto, contínua em \mathbb{R}.
RespostaContínua em \mathbb{R}^{-}, em \mathbb{R}^{+} e em 0, logo em \mathbb{R}

De N < M tira-se o sinal de N-M. É esse sinal que decide para onde vai a exponencial.

  1. Como N < M, tem-se N-M < 0, logo (N-M)t \to -\infty quando t \to +\infty.
  2. Assim \lim_{t \to +\infty} P(t) = 5{,}2 \times 10^{7} \times \lim_{u \to -\infty} e^{u} = 5{,}2 \times 10^{7} \times 0 = 0.
  3. Interpretação. Se a taxa de mortalidade for superior à de natalidade, a população tende a extinguir-se com o passar dos anos.
Resposta\lim P(t) = 0: a população extingue-se

À direita, separa a fracção em duas parcelas: uma é 3, a outra é um limite notável.

  1. A imagem e o limite à esquerda. f(0) = k+\operatorname{sen} 0 = k, e o ramo é contínuo, logo o limite à esquerda também é k.
  2. Limite à direita. Separando, \frac{3x+\ln(1+x)}{x} = 3 + \frac{\ln(1+x)}{x} \longrightarrow 3+1 = 4, pelo limite notável \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1.
  3. Resolver. k = 4.A opção (C) é a armadilha: quem esquece o +1 do limite notável fica-se pelo 3.
RespostaOpção (D)

Três leituras diferentes, uma por cada função a rejeitar: o que acontece enquanto aquece, o que acontece aos cinco minutos, e o que acontece no instante inicial.

  1. A temperatura ambiente. Em qualquer das quatro, o limite quando t \to +\infty é 24: a temperatura ambiente é 24.
  2. Rejeitar a. Nos primeiros cinco minutos a água está ao lume, logo a temperatura tem de subir. Ora 24-2t é uma reta de declive negativo: descreve um arrefecimento.
  3. Rejeitar b. A temperatura varia de forma contínua, mas b(5) = 12 \times 7 = 84 \quad \text{e} \quad \lim_{t \to 5^{+}} b(t) = 24+70 = 94. Há um salto de 10 graus no instante em que se apaga o lume.
  4. Rejeitar c. No instante inicial a temperatura era a ambiente, isto é, 24. Ora c(0) = 14 \times 1 = 14 \neq 24.
  5. Fica d. d(0) = 24 (parte da ambiente), é crescente em \left[0,\,5\right], e d(5) = 84 = 24+60e^{0} (é contínua). Depois decresce para 24.Cada uma das três razões usa uma hipótese diferente do enunciado. Numa composição, é isso que se procura: uma razão por opção, e razões que não se repitam.
RespostaA função d. a decresce a aquecer · b não é contínua em 5 · c(0) \neq 24

Um dos limites é finito e não nulo; o outro é infinito. Um quociente \dfrac{k}{\infty} não é indeterminação.

  1. Pela figura, \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) = k, um número real finito (o valor da reta em x=1).
  2. Também pela figura, \lim\limits_{x \to 1^{+}} g(x) = -\infty, porque x = 1 é assíntota vertical.
  3. Logo \lim_{x \to 1^{+}} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{k}{-\infty} = 0.
RespostaOpção (A)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

Em cada ramo, põe x em evidência em cima e em baixo. À direita aparece o limite notável do logaritmo.

  1. A imagem. f(0) = 2.
  2. Limite à esquerda. \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x(x+2)}{x\left(x^{2}+1\right)} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{x+2}{x^{2}+1} = \frac{2}{1} = 2.
  3. Limite à direita. Pondo x em evidência, \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x\left[3x-\ln(x+1)\right]}{x^{2}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \left(3 - \frac{\ln(x+1)}{x}\right) = 3-1 = 2, pelo limite notável \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1.
  4. Os três valores são 2: f é contínua em x = 0.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a 2

Não é indeterminação: \dfrac{1}{0}. Só falta decidir o sinal do zero.

  1. Quando x \to 2^{+}, tem-se x > 2, logo x^{2} > 4 e 4-x^{2} < 0: o denominador tende para 0^{-}.
  2. Logo \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{4-x^{2}} = \frac{1}{0^{-}} = -\infty.
RespostaOpção (D)

Lê no gráfico os dois limites laterais de f em 3. Repara nos sinais: um é negativo, o outro positivo.

  1. Pela figura, \lim\limits_{x \to 3^{-}} f(x) é um número negativo (o ponto aberto está abaixo do eixo).
  2. Logo \lim\limits_{x \to 3^{-}} \dfrac{1}{f(x)} < 0.
  3. Do outro lado, \lim\limits_{x \to 3^{+}} f(x) é um número positivo (o ponto cheio está acima do eixo), logo \lim\limits_{x \to 3^{+}} \dfrac{1}{f(x)} > 0.
  4. Os limites laterais têm sinais contrários, logo são diferentes: não existe \lim\limits_{x \to 3} \dfrac{1}{f(x)}.Não é preciso conhecer os valores. Basta que os dois lados não coincidam — e sinais contrários garantem-no.
RespostaOpção (D)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À esquerda, separa: \dfrac{e^{x}-1+x}{x} = \dfrac{e^{x}-1}{x} + 1.

  1. A imagem. f(0) = 2-0+\ln 1 = 2.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = 2.
  3. Limite à esquerda. Separando a fracção, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{x}-1+x}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \left(\frac{e^{x}-1}{x}+1\right) = 1+1 = 2.
  4. Os três valores são 2: f é contínua em x = 0.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a 2

É um modelo logístico. O denominador tende para 1: o que sobra é a capacidade do meio.

  1. O valor inicial. N(0) = \dfrac{2000}{1+199e^{0}} = \dfrac{2000}{200} = 10.
  2. O limite. Como e^{-0{,}01t} \to 0 quando t \to +\infty, \lim_{t \to +\infty} N(t) = \frac{2000}{1+199 \times 0} = 2000.
  3. Interpretação. A associação foi fundada por 10 amigos. Com o passar do tempo o número de sócios tende para 2000, sem nunca o atingir: é o limite de crescimento do modelo.
RespostaN(0) = 10 sócios e \lim N = 2000 sócios

e^{-0{,}05t} \to 0 quando t \to +\infty. E a interpretação vale metade da cotação.

  1. O valor inicial. T(0) = 25+48e^{0} = 25+48 = 73.
  2. O limite. Como -0{,}05t \to -\infty, tem-se e^{-0{,}05t} \to 0, logo \lim_{t \to +\infty} T(t) = 25+48 \times 0 = 25.
  3. Interpretação. No instante em que se interrompeu o aquecimento a água estava a 73^{\circ}C. Com o passar do tempo, a temperatura aproxima-se de 25^{\circ}C, que é a temperatura ambiente — a água arrefece até ficar à temperatura do local.
RespostaT(0) = 73^{\circ}C e \lim T = 25^{\circ}C, a temperatura ambiente

Os dois ramos são polinómios, logo contínuos. Basta que os valores coincidam em x = a.

  1. Cada ramo é polinomial, logo contínuo. O único ponto crítico é x = a.
  2. Igualar os dois ramos em a. a^{2}-2a = a^{2}-a+3 \iff -2a+a = 3 \iff -a = 3 \iff a = -3.
RespostaOpção (A)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita, repara que x-1 = \left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right).

  1. A imagem. g(1) = 2.
  2. Limite à esquerda. 1+x-x^{2} \to 1, logo \lim_{x \to 1^{-}} \left[2x+\ln\left(1+x-x^{2}\right)\right] = 2+\ln 1 = 2.
  3. Cálculo auxiliar. Para x > 0, x-1 = \left(\sqrt{x}\right)^{2}-1^{2} = \left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right).
  4. Limite à direita. \lim_{x \to 1^{+}} \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 1^{+}} \left(\sqrt{x}+1\right) = 2.
  5. Os três valores são 2: g é contínua em x = 1.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a 2

À esquerda, ajusta ao limite notável: \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = 2 \times \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}. Depois resolve \log_{2} k = \ldots.

  1. A imagem. f(0) = \log_{2} k.
  2. Limite à esquerda. \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = 2\lim_{x \to 0^{-}} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} = 2.
  3. Resolver. \log_{2} k = 2 \iff k = 2^{2} = 4.Um logaritmo igualado a um número resolve-se sempre da mesma maneira: passa-se à forma exponencial. Aqui, base 2 e expoente 2.
RespostaOpção (D)

Trata primeiro os intervalos \mathbb{R}^{-} e \mathbb{R}^{+} pela lista de funções contínuas; o único ponto a investigar é x = 0.

  1. Fora de 0. Em \mathbb{R}^{+}, h é diferença de funções contínuas (uma raiz de um polinómio sempre positivo e a identidade), logo é contínua. Em \mathbb{R}^{-}, é quociente de contínuas com denominador não nulo, logo é contínua.Este passo vale cotação. Estudar só o ponto de junção deixa metade da resposta por dar.
  2. Em x = 0: a imagem. h(0) = 2.
  3. Limite à direita. \lim\limits_{x \to 0^{+}}\left(\sqrt{x^{2}+4}-x\right) = \sqrt{4}-0 = 2.
  4. Limite à esquerda. Com y = 2x \to 0, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{2x}-1}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} 2\lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{2x}-1}{2x} = 2 \times 1 = 2.
  5. Os três valores são 2: h é contínua em 0 e, portanto, contínua em \mathbb{R}.
RespostaContínua em \mathbb{R}

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À esquerda há uma raiz no denominador: multiplica em cima e em baixo pelo conjugado x+\sqrt{2x}.

  1. A imagem. f(2) = 2e^{-2}+3 = \dfrac{2}{e^{2}}+3.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = \dfrac{2}{e^{2}}+3.
  3. Cálculo auxiliar. Multiplicando pelo conjugado, \frac{x-2}{x-\sqrt{2x}} = \frac{(x-2)\left(x+\sqrt{2x}\right)}{x^{2}-2x} = \frac{(x-2)\left(x+\sqrt{2x}\right)}{x(x-2)} = \frac{x+\sqrt{2x}}{x}.
  4. Limite à esquerda. \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x-2}{x-\sqrt{2x}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 2^{-}} \frac{x+\sqrt{2x}}{x} = \frac{2+2}{2} = 2.
  5. Como \dfrac{2}{e^{2}}+3 \approx 3{,}27 \neq 2, f não é contínua em x = 2.
RespostaNão é contínua: \lim\limits_{x\to2^{-}} f = 2 \neq \frac{2}{e^{2}}+3

Põe ax em evidência no denominador e faz aparecer o limite notável.

  1. A forma. Substituindo, \dfrac{e^{0}-1}{0} = \dfrac{0}{0}.
  2. Factorizar. ax^{2}+a^{2}x = ax(x+a).
  3. O limite. \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{ax(x+a)} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{e^{ax}-1}{ax} \times \frac{1}{x+a} = 1 \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a}.
RespostaOpção (A)

À direita, separa: \dfrac{x-\operatorname{sen}(2x)}{x} = 1 - \dfrac{\operatorname{sen}(2x)}{x}. O a não entra na conta.

  1. A imagem e o limite à esquerda. f(0) = a \times 0 + b + e^{0} = b+1, e o ramo é contínuo, logo o limite à esquerda também é b+1.
  2. Limite à direita. Separando, \frac{x-\operatorname{sen}(2x)}{x} = 1 - 2 \times \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x} \longrightarrow 1-2 = -1.
  3. Resolver. b+1 = -1 \iff b = -2.O parâmetro a multiplica x, e em x = 0 desaparece: por isso a continuidade em 0 não diz nada sobre ele.
Respostab = -2

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita, escreve e^{2x}-e^{x} = \left(e^{2x}-1\right)-\left(e^{x}-1\right) e separa em duas fracções.

  1. A imagem. h(0) = \ln 1 = 0.
  2. Limite à esquerda. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 0^{-}} h(x) = 0.
  3. Limite à direita. Somando e subtraindo 1, \frac{e^{2x}-e^{x}}{x} = 2 \times \frac{e^{2x}-1}{2x} - \frac{e^{x}-1}{x} \longrightarrow 2 \times 1 - 1 = 1.
  4. Como 0 \neq 1, os limites laterais são diferentes: h não é contínua em x = 0.Somar e subtrair 1 não muda nada e faz aparecer dois limites notáveis. É o mesmo movimento de completar o quadrado, aplicado a exponenciais.
RespostaNão é contínua: 0 \neq 1

Iguala g(0) = \ln k ao limite à direita, que é o limite notável do seno dividido por 3.

  1. A imagem e o limite à esquerda. g(0) = \ln(k-0) = \ln k, e o ramo é contínuo em 0 (com k > 0).
  2. Limite à direita. \lim_{x \to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen} x}{3x} = \frac{1}{3}\lim_{x \to 0^{+}} \frac{\operatorname{sen} x}{x} = \frac{1}{3}.
  3. Resolver. \ln k = \dfrac{1}{3} \iff k = e^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{e}.A opção e^{3} é o erro simétrico: trocar \ln k = \frac{1}{3} por \ln k = 3. Escrever a exponencial devagar evita-o.
RespostaOpção (A)

Repara que f(x)-{\pi} = -4\operatorname{sen}(5x). Depois é juntar dois limites notáveis do seno, um em cima e outro em baixo.

  1. Simplificar o denominador. f(x)-{\pi} = -4\operatorname{sen}(5x).
  2. Preparar os dois notáveis. \frac{\operatorname{sen} x}{-4\operatorname{sen}(5x)} = -\frac{1}{20} \times \frac{\operatorname{sen} x}{x} \times \frac{5x}{\operatorname{sen}(5x)}.
  3. Os dois quocientes tendem para 1, logo \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{f(x)-{\pi}} = -\frac{1}{20}.O truque é multiplicar e dividir pelos argumentos certos, x e 5x, e arrumar as constantes à frente. O -\frac{1}{20} vem de \frac{1}{-4} \times \frac{1}{5}.
Resposta-\dfrac{1}{20}

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

O limite da esquerda é uma razão incremental disfarçada: qual é a função e qual é o ponto?

  1. A imagem. f(2) = 3e^{2}+\ln 1 = 3e^{2}.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = 3e^{2}.
  3. Limite à esquerda. Com g(x) = xe^{x}, tem-se g(2) = 2e^{2} e \lim_{x \to 2^{-}} \frac{xe^{x}-2e^{2}}{x-2} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 2^{-}} \frac{g(x)-g(2)}{x-2} = g'(2). Reconhecer a razão incremental poupa a regra de L’Hôpital — e mostra que se percebeu o que ali está.
  4. Cálculo auxiliar. g'(x) = e^{x}+xe^{x} = (1+x)e^{x}, logo g'(2) = 3e^{2}.
  5. Os três valores são 3e^{2}: f é contínua em x = 2.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a 3e^{2}

A figura dá g(a) = 2. Como f é contínua em a, o limite à esquerda tem de valer 2 também.

  1. Do gráfico. f(a) = g(a) = 2, e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x) = 2.
  2. Limite à esquerda. O ramo é contínuo, logo \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \log_{3}\left(-a-\frac{1}{3}\right).
  3. Igualar. \log_{3}\left(-a-\frac{1}{3}\right) = 2 \iff -a-\frac{1}{3} = 9 \iff -a = \frac{28}{3} \iff a = -\frac{28}{3}.
  4. E de facto -\dfrac{28}{3} < -\dfrac{1}{3}, como o enunciado exigia.
RespostaOpção (A)

Só o ramo da direita entra na conta. Ajusta ao limite notável: \dfrac{1-e^{4x}}{x} = -4 \times \dfrac{e^{4x}-1}{4x}.

  1. O limite à direita. É \frac{0}{0}. Escrevendo \frac{1-e^{4x}}{x} = -4 \times \frac{e^{4x}-1}{4x}, e com y = 4x \to 0, vem \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = -4 \times 1 = -4.
  2. Igualar a f(0). 1-e^{k+1} = -4 \iff e^{k+1} = 5 \iff k+1 = \ln 5 \iff k = \ln 5 - 1.O ramo da esquerda, com o seno, não é usado: o enunciado só pede a igualdade com o limite à direita. Ler o que é pedido poupa metade do trabalho.
Respostak = \ln 5 - 1

Fora de 0, g já é contínua. Falta só \lim\limits_{x \to 0} g(x) = g(0). Separa a fracção em duas parcelas.

  1. Onde falta verificar. Em \mathbb{R}\setminus\{0\}, g resulta de operações entre funções contínuas. Só é preciso a continuidade em 0.
  2. O limite. Separando, \frac{-x+\operatorname{sen}\frac{x}{2}}{x} = -1 + \frac{\operatorname{sen}\frac{x}{2}}{x} = -1 + \frac{1}{2} \times \frac{\operatorname{sen}\frac{x}{2}}{\frac{x}{2}}.
  3. Com y = \dfrac{x}{2} \to 0, o último fator tende para 1: \lim_{x \to 0} g(x) = -1 + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}.
  4. Resolver. e^{k}-1 = -\dfrac{1}{2} \iff e^{k} = \dfrac{1}{2} \iff k = \ln\dfrac{1}{2} = -\ln 2.O \frac{1}{2} aparece duas vezes e por razões diferentes: uma vem do argumento do seno, a outra é o valor do limite. Confundi-las é fácil.
Respostak = -\ln 2

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita, faz y = 3x-12 \to 0 e reconhece \lim\limits_{y \to 0}\dfrac{\ln(1+y)}{y} = 1.

  1. A imagem. f(4) = \dfrac{15}{\sqrt{25}} = \dfrac{15}{5} = 3.
  2. Limite à esquerda. O ramo é contínuo em x = 4, logo \lim\limits_{x \to 4^{-}} f(x) = 3.
  3. Limite à direita. Escrevendo 3x-11 = 1+3(x-4), e com y = 3(x-4) \to 0: \lim_{x \to 4^{+}} \frac{\ln\left(1+3(x-4)\right)}{x-4} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} 3\lim_{y \to 0^{+}} \frac{\ln(1+y)}{y} = 3 \times 1 = 3.
  4. Os três valores são 3: f é contínua em x = 4.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a 3

Quando x \to 0^{+}, para que tende \ln x? E então \dfrac{1}{\ln x}?

  1. Limite à direita. Quando x \to 0^{+}, \ln x \to -\infty, logo \dfrac{1}{\ln x} \to 0. Assim \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 2e^{0}+0 = 2.
  2. A imagem e o limite à esquerda. f(0) = \ln k, e o ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = \ln k.
  3. Igualar. \ln k = 2 \iff k = e^{2}.
RespostaOpção (B)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita é \frac{0}{0}. Deriva numerador e denominador — a raiz deriva-se com a regra da potência de expoente real.

  1. A imagem. f(1) = 1 \times e^{4} + 2 = e^{4}+2.
  2. Limite à esquerda. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = e^{4}+2.
  3. Limite à direita. É \frac{0}{0}. As derivadas são -\dfrac{1}{2\sqrt{x}}+\cos(x-1) e -1, logo \lim_{x \to 1^{+}} \frac{1-\sqrt{x}+\operatorname{sen}(x-1)}{1-x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \frac{-\dfrac{1}{2}+1}{-1} = -\frac{1}{2}.
  4. Como e^{4}+2 \neq -\dfrac{1}{2}, os limites laterais são diferentes: f não é contínua em x = 1.Nem era preciso a conta toda: o ramo da esquerda dá um número maior do que 50, e o da direita está entre -1 e 0. Um enquadramento grosseiro já decidia.
RespostaNão é contínua: e^{4}+2 \neq -\frac{1}{2}

Só o ramo da esquerda interessa. Escreve 1-e^{2x} = -\left(e^{2x}-1\right) e faz aparecer 2x.

  1. O limite. Com y = 2x \to 0: \lim_{x \to 0^{-}} \frac{3x}{1-e^{2x}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{-\dfrac{3}{2} \times 2x}{e^{2x}-1} = -\frac{3}{2} \times \frac{1}{1} = -\frac{3}{2}.
  2. Igualar a f(0). \ln k = -\frac{3}{2} \iff k = e^{-3/2}.
Respostak = e^{-3/2}

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À esquerda, separa a fracção em duas: uma dá o limite notável, a outra sai por substituição.

  1. A imagem. f(4) = \ln\left(2e^{4}-e^{4}\right) = \ln e^{4} = 4.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 4^{+}} f(x) = f(4) = 4.
  3. Limite à esquerda. Escrevendo -3x+11 = -3(x-4)-1: \frac{e^{x-4}-3x+11}{4-x} = \frac{e^{x-4}-1}{-(x-4)} + \frac{-3(x-4)}{-(x-4)} = -\frac{e^{x-4}-1}{x-4} + 3.
  4. Com y = x-4 \to 0: \lim_{x \to 4^{-}} f(x) \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} -1 + 3 = 2.
  5. Como 2 \neq 4, f não é contínua em x = 4.
RespostaNão é contínua: \lim\limits_{x\to4^{-}} f = 2 \neq 4 = f(4)

A continuidade em \frac{{\pi}}{2} obriga k-3 a ser o limite à esquerda. É \frac{0}{0}: L’Hôpital resolve numa linha.

  1. O que a continuidade obriga. f\left(\dfrac{{\pi}}{2}\right) = k-3, e tem de ser igual ao limite à esquerda.
  2. O limite. Numerador e denominador anulam-se em \dfrac{{\pi}}{2}. Por L’Hôpital, \lim_{x \to \left(\frac{{\pi}}{2}\right)^{-}} \frac{\cos x}{x-\dfrac{{\pi}}{2}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to \left(\frac{{\pi}}{2}\right)^{-}} \frac{-\operatorname{sen} x}{1} = -\operatorname{sen}\frac{{\pi}}{2} = -1.
  3. Resolver. k-3 = -1 \iff k = 2.Repara na estrutura: \frac{\cos x}{x-\frac{{\pi}}{2}} é a razão incremental do cosseno em \frac{{\pi}}{2}. O limite é, por definição, \left(\cos x\right)^{\prime} nesse ponto.
RespostaOpção (C)

À direita, separa a fracção em duas parcelas: uma é 2, a outra é um limite notável.

  1. À esquerda. f(0) = 2+e^{k}, e o ramo é contínuo, logo o limite à esquerda é o mesmo.
  2. À direita. Separando, \frac{2x+\ln(x+1)}{x} = 2 + \frac{\ln(x+1)}{x} \longrightarrow 2+1 = 3, pelo limite notável \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{\ln(x+1)}{x} = 1.
  3. Resolver. 2+e^{k} = 3 \iff e^{k} = 1 \iff k = 0.Separar a fracção é o movimento que faz aparecer o limite notável. Com L’Hôpital dava o mesmo, mas com mais contas.
RespostaOpção (A)

Põe a em evidência em cima e factoriza x^{2}-a^{2}. Depois faz y = x-a.

  1. A forma. Substituindo, \dfrac{a e^{0}-a}{a^{2}-a^{2}} = \dfrac{0}{0}.
  2. Factorizar. ae^{x-a}-a = a\left(e^{x-a}-1\right) e x^{2}-a^{2} = (x-a)(x+a).
  3. O limite. Com y = x-a \to 0, \lim_{x \to a} \frac{a\left(e^{x-a}-1\right)}{(x-a)(x+a)} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} a \lim_{x \to a} \frac{e^{x-a}-1}{x-a} \times \frac{1}{x+a} = a \times 1 \times \frac{1}{2a} = \frac{1}{2}.
RespostaOpção (B)

Escreve 1-e^{-nx} = -\left(e^{-nx}-1\right) e faz aparecer o limite notável com y = -nx. E não te esqueças da interpretação: metade da cotação está aí.

  1. A forma. Substituindo, \dfrac{0}{1-e^{0}} = \dfrac{0}{0}: indeterminação.
  2. Cálculo auxiliar. Com y = -nx (e n \neq 0), quando x \to 0 também y \to 0, e x = -\dfrac{y}{n}.
  3. O limite. \lim_{x \to 0} \frac{600x}{1-e^{-nx}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{y \to 0} \frac{-\dfrac{600y}{n}}{-\left(e^{y}-1\right)} = \frac{600}{n}\lim_{y \to 0}\frac{y}{e^{y}-1} = \frac{600}{n}.
  4. Interpretação. Se a taxa de juro for arbitrariamente próxima de zero, a prestação mensal aproxima-se de \dfrac{600}{n} euros — ou seja, o José paga os 600 euros em n prestações iguais, sem juro nenhum.
Resposta\dfrac{600}{n}: sem juro, os 600 € repartidos por n meses

Põe 3 e 4 em evidência: \dfrac{\operatorname{sen}\left(3(x+1)\right)}{4(x+1)}. Depois é o limite notável com y = 3(x+1).

  1. O que a continuidade obriga. f(-1) = k+2, e é preciso k+2 = \lim\limits_{x \to -1} f(x).
  2. Ajustar ao limite notável. \frac{\operatorname{sen}\left(3(x+1)\right)}{4(x+1)} = \frac{3}{4} \times \frac{\operatorname{sen}\left(3(x+1)\right)}{3(x+1)}.
  3. Com y = 3(x+1) \to 0, o segundo fator tende para 1, logo o limite é \dfrac{3}{4}.
  4. Resolver. k+2 = \dfrac{3}{4} \iff k = \dfrac{3}{4}-2 = -\dfrac{5}{4}.As três opções erradas são os enganos previsíveis: esquecer o -2, trocar 3 com 4, ou trocar o sinal. Vale a pena fazer a subtração devagar.
RespostaOpção (B)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À esquerda, ajusta ao limite notável: \dfrac{e^{2x}-1}{4x} = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{e^{2x}-1}{2x}.

  1. A imagem. g(0) = \dfrac{1}{2-\operatorname{sen} 0} = \dfrac{1}{2}.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo (o denominador nunca se anula, porque \operatorname{sen}(2x) \leq 1 < 2), logo \lim\limits_{x \to 0^{+}} g(x) = \dfrac{1}{2}.
  3. Limite à esquerda. É \frac{0}{0}. Com y = 2x \to 0, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{2x}-1}{4x} = \frac{1}{2}\lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{2x}-1}{2x} = \frac{1}{2} \times 1 = \frac{1}{2}.
  4. Os três valores são \dfrac{1}{2}: g é contínua em 0.A observação 2-\operatorname{sen}(2x) \geq 1 não é decorativa: é ela que garante que o segundo ramo está definido — e contínuo — em todo o intervalo.
RespostaÉ contínua: os três valores são \frac{1}{2}

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita não há indeterminação: repara para onde tende \ln x quando x \to 0^{+}.

  1. A imagem. f(0) = 0.
  2. Limite à direita. Quando x \to 0^{+}, tem-se \ln x \to -\infty, logo o denominador tende para 0^{+}-(-\infty) = +\infty: \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{x-\ln x} = \frac{0^{+}}{+\infty} = 0.
  3. Limite à esquerda. É \frac{0}{0}. Por L’Hôpital, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1-\cos x}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\operatorname{sen} x}{1} = 0.
  4. Os três valores são 0: f é contínua em 0.O ramo da direita parece uma indeterminação e não é: basta ver que -\ln x explode. Vale a pena substituir antes de derivar seja o que for.
RespostaÉ contínua: os três valores são 0

x^{2}-1 é uma diferença de quadrados. Depois de simplificar deixa de haver indeterminação.

  1. O limite. \lim_{x \to 1} \frac{x^{2}-1}{x-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 1} \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = \lim_{x \to 1}(x+1) = 2.
  2. Continuidade. É preciso f(1) = 2, isto é, \log_{3} k = 2 \iff k = 3^{2} = 9.
RespostaOpção (D)

A continuidade em 1 obriga k = \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x). Fatoriza o denominador: 1 é raiz.

  1. O que a continuidade obriga. À esquerda de 1 a função vale k, e f(1) = k. Logo tem de ser k = \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x).
  2. Fatorizar. Como 1 é raiz de x^{2}+x-2, vem x^{2}+x-2 = (x-1)(x+2), e para x \neq 1 \frac{x-1}{x^{2}+x-2} = \frac{1}{x+2}.
  3. O limite. \lim\limits_{x \to 1^{+}} \dfrac{1}{x+2} = \dfrac{1}{3}, logo k = \dfrac{1}{3}.Fatorizar é mais rápido do que L’Hôpital e dá o mesmo. Sempre que numerador e denominador são polinómios com a mesma raiz, é por aí que se começa.
RespostaOpção (C)

Começa por escrever f({\pi}-x). As igualdades \operatorname{sen}({\pi}-x) = \operatorname{sen} x e \cos({\pi}-x) = -\cos x simplificam tudo.

  1. Simplificar o numerador. Pelas reduções ao primeiro quadrante, f({\pi}-x) = \frac{\operatorname{sen}({\pi}-x)}{2+\cos({\pi}-x)} = \frac{\operatorname{sen} x}{2-\cos x}.
  2. O limite. Fica \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x\left(2-\cos x\right)} = \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{x} \times \lim_{x \to 0} \frac{1}{2-\cos x}.
  3. O primeiro fator é o limite notável do seno, que vale 1; o segundo substitui-se: \dfrac{1}{2-1} = 1. Logo o limite é 1.Separar num produto de dois limites — um notável, outro que se substitui — evita L’Hôpital e a derivada do produto que ele obrigaria a fazer.
Resposta1

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita, põe y = x-1 \to 0^{+} e separa: \dfrac{\sqrt{y}}{\operatorname{sen} y} = \dfrac{y}{\operatorname{sen} y} \times \dfrac{1}{\sqrt{y}}.

  1. A imagem. h(1) = 1+1 \times e^{0} = 2.
  2. Limite à esquerda. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 1^{-}} h(x) = h(1) = 2.
  3. Limite à direita. É \frac{0}{0}. Com y = x-1 \to 0^{+}, \frac{\sqrt{y}}{\operatorname{sen} y} = \frac{y}{\operatorname{sen} y} \times \frac{1}{\sqrt{y}} \longrightarrow 1 \times \frac{1}{0^{+}} = +\infty.
  4. O limite à direita não é finito, logo é diferente do da esquerda: h não é contínua em x = 1.A raiz é de ordem menor do que o seno: \sqrt{y} vai para zero muito mais devagar do que y, e por isso o quociente rebenta.
RespostaNão é contínua: o limite à direita é +\infty

Factoriza numerador e denominador: x^{2}-x = x(x-1) e k-kx = -k(x-1). O (x-1) corta-se.

  1. A imagem. g(1) = 1-10+8\ln 1 = -9.
  2. Limite à esquerda. \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x(x-1)}{-k(x-1)} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 1^{-}} \frac{x}{-k} = -\frac{1}{k}. Simplificar exige x \neq 1 — e no limite é sempre esse o caso.
  3. Igualar. -\dfrac{1}{k} = -9 \iff k = \dfrac{1}{9}.
RespostaOpção (D)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita, factoriza x^{2}+3x-4 — uma das raízes é 1.

  1. A imagem. f(1) = -1 \times (1+2\ln 1) = -1.
  2. Limite à esquerda. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = f(1) = -1.
  3. Limite à direita. Como x^{2}+3x-4 = (x-1)(x+4), \lim_{x \to 1^{+}} \frac{-5\left(e^{x-1}-1\right)}{(x-1)(x+4)} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} -5 \lim_{x \to 1^{+}} \frac{e^{x-1}-1}{x-1} \times \frac{1}{x+4} = -5 \times 1 \times \frac{1}{5} = -1.
  4. Os três valores são -1: f é contínua em x = 1.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a -1

Estuda o expoente quando t \to +\infty. É uma parábola: qual é o termo que manda?

  1. No expoente, 1{,}08t-0{,}3t^{2} é um polinómio de grau dois com coeficiente principal negativo, logo \lim_{t \to +\infty}\left(1{,}08t-0{,}3t^{2}\right) = \lim_{t \to +\infty}\left(-0{,}3t^{2}\right) = -\infty.
  2. Logo \lim_{t \to +\infty} N(t) = N_{0} \times \lim_{u \to -\infty} e^{u} = N_{0} \times 0 = 0.
  3. Faz sentido: o tubo está fechado, os nutrientes acabam e a população extingue-se.
RespostaOpção (D)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

Atenção a qual dos ramos vale de cada lado de 2: o primeiro serve para x \geq 2, o segundo para x < 2.

  1. A imagem. Em x = 2 vale o primeiro ramo: f(2) = \dfrac{e^{0}}{4} = \dfrac{1}{4}.
  2. Limite à direita. Também é o primeiro ramo, que é contínuo em 2: \lim_{x \to 2^{+}} \frac{e^{2-x}}{x+2} = \frac{1}{4}.
  3. Limite à esquerda. É o segundo ramo, e dá \frac{0}{0}. Fatorizando x^{2}-4 = (x-2)(x+2) e usando o limite notável do seno com y = x-2 \to 0: \lim_{x \to 2^{-}} \frac{\operatorname{sen}(x-2)}{x-2} \times \frac{1}{x+2} = 1 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{4}.
  4. Os três valores coincidem: f é contínua em x = 2.O ramo com a condição x < -2 \lor x \geq 2 é o que faz a diferença: em 2 a função vale a exponencial, não o seno.
RespostaÉ contínua: os três valores são \frac{1}{4}

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita, \ln\sqrt{e} = \ln e^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}. À esquerda é \frac{0}{0} — e a resposta não é \frac{1}{2}.

  1. A imagem. f(0) = \ln\sqrt{e} = \ln e^{\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{2}.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = \dfrac{1}{2}.
  3. Limite à esquerda. É \frac{0}{0}. Por L’Hôpital, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1-\cos x}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\operatorname{sen} x}{1} = \operatorname{sen} 0 = 0.
  4. Como 0 \neq \dfrac{1}{2}, os limites laterais são diferentes: f não é contínua em x = 0.Perto de zero, 1-\cos x comporta-se como \frac{x^{2}}{2} — é de segunda ordem, e por isso dividido por x ainda tende para zero.
RespostaNão é contínua: 0 \neq \frac{1}{2}

Aqui os dois lados têm a mesma expressão: basta um limite. Faz aparecer 5x no numerador.

  1. A imagem. f(0) = \dfrac{3}{5}.
  2. O limite (o mesmo dos dois lados). Com y = 5x \to 0: \lim_{x \to 0} \frac{3x}{e^{5x}-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{3}{5} \times \frac{5x}{e^{5x}-1} = \frac{3}{5} \times \frac{1}{1} = \frac{3}{5}.
  3. Como \lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0), f é contínua em x = 0.
RespostaÉ contínua: \lim\limits_{x\to0} f(x) = \frac{3}{5} = f(0)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À esquerda, põe 4 em evidência e faz y = x-1. O limite notável aparece invertido.

  1. A imagem. g(1) = 7 \times 3^{0}-3 = 7-3 = 4.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 1^{+}} g(x) = g(1) = 4.
  3. Limite à esquerda. Com y = x-1 \to 0, \lim_{x \to 1^{-}} \frac{4(x-1)}{e^{x-1}-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{y \to 0^{-}} \frac{4y}{e^{y}-1} = 4 \times \frac{1}{\lim\limits_{y \to 0}\dfrac{e^{y}-1}{y}} = 4 \times \frac{1}{1} = 4. Quando o limite notável aparece de cabeça para baixo, inverte-se — não se muda a regra.
  4. Os três valores são 4: g é contínua em x = 1.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a 4

Não é 1: o limite notável tem o mesmo argumento em cima e em baixo. Ajusta o denominador para 2x.

  1. Ajustar ao limite notável. \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = 2 \times \frac{\operatorname{sen}(2x)}{2x}.
  2. Com y = 2x \to 0, o segundo fator tende para 1: \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} = 2 \times 1 = 2.
  3. O mesmo por L’Hôpital: \lim\limits_{x \to 0} \dfrac{2\cos(2x)}{1} = 2.A opção (C) é a armadilha: quem lê \frac{\operatorname{sen}(2x)}{x} como se fosse \frac{\operatorname{sen} y}{y} responde 1.
RespostaOpção (D)

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

Calcula os três e iguala. O limite à esquerda vai ficar em função de a — é essa a equação a resolver.

  1. A imagem. f(0) = \ln\left(2-e^{0}\right)+0+2 = \ln 1 + 2 = 2.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = 2.
  3. Limite à esquerda. É \frac{0}{0}. Por L’Hôpital, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\operatorname{sen}(ax)}{e^{x}-1} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{a\cos(ax)}{e^{x}} = \frac{a \times 1}{1} = a.
  4. Igualar. A continuidade exige a = 2.O mesmo se obtinha com os dois limites notáveis de uma vez: \frac{\operatorname{sen}(ax)}{ax} \times \frac{x}{e^{x}-1} \times a \to 1 \times 1 \times a.
Respostaa = 2

e^{-k} é uma constante: sai do limite. O que fica é \dfrac{e^{x}-1}{-x^{2}+2x}, com -x^{2}+2x = x(2-x).

  1. À direita. Como f é contínua, \lim\limits_{x \to 0^{+}} g(x) = f(0) = 2 = g(0).
  2. À esquerda. \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-k}\left(e^{x}-1\right)}{x(2-x)} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} e^{-k}\lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{x}-1}{x} \times \frac{1}{2-x} = e^{-k} \times 1 \times \frac{1}{2} = \frac{e^{-k}}{2}.
  3. Igualar. \frac{e^{-k}}{2} = 2 \iff e^{-k} = 4 \iff -k = \ln 4 \iff k = -\ln 4.
Respostak = -\ln 4

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À direita não há indeterminação nenhuma: substitui. À esquerda, ou L’Hôpital, ou o limite notável \lim\limits_{y \to 0}\frac{e^{y}-1}{y} = 1 com y = 6x.

  1. A imagem. f(0) = \dfrac{4\cos 0}{\operatorname{sen} 0 - 2} = \dfrac{4}{-2} = -2.
  2. Limite à direita. O ramo é um quociente de contínuas com denominador não nulo, logo \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = f(0) = -2.
  3. Limite à esquerda. É \frac{0}{0}. Escrevendo \dfrac{1-e^{6x}}{3x} = -2 \times \dfrac{e^{6x}-1}{6x} e usando o limite notável com y = 6x \to 0: \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1-e^{6x}}{3x} = -2 \times 1 = -2.
  4. Os três valores coincidem: f é contínua em x = 0.Ajustar a fracção para o limite notável — pôr 6x em baixo e compensar com o -2 — poupa a derivação. É quase sempre mais rápido do que L’Hôpital.
RespostaÉ contínua: os três valores são -2

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À esquerda é \frac{0}{0}. Aplica L’Hôpital — a derivada de 1-\sqrt{1-x} sai da regra da potência de expoente real.

  1. A imagem. g(0) = 2\operatorname{sen}^{2} 0 - 0 + 2 = 2.
  2. Limite à direita. O ramo é contínuo, logo \lim_{x \to 0^{+}} g(x) = g(0) = 2.
  3. Limite à esquerda. É \frac{0}{0}. Escrevendo \sqrt{1-x} = (1-x)^{\frac{1}{2}}, a derivada do denominador é \left(1-(1-x)^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime} = -\frac{1}{2}(1-x)^{-\frac{1}{2}} \times (-1) = \frac{1}{2\sqrt{1-x}}.
  4. Por L’Hôpital, \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\operatorname{sen} x}{1-\sqrt{1-x}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{\cos x}{\dfrac{1}{2\sqrt{1-x}}} = \lim_{x \to 0^{-}} 2\cos x\sqrt{1-x} = 2.
  5. Os três valores coincidem: g é contínua em x = 0.Dividir por uma fracção é multiplicar pelo inverso — e é isso que transforma um quociente feio num produto que se substitui de imediato.
RespostaÉ contínua: os três valores são 2

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

À esquerda, escreve \dfrac{1-e^{-x}}{x} = \dfrac{e^{-x}-1}{-x} e reconhece o limite notável.

  1. A imagem. f(0) = 1.
  2. Limite à esquerda. \lim_{x \to 0^{-}} \frac{1-e^{-x}}{x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{-}} \frac{e^{-x}-1}{-x} = 1, pelo limite notável \lim\limits_{y \to 0}\dfrac{e^{y}-1}{y} = 1, com y = -x \to 0.
  3. Limite à direita. Não há indeterminação: substitui-se. \lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}+\ln(ex+e)}{x+1} = \frac{0+\ln e}{1} = 1.
  4. Os três valores coincidem: f é contínua em x = 0.
RespostaÉ contínua: os três valores são iguais a 1

Para averiguar a continuidade em a verificam-se sempre três coisas: f(a), \lim\limits_{x \to a^{-}} f(x) e \lim\limits_{x \to a^{+}} f(x). A função é contínua em a se os três coincidirem.

  1. A imagem. f(3) = 4-e^{0}\times 4-\dfrac{9}{2} = 4-4-4{,}5 = -4{,}5.
  2. Limite à esquerda. O ramo é contínuo (produto e soma de contínuas), logo \lim_{x \to 3^{-}} f(x) = f(3) = -\dfrac{9}{2}.
  3. Limite à direita. \lim_{x \to 3^{+}} \frac{e^{x-3}-1}{x^{2}-9} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 3^{+}} \frac{e^{x-3}-1}{(x-3)(x+3)}.
  4. Com y = x-3 \to 0, e usando o limite notável \lim\limits_{y \to 0}\dfrac{e^{y}-1}{y} = 1: \lim_{x \to 3^{+}} \frac{e^{x-3}-1}{x-3} \times \frac{1}{x+3} = 1 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6}.
  5. Como -\dfrac{9}{2} \neq \dfrac{1}{6}, os limites laterais são diferentes: f não é contínua em x = 3.
RespostaNão é contínua: \lim\limits_{x\to3^{-}} f = -\frac{9}{2} \neq \frac{1}{6} = \lim\limits_{x\to3^{+}} f

Exercícios de Exame · Assíntotas

Sessenta e três itens de Prova Nacional e de Teste Intermédio, de 2000 a 2026 — o arquivo inteiro, tirando três itens cujo enunciado se perdeu na extração. Repara em quantos se resolvem sem conhecer a expressão de f: basta traduzir a assíntota nos dois limites que a definem.

Item 63 escolha múltiplaExame 2000 · Prova modelo

De uma função f, contínua em \mathbb{R}, sabe-se que:

f é estritamente crescente;f(0) = 1;o eixo Ox e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assíntotas do gráfico de f.

Qual é o contradomínio de f?

  • (A)\left[-1,\,+\infty\right[
  • (B)\left]-\infty,\,1\right]
  • (C)\left]0,\,+\infty\right[
  • (D)\left]-\infty,\,0\right[
Item 64 construçãoExame 2000 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Considera uma função f de domínio \mathbb{R}^{+}. Admite que f é positiva e que o eixo Ox é assíntota do gráfico de f.

Mostra que o gráfico da função \dfrac{1}{f} não tem assíntota horizontal.

Item 65 escolha múltiplaExame 2000 · 2.ª Fase

Sejam f e g duas funções de domínio \mathbb{R}. Sabe-se que:

o gráfico de g é uma reta, que designamos por s;\lim\limits_{x \to +\infty}\left(f(x)-g(x)\right) = 0.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

  • (A)A reta s é tangente ao gráfico de f.
  • (B)A reta s é secante ao gráfico de f.
  • (C)A reta s não interseta o gráfico de f.
  • (D)A reta s é uma assíntota do gráfico de f.
Item 66 construçãoExame 2001 · Prova modelo

Malmequeres de Baixo é uma povoação com cinco mil habitantes. Num certo dia ocorreu um acidente em Malmequeres de Baixo, que foi testemunhado por algumas pessoas. Admite que, t horas depois do acidente, o número (expresso em milhares) de habitantes de Malmequeres de Baixo que sabiam do ocorrido era, aproximadamente,

f(t) = \dfrac{5}{1+124e^{-0{,}3t}}, \qquad t \geq 0.

Recorrendo exclusivamente a processos analíticos, estuda a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico. Interpreta a conclusão a que chegaste, no contexto do problema.

Item 67 construçãoExame 2001 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

De uma função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, sabe-se que a bissetriz dos quadrantes ímpares é uma assíntota do seu gráfico.

Seja h a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por h(x) = \dfrac{g(x)}{x^{2}}.

Prova que o eixo Ox é uma assíntota do gráfico de h.

Item 68 construçãoExame 2001 · Época especial

Na figura estão representadas, num referencial o.n. xOy:

uma curva C, gráfico da função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = e^{x};uma reta r, gráfico da função g, de domínio \mathbb{R}, definida por g(x) = x-2.

x y C r
A curva C, gráfico de f(x) = e^{x}, e a reta r, gráfico de g(x) = x-2.

Estuda a função f+g quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, utilizando métodos exclusivamente analíticos.

Item 69 escolha múltiplaExame 2002 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

O gráfico da função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = 0{,}1+0{,}2e^{0{,}3x}, tem uma única assíntota.

Qual das condições seguintes é uma equação dessa assíntota?

  • (A)y = 0
  • (B)y = 0{,}1
  • (C)y = 0{,}2
  • (D)y = 0{,}3
Item 70 escolha múltiplaExame 2002 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

De uma função h, de domínio \mathbb{R}^{-}, sabe-se que a reta de equação y = 2 é assíntota do seu gráfico.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{h(x)}{e^{x}}?

  • (A)+\infty
  • (B)-\infty
  • (C)0
  • (D)2
Item 71 construçãoExame 2002 · 2.ª Fase

Considera a função f de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = \dfrac{1}{3}+2e^{1-x}.

Utilizando métodos exclusivamente analíticos, estuda a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.

Item 72 escolha múltiplaExame 2003 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Considera uma função g de domínio \left[0,\,+\infty\right[, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que:

o gráfico de g tem uma única assíntota;\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{1}{2}.

Em qual das alternativas seguintes podem estar representadas, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função g e, a tracejado, a sua assíntota?

x y O
(A)
x y O
(B)
x y O
(C)
x y O
(D)
Item 73 escolha múltiplaExame 2003 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Na figura está representada parte do gráfico de uma função h, de domínio \left[0,\,5\right[ \cup \left]5,\,+\infty\right[. As retas de equações x = 5 e y = 3 são as únicas assíntotas do gráfico de h.

x y 5 3
Parte do gráfico de h, com as rectas x = 5 e y = 3 por únicas assíntotas.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{3+e^{-x}}?

  • (A)0
  • (B)1
  • (C)5
  • (D)+\infty
Item 74 escolha múltiplaExame 2003 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio \mathbb{R}, contínua em todo o seu domínio. A bissetriz dos quadrantes pares e a bissetriz dos quadrantes ímpares são assíntotas do gráfico de f.

x y f
Parte do gráfico de f, contínua em \mathbb{R}, com as duas bissetrizes por assíntotas.

Em qual das figuras seguintes pode estar representada parte do gráfico da função g definida por g(x) = \dfrac{f(x)}{x}?

x y O
(A)
x y O
(B)
x y O
(C)
x y O
(D)
Item 75 construçãoExame 2004 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R} \setminus \{0\}, definida por f(x) = \dfrac{e^{x}-1}{x}.

Sem recorrer à calculadora, estuda a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.

Item 76 escolha múltiplaExame 2004 · Época especial

Seja g uma função de domínio \mathbb{R}^{+}. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)+x}{x} = 4;o gráfico de g tem uma assíntota oblíqua.

Qual das condições seguintes pode ser uma equação dessa assíntota?

  • (A)y = x+3
  • (B)y = 3x
  • (C)y = x+4
  • (D)y = 4x
Item 77 escolha múltiplaExame 2005 · 1.ª Fase

Considera uma função f, de domínio \mathbb{R} \setminus \{5\}, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to 5} f(x) = 3;\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2;\lim\limits_{x \to -\infty}\left[f(x)-x\right] = 0.

Em cada uma das opções seguintes estão escritas duas equações, representando cada uma delas uma reta. Em qual das opções as duas retas assim definidas são as assíntotas do gráfico da função f?

  • (A)y = x e y = 2
  • (B)y = 2 e x = 5
  • (C)y = x e x = 5
  • (D)y = -3 e x = 2
Item 78 construçãoTeste Intermédio 12.º · 17.03.2006

Considera a função f, de domínio \left]0,\,+\infty\right[, definida por f(x) = \dfrac{1-\ln x}{x}.

Sem recorrer à calculadora, estuda a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados.

Item 79 construçãoExame 2006 · 1.ª Fase

De uma certa função f, de domínio \mathbb{R}, sabe-se que:

f é contínua;a reta de equação y = x é assíntota do gráfico de f, quer quando x \to +\infty, quer quando x \to -\infty.

Mostra que o gráfico da função g, definida, em \mathbb{R}, por g(x) = x\,f(x), não tem qualquer assíntota.

Item 80 construçãoExame 2006 · 2.ª Fase

Seja f a função, de domínio \left]1,\,+\infty\right[, definida por f(x) = x+x\ln(x-1).

Sem recorrer à calculadora, estuda a função quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.

Item 81 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 15.03.2007

Seja g uma função de domínio \mathbb{R}^{+}. Sabe-se que a reta de equação y = 2x+3 é assíntota do gráfico de g.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \left[\dfrac{g(x)}{x} \times \left(g(x)-2x\right)\right]?

  • (A)0
  • (B)5
  • (C)6
  • (D)+\infty
Item 82 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 15.03.2007

Na figura está representada, num referencial xOy, parte do gráfico de uma função f, de domínio \left]-\infty,\,1\right[, contínua em todo o seu domínio. Tal como a figura sugere:

o gráfico de f contém a origem do referencial;as retas de equações y = 0 e x = 1 são assíntotas do gráfico de f.

x y 1
Parte do gráfico de f, de domínio \left]-\infty,\,1\right[, com o eixo Ox e a recta x = 1 por assíntotas.

Em qual das opções seguintes poderá estar representada, num referencial xOy, parte do gráfico de \dfrac{1}{f}?

x y 1 O
(A)
x y 1 O
(B)
x y 1 O
(C)
x y 1 O
(D)
Item 83 escolha múltiplaExame 2007 · 1.ª Fase

Na figura está parte da representação gráfica de uma função f, de domínio \mathbb{R}. Tal como a figura sugere, o eixo Ox e a reta de equação y = 1 são assíntotas do gráfico de f.

x y 1 f
Parte do gráfico de f, com o eixo Ox e a recta y = 1 por assíntotas.

Seja g a função, de domínio \mathbb{R}, definida por g(x) = \ln\left[f(x)\right].

Em qual das opções seguintes pode estar parte da representação gráfica da função g?

x y O
(A)
x y O
(B)
x y O
(C)
x y O
(D)
Item 84 escolha múltiplaExame 2007 · 2.ª Fase

Na figura está representada parte do gráfico de uma função g, real de variável real. Tal como a figura sugere, a reta de equação x = 1 é assíntota do gráfico da função g.

x y 1 g
Parte do gráfico de g, com a recta x = 1 por assíntota.

Seja h : \mathbb{R} \to \mathbb{R} a função definida por h(x) = x-1.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{h(x)}{g(x)}?

  • (A)-\infty
  • (B)+\infty
  • (C)0
  • (D)1
Item 85 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 29.04.2008

De uma função f, de domínio \left[0,\,+\infty\right[, sabe-se que a reta r, de equação y = \dfrac{1}{3}x+2, é assíntota do seu gráfico.

Seja h a função definida em \left[0,\,+\infty\right[ por h(x) = \dfrac{x}{f(x)}.

O gráfico de h tem uma assíntota horizontal. Qual das equações seguintes define essa assíntota?

  • (A)y = \dfrac{1}{3}
  • (B)y = \dfrac{1}{2}
  • (C)y = 2
  • (D)y = 3
Item 86 escolha múltiplaExame 2008 · 1.ª Fase

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f de domínio \left]-\infty,\,2\right[. A reta t, de equação y = -x-1, é assíntota do gráfico de f quando x tende para -\infty.

x y t
Parte do gráfico de f, de domínio \left]-\infty,\,2\right[, e a recta t, de equação y = -x-1.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to -\infty}\left(f(x)+x+1\right)?

  • (A)-1
  • (B)0
  • (C)1
  • (D)+\infty
Item 87 escolha múltiplaExame 2008 · 2.ª Fase

Na figura está representada parte do gráfico de uma função f, de domínio \mathbb{R}, sendo y = -1 a única assíntota do seu gráfico.

x y −1 f
Parte do gráfico de f, de domínio \mathbb{R}, sendo y = -1 a única assíntota do gráfico.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{3}{f(x)}?

  • (A)-\infty
  • (B)-3
  • (C)-1
  • (D)3
Item 88 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 11.03.2009

De uma função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, sabe-se que

\lim_{x \to 0} g(x) = -\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to +\infty}\left[g(x)-x\right] = 0.

Em cada uma das opções seguintes está representado, num referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico. Em qual delas pode estar representado o gráfico de g?

x y O
(A)
x y O
(B)
x y O
(C)
x y O
(D)
Item 89 construçãoTeste Intermédio 12.º · 11.03.2009

Seja f a função de domínio \mathbb{R} definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{3x^{2}-3}{x^{2}-2x+1} & \text{se } x < 1\\[10pt] \ln x - e^{1-x} & \text{se } x \geq 1\end{cases}

Sem recorrer à calculadora, estuda a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico, paralelas aos eixos coordenados. Indica uma equação para cada assíntota encontrada.

Item 90 construçãoExame 2009 · 1.ª Fase

Sejam f e g duas funções, ambas de domínio \mathbb{R}^{+}. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(f(x)-2x\right) = 0;a função g é definida por g(x) = f(x)+x^{2}.

Prova que o gráfico de g não tem assíntotas oblíquas.

Item 91 escolha múltiplaExame 2009 · 2.ª Fase

Na figura estão representadas parte do gráfico de uma função f, de domínio \left[-3,\,+\infty\right[, e parte da reta r, que é a única assíntota do gráfico de f.

x y −3 1 −1 r
Parte do gráfico de f, de domínio \left[-3,\,+\infty\right[, e a recta r, única assíntota do gráfico, que passa em (0,\,-1) e em (1,\,0).

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x)}{x}?

  • (A)-1
  • (B)0
  • (C)1
  • (D)2
Item 92 escolha múltiplaExame 2010 · 1.ª Fase

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função f, contínua, de domínio \left]-\infty,\,1\right[. Tal como a figura sugere, a reta de equação x = 1 é assíntota do gráfico de f.

x y 1
Parte do gráfico de f, contínua em \left]-\infty,\,1\right[, com a recta x = 1 como assíntota.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to 1^{-}} \dfrac{3x}{f(x)}?

  • (A)-\infty
  • (B)3
  • (C)0
  • (D)+\infty
Item 93 construçãoExame 2010 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left]-\infty,\,2{\pi}\right], definida por

f(x) = \begin{cases} ax+b+e^{x} & \text{se } x \leq 0\\[10pt] \dfrac{x-\operatorname{sen}(2x)}{x} & \text{se } 0 < x \leq 2{\pi}\end{cases}

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, prova que a reta de equação y = ax+b, com a \neq 0, é uma assíntota oblíqua do gráfico de f.

Item 94 construçãoExame 2010 · 2.ª Fase (adaptado)

Considera a função f, de domínio \left]0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x}-3x}{x} & \text{se } 0 < x \leq 2\\[10pt] \dfrac{1}{5}x-\ln x & \text{se } x > 2\end{cases}

Estuda a função f quanto à existência de assíntotas oblíquas, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Item 95 escolha múltiplaExame 2010 · Época especial

Considera a função h, de domínio \mathbb{R}^{+}, e a reta de equação y = -4, assíntota do gráfico de h.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(\dfrac{1}{2x}\right)}{h(x)}?

  • (A)-\infty
  • (B)+\infty
  • (C)4
  • (D)0
Item 96 construçãoExame 2010 · Época especial

Seja f uma função, de domínio \mathbb{R}^{+}, e seja a reta de equação y = 1 a única assíntota do gráfico de f.

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = f(x)+x.

Prova que o gráfico de g tem uma assíntota oblíqua paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.

Item 97 escolha múltiplaExame 2011 · 1.ª Fase

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função g, de domínio \left]-3,\,+\infty\right[. A reta y = 2x-4 é assíntota do gráfico de g.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

  • (A)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)-2x-4\right) = 0
  • (B)\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{g(x)} = 2
  • (C)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)-2x+4\right) = 0
  • (D)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)-2x\right) = 0
Item 98 construçãoExame 2011 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left[0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2-x}-1}{x-2} & \text{se } 0 \leq x < 2\\[10pt] \dfrac{x+1}{\ln(x+1)} & \text{se } x \geq 2\end{cases}

Estuda f quanto à existência de assíntotas verticais no seu gráfico, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

Item 99 escolha múltiplaExame 2011 · Época especial

Considera uma função f, de domínio \mathbb{R} \setminus \{3\}, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1;\lim\limits_{x \to 3} f(x) = -2;\lim\limits_{x \to -\infty}\left(f(x)+2x\right) = 0.

Em qual das opções seguintes as equações definem duas assíntotas do gráfico de f?

  • (A)x = -2 e y = 1
  • (B)x = 3 e y = -2x
  • (C)y = -2x e y = 1
  • (D)y = 2x e y = -1
Item 100 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 24.05.2012

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}^{+}, contínua em todo o seu domínio. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = -\infty;a bissetriz dos quadrantes ímpares é assíntota do gráfico de f.

Em qual das opções seguintes pode estar representado o gráfico da função \dfrac{1}{f}?

x y O
(A)
x y O
(B)
x y O
(C)
x y O
(D)
Item 101 escolha múltiplaExame 2012 · 2.ª Fase

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to +\infty}\left(f(x)-2x\right) = 1;\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 3;\lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty;\lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = 2.

Em qual das opções seguintes as duas equações definem assíntotas do gráfico da função f?

  • (A)x = 1 e y = -2x+1
  • (B)x = 1 e y = 2x+1
  • (C)y = 3 e y = -2x+1
  • (D)y = 2 e y = 2x+1
Item 102 escolha múltiplaExame 2012 · Época especial

Sejam f e g funções de domínio \left]0,\,+\infty\right[. Sabe-se que:

a reta de equação y = 3 é assíntota horizontal do gráfico de f;f não tem zeros;g(x) = \dfrac{e^{-x}-3}{f(x)}.

Qual das opções seguintes define uma assíntota horizontal do gráfico de g?

  • (A)y = 3
  • (B)y = e
  • (C)y = 0
  • (D)y = -1
Item 103 construçãoExame 2012 · Época especial

Considera, num referencial o.n. xOy, o gráfico de uma função h, de domínio \mathbb{R}. Sabe-se que:

a, b e c são números reais positivos e a < b < c;h tem um mínimo relativo em \left]a,\,c\right[;h é crescente em \left]-\infty,\,0\right[;\lim\limits_{x \to -\infty}\left(h(x)-1\right) = 0;a segunda derivada, h'', da função h é tal que h''(x) > 0 para x > b.

Apenas uma das opções seguintes pode representar uma parte do gráfico da função h.

a b c x y O
(A)
a b c x y O
(B)
a b c x y O
(C)
a b c x y O
(D)

Elabora uma composição na qual indiques a opção que pode representar h e apresentes três razões para rejeitar as restantes opções, uma por cada opção rejeitada.

Item 104 construçãoExame 2013 · 1.ª Fase

Na figura está representada, num referencial ortogonal xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 3.

x y −1 2 f
Parte do gráfico de f, função polinomial do terceiro grau.

Sabe-se que:

-1 e 2 são os únicos zeros da função f;g', a primeira derivada de uma certa função g, tem domínio \mathbb{R} e é definida por g'(x) = f(x) \times e^{-x};\lim\limits_{x \to +\infty}\left[g(x)-2\right] = 0.

Apenas uma das opções seguintes pode representar a função g.

x y −1 2 O
(A)
x y −1 2 O
(B)
x y −1 2 O
(C)
x y −1 2 O
(D)

Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, uma assíntota desse gráfico.

Elabora uma composição na qual identifiques a opção que pode representar a função g e apresentes as razões para rejeitar as restantes. Apresenta três razões diferentes, uma por cada gráfico rejeitado.

Item 105 escolha múltiplaExame 2013 · Época especial

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1;\lim\limits_{x \to -\infty}\left[f(x)+2x\right] = 2.

Em qual das opções seguintes pode estar representada parte do gráfico da função f?

x y O
(A)
x y O
(B)
x y O
(C)
x y O
(D)

Em cada uma das opções estão representadas parte do gráfico de uma função e, a tracejado, assíntotas desse gráfico.

Item 106 construçãoExame 2014 · 2.ª Fase

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico de uma função polinomial f, de grau 3.

x y −2 3 f
Parte do gráfico de f, função polinomial do terceiro grau, com um extremo relativo em x = -2.

Sabe-se que:

-2 e 3 são os únicos zeros da função f;a função f tem um extremo relativo em x = -2;h', primeira derivada de uma função h, tem domínio \mathbb{R} e é definida por h'(x) = \dfrac{f(x)}{e^{2x}};\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 3.

Considera as afirmações seguintes.

I. A função h tem dois extremos relativos.II. h''(-2) = 0.III. y+3 = 0 é uma equação da assíntota do gráfico da função h quando x \to +\infty.

Elabora uma composição na qual indiques, justificando, se cada uma das afirmações é verdadeira ou falsa. Na tua resposta, apresenta três razões diferentes, uma para cada afirmação.

Item 107 escolha múltiplaExame 2014 · Época especial

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}^{+}. A reta de equação y = 2x-5 é assíntota do gráfico da função f.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{6x-1}{f(x)}?

  • (A)0
  • (B)2
  • (C)3
  • (D)+\infty
Item 108 escolha múltiplaExame 2016 · 1.ª Fase

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}^{-}. Sabe-se que:

\lim\limits_{x \to -\infty} \dfrac{f(x)+e^{x}-x}{x} = 1;o gráfico de f tem uma assíntota oblíqua.

Qual é o declive dessa assíntota?

  • (A)-2
  • (B)-1
  • (C)1
  • (D)2
Item 109 construçãoExame 2016 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left]-\infty,\,-1\right[ \cup \left]1,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \ln\left(\dfrac{x-1}{x+1}\right)

Estuda a função f quanto à existência de assíntotas verticais do seu gráfico, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Item 110 escolha múltiplaExame 2017 · 1.ª Fase

Sejam f e g duas funções de domínio \mathbb{R}^{+}.

Sabe-se que a reta de equação y = -x é assíntota oblíqua do gráfico de f e do gráfico de g.

Qual é o valor de \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{f(x) \times g(x)}{x}?

  • (A)+\infty
  • (B)1
  • (C)-1
  • (D)-\infty
Item 111 construçãoExame 2017 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por f(x) = \dfrac{e^{x}}{x}.

Estuda a função f quanto à existência de assíntotas do seu gráfico paralelas aos eixos coordenados, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Item 112 construçãoExame 2018 · Época especial

Seja h a função, de domínio \left[-\dfrac{{\pi}}{3},\,+\infty\right[, definida por

h(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}^{2} x}{\operatorname{sen}\left(x^{2}\right)} & \text{se } -\dfrac{{\pi}}{3} \leq x < 0\\[12pt] \dfrac{e^{x}}{x+1} & \text{se } x \geq 0\end{cases}

Sabendo que a função h é contínua no ponto 0, estuda a função h quanto à existência de assíntotas do seu gráfico.

Item 113 construçãoExame 2020 · 1.ª Fase

Seja f a função definida em \left]-\infty,\,2\right] por f(x) = x+\ln\left(e^{x}+1\right).

Resolve o item seguinte sem recorrer à calculadora.

O gráfico de f tem uma assíntota oblíqua. Determina uma equação dessa assíntota.

Item 114 construçãoExame 2020 · Época especial

Seja f a função, de domínio \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, definida por f(x) = \dfrac{e^{2x}-1}{\operatorname{tg} x}.

Mostra que o gráfico da função f não tem assíntotas.

Item 115 construçãoExame 2021 · Época especial

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}-4}{x^{2}-5x+6} & \text{se } x \leq 1\\[10pt] \dfrac{x-1}{e^{x-2}} & \text{se } x > 1\end{cases}

Estuda, sem recorrer à calculadora, a função f quanto à existência de assíntotas horizontais ao seu gráfico e, caso existam, escreve as suas equações.

Item 116 construçãoExame 2022 · 1.ª Fase (adaptado)

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Seja g a função, de domínio \left]1,\,+\infty\right[, definida por g(x) = 5x+3\ln(x-1).

Estuda a função g quanto à existência de assíntotas verticais e de assíntotas oblíquas ao seu gráfico e, caso existam, escreve as respetivas equações.

Item 117 construçãoExame 2022 · 2.ª Fase

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Seja h a função, de domínio \left]0,\,+\infty\right[, definida por

h(x) = \dfrac{e^{x}+\ln x}{e^{x}-1}

Estuda a função h quanto à existência de assíntotas ao seu gráfico paralelas aos eixos coordenados e, caso estas existam, escreve as respetivas equações.

Item 118 construçãoExame 2023 · 1.ª Fase (adaptado)

Sejam f e g funções contínuas de domínios \mathbb{R} e \left]0,\,+\infty\right[, respetivamente, e seja r a reta de equação y = 2x-1. Sabe-se que:

a reta r é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1;\lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x)-2x+1\right] = 0;nos respetivos domínios, o gráfico de f tem a concavidade voltada para cima e o gráfico de g tem a concavidade voltada para baixo;as duas funções admitem segunda derivada finita no seu domínio.

Considera as proposições seguintes.

I. O gráfico da função f admite uma assíntota horizontal quando x \to +\infty.II. \lim\limits_{x \to 1} g(x) = 2.III. f''(x) < g''(x), qualquer que seja x \in \left]0,\,+\infty\right[.

Justifica que as proposições I, II e III são falsas. Na tua resposta, apresenta, para cada uma das proposições, uma razão que justifique a sua falsidade.

Item 119 construçãoExame 2023 · 2.ª Fase

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Considera a função f, de domínio \left]0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \dfrac{\ln x+2x}{x}

O gráfico da função f admite uma assíntota vertical e uma assíntota horizontal. Determina uma equação de cada uma dessas assíntotas.

Item 120 construçãoExame 2023 · Época especial

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Considera a função f, de domínio \mathbb{R} \setminus \{0\}, definida, para um certo a \in \mathbb{R}^{+}, por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{\operatorname{sen}(ax)}{e^{x}-1} & \text{se } x < 0\\[10pt] \ln\left(2-e^{-x}\right)+x+2 & \text{se } x > 0\end{cases}

O gráfico de f admite uma assíntota oblíqua quando x tende para +\infty. Determina uma equação dessa assíntota.

Item 121 construçãoExame 2024 · 1.ª Fase (adaptado)

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}. Sabe-se que:

para qualquer número real a \neq 2, \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a);\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2), com f(2) > 0, e \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty.

Considera a proposição seguinte.

A reta de equação x = 2 é assíntota ao gráfico da função \dfrac{1}{f}.

Justifica que a proposição anterior é falsa.

Item 122 construçãoExame 2024 · 1.ª Fase

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Considera a função f, de domínio \mathbb{R} \setminus \{0\}, definida por

f(x) = \dfrac{1-\cos x}{x^{4}}

Estuda a função f quanto à existência de assíntotas verticais ao seu gráfico e, caso existam, escreve as respetivas equações.

Item 123 escolha múltiplaExame 2024 · 2.ª Fase

Seja g uma função de domínio \mathbb{R}.

A reta de equação y = 3x-5 é assíntota ao gráfico da função g, quando x \to +\infty.

Qual das seguintes igualdades é verdadeira?

  • (A)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)+3x\right) = -5
  • (B)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)+3x\right) = 5
  • (C)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)-3x-5\right) = 0
  • (D)\lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)-3x+5\right) = 0
Item 124 construçãoExame 2025 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{1-e^{x}}{x} & \text{se } x < 0\\[10pt] 1 & \text{se } x = 0\\[10pt] \dfrac{x^{2}+\ln(ex+e)}{x+1} & \text{se } x > 0\end{cases}

Mostra, sem recorrer à calculadora, que a reta de equação y = x-1 é assíntota ao gráfico da função f quando x \to +\infty.

Item 125 construçãoExame 2026 · 2.ª Fase

Considera uma função f, de domínio \mathbb{R}^{+}, e a reta r, de equação y = -x+2, assíntota ao gráfico da função f.

Seja g a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por

g(x) = f(x)+\dfrac{x+e^{x}}{e^{x}}

Determina uma equação da assíntota não vertical ao gráfico da função g.

Duas assíntotas, dois ramos: qual delas serve em -\infty e qual em +\infty? A monotonia e o valor f(0) = 1 decidem.

  1. Qual assíntota em cada ramo. A bissetriz dos quadrantes ímpares tem declive 1: só pode ser assíntota no ramo onde f tende para infinito. Como f é estritamente crescente, esse ramo é x \to +\infty, e \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty.
  2. Sobra o eixo Ox para x \to -\infty. E como f é crescente e f(0) = 1 > 0, a curva aproxima-se de 0 por cima: \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0^{+}.
  3. O contradomínio. f é contínua e estritamente crescente, e vai de 0 (exclusive) a +\infty. Logo D'_{f} = \left]0,\,+\infty\right[.Os extremos ficam abertos porque nenhum dos dois é atingido — são limites, não valores da função.
RespostaOpção (C)

«f positiva» e «Ox é assíntota» juntam-se numa só coisa: \lim f(x) = 0^{+}. Escreve o expoente, que é ele que decide.

  1. O que se sabe. Como o domínio é \mathbb{R}^{+}, o único ramo é x \to +\infty. E como Ox é assíntota e f é positiva, \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0^{+}.
  2. O inverso. \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty.
  3. O limite não é um número real, logo o gráfico de \frac{1}{f} não tem assíntota horizontal — e, sendo o domínio \mathbb{R}^{+}, não há outro ramo a estudar.Sem a hipótese «f positiva» não se poderia escrever 0^{+}, e o limite podia não existir. É uma hipótese que se usa mesmo.
Resposta\lim \frac{1}{f} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty, que não é finito

Escreve g(x) = mx+b e substitui. O que fica é, palavra por palavra, a definição de uma coisa só.

  1. Escrever a reta. Sendo s o gráfico de g, tem-se g(x) = mx+b para certos reais m e b.
  2. Substituir. A hipótese fica \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-(mx+b)\right] = 0, que é exatamente a definição de s ser assíntota do gráfico de f quando x \to +\infty.
  3. As outras três afirmações não são necessárias: a curva pode cortar a assíntota uma vez, muitas vezes, ou nenhuma.Uma assíntota pode intersetar o gráfico — até infinitas vezes. O que a define é o limite da diferença, não a posição relativa.
RespostaOpção (D)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

O extremo finito do domínio é t = 0 — e aí a função está definida. Depois, repara para onde tende e^{-0{,}3t}.

  1. Assíntota vertical. O único candidato é t = 0. Mas f(0) = \frac{5}{1+124e^{0}} = \frac{5}{125} = \frac{1}{25}, um valor finito. Logo t = 0 não é assíntota vertical — e a função é contínua no resto do domínio.
  2. Em +\infty. Como -0{,}3t \to -\infty, tem-se e^{-0{,}3t} \to 0, e portanto \lim_{t \to +\infty} \frac{5}{1+124e^{-0{,}3t}} = \frac{5}{1+124 \times 0} = 5.
  3. A única assíntota é a reta y = 5.
  4. No contexto. Com o passar do tempo, o número de habitantes que sabem do acidente aproxima-se de 5 milhares — ou seja, da totalidade da povoação, sem nunca a atingir.Num modelo logístico a assíntota horizontal é a capacidade do modelo. Aqui, os cinco mil habitantes que a povoação tem.
Respostay = 5: a notícia acaba por chegar a toda a povoação

Escreve \dfrac{g(x)}{x^{2}} como \dfrac{g(x)}{x} \times \dfrac{1}{x}. O primeiro factor é o declive da assíntota de g.

  1. O que a assíntota de g dá. A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y = x, de declive 1. Logo \lim_{x \to +\infty} \frac{g(x)}{x} = 1.
  2. Separar o produto. \lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{g(x)}{x} \times \frac{1}{x}\right] = 1 \times 0 = 0.
  3. Logo y = 0 — o eixo Ox — é assíntota horizontal do gráfico de h.Não se conhece g, e não é preciso: o declive da assíntota é um limite, e é esse limite que entra na conta.
Resposta\lim h(x) = 1 \times 0 = 0

Para a assíntota não vertical: primeiro m = \lim\dfrac{f(x)}{x}, depois b = \lim\left[f(x)-mx\right]. Os dois ramos estudam-se separadamente.

Repara que (f+g)(x) = e^{x}+x-2. Em -\infty, a exponencial desaparece — e o que sobra é a própria reta r.

  1. Verticais. f e g são contínuas em \mathbb{R}, logo f+g também é. O gráfico não tem assíntotas verticais.
  2. Declive em -\infty. m = \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{x}+x-2}{x} = \lim_{x \to -\infty}\left[\frac{e^{x}}{x}+1-\frac{2}{x}\right] = 0+1-0 = 1.
  3. Ordenada na origem. b = \lim_{x \to -\infty}\left[e^{x}+x-2-x\right] = \lim_{x \to -\infty}\left[e^{x}-2\right] = 0-2 = -2. Logo y = x-2 — a própria reta r — é assíntota do gráfico de f+g quando x \to -\infty.
  4. Em +\infty. \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}+x-2}{x} = +\infty, pelo limite notável das magnitudes. Como m não é finito, não há assíntota nesse ramo.
  5. A reta r é a única assíntota do gráfico de f+g.É bonito e não é coincidência: somar e^{x} a g quase não muda nada quando x \to -\infty, porque a exponencial se apaga.
RespostaSó a reta r: y = x-2, quando x \to -\infty

A função é contínua, logo a assíntota não é vertical. Calcula o limite no ramo em que a exponencial desaparece.

  1. Em -\infty. Como 0{,}3x \to -\infty, tem-se e^{0{,}3x} \to 0, e portanto \lim_{x \to -\infty}\left[0{,}1+0{,}2e^{0{,}3x}\right] = 0{,}1+0{,}2 \times 0 = 0{,}1.
  2. Logo y = 0{,}1 é assíntota horizontal quando x \to -\infty.
  3. No outro ramo o limite é +\infty, e a função é contínua: é mesmo a única assíntota.Os três números do enunciado — 0{,}1, 0{,}2 e 0{,}3 — estão lá para se confundirem. Só a constante que sobra quando a exponencial se anula é que é a assíntota.
RespostaOpção (B)

O domínio é \mathbb{R}^{-}, logo a assíntota é em -\infty. E e^{x} \to 0^{+} quando x \to -\infty — repara no sinal.

  1. O numerador. Como y = 2 é assíntota e o domínio é \mathbb{R}^{-}, \lim\limits_{x \to -\infty} h(x) = 2.
  2. O denominador. \lim\limits_{x \to -\infty} e^{x} = 0^{+}.
  3. O quociente. \lim_{x \to -\infty} \frac{h(x)}{e^{x}} = \frac{2}{0^{+}} = +\infty.Escrever 0^{+} em vez de 0 é o que decide entre +\infty e -\infty. A exponencial é sempre positiva.
RespostaOpção (A)

A função é contínua em \mathbb{R} — isso resolve as verticais de uma vez. Depois, repara para onde tende e^{1-x} em cada ramo.

  1. Verticais. f é contínua em \mathbb{R} (soma de uma constante com uma exponencial), e o domínio não tem extremos finitos. Logo o gráfico não tem assíntotas verticais.
  2. Em -\infty. Como 1-x \to +\infty, \lim_{x \to -\infty}\left[\frac{1}{3}+2e^{1-x}\right] = \frac{1}{3}+2 \times (+\infty) = +\infty. Não há assíntota horizontal nesse ramo.
  3. Em +\infty. Como 1-x \to -\infty, \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{1}{3}+2e^{1-x}\right] = \frac{1}{3}+2 \times 0 = \frac{1}{3}.
  4. Logo y = \dfrac{1}{3} é assíntota horizontal quando x \to +\infty.O 1-x no expoente inverte os dois ramos: é onde se erra com mais frequência.
RespostaSó y = \frac{1}{3}, quando x \to +\infty

\lim\frac{g(x)}{x} é o declive da assíntota. Um declive de \frac{1}{2} não é nem zero nem negativo — e «única assíntota» exclui as verticais.

  1. O declive. De \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{g(x)}{x} = \dfrac{1}{2} vem que a única assíntota é não vertical e tem declive \dfrac{1}{2}.
  2. Eliminar. A assíntota da opção (A) é horizontal, de declive 0; a da opção (C) tem declive negativo.
  3. A opção (B) tem uma assíntota vertical, e portanto mais do que uma assíntota — contra a primeira hipótese.
  4. Sobra a opção (D).Um declive positivo mas menor do que 1 desenha-se como uma reta que sobe devagar: é isso que distingue esta opção das outras.
RespostaOpção (D)

A assíntota horizontal dá o limite do numerador. E e^{-x} \to 0 quando x \to +\infty: o denominador tende para um número.

  1. O numerador. Como y = 3 é assíntota do gráfico de h, \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 3.
  2. O denominador. \lim\limits_{x \to +\infty}\left(3+e^{-x}\right) = 3+0 = 3.
  3. O quociente. \lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{3+e^{-x}} = \frac{3}{3} = 1.A assíntota vertical x = 5 não entra na conta: o limite é em +\infty, longe do 5.
RespostaOpção (B)

\dfrac{f(x)}{x} em \pm\infty é o declive de cada assíntota. Junto a zero, é um número positivo a dividir por 0^{-} e por 0^{+}.

  1. Junto a zero. Pela figura, \lim\limits_{x \to 0} f(x) = k com k > 0. Logo \lim_{x \to 0^{-}} g(x) = \frac{k}{0^{-}} = -\infty, \qquad \lim_{x \to 0^{+}} g(x) = \frac{k}{0^{+}} = +\infty. Ficam de fora a opção (B), contínua na origem, e a (D), que sobe dos dois lados.
  2. Em -\infty. A bissetriz dos quadrantes pares tem declive -1, logo \lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = -1.
  3. Em +\infty. A bissetriz dos quadrantes ímpares tem declive 1, logo \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 1. A opção (C) tem estes dois valores trocados.
  4. Sobra a opção (A).Dividir por x transforma cada assíntota oblíqua de f numa assíntota horizontal de g, à altura do respetivo declive.
RespostaOpção (A)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

O limite em 0 é um limite notável. Em +\infty, separa a fracção em duas parcelas.

  1. Assíntota vertical. O único candidato é x = 0. Ora \lim_{x \to 0} \frac{e^{x}-1}{x} = 1, pelo limite notável. O limite é finito, logo x = 0 não é assíntota vertical — e não há mais nenhuma, porque a função é contínua no resto do domínio.
  2. Em -\infty. Como e^{x} \to 0, \lim_{x \to -\infty} \frac{e^{x}-1}{x} = \frac{0-1}{-\infty} = 0. Logo y = 0 é assíntota horizontal quando x \to -\infty.
  3. Em +\infty. Separando, \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{e^{x}}{x}-\frac{1}{x}\right] = +\infty-0 = +\infty, pelo limite notável das magnitudes. Não há assíntota horizontal nesse ramo.
RespostaSó y = 0, quando x \to -\infty

Separa a fracção em duas parcelas. O que sobra é exatamente \lim\frac{g(x)}{x}, que é o declive da assíntota.

  1. Separar. \frac{g(x)+x}{x} = \frac{g(x)}{x}+1.
  2. Logo \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{g(x)}{x}+1 = 4, ou seja \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{g(x)}{x} = 3.
  3. O declive. Como o domínio é \mathbb{R}^{+}, só há o ramo x \to +\infty, e o declive da assíntota é m = 3. Das quatro opções, só y = 3x tem declive 3.A ordenada na origem não se pode determinar — e não é preciso: só uma opção tem o declive certo.
RespostaOpção (B)

O primeiro limite é finito — e um limite finito num ponto não dá assíntota vertical. Os outros dois traduzem-se diretamente em retas.

  1. Não há assíntota vertical. A função é contínua em \mathbb{R} \setminus \{5\} e \lim\limits_{x \to 5} f(x) = 3 é finito. Logo x = 5 não é assíntota, e ficam de fora as opções (B) e (C).
  2. Em +\infty. De \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 2 vem a assíntota horizontal y = 2. Fica de fora a opção (D).
  3. Em -\infty. De \lim\left[f(x)-x\right] = 0 vem a assíntota oblíqua y = x.
  4. As duas assíntotas são y = x e y = 2.O 5 está no enunciado só para ser descartado: o buraco no domínio não chega, é preciso que o limite seja infinito.
RespostaOpção (A)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Separa: \dfrac{1}{x}-\dfrac{\ln x}{x}. Em +\infty, as duas parcelas tendem para zero.

  1. Assíntota vertical. O extremo finito do domínio é 0. Quando x \to 0^{+}: 1-\ln x \to 1+\infty = +\infty e x \to 0^{+}, logo \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \frac{+\infty}{0^{+}} = +\infty. Logo x = 0 é assíntota vertical.
  2. Assíntota horizontal. Separando, \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{1}{x}-\frac{\ln x}{x}\right] = 0-0 = 0, pelo limite notável das magnitudes.
  3. Logo y = 0 é assíntota horizontal.
Respostax = 0 e y = 0

Três coisas a excluir: assíntotas verticais (usa a continuidade), e assíntotas não verticais em cada um dos dois ramos.

  1. Verticais. f é contínua em \mathbb{R}, logo g(x) = x f(x) também é (produto de contínuas). Uma função contínua em \mathbb{R} não tem assíntotas verticais.
  2. O que a assíntota de f dá. \lim\limits_{x \to \pm\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 1.
  3. Declive de g. m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{x f(x)}{x} = \lim_{x \to \pm\infty} f(x).
  4. Ora, como f(x) se aproxima de x, tem-se \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty e \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty.
  5. Em ambos os ramos m é infinito, logo não há assíntota não vertical. Somando com o primeiro passo: o gráfico de g não tem qualquer assíntota.
RespostaSem verticais (contínua) e m = \pm\infty nos dois ramos

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Para a assíntota não vertical: primeiro m = \lim\dfrac{f(x)}{x}, depois b = \lim\left[f(x)-mx\right]. Os dois ramos estudam-se separadamente.

  1. Assíntota vertical. O extremo finito do domínio é 1. Quando x \to 1^{+}: x \to 1 e \ln(x-1) \to -\infty, logo \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = 1+1 \times (-\infty) = -\infty. Logo x = 1 é assíntota vertical.
  2. Declive em +\infty. m = \lim_{x \to +\infty} \frac{x+x\ln(x-1)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left[1+\ln(x-1)\right] = +\infty.
  3. Como m não é finito, não há assíntota não vertical.
  4. O gráfico tem uma única assíntota: x = 1.
RespostaSó x = 1

Os dois fatores têm limite conhecido: um é o declive, o outro é a ordenada na origem.

  1. Da assíntota: \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{g(x)}{x} = 2 e \lim\limits_{x \to +\infty}\left[g(x)-2x\right] = 3.
  2. Como os dois limites são finitos, o limite do produto é o produto dos limites: \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{g(x)}{x} \times \left(g(x)-2x\right)\right] = 2 \times 3 = 6.
RespostaOpção (C)

Três limites de f lidos na figura — em -\infty, em 0^{-} e em 1^{-} — e o inverso de cada um. Cada resultado elimina uma opção.

  1. Em 1^{-}. Como x = 1 é assíntota, \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = +\infty, logo \lim_{x \to 1^{-}} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{+\infty} = 0. A opção (A) sobe aí para +\infty: fica de fora.
  2. Em -\infty. Como y = 0 é assíntota e a curva está acima do eixo, \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0^{+}, logo \lim\limits_{x \to -\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty. A opção (C) desce aí para zero: fica de fora.
  3. Em 0^{-}. A origem pertence ao gráfico e a curva está acima do eixo, logo \lim\limits_{x \to 0^{-}} f(x) = 0^{+} e \lim\limits_{x \to 0^{-}} \frac{1}{f(x)} = +\infty: o eixo Oy é assíntota de \frac{1}{f}. A opção (D) é contínua na origem: fica de fora.
  4. Sobra a opção (B).Um zero de f transforma-se em assíntota vertical de \frac{1}{f}, e uma assíntota vertical de f transforma-se num zero. É essa troca que o item pede para ler.
RespostaOpção (B)

Três leituras: o que f \to 0^{+} faz ao logaritmo, o que f \to 1^{+} lhe faz, e o sinal de g(0).

  1. Em -\infty. Pela figura, \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0^{+}, logo \lim_{x \to -\infty} g(x) = \ln 0^{+} = -\infty. A opção (A) não cumpre isto.
  2. Em +\infty. Pela figura, \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1^{+}, logo \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \ln 1^{+} = 0^{+}: o eixo Ox é assíntota do gráfico de g, e a curva aproxima-se dele por cima. A opção (D) não cumpre isto.
  3. Na origem. Pela figura, f(0) = k com k > 1, logo g(0) = \ln k > 0. As opções (B) e (D) não cumprem isto.
  4. Sobra a opção (C).O logaritmo troca 1 por 0 e 0^{+} por -\infty: é essa troca que transforma a assíntota y = 1 de f na assíntota y = 0 de g.
RespostaOpção (C)

O numerador tende para 0. E o denominador? Lê na figura os dois limites laterais de g em 1 — e repara que, sendo infinitos, o quociente não é indeterminado.

  1. O numerador. \lim\limits_{x \to 1} h(x) = \lim\limits_{x \to 1}(x-1) = 0.
  2. O denominador. Pela figura, \lim\limits_{x \to 1^{-}} g(x) = +\infty e \lim\limits_{x \to 1^{+}} g(x) = -\infty.
  3. Os dois limites laterais do quociente. \lim_{x \to 1^{-}} \frac{h(x)}{g(x)} = \frac{0}{+\infty} = 0, \qquad \lim_{x \to 1^{+}} \frac{h(x)}{g(x)} = \frac{0}{-\infty} = 0.
  4. São iguais, logo \lim\limits_{x \to 1} \dfrac{h(x)}{g(x)} = 0.Um número finito a dividir por um infinito dá zero — não é indeterminação nenhuma. A armadilha do item é ver 0 em cima e ler \frac{0}{0}.
RespostaOpção (C)

Divide numerador e denominador por x: aparece \dfrac{f(x)}{x}, cujo limite é o declive.

  1. Da assíntota: \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x} = \dfrac{1}{3}.
  2. O limite. \lim_{x \to +\infty} h(x) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{f(x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{\dfrac{f(x)}{x}} = \frac{1}{\frac{1}{3}} = 3.
  3. A assíntota horizontal do gráfico de h é y = 3.
RespostaOpção (D)

Escreve a definição de assíntota com y = -x-1 e vê que a expressão do enunciado é exatamente essa.

  1. Por definição de assíntota não vertical, \lim_{x \to -\infty}\left[f(x)-(-x-1)\right] = 0.
  2. Ora f(x)-(-x-1) = f(x)+x+1: é exatamente a expressão do enunciado.
  3. Logo o limite é 0.
RespostaOpção (B)

A assíntota dá \lim\limits_{x \to -\infty} f(x). O resto é uma divisão.

  1. Como y = -1 é assíntota horizontal, \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -1.
  2. Logo \lim_{x \to -\infty} \frac{3}{f(x)} = \frac{3}{-1} = -3.
RespostaOpção (B)

A primeira condição diz o que acontece junto ao eixo Oy; a segunda identifica a assíntota tracejada. Aplica-as por essa ordem.

  1. Junto a zero. De \lim\limits_{x \to 0} g(x) = -\infty vem que o eixo Oy é assíntota vertical, e que a curva desce para -\infty. Ficam de fora a opção (B), que sobe para +\infty, e a (C), que parte de um valor finito.
  2. No infinito. De \lim\left[g(x)-x\right] = 0 vem que y = x — a bissetriz dos quadrantes ímpares — é assíntota do gráfico de g. A assíntota tracejada da opção (A) é horizontal.
  3. Sobra a opção (D).Repara que \lim\left[g(x)-x\right] = 0 é a definição de assíntota escrita com m = 1 e b = 0. Não é preciso calcular m e b: já lá estão.
RespostaOpção (D)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Factoriza os dois polinómios: 3x^{2}-3 = 3(x-1)(x+1) e x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}.

  1. Simplificar. Para x < 1, f(x) = \frac{3(x-1)(x+1)}{(x-1)^{2}} = \frac{3(x+1)}{x-1}.
  2. Assíntota vertical. Quando x \to 1^{-}: numerador \to 6, denominador \to 0^{-}, logo \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \frac{6}{0^{-}} = -\infty. Logo x = 1 é assíntota vertical.
  3. Horizontal em -\infty. \lim_{x \to -\infty} \frac{3x+3}{x-1} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{3x}{x} = 3. Logo y = 3 é assíntota horizontal quando x \to -\infty.
  4. Horizontal em +\infty. \ln x \to +\infty e e^{1-x} \to 0, logo \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty: não há assíntota horizontal nesse ramo.
Respostax = 1 e y = 3 (em -\infty)

Calcula m = \lim\frac{g(x)}{x}. Se der infinito, acabou: não há assíntota.

  1. O que se sabe. De \lim\left(f(x)-2x\right) = 0 vem \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 2.
  2. Declive de g. m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)+x^{2}}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{f(x)}{x}+x\right] = 2+\infty = +\infty.
  3. Como m não é finito, o gráfico de g não tem assíntota oblíqua em +\infty. E o domínio é \mathbb{R}^{+}, logo não há outro ramo a estudar.
Respostam = +\infty: não há assíntota oblíqua

\lim\dfrac{f(x)}{x} é exatamente o declive da assíntota. Lê dois pontos da reta r na figura e calcula-o.

  1. Por definição, m = \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x} é o declive da assíntota não vertical do gráfico de f — ou seja, o declive de r.
  2. Dois pontos da reta. Pela figura, r passa em (0,\,-1) e em (1,\,0).
  3. Declive. m = \frac{0-(-1)}{1-0} = 1.
  4. Logo \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 1.Note-se que a assíntota é oblíqua: se fosse horizontal, o limite seria 0.
RespostaOpção (C)

O numerador tende para 3. E o denominador, pela figura?

  1. O numerador. \lim\limits_{x \to 1^{-}} 3x = 3.
  2. O denominador. Pela figura, \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = +\infty.
  3. Logo \lim_{x \to 1^{-}} \frac{3x}{f(x)} = \frac{3}{+\infty} = 0. Um número finito a dividir por um infinito dá zero — o sinal do infinito nem chega a ser preciso.
RespostaOpção (C)

Não é preciso calcular m nem b: a reta já está escrita. Basta verificar a definição, \lim\left[f(x)-(ax+b)\right] = 0. E repara em que ramo é que ela se verifica.

  1. Onde procurar. O domínio é \left]-\infty,\,2{\pi}\right]: é limitado à direita, logo o único comportamento assintótico possível é quando x \to -\infty. Aí vale o primeiro ramo.
  2. A definição. A reta y = ax+b é assíntota do gráfico de f em -\infty se e só se \lim\limits_{x \to -\infty}\left[f(x)-(ax+b)\right] = 0. Ora f(x)-(ax+b) = ax+b+e^{x}-ax-b = e^{x}.
  3. O limite. \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0. Logo y = ax+b é assíntota do gráfico de f.
  4. E como a \neq 0, a reta não é horizontal: é uma assíntota oblíqua.A conta reduz-se a uma subtração que apaga tudo menos e^{x}. Quando a reta é dada, verificar a definição é quase sempre mais curto do que calcular m e b.
Respostaf(x)-(ax+b) = e^{x} \to 0, e a \neq 0

Para a assíntota não vertical: primeiro m = \lim\dfrac{f(x)}{x}, depois b = \lim\left[f(x)-mx\right]. Os dois ramos estudam-se separadamente.

O único ramo infinito é x \to +\infty, onde vale a segunda expressão.

  1. Que ramo. Para x \to +\infty vale f(x) = \dfrac{1}{5}x-\ln x.
  2. Declive. m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\frac{1}{5}x-\ln x}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{1}{5}-\frac{\ln x}{x}\right] = \frac{1}{5}-0 = \frac{1}{5}, pelo limite notável das magnitudes.
  3. Ordenada na origem. b = \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-\frac{1}{5}x\right] = \lim_{x \to +\infty} \left(-\ln x\right) = -\infty.
  4. Como b não é finito, o gráfico de f não tem assíntota oblíqua.
RespostaNão tem: m = \frac{1}{5} mas b = -\infty

O denominador tende para -4. Falta ver para onde vai o numerador.

  1. Da assíntota: \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = -4.
  2. O numerador. Quando x \to +\infty, \dfrac{1}{2x} \to 0^{+}, logo \ln\left(\dfrac{1}{2x}\right) \to -\infty.
  3. Assim \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(\frac{1}{2x}\right)}{h(x)} = \frac{-\infty}{-4} = +\infty.
RespostaOpção (B)

Para a assíntota não vertical: primeiro m = \lim\dfrac{f(x)}{x}, depois b = \lim\left[f(x)-mx\right]. Os dois ramos estudam-se separadamente.

Paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares significa declive 1.

  1. O que se sabe. Como y = 1 é assíntota horizontal do gráfico de f: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1.
  2. Declive. m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)+x}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{f(x)}{x}+1\right] = \frac{1}{+\infty}+1 = 0+1 = 1.
  3. Ordenada na origem. b = \lim_{x \to +\infty}\left[g(x)-x\right] = \lim_{x \to +\infty} f(x) = 1.
  4. Como m = 1 e b = 1 são finitos, a reta y = x+1 é assíntota oblíqua do gráfico de g, e tem declive 1: é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares.
Respostay = x+1, de declive 1

Escreve a definição com m = 2 e b = -4, e cuidado com o sinal ao remover os parênteses.

  1. Por definição, \lim\limits_{x \to +\infty}\left[g(x)-(2x-4)\right] = 0, isto é, \lim\left(g(x)-2x+4\right) = 0. (C) é verdadeira.
  2. (A) troca o sinal do 4: seria a assíntota y = 2x+4.
  3. (D) daria b = 0, ou seja, a assíntota y = 2x.
  4. (B) é o inverso do declive: \lim\dfrac{x}{g(x)} = \dfrac{1}{2}, e não 2.
RespostaOpção (C)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Aqui não há extremos finitos abertos: o candidato é o ponto de junção x = 2. Calcula o limite à esquerda.

  1. Candidatos. O domínio é \left[0,\,+\infty\right[, fechado em 0. O único ponto a investigar é x = 2, onde muda o ramo.
  2. À esquerda de 2. Com y = 2-x \to 0, \lim_{x \to 2^{-}} \frac{e^{2-x}-1}{x-2} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 2^{-}} -\frac{e^{2-x}-1}{2-x} = -1, pelo limite notável. O limite é finito.
  3. À direita de 2. \lim\limits_{x \to 2^{+}} \dfrac{x+1}{\ln(x+1)} = \dfrac{3}{\ln 3}, também finito.
  4. Nenhum limite é infinito: o gráfico de f não tem assíntotas verticais.Nos restantes pontos do domínio a função é contínua, por ser obtida por operações entre funções contínuas — e por isso não admite mais assíntotas verticais.
RespostaNão tem assíntotas verticais

Cuidado com a segunda condição: um limite finito em 3 significa que x = 3 não é assíntota vertical.

  1. Em +\infty. \lim f(x) = 1: a reta y = 1 é assíntota horizontal.
  2. Em 3. O limite é -2, finito: x = 3 não é assíntota vertical (há apenas uma descontinuidade removível).
  3. Em -\infty. \lim\left(f(x)+2x\right) = 0, isto é, \lim\left[f(x)-(-2x)\right] = 0: a reta y = -2x é assíntota oblíqua.
  4. As duas assíntotas são y = -2x e y = 1.Um ponto fora do domínio não dá automaticamente assíntota vertical. É preciso o limite ser infinito.
RespostaOpção (C)

Duas contas de limites, e nada mais: \dfrac{1}{-\infty} junto a zero, e \dfrac{1}{+\infty} no infinito. O que importa é o sinal de cada zero.

  1. Junto a zero. Como \lim\limits_{x \to 0^{+}} f(x) = -\infty, \lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{-\infty} = 0^{-}. Ficam de fora as opções (B) e (C), que não partem de zero por valores negativos.
  2. No infinito. A bissetriz dos quadrantes ímpares é a reta y = x, e é assíntota do gráfico de f, logo \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty. Então \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{+\infty} = 0^{+}. Fica de fora a opção (A), cujo ramo direito se aproxima de zero por baixo.
  3. Sobra a opção (D).O zero de f — que existe, porque f é contínua e passa de -\infty a +\infty — é o que dá a assíntota vertical de \frac{1}{f} que se vê nas quatro opções.
RespostaOpção (D)

Cada uma das quatro condições dá (ou não dá) uma assíntota. Traduz-as uma a uma.

  1. Primeira. \lim\left(f(x)-2x\right) = 1 significa \lim\left[f(x)-(2x+1)\right] = 0: a reta y = 2x+1 é assíntota em +\infty.
  2. Segunda. \lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 3: a reta y = 3 é assíntota horizontal em -\infty.
  3. Terceira. \lim\limits_{x \to 1^{+}} f(x) = +\infty: a reta x = 1 é assíntota vertical. (Basta um limite lateral infinito.)
  4. Quarta. \lim\limits_{x \to 1^{-}} f(x) = 2 é finito: não dá assíntota nenhuma, e em particular y = 2 não é assíntota.
  5. Das opções, só (B) apresenta duas assíntotas verdadeiras.
RespostaOpção (B)

Calcula \lim\limits_{x \to +\infty} g(x). Lembra-te de que e^{-x} \to 0.

  1. Da assíntota de f: \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 3.
  2. E \lim\limits_{x \to +\infty} e^{-x} = 0, logo o numerador tende para -3.
  3. Assim \lim_{x \to +\infty} g(x) = \frac{0-3}{3} = -1.
  4. A reta y = -1 é assíntota horizontal do gráfico de g.
RespostaOpção (D)

Quatro condições, quatro opções: cada uma das rejeitadas falha exatamente uma. Verifica-as por esta ordem — a assíntota, o mínimo, e o sentido da concavidade depois de b.

  1. Rejeitar (B). De \lim\limits_{x \to -\infty}\left(h(x)-1\right) = 0 vem \lim\limits_{x \to -\infty} h(x) = 1. Na função da opção (B) esse limite é -1.
  2. Rejeitar (C). A função h tem um mínimo relativo em \left]a,\,c\right[. A função da opção (C) é crescente nesse intervalo, logo não tem aí mínimo nenhum.
  3. Rejeitar (D). De h''(x) > 0 para x > b vem que o gráfico tem a concavidade voltada para cima em \left]b,\,+\infty\right[. Na opção (D) está voltada para baixo.
  4. Sobra a opção (A), que cumpre as quatro condições em simultâneo.Uma composição destas ganha-se a organizar: uma condição de cada vez, e para cada uma a opção que ela sozinha elimina.
RespostaOpção (A)

Três leituras independentes: o que f(-1) = 0 obriga a tangente de g a fazer em x = -1; onde é que g é crescente; e qual é a assíntota.

  1. Rejeitar (A). Como -1 é zero de f, g'(-1) = f(-1) \times e^{1} = 0: a tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa -1 é horizontal. O gráfico da opção (A) não tem aí tangente horizontal.
  2. Rejeitar (B). Como e^{-x} > 0, o sinal de g' é o de f. Pela figura, f só é positiva em \left]2,\,+\infty\right[, logo g só é crescente nesse intervalo — ao contrário do gráfico da opção (B), que é sempre crescente.
  3. Rejeitar (C). De \lim\left[g(x)-2\right] = 0 vem que y = 2 é assíntota do gráfico de g. A assíntota do gráfico da opção (C) é y = -2.
  4. Resta a opção (D), que tem tangente horizontal em x = -1, é decrescente até 2 e crescente depois, e tem y = 2 por assíntota.Repara que -1 é um zero de g' sem mudança de sinal: dá tangente horizontal, mas não dá extremo.
RespostaOpção (D)

Reescreve o segundo limite como \lim\left[f(x)-(-2x)\right] = 2. Isso identifica de uma vez o declive e a ordenada na origem da assíntota em -\infty.

  1. A assíntota em +\infty. De \lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 1 vem que y = 1 é assíntota horizontal nesse ramo.
  2. A assíntota em -\infty. De \lim\left[f(x)+2x\right] = 2 vem \lim\left[f(x)-(-2x)\right] = 2, ou seja m = -2 e b = 2: y = -2x+2.
  3. Eliminar. A opção (B) tem a horizontal do lado errado; a (C) tem uma oblíqua de declive +2; a (D) tem uma oblíqua que corta o eixo Oy abaixo da origem, e não em 2.
  4. Só a opção (A) junta y = -2x+2 em -\infty e y = 1 em +\infty.Cuidado com o sinal: f(x)+2x é f(x)-(-2x). O declive da assíntota é -2, não 2.
RespostaOpção (A)

Como e^{2x} > 0, o sinal de h' é o sinal de f — e esse lê-se na figura. Para a segunda afirmação, deriva \frac{f(x)}{e^{2x}} e usa f(-2) = 0 e f'(-2) = 0.

  1. I é falsa. Como e^{2x} > 0, o sinal de h' é o de f. E -2 é um zero de f com extremo relativo: a curva toca o eixo sem o atravessar, logo f não muda aí de sinal.
  2. Fica f > 0 antes de 3 (anulando-se em -2) e f < 0 depois. Logo h é crescente em \left]-\infty,\,3\right] e decrescente em \left[3,\,+\infty\right[: tem um único extremo, em x = 3.
  3. II é verdadeira. Derivando o quociente, h''(x) = \frac{f'(x)e^{2x}-f(x) \times 2e^{2x}}{\left(e^{2x}\right)^{2}} = \frac{f'(x)-2f(x)}{e^{2x}}.
  4. Ora f(-2) = 0 (é zero de f) e f'(-2) = 0 (é extremo relativo de uma função polinomial, logo derivável). Portanto h''(-2) = \frac{0-2 \times 0}{e^{-4}} = 0.
  5. III é falsa. De \lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 3 vem que a assíntota é y = 3. Mas y+3 = 0 é a reta y = -3, que não é assíntota do gráfico de h.A afirmação III só falha num sinal — e é por isso que se lê a equação até ao fim antes de decidir.
RespostaI falsa (um só extremo) · II verdadeira · III falsa (a assíntota é y = 3)

Divide numerador e denominador por x. O denominador passa a ser \dfrac{f(x)}{x}, cujo limite se conhece.

  1. Da assíntota: \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x} = 2.
  2. Dividir por x. \lim_{x \to +\infty} \frac{6x-1}{f(x)} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{6x-1}{x}}{\dfrac{f(x)}{x}} = \frac{6-0}{2} = 3.
RespostaOpção (C)

Separa o quociente em três parcelas e calcula as duas que não envolvem f.

  1. Separar. \frac{f(x)+e^{x}-x}{x} = \frac{f(x)}{x} + \frac{e^{x}}{x} - 1.
  2. Cálculo auxiliar. Quando x \to -\infty, e^{x} \to 0^{+} e x \to -\infty, logo \dfrac{e^{x}}{x} \to \dfrac{0^{+}}{-\infty} = 0.
  3. Resolver. Da hipótese, \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x} + 0 - 1 = 1 \iff \lim_{x \to -\infty}\frac{f(x)}{x} = 2.
  4. Como o domínio é \mathbb{R}^{-}, o único ramo é x \to -\infty, e o declive da assíntota é m = 2.
RespostaOpção (D)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Há dois extremos finitos: -1 e 1. Em cada um, estuda o que acontece ao logaritmando.

  1. Candidatos. Os extremos finitos do domínio são -1 (pela esquerda) e 1 (pela direita).
  2. Em x = -1. Quando x \to -1^{-}: x-1 \to -2 e x+1 \to 0^{-}, logo \dfrac{x-1}{x+1} \to \dfrac{-2}{0^{-}} = +\infty, e \lim_{x \to -1^{-}} f(x) = \ln(+\infty) = +\infty. Logo x = -1 é assíntota vertical.
  3. Em x = 1. Quando x \to 1^{+}: x-1 \to 0^{+} e x+1 \to 2, logo \dfrac{x-1}{x+1} \to 0^{+}, e \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \ln\left(0^{+}\right) = -\infty. Logo x = 1 é assíntota vertical.
  4. O gráfico tem duas assíntotas verticais: x = -1 e x = 1.
Respostax = -1 e x = 1

Separa: \dfrac{f(x)}{x} \times g(x). Cada fator tem limite conhecido.

  1. Da assíntota de f: \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x} = -1.
  2. Da assíntota de g: como g(x) se aproxima de -x, tem-se \lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = -\infty.
  3. Logo \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x) \times g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} \times \lim_{x \to +\infty} g(x) = (-1) \times (-\infty) = +\infty.
RespostaOpção (A)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Em +\infty, o limite notável \lim\frac{e^{x}}{x} = +\infty responde de imediato.

  1. Assíntota vertical. O extremo finito do domínio é 0. Quando x \to 0^{+}, e^{x} \to 1 e x \to 0^{+}, logo \lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{x}}{x} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty. Logo x = 0 é assíntota vertical.
  2. Assíntota horizontal. Pelo limite notável das magnitudes (com p = 1), \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x} = +\infty. Como o limite não é finito, não há assíntota horizontal.
Respostax = 0; não há assíntota horizontal

A continuidade está dada de bandeja — usa-a para arrumar as verticais. Depois só resta o ramo x \to +\infty, onde vale \frac{e^{x}}{x+1}.

  1. Verticais. Em \left[-\frac{{\pi}}{3},\,0\right[, h é um quociente de funções contínuas com denominador não nulo; em \left[0,\,+\infty\right[, também, porque x+1 > 0. E o enunciado garante a continuidade em 0. Logo h é contínua em todo o domínio: não há assíntotas verticais.
  2. Não verticais. O domínio só é ilimitado à direita, logo só há um ramo a estudar. Com x \geq 0 vale o segundo ramo: m = \lim_{x \to +\infty} \frac{h(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}+x}.
  3. É \frac{\infty}{\infty}, e pelo limite notável das magnitudes a exponencial ganha ao polinómio: \lim_{x \to +\infty} \frac{e^{x}}{x^{2}+x} = +\infty.
  4. Como m não é finito, não há assíntota não vertical. O gráfico de h não tem assíntotas.O ramo com senos serve só para o domínio ser o que é: em +\infty não conta, e a continuidade em 0 vem dada. Repara em quanto do enunciado não é preciso usar.
RespostaNenhuma: contínua em todo o domínio e m = +\infty

Para a assíntota não vertical: primeiro m = \lim\dfrac{f(x)}{x}, depois b = \lim\left[f(x)-mx\right]. Os dois ramos estudam-se separadamente.

O domínio só é ilimitado à esquerda: o ramo a estudar é x \to -\infty. E aí e^{x} \to 0^{+}.

  1. Que ramo. O domínio é \left]-\infty,\,2\right]: só há assíntota possível quando x \to -\infty.
  2. Declive. m = \lim_{x \to -\infty} \frac{x+\ln\left(e^{x}+1\right)}{x} = \lim_{x \to -\infty}\left[1+\frac{\ln\left(e^{x}+1\right)}{x}\right].
  3. Cálculo auxiliar. Quando x \to -\infty, e^{x} \to 0^{+}, logo \ln\left(e^{x}+1\right) \to \ln 1 = 0. Assim \dfrac{\ln\left(e^{x}+1\right)}{x} \to \dfrac{0}{-\infty} = 0, e m = 1.
  4. Ordenada na origem. b = \lim_{x \to -\infty}\left[f(x)-x\right] = \lim_{x \to -\infty} \ln\left(e^{x}+1\right) = \ln 1 = 0.
  5. A assíntota oblíqua é a reta de equação y = x.
Respostay = x, quando x \to -\infty

O domínio é um intervalo limitado: isso arruma as não verticais numa linha. Ficam os dois extremos, 0 e \frac{{\pi}}{2}.

  1. Não verticais. O domínio é \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[, que não contém nenhum ramo infinito: x nunca tende para +\infty nem para -\infty. Logo não pode haver assíntotas não verticais.
  2. Candidatos a vertical. f resulta de operações entre funções contínuas no intervalo, logo só os dois extremos podem dar assíntota.
  3. Em 0^{+}. É uma indeterminação \frac{0}{0}. Por L’Hôpital, com \left(\operatorname{tg} x\right)^{\prime} = \frac{1}{\cos^{2} x}: \lim_{x \to 0^{+}} \frac{e^{2x}-1}{\operatorname{tg} x} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0^{+}} \frac{2e^{2x}}{\dfrac{1}{\cos^{2} x}} = \lim_{x \to 0^{+}} 2e^{2x}\cos^{2} x = 2 \times 1 \times 1 = 2. O limite é finito: x = 0 não é assíntota.
  4. Em \left(\frac{{\pi}}{2}\right)^{-}. O numerador tende para e^{{\pi}}-1, um número, e \operatorname{tg} x \to +\infty: \lim_{x \to \left(\frac{{\pi}}{2}\right)^{-}} f(x) = \frac{e^{{\pi}}-1}{+\infty} = 0. Também é finito: x = \frac{{\pi}}{2} não é assíntota.
  5. Não há verticais nem não verticais: o gráfico de f não tem assíntotas.Quando o domínio é um intervalo limitado, as não verticais despacham-se numa frase. Vale sempre a pena olhar primeiro para o domínio.
RespostaDomínio limitado (sem não verticais) e limites finitos em 0 e em \frac{{\pi}}{2}

O domínio é \mathbb{R}: há dois ramos a estudar, x \to -\infty e x \to +\infty, cada um com a sua expressão. No primeiro manda o termo de maior grau; no segundo, o limite notável das magnitudes.

  1. Em -\infty. Vale o primeiro ramo, e nos polinómios manda o termo de maior grau: \lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}-4}{x^{2}-5x+6} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to -\infty} \frac{x^{2}}{x^{2}} = 1. Logo y = 1 é assíntota horizontal quando x \to -\infty.
  2. Em +\infty. Vale o segundo ramo. Escrevendo e^{x-2} = \dfrac{e^{x}}{e^{2}}, \lim_{x \to +\infty} \frac{x-1}{e^{x-2}} = e^{2}\lim_{x \to +\infty}\left[\frac{x}{e^{x}}-\frac{1}{e^{x}}\right] = e^{2}(0-0) = 0, pelo limite notável das magnitudes.
  3. Logo y = 0 é assíntota horizontal quando x \to +\infty.São duas assíntotas horizontais diferentes, uma em cada ramo — é o que pode acontecer sempre que a função é definida por ramos.
Respostay = 1 (em -\infty) e y = 0 (em +\infty)

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Para a assíntota não vertical: primeiro m = \lim\dfrac{f(x)}{x}, depois b = \lim\left[f(x)-mx\right]. Os dois ramos estudam-se separadamente.

  1. Assíntota vertical. O extremo finito do domínio é 1. Quando x \to 1^{+}, \ln(x-1) \to -\infty, logo \lim_{x \to 1^{+}} g(x) = 5-\infty = -\infty. Logo x = 1 é assíntota vertical.
  2. Declive. m = \lim_{x \to +\infty} \frac{5x+3\ln(x-1)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left[5+3\,\frac{\ln(x-1)}{x}\right].
  3. Cálculo auxiliar. Como \dfrac{\ln(x-1)}{x} = \dfrac{\ln(x-1)}{x-1} \times \dfrac{x-1}{x}, e o primeiro fator tende para 0 e o segundo para 1, o produto tende para 0. Logo m = 5.
  4. Ordenada na origem. b = \lim_{x \to +\infty}\left[g(x)-5x\right] = \lim_{x \to +\infty} 3\ln(x-1) = +\infty.
  5. Como b não é finito, o gráfico de g não tem assíntota oblíqua.Ter declive finito não chega: se b for infinito, não há assíntota. É um caso que os Exames gostam de propor.
Respostax = 1 é assíntota vertical; não há assíntota oblíqua

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Em +\infty, divide numerador e denominador por e^{x} e usa \lim\frac{\ln x}{e^{x}} = 0.

  1. Assíntota vertical. O único extremo finito do domínio é 0. Quando x \to 0^{+}: e^{x}+\ln x \to 1-\infty = -\infty e e^{x}-1 \to 0^{+}.
  2. Logo \lim_{x \to 0^{+}} h(x) = \frac{-\infty}{0^{+}} = -\infty, e x = 0 é assíntota vertical.
  3. Assíntota horizontal. Dividindo por e^{x}: h(x) = \frac{1+\dfrac{\ln x}{e^{x}}}{1-\dfrac{1}{e^{x}}}.
  4. Como \dfrac{\ln x}{e^{x}} \to 0 (a exponencial cresce mais depressa) e \dfrac{1}{e^{x}} \to 0, \lim_{x \to +\infty} h(x) = \frac{1+0}{1-0} = 1, e y = 1 é assíntota horizontal.
Respostax = 0 e y = 1

Cada uma falha por uma razão diferente: a primeira porque a assíntota que existe não é horizontal; a segunda porque a tangente dá o valor de g(1); a terceira porque a concavidade fixa o sinal de cada segunda derivada.

  1. I é falsa. De \lim\left[f(x)-2x+1\right] = 0 vem \lim\left[f(x)-(2x-1)\right] = 0: a reta y = 2x-1 é assíntota do gráfico de f quando x \to +\infty.
  2. Como o declive é 2 \neq 0, essa assíntota é oblíqua. Num mesmo ramo o gráfico não pode ter duas assíntotas não verticais, logo não há assíntota horizontal em +\infty.
  3. II é falsa. A reta r é tangente ao gráfico de g no ponto de abcissa 1, logo esse ponto pertence às duas: g(1) = 2 \times 1-1 = 1.
  4. E como g é contínua, \lim\limits_{x \to 1} g(x) = g(1) = 1 \neq 2.
  5. III é falsa. Concavidade voltada para cima dá f''(x) > 0; voltada para baixo dá g''(x) < 0. Logo f''(x) > 0 > g''(x) em \left]0,\,+\infty\right[ — exatamente o contrário do que a proposição afirma.Nenhuma das três precisa da expressão de f ou de g. Tudo se decide traduzindo cada hipótese na igualdade ou na desigualdade que ela significa.
RespostaI: a assíntota é oblíqua · II: g(1) = 1 · III: f'' > 0 > g''

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

Separa a fracção: \dfrac{\ln x}{x}+2. Isso resolve os dois limites de uma vez.

  1. Cálculo auxiliar. f(x) = \dfrac{\ln x}{x}+2.
  2. Assíntota vertical. O único extremo finito do domínio é 0. Como \ln x \to -\infty e x \to 0^{+}, \lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \frac{-\infty}{0^{+}}+2 = -\infty. Logo x = 0 é assíntota vertical.
  3. Assíntota horizontal. Pelo limite notável das magnitudes, \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{\ln x}{x} = 0, logo \lim_{x \to +\infty} f(x) = 0+2 = 2. Logo y = 2 é assíntota horizontal.
Respostax = 0 e y = 2

Para a assíntota não vertical: primeiro m = \lim\dfrac{f(x)}{x}, depois b = \lim\left[f(x)-mx\right]. Os dois ramos estudam-se separadamente.

Só o segundo ramo interessa. Divide-o parcela a parcela por x e repara que \ln\left(2-e^{-x}\right) tende para um número.

  1. Um cálculo auxiliar. Como e^{-x} \to 0 quando x \to +\infty, \lim_{x \to +\infty} \ln\left(2-e^{-x}\right) = \ln(2-0) = \ln 2.
  2. Declive. Dividindo parcela a parcela, m = \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln\left(2-e^{-x}\right)+x+2}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{\ln\left(2-e^{-x}\right)}{x}+1+\frac{2}{x}\right] = \frac{\ln 2}{+\infty}+1+0 = 1.
  3. Ordenada na origem. b = \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)-x\right] = \lim_{x \to +\infty}\left[\ln\left(2-e^{-x}\right)+2\right] = \ln 2 + 2.
  4. A assíntota oblíqua é a reta de equação y = x + \ln 2 + 2.O primeiro ramo, com o seno, não entra na conta: em +\infty só vale o segundo. Metade do trabalho de um item destes é perceber qual dos ramos se usa.
Respostay = x+\ln 2+2

Para x = 2 ser assíntota vertical de \frac{1}{f}, é preciso que um dos limites laterais de \frac{1}{f} em 2 seja infinito. Calcula-os.

  1. À esquerda. Como \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty, \lim_{x \to 2^{-}} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{-\infty} = 0.
  2. À direita. Como \lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2) > 0, que é um número real não nulo, \lim_{x \to 2^{+}} \frac{1}{f(x)} = \frac{1}{f(2)}, um número real.
  3. Nenhum dos limites laterais é infinito, logo x = 2 não é assíntota vertical do gráfico de \frac{1}{f}. A proposição é falsa.
RespostaOs dois limites laterais de \frac{1}{f} em 2 são finitos

Assíntotas verticais procuram-se nos extremos finitos do domínio e nos pontos de descontinuidade. Em cada candidato, calcula o limite lateral que existir.

O limite em 0 é uma indeterminação \frac{0}{0}. A regra de L’Hôpital resolve-a — mas só à segunda aplicação.

  1. O único candidato. f resulta de operações entre funções contínuas e 0 é o único valor que anula o denominador, logo x = 0 é a única reta vertical que pode ser assíntota.
  2. Primeira aplicação de L’Hôpital. \lim_{x \to 0} \frac{1-\cos x}{x^{4}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{4x^{3}}, que continua a ser \frac{0}{0}.
  3. Segunda aplicação. \lim_{x \to 0} \frac{\operatorname{sen} x}{4x^{3}} \overset{\left(\frac{0}{0}\right)}{=} \lim_{x \to 0} \frac{\cos x}{12x^{2}} = \frac{1}{0^{+}} = +\infty.
  4. Como 12x^{2} \to 0^{+} dos dois lados, o limite é +\infty em ambos. Logo x = 0 é assíntota vertical do gráfico de f — e é a única.Podia usar-se o limite notável do seno em vez da segunda aplicação: \frac{\operatorname{sen} x}{4x^{3}} = \frac{\operatorname{sen} x}{x} \times \frac{1}{4x^{2}} \to 1 \times \frac{1}{0^{+}}. Dá o mesmo, com menos contas.
Respostax = 0

A definição é \lim\left[g(x)-(mx+b)\right] = 0. Escreve-a com m = 3 e b = -5 e simplifica os sinais.

  1. Por definição de assíntota não vertical, \lim_{x \to +\infty}\left[g(x)-(3x-5)\right] = 0.
  2. Ora g(x)-(3x-5) = g(x)-3x+5.
  3. Logo a igualdade verdadeira é \lim\limits_{x \to +\infty}\left(g(x)-3x+5\right) = 0.Distrair-se num sinal é o erro que este item procura. Vale a pena escrever a definição por extenso antes de comparar.
RespostaOpção (D)

Basta mostrar que \lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x)-(x-1)\right] = 0. Reduz tudo ao mesmo denominador.

  1. Reduzir ao mesmo denominador. f(x)-(x-1) = \frac{x^{2}+\ln(ex+e)}{x+1} - \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = \frac{x^{2}+\ln(ex+e)-x^{2}+1}{x+1} = \frac{\ln(ex+e)+1}{x+1}.
  2. O limite. \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(ex+e)+1}{x+1} \overset{\left(\frac{\infty}{\infty}\right)}{=} \lim_{x \to +\infty} \frac{\dfrac{e}{ex+e}}{1} pela regra de L’Hôpital.
  3. Ora \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{e}{ex+e} = \dfrac{e}{+\infty} = 0.
  4. Como \lim\limits_{x \to +\infty}\left[f(x)-(x-1)\right] = 0, a reta y = x-1 é assíntota do gráfico de f quando x \to +\infty.
Resposta\lim\left[f(x)-(x-1)\right] = 0

A assíntota de f traduz-se em duas igualdades: \lim\frac{f(x)}{x} = -1 e \lim\left[f(x)+x\right] = 2. Simplifica \frac{x+e^{x}}{e^{x}} = \frac{x}{e^{x}}+1.

  1. O que a assíntota de f diz. Como y = -x+2 é assíntota do gráfico de f em +\infty: \lim_{x \to +\infty}\frac{f(x)}{x} = -1, \qquad \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)+x\right] = 2.
  2. Cálculo auxiliar. \dfrac{x+e^{x}}{e^{x}} = \dfrac{x}{e^{x}}+1, e pelo limite notável das magnitudes, \lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x}{e^{x}} = 0.
  3. Declive. m = \lim_{x \to +\infty}\frac{g(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{f(x)}{x}+\frac{1}{e^{x}}+\frac{1}{x}\right] = -1+0+0 = -1.
  4. Ordenada na origem. b = \lim_{x \to +\infty}\left[g(x)+x\right] = \lim_{x \to +\infty}\left[f(x)+x\right] + \lim_{x \to +\infty}\left[\frac{x}{e^{x}}+1\right] = 2+0+1 = 3.
  5. A assíntota não vertical do gráfico de g é a reta de equação y = -x+3.
Respostay = -x+3

Exercícios de Exame · Teorema de Bolzano-Cauchy

Quarenta e cinco itens de Prova Nacional e de Teste Intermédio, de 1997 a 2026. Repara em quantos deles o trabalho todo está em escolher a função diferença — e em quantos a resposta é «o teorema não se aplica».

Item 126 escolha múltiplaExame 1997 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Seja g a função definida em \mathbb{R} por g(x) = x^{5}-x+1.

Em qual dos seguintes intervalos é que o Teorema de Bolzano nos permite afirmar que a equação g(x) = 8 tem pelo menos uma solução?

  • (A)\left]-1,\,0\right[
  • (B)\left]0,\,1\right[
  • (C)\left]1,\,2\right[
  • (D)\left]2,\,3\right[
Item 127 construçãoExame 1999 · Prova modelo

Foi administrado um medicamento a um doente às 9 horas da manhã de um certo dia.

A concentração desse medicamento, em miligrama por mililitro de sangue, t horas após ter sido administrado, é dada por

C(t) = 2te^{-0{,}3t}

Utiliza o Teorema de Bolzano para mostrar que houve um instante, entre as 9h30min e as 10h, em que a concentração do medicamento foi de 1 mg/ml.

Item 128 construçãoExame 2000 · 2.ª Fase

Considera a função f de domínio \mathbb{R} definida por f(x) = 2x-\cos x.

Recorrendo ao Teorema de Bolzano, mostra que a função tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]0,\,{\pi}\right[.

Item 129 escolha múltiplaExame 2001 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

De uma função f, contínua no intervalo [1,\,3], sabe-se que f(1) = 7 e f(3) = 4.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

  • (A)A função f tem pelo menos um zero no intervalo [1,\,3].
  • (B)A função f não tem zeros em [1,\,3].
  • (C)A equação f(x) = 5 tem pelo menos uma solução no intervalo [1,\,3].
  • (D)A equação f(x) = 5 não tem solução no intervalo [1,\,3].
Item 130 construçãoExame 2001 · 2.ª Fase

De uma função g, contínua em \mathbb{R}, sabe-se que:

1 é zero de g;g(3) > 0.

Prova que a equação g(x) = \dfrac{g(3)}{2} tem, pelo menos, uma solução no intervalo \left]1,\,3\right[.

Item 131 construçãoExame 2002 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

Seja f uma função contínua, de domínio [0,\,5] e contradomínio [3,\,4].

Seja g a função, de domínio [0,\,5], definida por g(x) = f(x)-x.

Prova que a função g tem, pelo menos, um zero.

Item 132 construçãoExame 2004 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = 1+3x^{2}e^{-x}.

Sem recorrer à calculadora (a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos), mostra que, no intervalo \left]-1,\,0\right[, existe pelo menos um objeto cuja imagem, por meio de f, é 4.

Item 133 escolha múltiplaExame 2005 · 2.ª Fase

De uma certa função f, contínua em \mathbb{R}, sabe-se que f(3) = 8 e f(7) = 1.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

  • (A)1 \leq f(6) \leq 8
  • (B)A função f não tem zeros em [3,\,7].
  • (C)f(4) > f(5)
  • (D)2 pertence ao contradomínio de f.
Item 134 construçãoExame 2006 · 2.ª Fase

Seja f : [0,\,2] \to \mathbb{R} uma função contínua tal que f(0) = f(2) = 0 e f(1) > 0.

Prova que existe pelo menos um número real c no intervalo \left]0,\,1\right[ tal que f(c) = f(c+1).

Sugestão do enunciado: considera a função g : [0,\,1] \to \mathbb{R}, definida por g(x) = f(x)-f(x+1).

Item 135 construçãoTeste Intermédio 12.º · 15.03.2007

Considera, num referencial o.n. xOy:

a curva C, que representa graficamente a função f, de domínio [0,\,1], definida por f(x) = e^{x}+3x;a reta r, de equação y = 5.

Sem recorrer à calculadora, justifica que a reta r interseta a curva C em pelo menos um ponto.

Item 136 construçãoExame 2007 · 1.ª Fase

Considera as funções f e g, definidas em \mathbb{R} por

f(x) = e^{x-1} \qquad \text{e} \qquad g(x) = \operatorname{sen} x

Considera ainda a função h, definida em \mathbb{R} por h(x) = f'(x)-g'(x).

Sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos, mostra que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

Item 137 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 29.05.2008

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}, contínua no intervalo [-2,\,2]. Tem-se f(-2) = 1 e f(2) = 3.

Indica qual das expressões seguintes define uma função g, de domínio \mathbb{R}, para a qual o Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo \left]-2,\,2\right[.

  • (A)g(x) = x+f(x)
  • (B)g(x) = x-f(x)
  • (C)g(x) = x^{2}+f(x)
  • (D)g(x) = x^{2}-f(x)
Item 138 construçãoExame 2008 · 1.ª Fase

Seja h a função de domínio \left]-1,\,+\infty\right[, definida por h(x) = 4-x+\ln(x+1).

Justifica, aplicando o Teorema de Bolzano, que a função h tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]5,\,6\right[.

Item 139 construçãoExame 2008 · 2.ª Fase

A massa de uma substância radioativa diminui com a passagem do tempo. Supõe-se que, para uma amostra de uma determinada substância, a massa, em gramas, ao fim de t horas de observação, é dada por

M(t) = 15e^{-0{,}02t}, \qquad t \geq 0

Utiliza o Teorema de Bolzano para justificar que houve, pelo menos, um instante, entre as 2 horas e 30 minutos e as 4 horas após o início da observação, em que a massa da amostra atingiu os 14 gramas.

Item 140 construçãoTeste Intermédio 12.º · 11.03.2009

De uma função f, de domínio [1,\,2], sabe-se que:

f é contínua em todo o seu domínio;\forall x \in [1,\,2],\ f(x) < 0;f(1) = 3f(2).

Seja g a função, de domínio [1,\,2], definida por g(x) = 2f(x)-f(1).

Prova que a função g tem pelo menos um zero.

Item 141 construçãoExame 2009 · 1.ª Fase

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = e^{2x}+\ln x.

Mostra, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]0{,}1;\,0{,}3\right[.

Item 142 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 15.03.2010

Seja g a função, de domínio \left[0,\,+\infty\right[, definida por

g(x) = \begin{cases} 3^{x}-\sqrt{x} & \text{se } 0 \leq x < 2\\[10pt] x-5+\log_{2}(x-1) & \text{se } x \geq 2\end{cases}

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite garantir a existência de pelo menos um zero da função g?

  • (A)\left]0,\,1\right[
  • (B)\left]1,\,3\right[
  • (C)\left]3,\,5\right[
  • (D)\left]5,\,9\right[
Item 143 construçãoExame 2010 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = -x+e^{2x^{3}-1}.

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostra que f(x) = 1{,}5 tem, pelo menos, uma solução em \left]-2,\,-1\right[.

Item 144 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 26.05.2011

Seja f uma função, de domínio \mathbb{R}, contínua no intervalo [-1,\,4]. Tem-se f(-1) = 3 e f(4) = 9.

Em qual das opções seguintes está definida uma função g, de domínio \mathbb{R}, para a qual o Teorema de Bolzano garante a existência de pelo menos um zero no intervalo \left]-1,\,4\right[?

  • (A)g(x) = 2x+f(x)
  • (B)g(x) = 2x-f(x)
  • (C)g(x) = x^{2}+f(x)
  • (D)g(x) = x^{2}-f(x)
Item 145 escolha múltiplaExame 2011 · 1.ª Fase

Seja f uma função de domínio \left[0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \begin{cases} 2^{x}-9 & \text{se } 0 \leq x < 5\\[10pt] \dfrac{1-e^{x}}{x} & \text{se } x \geq 5\end{cases}

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite garantir a existência de, pelo menos, um zero da função f?

  • (A)\left]0,\,1\right[
  • (B)\left]1,\,4\right[
  • (C)\left]4,\,6\right[
  • (D)\left]6,\,7\right[
Item 146 construçãoExame 2011 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left[0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{2-x}-1}{x-2} & \text{se } 0 \leq x < 2\\[10pt] \dfrac{x+1}{\ln(x+1)} & \text{se } x \geq 2\end{cases}

Mostra, sem resolver a equação e recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que f(x) = -3 tem, pelo menos, uma solução em \left]0,\,\dfrac{1}{2}\right[.

Item 147 construçãoExame 2011 · Época especial

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{x+1}{1-e^{x+1}}+1 & \text{se } x \neq -1\\[12pt] a+2 & \text{se } x = -1\end{cases}, \quad a \in \mathbb{R}

Seja f' a primeira derivada de f. Mostra, sem resolver a equação, que f'(x) = \dfrac{1}{4} tem, pelo menos, uma solução em \left]0,\,1\right[.

Se utilizares a calculadora em eventuais cálculos numéricos, usa duas casas decimais nos arredondamentos.

Item 148 construçãoTeste Intermédio 12.º · 13.03.2012

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por f(x) = 2+\log_{3} x.

Seja g a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = x+f(x).

Mostra, sem recorrer à calculadora, que \exists\, c \in \left]1,\,3\right[: g(c) = 5.

Item 149 escolha múltiplaExame 2012 · 1.ª Fase

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = e^{x}-3.

Em qual dos intervalos seguintes o Teorema de Bolzano permite afirmar que a equação f(x) = -x-\dfrac{3}{2} tem, pelo menos, uma solução?

  • (A)\left]0,\,\dfrac{1}{5}\right[
  • (B)\left]\dfrac{1}{5},\,\dfrac{1}{4}\right[
  • (C)\left]\dfrac{1}{4},\,\dfrac{1}{3}\right[
  • (D)\left]\dfrac{1}{3},\,1\right[
Item 150 construçãoExame 2012 · Época especial

Admite que a concentração de um produto químico na água, em gramas por litro, t minutos após a sua colocação na água, é dada, aproximadamente, por

C(t) = 0{,}5t^{2}e^{-0{,}1t}, \qquad t \geq 0

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostra que, durante os primeiros 15 minutos após a colocação desse produto químico na água, houve, pelo menos, um instante em que a concentração do produto foi 13 gramas por litro.

Item 151 construçãoTeste Intermédio 12.º · 24.05.2013

Seja a um número real tal que a > e.

Seja g a função, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = ax+\ln x.

Mostra que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]\dfrac{1}{a},\,\dfrac{1}{e}\right[.

Item 152 construçãoExame 2013 · 1.ª Fase

Considera, para um certo número real a positivo, uma função f, contínua, de domínio [-a,\,a].

Sabe-se que f(-a) = f(a) e f(a) > f(0).

Mostra que a condição f(x) = f(x+a) tem, pelo menos, uma solução em \left]-a,\,0\right[.

Item 153 escolha múltiplaExame 2013 · 2.ª Fase

Seja f uma função de domínio [-e,\,1]. Sabe-se que:

f é contínua no seu domínio;f(-e) = 1;f(1) = e.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

  • (A)A equação f(x)-1 = 0 tem pelo menos uma solução em \left]-e,\,1\right[.
  • (B)A equação f(x) = e tem pelo menos uma solução em \left]-e,\,1\right[.
  • (C)A equação f(x) = 0 tem pelo menos uma solução em \left]-e,\,1\right[.
  • (D)A equação f(x) = \dfrac{e}{2} tem pelo menos uma solução em \left]-e,\,1\right[.
Item 154 escolha múltiplaExame 2014 · 1.ª Fase

Considera, para um certo número real k, a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = ke^{x}+x.

O Teorema de Bolzano garante que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]0,\,1\right[.

A qual dos intervalos seguintes pode pertencer k?

  • (A)\left]-e,\,-\dfrac{1}{e}\right[
  • (B)\left]-\dfrac{1}{e},\,0\right[
  • (C)\left]0,\,\dfrac{1}{e}\right[
  • (D)\left]\dfrac{1}{e},\,1\right[
Item 155 construçãoExame 2014 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left]-\infty,\,0\right[, definida por

f(x) = x-1+\dfrac{\ln(-x)}{x}

Mostra que a condição f(x) = -e tem, pelo menos, uma solução em \left]-e,\,-1\right[, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Item 156 construçãoExame 2015 · 2.ª Fase

Um cubo encontra-se em movimento oscilatório provocado pela força elástica exercida por uma mola. Na figura, O e A são pontos fixos e P é o centro do cubo, que se desloca sobre a semirreta \dot{O}A. Admite que não existe qualquer resistência ao movimento.

O A P
O cubo desloca-se sobre a semirreta \dot{O}A; P é o seu centro, e d(t) é a distância de P a O.

Sabe-se que a distância, em metros, do ponto P ao ponto O é dada por

d(t) = 1+\dfrac{1}{2}\operatorname{sen}\left({\pi}t+\dfrac{{\pi}}{6}\right)

onde t designa o tempo, em segundos, decorrido desde o início da contagem (t \in \left[0,\,+\infty\right[).

Justifica, recorrendo ao Teorema de Bolzano, que houve, pelo menos, um instante entre os três e os quatro segundos em que a distância de P a O foi igual a 1{,}1 metros.

Item 157 construçãoExame 2016 · 2.ª Fase

Seja g uma função contínua, de domínio \mathbb{R}, tal que:

para todo o número real x, (g \circ g)(x) = x;para um certo número real a, tem-se g(a) > a+1.

Mostra que a equação g(x) = x+1 é possível no intervalo \left]a,\,g(a)\right[.

Item 158 construçãoExame 2018 · 1.ª Fase

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, parte do gráfico da função h, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por h(x) = \dfrac{\ln x}{x}.

Para cada número real a pertencente ao intervalo \left]\dfrac{1}{2},\,1\right[, sejam P e Q os pontos do gráfico da função h de abcissas a e 2a, respetivamente. Tal como a figura sugere, a reta PQ define, com os eixos coordenados, um triângulo retângulo.

x y P Q a 2a h
Parte do gráfico de h(x) = \dfrac{\ln x}{x}, com P de abcissa a e Q de abcissa 2a. A reta PQ define com os eixos um triângulo retângulo.

Mostra que existe, pelo menos, um número real a pertencente ao intervalo \left]\dfrac{1}{2},\,1\right[ para o qual esse triângulo é isósceles.

Sugestão: começa por identificar o valor do declive da reta PQ para o qual o triângulo é isósceles.

Item 159 construçãoExame 2020 · 2.ª Fase

Sejam f e g as funções, de domínio \mathbb{R}, definidas, respetivamente, por f(x) = x^{2} e g(x) = \cos x.

Mostra, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que a equação f(x) = g(x) tem, pelo menos, uma solução no intervalo \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{3}\right[.

Item 160 construçãoExame 2020 · Época especial

Para um certo número real k, seja g a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

g(x) = \begin{cases} \dfrac{x^{2}-x}{k-kx} & \text{se } x < 1\\[10pt] x^{2}-10+8\ln x & \text{se } x \geq 1\end{cases}

Mostra, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que a função g tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]\sqrt{e},\,e\right[.

Item 161 construçãoExame 2021 · 1.ª Fase

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Seja g a função, de domínio \left[\dfrac{{\pi}}{2},\,\dfrac{3{\pi}}{2}\right], definida por g(x) = x\cos x + \operatorname{sen} x.

Mostra, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que existe pelo menos um ponto pertencente ao gráfico da função g tal que a reta tangente ao gráfico da função nesse ponto tem declive -\dfrac{1}{2}.

Item 162 construçãoExame 2023 · 1.ª Fase

Resolve este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Seja f a função, de domínio \left[0,\,{\pi}\right], definida por f(x) = \operatorname{sen}(2x)+x, e seja r a reta de equação y = -x+2.

Mostra, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f interseta a reta r em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo \left]\dfrac{{\pi}}{6},\,\dfrac{{\pi}}{3}\right[.

Item 163 construçãoExame 2023 · Época especial

Resolve este item sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos.

Considera a função g, de domínio \left[0,\,{\pi}\right[, definida por g(x) = e^{x}\cos x.

Mostra, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que existe, pelo menos, um ponto do gráfico de g cuja ordenada é igual à abcissa, no intervalo \left]\dfrac{{\pi}}{3},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

Item 164 construçãoExame 2024 · 1.ª Fase (adaptado)

Seja f uma função de domínio \mathbb{R}. Sabe-se que:

para qualquer número real a \neq 2, \lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a);\lim\limits_{x \to 2^{+}} f(x) = f(2), com f(2) > 0, e \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty;f(1) \times f(3) < 0.

Considera a proposição seguinte.

O Teorema de Bolzano-Cauchy permite afirmar que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]1,\,3\right[.

Justifica que a proposição anterior é falsa.

Item 165 construçãoExame 2024 · Época especial

Resolve este item sem recorrer à calculadora.

Seja a um número real maior do que 1, e seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = ax^{3}+x-2.

Mostra que a função f tem, pelo menos, um zero no intervalo \left]0,\,1\right[.

Item 166 construçãoExame 2025 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = 3e^{x}-2e^{-x}.

Sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, mostra, recorrendo ao Teorema de Bolzano-Cauchy, que o gráfico da função f interseta a reta de equação y = 3x+4 em, pelo menos, um ponto de abcissa pertencente ao intervalo \left]0,\,1\right[.

Item 167 construçãoExame 2025 · 2.ª Fase

Seja a um número real positivo, e seja h uma função contínua de domínio [0,\,a] e contradomínio [0,\,a].

Prova que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função h que pertence à bissetriz do primeiro quadrante.

Item 168 construçãoExame 2025 · Época especial

Seja f a função, de domínio \left]-\infty,\,1\right[, definida por f(x) = 2x+3+\ln\left[(1-x)^{3}\right], e seja g a função, de domínio \left]-\infty,\,1\right[, definida por g(x) = \dfrac{f(x)}{x-1}.

Mostra, sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, que a equação f(x) = g(0) é possível no intervalo \left]-6,\,-5\right[.

Item 169 construçãoExame 2026 · 1.ª Fase

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} 4-e^{3-x}(x+1)-\dfrac{1}{2}x^{2} & \text{se } x \leq 3\\[10pt] \dfrac{e^{x-3}-1}{x^{2}-9} & \text{se } x > 3\end{cases}

Sem recorrer à calculadora, exceto em eventuais cálculos numéricos, mostra que existe, pelo menos, um ponto do gráfico da função f, de abcissa pertencente ao intervalo \left]-1,\,0\right[, cuja ordenada é simétrica da abcissa.

Item 170 construçãoExame 2026 · 2.ª Fase

Considera uma função f, de domínio \mathbb{R}, contínua e diferenciável.

Sabe-se que:

f(0) = 2;f(1) \times f(2) < 0;f'(x) < 0, para qualquer x \in \mathbb{R}.

Considera as proposições seguintes.

I. f(1) > 2.II. O domínio da função \dfrac{1}{f} é \mathbb{R}.

Justifica que as proposições I e II são falsas.

Calcula g em -1, 0, 1, 2 e vê entre que valores está 8.

  1. g é polinomial, logo contínua em \mathbb{R}.
  2. Cálculos auxiliares. g(-1) = -1+1+1 = 1, \quad g(0) = 1, \quad g(1) = 1, \quad g(2) = 32-2+1 = 31.
  3. O valor 8 está entre g(1) = 1 e g(2) = 31, e não está entre os valores nos outros intervalos.
  4. Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, a equação g(x) = 8 tem pelo menos uma solução em \left]1,\,2\right[.
RespostaOpção (C)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Às 9h30 passou meia hora: t = 0{,}5. Às 10h, t = 1.

  1. Função diferença. Seja g(t) = C(t)-1, contínua em \mathbb{R} por ser produto e diferença de contínuas, logo contínua em [0{,}5;\,1].
  2. Cálculos auxiliares. C(0{,}5) = 1 \times e^{-0{,}15} \approx 0{,}861, \qquad C(1) = 2e^{-0{,}3} \approx 1{,}482.
  3. Nos extremos. g(0{,}5) \approx -0{,}139 < 0 e g(1) \approx 0{,}482 > 0.
  4. Logo, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0{,}5;\,1\right[ com C(c) = 1: houve um instante entre as 9h30 e as 10h em que a concentração foi de 1 mg/ml.
Respostag(0{,}5) \approx -0{,}14 < 0 < 0{,}48 \approx g(1)

Aqui não é preciso função diferença nenhuma: procura-se um zero de f, e f já está dada. Calcula f(0) e f({\pi}).

  1. Continuidade. f é a diferença de uma função afim com uma função trigonométrica, ambas contínuas em \mathbb{R}: f é contínua em \left[0,\,{\pi}\right].
  2. Nos extremos. Com \cos 0 = 1 e \cos{\pi} = -1: f(0) = 0-1 = -1, \qquad f({\pi}) = 2{\pi}+1 \approx 7{,}28.
  3. Logo f(0) < 0 < f({\pi}) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,{\pi}\right[ com f(c) = 0.Os dois valores são exatos: -1 e 2{\pi}+1. Nem a calculadora foi precisa — só para confirmar que 2{\pi}+1 é positivo, o que se vê a olho.
Respostaf(0) = -1 < 0 < 2{\pi}+1 = f({\pi})

Qual dos valores nomeados nas opções está entre 4 e 7?

  1. O teorema garante que f toma todos os valores entre f(3) = 4 e f(1) = 7.
  2. (A) e (B). 0 não está entre 4 e 7: nada se pode garantir num sentido nem no outro.
  3. (C). Como 4 < 5 < 7, o Teorema de Bolzano-Cauchy garante que existe c \in \left]1,\,3\right[ com f(c) = 5. Verdadeira.
  4. (D). Contradiz (C): é falsa.
RespostaOpção (C)

Aqui nem é preciso a função diferença: o valor \dfrac{g(3)}{2} está entre g(1) e g(3). É o teorema na sua forma original.

  1. Continuidade. g é contínua em \mathbb{R}, logo em [1,\,3].
  2. Nos extremos. g(1) = 0 (é zero de g) e g(3) > 0.
  3. Enquadramento. Como g(3) > 0, tem-se 0 < \frac{g(3)}{2} < g(3), \quad\text{ou seja,}\quad g(1) < \frac{g(3)}{2} < g(3).
  4. Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]1,\,3\right[ com g(c) = \dfrac{g(3)}{2}.Nem sempre é preciso passar pelo corolário. Quando o valor pedido não é zero, a forma original do teorema é mais direta.
Respostag(1) = 0 < \frac{g(3)}{2} < g(3)

O contradomínio dá o enquadramento 3 \leq f(x) \leq 4. Aplica-o em x = 0 e em x = 5.

  1. Continuidade. g é diferença de funções contínuas em [0,\,5], logo é contínua nesse intervalo.
  2. Em 0. g(0) = f(0), e como 3 \leq f(0) \leq 4, tem-se g(0) \geq 3 > 0.
  3. Em 5. g(5) = f(5)-5, e de 3 \leq f(5) \leq 4 vem -2 \leq g(5) \leq -1, logo g(5) \leq -1 < 0.
  4. Logo g(5) < 0 < g(0) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, g tem pelo menos um zero em \left]0,\,5\right[.
Respostag(0) \geq 3 > 0 e g(5) \leq -1 < 0

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

  1. Função diferença. Seja g(x) = f(x)-4 = 3x^{2}e^{-x}-3, contínua em \mathbb{R} por ser produto e diferença de contínuas, logo contínua em [-1,\,0].
  2. Cálculos auxiliares. f(-1) = 1+3e \approx 1+8{,}155 = 9{,}155, \qquad f(0) = 1+0 = 1.
  3. Nos extremos. g(-1) \approx 5{,}155 > 0 e g(0) = -3 < 0.
  4. Logo, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]-1,\,0\right[ com g(c) = 0, isto é, f(c) = 4.
RespostaCom g = f-4: g(0) = -3 < 0 < 5{,}16 \approx g(-1)

O teorema garante que todos os valores entre 1 e 8 são atingidos algures em \left]3,\,7\right[. Nada diz sobre a monotonia nem sobre valores concretos.

  1. (A) Falso. Nada impede que f suba acima de 8 ou desça abaixo de 1 dentro do intervalo — o teorema não limita os valores, só garante que os intermédios são atingidos.
  2. (B) Falso. Também nada impede que f se anule aí.
  3. (C) Falso. O teorema não diz nada sobre a monotonia.
  4. (D) Verdadeiro. Como 1 < 2 < 8, o Teorema de Bolzano-Cauchy garante que existe c \in \left]3,\,7\right[ com f(c) = 2: 2 pertence ao contradomínio.
RespostaOpção (D)

Calcula g(0) e g(1) usando as três igualdades dadas. Tudo se reduz ao sinal de f(1).

  1. Continuidade. Para x \in [0,\,1] tem-se x+1 \in [1,\,2], logo g(x) = f(x)-f(x+1) está definida, e é contínua em [0,\,1] por ser diferença de contínuas.
  2. Cálculos auxiliares. g(0) = f(0)-f(1) = 0-f(1) = -f(1), g(1) = f(1)-f(2) = f(1)-0 = f(1).
  3. Sinais. Como f(1) > 0: g(0) < 0 e g(1) > 0.
  4. Logo g(0) < 0 < g(1) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,1\right[ com g(c) = 0, isto é, f(c) = f(c+1).
Respostag(0) = -f(1) < 0 < f(1) = g(1)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Basta g(x) = f(x)-5. Usa e \approx 2{,}718.

  1. Função diferença. Seja g(x) = f(x)-5 = e^{x}+3x-5, contínua em [0,\,1] por ser soma de funções contínuas.
  2. Cálculos auxiliares. g(0) = 1+0-5 = -4, \qquad g(1) = e+3-5 = e-2 \approx 0{,}718.
  3. Logo g(0) \times g(1) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,1\right[ com g(c) = 0, isto é, f(c) = 5.
  4. O ponto \left(c,\,5\right) pertence à curva C e à reta r.
RespostaCom g = f-5: g(0) = -4 < 0 < e-2 = g(1)

Escreve primeiro h por extenso: f'(x) = e^{x-1} e g'(x) = \cos x. Aqui a própria h já é a função diferença.

  1. Escrever h. Como f'(x) = e^{x-1} e g'(x) = \cos x, h(x) = e^{x-1}-\cos x.
  2. Continuidade. h é a diferença de duas funções contínuas em \mathbb{R}, logo é contínua em \left[0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right].
  3. Cálculos auxiliares. Com \cos 0 = 1 e \cos\dfrac{{\pi}}{2} = 0: h(0) = e^{-1}-1 \approx -0{,}63, \qquad h\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = e^{\frac{{\pi}}{2}-1} \approx 1{,}77.
  4. Logo h(0) < 0 < h\left(\frac{{\pi}}{2}\right) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, h tem um zero em \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[.Aqui não é preciso inventar a função diferença: o enunciado já a dá feita. Basta reconhecê-la — e derivar f e g antes de mais nada.
Respostah(x) = e^{x-1}-\cos x; h(0) \approx -0{,}63 < 0 < 1{,}77 \approx h\left(\frac{{\pi}}{2}\right)

Quatro contas rápidas: g(-2) e g(2) em cada opção.

  1. (A) g(-2) = -2+1 = -1 e g(2) = 2+3 = 5: sinais contrários.
  2. (B) g(-2) = -2-1 = -3 e g(2) = 2-3 = -1: mesmo sinal.
  3. (C) g(-2) = 4+1 = 5 e g(2) = 4+3 = 7: mesmo sinal.
  4. (D) g(-2) = 4-1 = 3 e g(2) = 4-3 = 1: mesmo sinal.
  5. Só em (A) o teorema garante um zero.
RespostaOpção (A)

São sempre as mesmas três verificações, por esta ordem: continuidade no intervalo fechado, cálculo dos valores nos extremos, e enquadramento (ou sinais contrários).

  1. Continuidade. h é soma de funções contínuas em \left]-1,\,+\infty\right[, logo contínua em [5,\,6].
  2. Cálculos auxiliares. h(5) = 4-5+\ln 6 \approx -1+1{,}79 = 0{,}79 > 0, h(6) = 4-6+\ln 7 \approx -2+1{,}95 = -0{,}05 < 0.
  3. Logo h(5) \times h(6) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, h tem pelo menos um zero em \left]5,\,6\right[.
Respostah(5) \approx 0{,}79 > 0 > -0{,}05 \approx h(6)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

2 horas e 30 minutos são 2{,}5 horas — a variável está em horas.

  1. Função diferença. Seja g(t) = M(t)-14, contínua em \mathbb{R} por ser diferença de contínuas, e em particular em [2{,}5;\,4].
  2. Cálculos auxiliares. M(2{,}5) = 15e^{-0{,}05} \approx 15 \times 0{,}951 \approx 14{,}268, M(4) = 15e^{-0{,}08} \approx 15 \times 0{,}923 \approx 13{,}846.
  3. Nos extremos. g(2{,}5) \approx 0{,}268 > 0 e g(4) \approx -0{,}154 < 0.
  4. Logo, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]2{,}5;\,4\right[ com g(c) = 0, isto é, M(c) = 14 gramas.
Respostag(2{,}5) \approx 0{,}27 > 0 > -0{,}15 \approx g(4)

Calcula g(1) e g(2), substituindo f(1) por 3f(2). Depois usa f(2) < 0.

  1. Continuidade. g resulta de operações entre funções contínuas em [1,\,2] (f(1) é uma constante), logo g é contínua em [1,\,2].
  2. Cálculos auxiliares. g(1) = 2f(1)-f(1) = f(1) = 3f(2), g(2) = 2f(2)-f(1) = 2f(2)-3f(2) = -f(2).
  3. Sinais. Como f(2) < 0: g(1) = 3f(2) < 0 e g(2) = -f(2) > 0.
  4. Logo g(1) \times g(2) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, g tem pelo menos um zero em \left]1,\,2\right[.
Respostag(1) = 3f(2) < 0 e g(2) = -f(2) > 0

São sempre as mesmas três verificações, por esta ordem: continuidade no intervalo fechado, cálculo dos valores nos extremos, e enquadramento (ou sinais contrários).

  1. Continuidade. g é soma de funções contínuas em \mathbb{R}^{+}, logo contínua em \left[0{,}1;\,0{,}3\right].
  2. Cálculos auxiliares. g(0{,}1) = e^{0{,}2}+\ln 0{,}1 \approx 1{,}221-2{,}303 \approx -1{,}082, g(0{,}3) = e^{0{,}6}+\ln 0{,}3 \approx 1{,}822-1{,}204 \approx 0{,}618.
  3. Logo g(0{,}1) \times g(0{,}3) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, g tem pelo menos um zero em \left]0{,}1;\,0{,}3\right[.
Respostag(0{,}1) \approx -1{,}08 < 0 < 0{,}62 \approx g(0{,}3)

Um dos intervalos contém o ponto de junção x = 2: aí, antes de mais, verifica a continuidade.

  1. (A). g(0) = 3^{0}-0 = 1 e g(1) = 3-1 = 2: mesmo sinal.
  2. (B). O intervalo contém x = 2. Ora \lim\limits_{x \to 2^{-}} g(x) = 9-\sqrt{2} \approx 7{,}59 e g(2) = 2-5+\log_{2} 1 = -3: g não é contínua em 2, logo o teorema não se aplica em [1,\,3].
  3. (D). g(5) = 0+\log_{2} 4 = 2 e g(9) = 4+\log_{2} 8 = 7: mesmo sinal.
  4. (C). Em [3,\,5] \subset \left[2,\,+\infty\right[ a função é x-5+\log_{2}(x-1), soma de contínuas (com x-1 > 0), logo contínua.
  5. E g(3) = -2+\log_{2} 2 = -1 < 0 < 2 = g(5): o teorema garante um zero em \left]3,\,5\right[.
RespostaOpção (C)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

  1. Função diferença. Seja g(x) = f(x)-1{,}5, contínua em \mathbb{R} por ser soma de funções contínuas, e em particular em [-2,\,-1].
  2. Cálculos auxiliares. f(-2) = 2+e^{2(-8)-1} = 2+e^{-17} \approx 2{,}000, \qquad f(-1) = 1+e^{-3} \approx 1{,}050.
  3. Nos extremos. g(-2) \approx 0{,}500 > 0 e g(-1) \approx -0{,}450 < 0.
  4. Logo g(-1) < 0 < g(-2) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]-2,\,-1\right[ com g(c) = 0, isto é, f(c) = 1{,}5.
RespostaCom g = f-1{,}5: g(-1) < 0 < g(-2)

Calcula, em cada opção, g(-1) e g(4), e vê qual tem sinais contrários.

  1. Todas as quatro são contínuas em [-1,\,4]. Basta procurar a que muda de sinal.
  2. (A) g(-1) = -2+3 = 1, g(4) = 8+9 = 17: mesmo sinal.
  3. (B) g(-1) = -2-3 = -5, g(4) = 8-9 = -1: mesmo sinal.
  4. (C) g(-1) = 1+3 = 4, g(4) = 16+9 = 25: mesmo sinal.
  5. (D) g(-1) = 1-3 = -2, g(4) = 16-9 = 7: sinais contrários. O teorema garante um zero.
RespostaOpção (D)

Duas coisas a verificar em cada opção: se o intervalo contém o ponto de junção x = 5 (aí é preciso continuidade) e se há mudança de sinal.

  1. (A). f(0) = 1-9 = -8 e f(1) = 2-9 = -7: mesmo sinal.
  2. (C). O intervalo contém x = 5. Ora \lim\limits_{x \to 5^{-}} f(x) = 2^{5}-9 = 23 e f(5) = \dfrac{1-e^{5}}{5} \approx -29{,}5: f não é contínua em 5, logo não é contínua em [4,\,6] e o teorema não se aplica.
  3. (D). f(6) = \dfrac{1-e^{6}}{6} \approx -67 e f(7) = \dfrac{1-e^{7}}{7} \approx -157: mesmo sinal.
  4. (B). Em [1,\,4] \subset [0,\,5[ a função é 2^{x}-9, contínua. E f(1) = -7 < 0 < 7 = f(4): o teorema garante um zero em \left]1,\,4\right[.Num item destes há sempre duas armadilhas: um intervalo sem mudança de sinal e um intervalo onde a função não é contínua.
RespostaOpção (B)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

O intervalo está dentro de [0,\,2[: só o primeiro ramo interessa.

  1. Função diferença. Seja g(x) = f(x)+3. Em \left[0,\,\frac{1}{2}\right] vale o primeiro ramo, quociente de contínuas com denominador x-2 \neq 0: g é contínua nesse intervalo.
  2. Cálculos auxiliares. f(0) = \frac{e^{2}-1}{-2} \approx \frac{6{,}389}{-2} \approx -3{,}195, f\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{e^{1{,}5}-1}{-1{,}5} \approx \frac{3{,}482}{-1{,}5} \approx -2{,}321.
  3. Nos extremos. g(0) \approx -0{,}195 < 0 e g\!\left(\frac{1}{2}\right) \approx 0{,}679 > 0.
  4. Logo, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,\frac{1}{2}\right[ com g(c) = 0, isto é, f(c) = -3.
RespostaCom g = f+3: g(0) < 0 < g\left(\frac{1}{2}\right)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Em \left[0,\,1\right] vale só o primeiro ramo. Deriva o quociente com u = x+1 — a constante 1 desaparece.

  1. A derivada. Em \left[0,\,1\right], f(x) = \dfrac{x+1}{1-e^{x+1}}+1. Pela regra do quociente, f'(x) = \frac{\left(1-e^{x+1}\right)-(x+1)\left(-e^{x+1}\right)}{\left(1-e^{x+1}\right)^{2}} = \frac{1-e^{x+1}+(x+1)e^{x+1}}{\left(1-e^{x+1}\right)^{2}}.
  2. Continuidade. Em \left[0,\,1\right] tem-se x+1 \geq 1, logo e^{x+1} \geq e > 1 e o denominador nunca se anula: f' é contínua nesse intervalo.
  3. Função diferença. Seja g(x) = f'(x)-\dfrac{1}{4}, contínua em \left[0,\,1\right]. Ora f'(0) = \frac{1-e+e}{(1-e)^{2}} = \frac{1}{(1-e)^{2}} \approx 0{,}34, \qquad f'(1) = \frac{1+e^{2}}{\left(1-e^{2}\right)^{2}} \approx 0{,}21.
  4. Logo g(0) \approx 0{,}09 > 0 e g(1) \approx -0{,}04 < 0, e pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy existe c \in \left]0,\,1\right[ com f'(c) = \dfrac{1}{4}.O parâmetro a e o ramo x = -1 não entram: o intervalo \left]0,\,1\right[ está longe de -1. Vale a pena verificar isso logo no início.
Respostaf'(0) \approx 0{,}34 > \frac{1}{4} > 0{,}21 \approx f'(1)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Aqui a diferença é h(x) = g(x)-5. E \log_{3} 1 = 0, \log_{3} 3 = 1.

  1. Função diferença. Seja h(x) = g(x)-5 = x+2+\log_{3} x-5 = x+\log_{3} x-3, contínua em \mathbb{R}^{+} e, em particular, em [1,\,3].
  2. Cálculos auxiliares. h(1) = 1+0-3 = -2, \qquad h(3) = 3+1-3 = 1.
  3. Logo h(1) \times h(3) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]1,\,3\right[ com h(c) = 0, isto é, g(c) = 5.
RespostaCom h = g-5: h(1) = -2 < 0 < 1 = h(3)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Com g(x) = e^{x}-3+x+\frac{3}{2} = e^{x}+x-\frac{3}{2}, procura o intervalo onde há mudança de sinal.

  1. Função diferença. g(x) = f(x)+x+\dfrac{3}{2} = e^{x}+x-\dfrac{3}{2}, contínua em \mathbb{R}.
  2. Cálculos auxiliares. g(0) = 1-1{,}5 = -0{,}5, \quad g(0{,}2) \approx 1{,}221+0{,}2-1{,}5 = -0{,}079, g(0{,}25) \approx 1{,}284+0{,}25-1{,}5 = 0{,}034.
  3. A mudança de sinal dá-se entre \dfrac{1}{5} e \dfrac{1}{4}: g\left(\frac{1}{5}\right) \times g\left(\frac{1}{4}\right) < 0.
  4. Nesse intervalo, e só nesse, o teorema garante a existência de solução.Como g' = e^{x}+1 > 0, g é estritamente crescente: a solução é única, e só pode estar num dos quatro intervalos.
RespostaOpção (B)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

A função diferença é g(t) = C(t)-13. Escolhe bem o intervalo: tem de estar dentro de [0,\,15].

  1. Função diferença. Seja g(t) = C(t)-13. Como produto e diferença de funções contínuas, g é contínua em [0,\,15].
  2. Cálculos auxiliares. C(0) = 0 \Rightarrow g(0) = -13 < 0, C(15) = 0{,}5 \times 225 \times e^{-1{,}5} \approx 112{,}5 \times 0{,}223 \approx 25{,}104 \Rightarrow g(15) \approx 12{,}104 > 0.
  3. Logo g(0) \times g(15) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,15\right[ com g(c) = 0, isto é, C(c) = 13.
  4. Houve, pois, pelo menos um instante nos primeiros 15 minutos em que a concentração foi de 13 g/L.
Respostag(0) = -13 < 0 < g(15) \approx 12{,}1

São sempre as mesmas três verificações, por esta ordem: continuidade no intervalo fechado, cálculo dos valores nos extremos, e enquadramento (ou sinais contrários).

Calcula g\left(\frac{1}{a}\right) e g\left(\frac{1}{e}\right), e usa a > e \Rightarrow \ln a > 1.

  1. Continuidade. g é soma de funções contínuas em \mathbb{R}^{+}. Como a > e > 1, tem-se 0 < \frac{1}{a} < \frac{1}{e}, e o intervalo \left[\frac{1}{a},\,\frac{1}{e}\right] está contido em \mathbb{R}^{+}.
  2. Cálculos auxiliares. g\left(\frac{1}{a}\right) = a \times \frac{1}{a}+\ln\frac{1}{a} = 1-\ln a, g\left(\frac{1}{e}\right) = \frac{a}{e}+\ln\frac{1}{e} = \frac{a}{e}-1.
  3. Sinais. De a > e vem \ln a > \ln e = 1, logo 1-\ln a < 0. E \dfrac{a}{e} > 1, logo \dfrac{a}{e}-1 > 0.
  4. Logo g\left(\frac{1}{a}\right) \times g\left(\frac{1}{e}\right) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, g tem pelo menos um zero nesse intervalo.
Respostag\left(\frac{1}{a}\right) = 1-\ln a < 0 < \frac{a}{e}-1 = g\left(\frac{1}{e}\right)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Com g(x) = f(x)-f(x+a), calcula g(-a) e g(0), usando as duas igualdades dadas.

  1. Função diferença. Seja g(x) = f(x)-f(x+a), de domínio [-a,\,0]. Para x \in [-a,\,0] tem-se x+a \in [0,\,a], logo ambas as parcelas estão definidas e são contínuas: g é contínua em [-a,\,0].
  2. Cálculos auxiliares. g(-a) = f(-a)-f(0) = f(a)-f(0), \qquad g(0) = f(0)-f(a).
  3. Como f(a) > f(0), vem g(-a) > 0 e g(0) < 0.
  4. Logo g(0) < 0 < g(-a) e, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]-a,\,0\right[ com g(c) = 0, ou seja, f(c) = f(c+a).
RespostaCom g(x) = f(x)-f(x+a): g(-a) > 0 > g(0)

O teorema garante os valores estritamente entre f(-e) = 1 e f(1) = e. Qual das quatro opções nomeia um desses valores?

  1. Pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, f toma, em \left]-e,\,1\right[, todos os valores compreendidos entre 1 e e \approx 2{,}718.
  2. (A) e (B). Os valores 1 e e são atingidos nos extremos; o teorema nada garante quanto ao interior. Podiam ser as únicas soluções.
  3. (C). 0 não está entre 1 e e: nada é garantido.
  4. (D). \dfrac{e}{2} \approx 1{,}36 está entre 1 e e: o teorema garante que é atingido em \left]-e,\,1\right[.
RespostaOpção (D)

Impõe f(0) \times f(1) < 0 e resolve a condição em k.

  1. f é contínua em \mathbb{R} (soma de contínuas), logo o que falta é a mudança de sinal.
  2. Nos extremos. f(0) = k e f(1) = ke+1.
  3. A condição. k(ke+1) < 0. As raízes de k(ke+1) são k = 0 e k = -\dfrac{1}{e}; a parábola tem concavidade voltada para cima, logo é negativa entre as raízes: -\frac{1}{e} < k < 0.
  4. Logo k \in \left]-\dfrac{1}{e},\,0\right[.
RespostaOpção (B)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Aqui a diferença é simplesmente g(x) = f(x)+e. E lembra-te de que \ln e = 1 e \ln 1 = 0.

  1. Função diferença. Seja g(x) = f(x)+e, contínua em \left]-\infty,\,0\right[ por ser soma de funções contínuas — logo contínua em [-e,\,-1].
  2. Cálculos auxiliares. f(-e) = -e-1+\frac{\ln e}{-e} = -e-1-\frac{1}{e}, \qquad f(-1) = -1-1+\frac{\ln 1}{-1} = -2.
  3. Nos extremos. g(-e) = -e-1-\frac{1}{e}+e = -1-\frac{1}{e} \approx -1{,}37 < 0, g(-1) = -2+e \approx 0{,}72 > 0.
  4. Logo g(-e) \times g(-1) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]-e,\,-1\right[ com g(c) = 0, isto é, f(c) = -e.
RespostaCom g = f+e: g(-e) < 0 < g(-1)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Repara que 3{\pi}+\frac{{\pi}}{6} e 4{\pi}+\frac{{\pi}}{6} se reduzem ao primeiro quadrante com um sinal cada.

  1. Função diferença. Seja g(t) = d(t)-1{,}1. Como d resulta de operações entre funções contínuas, g é contínua em \left[3,\,4\right].
  2. Cálculos auxiliares. Como \operatorname{sen}\left(3{\pi}+\dfrac{{\pi}}{6}\right) = \operatorname{sen}\left({\pi}+\dfrac{{\pi}}{6}\right) = -\dfrac{1}{2} e \operatorname{sen}\left(4{\pi}+\dfrac{{\pi}}{6}\right) = \operatorname{sen}\dfrac{{\pi}}{6} = \dfrac{1}{2}: g(3) = 1-\frac{1}{4}-1{,}1 = -0{,}35, \qquad g(4) = 1+\frac{1}{4}-1{,}1 = 0{,}15.
  3. Logo g(3) < 0 < g(4) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]3,\,4\right[ com g(c) = 0, isto é, d(c) = 1{,}1.
  4. Houve, portanto, um instante entre os três e os quatro segundos em que a distância foi de 1{,}1 metros.A resposta é exata, sem arredondamentos: o período é 2 segundos, e por isso 3 e 4 caem em ângulos notáveis.
RespostaCom g = d-1{,}1: g(3) = -0{,}35 < 0 < 0{,}15 = g(4)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Para calcular f\left(g(a)\right) usa a primeira condição: g\left(g(a)\right) = a.

  1. Função diferença. Seja f(x) = g(x)-x-1. Como g é contínua em \mathbb{R}, f também é, e em particular em \left[a,\,g(a)\right].
  2. Em a. f(a) = g(a)-(a+1). Como g(a) > a+1, tem-se f(a) > 0.
  3. Cálculo auxiliar. De (g \circ g)(a) = a vem g\left(g(a)\right) = a.
  4. Em g(a). f\left(g(a)\right) = g\left(g(a)\right)-g(a)-1 = a-g(a)-1. Como g(a) > a+1, vem a-g(a) < -1, logo f\left(g(a)\right) < -2 < 0.
  5. Assim f\left(g(a)\right) < 0 < f(a) e, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]a,\,g(a)\right[ com f(c) = 0, isto é, g(c) = c+1.
RespostaCom f = g(x)-x-1: f(a) > 0 e f(g(a)) < 0

O triângulo é retângulo em O, e os catetos estão nos eixos. Ser isósceles é os catetos serem iguais — e isso fixa o declive da hipotenusa.

  1. Que declive? O triângulo tem o ângulo reto em O e os catetos sobre os eixos. É isósceles quando os catetos são iguais, ou seja, quando a reta PQ faz 45^{\circ} com os eixos. Pela figura a reta é ascendente, logo o declive é 1.
  2. O declive em função de a. m(a) = \frac{h(2a)-h(a)}{2a-a} = \frac{1}{a}\left[\frac{\ln(2a)}{2a}-\frac{\ln a}{a}\right].
  3. Função diferença. Seja \varphi(a) = m(a)-1. Como h é contínua em \mathbb{R}^{+} e a \neq 0, \varphi é contínua em \left[\dfrac{1}{2},\,1\right].
  4. Cálculos auxiliares. Com h\left(\frac{1}{2}\right) = -2\ln 2, h(1) = 0 e h(2) = \dfrac{\ln 2}{2}: \varphi\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{0-(-2\ln 2)}{\frac{1}{2}}-1 = 4\ln 2 - 1 \approx 1{,}77, \varphi(1) = \frac{\frac{\ln 2}{2}-0}{1}-1 = \frac{\ln 2}{2}-1 \approx -0{,}65.
  5. Logo \varphi(1) < 0 < \varphi\left(\frac{1}{2}\right) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe a \in \left]\frac{1}{2},\,1\right[ com m(a) = 1: para esse a, o triângulo é isósceles.A sugestão do Exame é o passo difícil: traduzir «isósceles» em «declive 1». Depois disso é o guião de sempre.
RespostaDeclive 1; com \varphi = m-1: \varphi\left(\frac{1}{2}\right) \approx 1{,}77 > 0 > -0{,}65 \approx \varphi(1)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

  1. Função diferença. Seja h(x) = f(x)-g(x) = x^{2}-\cos x. Como diferença de funções contínuas em \mathbb{R}, h é contínua em \left[0,\,\dfrac{{\pi}}{3}\right].
  2. Cálculos auxiliares. Com \cos 0 = 1 e \cos\dfrac{{\pi}}{3} = \dfrac{1}{2}: h(0) = 0-1 = -1, \qquad h\left(\frac{{\pi}}{3}\right) = \frac{{\pi}^{2}}{9}-\frac{1}{2} \approx 1{,}10-0{,}5 \approx 0{,}60.
  3. Logo h(0) < 0 < h\left(\frac{{\pi}}{3}\right) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{3}\right[ com h(c) = 0, isto é, c^{2} = \cos c.Os dois valores exatos, -1 e \frac{{\pi}^{2}}{9}-\frac{1}{2}, saem dos ângulos notáveis. Só o segundo precisa de calculadora, e só para se ver que é positivo.
RespostaCom h = f-g: h(0) = -1 < 0 < 0{,}60 \approx h\left(\frac{{\pi}}{3}\right)

São sempre as mesmas três verificações, por esta ordem: continuidade no intervalo fechado, cálculo dos valores nos extremos, e enquadramento (ou sinais contrários).

O intervalo está todo em \left]1,\,+\infty\right[: só interessa o segundo ramo. Usa \ln\sqrt{e} = \frac{1}{2} e \ln e = 1.

  1. Continuidade. Como \sqrt{e} \approx 1{,}65 > 1, em \left[\sqrt{e},\,e\right] vale o ramo x^{2}-10+8\ln x, contínuo por ser soma de funções contínuas em \mathbb{R}^{+}.
  2. Cálculos auxiliares. g\left(\sqrt{e}\right) = e-10+8 \times \frac{1}{2} = e-6 \approx -3{,}28 < 0, g(e) = e^{2}-10+8 \times 1 = e^{2}-2 \approx 5{,}39 > 0.
  3. Logo g\left(\sqrt{e}\right) \times g(e) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, g tem pelo menos um zero em \left]\sqrt{e},\,e\right[.
Respostag(\sqrt{e}) = e-6 < 0 < e^{2}-2 = g(e)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Declive da tangente é g'(x). Deriva primeiro — e repara que a regra do produto faz aparecer um \cos x que se soma ao outro.

  1. A derivada. Pela regra do produto, g'(x) = \cos x - x\operatorname{sen} x + \cos x = 2\cos x - x\operatorname{sen} x.
  2. Função diferença. Seja h(x) = g'(x)+\dfrac{1}{2}, contínua em \left[\dfrac{{\pi}}{2},\,\dfrac{3{\pi}}{2}\right].
  3. Cálculos auxiliares. Com \cos\dfrac{{\pi}}{2} = \cos\dfrac{3{\pi}}{2} = 0, \operatorname{sen}\dfrac{{\pi}}{2} = 1 e \operatorname{sen}\dfrac{3{\pi}}{2} = -1: h\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = -\frac{{\pi}}{2}+\frac{1}{2} \approx -1{,}07, \qquad h\left(\frac{3{\pi}}{2}\right) = \frac{3{\pi}}{2}+\frac{1}{2} \approx 5{,}21.
  4. Logo h\left(\frac{{\pi}}{2}\right) < 0 < h\left(\frac{3{\pi}}{2}\right) e existe c no intervalo com g'(c) = -\dfrac{1}{2}: a tangente nesse ponto tem o declive pedido.O teorema aplica-se a g', não a g. É preciso dizer que g' é contínua — e é, porque resulta de operações entre funções contínuas.
Respostag'(x) = 2\cos x - x\operatorname{sen} x; g'\left(\frac{{\pi}}{2}\right) \approx -1{,}57 < -\frac{1}{2} < 4{,}71 \approx g'\left(\frac{3{\pi}}{2}\right)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Nos dois extremos o seno vale \frac{\sqrt{3}}{2}: \operatorname{sen}\frac{{\pi}}{3} e \operatorname{sen}\frac{2{\pi}}{3} são iguais.

  1. Função diferença. Seja h(x) = f(x)-(-x+2) = \operatorname{sen}(2x)+2x-2, contínua em \left[\dfrac{{\pi}}{6},\,\dfrac{{\pi}}{3}\right].
  2. Cálculos auxiliares. Como \operatorname{sen}\dfrac{{\pi}}{3} = \operatorname{sen}\dfrac{2{\pi}}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}: h\left(\frac{{\pi}}{6}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{{\pi}}{3}-2 \approx 0{,}87+1{,}05-2 \approx -0{,}09, h\left(\frac{{\pi}}{3}\right) = \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{2{\pi}}{3}-2 \approx 0{,}87+2{,}09-2 \approx 0{,}96.
  3. Logo h\left(\frac{{\pi}}{6}\right) < 0 < h\left(\frac{{\pi}}{3}\right) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c no intervalo com h(c) = 0, isto é, f(c) = -c+2: os dois gráficos intersetam-se.O primeiro valor está muito perto de zero — -0{,}09. Arredondar cedo demais podia dá-lo como positivo e estragar tudo. Duas casas decimais, no mínimo.
RespostaCom h = f+x-2: h\left(\frac{{\pi}}{6}\right) \approx -0{,}09 < 0 < 0{,}96 \approx h\left(\frac{{\pi}}{3}\right)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Ordenada igual à abcissa é g(x) = x. Em \frac{{\pi}}{2} o cosseno anula-se — e isso torna a conta imediata.

  1. Função diferença. Seja h(x) = g(x)-x = e^{x}\cos x - x. Como produto e diferença de funções contínuas, h é contínua em \left[\dfrac{{\pi}}{3},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right].
  2. Cálculos auxiliares. Com \cos\dfrac{{\pi}}{3} = \dfrac{1}{2} e \cos\dfrac{{\pi}}{2} = 0: h\left(\frac{{\pi}}{3}\right) = \frac{e^{\frac{{\pi}}{3}}}{2}-\frac{{\pi}}{3} \approx 1{,}42-1{,}05 \approx 0{,}38, \qquad h\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = 0-\frac{{\pi}}{2} \approx -1{,}57.
  3. Logo h\left(\frac{{\pi}}{2}\right) < 0 < h\left(\frac{{\pi}}{3}\right) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c no intervalo com h(c) = 0, isto é, g(c) = c.O extremo \frac{{\pi}}{2} foi escolhido pelo Exame por uma razão: anula o cosseno e deixa o valor exato -\frac{{\pi}}{2}, sem arredondamentos.
RespostaCom h = g-x: h\left(\frac{{\pi}}{3}\right) \approx 0{,}38 > 0 > -\frac{{\pi}}{2} = h\left(\frac{{\pi}}{2}\right)

Verifica todas as hipóteses do teorema. Uma delas falha — qual?

  1. O Teorema de Bolzano-Cauchy exige que f seja contínua no intervalo fechado [1,\,3].
  2. Ora \lim\limits_{x \to 2^{-}} f(x) = -\infty \neq f(2): a função não é contínua em x = 2, e 2 \in [1,\,3].
  3. Falhando a hipótese, o teorema não se aplica e nada permite concluir. A proposição é falsa.Falso é dizer que o teorema garante. A função até pode ter um zero — só que não é este teorema que o diz.
Respostaf não é contínua em x = 2 \in [1,3]: falha a hipótese

São sempre as mesmas três verificações, por esta ordem: continuidade no intervalo fechado, cálculo dos valores nos extremos, e enquadramento (ou sinais contrários).

Repara que a > 1: isso é o que decide o sinal de f(1).

  1. Continuidade. f é polinomial, logo contínua em \mathbb{R} e, em particular, em \left[0,\,1\right].
  2. Nos extremos. f(0) = -2 < 0 e f(1) = a+1-2 = a-1.
  3. Como a > 1, tem-se a-1 > 0, ou seja, f(1) > 0.
  4. Logo f(0) \times f(1) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, f tem pelo menos um zero em \left]0,\,1\right[.
Respostaf(0) = -2 < 0 e f(1) = a-1 > 0

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

  1. Função diferença. Seja g(x) = f(x)-(3x+4) = 3e^{x}-2e^{-x}-3x-4. Como soma e diferença de funções contínuas em \mathbb{R}, g é contínua em \left[0,\,1\right].
  2. Cálculos auxiliares. g(0) = 3-2-0-4 = -3, \qquad g(1) = 3e-\frac{2}{e}-7 \approx 8{,}155-0{,}736-7 \approx 0{,}419.
  3. Logo g(0) \times g(1) < 0 e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,1\right[ com g(c) = 0.
  4. Ora g(c) = 0 \iff f(c) = 3c+4: o gráfico de f e a reta intersetam-se num ponto de abcissa c \in \left]0,\,1\right[.
RespostaCom g = f-(3x+4): g(0) = -3 < 0 < g(1) \approx 0{,}42

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Um ponto do gráfico está na bissetriz dos quadrantes ímpares quando h(x) = x.

  1. Um ponto \left(x,\,h(x)\right) pertence à bissetriz do primeiro quadrante quando h(x) = x.
  2. Função diferença. Seja g(x) = h(x)-x. Como diferença de funções contínuas em [0,\,a], g é contínua nesse intervalo.
  3. Nos extremos. Como o contradomínio de h é [0,\,a]: g(0) = h(0)-0 = h(0) \geq 0, \qquad g(a) = h(a)-a \leq a-a = 0.
  4. Se g(0) = 0 ou g(a) = 0, o ponto procurado é logo 0 ou a. Caso contrário g(a) < 0 < g(0) e, pelo Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]0,\,a\right[ com g(c) = 0, ou seja, h(c) = c.
  5. Em qualquer dos casos, há um ponto do gráfico de h na bissetriz.Este é o «teorema do ponto fixo» em versão de 12.º ano — e o exemplo perfeito de por que se define a função diferença.
RespostaCom g(x) = h(x)-x: g(0) \geq 0 e g(a) \leq 0

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

Começa por calcular g(0) — é um número. Só depois se define a função diferença.

  1. Calcular g(0). Como f(0) = 0+3+\ln 1 = 3, g(0) = \frac{f(0)}{0-1} = \frac{3}{-1} = -3.
  2. Função diferença. Seja h(x) = f(x)+3 = 2x+6+3\ln(1-x), usando \ln\left[(1-x)^{3}\right] = 3\ln(1-x), válido porque 1-x > 0 no domínio. h é contínua em \left[-6,\,-5\right].
  3. Cálculos auxiliares. h(-6) = -6+3\ln 7 \approx -6+5{,}84 \approx -0{,}16, \qquad h(-5) = -4+3\ln 6 \approx -4+5{,}38 \approx 1{,}38.
  4. Logo h(-6) < 0 < h(-5) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]-6,\,-5\right[ com h(c) = 0, isto é, f(c) = -3 = g(0).Sem a propriedade do logaritmo de uma potência, \ln\left[(1-x)^{3}\right] em x = -6 pedia \ln 343. Com ela, pede 3\ln 7 — muito mais fácil de estimar.
Respostag(0) = -3; com h = f+3: h(-6) \approx -0{,}16 < 0 < 1{,}38 \approx h(-5)

O teorema não se aplica a uma equação f(x) = g(x). Define primeiro a função diferença e mostra que ela tem um zero.

«Ordenada simétrica da abcissa» quer dizer f(x) = -x. Passa tudo para um lado.

  1. Traduzir. A ordenada ser simétrica da abcissa é f(x) = -x, ou seja, f(x)+x = 0.
  2. Função diferença. Seja g(x) = f(x)+x. Em \left[-1,\,0\right] vale o primeiro ramo, que é soma e produto de funções contínuas: g é contínua nesse intervalo.
  3. Cálculos auxiliares. g(-1) = 4-e^{4} \times 0-\frac{1}{2}-1 = \frac{5}{2}, \qquad g(0) = 4-e^{3} \times 1-0+0 = 4-e^{3} \approx -16{,}09.
  4. Logo g(0) < 0 < g(-1) e, pelo corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy, existe c \in \left]-1,\,0\right[ com g(c) = 0.
  5. Ora g(c) = 0 \iff f(c) = -c: o ponto \left(c,\,f(c)\right) tem a ordenada simétrica da abcissa.O e^{4} desaparece porque vem multiplicado por x+1, que se anula em -1. Escolher bem os extremos é meio caminho andado.
RespostaCom g = f+x: g(-1) = \frac{5}{2} > 0 > 4-e^{3} = g(0)

f' < 0 em \mathbb{R} diz que f é estritamente decrescente. E f(1)\times f(2) < 0 diz que há uma troca de sinal — logo um zero.

  1. Proposição I. Como f'(x) < 0 para todo o x, a função f é estritamente decrescente em \mathbb{R}.
  2. Ora 0 < 1, logo f(0) > f(1), isto é, f(1) < 2. A proposição I é falsa.
  3. Proposição II. Como f é contínua em [1,\,2] e f(1) \times f(2) < 0, o corolário do Teorema de Bolzano-Cauchy garante que existe c \in \left]1,\,2\right[ com f(c) = 0.
  4. Logo c não pertence ao domínio de \dfrac{1}{f}, que por isso não é \mathbb{R}. A proposição II é falsa.
RespostaI: f é decrescente, logo f(1) < f(0) = 2 · II: f tem um zero em \left]1,2\right[

Exercícios de Exame · Resolução gráfica de equações

Trinta e nove itens de Prova Nacional e de Teste Intermédio sobre resolução gráfica — o tema da secção 5. Em todos, o Exame pede o desenho como parte da resposta, e por isso cada resolução traz a figura que se espera na folha de prova. Ficaram de fora os que exigem funções trigonométricas.

Item 171 construçãoExame 2000 · Prova modelo

Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo analgésico. A concentração do medicamento, em decigramas por litro de sangue, t horas após ter sido administrado a uma pessoa, é dada por

c(t) = t^{2}e^{-0{,}6t}, \qquad t \geq 0.

O laboratório promoveu-o com o slogan «ação rápida e prolongada». Comenta o slogan, tendo em conta que:

o medicamento só produz efeito se a sua concentração for superior a 1 decigrama por litro de sangue;um bom analgésico deve começar a produzir efeito, no máximo, meia hora após ter sido tomado, e a sua ação deve permanecer durante, pelo menos, cinco horas.

Recorre à calculadora gráfica e apresenta os valores com arredondamento às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 172 construçãoExame 2001 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por f(x) = 3x-2\ln x.

O gráfico de f contém um único ponto cuja ordenada é o quadrado da abcissa.

Determina um valor aproximado para a abcissa desse ponto, recorrendo à calculadora gráfica, com arredondamento às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 173 construçãoExame 2001 · Época especial

Num referencial o.n. xOy, considera a curva C, gráfico da função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = e^{x}, e a reta r, gráfico da função g, de domínio \mathbb{R}, definida por g(x) = x-2.

Uma reta s, paralela ao eixo Oy, interseta a curva C no ponto A e a reta r no ponto B. Imagina que a reta s se desloca, mantendo-se sempre paralela ao eixo Oy: os pontos A e B acompanham esse deslocamento. Seja x a abcissa de A.

Determina x \in \left[0,\,2\right] tal que \overline{AB} = 5, recorrendo à calculadora gráfica, com arredondamento às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 174 construçãoExame 2005 · 2.ª Fase

Um jogador pontapeia uma bola. Designa por a a distância, em metros, entre o ponto onde a bola foi pontapeada e o ponto onde ela caiu, e considera a função h, definida em \left[0,\,a\right] por

h(x) = 2x+10\ln(1-0{,}1x).

Admite que h(x) é a distância, em metros, da bola ao solo, no momento em que a sua projeção no solo se encontra a x metros do local onde foi pontapeada.

Determina o valor de a, recorrendo à calculadora gráfica, com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 175 escolha múltiplaExame 2005 · 2.ª Fase

No início de 1972 havia quatrocentos lobos num determinado parque natural. As medidas de proteção fizeram com que esse número aumentasse continuamente. Os recursos do parque permitem que o número de lobos cresça até bastante perto de um milhar, mas não permitem que esse valor seja ultrapassado.

Nestas condições, apenas uma das expressões seguintes pode definir a função P que dá o número aproximado de lobos existentes no parque, t anos após o início de 1972. Qual?

  • (A)\dfrac{1000}{1+e^{-0{,}5t}}
  • (B)\dfrac{1000}{1+1{,}5e^{-0{,}5t}}
  • (C)\dfrac{1200}{1+2e^{-t}}
  • (D)1000-\dfrac{600\left(t^{3}+1\right)}{e^{t}}
Item 176 construçãoTeste Intermédio 12.º · 17.03.2006

Um estudo de mercado concluiu que a quantidade de azeite vendida num mês por uma empresa depende do lucro obtido, de acordo com a função

L(x) = (x-3)e^{14-x},

em que x é o preço de venda ao público, em euros, de 1 litro desse azeite, e L(x) o lucro mensal da empresa, em euros.

Entre que valores deve variar o preço de um litro de azeite para que o lucro mensal seja superior a dezasseis mil e quinhentos euros? Recorre à calculadora gráfica e apresenta os valores em euros, arredondados aos cêntimos.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 177 construçãoTeste Intermédio 12.º · 15.03.2007

Num referencial o.n. xOy, considera:

a curva C, gráfico da função f, de domínio \left[0,\,1\right], definida por f(x) = e^{x}+3x;a reta r, de equação y = 5.

Considera ainda os pontos O, origem do referencial, P de coordenadas (0,\,e), e Q, ponto de interseção da curva C com a reta r.

Desenha o triângulo [OPQ] e determina a sua área, recorrendo à calculadora gráfica na janela \left[0,\,1\right] \times \left[0,\,7\right]. Indica a abcissa de Q com duas casas decimais e a área com arredondamento às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 178 construçãoExame 2007 · 1.ª Fase

Seja f a função, de domínio \left[1,\,5\right], definida por f(x) = \ln x.

Um ponto P desloca-se ao longo do gráfico de f. Para cada posição de P, considera o retângulo com um lado contido no eixo Ox, outro na reta de equação x = 5, e os outros dois nas retas vertical e horizontal que passam por P.

Exprime a área do retângulo em função da abcissa de P e determina, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa de P para a qual essa área é máxima, com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 179 construçãoTeste Intermédio 12.º · 17.01.2008

Uma população de seres vivos evolui de acordo com a lei

P(t) = ae^{kt}, \qquad t \in \mathbb{R}_{0}^{+},

em que a é o número de indivíduos no instante inicial (a > 0) e k é uma constante real.

Às zero horas do dia 1 de um certo mês iniciou-se, em laboratório, uma cultura com 500 indivíduos de uma estirpe A e 500 indivíduos de uma estirpe B. Sabe-se que:

no caso da estirpe A, k_{A} = -0{,}6931;no caso da estirpe B, k_{B} = 0{,}1155.

Nunca foram introduzidos mais indivíduos destas estirpes, e ambas evoluíram de acordo com a lei referida. Durante a primeira semana houve um momento em que o número total de indivíduos atingiu o valor mínimo.

Determina o dia e a hora em que tal aconteceu (hora arredondada às unidades), recorrendo à calculadora gráfica. Escreve a expressão da função que dá o número total de indivíduos e indica a coordenada relevante com arredondamento às milésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 180 construçãoExame 2008 · 1.ª Fase

Num referencial ortonormado xOy, considera os gráficos das funções f e g, de domínio \left[0,\,3\right], definidas por f(x) = \ln(x+2) e g(x) = e-e^{x-1}.

Considera ainda o triângulo [OAB], em que:

O é a origem do referencial;A é o ponto de interseção dos dois gráficos;B é o ponto de interseção do gráfico de g com o eixo Ox.

Determina a área do triângulo [OAB], recorrendo à calculadora gráfica. Indica as coordenadas de A e a abcissa de B com arredondamento às décimas, e apresenta a área também arredondada às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 181 construçãoExame 2009 · 1.ª Fase

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = e^{2x}+\ln x.

O gráfico de g contém um único ponto A com abcissa pertencente ao intervalo \left]0,\,2\right] e cuja ordenada é igual ao dobro da abcissa.

Traduz esta situação por meio de uma equação e resolve-a, recorrendo à calculadora gráfica. Indica as coordenadas de A com arredondamento às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 182 construçãoExame 2010 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left]0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = \begin{cases} \dfrac{e^{x}-3x}{x} & \text{se } 0 < x \leq 2\\[10pt] \dfrac{1}{5}x-\ln x & \text{se } x > 2\end{cases}

Num referencial o.n. xOy, considera os pontos A, B e C do gráfico de f. Sabe-se que:

A e B são os pontos cujas abcissas são as soluções, no intervalo \left]0,\,2\right], da equação f(x) = f(15);C é o ponto cuja ordenada é o mínimo de f em \left]0,\,2\right] e cuja abcissa pertence a esse intervalo.

Determina a área do triângulo [ABC], recorrendo à calculadora gráfica. Indica as coordenadas de A, B e C com arredondamento às centésimas e a área com arredondamento às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 183 construçãoExame 2011 · Prova especial

Num referencial o.n. xOy, considera parte do gráfico da função f, de domínio \left]-\infty,\,6\right[, definida por f(x) = 2+15\ln\left(3-\dfrac{1}{2}x\right).

Um ponto C, de coordenadas positivas, desloca-se ao longo do gráfico de f. Para cada posição de C, considera o retângulo [OACB], em que A pertence ao eixo das abcissas e B ao eixo das ordenadas.

Determina, recorrendo à calculadora gráfica, a abcissa do ponto A para a qual a área do retângulo [OACB] é máxima. Escreve a expressão que dá essa área em função da abcissa de A e indica o valor pedido com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 184 construçãoExame 2012 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, e a função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, definidas por

f(x) = e^{x-2}-\dfrac{4e^{-x}+4}{e^{2}} \qquad\text{e}\qquad g(x) = -\ln x+4.

Num referencial o.n. xOy, considera os gráficos de f e de g e o triângulo [OAB]. Sabe-se que:

O é a origem do referencial;A e B são pontos do gráfico de f;a abcissa de A é o zero da função f;B é o ponto de interseção do gráfico de f com o gráfico de g.

Determina a área do triângulo [OAB], recorrendo à calculadora gráfica. Indica a abcissa de A e as coordenadas de B com arredondamento às centésimas e a área com arredondamento às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 185 construçãoExame 2012 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left[-7,\,0\right[, definida por f(x) = e^{x}+\ln\left(x^{2}\right)+3.

Sejam A e B os pontos de interseção do gráfico de f com a bissetriz dos quadrantes pares, e seja d a distância entre A e B.

Determina d, recorrendo à calculadora gráfica. Indica as coordenadas de A e de B e o valor de d com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 186 construçãoExame 2012 · Época especial

Num referencial o.n. xOy, considera o gráfico da função f, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por f(x) = e^{0{,}1x}+\ln(3x+1).

Seja P um ponto do gráfico de f cuja distância à origem é igual a 2.

Determina a abcissa do ponto P, recorrendo à calculadora gráfica, com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 187 construçãoExame 2013 · 1.ª Fase

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}\setminus\{0\}, cuja restrição a \mathbb{R}^{+} é f(x) = x\ln x.

Num referencial o.n. xOy, considera a representação gráfica da função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = f(x)-x+\ln^{2}x. Sabe-se que:

A é o ponto de coordenadas (2,\,0);B é o ponto de coordenadas (5,\,0);P é um ponto que se desloca ao longo do gráfico de g.

Para cada posição de P, considera o triângulo [ABP]. Determina as abcissas dos pontos P para os quais a área do triângulo [ABP] é 1, com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 188 construçãoExame 2013 · 2.ª Fase

Num referencial o.n. xOy, considera a representação gráfica da função f, de domínio \left[-1,\,2\right], definida por f(x) = -x-3^{1+\ln\left(x^{2}+1\right)}, o ponto A de coordenadas (2,\,0) e um ponto P que se desloca ao longo do gráfico de f.

Existe uma posição do ponto P para a qual a área do triângulo [AOP] é mínima. Determina a área desse triângulo, recorrendo à calculadora gráfica, com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 189 construçãoTeste Intermédio 12.º · 30.04.2014

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por

f(x) = \begin{cases} 2x+1+e^{-x} & \text{se } x \leq 0\\[10pt] \dfrac{3x+\ln x}{x} & \text{se } x > 0\end{cases}

Num referencial o.n. xOy estão representados parte do gráfico de f, os pontos A e B, ambos do gráfico de f, e a reta AB. Sabe-se que:

a reta AB é paralela à bissetriz dos quadrantes pares;A e B têm abcissas simétricas;a abcissa de A pertence ao intervalo \left]0,\,1\right[.

Seja a a abcissa de A. Determina o valor de a, recorrendo à calculadora gráfica, com arredondamento às milésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 190 construçãoExame 2014 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left]-e^{2},\,+\infty\right[, definida por f(x) = -\ln\left(x+e^{2}\right).

Num referencial o.n. xOy estão representados parte do gráfico de f e o triângulo [ABC]. Sabe-se que:

A tem coordenadas (0,\,-2);B pertence ao gráfico de f e tem abcissa negativa;C pertence ao eixo Oy e tem ordenada igual à de B;a área do triângulo [ABC] é igual a 8.

Determina a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica. Escreve uma expressão da área de [ABC] em função da abcissa de B e indica o valor pedido com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 191 construçãoExame 2014 · 2.ª Fase

Num referencial o.n. xOy, considera a representação gráfica da função f, de domínio \left[0,\,10\right], definida por f(x) = -e^{\frac{x}{2}}+x^{2}+8, e dois pontos A e B. Sabe-se que:

A é o ponto de interseção do gráfico de f com o eixo das ordenadas;B pertence ao gráfico de f e tem abcissa positiva;a reta AB tem declive -2.

Determina a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica. Indica o valor com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 192 construçãoExame 2014 · Época especial

Considera a função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = \dfrac{1+\ln x}{x^{2}}.

Num referencial o.n. xOy, considera a representação gráfica de g, os pontos A e B, e a reta r de equação y = mx, com m < 0. Sabe-se que:

A e B pertencem ao gráfico de g;a abcissa de A é o zero de g;B é o ponto de interseção da reta r com o gráfico de g;a área do triângulo [OAB] é igual a 1.

Determina a abcissa do ponto B, recorrendo à calculadora gráfica. Indica a abcissa de A e a de B com arredondamento às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 193 construçãoExame 2015 · Época especial

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}^{+}_{0}, definida por f(x) = x^{2}e^{1-x}.

Considera, num referencial o.n. xOy, três pontos A, B e C tais que:

A e B pertencem ao gráfico de f, e a abcissa de B é maior do que a de A;A e B têm a mesma ordenada, igual a 1{,}2;C pertence ao eixo Ox e tem abcissa igual à de B.

Determina, recorrendo à calculadora gráfica, a área do quadrilátero [OABC], sendo O a origem do referencial. Indica as abcissas de A e de B arredondadas às milésimas e apresenta a área arredondada às centésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 194 construçãoExame 2018 · 1.ª Fase

Um feixe de luz incide perpendicularmente sobre um conjunto de três placas sobrepostas, homogéneas e iguais, feitas de um material transparente. Admite que a potência, L, da luz transmitida, após atravessar o conjunto de placas, é dada por

L = I(1-R)^{6}e^{-3\lambda},

I é a potência da luz incidente;R é o coeficiente de reflexão do material, com 0 < R < 1;\lambda é o coeficiente de absorção do material, por centímetro, com \lambda > 0.

Relativamente ao material de que as placas são feitas, sabe-se que o coeficiente de reflexão, R, e o coeficiente de absorção, \lambda, têm o mesmo valor numérico, e que a potência da luz transmitida é igual a metade da potência da luz incidente.

Determina, recorrendo à calculadora gráfica, o valor comum dos coeficientes de absorção e de reflexão do material, sabendo que esse valor existe e é único. Apresenta o resultado arredondado às milésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 195 construçãoExame 2018 · Época especial

Na cidade de Saint Louis existe um monumento em forma de arco conhecido como Portal do Oeste. No ponto mais elevado do arco encontra-se um miradouro, C, ao qual se acede por um ascensor. Os pontos A e B são as interseções do arco com o solo, O é o ponto médio de [AB], e a reta OC é eixo de simetria do arco.

Considera a reta AB como eixo orientado da esquerda para a direita, com origem em O e com o metro por unidade. O ascensor desloca-se no arco CB, de C para B. Para cada ponto P, de abcissa x, situado no arco CB, o tempo que o ascensor demora a percorrer o arco CP é dado, em minutos, por

t(x) = 0{,}34\left(e^{0{,}0257x}-e^{-0{,}0257x}\right), \quad \text{com } x \in \left[0,\,96\right].

Num certo instante, o ascensor encontra-se num ponto F, não coincidente com C, a uma certa distância da reta OC. Passado algum tempo, encontra-se num ponto G. Sabe-se que a distância de G à reta OC é o triplo da distância de F à mesma reta, e que o tempo que o ascensor demora a percorrer o arco de F até G é o triplo do tempo que demora a percorrer o arco de C até F.

Determina, recorrendo à calculadora gráfica, a distância, em metros, do ponto F à reta OC. Apresenta o resultado arredondado às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 196 construçãoExame 2019 · 1.ª Fase

Uma lente de contacto é um meio transparente limitado por duas faces, cada uma delas parte de uma superfície esférica. Considera duas superfícies esféricas, uma de centro C_{1} e raio r_{1} e outra de centro C_{2} e raio r_{2}, com r_{2} > r_{1}, e seja x = \overline{C_{1}C_{2}}.

Sabe-se que o diâmetro, d, da lente é dado por

d = \dfrac{\sqrt{\left[(r_{1}+r_{2})^{2}-x^{2}\right]\left[x^{2}-(r_{1}-r_{2})^{2}\right]}}{x}, \quad \text{com } r_{2}-r_{1} < x < \sqrt{r_{2}^{2}-r_{1}^{2}}.

Uma lente de contacto foi obtida a partir de duas superfícies esféricas com 7 mm e 8 mm de raio, respetivamente. O diâmetro dessa lente excede em 9 mm a distância, x, entre os centros das duas superfícies esféricas.

Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de x, sabendo que esse valor é único no intervalo indicado. Apresenta o valor pedido em milímetros, arredondado às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 197 construçãoExame 2019 · 2.ª Fase

O nível, N, de um som, medido em decibéis, é função da sua intensidade, I, medida em microwatt por metro quadrado (\mu\text{W/m}^{2}), de acordo com a igualdade

N = 60+10\log_{10} I, \quad \text{com } I > 0.

Relativamente ao som de um certo despertador, sabe-se que, aumentando a sua intensidade em 150 \mu\text{W/m}^{2}, o seu nível passa a ser 1{,}4\% do quadrado do nível inicial.

Determina, recorrendo à calculadora gráfica, o valor da intensidade inicial do som desse despertador, sabendo que pertence ao intervalo \left[20,\,80\right] e que, nesse intervalo, esse valor é único. Apresenta esse valor em \mu\text{W/m}^{2}, arredondado às unidades.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 198 construçãoExame 2019 · Época especial

Num referencial o.n. xOy estão representadas parte do gráfico da função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = e^{x}, e parte do gráfico da função g, de domínio \mathbb{R}^{+}, definida por g(x) = \dfrac{\ln x}{x}.

Considera que um ponto A se desloca no primeiro quadrante sobre o gráfico de g. Para cada posição de A, seja B o ponto do gráfico de f cuja abcissa é igual à de A. Seja a, com a > 1, a abcissa comum de A e B.

Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de a para o qual a área do triângulo [OAB] é igual a 5, sabendo que esse valor existe e é único. Apresenta o valor de a arredondado às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 199 construçãoExame 2020 · 2.ª Fase

Os satélites artificiais são utilizados para diversos fins, e a altitude a que são colocados depende do fim a que se destinam. Admite que a Terra é uma esfera, e considera:

R o raio, em quilómetros, da Terra;h a altitude, em quilómetros, do satélite, com h > 0;r o raio, em quilómetros, da base da calote esférica cuja superfície é coberta pelo satélite, com 0 < r < R.

As grandezas h e r relacionam-se por

r = \dfrac{R}{h+R}\sqrt{h^{2}+2hR},

e a percentagem da área da superfície terrestre coberta pelo satélite é dada por

50\left(1-\sqrt{1-\left(\dfrac{r}{R}\right)^{2}}\right).

Considera que o raio da Terra é 6400 km. Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, a percentagem da área da superfície terrestre coberta por um satélite se a altitude deste for igual ao raio da base da respetiva calote esférica. Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 200 construçãoExame 2021 · 2.ª Fase

Num laboratório cuja temperatura ambiente é constante, aqueceu-se uma substância até atingir uma certa temperatura, superior à temperatura ambiente, e, a seguir, deixou-se arrefecer essa substância durante uma hora.

Admite que a temperatura dessa substância, em graus Celsius, t minutos após o início do arrefecimento, é dada por

T(t) = 20+100e^{-kt}, \quad 0 \leq t \leq 60,

em que k é uma constante real positiva. Considera k = 0{,}04.

Sabe-se que, durante os primeiros t_{2} minutos, a taxa média de variação da função T foi igual a -2{,}4.

Determina, recorrendo às capacidades gráficas da calculadora, o valor de t_{2}, sabendo que esse valor existe e é único. Apresenta o resultado em minutos e segundos, com os segundos arredondados às unidades.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 201 construçãoExame 2021 · Época especial

Para conhecer a variação do número de bactérias de uma determinada estirpe, colocou-se num tubo de ensaio fechado, com alguns nutrientes, um certo número de bactérias dessa estirpe.

Admite que, nessas condições, o número, N, em milhares, de bactérias vivas existentes no tubo, t horas após a sua colocação nesse tubo, é dado por

N(t) = N_{0}\,e^{1{,}08t-0{,}3t^{2}},

em que N_{0} representa a dimensão, em milhares, da população inicial. Considera N_{0} = 1{,}63.

Num certo instante, t_{1}, havia, no tubo de ensaio, mais meio milhar de bactérias vivas do que uma hora antes desse instante.

Determina, recorrendo à calculadora, o valor de t_{1}, sabendo que este valor existe e é único. Apresenta o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 202 construçãoExame 2022 · 1.ª Fase

Um cabo está suspenso pelas suas extremidades em dois postes iguais, distanciados 10 metros entre si, instalados perpendicularmente a um terreno plano e horizontal. O ponto do cabo mais próximo do solo é equidistante dos dois postes.

Seja h a função, de domínio \left[0,\,10\right], definida por

h(x) = 6{,}3\left(e^{\frac{x-5}{12{,}6}}+e^{\frac{5-x}{12{,}6}}\right)-7{,}6.

Admite que h(x) é a altura, relativamente ao solo, em metros, de um ponto do cabo situado a x metros do poste da esquerda.

Para um ponto do cabo situado a d metros do poste da esquerda, verifica-se que, diminuindo 50\% essa distância, a altura relativamente ao solo diminui 30 centímetros.

Determina, recorrendo à calculadora, o valor de d, sabendo que este valor existe e é único. Apresenta o resultado arredondado às décimas de metro.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 203 construçãoExame 2023 · 1.ª Fase

Uma empresa está a desenvolver um programa de testes para melhorar a propulsão de foguetes. Os foguetes utilizados partem do solo e seguem uma trajetória vertical.

Em relação a um dos modelos de foguete utilizados, admite que, após o lançamento e até se esgotar o combustível, a sua distância ao solo, a, em metros, é dada, a cada instante t, em segundos, por

a(t) = 100\left[t+(10-t)\ln\left(1-\dfrac{t}{10}\right)\right]-4{,}9t^{2}, \quad \text{com } t \in \left[0,\,8\right].

Determina, utilizando a calculadora gráfica, o instante a partir do qual, durante 3 segundos, esse foguete percorre 25 metros. Apresenta o resultado em segundos, arredondado às décimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 204 construçãoExame 2023 · 2.ª Fase

Para fazer obras de remodelação das instalações, uma pequena empresa pretende pedir um empréstimo a um banco, a pagar em prestações mensais iguais.

De acordo com a proposta do banco, o valor da prestação mensal a pagar, p, em euros, é dado, em função da taxa de juro anual aplicada, j, em percentagem, pela expressão

p(j) = \dfrac{62{,}5j}{1-\left(1+\dfrac{j}{1200}\right)^{-120}}, \quad \text{com } j > 0.

Sabe-se que, no caso de a taxa de juro anual inicial duplicar, a prestação mensal aumentará 120 euros.

Determina, utilizando a calculadora gráfica, a taxa de juro anual inicial. Apresenta o resultado em percentagem, arredondado às milésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 205 construçãoExame 2024 · Época especial

Admite que, nos primeiros quinze minutos de uma reação química entre duas substâncias, a massa, m, de uma das substâncias, medida em gramas, é dada, t minutos após o início da reação, por

m(t) = \dfrac{1764}{1-0{,}16e^{-0{,}42t}}, \quad \text{com } 0 \leq t \leq 15.

No primeiro minuto da reação, existe um instante a para o qual se verifica que, no intervalo de tempo \left[a,\,3a\right], a massa dessa substância diminui 5\%.

Determina, recorrendo à calculadora, a amplitude desse intervalo. Apresenta o resultado em minutos e segundos, com arredondamento ao segundo. Se, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo, três casas decimais.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 206 construçãoExame 2025 · 1.ª Fase

Numa certa região, foi localizado um enxame de gafanhotos.

Admite que o número, G, em milhões, de gafanhotos do enxame, x semanas após as zero horas do dia em que este foi localizado, é dado, aproximadamente, por

G(x) = 0{,}9e^{-0{,}6x}(x+0{,}5)^{3}, \quad \text{com } x \geq 0.

De acordo com o modelo, existe um único instante a partir do qual, passadas quatro semanas, o número de gafanhotos ficou reduzido a metade do número de gafanhotos existentes nesse instante.

Determina, recorrendo à calculadora, quantos dias decorreram desde as zero horas do dia em que o enxame foi localizado até esse instante. Apresenta o resultado arredondado às unidades.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 207 construçãoExame 2025 · 2.ª Fase

Admite que, de acordo com um estudo de mercado realizado pela Biclatour, empresa de fabrico de bicicletas, o número de unidades das bicicletas Ciclatour que se prevê vender, em função do preço, p, em centenas de euros, de cada unidade, é dado, aproximadamente, por

N(p) = 4000 \times e^{-0{,}34p}-1{,}12p+50, \quad \text{com } 2 \leq p \leq 10.

De acordo com este modelo, sabe-se que existe um único preço para o qual o valor total que se prevê obter com a venda das bicicletas Ciclatour é igual a 4000 centenas de euros.

Determina esse preço, recorrendo à calculadora. Apresenta o resultado em euros, arredondado às unidades.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Item 208 construçãoExame 2025 · Época especial

O paracetamol é um fármaco indicado quer para aliviar as dores leves e moderadas, quer para controlar a febre.

Admite que a concentração de paracetamol, em miligramas por litro de sangue, t horas após a administração de uma determinada dose terapêutica, é dada, aproximadamente, por

C(t) = 125\left(e^{-0{,}2t}-e^{-t}\right), \quad \text{com } t > 0.

Admite ainda que, para produzir efeito terapêutico significativo, a concentração de paracetamol tem de ser superior a 15 miligramas por litro de sangue.

Determina, recorrendo à calculadora, durante quanto tempo, após a administração da referida dose terapêutica, o paracetamol produz efeito terapêutico significativo. Apresenta o resultado em horas e minutos, com os minutos arredondados às unidades.

Na tua resposta deves apresentar uma condição que permita resolver o problema, reproduzir os gráficos visualizados e apresentar as coordenadas relevantes arredondadas às milésimas.

Item 209 construçãoExame 2026 · 1.ª Fase

A Inês pretende subscrever uma conta-poupança, com a duração de 25 anos, nas condições seguintes:

no início de cada ano, a Inês compromete-se a depositar na conta a quantia fixa de 500 euros;durante os 25 anos, a Inês não pode fazer levantamentos nem depósitos adicionais;no fim de cada ano, ao capital existente na conta, é adicionado o valor do juro, calculado à taxa de juro anual de j\%.

O capital, C, em euros, existente na conta da Inês, no final dos 25 anos, é dado, em função da taxa de juro anual, j, em percentagem, por

C(j) = 500\left(1+\dfrac{100}{j}\right)\left[\left(1+\dfrac{j}{100}\right)^{25}-1\right], \quad \text{com } j > 0.

A Inês pretende obter, no final dos 25 anos, um acréscimo de 20\% relativamente ao total das quantias depositadas.

Determina, recorrendo à calculadora, a taxa de juro anual, em percentagem, que a Inês deverá negociar com o banco, de modo a concretizar o seu objetivo. Apresenta o resultado arredondado às milésimas.

Na tua resposta deves:

apresentar uma equação que permita resolver o problema;reproduzir, num referencial, os gráficos das funções que visualizaste, devidamente identificados, e assinalar os pontos relevantes.

Resolve c(t) = 1: os dois instantes dizem quando o efeito começa e quando acaba. Depois é comparar com a meia hora e com as cinco horas.

  1. Quando é que faz efeito. O medicamento atua enquanto c(t) > 1, pelo que interessam as soluções de c(t) = 1 \iff t^{2}e^{-0{,}6t} = 1.
    t c 1 1,6 5,9 c
    A concentração e o limiar de 1 dg/L: acima dele entre t \approx 1{,}6 e t \approx 5{,}9 horas.
  2. Os dois instantes. A calculadora dá t \approx 1{,}6 e t \approx 5{,}9: é entre estas duas horas que a concentração se mantém acima de 1 dg/L.
  3. O veredicto. O efeito só começa 1{,}6 horas depois de tomado, muito mais do que a meia hora exigida; e dura 5{,}9-1{,}6 = 4{,}3 horas, menos do que as cinco horas exigidas. O slogan não se justifica nem na parte «rápida» nem na parte «prolongada».São duas exigências e, portanto, duas comparações. Responder só a uma delas deixa metade do item por fazer.
RespostaNão se justifica: começa a fazer efeito às 1{,}6 h e dura 4{,}3 h

«Ordenada igual ao quadrado da abcissa» é o mesmo que dizer que o ponto está na parábola y = x^{2}.

  1. A equação. Os pontos cuja ordenada é o quadrado da abcissa são os da parábola y = x^{2}, logo f(x) = x^{2} \iff 3x-2\ln x = x^{2}.
  2. Na calculadora. Representam-se f e g(x) = x^{2}, numa janela compatível com x > 0.
    x y 2,3 f g
    Os gráficos de f e de g(x) = x^{2}: um único ponto, de abcissa \approx 2{,}3.
  3. A abcissa do ponto é \approx 2{,}3.Junto de zero, f dispara para +\infty por causa do -2\ln x, enquanto a parábola vale quase nada; longe, a parábola ganha. Entre um extremo e o outro só há um cruzamento — que é o que o enunciado garante.
Respostax \approx 2{,}3

A e B têm a mesma abcissa: a distância entre eles é a diferença das ordenadas. Em \left[0,\,2\right], qual delas é a maior?

  1. A distância. Os dois pontos têm abcissa x, e em \left[0,\,2\right] tem-se f(x) > 0 \geq g(x), logo \overline{AB} = f(x)-g(x) = e^{x}-(x-2).
  2. A equação. Representam-se y_{1} = e^{x}-(x-2) e y_{2} = 5, em \left[0,\,2\right].
    x y 5 1,5 h
    A distância \overline{AB} = e^{x}-(x-2) e o nível 5: cruzam-se em x \approx 1{,}5.
  3. A abcissa procurada é x \approx 1{,}5.A distância nunca é negativa: é por isso que se escreve f(x)-g(x) e não o contrário. Trocar a ordem daria -5, que não é distância nenhuma.
Respostax \approx 1{,}5

No sítio onde a bola cai, a altura é zero. Mas x = 0 também anula h — procura o outro zero.

  1. A condição. No ponto de queda a bola está no solo: h(a) = 0 \iff 2a+10\ln(1-0{,}1a) = 0, \qquad a > 0.
  2. Na calculadora. Representa-se h numa janela que mostre o zero de abcissa positiva.
    x h 7,97 h
    A altura da bola: o segundo zero de h dá a \approx 7{,}97 metros.
  3. A bola caiu a a \approx 7{,}97 metros do sítio onde foi pontapeada.O x = 0 é sempre solução — é o instante do pontapé. Aceitá-lo como resposta seria dizer que a bola caiu onde foi chutada.
Respostaa \approx 7{,}97 m

Há três coisas a testar: o valor em t = 0 tem de ser 400, o número tem de crescer sempre, e tem de aproximar-se de 1000 sem nunca o ultrapassar.

  1. A opção (A) falha no início. P(0) = \dfrac{1000}{1+e^{0}} = \dfrac{1000}{2} = 500 \neq 400.
  2. A opção (C) falha no fim. \lim_{t \to +\infty} \dfrac{1200}{1+2e^{-t}} = \dfrac{1200}{1+0} = 1200 > 1000.
  3. A opção (D) falha no meio. Parte de 400 e tende para 1000, mas não é sempre crescente: desce até cerca de 162 antes de voltar a subir.
    t P 1000 400 (B) (A) (C) (D)
    As quatro expressões: só (B) parte de 400 e se aproxima de 1000 sem o ultrapassar.
  4. Fica a (B): P(0) = \dfrac{1000}{2{,}5} = 400, a função cresce sempre e tende para 1000.A reta y = 1000 é assíntota horizontal do gráfico de (B) — é ela que traduz «até bastante perto de um milhar, mas sem ultrapassar».
RespostaOpção (B)

«Superior a 16\,500» é uma inequação: representa y = L(x) e y = 16\,500 e vê onde a curva fica acima da reta.

  1. A inequação. L(x) > 16\,500 \iff (x-3)e^{14-x} > 16\,500.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = L(x) e y_{2} = 16\,500, para valores positivos do lucro.
    x L 16 500 3,42 4,96 L
    O lucro mensal e a meta de 16\,500 euros: cruzam-se em 3{,}42 e 4{,}96.
  3. As abcissas dos pontos de interseção são 3{,}42 e 4{,}96, e é entre elas que a curva fica acima da reta: x \in \left]3{,}42;\, 4{,}96\right[. A resposta é um intervalo, não dois números. E os extremos ficam de fora, porque o lucro tem de ser superior a 16\,500.
RespostaEntre 3{,}42 e 4{,}96 euros

O lado [OP] está no eixo Oy e mede e. A altura relativa a essa base é a abcissa de Q.

  1. A base. Os pontos O(0,\,0) e P(0,\,e) estão ambos no eixo Oy, logo \overline{OP} = e.
  2. A altura. É a distância de Q ao eixo Oy, ou seja, a abcissa de Q — a solução de e^{x}+3x = 5.
    x y O P Q 0,87 C r
    A curva C e a reta r na janela \left[0,\,1\right] \times \left[0,\,7\right]: x_{Q} \approx 0{,}87.
  3. A área. Com x_{Q} \approx 0{,}87, A_{[OPQ]} = \dfrac{\overline{OP} \times x_{Q}}{2} \approx \dfrac{e \times 0{,}87}{2} \approx 1{,}2. Escolher [OP] como base poupa trabalho: fica no eixo, e a altura passa a ser uma abcissa, que a calculadora dá de imediato.
RespostaA_{[OPQ]} \approx 1{,}2

Se P tem abcissa x, o lado horizontal vai de x até 5 e o vertical mede \ln x.

  1. A área. O ponto P tem coordenadas (x,\, \ln x), logo os lados medem 5-x e \ln x: A(x) = (5-x)\ln x, \qquad x \in \left[1,\,5\right].
  2. O máximo. Representa-se A numa janela compatível com o domínio.
    x A 2,29 2,57 1 5 M A
    A área do retângulo em função da abcissa de P: máxima em M(2{,}57;\, 2{,}29).
  3. A abcissa de P é \approx 2{,}57, e a área máxima \approx 2{,}29.Nos dois extremos a área anula-se: em x = 1 porque \ln 1 = 0, em x = 5 porque o lado horizontal desaparece. Entre eles tem de haver um máximo.
Respostax_{P} \approx 2{,}57

O total é a soma das duas populações. A parte decimal do minimizante são dias — converte-a em horas.

  1. A função. Cada estirpe parte de 500 indivíduos, logo o total é N(t) = 500e^{-0{,}6931t}+500e^{0{,}1155t}, \qquad t \in \left[0,\,7\right].
  2. O mínimo. Procura-se o minimizante de N na primeira semana.
    t N 753 2,216 N
    O total das duas estirpes em \left[0,\,7\right]: mínimo em t \approx 2{,}216 dias.
  3. Do número ao relógio. O mínimo ocorre t \approx 2{,}216 dias depois das zero horas do dia 1. Dois dias inteiros levam ao dia 3, e 0{,}216 \times 24 \approx 5{,}2 \text{ horas.} A estirpe A extingue-se depressa (k < 0) e a B cresce devagar (k > 0): o mínimo é o instante em que a queda de uma deixa de compensar a subida da outra.
RespostaDia 3, por volta das 5 horas (t \approx 2{,}216)

A base [OB] está no eixo Ox, logo a altura é a ordenada de A. E o zero de g faz-se de cabeça.

  1. O ponto B. É o zero de g: e-e^{x-1} = 0 \iff e^{x-1} = e^{1} \iff x = 2.
  2. O ponto A. É a interseção dos dois gráficos, ou seja, a solução de \ln(x+2) = e-e^{x-1} em \left[0,\,3\right].
    x y O A B f g
    Os gráficos de f e de g em \left[0,\,3\right]: A(1{,}4;\, 1{,}2) e B(2;\, 0).
  3. A área. Tomando [OB] como base, de comprimento 2, a altura é a ordenada de A: A_{[OAB]} = \dfrac{2 \times 1{,}2}{2} = 1{,}2. O ponto B dispensa a máquina: e^{x-1} = e^{1} dá logo x = 2. Só o A é que a exige.
RespostaA_{[OAB]} \approx 1{,}2

«Ordenada igual ao dobro da abcissa» é o mesmo que dizer que o ponto está na reta y = 2x.

  1. A equação. Os pontos cuja ordenada é o dobro da abcissa são os da reta y = 2x, logo g(x) = 2x \iff e^{2x}+\ln x = 2x.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = e^{2x}+\ln x e y_{2} = 2x, numa janela compatível com x > 0.
    x y A 0,3 g y = 2x
    O gráfico de g e a reta y = 2x: um único ponto A(0{,}3;\, 0{,}6).
  3. A calculadora dá A(0{,}3;\, 0{,}6).O gráfico explica a unicidade que o enunciado garante: junto de 0 a função vem de -\infty por causa do logaritmo, e depois a exponencial dispara. Cruza a reta uma vez, e mais nenhuma.
RespostaA(0{,}3;\, 0{,}6)

Começa por f(15) — é o segundo ramo. Depois é uma reta horizontal a cortar o primeiro ramo em dois pontos.

  1. O nível. Como 15 > 2, usa-se o segundo ramo: f(15) = \dfrac{15}{5}-\ln 15 = 3-\ln 15 \approx 0{,}29.
  2. Os três pontos. Em \left]0,\,2\right] resolve-se f(x) = 0{,}29 e procura-se o mínimo do ramo.
    x y 0,29 A B C f
    O primeiro ramo de f e o nível f(15) \approx 0{,}29: A(0{,}50;\, 0{,}29), B(1{,}75;\, 0{,}29) e C(1;\, -0{,}28).
  3. A área. O lado [AB] é horizontal e mede 1{,}75-0{,}50 = 1{,}25; a altura é a distância de C a esse lado, ou seja 0{,}29+0{,}28 = 0{,}57: A_{[ABC]} = \dfrac{1{,}25 \times 0{,}57}{2} \approx 0{,}4. No primeiro ramo é f(x) = \dfrac{e^{x}}{x}-3, e o mínimo cai exatamente em x = 1, onde vale e-3 \approx -0{,}28. O segundo ramo só entra para dar o valor de f(15).
RespostaA_{[ABC]} \approx 0{,}4

Se A tem abcissa x, o retângulo tem lados x e f(x). A área é o produto — e é uma função só de x.

  1. A área. Sendo x a abcissa de A, o lado horizontal mede x e o vertical mede f(x), logo A(x) = x\left(2+15\ln\left(3-\dfrac{1}{2}x\right)\right).
  2. Onde é máxima. Como C tem coordenadas positivas, é x > 0 e f(x) > 0: a área só está definida enquanto a curva se mantém acima do eixo.
    x A 25,99 2,47 M A
    A área do retângulo em função da abcissa de A: máxima em M(2{,}47;\, 25{,}99).
  3. O máximo é M(2{,}47;\, 25{,}99), portanto a abcissa de A é \approx 2{,}47.Pergunta-se onde, não quanto: a resposta é o maximizante, 2{,}47, e não o máximo, 25{,}99. É um engano clássico.
Respostax_{A} \approx 2{,}47

Sendo A o zero de f, o ponto está no eixo Ox: toma [OA] como base e a ordenada de B como altura.

  1. A base. O ponto A é o zero de f, logo está no eixo Ox e \overline{OA} = x_{A}. A calculadora dá x_{A} \approx 1{,}57.
  2. A altura. O ponto B é a interseção dos dois gráficos, e a altura relativa à base [OA] é a sua ordenada.
    x y O A B f g
    O zero de f e o cruzamento com g: A(1{,}57;\, 0) e B(3{,}22;\, 2{,}83).
  3. A área. Com B(3{,}22;\, 2{,}83), A_{[OAB]} = \dfrac{\overline{OA} \times y_{B}}{2} \approx \dfrac{1{,}57 \times 2{,}83}{2} \approx 2{,}2. O zero até se calcula à mão: e^{x-2} = \dfrac{4e^{-x}+4}{e^{2}} \iff e^{x} = 4e^{-x}+4, e com u = e^{x} vem u^{2}-4u-4 = 0, ou seja u = 2+2\sqrt{2} e x = \ln\left(2+2\sqrt{2}\right) \approx 1{,}5745. A máquina confirma.
RespostaA_{[OAB]} \approx 2{,}2

A bissetriz dos quadrantes pares é a reta y = -x. Achadas as abcissas, as ordenadas saem de borla.

  1. A equação. A bissetriz dos quadrantes pares tem equação y = -x, logo e^{x}+\ln\left(x^{2}\right)+3 = -x, \qquad -7 \leq x < 0.
    x y A B −6,85 f y = −x
    O gráfico de f e a bissetriz dos quadrantes pares: A(-6{,}85;\, 6{,}85) e B(-0{,}16;\, 0{,}16).
  2. Os dois pontos. A calculadora dá as abcissas -6{,}85 e -0{,}16; como os pontos estão na reta y = -x, A(-6{,}85;\, 6{,}85) \qquad\text{e}\qquad B(-0{,}16;\, 0{,}16).
  3. A distância. d = \sqrt{\left(x_{B}-x_{A}\right)^{2}+\left(y_{B}-y_{A}\right)^{2}} = \sqrt{6{,}69^{2}+(-6{,}69)^{2}} \approx 9{,}46. Numa reta de declive -1, a distância entre dois pontos é sempre \sqrt{2} vezes a diferença das abcissas: 6{,}69\sqrt{2} \approx 9{,}46. Dá para confirmar de cabeça.
Respostad \approx 9{,}46

Os pontos à distância 2 da origem formam a circunferência x^{2}+y^{2} = 4. Como f é positiva, só interessa a metade de cima.

  1. A condição. Um ponto do gráfico é P\left(x,\, f(x)\right), e a sua distância à origem é \overline{OP} = \sqrt{x^{2}+\left(f(x)\right)^{2}} = 2 \iff x^{2}+\left(f(x)\right)^{2} = 4.
  2. A equação. Em \mathbb{R}^{+} a função f só toma valores positivos, logo f(x) = \sqrt{4-x^{2}}, e a equação só faz sentido para 0 < x \leq 2.
    x y P 0,48 2 f g
    O gráfico de f e a semicircunferência y = \sqrt{4-x^{2}}: P tem abcissa \approx 0{,}48.
  3. A abcissa de P é \approx 0{,}48.A circunferência resolve-se em y = \pm\sqrt{4-x^{2}}, mas o ramo de baixo não serve: f(x) > 1 em todo o domínio. Escolher o ramo é metade do trabalho.
Respostax_{P} \approx 0{,}48

A base [AB] é fixa e mede 3. Da área tira-se a altura — e a altura é |g(x)|, o que dá duas equações, não uma.

  1. A altura. A base [AB] mede 5-2 = 3, e a altura é a distância de P ao eixo Ox: \dfrac{3 \times |g(x)|}{2} = 1 \iff |g(x)| = \dfrac{2}{3}.
  2. As duas equações. O módulo desdobra-se: g(x) = \dfrac{2}{3} ou g(x) = -\dfrac{2}{3}.
    x y 2/3 −2/3 0,31 0,61 1,56 2,52 g
    O gráfico de g e os níveis \pm\frac{2}{3}: quatro pontos de interseção.
  3. A calculadora dá quatro abcissas: 0{,}31, 0{,}61, 1{,}56 e 2{,}52.Esquecer o módulo é responder a metade: ficam de fora os dois pontos que estão abaixo do eixo. O triângulo tem a mesma área de um lado e do outro.
Respostax \approx 0{,}31, 0{,}61, 1{,}56 e 2{,}52

A base [OA] é fixa e mede 2. A área só depende da altura, que é |y_{P}| — e f é sempre negativa. Menor área é, então, menor |y_{P}|.

  1. A área em função de P. Tomando [OA] como base, de comprimento 2, a altura é a distância de P ao eixo Ox: A_{[AOP]} = \dfrac{2 \times |y_{P}|}{2} = |y_{P}|.
  2. Onde é mínima. Em \left[-1,\,2\right] a função é sempre negativa, pelo que |y_{P}| = -y_{P}. A área é mínima quando y_{P} é máximo — o ponto mais alto do gráfico.
    x y O A P f
    O triângulo [AOP] é mínimo quando P está no máximo de f: P(-0{,}15;\, -2{,}92).
  3. A calculadora dá o máximo em P(-0{,}15;\, -2{,}92), e portanto A_{[AOP]} = |-2{,}92| = 2{,}92.Um mínimo de área que se obtém procurando um máximo da função. É o sinal que troca as voltas: como o gráfico está todo abaixo do eixo, o ponto mais alto é o mais próximo dele.
RespostaA_{[AOP]} \approx 2{,}92

A bissetriz dos quadrantes pares é y = -x: o declive de AB é -1. E como as abcissas são simétricas, A usa um ramo e B usa o outro.

  1. As duas ordenadas. Se A tem abcissa a > 0, então B tem abcissa -a < 0, e cada um cai no seu ramo: y_{A} = \dfrac{3a+\ln a}{a}, \qquad y_{B} = -2a+1+e^{a}.
  2. A equação. A bissetriz dos quadrantes pares tem declive -1, logo \dfrac{y_{B}-y_{A}}{-a-a} = -1.
  3. Na calculadora. Representa-se o declive em função de a e procura-se onde vale -1, em \left]0,\,1\right[.
    a m −1 0,413 m
    O declive de AB em função de a e o valor -1: cruzam-se em a \approx 0{,}413.
  4. A abcissa de A é a \approx 0{,}413.O detalhe que decide o exercício é que A e B estão em ramos diferentes da função. Usar a mesma expressão nos dois dá um resultado errado sem dar erro nenhum — a máquina não avisa.
Respostaa \approx 0{,}413

Chama k à abcissa de B. O lado [BC] é horizontal e mede |k|; o lado [CA] é vertical. Como k < 0, |k| = -k.

  1. Os três pontos. Sendo k a abcissa de B, tem-se B\left(k,\, f(k)\right) e C\left(0,\, f(k)\right), com A(0,\,-2).
  2. Base e altura. [BC] é horizontal e mede |k| = -k, porque k < 0; [CA] é vertical e mede f(k)-(-2) = f(k)+2. Os dois são perpendiculares, logo A_{[ABC]} = \dfrac{-k\left(f(k)+2\right)}{2} = \dfrac{-k\left(-\ln\left(k+e^{2}\right)+2\right)}{2}.
  3. A equação. Essa área vale 8.
    k y 8 −6,71 A
    A área de [ABC] em função da abcissa de B e o valor 8: cruzam-se em k \approx -6{,}71.
  4. A abcissa de B é k \approx -6{,}71.O domínio manda: k > -e^{2} \approx -7{,}39. E a área cresce sem limite à medida que k se aproxima dessa fronteira, porque f(k) \to +\infty — por isso há uma só solução.
Respostax_{B} \approx -6{,}71

Calcula f(0): dá a ordenada de A. Com o declive e um ponto, a reta AB escreve-se de imediato.

  1. O ponto A. Está no eixo Oy, logo tem abcissa 0: f(0) = -e^{0}+0+8 = -1+8 = 7, ou seja, A(0,\, 7).
  2. A reta AB. Tem declive -2 e passa em A, logo é y = -2x+7.
  3. A equação. O ponto B está no gráfico de f e nessa reta: -e^{\frac{x}{2}}+x^{2}+8 = -2x+7.
  4. Na calculadora. Representam-se as duas e procura-se a interseção de abcissa positiva.
    x y A B 9,35 f y = −2x+7
    O gráfico de f e a reta AB, de declive -2: cruzam-se em x \approx 9{,}35.
  5. A abcissa de B é \approx 9{,}35.A curva sobe até perto de x = 7 e depois cai a pique — a exponencial acaba por vencer o x^{2}. É essa queda que produz a interseção, já quase no fim do domínio.
Respostax_{B} \approx 9{,}35

O zero de g sai de 1+\ln x = 0 — dá para fazer de cabeça. Toma [OA] como base do triângulo: a altura é |g(x_{B})|.

  1. O ponto A. É o zero de g, e o numerador anula-se quando 1+\ln x = 0 \iff \ln x = -1 \iff x = e^{-1} \approx 0{,}37.
  2. A altura. Tomando [OA] como base, de comprimento e^{-1}, a altura é a distância de B ao eixo Ox, ou seja, |g(x_{B})|. Da área: \dfrac{e^{-1} \times |g(x_{B})|}{2} = 1 \iff |g(x_{B})| = 2e \approx 5{,}44. Como m < 0, o ponto B está abaixo do eixo, e portanto g(x_{B}) = -2e.
  3. Na calculadora. Representam-se y_{1} = g(x) e y_{2} = -2e.
    x y A B −2e 0,26 g
    O gráfico de g, o zero A e o nível -2e que a área impõe: B tem abcissa \approx 0{,}26.
  4. A abcissa de B é \approx 0{,}26.Repara que o enunciado nunca dá o declive m — e não precisa: a reta passa na origem, e o que o m<0 garante é apenas que B está abaixo do eixo. É isso que fixa o sinal de g(x_{B}).
Respostasx_{A} \approx 0{,}37 · x_{B} \approx 0{,}26

As abcissas de A e de B saem de f(x) = 1{,}2. Depois olha para a figura: [OABC] tem dois lados paralelos.

  1. Os pontos. As abcissas de A e de B são as soluções de f(x) = 1{,}2.
    x y 1,2 O A B C 1,227 3,044 f
    O trapézio [OABC]: bases \overline{OC} e \overline{AB}, altura 1{,}2.
  2. A calculadora dá A(1{,}227;\, 1{,}2) e B(3{,}044;\, 1{,}2), e daí C(3{,}044;\, 0).
  3. Que quadrilátero é. [AB] está sobre a reta y = 1{,}2 e [OC] sobre o eixo Ox: são paralelos. É um trapézio, de bases \overline{OC} \approx 3{,}044, \qquad \overline{AB} \approx 3{,}044-1{,}227 = 1{,}817, e de altura \overline{BC} = 1{,}2.
  4. A área. A_{[OABC]} = \dfrac{\overline{OC}+\overline{AB}}{2} \times \overline{BC} \approx \dfrac{3{,}044+1{,}817}{2} \times 1{,}2 \approx 2{,}92.A calculadora só dá as duas abcissas; o resto é geometria elementar. Reconhecer o trapézio poupa ter de decompor a figura em triângulos.
RespostaA_{[OABC]} \approx 2{,}92

Faz R = \lambda e L = \frac{I}{2}. O I desaparece dos dois lados — e é isso que torna a equação resolúvel sem o conhecer.

  1. A equação. Com R = \lambda e L = \dfrac{I}{2}: \dfrac{I}{2} = I(1-\lambda)^{6}e^{-3\lambda} \iff \dfrac{1}{2} = (1-\lambda)^{6}e^{-3\lambda}, porque I \neq 0.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = (1-x)^{6}e^{-3x} e y_{2} = \dfrac{1}{2}, para 0 < x < 1.
    x y 0,5 0,075 f
    A fração de potência transmitida e a meta de \frac{1}{2}: cruzam-se em \lambda \approx 0{,}075.
  3. A abcissa do ponto de interseção é \lambda = R \approx 0{,}075.Dividir por I é o passo que faz o exercício: a potência incidente não é dada, e não precisa de ser. O que interessa é a fração transmitida.
Resposta\lambda = R \approx 0{,}075

Sendo x a abcissa de F, a de G é 3x. E o tempo de F a G é t(3x)-t(x), porque t conta sempre a partir de C.

  1. As duas abcissas. Se F tem abcissa x, então G tem abcissa 3x.
  2. A equação. O tempo de C a F é t(x) e o de C a G é t(3x); logo o tempo de F a G é t(3x)-t(x), e esse é o triplo de t(x): t(3x)-t(x) = 3t(x) \iff t(3x) = 4t(x).
  3. Na calculadora. Representam-se y_{1} = t(3x) e y_{2} = 4t(x). Como 3x tem de caber em \left[0,\,96\right], a janela vai até x = 32.
    x y 18,7 y1​ y2​
    O tempo até 3x, y_{1}, contra o quádruplo do tempo até x, y_{2}: cruzam-se em x \approx 18{,}7.
  4. A abcissa do ponto de interseção é x \approx 18{,}7 metros.A armadilha é somar tempos em vez de os subtrair. Como t mede sempre desde C, o tempo de um troço interior obtém-se por diferença — tal como uma distância percorrida.
Respostax \approx 18{,}7 m

Substitui r_{1} = 7 e r_{2} = 8, e não te esqueças do intervalo que daí resulta: 1 < x < \sqrt{15}. «Excede em 9» é d-9 = x.

  1. Substituir os raios. Com r_{1} = 7 e r_{2} = 8: d = \dfrac{\sqrt{\left(225-x^{2}\right)\left(x^{2}-1\right)}}{x}, \quad \text{com } 1 < x < \sqrt{15}.
  2. A equação. O diâmetro excede x em 9 mm, ou seja, d-9 = x: \dfrac{\sqrt{\left(225-x^{2}\right)\left(x^{2}-1\right)}}{x}-9 = x.
  3. Na calculadora. Representam-se y_{1} = d-9 e y_{2} = x, no intervalo \left]1,\,\sqrt{15}\right[.
    x y 1,4 d − 9 y = x
    O diâmetro menos 9 mm e a distância entre os centros: cruzam-se em x \approx 1{,}4 mm.
  4. A abcissa do ponto de interseção é x \approx 1{,}4 mm.O intervalo não é decorativo: fora dele o radicando fica negativo. E note-se que \sqrt{15} \approx 3{,}873 — uma janela até 15 daria erro em quase toda a parte.
Respostax \approx 1{,}4 mm

Escreve o nível inicial e o nível aumentado, cada um com a sua fórmula. «1{,}4\% do quadrado» é 0{,}014 vezes o quadrado.

  1. Os dois níveis. Com intensidade I o nível é 60+10\log_{10} I; com intensidade I+150 passa a 60+10\log_{10}(I+150).
  2. A equação. O nível aumentado é 1{,}4\% do quadrado do inicial: 60+10\log_{10}(I+150) = 0{,}014\left(60+10\log_{10} I\right)^{2}.
  3. Na calculadora. Representam-se os dois membros e procura-se a interseção em \left[20,\,80\right].
    I N 50 f g
    O nível com a intensidade aumentada, f, e 1{,}4\% do quadrado do nível inicial, g: cruzam-se em I \approx 50.
  4. A abcissa é I \approx 50: a intensidade inicial é de 50 \mu\text{W/m}^{2}.Repara que a incógnita é a intensidade, não o nível. Quem resolver em N obtém um número certo para a pergunta errada — o enunciado até indica o intervalo em que I está.
Resposta50 \mu\text{W/m}^{2}

Toma [AB] como base: é vertical, e o seu comprimento é f(a)-g(a). A altura correspondente é a distância de O à reta x = a, ou seja, a.

  1. A base. Os pontos A e B têm a mesma abcissa a, e B está acima de A: \overline{AB} = f(a)-g(a) = e^{a}-\dfrac{\ln a}{a}.
  2. A altura. Relativamente a essa base, que é vertical, a altura é a distância de O à reta x = a, isto é, a.
  3. A equação. A área é \dfrac{\text{base} \times \text{altura}}{2}, e quer-se que valha 5: \dfrac{\left(e^{a}-\dfrac{\ln a}{a}\right)a}{2} = 5 \iff \dfrac{ae^{a}-\ln a}{2} = 5.
  4. Na calculadora. Representam-se y_{1} = \dfrac{xe^{x}-\ln x}{2} e y_{2} = 5, para x > 1.
    a y 5 1,8 A
    A área do triângulo em função de a e o valor 5: cruzam-se em a \approx 1{,}8.
  5. A abcissa é a \approx 1{,}8.O trabalho todo está antes da calculadora: escrever a área em função de a. Depois disso, a máquina resolve uma equação como qualquer outra.
Respostaa \approx 1{,}8

«A altitude é igual ao raio da calote» é h = r. Substitui na relação e fica uma equação só em h. A percentagem vem depois, por substituição.

  1. A equação. Com R = 6400 e r = h, a relação dada torna-se h = \dfrac{6400}{h+6400}\sqrt{h^{2}+12\,800h}.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = x e y_{2} = \dfrac{6400\sqrt{x^{2}+12\,800x}}{x+6400}, para 0 < x < 6400.
    h y 5371,44 f g
    A bissetriz y = h e o raio da calote, g: cruzam-se em h = r \approx 5371{,}44 km.
  3. A abcissa do ponto de interseção é h = r \approx 5371{,}44 km.
  4. A percentagem. 50\left(1-\sqrt{1-\left(\dfrac{5371{,}44}{6400}\right)^{2}}\right) \approx 22{,}82, ou seja, cerca de 23\% da superfície terrestre.Duas fases num só item: a calculadora dá r, e só depois se substitui na fórmula da percentagem. Responder 5371 é responder à pergunta errada.
Resposta23\%

A taxa média de variação em \left[0,\,t_{2}\right] é \dfrac{T(t_{2})-T(0)}{t_{2}-0}. Simplifica antes de ir para a máquina — o 20 desaparece.

  1. A taxa média. Com T(0) = 20+100 = 120, \dfrac{T(t_{2})-T(0)}{t_{2}} = \dfrac{20+100e^{-0{,}04t_{2}}-120}{t_{2}} = \dfrac{100e^{-0{,}04t_{2}}-100}{t_{2}}.
  2. A equação. \dfrac{100e^{-0{,}04t_{2}}-100}{t_{2}} = -2{,}4.
  3. Na calculadora. Representam-se y_{1} = \dfrac{100e^{-0{,}04x}-100}{x} e y_{2} = -2{,}4, em \left]0,\,60\right].
    t y −2,4 28,157 f
    A taxa média de variação em \left[0,\,t\right] e o valor -2{,}4: cruzam-se em t \approx 28{,}157.
  4. A abcissa é t_{2} \approx 28{,}157 minutos. Como 0{,}157 \times 60 \approx 9 segundos, são 28 minutos e 9 segundos.A taxa média é sempre negativa — a substância só arrefece — e vai-se aproximando de zero: quanto maior o intervalo, mais suave é a descida média. É isso que torna a interseção única.
Resposta28 min 9 s

«Uma hora antes» é N(t_{1}-1). «Mais meio milhar» é +0{,}5, porque N já está em milhares.

  1. A equação. Uma hora antes de t_{1} havia N(t_{1}-1) milhares de bactérias, e em t_{1} há meio milhar a mais: N(t_{1}) = N(t_{1}-1)+0{,}5.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = N(x) e y_{2} = N(x-1)+0{,}5.
    t N 2,089 f g
    A população, f, contra a população uma hora antes mais meio milhar, g: cruzam-se em t \approx 2{,}089.
  3. A abcissa do ponto de interseção é t_{1} \approx 2{,}089 horas.
  4. Como 0{,}089 \times 60 \approx 5 minutos, o instante é 2 horas e 5 minutos depois da colocação.A unidade de N é o milhar — «meio milhar» é 0{,}5 e não 500. Ler as unidades da variável dependente evita metade dos erros nestes modelos.
Resposta2 h 5 min

Diminuir 50\% da distância é passar de d para \frac{d}{2}. E «a altura diminui 30 centímetros» é h(d)-0{,}3 — em metros, como o resto.

  1. A equação. A metade da distância corresponde à altura h\left(\frac{d}{2}\right), e essa altura é 30 cm menor do que h(d): h\left(\dfrac{d}{2}\right) = h(d)-0{,}3.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = h\left(\frac{x}{2}\right) e y_{2} = h(x)-0{,}3, na janela \left[0,\,10\right].
    x y 7,93 f g
    A altura a meia distância, f, contra a altura menos 30 cm, g: cruzam-se em d \approx 7{,}93.
  3. A abcissa do ponto de interseção é d \approx 7{,}93, ou seja, 7{,}9 metros.As unidades são o que este item mede: a altura vem em metros e o enunciado dá a variação em centímetros. Quem escrever h(d)-30 obtém um valor absurdo — e o desenho, com o cabo entre 4{,}7 e 6 metros, mostra logo que sim.
Respostad \approx 7{,}9 m

A distância percorrida entre t e t+3 é a(t+3)-a(t). E repara no domínio: se a só está definida até 8, até onde pode ir o t?

  1. A equação. No instante t o foguete está a a(t) metros do solo; três segundos depois está a a(t+3). A distância percorrida nesse intervalo é a diferença, e quer-se que valha 25: a(t+3)-a(t) = 25.
  2. A janela. Como D_{a} = \left[0,\,8\right], para a(t+3) fazer sentido é preciso t+3 \leq 8, ou seja t \in \left[0,\,5\right]. É essa a janela.
  3. Na calculadora. Representam-se y_{1} = a(x+3)-a(x) e y_{2} = 25.
    t y 25 1,8 g
    A distância percorrida nos três segundos seguintes, g, e a meta de 25 m: cruzam-se em t \approx 1{,}8.
  4. A abcissa é t \approx 1{,}8 segundos.O domínio não é um pormenor de rigor: fora de \left[0,\,5\right] a máquina calcularia o logaritmo de um número negativo e devolveria erro — ou, pior, um valor sem significado.
Respostat \approx 1{,}8 s

«Duplicar a taxa» é p(2j); «aumentar 120 euros» é p(j)+120. A equação escreve-se sozinha.

  1. A equação. Com a taxa duplicada a prestação é p(2j), e essa prestação é 120 euros maior do que a inicial: p(2j) = p(j)+120.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = p(2x) e y_{2} = p(x)+120, e procura-se a abcissa do ponto de interseção.
    j p 3,281 g h
    A prestação com a taxa duplicada, g, contra a prestação mais 120 €, h: cruzam-se em j \approx 3{,}281.
  3. A abcissa é j \approx 3{,}281: a taxa de juro anual inicial é de 3{,}281\%.Não é preciso saber quanto foi pedido ao banco nem por quantos meses — a expressão já traz isso lá dentro. O que o item pede é traduzir duas frases em português numa igualdade.
Respostaj \approx 3{,}281\%

Diminuir 5\% é ficar com 95\%: m(3a) = 0{,}95\,m(a). E a amplitude de \left[a,\,3a\right] é 2a, não a.

  1. A equação. Se a massa diminui 5\% entre a e 3a, então no instante 3a resta 95\% da massa que havia em a: m(3a) = 0{,}95 \times m(a).
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = 0{,}95\,m(x) e y_{2} = m(3x), na janela \left]0,\,1\right[ — o enunciado diz que a ocorre no primeiro minuto.
    x y 0,527 g h
    A massa reduzida a 95\%, g, contra a massa ao triplo do tempo, h: cruzam-se em x \approx 0{,}527.
  3. A abcissa do ponto de interseção é a \approx 0{,}527 minutos.
  4. A amplitude. 3a-a = 2a \approx 1{,}054 minutos. Como 0{,}054 \times 60 \approx 3 segundos, a amplitude é 1 minuto e 3 segundos.Duas armadilhas num só item: responder a em vez de 2a, e arredondar a a duas casas antes de multiplicar — daí o enunciado exigir três casas nos cálculos intermédios.
Resposta1 min 3 s

Chama k ao instante. «Passadas quatro semanas» é G(k+4); «metade do que havia» é \frac{G(k)}{2}.

  1. A equação. Sendo k o instante procurado, o número de gafanhotos quatro semanas depois é G(k+4), e metade do número existente em k é \dfrac{G(k)}{2}. Logo \dfrac{G(k)}{2} = G(k+4).
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = \dfrac{G(x)}{2} e y_{2} = G(x+4), e procura-se a abcissa do ponto de interseção.
    x y 4,72 g h
    Metade do enxame, g, contra o enxame quatro semanas depois, h: cruzam-se em x \approx 4{,}72.
  3. A abcissa é x \approx 4{,}72 semanas.
  4. Em dias: 4{,}72 \times 7 \approx 33 dias.Não se resolve G(x) = \frac{1}{2} nem coisa parecida: compara-se a função consigo mesma, deslocada. Escrever as duas funções antes de tocar na máquina é o que faz o exercício.
Resposta33 dias

O valor total não é N(p): é o preço vezes o número de unidades vendidas, p \times N(p).

  1. A equação. O valor total das vendas, em centenas de euros, é p \times N(p). Procura-se, então, a solução de p \times N(p) = 4000, \quad \text{com } 2 \leq p \leq 10.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = p \times N(p) e y_{2} = 4000, na janela \left[2,\,10\right].
    p V 2 4,73 10 4000 V
    O valor total p \times N(p) em \left[2,\,10\right]: vale 4000 em p \approx 4{,}73.
  3. A abcissa do ponto de interseção é p \approx 4{,}73.
  4. Como p está em centenas de euros, o preço é 4{,}73 \times 100 \approx 473 euros.Dentro de \left[2,\,10\right] a curva sobe até perto de p = 3 e desce depois; começa acima de 4000, pelo que só a atravessa uma vez — o «único preço» do enunciado.
Resposta473 euros

A condição é C(t) > 15. O que se pede não é um instante: é a amplitude do intervalo em que ela se verifica.

  1. A condição. O efeito é significativo enquanto C(t) > 15.
  2. Na calculadora. Representam-se y_{1} = C(t) e y_{2} = 15. A curva sobe acima da reta e volta a descer: há dois pontos de interseção.
    t C 15 0,166 10,600 C
    A concentração acima de 15 mg/L entre t \approx 0{,}166 e t \approx 10{,}600.
  3. As abcissas são t_{1} \approx 0{,}166 e t_{2} \approx 10{,}600, e a condição verifica-se em \left]0{,}166;\,10{,}600\right[.
  4. A amplitude. 10{,}600 - 0{,}166 = 10{,}434 \text{ horas}. Como 0{,}434 \times 60 \approx 26 minutos, o efeito dura 10 horas e 26 minutos.O erro clássico é responder 10{,}600 horas, que é o instante em que o efeito acaba, não o tempo que dura. Ler o que se pede é meio exercício.
Resposta10 h 26 min

Começa pelo total depositado: 25 anos a 500 € cada. O acréscimo de 20\% dá a meta, e a equação é C(j) igual a essa meta.

  1. A meta. A Inês deposita 500 € por ano durante 25 anos, ou seja, 500 \times 25 = 12\,500 € ao todo. Um acréscimo de 20\% sobre esse total é 0{,}2 \times 12\,500 = 2500 €, pelo que o capital final pretendido é 12\,500 + 2500 = 15\,000 \text{ euros}.
  2. A equação. A taxa procurada é a solução de C(j) = 15\,000.
  3. Na calculadora. Representam-se y_{1} = C(j) e y_{2} = 15\,000, e procura-se a abcissa do ponto de interseção.
    j C 15 000 1,375 C
    O capital ao fim de 25 anos e a meta de 15\,000 €: cruzam-se em j \approx 1{,}375.
  4. A abcissa é j \approx 1{,}375: a Inês deve negociar uma taxa de juro anual de 1{,}375\%.A interseção é única, e vê-se porquê: quando j \to 0^{+}, C(j) tende para 12\,500 — os depósitos sozinhos, sem juro nenhum — e a partir daí só cresce. Uma função crescente atravessa o nível 15\,000 uma só vez.
Respostaj \approx 1{,}375\%

Exercícios de Exame · Bisseção e Newton-Raphson

Doze itens de Prova Nacional e dos Itens das Turmas Piloto sobre a resolução aproximada de equações. Repara que quatro deles perguntam onde é que o método falha — é aí que se percebe o que cada um dos dois algoritmos garante.

Item 210 construçãoExame 2026 · 1.ª Fase

Considera a função f, de domínio \left]0,\,+\infty\right[, definida por

f(x) = x^{4}\ln x - 1

A função f é contínua e tem exatamente um zero no intervalo \left]1,\,2\right[.

Determina, utilizando o método da bisseção, uma aproximação desse zero, com um erro inferior a 0{,}1.

Item 211 construçãoExame 2026 · 2.ª Fase

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = x^{2}e^{x}-\dfrac{1}{2}.

A função f é contínua e tem exatamente um zero no intervalo \left]-2,\,0\right[.

Determina, pelo método de Newton-Raphson, a aproximação desse zero obtida na primeira iteração, partindo do valor inicial x_{0} = -1. Apresenta o resultado arredondado às milésimas.

Item 212 construçãoItens das Turmas Piloto

Considera as funções reais de variável real definidas por f(x) = 2^{x} e por g(x) = x^{2}.

Pretende-se obter uma aproximação da abcissa do ponto de interseção dos gráficos de f e de g, no intervalo [-1;\,-0{,}5].

Aplica o método de Newton-Raphson com duas iterações a partir de um valor inicial no intervalo [-1;\,-0{,}5] e apresenta o valor obtido depois da segunda iteração, com arredondamento às milésimas.

Item 213 construçãoItens das Turmas Piloto

Considera as funções reais de variável real definidas por f(x) = \ln x+\dfrac{1}{2} e por g(x) = -x^{2}.

Pretende-se obter a abcissa do ponto de interseção dos gráficos de f e de g, no intervalo [0;\,1].

Determina, recorrendo ao método da bisseção, um valor aproximado dessa abcissa com erro inferior a 0{,}2.

Item 214 construçãoItens das Turmas Piloto

Em alguns dos primeiros modelos de computadores digitais a determinação do inverso de um número recorria ao método de Newton-Raphson.

Considera o problema da determinação do inverso de 7, solução da equação 7-\dfrac{1}{x} = 0, utilizando o método de Newton-Raphson.

Averigua a possibilidade de obter um valor aproximado da solução da equação, partindo do valor inicial \dfrac{2}{7}. Justifica a tua resposta.

Item 215 construçãoItens das Turmas Piloto

Considera ainda o problema da determinação do inverso de 7, solução da equação 7-\dfrac{1}{x} = 0.

Na figura está representada graficamente a função f, definida em \mathbb{R} \setminus \{0\} por f(x) = 7-\dfrac{1}{x}, e a reta r, tangente ao gráfico num ponto de abcissa negativa.

x y r f
O gráfico de f(x) = 7-\dfrac{1}{x} e a reta r, tangente ao gráfico num ponto de abcissa negativa.

a) Mostra que a fórmula iteradora do método de Newton-Raphson pode ser dada pela expressão x_{n+1} = x_{n}\left(2-7x_{n}\right).b) Justifica que, partindo de um valor inicial negativo, esta fórmula produz sempre valores negativos, que não se aproximam da solução da equação.

Item 216 construçãoItens das Turmas Piloto

Considera as funções reais de variável real definidas por f(x) = \ln(x+2) e por g(x) = x^{2}.

Pretende-se obter uma aproximação da abcissa do ponto de interseção dos gráficos de f e de g, no intervalo [1;\,2].

Aplica o método de Newton-Raphson com duas iterações, a partir de um valor inicial no intervalo indicado, e apresenta o valor obtido depois da segunda iteração, com arredondamento às milésimas.

Item 217 construçãoItens das Turmas Piloto

Considera a função g, definida em \mathbb{R} por

g(x) = -1+\dfrac{1}{x^{2}-4x+5}

Recorrendo à representação gráfica de g, justifica por que razão não é possível utilizar o método da bisseção para determinar o zero de g.

x y 2 −1
O gráfico de g: toca o eixo Ox em x = 2 e é negativo em todo o resto.
Item 218 construçãoItens das Turmas Piloto

Considera a função f, definida em \mathbb{R} por f(x) = x^{5}+x-1, da qual se sabe que tem apenas um zero.

Para obter um valor aproximado do zero de f, usando o método de Newton-Raphson, foi utilizado o programa descrito em linguagem natural por:

Iniciar com x = 0.8
Repetir n vezes:
    x = x - f(x) / f'(x)
Escrever x

Se n = 3, qual é o valor que o programa devolve no final como aproximação do zero de f? Apresenta o resultado arredondado com 5 casas decimais.

Item 219 construçãoItens das Turmas Piloto

Considera a função f definida em \mathbb{R} por f(x) = x^{2}-a, onde a > 0.

Pretende-se determinar uma solução da equação f(x) = 0, utilizando o método de Newton-Raphson.

Mostra que a aplicação deste método conduz à fórmula iterativa

x_{n+1} = \dfrac{1}{2}\left(x_{n}+\dfrac{a}{x_{n}}\right)
Item 220 construçãoItens das Turmas Piloto

Ao aplicar o método de Newton-Raphson para obter uma boa aproximação do zero de uma função, procuram-se pontos de interseção das retas tangentes ao seu gráfico com o eixo das abcissas — o que não é possível quando o ponto de tangência corresponde a um extremo relativo da função.

Na figura está representada parte do gráfico da função f definida em \mathbb{R} por f(x) = \dfrac{1}{3}x^{3}-x+2 e um ponto T, de abcissa a, do seu gráfico. A reta tangente ao gráfico de f em T interseta o eixo Ox no ponto de abcissa b.

x y T a b f
O gráfico de f(x) = \dfrac{1}{3}x^{3}-x+2 e a tangente em T, de abcissa a.

Sabe-se que b = \dfrac{2a^{3}-6}{3a^{2}-3} representa o primeiro valor iterado ao aplicar o método de Newton-Raphson a partir do valor inicial a.

Utiliza a calculadora gráfica para determinar um dos valores de a que não permitem obter o segundo valor iterado.

Item 221 construçãoItens das Turmas Piloto

Com um erro inferior a 0{,}01 foi possível utilizar, com eficácia, o método da bisseção a partir do intervalo \left]-3,\,1\right[.

Quantas iterações tiveram de ser aplicadas, no mínimo, para garantir a aproximação do zero com a precisão indicada?

Considera que nenhum dos extremos dos intervalos iterados é zero da função e que se considerou o valor médio de cada intervalo iterado como aproximação do zero.

Antes de calcular, decide quantos passos são precisos: a amplitude é 1, e o erro ao fim de n passos é \dfrac{1}{2^{n+1}}.

  1. Quantos passos. A amplitude inicial é 1. Tomando o ponto médio, o erro ao fim de n passos é no máximo \dfrac{1}{2^{n+1}}. De \dfrac{1}{2^{n+1}} < 0{,}1 vem 2^{n+1} > 10, ou seja n \geq 3.
  2. Cálculos auxiliares. f(1) = 0-1 = -1 e f(2) = 16\ln 2-1 \approx 10{,}09.
  3. Passo 1. m_{1} = 1{,}5, f(1{,}5) = 5{,}0625\ln 1{,}5-1 \approx 1{,}053 > 0. Como f(1) < 0, o zero está em \left]1;\,1{,}5\right[.
  4. Passo 2. m_{2} = 1{,}25, f(1{,}25) \approx -0{,}455 < 0. O zero está em \left]1{,}25;\,1{,}5\right[.
  5. Passo 3. m_{3} = 1{,}375, f(1{,}375) \approx 0{,}138 > 0. O zero está em \left]1{,}25;\,1{,}375\right[.
  6. Tomando o ponto médio, x \approx 1{,}3125, com erro máximo \dfrac{1{,}375-1{,}25}{2} = 0{,}0625 < 0{,}1.
Respostax \approx 1{,}3125, com erro \leq 0{,}0625

Primeiro f', com a regra do produto. Depois é uma substituição na fórmula x_{1} = x_{0}-\dfrac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}.

  1. Cálculo auxiliar: a derivada. f'(x) = 2xe^{x}+x^{2}e^{x} = xe^{x}(2+x).
  2. Valores em x_{0} = -1. f(-1) = e^{-1}-\frac{1}{2} \approx 0{,}3679-0{,}5 = -0{,}1321, f'(-1) = (-1)e^{-1}(2-1) = -e^{-1} \approx -0{,}3679.
  3. A iteração. x_{1} = -1-\frac{-0{,}1321}{-0{,}3679} \approx -1-0{,}3591 = -1{,}3591.
  4. Arredondando às milésimas, x_{1} \approx -1{,}359.
Respostax_{1} \approx -1{,}359

Interseção de dois gráficos: função diferença. Com h = f-g, procura-se um zero de h.

  1. Função diferença. h(x) = 2^{x}-x^{2}, e h'(x) = 2^{x}\ln 2-2x.
  2. Valor inicial. Toma-se, por exemplo, x_{0} = -0{,}9.
  3. Primeira iteração. x_{1} = -0{,}9-\frac{2^{-0{,}9}-0{,}81}{2^{-0{,}9}\ln 2+1{,}8} \approx -0{,}774.
  4. Segunda iteração. x_{2} = -0{,}774-\frac{2^{-0{,}774}-0{,}774^{2}}{2^{-0{,}774}\ln 2+1{,}548} \approx -0{,}767.
  5. A abcissa procurada é aproximadamente -0{,}767.Com outro valor inicial no mesmo intervalo obtém-se o mesmo x_{2} às milésimas — é isso que torna o método fiável quando arranca perto da solução.
Respostax_{2} \approx -0{,}767

Função diferença h = f-g. Depois conta os passos: amplitude 1, erro \dfrac{1}{2^{n+1}} < 0{,}2.

  1. Função diferença. h(x) = \ln x+\dfrac{1}{2}+x^{2}.
  2. Nos extremos. Quando x \to 0^{+}, h(x) \to -\infty < 0; e h(1) = 0+0{,}5+1 = 1{,}5 > 0.
  3. Quantos passos. De \dfrac{1}{2^{n+1}} < 0{,}2 vem 2^{n+1} > 5, ou seja n \geq 2.
  4. Passo 1. m_{1} = 0{,}5, h(0{,}5) = \ln 0{,}5+0{,}5+0{,}25 \approx 0{,}057 > 0. O zero está em \left]0;\,0{,}5\right[.
  5. Passo 2. m_{2} = 0{,}25, h(0{,}25) \approx -1{,}386+0{,}5+0{,}0625 = -0{,}824 < 0. O zero está em \left]0{,}25;\,0{,}5\right[.
  6. Tomando o ponto médio, x \approx 0{,}375, com erro máximo 0{,}125 < 0{,}2.
Respostax \approx 0{,}375, com erro \leq 0{,}125

Escreve primeiro a fórmula iteradora, simplificando-a. Depois substitui x_{0} = \frac{2}{7} e vê o que acontece à iteração seguinte.

  1. Cálculo auxiliar. Com f(x) = 7-\dfrac{1}{x}, vem f'(x) = \dfrac{1}{x^{2}}.
  2. Fórmula iteradora. x_{n+1} = x_{n}-\frac{7-\dfrac{1}{x_{n}}}{\dfrac{1}{x_{n}^{2}}} = x_{n}-x_{n}^{2}\left(7-\frac{1}{x_{n}}\right) = x_{n}\left(2-7x_{n}\right).
  3. Com x_{0} = \dfrac{2}{7}. x_{1} = \frac{2}{7}\left(2-7 \times \frac{2}{7}\right) = \frac{2}{7} \times 0 = 0.
  4. Ora em x = 0 a função f nem está definida, e f'(0) também não: a iteração seguinte é impossível.
  5. Logo, partindo de \dfrac{2}{7}, não é possível obter uma aproximação da solução por este método.O valor inicial não é detalhe: é parte do método. Uma escolha infeliz pode bloqueá-lo logo ao primeiro passo.
RespostaNão: x_{1} = 0, onde f e f' não estão definidas

Em b), supõe x_{n} < 0 e estuda o sinal de cada fator de x_{n}\left(2-7x_{n}\right).

  1. a) Com f(x) = 7-\dfrac{1}{x} tem-se f'(x) = \dfrac{1}{x^{2}}, logo x_{n+1} = x_{n}-\frac{7-\dfrac{1}{x_{n}}}{\dfrac{1}{x_{n}^{2}}} = x_{n}-7x_{n}^{2}+x_{n} = 2x_{n}-7x_{n}^{2} = x_{n}\left(2-7x_{n}\right).
  2. b) Suponhamos x_{n} < 0. Então -7x_{n} > 0, logo 2-7x_{n} > 2 > 0.
  3. O produto de um número negativo por um positivo é negativo: x_{n+1} = x_{n}\left(2-7x_{n}\right) < 0.
  4. Por indução, todos os termos seguintes são negativos. Ora a solução da equação é \dfrac{1}{7} > 0: a sucessão nunca se lhe pode aproximar.
  5. Geometricamente, a figura explica porquê: no ramo da esquerda a tangente corta Ox ainda mais à esquerda, e o método afasta-se em vez de convergir.
Respostasa) x_{n+1} = x_{n}(2-7x_{n}) · b) x_{n} < 0 \Rightarrow x_{n+1} < 0, mas a solução é \frac{1}{7} > 0

Função diferença h(x) = \ln(x+2)-x^{2}, com h'(x) = \dfrac{1}{x+2}-2x.

  1. Função diferença. h(x) = \ln(x+2)-x^{2} e h'(x) = \dfrac{1}{x+2}-2x.
  2. Valor inicial. Toma-se, por exemplo, x_{0} = 1{,}1.
  3. Primeira iteração. x_{1} = 1{,}1-\frac{\ln 3{,}1-1{,}21}{\dfrac{1}{3{,}1}-2{,}2} \approx 1{,}058.
  4. Segunda iteração. x_{2} = 1{,}058-\frac{\ln 3{,}058-1{,}058^{2}}{\dfrac{1}{3{,}058}-2{,}116} \approx 1{,}057.
  5. A abcissa procurada é aproximadamente 1{,}057.
Respostax_{2} \approx 1{,}057

Completa o quadrado no denominador: x^{2}-4x+5 = (x-2)^{2}+1. O que é que isso diz sobre o sinal de g?

  1. Cálculo auxiliar. x^{2}-4x+5 = (x-2)^{2}+1 \geq 1, para todo o x.
  2. Logo 0 < \dfrac{1}{(x-2)^{2}+1} \leq 1, e portanto -1 < g(x) \leq 0.
  3. O único zero é x = 2 (onde o denominador vale 1); em todo o resto g(x) < 0.
  4. O método da bisseção precisa de um intervalo [a,\,b] onde g(a) \times g(b) < 0. Como g nunca é positiva, não existe tal intervalo: o método não pode ser aplicado.A bisseção só encontra zeros com mudança de sinal. Um zero em que a função apenas toca o eixo escapa-lhe sempre.
Respostag(x) \leq 0 em \mathbb{R}: não há mudança de sinal

Três iterações, uma de cada vez. f'(x) = 5x^{4}+1. Guarda muitas casas nos cálculos intermédios.

  1. Cálculo auxiliar. f'(x) = 5x^{4}+1.
  2. Primeira iteração. f(0{,}8) = 0{,}32768+0{,}8-1 = 0{,}12768 e f'(0{,}8) = 3{,}048, logo x_{1} = 0{,}8-\frac{0{,}12768}{3{,}048} \approx 0{,}7581102.
  3. Segunda iteração. x_{2} \approx 0{,}7548948.
  4. Terceira iteração. x_{3} \approx 0{,}7548777.
  5. Arredondando a 5 casas decimais, o programa escreve 0{,}75488.Repara na rapidez: da primeira para a terceira iteração ganharam-se quatro algarismos. É a assinatura do método de Newton.
Resposta0{,}75488

Substitui na fórmula e reduz ao mesmo denominador.

  1. Cálculo auxiliar. f'(x) = 2x.
  2. A fórmula. x_{n+1} = x_{n}-\frac{x_{n}^{2}-a}{2x_{n}} = \frac{2x_{n}^{2}-x_{n}^{2}+a}{2x_{n}} = \frac{x_{n}^{2}+a}{2x_{n}}.
  3. Separar a fração. \frac{x_{n}^{2}+a}{2x_{n}} = \frac{x_{n}}{2}+\frac{a}{2x_{n}} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right), como se queria mostrar.
  4. É a fórmula com que os babilónios extraíam raízes quadradas, mil anos antes de Newton — o chamado método de Herão.
Respostax_{n+1} = \frac{1}{2}\left(x_{n}+\frac{a}{x_{n}}\right)

O segundo valor iterado é b-\dfrac{f(b)}{f'(b)}: falha quando f'(b) = 0. Escreve essa condição em função de a.

  1. Cálculo auxiliar. f'(x) = x^{2}-1.
  2. A condição. O segundo iterado é b-\dfrac{f(b)}{f'(b)}, e só falha quando f'(b) = 0, ou seja \left(\frac{2a^{3}-6}{3a^{2}-3}\right)^{2}-1 = 0.
  3. Resolução gráfica. Representando y = \left(\dfrac{2x^{3}-6}{3x^{2}-3}\right)^{2}-1 na calculadora e procurando os zeros, obtêm-se, entre outros, a \approx 1{,}91 e a \approx 1{,}27.
  4. Para a \approx 1{,}91 tem-se b \approx 1, ponto onde a tangente é horizontal: não corta o eixo Ox e o método pára.
Respostaa \approx 1{,}91 (ou a \approx 1{,}27)

A amplitude inicial é 4. Tomando o ponto médio, a n-ésima aproximação tem erro inferior a \dfrac{4}{2^{n}}. Resolve a inequação com logaritmos.

  1. Amplitude. 1-(-3) = 4.
  2. Erro. A 1.^{\text{a}} aproximação (ponto médio do intervalo inicial) tem erro inferior a \dfrac{4}{2} = 2; a 2.^{\text{a}}, a \dfrac{4}{2^{2}} = 1; e, em geral, a n-ésima tem erro inferior a \dfrac{4}{2^{n}}.
  3. A inequação. \frac{4}{2^{n}} < 0{,}01 \iff 2^{n} > 400 \iff n > \log_{2} 400 = \frac{\ln 400}{\ln 2} \approx 8{,}64.
  4. Como n é natural, são precisas, no mínimo, 9 iterações.Confirma-se: 2^{8} = 256 < 400 e 2^{9} = 512 > 400.
Resposta9 iterações