∞Astrolábio · Trigonometria · revisão do 11.º ano
Matemática A · revisão do 11.º ano · Aprendizagens Essenciais

Trigonometria

Este capítulo é revisão do 11.º ano, e só isso: razões trigonométricas e resolução de triângulos, ângulo e arco generalizados, a circunferência trigonométrica, o radiano, a redução ao primeiro quadrante, as três funções e os fenómenos periódicos. As Aprendizagens Essenciais do 12.º não têm tema de Trigonometria — o que dela lá aparece está arrumado onde as AE o põem, dentro do tema Funções. Teoria, laboratórios interativos e exercícios com resolução passo a passo.

\operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 1 Pitágoras, escrito na circunferência de raio um.
0exercícios
4laboratórios interativos
7secções
0%concluído
R1

Razões trigonométricas e resolução de triângulos

O degrau mais baixo, e o que mais custa quando falta: seno, cosseno e tangente num triângulo retângulo, os valores exatos de 30^{\circ}, 45^{\circ} e 60^{\circ}, e a arte de partir um triângulo qualquer em dois que já se sabem resolver.

Aprendizagens Essenciais · 11.º ano
  • Resolver problemas variados, ligados a situações concretas, que permitam recordar e aplicar métodos trigonométricos estudados no 3.º ciclo do Ensino Básico, na resolução de triângulos retângulos e não retângulos.

1 · As três razões

Num triângulo retângulo, fixado um dos ângulos agudos, os três lados ganham nome: a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e dos outros dois um é oposto ao ângulo escolhido e o outro adjacente.

α A B C cateto adjacente a α cateto oposto a α hipotenusa
No triângulo retângulo, cada razão compara dois dos três lados. Qual é o oposto e qual é o adjacente depende do ângulo que se escolheu.
Definição · seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos{\alpha} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}, \quad \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}.

Os três valores dependem só de {\alpha}, e não do triângulo: dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo agudo são semelhantes, e a semelhança não muda as razões entre lados.

Da definição sai imediatamente que \operatorname{tg}{\alpha} = \dfrac{\operatorname{sen}{\alpha}}{\cos{\alpha}} — basta dividir as duas primeiras. E, pelo teorema de Pitágoras aplicado a um triângulo de hipotenusa 1, sai a igualdade que se usa mais vezes do que qualquer outra:

Fórmula fundamental da trigonometria \operatorname{sen}^{2}{\alpha} + \cos^{2}{\alpha} = 1.

Escreve-se \operatorname{sen}^{2}{\alpha} em vez de \left(\operatorname{sen}{\alpha}\right)^{2}: é uma abreviatura, não uma potência do ângulo.

2 · Os três ângulos que se sabem de cor

Um triângulo equilátero partido ao meio dá os ângulos de 30^{\circ} e 60^{\circ}; meio quadrado dá o de 45^{\circ}. São os três únicos ângulos cujos valores exatos se pedem sem calculadora.

{\alpha}30^{\circ}45^{\circ}60^{\circ}
\operatorname{sen}{\alpha}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}
\cos{\alpha}\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}
\operatorname{tg}{\alpha}\frac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}
Uma linha só para decorar

Os senos de 30^{\circ}, 45^{\circ} e 60^{\circ} são \frac{\sqrt{1}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}. Os cossenos são os mesmos, lidos ao contrário — porque 30^{\circ} e 60^{\circ} são complementares, e o cosseno de um ângulo é o seno do seu complementar.

Exemplo 1 Resolver um triângulo retângulo

No triângulo [ABC], retângulo em C, sabe-se que \overline{AC} = 7 e que o ângulo em A tem 60^{\circ}. Determina \overline{BC} e \overline{AB}.

  1. Nomear os lados a partir de A. O cateto [AC] é adjacente ao ângulo de 60^{\circ}, [BC] é oposto e [AB] é a hipotenusa.
  2. O cateto oposto, pela tangente. \operatorname{tg}60^{\circ} = \frac{\overline{BC}}{7} \iff \overline{BC} = 7\sqrt{3}.
  3. A hipotenusa, pelo cosseno. \cos 60^{\circ} = \frac{7}{\overline{AB}} \iff \frac{1}{2} = \frac{7}{\overline{AB}} \iff \overline{AB} = 14.
  4. Confirmar. 7^{2}+\left(7\sqrt{3}\right)^{2} = 49+147 = 196 = 14^{2}.Escolher a razão certa é escolher aquela em que só há uma incógnita. Aqui a tangente liga os dois catetos e o cosseno liga o adjacente à hipotenusa: nenhuma das duas obriga a calcular primeiro a outra.
Resposta\overline{BC} = 7\sqrt{3} · \overline{AB} = 14

3 · Triângulos que não são retângulos

Não é preciso teoria nova. Um triângulo qualquer parte-se em dois retângulos por uma altura, e cada pedaço resolve-se com as três razões.

α β A B C h H
Um triângulo que não é retângulo parte-se num que é. A altura \overline{CH} é o lado comum aos dois, e é por ela que a informação passa de um para o outro.

O método é sempre o mesmo: escolher a altura que caia sobre o lado conhecido, escrever os dois pedaços da base em função de h, e usar que a soma dos dois é o lado inteiro.

Possível aprofundamento (AE)

As Aprendizagens Essenciais colocam a lei dos senos e a lei dos cossenos nos possíveis aprofundamentos — não no essencial. Quem as souber pode usá-las; quem não as souber resolve tudo o que é pedido pelo método da altura.

4 · Onde isto aparece

Medir o que não se pode alcançar é o problema original da trigonometria: a altura de uma torre, a largura de um rio, a distância a um navio. Em todos, o desenho vem primeiro e a conta vem depois.

α d h P
O ângulo de elevação mede-se a partir da horizontal. Com ele e a distância no chão, h = d\operatorname{tg}{\alpha} — e a torre fica medida sem lá se ir.
Python A tabela dos ângulos notáveis, sem decorar 
from math import sin, cos, tan, radians, sqrt

print('graus     sen        cos        tg')
for g in (30, 45, 60):
    print('%3d   %9.6f  %9.6f  %9.6f' % (g, sin(radians(g)), cos(radians(g)), tan(radians(g))))

print()
print('sqrt(3)/2 =', sqrt(3) / 2)
print('sqrt(2)/2 =', sqrt(2) / 2)
print('sqrt(3)/3 =', sqrt(3) / 3)

Compara linha a linha: \operatorname{sen}60^{\circ} e \frac{\sqrt{3}}{2} têm os mesmos algarismos. Acrescenta 0 e 90 à lista e vê o que o Python faz à tangente de 90^{\circ}.

Exercícios propostos

Treze exercícios sobre triângulos. Os cinco primeiros são aplicação direta das definições; os últimos escrevem medidas em função de um ângulo, que é o formato em que isto reaparece no Exame.

A cor do título dá o grau de dificuldade: verde, aplicação direta · amarelo, exige uma ideia intermédia · vermelho, justificação ou generalização, ao nível do Exame.

Exercício 1§R1 · razões no triângulo retângulo

No triângulo [ABC], retângulo em B, sabe-se que \overline{AB} = 8 e \overline{BC} = 6.

a) Determina \overline{AC}.b) Determina \operatorname{sen} {\alpha}, \cos {\alpha} e \operatorname{tg} {\alpha}, sendo {\alpha} a amplitude do ângulo BAC.

Exercício 2§R1 · valores exatos

Sem calculadora, determina o valor exato de cada expressão.

a) \operatorname{sen} 30^{\circ} + \cos 60^{\circ}b) \operatorname{tg} 45^{\circ} \times \cos 30^{\circ}c) \cos^{2} 45^{\circ} + \operatorname{sen}^{2} 45^{\circ}d) \dfrac{\operatorname{sen} 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}}

Exercício 3§R1 · resolver um triângulo retângulo

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 12 e um dos ângulos agudos tem 35^{\circ} de amplitude.

Determina, com arredondamento às décimas, a medida dos dois catetos.

Exercício 4§R1 · ângulo de elevação

De um ponto do solo, a 40 metros da base de um farol, vê-se o topo do farol sob um ângulo de elevação de 28^{\circ}.

Determina a altura do farol, com arredondamento às décimas do metro.

Exercício 5§R1 · escolha múltipla

Num triângulo retângulo, um dos ângulos agudos tem seno igual a \dfrac{5}{13}.

O cosseno desse ângulo é igual a:

  • (A)\dfrac{8}{13}
  • (B)\dfrac{12}{13}
  • (C)\dfrac{13}{5}
  • (D)\dfrac{5}{12}
Exercício 6§R1 · do valor de uma razão para as outras

Num triângulo retângulo, um ângulo agudo {\alpha} verifica \operatorname{tg}{\alpha} = \dfrac{3}{4}.

Determina, sem calculadora, \operatorname{sen}{\alpha} e \cos{\alpha}.

Exercício 7§R1 · triângulo não retângulo

No triângulo [ABC] sabe-se que \overline{AB} = 10, que o ângulo em A tem 40^{\circ} e que o ângulo em B tem 65^{\circ}.

Determina a altura relativa ao lado [AB], com arredondamento às centésimas.

Exercício 8§R1 · dois pontos de observação

Um observador vê o topo de uma antena sob um ângulo de elevação de 30^{\circ}. Aproximando-se 50 metros em linha reta, na direção da base, passa a vê-lo sob 45^{\circ}.

Determina a altura da antena, com arredondamento às décimas do metro.

Exercício 9§R1 · área e trigonometria

Num losango de lado 6, um dos ângulos internos tem 60^{\circ} de amplitude.

Determina a área do losango, na forma a\sqrt{b} com a e b inteiros.

Exercício 10§R1 · escolha múltipla

Uma rampa de acesso tem 12 metros de comprimento e faz com o solo um ângulo de amplitude {\theta}.

A altura, em metros, a que a rampa chega é:

  • (A)12\operatorname{sen}{\theta}
  • (B)12\cos{\theta}
  • (C)\dfrac{12}{\operatorname{sen}{\theta}}
  • (D)12\operatorname{tg}{\theta}
Exercício 11§R1 · uma expressão em função do ângulo

Na figura, [ABCD] é um retângulo em que \overline{AB} = 8. O ponto P pertence ao lado [AB] e {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo APD, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[. Sabe-se ainda que \overline{AD} = 3.

a) Mostra que \overline{AP} = \dfrac{3}{\operatorname{tg}{\alpha}}. b) Escreve a área do triângulo [PBC] em função de {\alpha}.

Exercício 12§R1 · perímetro em função do ângulo

Numa circunferência de centro O e raio 1, considera um ponto A da circunferência e o ponto B, também da circunferência, tal que o ângulo AOB tem amplitude {\theta}, com {\theta} \in \left]0,\,{\pi}\right[. Seja M o ponto médio de [AB].

Mostra que \overline{AB} = 2\operatorname{sen}\dfrac{{\theta}}{2} e conclui o perímetro do triângulo [OAB] em função de {\theta}.

Exercício 13§R1 · três dimensões

Uma pirâmide quadrangular regular tem base de lado 10 e altura 12.

a) Determina a amplitude, arredondada às décimas do grau, do ângulo que uma aresta lateral faz com o plano da base. b) Determina a amplitude, arredondada às décimas do grau, do ângulo que uma face lateral faz com o plano da base.

A hipotenusa sai do teorema de Pitágoras. Depois é só decidir, para o ângulo {\alpha}, qual dos catetos é o oposto e qual é o adjacente.

  1. a) Pelo teorema de Pitágoras, \overline{AC}^{2} = 8^{2}+6^{2} = 100 \iff \overline{AC} = 10.
  2. b) Visto de A, o cateto oposto é [BC] e o adjacente é [AB]: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}, \qquad \cos{\alpha} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}, \qquad \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}.Repara que \left(\frac{3}{5}\right)^{2}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2} = \frac{9+16}{25} = 1. A fórmula fundamental já estava aqui, disfarçada de Pitágoras.
Resposta\overline{AC} = 10 · \frac{3}{5}, \frac{4}{5}, \frac{3}{4}

Os três ângulos 30^{\circ}, 45^{\circ} e 60^{\circ} saem da tabela. Em c) e d) há um atalho: nem é preciso substituir.

  1. a) \operatorname{sen}30^{\circ} = \frac{1}{2} e \cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}, logo a soma é 1.
  2. b) \operatorname{tg}45^{\circ} = 1, logo o produto é \cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  3. c) Pela fórmula fundamental, vale 1 — seja qual for o ângulo.
  4. d) É a definição de tangente: \operatorname{tg}60^{\circ} = \sqrt{3}.Em a) o resultado 1 é coincidência de valores; em c) é identidade. Vale a pena não confundir as duas coisas.
Resposta1 · \frac{\sqrt{3}}{2} · 1 · \sqrt{3}

O cateto oposto ao ângulo relaciona-se com a hipotenusa pelo seno; o adjacente, pelo cosseno. A calculadora tem de estar em graus.

  1. Cateto oposto. \operatorname{sen}35^{\circ} = \frac{c_{\text{op}}}{12} \iff c_{\text{op}} = 12\operatorname{sen}35^{\circ} \approx 6{,}9.
  2. Cateto adjacente. \cos 35^{\circ} = \frac{c_{\text{adj}}}{12} \iff c_{\text{adj}} = 12\cos 35^{\circ} \approx 9{,}8.
  3. Confirmação. 6{,}9^{2}+9{,}8^{2} \approx 143{,}6 \approx 12^{2}. Bate certo.Arredondar só no fim. Se se arredondar o seno antes de multiplicar, o erro entra na resposta e a confirmação por Pitágoras deixa de fechar.
Resposta\approx 6{,}9 e \approx 9{,}8

Faz a figura: um triângulo retângulo em que conheces o cateto adjacente ao ângulo e queres o oposto. É a tangente.

  1. O modelo. A altura h é o cateto oposto ao ângulo de 28^{\circ}, e os 40 metros são o cateto adjacente.
  2. A razão que liga os dois é a tangente. \operatorname{tg}28^{\circ} = \frac{h}{40} \iff h = 40\operatorname{tg}28^{\circ} \approx 21{,}3.
  3. O farol tem cerca de 21{,}3 metros.O ângulo de elevação mede-se sempre a partir da horizontal. Medido a partir da vertical seria o complementar, e a tangente trocaria de razão.
Resposta\approx 21{,}3 metros

Usa a fórmula fundamental — ou reconhece o terno pitagórico 5, 12, 13.

  1. Pela fórmula fundamental, \cos^{2}{\alpha} = 1-\left(\frac{5}{13}\right)^{2} = 1-\frac{25}{169} = \frac{144}{169}.
  2. Num triângulo, o ângulo é agudo e o cosseno é positivo: \cos{\alpha} = \frac{12}{13}.
  3. A opção correta é a (B).A opção (D) é a tangente e a (C) é o inverso do seno. Nenhuma delas é o que se pediu — e as duas aparecem sempre, em todos os testes.
RespostaOpção (B)

A tangente diz a proporção entre os catetos, não a medida. Escolhe um triângulo com essa proporção — por exemplo catetos 3 e 4 — e calcula a hipotenusa.

  1. Um triângulo com essa tangente. Se o oposto for 3 e o adjacente 4, a tangente é \frac{3}{4}, como se quer.
  2. A hipotenusa. \sqrt{3^{2}+4^{2}} = 5.
  3. As duas razões. \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{3}{5}, \qquad \cos{\alpha} = \frac{4}{5}.
  4. Qualquer outro triângulo com a mesma tangente é semelhante a este, e dá as mesmas razões.É esta invariância que faz as razões trigonométricas serem do ângulo e não do triângulo. Sem ela, nada disto funcionava.
Resposta\operatorname{sen}{\alpha} = \frac{3}{5} · \cos{\alpha} = \frac{4}{5}

Traça a altura [CH]. Ela parte o triângulo em dois retângulos e é o lado comum aos dois — escreve \overline{AH} e \overline{HB} em função de h.

  1. Partir em dois. Seja H o pé da altura tirada de C sobre [AB], e h = \overline{CH}.
  2. Nos dois triângulos retângulos, a tangente dá cada pedaço da base: \operatorname{tg}40^{\circ} = \frac{h}{\overline{AH}} \iff \overline{AH} = \frac{h}{\operatorname{tg}40^{\circ}}, \qquad \overline{HB} = \frac{h}{\operatorname{tg}65^{\circ}}.
  3. Somar. Como \overline{AH}+\overline{HB} = 10, h\left(\frac{1}{\operatorname{tg}40^{\circ}}+\frac{1}{\operatorname{tg}65^{\circ}}\right) = 10 \iff h = \frac{10}{\frac{1}{\operatorname{tg}40^{\circ}}+\frac{1}{\operatorname{tg}65^{\circ}}} \approx 6{,}03.Não é preciso lei nenhuma nova: um triângulo qualquer resolve-se sempre partindo-o em dois retângulos por uma altura. É o método do 3.º ciclo, e chega para tudo o que o 11.º ano pede.
Respostah \approx 6{,}03

Chama h à altura e d à distância da segunda posição à base. Escreve duas equações com a tangente e resolve o sistema.

  1. Duas equações. Da segunda posição, a d metros da base; da primeira, a d+50: \operatorname{tg}45^{\circ} = \frac{h}{d} \quad\text{e}\quad \operatorname{tg}30^{\circ} = \frac{h}{d+50}.
  2. A primeira dá d = h, porque \operatorname{tg}45^{\circ} = 1.
  3. Substituir na segunda. Com \operatorname{tg}30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{3}: \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{h}{h+50} \iff \sqrt{3}\,(h+50) = 3h \iff h\left(3-\sqrt{3}\right) = 50\sqrt{3}.
  4. Logo h = \dfrac{50\sqrt{3}}{3-\sqrt{3}} \approx 68{,}3 metros.Duas observações e um deslocamento conhecido chegam para medir uma altura sem conhecer nenhuma distância à base. É assim que se mede o que não se pode alcançar.
Resposta\approx 68{,}3 metros

A área de um paralelogramo é base \times altura. A altura sai do seno do ângulo de 60^{\circ}.

  1. A altura. Tirando a altura de um vértice sobre o lado, fica um triângulo retângulo de hipotenusa 6 e ângulo 60^{\circ}: h = 6\operatorname{sen}60^{\circ} = 6 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}.
  2. A área. A = 6 \times 3\sqrt{3} = 18\sqrt{3}.O ângulo de 120^{\circ} do losango daria a mesma altura: \operatorname{sen}120^{\circ} = \operatorname{sen}60^{\circ}. A área não distingue os dois — e há razão para isso, que se vê melhor no círculo trigonométrico, na secção seguinte.
Resposta18\sqrt{3} unidades de área

Os 12 metros são o comprimento da rampa: é a hipotenusa, não o cateto no chão.

  1. A rampa é a hipotenusa; a altura é o cateto oposto a {\theta}.
  2. \operatorname{sen}{\theta} = \frac{h}{12} \iff h = 12\operatorname{sen}{\theta}.
  3. A opção correta é a (A).A opção (D) seria a resposta se os 12 metros fossem medidos no chão. É o erro mais comum nestes enunciados: ler o comprimento da rampa como se fosse a distância horizontal.
RespostaOpção (A)

No triângulo [APD], retângulo em A, o cateto [AD] é oposto a {\alpha} e [AP] é adjacente. Em b), \overline{PB} = 8 - \overline{AP}.

  1. a) No triângulo [APD], retângulo em A: \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\overline{AD}}{\overline{AP}} = \frac{3}{\overline{AP}} \iff \overline{AP} = \frac{3}{\operatorname{tg}{\alpha}}. \quad \square
  2. b) O triângulo [PBC] é retângulo em B, com catetos \overline{PB} = 8-\overline{AP} e \overline{BC} = \overline{AD} = 3: A({\alpha}) = \frac{\overline{PB} \times \overline{BC}}{2} = \frac{3}{2}\left(8 - \frac{3}{\operatorname{tg}{\alpha}}\right) = 12 - \frac{9}{2\operatorname{tg}{\alpha}}.
  3. O domínio da expressão é o conjunto dos {\alpha} para os quais P cai dentro de [AB], isto é \frac{3}{\operatorname{tg}{\alpha}} \leq 8.Escrever uma medida em função de um ângulo é o tipo de item que o Exame repete todos os anos. O trabalho é sempre o mesmo: identificar o triângulo retângulo onde o ângulo vive, e escrever os outros comprimentos a partir dele.
Resposta\overline{AP} = \frac{3}{\operatorname{tg}{\alpha}} · A({\alpha}) = 12-\frac{9}{2\operatorname{tg}{\alpha}}

O triângulo [OAB] é isósceles: \overline{OA} = \overline{OB} = 1. A mediana [OM] é também altura e bissetriz, e parte o triângulo em dois retângulos.

  1. O triângulo é isósceles porque \overline{OA} = \overline{OB} = 1. Logo [OM] é altura e bissetriz: o ângulo AOM tem amplitude \frac{{\theta}}{2} e o triângulo [OMA] é retângulo em M.
  2. No triângulo [OMA], com hipotenusa \overline{OA} = 1: \operatorname{sen}\frac{{\theta}}{2} = \frac{\overline{AM}}{1} = \overline{AM}.
  3. Como M é o ponto médio, \overline{AB} = 2\overline{AM} = 2\operatorname{sen}\frac{{\theta}}{2}. \square
  4. O perímetro é \overline{OA}+\overline{OB}+\overline{AB}: P({\theta}) = 2 + 2\operatorname{sen}\frac{{\theta}}{2}.Este é o comprimento da corda. Não confundir com o comprimento do arco, que é {\theta} quando o raio é 1 e o ângulo vai em radianos — aparece na secção R3.
Resposta\overline{AB} = 2\operatorname{sen}\frac{{\theta}}{2} · P({\theta}) = 2+2\operatorname{sen}\frac{{\theta}}{2}

Em a) o triângulo retângulo tem por catetos a altura da pirâmide e metade da diagonal da base. Em b) o cateto na base é metade do lado — e não metade da diagonal.

  1. a) A diagonal da base mede 10\sqrt{2}, logo do centro a um vértice vão 5\sqrt{2}. Com a altura 12: \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{12}{5\sqrt{2}} \iff {\alpha} \approx 59{,}5^{\circ}.
  2. b) O ângulo de uma face com a base mede-se pelo apótema: do centro ao meio de um lado vão 5. \operatorname{tg}{\beta} = \frac{12}{5} \iff {\beta} \approx 67{,}4^{\circ}.
  3. Os dois ângulos são diferentes, e tem de ser assim: a aresta é mais comprida do que o apótema, e portanto mais deitada.O erro clássico é usar o mesmo triângulo nas duas alíneas. Vale a pena desenhar cada secção plana separadamente antes de escrever seja o que for.
Resposta{\alpha} \approx 59{,}5^{\circ} · {\beta} \approx 67{,}4^{\circ}
R2

Ângulo e arco generalizados. A circunferência trigonométrica

Aqui o ângulo deixa de estar preso a um triângulo. Passa a poder ser obtuso, negativo, maior do que uma volta — e as três razões passam a ler-se como coordenadas de um ponto numa circunferência de raio um. É a mudança de ideia que faz toda a trigonometria que vem a seguir.

Aprendizagens Essenciais · 11.º ano
  • Relacionar e aplicar, na resolução de problemas, as noções de ângulo e arco orientados e de ângulo e arco generalizados e a respetiva amplitude.
  • Identificar e interpretar o círculo trigonométrico.
  • Reconhecer, analisar e aplicar, na resolução de problemas, razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente) de ângulos generalizados no círculo trigonométrico.

1 · Ângulos orientados e ângulos generalizados

Num triângulo, um ângulo tem entre 0^{\circ} e 90^{\circ}, e não há mais nada a dizer. Fora do triângulo, convém dizer também de que lado se contou e quantas voltas se deram.

x y A P Q α > 0 β < 0
O lado origem é sempre o semieixo positivo Ox. Contado no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, o ângulo é positivo; no sentido dos ponteiros, negativo.
Definição · ângulo orientado e ângulo generalizado

Um ângulo orientado tem um lado origem e um lado extremidade, e uma amplitude com sinal: positiva se o lado extremidade se obtém rodando no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio, negativa no outro sentido.

Um ângulo generalizado admite qualquer número de voltas completas — a sua amplitude pode ser qualquer número real.

Dar uma volta completa devolve o lado extremidade ao sítio onde estava. Logo, dois ângulos têm o mesmo lado extremidade exatamente quando as suas amplitudes diferem por um número inteiro de voltas.

Expressão geral das amplitudes dos ângulos com os mesmos lados {\alpha}+k \times 360^{\circ}, \quad k \in \mathbb{Z} \qquad\text{ou, em radianos,}\qquad {\alpha}+2k{\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}.

O k conta as voltas: k > 0 no sentido positivo, k < 0 no negativo. Escrever k \in \mathbb{Z} faz parte da resposta — sem isso a expressão não diz o que quer dizer.

2 · As razões lidas no círculo

Chama-se circunferência trigonométrica à circunferência de centro na origem e raio 1. Marcado o ângulo a partir do semieixo positivo Ox, o lado extremidade corta-a num ponto P — e as coordenadas desse ponto são o cosseno e o seno.

x y P Q A cos α sen α tg α α
O ponto P tem coordenadas \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right). A tangente lê-se na reta x = 1, no ponto Q onde a reta OP a corta — e por isso \operatorname{tg}{\alpha} pode ser qualquer número real.
Definição · seno, cosseno e tangente de um ângulo generalizado \begin{gathered}\cos{\alpha} = \text{abcissa de } P, \qquad \operatorname{sen}{\alpha} = \text{ordenada de } P,\\[2pt] \operatorname{tg}{\alpha} = \text{ordenada de } Q,\end{gathered}

em que Q é o ponto onde a reta OP corta a reta de equação x = 1.

Para ângulos agudos isto coincide com as razões no triângulo retângulo da secção R1 — o triângulo de hipotenusa 1 tem cateto oposto \operatorname{sen}{\alpha} e cateto adjacente \cos{\alpha}. A definição nova estende a antiga, não a substitui.

Onde é que a tangente falha

Quando o lado extremidade é vertical, a reta OP é paralela à reta x = 1 e nunca a corta: não há ponto Q, e não há tangente. É exatamente o caso \cos{\alpha} = 0, isto é {\alpha} = 90^{\circ}+k \times 180^{\circ}.

Como P está na circunferência de raio 1, tem-se x^{2}+y^{2} = 1 — que, nas novas letras, é a fórmula fundamental da secção R1, agora válida para qualquer ângulo:

Fórmula fundamental, para ângulos generalizados \operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 1, \qquad \forall {\alpha} \in \mathbb{R}.

3 · Sinal e variação, quadrante a quadrante

Não há aqui nada para memorizar: o sinal de cada razão é o sinal da coordenada que a define.

x y 2.º quadrante 1.º quadrante 3.º quadrante 4.º quadrante + + + + − − − − + − + −
Dentro de cada quadrante estão os três sinais, pela ordem seno, cosseno, tangente. Não há nada para decorar: o sinal do seno é o da ordenada, o do cosseno é o da abcissa, e o da tangente é o do quociente.
1.º quadrante2.º quadrante3.º quadrante4.º quadrante
\operatorname{sen}++--
\cos+--+
\operatorname{tg}+-+-

E a mesma leitura dá a variação. Percorrendo a circunferência no sentido positivo, a ordenada sobe de 0 a 1 no 1.º quadrante e desce de 1 a 0 no 2.º; a abcissa desce de 1 a 0 no 1.º e continua a descer até -1 no 2.º.

1.º quadrante2.º quadrante3.º quadrante4.º quadrante
\operatorname{sen}cresce de 0 a 1decresce de 1 a 0decresce de 0 a -1cresce de -1 a 0
\cosdecresce de 1 a 0decresce de 0 a -1cresce de -1 a 0cresce de 0 a 1
\operatorname{tg}cresce de 0 a +\infty, e de -\infty a 0cresce de 0 a +\infty, e de -\infty a 0
Exemplo 2 Do quadrante para o sinal, e de volta

De um ângulo de amplitude {\theta} sabe-se que \operatorname{sen}{\theta} = \dfrac{2}{3} e que \cos{\theta} < 0. Determina \cos{\theta} e \operatorname{tg}{\theta}.

  1. Localizar. Seno positivo e cosseno negativo: o lado extremidade está no 2.º quadrante.
  2. Fórmula fundamental. \cos^{2}{\theta} = 1-\left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{5}{9} \iff \cos{\theta} = \pm\frac{\sqrt{5}}{3}.
  3. Escolher pelo sinal dado: \cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{3}.
  4. Tangente. \operatorname{tg}{\theta} = \frac{2/3}{-\sqrt{5}/3} = -\frac{2}{\sqrt{5}} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}.A fórmula fundamental dá sempre dois candidatos. Alguma informação sobre o quadrante — dada em palavras, num intervalo ou pelo sinal de outra razão — é o que escolhe entre eles. Sem ela, o problema não tem resposta única.
Resposta\cos{\theta} = -\frac{\sqrt{5}}{3} · \operatorname{tg}{\theta} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}
Python Uma volta ao círculo, de vinte em vinte graus 
from math import sin, cos, radians

print('graus     abcissa    ordenada   quadrante')
for g in range(0, 360, 20):
    x, y = cos(radians(g)), sin(radians(g))
    if   x > 0 and y > 0: q = '1.o'
    elif x < 0 and y > 0: q = '2.o'
    elif x < 0 and y < 0: q = '3.o'
    else:                 q = '4.o'
    print('%4d   %9.4f  %9.4f     %s' % (g, x, y, q))

Segue a coluna da ordenada: sobe até 90^{\circ}, desce até 270^{\circ}, volta a subir. É o gráfico do seno, escrito em números. Acrescenta uma coluna com x^{2}+y^{2} e confirma que dá sempre 1.

Exercícios propostos

Treze exercícios sobre o círculo. O trabalho é quase sempre o mesmo: localizar o lado extremidade, ler o sinal das coordenadas e só depois calcular.

Exercício 14§R2 · expressão geral das amplitudes

Escreve a expressão geral das amplitudes, em graus, dos ângulos com o mesmo lado extremidade que um ângulo de:

a) 50^{\circ}b) -120^{\circ}c) 390^{\circ}d) 180^{\circ}

Exercício 15§R2 · quadrante de um ângulo

Indica a que quadrante pertence o lado extremidade de cada ângulo.

a) 200^{\circ}b) -40^{\circ}c) 460^{\circ}d) -300^{\circ}

Exercício 16§R2 · sinal das razões

Indica o sinal de cada uma das razões seguintes, justificando pelo quadrante.

a) \operatorname{sen}150^{\circ}b) \cos 250^{\circ}c) \operatorname{tg}200^{\circ}d) \cos\left(-70^{\circ}\right)

Exercício 17§R2 · razões nos eixos

Sem calculadora, indica o valor de cada expressão — ou justifica que não existe.

a) \operatorname{sen}180^{\circ}b) \cos 270^{\circ}c) \operatorname{tg}180^{\circ}d) \operatorname{tg}90^{\circ}

Exercício 18§R2 · escolha múltipla

Seja {\alpha} a amplitude de um ângulo do 3.º quadrante.

Qual das afirmações seguintes é necessariamente verdadeira?

  • (A)\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha} < 0
  • (B)\operatorname{sen}{\alpha}+\cos{\alpha} < 0
  • (C)\operatorname{tg}{\alpha} < 0
  • (D)\cos{\alpha} > \operatorname{sen}{\alpha}
Exercício 19§R2 · da razão para o quadrante

De um ângulo de amplitude {\alpha} sabe-se que \operatorname{sen}{\alpha} < 0 e \operatorname{tg}{\alpha} < 0.

Determina o quadrante a que pertence o lado extremidade de {\alpha} e o sinal de \cos{\alpha}.

Exercício 20§R2 · fórmula fundamental e quadrante

Sabe-se que \cos{\alpha} = -\dfrac{3}{5} e que o lado extremidade de {\alpha} pertence ao 3.º quadrante.

Determina \operatorname{sen}{\alpha} e \operatorname{tg}{\alpha}.

Exercício 21§R2 · coordenadas de um ponto do círculo

Num referencial ortonormado, P é o ponto da circunferência trigonométrica cujo lado extremidade corresponde a um ângulo de amplitude {\alpha}, com {\alpha} \in \left]90^{\circ},\,180^{\circ}\right[. Sabe-se que a ordenada de P é \dfrac{\sqrt{7}}{4}.

Determina as coordenadas de P e o valor de \operatorname{tg}{\alpha}.

Exercício 22§R2 · ângulos com o mesmo lado

Determina todos os ângulos de amplitude entre -720^{\circ} e 720^{\circ} que têm o mesmo lado extremidade que um ângulo de 145^{\circ}.

Exercício 23§R2 · escolha múltipla

Na circunferência trigonométrica, P é o ponto do 2.º quadrante de abcissa -\dfrac{1}{2}.

A ordenada de P é igual a:

  • (A)\dfrac{1}{2}
  • (B)\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • (C)-\dfrac{\sqrt{3}}{2}
  • (D)\dfrac{3}{4}
Exercício 24§R2 · variação no círculo

Sejam {\alpha} e {\beta} as amplitudes de dois ângulos tais que {\alpha} \in \left]90^{\circ},\,180^{\circ}\right[ e {\beta} \in \left]180^{\circ},\,270^{\circ}\right[.

Indica, justificando, o sinal de cada uma das expressões.

a) \operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\beta}b) \operatorname{tg}{\alpha}+\operatorname{tg}{\beta}c) \cos{\alpha}-\operatorname{sen}{\beta}

Exercício 25§R2 · uma condição no círculo

Considera, na circunferência trigonométrica, o ponto P associado a um ângulo de amplitude {\alpha}, com {\alpha} \in \left[0^{\circ},\,360^{\circ}\right[.

Determina todos os valores de {\alpha} para os quais P tem abcissa e ordenada iguais.

Exercício 26§R2 · uma área no círculo

Na circunferência trigonométrica considera o ponto P, do 1.º quadrante, associado a um ângulo de amplitude {\alpha}, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[. Sejam A = (1,\,0) e H a projeção ortogonal de P sobre o eixo Ox.

a) Mostra que a área do triângulo [OHP] é \dfrac{1}{2}\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. b) Mostra que a área do triângulo [AHP] é \dfrac{1}{2}\operatorname{sen}{\alpha}\left(1-\cos{\alpha}\right).

Dois ângulos têm o mesmo lado extremidade quando diferem por um número inteiro de voltas. Uma volta são 360^{\circ}.

  1. a) 50^{\circ}+k \times 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}.
  2. b) -120^{\circ}+k \times 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}. Também se pode escrever 240^{\circ}+k \times 360^{\circ}: é a mesma família.
  3. c) Como 390^{\circ} = 30^{\circ}+360^{\circ}, a expressão é 30^{\circ}+k \times 360^{\circ}.
  4. d) 180^{\circ}+k \times 360^{\circ}.A mesma família admite infinitas escritas — todas certas. O que não pode variar é o conjunto de ângulos que a expressão descreve.
Resposta50^{\circ}+360^{\circ}k · -120^{\circ}+360^{\circ}k · 30^{\circ}+360^{\circ}k · 180^{\circ}+360^{\circ}k

Tira as voltas completas até ficares com um ângulo entre 0^{\circ} e 360^{\circ}.

  1. a) 200^{\circ} está entre 180^{\circ} e 270^{\circ}: 3.º quadrante.
  2. b) -40^{\circ} = 320^{\circ}-360^{\circ}, e 320^{\circ} está entre 270^{\circ} e 360^{\circ}: 4.º quadrante.
  3. c) 460^{\circ}-360^{\circ} = 100^{\circ}: 2.º quadrante.
  4. d) -300^{\circ}+360^{\circ} = 60^{\circ}: 1.º quadrante.Retirar voltas é somar ou subtrair 360^{\circ} até cair no intervalo \left[0^{\circ},\,360^{\circ}\right[. O lado extremidade não muda: as voltas não deixam rasto.
Resposta3.º · 4.º · 2.º · 1.º quadrante

Localiza o lado extremidade e pergunta: a ordenada do ponto é positiva ou negativa? E a abcissa?

  1. a) 150^{\circ} é do 2.º quadrante, onde a ordenada é positiva: \operatorname{sen}150^{\circ} > 0.
  2. b) 250^{\circ} é do 3.º quadrante, onde a abcissa é negativa: \cos 250^{\circ} < 0.
  3. c) 200^{\circ} é do 3.º quadrante: seno e cosseno são ambos negativos, e o quociente é positivo.
  4. d) -70^{\circ} é do 4.º quadrante, onde a abcissa é positiva: \cos\left(-70^{\circ}\right) > 0.A tangente é o único caso em que dois sinais negativos dão um positivo — e é por isso que a tangente é positiva em dois quadrantes opostos, o 1.º e o 3.º.
Resposta+ · - · + · +

Cada um destes ângulos tem o lado extremidade sobre um eixo. Escreve as coordenadas do ponto e lê.

  1. a) O lado extremidade de 180^{\circ} encontra a circunferência em (-1,\,0). A ordenada é 0: \operatorname{sen}180^{\circ} = 0.
  2. b) O de 270^{\circ} encontra-a em (0,\,-1). A abcissa é 0: \cos 270^{\circ} = 0.
  3. c) \operatorname{tg}180^{\circ} = \frac{0}{-1} = 0.
  4. d) \cos 90^{\circ} = 0, logo o quociente não está definido: não existe \operatorname{tg}90^{\circ}. No círculo vê-se porquê: o lado extremidade é vertical e nunca corta a reta x = 1.Os quatro pontos sobre os eixos — (1,0), (0,1), (-1,0), (0,-1) — respondem sozinhos a todas as perguntas deste tipo. Não há tabela para decorar.
Resposta0 · 0 · 0 · não existe

No 3.º quadrante, o seno e o cosseno são ambos negativos. Vê o que isso obriga em cada opção.

  1. No 3.º quadrante, \operatorname{sen}{\alpha} < 0 e \cos{\alpha} < 0.
  2. (A) O produto de dois negativos é positivo: falsa.
  3. (B) A soma de dois negativos é negativa: verdadeira.
  4. (C) O quociente de dois negativos é positivo: falsa.
  5. (D) Nada obriga a isso — em 200^{\circ} tem-se \cos > \operatorname{sen}, mas em 250^{\circ} é ao contrário: falsa.«Necessariamente verdadeira» quer dizer para todos os ângulos do quadrante. Um contraexemplo chega para eliminar uma opção.
RespostaOpção (B)

Com o seno negativo, ficam dois quadrantes possíveis. A tangente decide entre eles.

  1. Do seno. \operatorname{sen}{\alpha} < 0 nos 3.º e 4.º quadrantes.
  2. Da tangente. \operatorname{tg}{\alpha} < 0 nos 2.º e 4.º.
  3. Interseção: 4.º quadrante. Aí a abcissa é positiva, logo \cos{\alpha} > 0.
  4. Confirmação. \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\operatorname{sen}{\alpha}}{\cos{\alpha}} = \frac{-}{+} = -. Coerente.Dois sinais chegam sempre para fixar o quadrante: cada razão parte o círculo em duas metades e as duas metades cruzam-se num quarto.
Resposta4.º quadrante · \cos{\alpha} > 0

A fórmula fundamental dá o quadrado do seno — e portanto dois valores possíveis. É o quadrante que decide qual deles serve.

  1. Fórmula fundamental. \operatorname{sen}^{2}{\alpha} = 1-\cos^{2}{\alpha} = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25} \iff \operatorname{sen}{\alpha} = \pm\frac{4}{5}.
  2. Escolher. No 3.º quadrante a ordenada é negativa: \operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{4}{5}.
  3. Tangente. \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}.Sair da fórmula fundamental sem escolher o sinal é meio exercício. O quadrante não é decoração do enunciado: é o dado que fecha a resposta.
Resposta\operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{4}{5} · \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{4}{3}

A ordenada de P é \operatorname{sen}{\alpha}. E P está na circunferência de raio 1, logo x^{2}+y^{2} = 1.

  1. A ordenada é o seno: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\sqrt{7}}{4}.
  2. A abcissa, pela equação da circunferência: x^{2} = 1-\frac{7}{16} = \frac{9}{16} \iff x = \pm\frac{3}{4}.
  3. Escolher. No 2.º quadrante a abcissa é negativa: P = \left(-\frac{3}{4},\, \frac{\sqrt{7}}{4}\right).
  4. Tangente. \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\sqrt{7}/4}{-3/4} = -\frac{\sqrt{7}}{3}.A equação x^{2}+y^{2} = 1 da circunferência é a fórmula fundamental. São a mesma igualdade escrita em duas linguagens: a da geometria analítica e a da trigonometria.
RespostaP = \left(-\frac{3}{4},\,\frac{\sqrt{7}}{4}\right) · \operatorname{tg}{\alpha} = -\frac{\sqrt{7}}{3}

Escreve a expressão geral e percorre os valores de k que mantêm o resultado no intervalo.

  1. Expressão geral: 145^{\circ}+k \times 360^{\circ}, k \in \mathbb{Z}.
  2. Percorrer k: k = -2: -575^{\circ}; \quad k = -1: -215^{\circ}; \quad k = 0: 145^{\circ}; \quad k = 1: 505^{\circ}.
  3. Com k = 2 viria 865^{\circ}, já fora; com k = -3 viria -935^{\circ}, também.
  4. São quatro: -575^{\circ}, -215^{\circ}, 145^{\circ} e 505^{\circ}.O intervalo tem 1440^{\circ}, isto é quatro voltas — e por isso a resposta tem exatamente quatro ângulos. Contar as voltas antes de calcular é uma boa maneira de saber quantos se esperam.
Resposta-575^{\circ},\ -215^{\circ},\ 145^{\circ},\ 505^{\circ}

O ponto está na circunferência de raio 1. E no 2.º quadrante a ordenada é positiva.

  1. y^{2} = 1-\left(-\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{3}{4} \iff y = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}.
  2. No 2.º quadrante a ordenada é positiva: y = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  3. A opção correta é a (B).A opção (D) é y^{2}, não y — é a distração mais frequente nestes itens. Vale a pena voltar a ler a pergunta antes de escolher.
RespostaOpção (B)

Faz um quadro com o sinal das três razões em cada um dos dois quadrantes, e depois lê cada expressão a partir dele. Em b), atenção: os dois sinais são diferentes.

  1. No 2.º quadrante ({\alpha}): \operatorname{sen} > 0, \cos < 0, \operatorname{tg} < 0. No 3.º ({\beta}): \operatorname{sen} < 0, \cos < 0, \operatorname{tg} > 0.
  2. a) (+) \times (-) = -: negativa.
  3. b) Uma parcela é negativa e a outra positiva: o sinal não fica determinado. Com {\alpha} = 135^{\circ} e {\beta} = 200^{\circ} a soma é -1+0{,}36 < 0; com {\alpha} = 135^{\circ} e {\beta} = 260^{\circ} a soma é -1+5{,}67 > 0.
  4. c) \cos{\alpha} < 0 e -\operatorname{sen}{\beta} > 0: também não fica determinado. Basta comparar {\alpha} = 100^{\circ}, {\beta} = 185^{\circ} com {\alpha} = 175^{\circ}, {\beta} = 270^{\circ}.Nem todas as perguntas de sinal têm resposta. Quando as parcelas têm sinais contrários, é preciso exibir dois exemplos — dizer «depende» sem os mostrar não é justificação.
Respostaa) negativa · b) indeterminado · c) indeterminado

Escreve a condição x = y e junta-lhe x^{2}+y^{2} = 1. Dá dois pontos — em que quadrantes é que eles ficam?

  1. O sistema. Com y = x em x^{2}+y^{2} = 1: 2x^{2} = 1 \iff x = \pm\frac{\sqrt{2}}{2}.
  2. Os dois pontos são \left(\frac{\sqrt{2}}{2},\,\frac{\sqrt{2}}{2}\right), no 1.º quadrante, e \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\,-\frac{\sqrt{2}}{2}\right), no 3.º.
  3. Os ângulos. O primeiro corresponde a 45^{\circ} e o segundo a 225^{\circ}.
  4. A condição x = y é a bissetriz dos quadrantes ímpares, que corta a circunferência exatamente nesses dois pontos.Dizer que a abcissa e a ordenada são iguais é dizer que \cos{\alpha} = \operatorname{sen}{\alpha}, ou seja \operatorname{tg}{\alpha} = 1. As duas soluções distam 180^{\circ} — o período da tangente.
Resposta{\alpha} = 45^{\circ} \lor {\alpha} = 225^{\circ}

Os dois triângulos são retângulos em H. Em cada um, identifica os catetos: um deles é sempre a ordenada de P.

  1. As coordenadas. P = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right) e H = \left(\cos{\alpha},\,0\right).
  2. a) O triângulo [OHP] é retângulo em H, com catetos \overline{OH} = \cos{\alpha} e \overline{HP} = \operatorname{sen}{\alpha}: A_{1} = \frac{\cos{\alpha} \times \operatorname{sen}{\alpha}}{2}. \quad \square
  3. b) O triângulo [AHP] é também retângulo em H, com catetos \overline{HA} = 1-\cos{\alpha} e \overline{HP} = \operatorname{sen}{\alpha}: A_{2} = \frac{\operatorname{sen}{\alpha}\left(1-\cos{\alpha}\right)}{2}. \quad \square
  4. Somando, A_{1}+A_{2} = \frac{1}{2}\operatorname{sen}{\alpha} — que é a área do triângulo [OAP], de base \overline{OA} = 1 e altura \operatorname{sen}{\alpha}. Bate certo.Como {\alpha} está no 1.º quadrante, \cos{\alpha} < 1 e 1-\cos{\alpha} > 0: o comprimento fica positivo, como tem de ser. Se o ângulo fosse do 2.º quadrante, H mudava de lado e a expressão do comprimento também.
RespostaAmbos os triângulos são retângulos em H; os catetos são \cos{\alpha} ou 1-\cos{\alpha} e \operatorname{sen}{\alpha}
R3

Radiano e redução ao primeiro quadrante

A unidade que a análise usa — e a razão de a usar. Depois, o mecanismo que reduz qualquer ângulo a um ângulo agudo: quatro pontos simétricos no círculo, e todas as fórmulas de redução saem deles sem ser preciso decorar nenhuma.

Aprendizagens Essenciais · 11.º ano
  • Conhecer a unidade de medida radiano.
  • Utilizar o círculo trigonométrico, na redução ao primeiro quadrante, na dedução da fórmula fundamental da Trigonometria e na resolução de problemas.

1 · O radiano

Medir ângulos em graus é uma convenção antiga e arbitrária: o número 360 não tem nada de especial. Há uma unidade que não é arbitrária — a que mede o ângulo pelo arco que ele abre.

x y A B r = 1 r = 1 arco = 1 1 rad
Um radiano é a amplitude do ângulo ao centro a que corresponde um arco de comprimento igual ao raio. Numa circunferência de raio 1, a amplitude em radianos é o comprimento do arco.
Definição · radiano

Um radiano é a amplitude do ângulo ao centro que, numa circunferência, determina um arco de comprimento igual ao raio.

Como o perímetro é 2{\pi}r, uma volta completa tem 2{\pi} radianos e meia volta tem {\pi}. Daí a conversão:

180^{\circ} = {\pi}\ \text{rad} \quad\Longrightarrow\quad 1^{\circ} = \frac{{\pi}}{180}\ \text{rad}, \qquad 1\ \text{rad} = \frac{180^{\circ}}{{\pi}} \approx 57{,}3^{\circ}.

A amplitude em radianos é um número real, sem unidade escrita: é por isso que se pode falar de \operatorname{sen}x com x \in \mathbb{R}.

graus0^{\circ}30^{\circ}45^{\circ}60^{\circ}90^{\circ}180^{\circ}270^{\circ}360^{\circ}
radianos0\frac{{\pi}}{6}\frac{{\pi}}{4}\frac{{\pi}}{3}\frac{{\pi}}{2}{\pi}\frac{3{\pi}}{2}2{\pi}

Numa circunferência de raio r, um ângulo ao centro de {\theta} radianos abre um arco proporcional a {\theta}, e recorta um setor proporcional a {\theta}:

Comprimento de arco e área de setor s = r{\theta}, \qquad A_{\text{setor}} = \frac{1}{2}r^{2}{\theta},

com {\theta} em radianos. Com {\theta} = 2{\pi} recupera-se s = 2{\pi}r e A = {\pi}r^{2}, como tem de ser.

Porque é que a análise usa radianos

Não é só elegância. Com o ângulo em radianos, o seno de um ângulo pequeno é quase igual ao próprio ângulo — experimenta: \operatorname{sen}(0{,}01) \approx 0{,}0099998. Em graus isso não acontece, e todas as fórmulas do cálculo ficariam com um fator \frac{{\pi}}{180} pendurado. Ao usar a calculadora com funções trigonométricas, confirma sempre que está em modo radiano.

Laboratório · O ângulo como fração de {\pi}

interativo

A circunferência parte-se em 2n arcos iguais, e o ângulo é k desses arcos. Repara que \frac{10{\pi}}{8} e \frac{5{\pi}}{4} param no mesmo sítio: são a mesma fração, escrita de duas maneiras. Leva k até ao fim do cursor — é a volta completa, 2{\pi}.

2 · Redução ao primeiro quadrante

Marcados no círculo, os ângulos {\alpha}, {\pi}-{\alpha}, {\pi}+{\alpha} e -{\alpha} dão quatro pontos simétricos dois a dois. As coordenadas são as mesmas a menos do sinal — e as fórmulas de redução são apenas a leitura desses sinais.

x y P α P' π−α P'' π+α P''' −α
Os quatro pontos têm as mesmas coordenadas a menos do sinal. É daqui, e só daqui, que saem todas as fórmulas de redução: nenhuma se decora, todas se leem.
Relações com -{\alpha}, {\pi}-{\alpha} e {\pi}+{\alpha}
-{\alpha}{\pi}-{\alpha}{\pi}+{\alpha}
\operatorname{sen}-\operatorname{sen}{\alpha}\operatorname{sen}{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha}
\cos\cos{\alpha}-\cos{\alpha}-\cos{\alpha}
\operatorname{tg}-\operatorname{tg}{\alpha}-\operatorname{tg}{\alpha}\operatorname{tg}{\alpha}

A primeira coluna diz que o seno e a tangente são funções ímpares e o cosseno é par.

Com \frac{{\pi}}{2} e \frac{3{\pi}}{2} acontece outra coisa: o ponto roda um quarto de volta, e as duas coordenadas trocam de papel. O seno vira cosseno e o cosseno vira seno.

Relações com \dfrac{{\pi}}{2}\pm{\alpha} e \dfrac{3{\pi}}{2}\pm{\alpha}
\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\frac{{\pi}}{2}+{\alpha}\frac{3{\pi}}{2}-{\alpha}\frac{3{\pi}}{2}+{\alpha}
\operatorname{sen}\cos{\alpha}\cos{\alpha}-\cos{\alpha}-\cos{\alpha}
\cos\operatorname{sen}{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha}\operatorname{sen}{\alpha}

A primeira coluna é o caso dos ângulos complementares, já conhecido do triângulo retângulo: o seno de um é o cosseno do outro.

Como não decorar nada disto

Duas perguntas, sempre pela mesma ordem. Primeira: o ângulo tem {\pi} (ou 2{\pi}) ou tem \frac{{\pi}}{2} (ou \frac{3{\pi}}{2})? Com {\pi}, a razão mantém-se; com \frac{{\pi}}{2}, o seno troca com o cosseno. Segunda: em que quadrante fica o ângulo todo? Esse quadrante dá o sinal. Duas perguntas, oito fórmulas.

Laboratório · As sete reduções, uma de cada vez

interativo

O ponto a dourado é P, o do ângulo {\alpha}; o outro é o transformado. As duas projeções a tracejado dizem tudo: onde é que foi parar a abcissa, onde é que foi parar a ordenada, e com que sinal. Muda o cursor e vê que as igualdades não dependem do valor de {\alpha}.

Exemplo 3 Reduzir e calcular

Determina o valor exato de \operatorname{sen}\dfrac{11{\pi}}{6}+\cos\dfrac{5{\pi}}{3}.

  1. Localizar os dois ângulos. \frac{11{\pi}}{6} = 2{\pi}-\frac{{\pi}}{6} e \frac{5{\pi}}{3} = 2{\pi}-\frac{{\pi}}{3}: ambos no 4.º quadrante.
  2. Reduzir. No 4.º quadrante o seno é negativo e o cosseno é positivo: \operatorname{sen}\frac{11{\pi}}{6} = -\operatorname{sen}\frac{{\pi}}{6} = -\frac{1}{2}, \qquad \cos\frac{5{\pi}}{3} = \cos\frac{{\pi}}{3} = \frac{1}{2}.
  3. Somar. -\frac{1}{2}+\frac{1}{2} = 0.Reduzir a 2{\pi}-{\alpha} é o mesmo que reduzir a -{\alpha}: uma volta completa não muda nada. Escolhe-se a escrita que der menos trabalho.
Resposta0
Python Descobrir uma fórmula de redução por comparação 
from math import sin, cos, pi

print('  x        sen(pi/2 + x)      cos(x)      diferenca')
for k in range(9):
    x = k * pi / 6
    a, b = sin(pi / 2 + x), cos(x)
    print('%6.3f   %12.8f  %12.8f   %.1e' % (x, a, b, abs(a - b)))

A diferença anda na casa de 10^{-16}: as duas expressões são a mesma. Agora troca \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}+x\right) por \operatorname{sen}\left(\frac{3{\pi}}{2}+x\right) e descobre com que expressão em x é que ela coincide.

Exercícios propostos

Treze exercícios. Os primeiros treinam a conversão e os valores exatos; os últimos misturam redução, área de setor e as equações que se leem sobre os eixos.

Exercício 27§R3 · graus e radianos

Converte para radianos, na forma de fração de {\pi}.

a) 45^{\circ}b) 150^{\circ}c) -60^{\circ}d) 270^{\circ}

Exercício 28§R3 · radianos e graus

Converte para graus.

a) \dfrac{2{\pi}}{3}b) \dfrac{7{\pi}}{6}c) \dfrac{{\pi}}{10}d) -\dfrac{5{\pi}}{4}

Exercício 29§R3 · valores exatos em radianos

Sem calculadora, determina o valor exato de cada expressão.

a) \operatorname{sen}\dfrac{2{\pi}}{3}b) \cos\dfrac{5{\pi}}{4}c) \operatorname{tg}\dfrac{7{\pi}}{6}d) \operatorname{sen}\left(-\dfrac{{\pi}}{3}\right)

Exercício 30§R3 · comprimento de arco

Numa circunferência de raio 6 cm, considera um arco a que corresponde um ângulo ao centro de amplitude \dfrac{2{\pi}}{5} radianos.

a) Determina o comprimento do arco.b) Determina a área do setor circular correspondente.

Exercício 31§R3 · escolha múltipla

O valor de \cos\left({\pi}-x\right)+\cos x, para todo o x real, é:

  • (A)0
  • (B)2\cos x
  • (C)-2\cos x
  • (D)1
Exercício 32§R3 · reduzir ao primeiro quadrante

Escreve cada expressão em função de uma razão trigonométrica de x.

a) \operatorname{sen}\left({\pi}+x\right)b) \cos\left(\dfrac{{\pi}}{2}-x\right)c) \operatorname{tg}\left(-x\right)d) \operatorname{sen}\left(\dfrac{3{\pi}}{2}+x\right)

Exercício 33§R3 · simplificar

Simplifica, para todo o x onde a expressão está definida,

\frac{\operatorname{sen}\left({\pi}-x\right)+\cos\left(\dfrac{{\pi}}{2}+x\right)}{\operatorname{tg}\left({\pi}+x\right)}.
Exercício 34§R3 · de um valor para outro ângulo

Sabe-se que \operatorname{sen}{\alpha} = \dfrac{1}{4}.

Determina, em função desse valor, cada uma das expressões seguintes.

a) \operatorname{sen}\left({\pi}-{\alpha}\right)b) \operatorname{sen}\left({\pi}+{\alpha}\right)c) \cos\left(\dfrac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right)d) \operatorname{sen}\left({\alpha}+6{\pi}\right)

Exercício 35§R3 · setor e triângulo

Numa circunferência de centro O e raio 4, os pontos A e B são tais que o ângulo AOB tem amplitude \dfrac{{\pi}}{3}.

Determina a área da região limitada pela corda [AB] e pelo arco AB — o chamado segmento circular.

Exercício 36§R3 · escolha múltipla

Seja {\alpha} um ângulo do 2.º quadrante. A expressão \operatorname{sen}\left({\pi}+{\alpha}\right) \times \cos\left(-{\alpha}\right) é:

  • (A)sempre positiva
  • (B)sempre negativa
  • (C)sempre nula
  • (D)positiva ou negativa, conforme {\alpha}
Exercício 37§R3 · uma identidade

Mostra que, para todo o x real,

\operatorname{sen}^{2}\left({\pi}-x\right)+\cos^{2}\left(\dfrac{{\pi}}{2}+x\right) = 2\operatorname{sen}^{2}x.
Exercício 38§R3 · equações sobre os eixos

Resolve, em \left[0,\,2{\pi}\right[, cada uma das equações.

a) 2\operatorname{sen}x+2 = 0 b) 3\cos x-3 = 0 c) \operatorname{sen}x \times \cos x = 0

Exercício 39§R3 · o setor de área máxima

Um setor circular tem perímetro 20 cm — o perímetro conta os dois raios e o arco.

a) Sendo r o raio e {\theta} a amplitude em radianos, mostra que a área do setor é A(r) = 10r-r^{2}. b) Determina o valor de r para o qual a área é máxima, e a amplitude {\theta} correspondente.

Meia volta são 180^{\circ} e são {\pi} radianos. Multiplica por \dfrac{{\pi}}{180^{\circ}}.

  1. a) 45 \times \frac{{\pi}}{180} = \frac{{\pi}}{4}.
  2. b) 150 \times \frac{{\pi}}{180} = \frac{5{\pi}}{6}.
  3. c) -60 \times \frac{{\pi}}{180} = -\frac{{\pi}}{3}.
  4. d) 270 \times \frac{{\pi}}{180} = \frac{3{\pi}}{2}.Simplificar a fração antes de multiplicar poupa trabalho: \frac{150}{180} = \frac{5}{6} lê-se de imediato.
Resposta\frac{{\pi}}{4} · \frac{5{\pi}}{6} · -\frac{{\pi}}{3} · \frac{3{\pi}}{2}

Agora é ao contrário: multiplica por \dfrac{180^{\circ}}{{\pi}}.

  1. a) \frac{2{\pi}}{3} \times \frac{180}{{\pi}} = 120^{\circ}.
  2. b) \frac{7{\pi}}{6} \times \frac{180}{{\pi}} = 210^{\circ}.
  3. c) \frac{{\pi}}{10} \times \frac{180}{{\pi}} = 18^{\circ}.
  4. d) -\frac{5{\pi}}{4} \times \frac{180}{{\pi}} = -225^{\circ}.O {\pi} corta-se sempre. Uma amplitude em radianos escrita com {\pi} é, no fundo, uma fração de meia-volta.
Resposta120^{\circ} · 210^{\circ} · 18^{\circ} · -225^{\circ}

Em cada caso, localiza o ângulo no círculo, vê em que quadrante cai — isso dá o sinal — e reduz ao ângulo agudo correspondente.

  1. a) \frac{2{\pi}}{3} está no 2.º quadrante, onde o seno é positivo, e \frac{2{\pi}}{3} = {\pi}-\frac{{\pi}}{3}: \operatorname{sen}\frac{2{\pi}}{3} = \operatorname{sen}\frac{{\pi}}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}.
  2. b) \frac{5{\pi}}{4} = {\pi}+\frac{{\pi}}{4}, do 3.º quadrante, onde o cosseno é negativo: \cos\frac{5{\pi}}{4} = -\cos\frac{{\pi}}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}.
  3. c) \frac{7{\pi}}{6} = {\pi}+\frac{{\pi}}{6}, do 3.º quadrante, onde a tangente é positiva: \operatorname{tg}\frac{7{\pi}}{6} = \operatorname{tg}\frac{{\pi}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}.
  4. d) O seno é ímpar: \operatorname{sen}\left(-\frac{{\pi}}{3}\right) = -\operatorname{sen}\frac{{\pi}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}.O sinal vem do quadrante; o valor vem do ângulo de referência. São duas perguntas separadas, e convém respondê-las por essa ordem.
Resposta\frac{\sqrt{3}}{2} · -\frac{\sqrt{2}}{2} · \frac{\sqrt{3}}{3} · -\frac{\sqrt{3}}{2}

Com o ângulo em radianos, o comprimento do arco é r{\theta} e a área do setor é \frac{1}{2}r^{2}{\theta}.

  1. a) s = r{\theta} = 6 \times \frac{2{\pi}}{5} = \frac{12{\pi}}{5}\ \text{cm}.
  2. b) A = \frac{1}{2}r^{2}{\theta} = \frac{1}{2} \times 36 \times \frac{2{\pi}}{5} = \frac{36{\pi}}{5}\ \text{cm}^{2}.
  3. Confirmação por proporção. O ângulo é \frac{2{\pi}/5}{2{\pi}} = \frac{1}{5} da volta, logo o arco é \frac{1}{5} do perímetro 12{\pi} e o setor é \frac{1}{5} do círculo 36{\pi}. Bate certo.As duas fórmulas só valem com o ângulo em radianos. Em graus é preciso converter primeiro — e é aí que se perdem exercícios que estavam certos.
Resposta\frac{12{\pi}}{5} cm · \frac{36{\pi}}{5} cm2

Reduz a primeira parcela ao ângulo x. O ponto associado a {\pi}-x é o simétrico do de x em relação ao eixo Oy.

  1. Do círculo: \cos\left({\pi}-x\right) = -\cos x.
  2. Logo a soma é -\cos x + \cos x = 0.
  3. A opção correta é a (A).Se a expressão fosse \operatorname{sen}\left({\pi}-x\right)+\operatorname{sen}x, a resposta seria 2\operatorname{sen}x: o seno não muda de sinal com {\pi}-x. Ler o círculo evita ter de decidir isto de cor.
RespostaOpção (A)

Desenha, para cada caso, o ponto associado a x e o ponto associado ao ângulo pedido. Compara as coordenadas: mudam de sinal, trocam de lugar, ou as duas coisas.

  1. a) {\pi}+x dá o ponto simétrico da origem: as duas coordenadas mudam de sinal. \operatorname{sen}\left({\pi}+x\right) = -\operatorname{sen}x.
  2. b) \frac{{\pi}}{2}-x é o complementar de x: as coordenadas trocam de lugar. \cos\left(\frac{{\pi}}{2}-x\right) = \operatorname{sen}x.
  3. c) -x dá o simétrico em relação a Ox: a ordenada muda de sinal e a abcissa fica. \operatorname{tg}\left(-x\right) = \frac{-\operatorname{sen}x}{\cos x} = -\operatorname{tg}x.
  4. d) \frac{3{\pi}}{2}+x: trocam de lugar e a nova ordenada muda de sinal. \operatorname{sen}\left(\frac{3{\pi}}{2}+x\right) = -\cos x.Há uma regra de bolso: com {\pi} ou 2{\pi}, a razão mantém-se e só o sinal pode mudar; com \frac{{\pi}}{2} ou \frac{3{\pi}}{2}, o seno vira cosseno e vice-versa. O sinal decide-se sempre pelo quadrante.
Resposta-\operatorname{sen}x · \operatorname{sen}x · -\operatorname{tg}x · -\cos x

Reduz cada parcela ao ângulo x, com as fórmulas de redução. Repara no que acontece ao numerador.

  1. Reduzir. \operatorname{sen}\left({\pi}-x\right) = \operatorname{sen}x; \cos\left(\frac{{\pi}}{2}+x\right) = -\operatorname{sen}x; \operatorname{tg}\left({\pi}+x\right) = \operatorname{tg}x.
  2. Substituir. \frac{\operatorname{sen}x+\left(-\operatorname{sen}x\right)}{\operatorname{tg}x} = \frac{0}{\operatorname{tg}x} = 0.
  3. A expressão vale 0 em todo o seu domínio.O denominador não desaparece do problema por o resultado ser zero: é ele que impõe \operatorname{tg}x \neq 0 e \cos x \neq 0, e portanto o domínio da expressão.
Resposta0

Nenhuma destas alíneas precisa de saber quanto vale {\alpha}. Em d), quantas voltas são 6{\pi}?

  1. a) \operatorname{sen}\left({\pi}-{\alpha}\right) = \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{1}{4}.
  2. b) \operatorname{sen}\left({\pi}+{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{1}{4}.
  3. c) \cos\left(\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{1}{4}.
  4. d) 6{\pi} são três voltas completas, que não mudam o lado extremidade: \operatorname{sen}\left({\alpha}+6{\pi}\right) = \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{1}{4}.Repara que em nenhuma alínea foi preciso calcular {\alpha}. Isso é próprio destes itens: o que se testa é a relação entre ângulos, não o valor de nenhum deles.
Resposta\frac{1}{4} · -\frac{1}{4} · \frac{1}{4} · \frac{1}{4}

A região é o que sobra ao setor circular depois de lhe tirar o triângulo [OAB]. Repara no tipo de triângulo que [OAB] é.

  1. Área do setor. A_{\text{setor}} = \frac{1}{2}r^{2}{\theta} = \frac{1}{2} \times 16 \times \frac{{\pi}}{3} = \frac{8{\pi}}{3}.
  2. Área do triângulo [OAB]. É isósceles, com \overline{OA} = \overline{OB} = 4 e ângulo de \frac{{\pi}}{3} entre eles — logo os outros dois ângulos valem \frac{{\pi}}{3} cada um, e o triângulo é equilátero de lado 4: A_{\triangle} = \frac{4^{2}\sqrt{3}}{4} = 4\sqrt{3}.
  3. A diferença. A = \frac{8{\pi}}{3}-4\sqrt{3} \approx 1{,}45.Vale a pena confirmar que o resultado é positivo: o setor tem de ser maior do que o triângulo, porque o contém. Um resultado negativo aqui denuncia sempre uma troca entre os dois.
Resposta\frac{8{\pi}}{3}-4\sqrt{3} unidades de área

Reduz cada fator ao ângulo {\alpha} e depois usa os sinais do 2.º quadrante.

  1. Reduzir. \operatorname{sen}\left({\pi}+{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha} e \cos\left(-{\alpha}\right) = \cos{\alpha}.
  2. Produto. -\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}.
  3. Sinais no 2.º quadrante: \operatorname{sen}{\alpha} > 0 e \cos{\alpha} < 0, logo \operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} < 0 e o simétrico é positivo.
  4. A opção correta é a (A).Dois passos, e nenhum deles envolve calcular nada: reduzir e depois ler os sinais. É esta a rotina que estes itens querem ver.
RespostaOpção (A)

Reduz cada parcela antes de elevar ao quadrado. Repara que o quadrado apaga os sinais.

  1. Reduzir. \operatorname{sen}\left({\pi}-x\right) = \operatorname{sen}x e \cos\left(\frac{{\pi}}{2}+x\right) = -\operatorname{sen}x.
  2. Elevar ao quadrado. \operatorname{sen}^{2}\left({\pi}-x\right) = \operatorname{sen}^{2}x, \qquad \cos^{2}\left(\frac{{\pi}}{2}+x\right) = \left(-\operatorname{sen}x\right)^{2} = \operatorname{sen}^{2}x.
  3. Somar. \operatorname{sen}^{2}x+\operatorname{sen}^{2}x = 2\operatorname{sen}^{2}x. \square
  4. A igualdade vale em \mathbb{R}: nenhuma das expressões tem restrições de domínio.Reduzir antes de elevar ao quadrado é o caminho curto. Ao contrário, ficava-se com quadrados de somas para desenvolver, e o exercício ficava três vezes maior.
RespostaReduzindo, as duas parcelas valem \operatorname{sen}^{2}x cada uma

Isola a razão trigonométrica. Nos três casos ela fica igual a 0, a 1 ou a -1 — e esses valores leem-se sobre os eixos do círculo.

  1. a) 2\operatorname{sen}x+2 = 0 \iff \operatorname{sen}x = -1. A ordenada vale -1 num único ponto da circunferência, (0,\,-1): x = \frac{3{\pi}}{2}.
  2. b) 3\cos x-3 = 0 \iff \cos x = 1. A abcissa vale 1 em (1,\,0): x = 0.
  3. c) Um produto é nulo quando um dos fatores é nulo: \operatorname{sen}x = 0 \;\lor\; \cos x = 0. Os zeros do seno, no intervalo, são 0 e {\pi}; os do cosseno são \frac{{\pi}}{2} e \frac{3{\pi}}{2}.
  4. Logo x \in \left\{0,\, \frac{{\pi}}{2},\, {\pi},\, \frac{3{\pi}}{2}\right\} — os quatro pontos onde a circunferência corta os eixos.Nunca dividir por \operatorname{sen}x ou por \cos x para resolver uma equação: fatoriza-se e iguala-se cada fator a zero. Dividir perde exatamente as soluções em que o divisor se anula.
Resposta\frac{3{\pi}}{2} · 0 · \left\{0,\frac{{\pi}}{2},{\pi},\frac{3{\pi}}{2}\right\}

O perímetro é 2r+r{\theta}. Tira daí {\theta} em função de r e substitui na fórmula da área. Em b), fica uma função do 2.º grau.

  1. a) Do perímetro, 2r+r{\theta} = 20 \iff {\theta} = \frac{20-2r}{r}. Substituindo na área: A = \frac{1}{2}r^{2}{\theta} = \frac{1}{2}r^{2} \times \frac{20-2r}{r} = \frac{r(20-2r)}{2} = 10r-r^{2}. \quad \square
  2. b) A(r) = -r^{2}+10r é uma função do 2.º grau com concavidade voltada para baixo e zeros em 0 e 10. O máximo está no vértice, a meio dos zeros: r = 5\ \text{cm}, \qquad A(5) = 25\ \text{cm}^{2}.
  3. A amplitude. {\theta} = \frac{20-10}{5} = 2 radianos.
  4. Confirma-se que {\theta} = 2 \in \left]0,\,2{\pi}\right[: o setor existe.Repara que a resposta não precisou de derivadas — a função é do 2.º grau, e o vértice resolve tudo. É o método do 10.º ano, e é o que aqui basta.
Respostar = 5 cm, com {\theta} = 2 rad e área 25 cm2
R4

Funções trigonométricas e fenómenos periódicos

O seno e o cosseno deixam de ser razões e passam a ser funções de uma variável real. Com isso vêm os gráficos, o período, a amplitude e a frequência — e a razão de tudo isto interessar: quase tudo o que se repete no tempo se descreve com uma onda destas.

Aprendizagens Essenciais · 11.º ano
  • Reconhecer, analisar e aplicar as funções trigonométricas \operatorname{sen}(x), \cos(x) e \operatorname{tg}(x) na modelação de fenómenos periódicos.
  • Identificar fenómenos periódicos e usar os conceitos de período, máximo, mínimo, amplitude e frequência, no estudo dos fenómenos periódicos.
  • Determinar valores aproximados de zeros, extremos e outros pontos relevantes, num contexto de resolução de problemas, com recurso à tecnologia gráfica.

1 · As três funções

A cada número real x corresponde um ângulo generalizado de x radianos, e a esse ângulo corresponde um ponto do círculo. Ficam assim definidas três funções reais de variável real: x \mapsto \operatorname{sen}x, x \mapsto \cos x e x \mapsto \operatorname{tg}x.

x y −1 1 −2π −π π 2π y = sen x y = cos x
As duas curvas têm período positivo mínimo 2{\pi} e contradomínio \left[-1,\,1\right]. O gráfico do seno é simétrico em relação à origem; o do cosseno, em relação ao eixo Oy.
A função seno

domínio \mathbb{R}, contradomínio \left[-1,\,1\right], período positivo mínimo 2{\pi}; zeros: \operatorname{sen}x = 0 \iff x = k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}; maximizantes: \operatorname{sen}x = 1 \iff x = \frac{{\pi}}{2}+2k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}; minimizantes: \operatorname{sen}x = -1 \iff x = \frac{3{\pi}}{2}+2k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}; função ímpar: o gráfico é simétrico em relação à origem.

A função cosseno

domínio \mathbb{R}, contradomínio \left[-1,\,1\right], período positivo mínimo 2{\pi}; zeros: \cos x = 0 \iff x = \frac{{\pi}}{2}+k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}; maximizantes: \cos x = 1 \iff x = 2k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}; minimizantes: \cos x = -1 \iff x = {\pi}+2k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}; função par: o gráfico é simétrico em relação ao eixo Oy.

É tudo o que há para saber sobre equações

As seis expressões gerais acima são a totalidade das equações trigonométricas que este programa pede resolver analiticamente: as que levam o seno ou o cosseno a valer 0, 1 ou -1 — isto é, as que caem sobre os eixos do círculo. Uma equação como 2\operatorname{sen}x+2 = 0 resolve-se porque se reduz a \operatorname{sen}x = -1. Qualquer outro valor resolve-se com a calculadora gráfica, e é assim que os enunciados o pedem.

Laboratório · O ponto do círculo e a onda que ele escreve

interativo

Repara na última leitura: \operatorname{sen}^{2}+\cos^{2} dá 1 em toda a volta. Escolhe y = \operatorname{tg}x à direita e leva o ângulo até perto de \frac{{\pi}}{2}: o ponto Q foge para cima e a curva sobe para a assíntota — é aí que a tangente deixa de existir.

A tangente é o quociente das duas, e por isso falha onde o cosseno se anula. Entre duas falhas consecutivas, cresce de -\infty a +\infty.

x y −1 1 −π π π/2 −π/2
A tangente tem período {\pi}, contradomínio \mathbb{R} e uma assíntota vertical em cada zero do cosseno. Cresce em cada ramo — mas não no seu domínio.
A função tangente

domínio \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{2}+k{\pi} : k \in \mathbb{Z}\right\}, contradomínio \mathbb{R}, período positivo mínimo {\pi}; zeros: \operatorname{tg}x = 0 \iff x = k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}; não tem maximizantes nem minimizantes; função ímpar.

O erro típico

A tangente é crescente em cada intervalo \left]-\frac{{\pi}}{2}+k{\pi},\, \frac{{\pi}}{2}+k{\pi}\right[ — não no seu domínio. Repara que \frac{{\pi}}{4} < \frac{3{\pi}}{4} mas \operatorname{tg}\frac{{\pi}}{4} = 1 > -1 = \operatorname{tg}\frac{3{\pi}}{4}: entre os dois há uma assíntota, e a monotonia não atravessa assíntotas.

2 · O que cada parâmetro faz

Multiplicar o x por c comprime o gráfico na horizontal — e portanto encurta o período na mesma proporção.

Período de \operatorname{sen}(cx) e de \cos(cx) T = \frac{2{\pi}}{|c|}, \qquad c \neq 0.

Com c = 2 a onda repete-se duas vezes mais depressa; com c = \frac{1}{2}, duas vezes mais devagar. O sinal de c não afeta o período — só espelha o gráfico.

período T = 2π/|c| x y 1 3 5 a + |b| a a − |b|
Na família y = a + b\operatorname{sen}\left(c(x-d)\right), o a é o meio do contradomínio, o |b| é a amplitude, o |c| fixa o período e o d desloca na horizontal.
A família y = a+b\operatorname{sen}\left(c(x-d)\right)

contradomínio \left[a-|b|,\, a+|b|\right]; período positivo mínimo T = \dfrac{2{\pi}}{|c|}; a desloca na vertical e é o meio do contradomínio; d desloca na horizontal e não altera nem o contradomínio nem o período.

O mesmo vale com o cosseno em vez do seno. Exige-se b \neq 0 e c \neq 0: com b = 0 a função é constante e deixa de ter período mínimo.

Laboratório · Os quatro parâmetros de y = a + b\,f\left(c(x-d)\right), com f o seno, o cosseno ou a tangente

interativo

Mexe só no d e confirma que o contradomínio, o período e a amplitude não se alteram — a onda desliza, mas é a mesma onda. Depois torna b negativo e vê o gráfico virar-se sem que o contradomínio mude. Por fim escolhe a tangente: o contradomínio passa a ser \mathbb{R}, deixa de haver amplitude, e o período é \frac{{\pi}}{|c|} — metade do das outras duas.

3 · Fenómenos periódicos

Marés, dias e noites, batimentos cardíacos, a corrente elétrica de uma tomada, a altura de uma cadeira numa roda gigante: são todos fenómenos que se repetem em intervalos regulares. Chama-se-lhes periódicos, e é para os descrever que estas funções servem.

Definição · função periódica

Dado P > 0, uma função f diz-se periódica de período P se, para todo o x \in D_{f}, se tem x+P \in D_{f} e f(x+P) = f(x).

Ao menor período positivo, quando existe, chama-se período positivo mínimo ou período fundamental.

Amplitude e frequência

Numa função periódica e limitada, de máximo M e mínimo m, chama-se amplitude a metade da diferença entre eles; e frequência ao inverso do período positivo mínimo:

\text{amplitude} = \frac{M-m}{2}, \qquad \text{frequência} = \frac{1}{P}.

A frequência conta quantas oscilações completas cabem numa unidade — por segundo, por hora, por ano, conforme a variável.

Exemplo 4 Ler um modelo periódico

A distância, em centímetros, de uma bola ao solo, t segundos depois de a mola ter sido largada, é dada por d(t) = 40-10\cos\left(\dfrac{{\pi}t}{2}\right), com t \geq 0.

Determina a distância máxima e a distância mínima ao solo, o período e a frequência do movimento.

  1. Enquadrar. De -1 \leq \cos\left(\frac{{\pi}t}{2}\right) \leq 1 vem -10 \leq -10\cos\left(\frac{{\pi}t}{2}\right) \leq 10, e portanto 30 \leq d(t) \leq 50. Mínimo 30 cm, máximo 50 cm.
  2. Período. T = \frac{2{\pi}}{{\pi}/2} = 4\ \text{segundos}.
  3. Frequência. \frac{1}{4} oscilações por segundo.
  4. Amplitude. \frac{50-30}{2} = 10 cm — que é o valor de |b|, como havia de ser.Repara na ordem em que as desigualdades foram multiplicadas por -10: multiplicar por um número negativo inverte os sinais. Fazer isso de cabeça é o erro mais frequente nestes enquadramentos.
Respostamáximo 50 cm, mínimo 30 cm, T = 4 s, frequência \frac{1}{4}
O que a calculadora resolve, e o que não resolve

Nas questões de modelação, o contradomínio, o período e a amplitude determinam-se analiticamente — são leituras dos parâmetros. Já os instantes em que o fenómeno atinge um dado valor obtêm-se com a calculadora gráfica, intersetando o modelo com uma reta horizontal. Nesses itens, a resposta completa inclui a equação, o referencial com as curvas e as coordenadas dos pontos relevantes — e a calculadora tem de estar em modo radiano.

Python Descobrir o período por medição 
from math import sin, pi

def f(x):
    return 3 + 2 * sin(4 * (x - 0.5))

# procura dois maximos consecutivos, varrendo com passo pequeno
passo = 0.0005
maximos = []
x = 0.0
while x < 6 and len(maximos) < 2:
    if f(x) > f(x - passo) and f(x) >= f(x + passo):
        maximos.append(x)
        x = x + 1.0
    x = x + passo

print('maximos em', [round(v, 4) for v in maximos])
print('periodo medido  =', round(maximos[1] - maximos[0], 4))
print('periodo teorico =', round(2 * pi / 4, 4))

Os dois valores coincidem até às milésimas — a diferença é o passo do varrimento. Muda o 4 para 0{,}5 e confirma que o período quadruplica; muda o -0{,}5 e confirma que o período não muda.

NumWorks Pôr a máquina em radianos, e resolver uma equação trigonométrica no gráfico

  1. Antes de tudo o resto: tecla casa, aplicação Definições, primeira linha — Valor do ângulo. Tem de dizer Radianos.

    Repara no canto superior esquerdo do ecrã: a máquina escreve lá rad ou deg, em todos os ecrãs. É a verificação mais rápida que há, e a que evita o erro que mais custa num item de calculadora.

    Ecrã das definições da NumWorks com a primeira linha, Valor do ângulo, a dizer Radianos, e a etiqueta rad no canto superior esquerdo
    O modo do ângulo é a primeira linha das Definições — e o rad do canto confirma-o em qualquer ecrã.

  2. Aplicação Funções, separador Expressões. A equação é 4\operatorname{sen}x\left(1+2\cos x\right) = 5: escreve um lado em cada linha, f(x) = 4\operatorname{sen}x\left(1+2\cos x\right) e g(x) = 5.

    O seno e o cosseno têm tecla própria, e a máquina abre logo o parênteses. O x vem de x,n,t. Repara que ela classifica cada linha — «Função», «Função constante» — e é a primeira confirmação de que escreveste o que querias.

    Separador Expressões da NumWorks com f de x igual a 4 seno de x vezes 1 mais 2 cosseno de x, e g de x igual a 5
    Uma equação, duas funções: y_{1} e y_{2}. É o que a folha de prova também tem de mostrar.

  3. Separador Gráfico. A janela automática não serve: o domínio do problema é \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[. Sobe ao painel de cima, escolhe Eixos e põe x de 0 a 1{,}6 e y de 0 a 9.

    Porquê 1{,}6? Porque \frac{{\pi}}{2} \approx 1{,}571, e a janela tem de mostrar o domínio inteiro — nem menos, que esconderia soluções, nem muito mais, que as encolheria todas num canto.

    Gráfico da NumWorks na janela de 0 a 1,6 e de 0 a 9, com a curva a subir até um máximo perto de 7 e a reta horizontal de ordenada 5 a cortá-la em dois pontos
    É este desenho que se reproduz na folha de prova, com os eixos e as duas curvas identificados.

  4. No painel de cima, Cálculo. A máquina pergunta primeiro sobre que função — escolhe f — e segue por Encontrar \rightarrow Ponto de interseção. Escreve em baixo x = 0{,}4649795: arredondando, x \approx 0{,}46.

    A direita leva ao ponto seguinte: x \approx 1{,}44. São dois, e contá-los faz parte da resposta — a curva sobe até ao máximo e volta a descer, por isso corta a reta duas vezes. Se a máquina desse só um, era a janela que estava mal.

    Ecrã da NumWorks com o ponto de interseção assinalado e, no rodapé, x igual a 0,4649795 e f de x igual a g de x igual a 5
    A primeira interseção: x = 0{,}4649795.

Exercícios propostos

Quinze exercícios. Os primeiros leem propriedades e parâmetros; os últimos são de modelação, no formato em que o Exame os põe — com equação, gráfico da calculadora e valores arredondados.

Exercício 40§R4 · propriedades das três funções

Indica, para cada função, o domínio, o contradomínio e o período positivo mínimo.

a) f(x) = \operatorname{sen}xb) g(x) = \cos xc) h(x) = \operatorname{tg}x

Exercício 41§R4 · zeros e extremantes

Determina, em \left[0,\,2{\pi}\right]:

a) os zeros de f(x) = \operatorname{sen}x; b) os maximizantes de g(x) = \cos x; c) os minimizantes de f(x) = \operatorname{sen}x.

Exercício 42§R4 · contradomínio de uma família

Determina o contradomínio e o período positivo mínimo de cada função, de domínio \mathbb{R}.

a) f(x) = 3\operatorname{sen}xb) g(x) = \cos x+2c) h(x) = \operatorname{sen}(4x)d) j(x) = -2\cos\left(\dfrac{x}{3}\right)

Exercício 43§R4 · ler um gráfico periódico

De uma função periódica f sabe-se que o máximo é 9, o mínimo é 1 e que dois máximos consecutivos distam 6.

a) Indica o período positivo mínimo.b) Determina a amplitude.c) Determina a frequência.

Exercício 44§R4 · escolha múltipla

O período positivo mínimo da função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = \cos(3x), é:

  • (A)\dfrac{{\pi}}{3}
  • (B)\dfrac{2{\pi}}{3}
  • (C)3{\pi}
  • (D)6{\pi}
Exercício 45§R4 · contradomínio e período

Considera f(x) = 3\operatorname{sen}\left(2x-\dfrac{{\pi}}{3}\right)+1, de domínio \mathbb{R}.

a) Indica o contradomínio de f.b) Indica o período positivo mínimo de f.

Exercício 46§R4 · zeros de uma função composta

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = 2\operatorname{sen}x+2.

a) Determina o contradomínio de f.b) Determina, analiticamente, os zeros de f.

Exercício 47§R4 · reconhecer os parâmetros

De uma função g, definida em \mathbb{R} por g(x) = a+b\cos(cx), com b > 0 e c > 0, sabe-se que o contradomínio é \left[1,\,7\right] e que o período positivo mínimo é \dfrac{{\pi}}{2}.

Determina a, b e c.

Exercício 48§R4 · domínio de uma tangente

Determina o domínio e o contradomínio de cada função.

a) f(x) = \operatorname{tg}(2x)b) g(x) = 3\operatorname{tg}x-1

Exercício 49§R4 · a maré

Num certo porto, a altura da água, em metros, t horas depois da meia-noite, é dada aproximadamente por

h(t) = 2{,}8+1{,}2\operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{6}\left(t-4\right)\right), \quad t \in \left[0,\,24\right].

a) Determina a altura máxima e a altura mínima da água.b) Determina de quantas em quantas horas a maré se repete.c) Determina, recorrendo à calculadora gráfica, os instantes em que a água está a 3{,}5 metros, arredondados às centésimas.

Exercício 50§R4 · escolha múltipla

Uma boia move-se para cima e para baixo. A sua altura, em metros e relativamente ao nível médio do mar, t segundos após o início da observação, é dada por a(t) = 0{,}8\operatorname{sen}\left(\dfrac{{\pi}t}{4}\right).

A frequência deste movimento, em oscilações por segundo, é:

  • (A)\dfrac{1}{8}
  • (B)8
  • (C)\dfrac{{\pi}}{4}
  • (D)0{,}8
Exercício 51§R4 · mostrar que é periódica

Seja g a função, de domínio \mathbb{R}, definida por g(x) = \operatorname{sen}(2x)+1.

Mostra, pela definição, que {\pi} é período de g.

Exercício 52§R4 · uma expressão sem zeros

Considera a função f, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = 5+4\cos({\pi}x+{\pi}).

a) Determina o contradomínio de f. b) Mostra que f não tem zeros. c) Indica o período positivo mínimo e a frequência de f.

Exercício 53§R4 · ajustar um modelo

A temperatura média mensal, em graus Celsius, de uma cidade é bem modelada por uma função do tipo

T(n) = a+b\operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{6}\left(n-d\right)\right),

em que n é o número do mês (n = 1 corresponde a janeiro). Sabe-se que a temperatura máxima, 26\ ^{\circ}C, ocorre em julho, e que a mínima é 10\ ^{\circ}C.

Determina a, b e d, com b > 0 e d \in \left[0,\,12\right[.

Exercício 54§R4 · área e calculadora

Na figura de um problema, a área de uma região, em centímetros quadrados, é dada em função de x, com x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, por

A(x) = 4\operatorname{sen}x\left(1+2\cos x\right).

Determina, recorrendo à calculadora gráfica, os valores de x para os quais a área é igual a 5 cm2, arredondados às centésimas.

Na tua resposta deves apresentar a equação que permite resolver o problema, reproduzir num referencial os gráficos visualizados e apresentar as abcissas dos pontos relevantes.

Tudo se lê no círculo: o contradomínio do seno é o conjunto das ordenadas possíveis, o do cosseno o das abcissas, e o da tangente o das ordenadas na reta x = 1.

  1. a) D_{f} = \mathbb{R}, D'_{f} = \left[-1,\,1\right], período 2{\pi}.
  2. b) D_{g} = \mathbb{R}, D'_{g} = \left[-1,\,1\right], período 2{\pi}.
  3. c) D_{h} = \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{2}+k{\pi} : k \in \mathbb{Z}\right\}, D'_{h} = \mathbb{R}, período {\pi}.O período da tangente é {\pi} e não 2{\pi}: meia volta leva o lado extremidade para a mesma reta, e a tangente só depende da reta.
Respostaseno e cosseno: \mathbb{R}, \left[-1,1\right], 2{\pi} · tangente: \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{2}+k{\pi}\right\}, \mathbb{R}, {\pi}

Um zero do seno é um ponto do círculo com ordenada nula; um maximizante do cosseno é um ponto com abcissa 1. São sempre pontos sobre os eixos.

  1. a) \operatorname{sen}x = 0 \iff x = k{\pi}. Em \left[0,\,2{\pi}\right]: 0, {\pi} e 2{\pi}.
  2. b) \cos x = 1 \iff x = 2k{\pi}. No intervalo: 0 e 2{\pi}.
  3. c) \operatorname{sen}x = -1 \iff x = \frac{3{\pi}}{2}+2k{\pi}. No intervalo: \frac{3{\pi}}{2}.Os extremos 1 e -1 só se atingem num ponto da circunferência de cada vez — daí uma só família de soluções, com 2k{\pi}. Já os zeros do seno são dois pontos por volta, e por isso a família junta-se numa só com k{\pi}.
Respostaa) 0, {\pi}, 2{\pi} · b) 0, 2{\pi} · c) \frac{3{\pi}}{2}

Parte sempre de -1 \leq \operatorname{sen}(\cdots) \leq 1 e aplica as operações pela ordem em que aparecem. O período só depende do que multiplica o x.

  1. a) -3 \leq 3\operatorname{sen}x \leq 3: contradomínio \left[-3,\,3\right], período 2{\pi}.
  2. b) 1 \leq \cos x+2 \leq 3: contradomínio \left[1,\,3\right], período 2{\pi}.
  3. c) Contradomínio \left[-1,\,1\right]; período \frac{2{\pi}}{4} = \frac{{\pi}}{2}.
  4. d) -2 \leq -2\cos\left(\frac{x}{3}\right) \leq 2: contradomínio \left[-2,\,2\right]; período \frac{2{\pi}}{1/3} = 6{\pi}.O sinal de -2 vira o gráfico ao contrário, mas o contradomínio é o mesmo: \left[-|b|,\,|b|\right] não distingue o sinal de b.
Resposta\left[-3,3\right], 2{\pi} · \left[1,3\right], 2{\pi} · \left[-1,1\right], \frac{{\pi}}{2} · \left[-2,2\right], 6{\pi}

A distância entre dois máximos consecutivos é o período. A amplitude é metade da diferença entre o máximo e o mínimo, e a frequência é o inverso do período.

  1. a) P = 6.
  2. b) \text{amplitude} = \frac{M-m}{2} = \frac{9-1}{2} = 4.
  3. c) f = \frac{1}{P} = \frac{1}{6}.
  4. Se o fenómeno for temporal e P vier em segundos, a frequência lê-se em oscilações por segundo.Amplitude não é a mesma coisa que máximo. Aqui o máximo é 9 e a amplitude é 4: a onda oscila 4 unidades para cada lado do valor médio 5.
RespostaP = 6 · amplitude 4 · frequência \frac{1}{6}

Para g(x) = \cos(cx), com c \neq 0, o período positivo mínimo é \dfrac{2{\pi}}{|c|}.

  1. Com c = 3: T = \frac{2{\pi}}{|3|} = \frac{2{\pi}}{3}.
  2. A opção correta é a (B).A opção (D) sai de multiplicar por 3 em vez de dividir. Uma verificação rápida: \cos(3x) oscila mais depressa do que \cos x, logo o período tem de ser menor do que 2{\pi}.
RespostaOpção (B)

O seno anda sempre entre -1 e 1, seja qual for o argumento. Multiplicar por 3 estica; somar 1 levanta. E o período é \frac{2{\pi}}{|c|}, com c o que multiplica o x.

  1. a) Como -1 \leq \operatorname{sen}\left(2x-\frac{{\pi}}{3}\right) \leq 1, vem -3 \leq 3\operatorname{sen}(\cdots) \leq 3 e portanto -2 \leq f(x) \leq 4. O contradomínio é \left[-2,\,4\right].
  2. b) Com c = 2: T = \frac{2{\pi}}{2} = {\pi}.O -\frac{{\pi}}{3} não entra em nenhuma das duas respostas: desloca o gráfico na horizontal, mas não o estica nem o encolhe.
Resposta\left[-2,\,4\right] · T = {\pi}

Em b), isola o seno. O valor a que ele fica igual lê-se sobre um eixo do círculo.

  1. a) De -1 \leq \operatorname{sen}x \leq 1 vem 0 \leq f(x) \leq 4: contradomínio \left[0,\,4\right].
  2. b) f(x) = 0 \iff 2\operatorname{sen}x = -2 \iff \operatorname{sen}x = -1.
  3. A ordenada vale -1 num único ponto da circunferência: x = \frac{3{\pi}}{2}+2k{\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}.
  4. Note-se que 0 é o mínimo de f: os zeros são exatamente os minimizantes.Quando o zero de uma função trigonométrica coincide com o seu mínimo, há uma só família de soluções. Se o valor pedido estivesse dentro do contradomínio, haveria duas — e a leitura teria de ser feita no círculo, ponto a ponto.
Resposta\left[0,\,4\right] · x = \frac{3{\pi}}{2}+2k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}

O comprimento do contradomínio dá 2b; o meio do contradomínio dá a; e o período dá c.

  1. Amplitude. O contradomínio de b\cos(cx) é \left[-b,\,b\right], logo o de g é \left[a-b,\,a+b\right]. Do comprimento: (a+b)-(a-b) = 2b = 7-1 = 6 \iff b = 3.
  2. Deslocamento vertical. a-b = 1, logo a = 4 — que é o ponto médio de \left[1,\,7\right].
  3. Período. \frac{2{\pi}}{c} = \frac{{\pi}}{2} \iff c = 4.
  4. Portanto g(x) = 4+3\cos(4x).Estas três leituras — meio, amplitude, período — são as mesmas que servem para ajustar um modelo a dados reais, na alínea de modelação que fecha esta secção.
Respostaa = 4, b = 3, c = 4

A tangente existe onde o cosseno do argumento não se anula. Em a) o argumento é 2x: resolve a condição em ordem ao argumento e só depois isola o x.

  1. a) É preciso 2x \neq \frac{{\pi}}{2}+k{\pi}, isto é x \neq \frac{{\pi}}{4}+\frac{k{\pi}}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}. Logo D_{f} = \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{4}+\frac{k{\pi}}{2} : k \in \mathbb{Z}\right\} e D'_{f} = \mathbb{R}.
  2. b) O argumento é x: D_{g} = \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{2}+k{\pi}\right\}. Como a tangente toma todos os valores reais, 3\operatorname{tg}x-1 também: D'_{g} = \mathbb{R}.Dividir k{\pi} por 2 dá \frac{k{\pi}}{2}, e os pontos excluídos passam a estar duas vezes mais próximos — como tem de ser, porque \operatorname{tg}(2x) tem período \frac{{\pi}}{2}.
Respostaa) \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{4}+\frac{k{\pi}}{2}\right\}, \mathbb{R} · b) \mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{2}+k{\pi}\right\}, \mathbb{R}

Em a) e b) não é preciso calculadora: leem-se os parâmetros. Em c), representa y_{1} = h(t) e y_{2} = 3{,}5 e procura as interseções.

  1. a) De -1 \leq \operatorname{sen}(\cdots) \leq 1 vem 2{,}8-1{,}2 \leq h(t) \leq 2{,}8+1{,}2 \iff 1{,}6 \leq h(t) \leq 4. Máximo 4 metros, mínimo 1{,}6 metros.
  2. b) T = \frac{2{\pi}}{{\pi}/6} = 12\ \text{horas}.
  3. c) Na calculadora, em modo radiano, com a janela \left[0,\,24\right] \times \left[1,\,4{,}5\right], as curvas y_{1} = h(t) e y_{2} = 3{,}5 intersetam-se em t \approx 5{,}19; \quad t \approx 8{,}81; \quad t \approx 17{,}19; \quad t \approx 20{,}81.
  4. São quatro instantes, dois em cada ciclo de 12 horas — o que era de esperar, porque 3{,}5 está entre o mínimo e o máximo.Antes de aceitar o que a calculadora diz, conta quantas soluções deve haver. Se o valor está estritamente entre o mínimo e o máximo, há duas por período; e em 24 horas cabem dois períodos.
Respostaa) 4 m e 1{,}6 m · b) 12 h · c) \approx 5{,}19; 8{,}81; 17{,}19; 20{,}81

Primeiro o período, T = \frac{2{\pi}}{|c|}. A frequência é o seu inverso.

  1. Período. T = \frac{2{\pi}}{{\pi}/4} = 8\ \text{segundos}.
  2. Frequência. f = \frac{1}{T} = \frac{1}{8}.
  3. A opção correta é a (A).A opção (B) é o período, não a frequência; a (D) é a amplitude. Convém escrever a unidade — «oscilações por segundo» — antes de escolher: é ela que distingue as três.
RespostaOpção (A)

Pela definição, P é período de g quando g(x+P) = g(x) para todo o x do domínio. Calcula g(x+{\pi}) e usa que 2{\pi} é período do seno.

  1. Partir da definição. Seja x \in \mathbb{R} qualquer. O domínio é \mathbb{R}, logo x+{\pi} também lhe pertence.
  2. Calcular. g(x+{\pi}) = \operatorname{sen}\left(2(x+{\pi})\right)+1 = \operatorname{sen}(2x+2{\pi})+1.
  3. Usar o período do seno. Como 2{\pi} é período do seno, \operatorname{sen}(2x+2{\pi}) = \operatorname{sen}(2x): g(x+{\pi}) = \operatorname{sen}(2x)+1 = g(x).
  4. Como isto vale para todo o x, {\pi} é período de g. \squareMostrar que {\pi} é período não é o mesmo que mostrar que é o menor período positivo. A primeira afirmação prova-se assim, em três linhas; a segunda é o que a fórmula \frac{2{\pi}}{|c|} garante.
Respostag(x+{\pi}) = \operatorname{sen}(2x+2{\pi})+1 = \operatorname{sen}(2x)+1 = g(x)

Em b), a alínea a) já responde: basta ver onde é que o 0 fica em relação ao contradomínio.

  1. a) De -1 \leq \cos({\pi}x+{\pi}) \leq 1: -4 \leq 4\cos({\pi}x+{\pi}) \leq 4 \iff 1 \leq f(x) \leq 9. O contradomínio é \left[1,\,9\right].
  2. b) Como f(x) \geq 1 > 0 para todo o x, a função nunca se anula: não tem zeros. \square
  3. c) T = \frac{2{\pi}}{|{\pi}|} = 2, \qquad f_{\text{req}} = \frac{1}{2}.Resolver f(x) = 0 analiticamente daria \cos({\pi}x+{\pi}) = -\frac{5}{4}, impossível — mas o argumento do contradomínio é mais curto e mais seguro. Vale sempre a pena olhar para o contradomínio antes de tentar resolver uma equação.
Resposta\left[1,\,9\right] · f(x) \geq 1 > 0 · T = 2, frequência \frac{1}{2}

O a é o meio entre o máximo e o mínimo; o b é metade da diferença. Para o d: o seno vale 1 quando o argumento é \frac{{\pi}}{2}, e isso tem de acontecer em julho.

  1. O valor médio e a amplitude. a = \frac{26+10}{2} = 18, \qquad b = \frac{26-10}{2} = 8.
  2. O desfasamento. O máximo ocorre quando o seno vale 1, isto é quando o argumento é \frac{{\pi}}{2}. Julho é n = 7: \frac{{\pi}}{6}(7-d) = \frac{{\pi}}{2} \iff 7-d = 3 \iff d = 4.
  3. O modelo. T(n) = 18+8\operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{6}(n-4)\right).
  4. Confirmar. T(7) = 18+8\operatorname{sen}\frac{{\pi}}{2} = 26 e T(1) = 18+8\operatorname{sen}\left(-\frac{{\pi}}{2}\right) = 10. O período é \frac{2{\pi}}{{\pi}/6} = 12 meses, como tem de ser.O parâmetro d é o único que não se lê no eixo vertical: obriga a impor uma condição sobre onde o máximo acontece. É por isso que é o que mais custa a determinar — e o que os enunciados dão sempre com uma pista temporal.
Respostaa = 18, b = 8, d = 4

A equação é A(x) = 5. Representa y_{1} = A(x) e y_{2} = 5 em \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[ e procura as interseções. Cuidado com a janela: o domínio vai só até \frac{{\pi}}{2} \approx 1{,}571.

  1. A equação. 4\operatorname{sen}x\left(1+2\cos x\right) = 5, \quad x \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[.
  2. Na calculadora, em modo radiano, com a janela \left[0,\,1{,}6\right] \times \left[0,\,9\right]: representam-se y_{1} = 4\operatorname{sen}x\left(1+2\cos x\right), \qquad y_{2} = 5.
  3. As interseções. A curva sobe de 0 até um máximo próximo de x \approx 0{,}94 e desce depois até 4 em \frac{{\pi}}{2}. A reta y = 5 corta-a em dois pontos: x \approx 0{,}46 \quad\text{e}\quad x \approx 1{,}44.
  4. Confirmar que ambos pertencem ao domínio: os dois estão em \left]0,\,1{,}571\right[.O enunciado pede a equação, o gráfico e as abcissas. Nos itens de calculadora do Exame, a cotação está repartida pelas três coisas — apresentar só o valor final perde a maior parte dela.
Respostax \approx 0{,}46 e x \approx 1{,}44
01

Teste rápido

Doze questões de resposta imediata, com correção e explicação, sobre as quatro secções de revisão. Serve para verificares se o 11.º ano está no sítio — ou se convém voltar atrás antes de entrar nas Funções.

Pergunta 1 de 12
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02

Formulário essencial e referências

Tudo o que este capítulo usa, numa página. Se alguma linha parecer nova, é sinal de que a secção correspondente merece uma segunda leitura.

No triângulo retângulo

\operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}, \quad \cos{\alpha} = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{\operatorname{sen}{\alpha}}{\cos{\alpha}}

Valores exatos

\frac{{\pi}}{6}\frac{{\pi}}{4}\frac{{\pi}}{3}
\operatorname{sen}\frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{\sqrt{3}}{2}
\cos\frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\frac{1}{2}
\operatorname{tg}\frac{\sqrt{3}}{3}1\sqrt{3}

No círculo trigonométrico

\cos{\alpha} = \text{abcissa de } P, \quad \operatorname{sen}{\alpha} = \text{ordenada de } P \operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 1

Expressão geral das amplitudes dos ângulos com os mesmos lados:

{\alpha}+2k{\pi}, \quad k \in \mathbb{Z} \qquad \left({\alpha}+k \times 360^{\circ}\right)

Radiano

180^{\circ} = {\pi}\ \text{rad} s = r{\theta}, \qquad A_{\text{setor}} = \frac{1}{2}r^{2}{\theta} \quad ({\theta} \text{ em radianos})

Redução ao primeiro quadrante

\operatorname{sen}(-{\alpha}) = -\operatorname{sen}{\alpha} \qquad \cos(-{\alpha}) = \cos{\alpha} \qquad \operatorname{tg}(-{\alpha}) = -\operatorname{tg}{\alpha} \operatorname{sen}({\pi}-{\alpha}) = \operatorname{sen}{\alpha} \qquad \cos({\pi}-{\alpha}) = -\cos{\alpha} \operatorname{sen}({\pi}+{\alpha}) = -\operatorname{sen}{\alpha} \qquad \cos({\pi}+{\alpha}) = -\cos{\alpha} \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = \cos{\alpha} \qquad \cos\left(\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = \operatorname{sen}{\alpha} \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}+{\alpha}\right) = \cos{\alpha} \qquad \cos\left(\frac{{\pi}}{2}+{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha} \operatorname{sen}\left(\frac{3{\pi}}{2}\pm{\alpha}\right) = -\cos{\alpha} \cos\left(\frac{3{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha} \qquad \cos\left(\frac{3{\pi}}{2}+{\alpha}\right) = \operatorname{sen}{\alpha}

As três funções

\operatorname{sen}\cos\operatorname{tg}
domínio\mathbb{R}\mathbb{R}\mathbb{R}\setminus\left\{\frac{{\pi}}{2}+k{\pi}\right\}
contradomínio\left[-1,1\right]\left[-1,1\right]\mathbb{R}
período2{\pi}2{\pi}{\pi}
paridadeímparparímpar

Zeros, maximizantes e minimizantes

\operatorname{sen}x = 0 \iff x = k{\pi} \qquad \cos x = 0 \iff x = \frac{{\pi}}{2}+k{\pi} \operatorname{sen}x = 1 \iff x = \frac{{\pi}}{2}+2k{\pi} \qquad \operatorname{sen}x = -1 \iff x = \frac{3{\pi}}{2}+2k{\pi} \cos x = 1 \iff x = 2k{\pi} \qquad \cos x = -1 \iff x = {\pi}+2k{\pi} \operatorname{tg}x = 0 \iff x = k{\pi}

com k \in \mathbb{Z}. São estas as equações que se resolvem analiticamente. Qualquer outro valor pede a calculadora gráfica.

Famílias e fenómenos periódicos

y = a+b\operatorname{sen}\left(c(x-d)\right), \quad b \neq 0,\ c \neq 0

contradomínio \left[a-|b|,\, a+|b|\right]; período positivo mínimo T = \dfrac{2{\pi}}{|c|}; amplitude \dfrac{M-m}{2} · frequência \dfrac{1}{T}.

Antes de dar uma resolução por fechada

o quadrante não é decoração do enunciado: é o que escolhe o sinal depois da fórmula fundamental; uma expressão geral de amplitudes só está completa com k \in \mathbb{Z} escrito; nunca se divide por \operatorname{sen}x nem por \cos x numa equação: fatoriza-se, ou perdem-se soluções; quando o argumento não é x, resolve-se em ordem ao argumento e só depois se isola o x; a amplitude de uma função periódica é \frac{M-m}{2} — não é o máximo; o comprimento de arco e a área de setor exigem o ângulo em radianos; a tangente cresce em cada ramo, não no seu domínio; num item de calculadora, a resposta completa tem equação, referencial com as curvas e coordenadas — e a máquina em modo radiano.

Referências

Aprendizagens Essenciais · Matemática A · 11.º ano (2023), tema «Geometria», tópico «Trigonometria» — a origem de tudo o que está neste capítulo. Aprendizagens Essenciais · Matemática A · 12.º ano (2023), tema «Funções» — onde a trigonometria reaparece: as regras de derivação de \operatorname{sen}x, \cos x e \operatorname{tg}x em Funções · §14, e o limite \lim\limits_{x \to 0}\frac{\operatorname{sen}x}{x} = 1 em Limites · §02. Hiparco de Niceia — a primeira tabela de cordas, no século II a.C., que é o antepassado direto da tabela de senos. Leonhard Euler, Introductio in analysin infinitorum (1748) — onde o seno e o cosseno deixam de ser razões num triângulo e passam a ser funções de uma variável real. Joseph Fourier, Théorie analytique de la chaleur (1822) — a descoberta de que quase qualquer função periódica é uma soma de senos e cossenos.

03

Exercícios de Exame e exercícios globais

Primeiro o arquivo de exame: todos os itens de Provas Nacionais e de Testes Intermédios sobre a trigonometria do 11.º ano, com a prova e o ano indicados, do mais recente para o mais antigo. Depois, dezasseis exercícios originais que misturam as quatro secções, na ordem em que apareceriam numa prova: um item raramente avisa de que secção vem. Os enunciados são originais, escritos no formato do Exame Nacional — não são itens de prova, e por isso não trazem indicação de ano. Cada um tem sugestão e resolução passo a passo; o progresso fica guardado neste dispositivo.

Exercícios de Exame · Provas Nacionais e Testes Intermédios

Oitenta e nove itens de Prova Nacional e de Teste Intermédio, de 1998 a 2026, sobre a trigonometria do 11.º ano — é o arquivo inteiro, tirando dois itens que pedem \operatorname{arcsen} e \operatorname{arccos}, funções que não constam das Aprendizagens Essenciais de 2023. Repara em quantos se resolvem só com as coordenadas de um ponto da circunferência e um triângulo retângulo bem escolhido.

Item 1 construçãoExame 1998 · Prova modelo (adaptado)

Na figura está representado um triângulo [ABC]. Sabe-se que:

x é a amplitude do ângulo BCA; \overline{BC} = 2; [BH] é a altura relativa ao vértice B; \overline{AH} = 1.

A B C H 1 2 x
A altura [BH] parte o triângulo em dois triângulos retângulos. O da direita tem hipotenusa 2.

Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, para cada valor de x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, por \operatorname{sen}x\left(1+2\cos x\right).

Item 2 construçãoExame 1998 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Duas povoações, A e B, distanciadas 8 km uma da outra, estão a igual distância de uma fonte de abastecimento de água, localizada em F.

Pretende-se construir uma canalização ligando a fonte às duas povoações, como se indica na figura. A canalização é formada por três canos: um que vai da fonte F até um ponto P e dois que partem de P, um para A e outro para B. O ponto P está a igual distância de A e de B.

Tem-se ainda que:

o ponto M, ponto médio de [AB], dista 4 km de F; x é a amplitude do ângulo PAM, com x \in \left[0,\,\dfrac{{\pi}}{4}\right].

A B M F P 4 km 8 km x
A canalização tem três canos: [FP], [PA] e [PB], com \overline{PA} = \overline{PB}.

90.1. Tomando para unidade o quilómetro, mostre que o comprimento total da canalização é dado por 4+\dfrac{8-4\operatorname{sen}x}{\cos x}. (Sugestão: comece por mostrar que \overline{PA} = \dfrac{4}{\cos x} e que \overline{FP} = 4-4\operatorname{tg}x.) 90.2. Calcule o comprimento total da canalização para x = 0 e interprete o resultado obtido, referindo a forma da canalização e o consequente comprimento.

Item 3 construçãoExame 1998 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

A figura representa um canteiro de forma circular com 5 m de raio. O canteiro tem uma zona retangular, que se destina à plantação de flores, e uma zona relvada, assinalada a sombreado na figura.

Os vértices A, B, C e D do retângulo pertencem à circunferência que limita o canteiro. Na figura também estão assinalados:

dois diâmetros da circunferência, [EG] e [HF], que contêm os pontos médios dos lados do retângulo; o centro O da circunferência; o ângulo BOF, de amplitude x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

A B C D E G H F O 5 x
A zona relvada é o que sobra do círculo depois de tirar o retângulo.

Mostre que a área (em \text{m}^{2}) da zona relvada é dada por 25\left({\pi}-4\operatorname{sen}x\cos x\right).

Item 4 construçãoExame 1998 · 2.ª Fase

Na figura:

o triângulo [ABC] é isósceles, com \overline{AB} = \overline{BC}; [DEFG] é um retângulo; \overline{DG} = 2 e \overline{DE} = 1; x designa a amplitude do ângulo BAC.

A B C D G E F H I 1 1 x x
O retângulo está assente na base: D e G em [AC], E e F nos lados iguais.

Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada por

2+\operatorname{tg}x+\frac{1}{\operatorname{tg}x}, \quad x \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[.

Nota: pode ser-lhe útil reparar que o ângulo BEF tem a mesma amplitude que o ângulo BAC.

Item 5 construçãoExame 1998 · Prova para militares

Considere um triângulo retângulo [ABC], cujos catetos são [AB] e [BC]. Admita que se tem \overline{AB} = 1 e que x designa a amplitude do ângulo BAC.

A B C 1 x
O cateto conhecido, [AB], é o adjacente ao ângulo x.

87.1. Mostre que o perímetro do triângulo [ABC] é dado, para cada valor de x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, por \dfrac{1+\operatorname{sen}x+\cos x}{\cos x}. 87.2. Seja {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[ tal que \cos\left(\dfrac{{\pi}}{2}+{\alpha}\right) = -\dfrac{3}{5}. Determine o valor do perímetro do triângulo [ABC] para este valor de {\alpha}.

Item 6 construçãoExame 1999 · Prova modelo (adaptado)

Na figura está representado o trapézio isósceles [ABCD] (os lados [AD] e [BC] são paralelos). Tem-se que:

\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{CD} = 1; \overline{AD} \leq 1.

Seja {\alpha} a amplitude do ângulo ABC, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{3},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right].

A D B C P Q 1 1 1 α
Os pontos P e Q são as projeções de A e D sobre [BC]: cortam a base maior em três pedaços.

86.1. Mostre que, para cada {\alpha} nesse intervalo, a área do trapézio é igual a \left(\operatorname{sen}{\alpha}\right)\left(1-\cos{\alpha}\right). 86.2. Determine a área do trapézio para {\alpha} = \dfrac{{\pi}}{2} e interprete geometricamente o resultado obtido, caracterizando o quadrilátero que se obtém neste caso.

Item 7 escolha múltiplaExame 2000 · Prova para militares

Na figura está representado um triângulo retângulo [ABC], cuja hipotenusa mede 2 m.

A B C 2 m α
A hipotenusa é [BC]: é ela que mede 2 m, e é dela que saem os dois catetos.

Qual das expressões seguintes dá a área (em \text{m}^{2}) do triângulo [ABC], em função da amplitude, {\alpha}, do ângulo ABC?

  • (A)2\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}
  • (B)2\operatorname{sen}{\alpha} \times \operatorname{tg}{\alpha}
  • (C)4\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}
  • (D)4\operatorname{sen}{\alpha} \times \operatorname{tg}{\alpha}
Item 8 construçãoExame 2001 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Na figura está representada uma pirâmide quadrangular regular. Sabe-se que:

a base da pirâmide tem centro F e lado 2; G é o ponto médio da aresta [BC]; x designa a amplitude do ângulo FGE.

A B C D E F G x 2
O segmento [EG] é a altura de uma face lateral; [FG] é metade do lado da base.

Mostre que a área total da pirâmide é dada, em função de x, por

\frac{4\cos x+4}{\cos x}, \quad x \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[.
Item 9 escolha múltiplaExame 2001 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:

um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1; uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1,\,0); um ponto A, pertencente a esta semirreta; um ângulo de amplitude {\alpha}, cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta \dot{O}A.

x A P O α 1
A região parte-se em duas: o quarto de círculo e o triângulo [OPA].

Qual das expressões seguintes dá a área da região sombreada, em função de {\alpha}?

  • (A)\frac{{\pi}}{4}+\frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}
  • (B)\frac{{\pi}}{4}+\frac{2}{\operatorname{tg}{\alpha}}
  • (C){\pi}+\frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}
  • (D){\pi}+\frac{2}{\operatorname{tg}{\alpha}}
Item 10 construçãoExame 2001 · Época especial

Na figura está representado um lago artificial de forma retangular.

Pretende-se construir uma ponte, ligando duas margens do lago, entre os pontos P_{1} e P_{2}, tal como a figura ilustra. A ponte tem um ponto de apoio A, situado a 12 m de uma das margens e a 16 m da outra.

Seja x a amplitude do ângulo P_{2}P_{1}B.

B P₁ P₂ A 12 16 x
O apoio A está a 12 m de uma margem e a 16 m da outra: são essas as duas distâncias que fixam a ponte.

82.1. Mostre que o comprimento da ponte, em metros, é dado por \dfrac{16\operatorname{sen}x+12\cos x}{\operatorname{sen}x\cos x}. 82.2. Considerando que a localização de P_{1} e P_{2} pode variar, determine o comprimento da ponte para o qual se tem \overline{BP_{1}} = \overline{BP_{2}}. Apresente o resultado em metros, arredondado às décimas.

Item 11 construçãoExame 2002 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Na figura está representado um quadrado [ABCD] de lado 1.

O ponto E desloca-se sobre o lado [AB] e o ponto F desloca-se sobre o lado [AD], de tal forma que se tem sempre \overline{AE} = \overline{AF}.

Para cada posição do ponto E, seja x a amplitude do ângulo BEC, com x \in \left]\dfrac{{\pi}}{4},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

A B C D E F 1 x
O quadrilátero [CEAF] é simétrico em relação à diagonal [AC]: \overline{AE} = \overline{AF} e \overline{EC} = \overline{FC}.

Recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, mostre que o perímetro do quadrilátero [CEAF] é dado, em função de x, por

2-\frac{2}{\operatorname{tg}x}+\frac{2}{\operatorname{sen}x}.
Item 12 escolha múltiplaExame 2002 · 1.ª Fase, 2.ª chamada

Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico e um triângulo [OAB].

Os pontos A e B pertencem à circunferência. O segmento [AB] é perpendicular ao semieixo positivo Ox. O ponto C é o ponto de interseção da circunferência com o semieixo positivo Ox.

Seja {\alpha} a amplitude do ângulo COA, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

x y A B C P O α
O ponto P é a interseção de [AB] com o eixo Ox: é o pé da altura do triângulo.

Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OAB], em função de {\alpha}?

  • (A)\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}
  • (B)\frac{\operatorname{tg}{\alpha} \times \cos{\alpha}}{2}
  • (C)\operatorname{tg}{\alpha} \times \operatorname{sen}{\alpha}
  • (D)\frac{\operatorname{tg}{\alpha} \times \operatorname{sen}{\alpha}}{2}
Item 13 escolha múltiplaExame 2002 · 2.ª Fase

Considere uma circunferência de centro C e raio 1, tangente a uma reta r. Um ponto P começa a deslocar-se sobre a circunferência, no sentido indicado na figura. Inicialmente, o ponto P encontra-se à distância de duas unidades da reta r.

Seja d a distância de P a r, após uma rotação de amplitude {\alpha}.

C I P r d α 1
A posição inicial I está à distância 2 de r: é o ponto da circunferência mais afastado da reta.

Qual das igualdades seguintes é verdadeira para qualquer número real positivo {\alpha}?

  • (A)d = 1+\cos{\alpha}
  • (B)d = 2+\operatorname{sen}{\alpha}
  • (C)d = 1-\cos{\alpha}
  • (D)d = 2-\operatorname{sen}{\alpha}
Item 14 construçãoExame 2003 · 1.ª Fase, 1.ª chamada

Na figura está representado a sombreado um polígono [ABEG]. Tem-se que:

[ABFG] é um quadrado de lado 2; FD é um arco de circunferência de centro em B; o ponto E move-se ao longo desse arco; em consequência, o ponto C desloca-se sobre o segmento [BD], de tal forma que se tem sempre [EC] \perp [BD]; x designa a amplitude, em radianos, do ângulo CBE, com x \in \left[0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right].

A B F G D E C 2 2 2 x
O polígono sombreado é [ABEG]. A sugestão do enunciado é vê-lo dentro do trapézio [ACEG].

78.1. Mostre que a área do polígono [ABEG] é dada, em função de x, por 2\left(1+\operatorname{sen}x+\cos x\right). (Sugestão: pode ser-lhe útil considerar o trapézio [ACEG].) 78.2. Determine a área do polígono para x = 0 e para x = \dfrac{{\pi}}{2}. Interprete geometricamente cada um dos valores obtidos.

Item 15 construçãoExame 2003 · 1.ª Fase, 2.ª chamada (adaptado)

Considere {\theta} \in \mathbb{R}. Sabendo que \operatorname{tg}{\theta} = \dfrac{1}{2}, sem recorrer à calculadora, calcule o valor de 2-5\operatorname{sen}^{2}{\theta}.

Item 16 escolha múltiplaExame 2003 · 2.ª Fase

Na figura está representado um trapézio retângulo [ABCD], cujas bases têm 10 e 30 unidades de comprimento e a altura tem 10 unidades de comprimento.

Considere que um ponto P se desloca sobre o segmento [AB]. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo PDA.

A B C D P 10 30 10 x
O segmento [PD] corta o trapézio em dois: um triângulo e um quadrilátero.

Pretende-se determinar o valor de x para o qual o segmento [PD] divide o trapézio em duas figuras com a mesma área.

Qual das equações seguintes traduz este problema?

  • (A)\frac{30^{2}\operatorname{sen}x}{2} = 100
  • (B)\frac{30^{2}\operatorname{tg}x}{2} = 100
  • (C)\frac{30 \times 10\operatorname{sen}x}{4} = 150
  • (D)\frac{30 \times 10\operatorname{tg}x}{4} = 150
Item 17 construçãoExame 2003 · Prova para militares

A Rita foi andar num carrossel. A figura ilustra a situação.

Em cada volta, que se inicia no ponto A, a Rita descreve uma circunferência com 5 metros de raio, centrada no ponto O, rodando no sentido indicado na figura.

A mãe da Rita ficou a observá-la de um ponto M, situado à distância de 8 metros de O e tal que o ângulo AOM é reto.

Para cada posição R, da Rita, fica determinado um ângulo de amplitude x, medida em radianos, que tem como lado origem a semirreta \dot{O}A e como lado extremidade a semirreta \dot{O}R.

R M A B C O x 5 8 d(x)
O ângulo AOM é reto: [OA] e [OM] dão dois eixos perpendiculares.

75.1. Mostre que, para cada valor de x, a distância d(x), da Rita à mãe, é dada, em metros, por d(x) = \sqrt{89-80\operatorname{sen}x}. 75.2. Calcule d\left(\frac{{\pi}}{2}\right) e justifique o valor obtido, no contexto do problema.

Item 18 escolha múltiplaExame 2004 · 2.ª Fase

Na figura está representada parte do gráfico de uma função periódica.

x y −4π/9 2π/9 8π/9 14π/9 O
Os quatro valores marcados no eixo são maximizantes e minimizantes, alternadamente.

Qual dos valores seguintes poderá ser período desta função?

  • (A)\frac{{\pi}}{9}
  • (B)\frac{2{\pi}}{9}
  • (C)\frac{2{\pi}}{3}
  • (D)\frac{4{\pi}}{3}
Item 19 construçãoExame 2005 · 1.ª Fase

Na figura está representada uma circunferência com centro no ponto O e raio 3. Os diâmetros [EF] e [GH] são perpendiculares.

Considere que o ponto B se desloca sobre o arco FG. Os pontos A, C e D acompanham o movimento do ponto B, de tal forma que:

as cordas [AB] e [CD] permanecem paralelas a [EF]; [AD] e [BC] são sempre diâmetros da circunferência.

Os pontos I e J também acompanham o mesmo movimento, de tal forma que são sempre os pontos de interseção de [GH] com [AB] e [CD], respetivamente.

B A C D I J F E G H O x 3
A região sombreada parte-se em quatro triângulos iguais e quatro setores de amplitude x.

Para cada posição do ponto B, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo FOB, com x \in \left[0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right].

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por 18\left(x+\operatorname{sen}x \times \cos x\right).

Sugestão: use a decomposição sugerida na figura.

Item 20 construçãoExame 2005 · Época especial

Na figura estão representadas uma semirreta \dot{A}B e uma circunferência de centro O e de raio 1 (os pontos O, A e B são colineares; o ponto A pertence à circunferência).

Considere que o ponto P se desloca ao longo da semirreta \dot{A}B, nunca coincidindo com o ponto A. Os pontos R e S acompanham o movimento do ponto P, de tal forma que as retas PR e PS são sempre tangentes à circunferência, nos pontos R e S, respetivamente.

Seja {\alpha} a amplitude, em radianos, do ângulo SOR, com {\alpha} \in \left]0,\,{\pi}\right[.

R S P A B O α
As tangentes tocam a circunferência em R e S: cada raio é perpendicular à respectiva tangente.

Mostre que a área do quadrilátero [ORPS] é dada, em função de {\alpha}, por \operatorname{tg}\dfrac{{\alpha}}{2}.

Item 21 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 19.05.2006

Na figura está representado o círculo trigonométrico e um triângulo [OPR].

o ponto P desloca-se ao longo da circunferência, no primeiro quadrante; o ponto R desloca-se ao longo do eixo Ox, de tal modo que o triângulo [OPR] é sempre isósceles.

x y P R Q O α
O triângulo [OPR] é isósceles: a altura tirada de P é também mediana.

Sendo {\alpha} a amplitude, em radianos, do ângulo ROP, qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [OPR], em função de {\alpha}?

  • (A)\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}
  • (B)2\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}
  • (C)\frac{1+\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}}{2}
  • (D)\frac{\left(1+\cos{\alpha}\right)\operatorname{sen}{\alpha}}{2}
Item 22 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 19.05.2006

Da amplitude {\alpha} de um certo ângulo orientado sabe-se que \cos{\alpha} < 0 e \operatorname{tg}{\alpha} > 0.

Qual das expressões seguintes dá o valor de \operatorname{sen}{\alpha}?

  • (A)\sqrt{1-\cos^{2}{\alpha}}
  • (B)-\sqrt{1-\cos^{2}{\alpha}}
  • (C)\sqrt{1+\cos^{2}{\alpha}}
  • (D)-\sqrt{1+\cos^{2}{\alpha}}
Item 23 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 19.05.2006

Sabe-se que {\beta} \in \mathbb{R} é uma solução da equação \operatorname{sen}x = \dfrac{1}{5}.

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação \cos x = -\dfrac{1}{5}?

  • (A){\pi}+{\beta}
  • (B)\frac{{\pi}}{2}+{\beta}
  • (C)-{\beta}
  • (D)\frac{{\pi}}{2}-{\beta}
Item 24 escolha múltiplaExame 2006 · 2.ª Fase

Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco AB, que está contido na circunferência de equação x^{2}+y^{2} = 1.

O ponto C pertence ao eixo Ox e o segmento de reta [AC] é perpendicular a este eixo. {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB.

x y A C B O α
A fronteira da região tem três pedaços: o arco AB, o segmento [AC] e o segmento [CB].

Qual é a expressão que dá o perímetro da região sombreada, em função de {\alpha}?

  • (A){\pi} \times {\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}+\cos{\alpha}
  • (B){\pi} \times {\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}+1-\cos{\alpha}
  • (C)1+{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha}+\cos{\alpha}
  • (D)1+{\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}-\cos{\alpha}
Item 25 escolha múltiplaExame 2006 · Época especial

Na figura está representado o círculo trigonométrico. Os pontos A, B e C têm coordenadas (1,\,0), (0,\,1) e (0,\,-1), respetivamente.

O ponto P desloca-se ao longo do arco AB, nunca coincidindo com o ponto B. Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude do ângulo AOP, e seja f(x) a área do triângulo [OPC].

x y P A B C O x
A base do triângulo é [OC], sobre o eixo Oy: a altura é a abcissa de P.

Qual das expressões seguintes define a função f?

  • (A)\frac{\operatorname{sen}x}{2}
  • (B)\frac{\cos x}{2}
  • (C)\frac{\operatorname{sen}x+\cos x}{2}
  • (D)\frac{\operatorname{sen}x \times \cos x}{2}
Item 26 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 10.05.2007

Indique as soluções da equação 5+2\cos x = 6 que pertencem ao intervalo \left]0,\,2{\pi}\right[.

  • (A)\dfrac{{\pi}}{3} \text{ e } \dfrac{4{\pi}}{3}
  • (B)\dfrac{{\pi}}{3} \text{ e } \dfrac{5{\pi}}{3}
  • (C)\dfrac{{\pi}}{6} \text{ e } \dfrac{7{\pi}}{6}
  • (D)\dfrac{{\pi}}{6} \text{ e } \dfrac{11{\pi}}{6}
Item 27 construçãoTeste Intermédio 11.º · 10.05.2007

Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:

o círculo trigonométrico; a reta r, de equação x = 1; o ângulo, de amplitude {\alpha}, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta \dot{O}A; o ponto B, interseção do prolongamento da semirreta \dot{O}A com a reta r.

Como a figura sugere, a ordenada de B é \sqrt{8}.

x y B A O √8 α r
O ângulo {\alpha} tem por lado extremidade a semirreta \dot{O}A, com A no 3.º quadrante.

Sem recorrer à calculadora, determine o valor de

5\operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}+{\alpha}\right)+2\cos\left(3{\pi}-{\alpha}\right)
Item 28 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 24.01.2008

Na figura está representado um triângulo [ABC] com dois ângulos de amplitude {\alpha} e um ângulo de amplitude {\beta}.

A C B α α β
Dois ângulos iguais, de amplitude {\alpha}, e um terceiro de amplitude {\beta}.

Qual das igualdades seguintes é verdadeira, para qualquer triângulo nestas condições?

  • (A)\cos{\beta} = \operatorname{sen}(2{\alpha})
  • (B)\cos{\beta} = \cos(2{\alpha})
  • (C)\cos{\beta} = -\operatorname{sen}(2{\alpha})
  • (D)\cos{\beta} = -\cos(2{\alpha})
Item 29 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 24.01.2008

Seja {\theta} um valor pertencente ao intervalo \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[.

Qual das expressões seguintes designa um número real positivo?

  • (A)\cos{\theta}-\operatorname{sen}{\theta}
  • (B)\operatorname{sen}{\theta} \times \cos{\theta}
  • (C)\operatorname{sen}{\theta} \times \operatorname{tg}{\theta}
  • (D)\operatorname{sen}{\theta}-\operatorname{tg}{\theta}
Item 30 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 24.01.2008

Considere a equação

1+3\operatorname{tg}(2x) = 4

Qual dos seguintes valores é solução desta equação?

  • (A)-\dfrac{{\pi}}{8}
  • (B)\dfrac{3{\pi}}{8}
  • (C)\dfrac{5{\pi}}{8}
  • (D)\dfrac{7{\pi}}{8}
Item 31 construçãoTeste Intermédio 11.º · 24.01.2008

Na figura estão representadas, em referencial o.n. xOy, uma reta e uma circunferência com centro na origem e raio igual a 5.

Os pontos A e B pertencem à circunferência; o ponto A também pertence ao eixo das abcissas.

Admita que o ponto B se desloca ao longo da circunferência, no primeiro quadrante. Para cada posição de B, seja {\alpha} a amplitude do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta \dot{O}B, e seja d o comprimento do segmento [AB].

x y A B 5 O α d
O ponto B desloca-se no arco do 1.º quadrante; d = \overline{AB}.

a) Mostre que d^{2} = 50+50\cos{\alpha}. b) Para uma certa posição do ponto B, tem-se \operatorname{tg}{\alpha} = \sqrt{24}. Sem recorrer à calculadora, determine, para este caso, o valor de d.

Item 32 escolha múltiplaTeste Intermédio 12.º · 29.04.2008

Na figura está representado o círculo trigonométrico. Tal como a figura sugere, O é a origem do referencial, Q pertence à circunferência, P é o ponto de coordenadas (1,\,0) e R é o ponto de coordenadas (-1,\,0).

A amplitude, em radianos, do ângulo POQ é \dfrac{5{\pi}}{7}.

x y Q R P O 5π/7
O ângulo POQ tem \frac{5{\pi}}{7} radianos.

Qual é o valor, arredondado às centésimas, da área do triângulo [OQR]?

  • (A)0{,}39
  • (B)0{,}42
  • (C)0{,}46
  • (D)0{,}49
Item 33 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 06.05.2008

Na figura está representado, em referencial o.n. xOy, um arco de circunferência AB, de centro na origem do referencial e raio igual a 1. A reta r tem equação y = 1. O ponto C pertence ao arco AB.

Seja {\alpha} a amplitude do ângulo AOC.

x y C A B O α d r
A reta r é y = 1, tangente ao arco no ponto B.

Qual das expressões seguintes dá a distância d do ponto C à reta r?

  • (A)1+\operatorname{sen}{\alpha}
  • (B)1-\operatorname{sen}{\alpha}
  • (C)1+\cos{\alpha}
  • (D)1-\cos{\alpha}
Item 34 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 06.05.2008

Seja x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

Qual das expressões seguintes designa um número positivo?

  • (A)\cos\left({\pi}-x\right)
  • (B)\operatorname{sen}\left({\pi}-x\right)
  • (C)\cos\left(\dfrac{3{\pi}}{2}-x\right)
  • (D)\operatorname{sen}\left(\dfrac{3{\pi}}{2}-x\right)
Item 35 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 29.01.2009

Considere a equação trigonométrica

\cos x = -0{,}3

Num dos intervalos seguintes, esta equação tem apenas uma solução. Em qual deles?

  • (A)\left[0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right]
  • (B)\left[0,\,{\pi}\right]
  • (C)\left[\dfrac{{\pi}}{2},\,\dfrac{3{\pi}}{2}\right]
  • (D)\left[\dfrac{3{\pi}}{2},\,2{\pi}\right]
Item 36 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 29.01.2009

Na figura estão representados, em referencial o.n. xOy:

o círculo trigonométrico; o raio [OB] deste círculo; o arco de circunferência AB, de centro no ponto C.

Tal como a figura sugere, o ponto B pertence ao primeiro quadrante, os pontos A e C pertencem ao eixo Ox e a reta BC é perpendicular a este eixo.

Seja {\theta} a amplitude do ângulo AOB.

x y B C A O θ
O arco AB tem centro em C: por isso \overline{CA} = \overline{CB}.

Qual é a abcissa do ponto A?

  • (A)1+\operatorname{sen}{\theta}
  • (B)1+\cos{\theta}
  • (C)\cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}
  • (D)1+\cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}
Item 37 construçãoTeste Intermédio 11.º · 29.01.2009

Relativamente à figura, sabe-se que:

o triângulo [ABD] é retângulo em B; o ponto C pertence ao cateto [BD]; x designa a amplitude, em radianos, do ângulo BAD; \overline{AB} = 2 e \overline{BC} = 1.

A B C D x 2 1
O ponto C está no cateto [BD], com \overline{BC} = 1.

a) Mostre que a área do triângulo [ACD] é dada por 2\operatorname{tg}x-1. b) Determine o valor de x para o qual a área do triângulo [ACD] é igual a 1. c) Sabendo que \operatorname{sen}\left(\dfrac{{\pi}}{2}+a\right) = \dfrac{5}{13} e que a \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, determine o valor de 2\operatorname{tg}a-1.

Item 38 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 07.05.2009

Na figura está representado o círculo trigonométrico.

Os pontos P e Q pertencem à circunferência, sendo PQ uma reta paralela ao eixo Ox. O ponto R pertence ao eixo Ox. O ângulo ROP tem 53^{\circ} de amplitude.

x y P Q R O 53°
A reta PQ é paralela ao eixo Ox, e o ângulo ROP tem 53^{\circ}.

Qual é o perímetro do triângulo [OPQ], com valor aproximado às décimas?

  • (A)3{,}2
  • (B)3{,}4
  • (C)3{,}6
  • (D)3{,}8
Item 39 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 07.05.2009

A Inês olhou para o seu relógio quando este marcava 10 h e 45 min. Passado algum tempo, ao ver novamente as horas, a Inês concluiu que o ponteiro dos minutos tinha rodado -3{\pi} radianos.

Que horas marcava o relógio da Inês, neste último instante?

  • (A)11 h e 15 min
  • (B)11 h e 45 min
  • (C)12 h e 15 min
  • (D)13 h e 45 min
Item 40 escolha múltiplaExame 2009 · 1.ª Fase (adaptado)

Na figura está representado um triângulo inscrito numa circunferência de centro O e raio igual a 1. Um dos lados do triângulo é um diâmetro da circunferência.

O x 2
A região sombreada é o círculo menos o triângulo.

Qual das expressões seguintes representa, em função de x, a área da parte sombreada?

  • (A){\pi}-2\operatorname{sen}x\cos x
  • (B)\dfrac{{\pi}}{2}-2\operatorname{sen}x\cos x
  • (C){\pi}-\operatorname{sen}x\cos x
  • (D){\pi}-\dfrac{\operatorname{sen}x\cos x}{2}
Item 41 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 27.01.2010

Em cada uma das figuras seguintes está representado, no círculo trigonométrico, a traço grosso, o lado extremidade de um ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox.

Em qual das figuras esse ângulo pode ter 3 radianos de amplitude?

x y O
(A)
x y O
(B)
x y O
(C)
x y O
(D)
Item 42 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 27.01.2010

Considere a equação trigonométrica

\operatorname{sen}x = 0{,}1

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

  • (A)\left[-\dfrac{{\pi}}{2},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right]
  • (B)\left[0,\,{\pi}\right]
  • (C)\left[0,\,\dfrac{{\pi}}{6}\right]
  • (D)\left[\dfrac{{\pi}}{6},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right]
Item 43 construçãoTeste Intermédio 11.º · 27.01.2010

Na figura está representado o quadrado [ABCD] de lado 2.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do lado [CD], nunca coincidindo com C nem com D. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BAP, com x \in \left]\dfrac{{\pi}}{4},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

A B C D P x 2 2
O ponto P desloca-se no lado [DC]; x é a amplitude do ângulo BAP.

Resolva os três itens seguintes sem recorrer à calculadora, a não ser para efetuar eventuais cálculos numéricos.

a) Mostre que a área da região sombreada é dada por 4-\dfrac{2}{\operatorname{tg}x}. b) Determine o valor de x para o qual a área da região sombreada é \dfrac{12-2\sqrt{3}}{3}. c) Para um certo valor de x, sabe-se que \cos\left(x+\dfrac{{\pi}}{2}\right) = -\dfrac{15}{17}. Determine, para esse valor, a área da região sombreada.

Item 44 construçãoTeste Intermédio 11.º · 06.05.2010

Considere, num referencial o.n. Oxyz, a superfície esférica E, de equação

x^{2}+y^{2}+\left(z-2\right)^{2} = 4

Para um certo valor de {\alpha} pertencente ao intervalo \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, o ponto P, de coordenadas \left(\operatorname{tg}{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha},\,2+\cos{\alpha}\right), pertence à superfície esférica E.

Determine os valores numéricos das coordenadas do ponto P.

Item 45 construçãoTeste Intermédio 12.º · 19.05.2010

Na figura está representado um triângulo retângulo [ABC], cujos catetos [AB] e [BC] medem 5 unidades.

Considere que um ponto P se desloca sobre o cateto [BC], nunca coincidindo com B nem com C. Para cada posição de P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo BAP, com x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{4}\right[.

A B C P x 5 5
O ponto P desloca-se no cateto [BC]; x é a amplitude do ângulo BAP.

Mostre, usando exclusivamente métodos analíticos, que para cada valor de x o perímetro do triângulo [APC] é dado por

\frac{5}{\cos x}-5\operatorname{tg}x+\sqrt{50}+5
Item 46 construçãoExame 2010 · 1.ª Fase

Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo [OAB].

Sabe-se que:

a circunferência tem diâmetro [OA]; o ponto A tem coordenadas (2,\,0); o vértice O do triângulo coincide com a origem do referencial; o ponto B desloca-se ao longo da semicircunferência superior.

Para cada posição do ponto B, seja {\alpha} a amplitude do ângulo AOB, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

x y O A B 1 α
O triângulo [OAB] está inscrito numa semicircunferência com o diâmetro por lado: é retângulo em B.

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de {\alpha}, por

2\left(1+\cos{\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}\right)
Item 47 construçãoExame 2010 · 2.ª Fase

Um depósito de combustível tem a forma de uma esfera. A figura representa um corte do depósito, feito por um plano vertical que passa pelo centro da esfera.

Sabe-se que:

o ponto O é o centro da esfera; a esfera tem 6 metros de diâmetro; a amplitude {\theta}, em radianos, do arco AB é igual à do ângulo ao centro AOB correspondente.

A B C O θ
O ponto A é o mais baixo da esfera; C está no nível do combustível, na vertical de A.

A altura \overline{AC}, em metros, do combustível existente no depósito é dada, em função de {\theta}, por h, de domínio \left[0,\,{\pi}\right].

Resolva os itens seguintes recorrendo a métodos exclusivamente analíticos.

a) Mostre que h({\theta}) = 3-3\cos{\theta}, para qualquer {\theta} \in \left]0,\,{\pi}\right[. b) Resolva a condição h({\theta}) = 3, com {\theta} \in \left]0,\,{\pi}\right[, e interprete o resultado no contexto da situação.

Item 48 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 27.01.2011

Considere, em \mathbb{R}, a equação trigonométrica

\cos x = 0{,}9

Em qual dos intervalos seguintes esta equação não tem solução?

  • (A)\left[-\dfrac{{\pi}}{2},\,\dfrac{{\pi}}{2}\right]
  • (B)\left[0,\,{\pi}\right]
  • (C)\left[\dfrac{{\pi}}{4},\,\dfrac{3{\pi}}{4}\right]
  • (D)\left[-\dfrac{{\pi}}{4},\,\dfrac{{\pi}}{4}\right]
Item 49 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 27.01.2011

Na figura está representado o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

a reta r é tangente à circunferência no ponto A(1,\,0); a reta s passa na origem do referencial e interseta a reta r no ponto P, cuja ordenada é 2; o ponto Q, situado no terceiro quadrante, pertence à reta s.

Seja {\alpha} a amplitude, em radianos, do ângulo orientado assinalado na figura, que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta \dot{O}Q.

x y P Q A O 2 α r s
O ângulo {\alpha} é medido no sentido positivo, do semieixo positivo Ox até à semirreta \dot{O}Q.

Qual é o valor de {\alpha}, arredondado às centésimas?

  • (A)4{,}23
  • (B)4{,}25
  • (C)4{,}27
  • (D)4{,}29
Item 50 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 27.01.2011

Sejam {\alpha}, {\beta} e {\theta} três números reais.

Sabe-se que:

{\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{4}\right[; {\alpha}+{\beta} = \dfrac{{\pi}}{2}; {\alpha}+{\theta} = 2{\pi}.

Qual das expressões seguintes é equivalente a \operatorname{sen}{\alpha}+\operatorname{sen}{\beta}+\operatorname{sen}{\theta}?

  • (A)2\operatorname{sen}{\alpha}+\cos{\alpha}
  • (B)2\operatorname{sen}{\alpha}-\cos{\alpha}
  • (C)-\cos{\alpha}
  • (D)\cos{\alpha}
Item 51 construçãoTeste Intermédio 11.º · 27.01.2011

Na figura está representada, em referencial o.n. xOy, a circunferência de centro em O e raio 5. Os pontos A e B são os pontos de interseção da circunferência com os semieixos positivos Ox e Oy.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco AB, nunca coincidindo com A nem com B. Para cada posição de P:

Q é o ponto do eixo Ox tal que \overline{PO} = \overline{PQ}; a reta r é a mediatriz do segmento [OQ]; R é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox; {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo AOP, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

x y P A B R Q O α r
A reta r é a mediatriz de [OQ]; como \overline{PO} = \overline{PQ}, o ponto R é o ponto médio de [OQ].

Seja f a função, de domínio \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, definida por f(x) = 25\operatorname{sen}x\cos x.

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

a) Mostre que a área do triângulo [OPQ] é dada por f({\alpha}). b) Determine o valor de {\alpha}, no intervalo \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, para o qual f({\alpha}) = 25\cos^{2}{\alpha}. c) Seja {\theta} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[ tal que f({\theta}) = 5. Determine o valor de \left(\operatorname{sen}{\theta}+\cos{\theta}\right)^{2}.

Item 52 construçãoTeste Intermédio 11.º · 24.05.2011

Determine o valor de

3-\frac{1}{\operatorname{tg}{\alpha}}

sabendo que {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[ e que \cos\left(\dfrac{3{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = -\dfrac{4}{5}.

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Item 53 construçãoTeste Intermédio 12.º · 26.05.2011

Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1.

Sabe-se que:

o ponto A pertence à circunferência; os pontos O, A e B são colineares, e A está entre O e B; o ponto P desloca-se ao longo da semirreta \dot{A}B, nunca coincidindo com A; d é a distância do ponto A ao ponto P; para cada posição de P, o ponto Q é um ponto da circunferência tal que a reta PQ é tangente à circunferência; x é a amplitude, em radianos, do ângulo OPQ, com x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

O A P Q B 1 d x
A reta PQ é tangente à circunferência: o raio [OQ] é perpendicular a [PQ].

Sem recorrer à calculadora, mostre que

d = \frac{1-\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x}
Item 54 escolha múltiplaExame 2011 · 2.ª Fase

Na figura está representado, num referencial o.n. xOy, um círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

C é o ponto de coordenadas (1,\,0); os pontos D e E pertencem ao eixo Oy; [AB] é um diâmetro do círculo trigonométrico; as retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox; {\theta} é a amplitude do ângulo COA, com {\theta} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

x y A B E D C O θ
As retas EA e BD são paralelas ao eixo Ox, e [AB] é um diâmetro.

Qual das expressões seguintes dá o perímetro da região sombreada na figura?

  • (A)2\left(\cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}\right)
  • (B)\cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}
  • (C)2\left(1+\cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}\right)
  • (D)1+\cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}
Item 55 escolha múltiplaExame 2011 · Época especial

Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy, uma circunferência e o triângulo [OAB].

Sabe-se que:

O é a origem do referencial; a circunferência tem centro no ponto O e raio 1; A é o ponto de coordenadas (-1,\,0); B pertence à circunferência e tem ordenada negativa; o ângulo AOB tem amplitude igual a \dfrac{2{\pi}}{3} radianos.

x y A B O
O ângulo AOB tem \frac{2{\pi}}{3} radianos, medido de [OA] para [OB].

Qual é a área do triângulo [OAB]?

  • (A)\dfrac{\sqrt{3}}{4}
  • (B)\dfrac{1}{2}
  • (C)\dfrac{\sqrt{1}}{4}
  • (D)\sqrt{3}
Item 56 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 09.02.2012

Seja {\theta} um número real. Sabe-se que {\theta} é uma solução da equação \operatorname{sen}x = -\dfrac{1}{3}.

Qual das expressões seguintes designa uma solução da equação \operatorname{sen}x = \dfrac{1}{3}?

  • (A){\pi}-{\theta}
  • (B){\pi}+{\theta}
  • (C)\dfrac{{\pi}}{2}-{\theta}
  • (D)\dfrac{{\pi}}{2}+{\theta}
Item 57 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 09.02.2012

Considere o triângulo [ABC] representado na figura.

Sabe-se que:

\overline{AB} = 2; A\hat{C}B = 30^{\circ}.

Seja {\alpha} = B\hat{A}C.

A B C α 30° 2 h
A altura tirada de B parte o triângulo em dois retângulos, e é o lado comum aos dois.

Qual das expressões seguintes representa \overline{BC}, em função de {\alpha}?

  • (A)4\operatorname{sen}{\alpha}
  • (B)6\operatorname{sen}{\alpha}
  • (C)4\cos{\alpha}
  • (D)6\cos{\alpha}
Item 58 construçãoTeste Intermédio 11.º · 09.02.2012

Na figura está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

o ponto A tem coordenadas (1,\,0); o ponto B tem coordenadas (3,\,0).

Considere que um ponto P se move sobre a circunferência. Para cada posição de P, seja d = \overline{PB} e seja {\alpha} \in \left[0,\,2{\pi}\right[ a amplitude, em radianos, do ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta \dot{O}P.

x y P A B O α d
A distância d = \overline{PB} muda com a posição de P na circunferência.

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

a) Mostre que d^{2} = 10-6\cos{\alpha}. b) Determine os valores de {\alpha} \in \left[0,\,2{\pi}\right[ para os quais d^{2} = 7. c) Para um certo valor de {\alpha} pertencente a \left[0,\,{\pi}\right], tem-se \operatorname{tg}{\alpha} = -\sqrt{35}. Determine d, para esse valor de {\alpha}.

Item 59 construçãoTeste Intermédio 12.º · 24.05.2012 (adaptado)

Relativamente à figura, sabe-se que:

o segmento de reta [AC] tem comprimento 4; o ponto B é o ponto médio de [AC]; o segmento de reta [BD] é perpendicular a [AC]; o arco de circunferência CD tem centro em B.

Admita que um ponto P se desloca ao longo do arco CD, nunca coincidindo com C nem com D, e que um ponto Q se desloca ao longo do segmento [BC] de tal forma que [PQ] é sempre perpendicular a [BC].

Para cada posição do ponto P, seja x a amplitude, em radianos, do ângulo CBP.

A B C D P Q x 2 2
O arco CD tem centro em B e raio 2; [PQ] é perpendicular a [BC].

Mostre que a área do triângulo [APQ] é dada por 2\operatorname{sen}x\left(1+\cos x\right), com x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

Item 60 construçãoExame 2012 · 1.ª Fase

Na figura está representado um trapézio retângulo [ABCD].

Sabe-se que:

\overline{BC} = 1; \overline{CD} = 1; {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo ADC, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[.

A B C D P α 1 1
O ângulo ADC é obtuso; P é o pé da perpendicular de D a [AB].

Mostre, recorrendo a métodos exclusivamente analíticos, que o perímetro do trapézio [ABCD] é dado, em função de {\alpha}, por

3+\frac{1-\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}}
Item 61 construçãoExame 2012 · 2.ª Fase

Na figura está representado o quadrado [ABCD].

Sabe-se que:

\overline{AB} = 4; \overline{AE} = \overline{AH} = \overline{BE} = \overline{BF} = \overline{CF} = \overline{CG} = \overline{DG} = \overline{DH}; x é a amplitude, em radianos, do ângulo EAB, com x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{4}\right[.

A B C D E F G H x 4
Os oito segmentos \overline{AE}, \overline{AH}, \overline{BE}, … têm todos o mesmo comprimento.

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de x, por 16\left(1-\operatorname{tg}x\right).

Item 62 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 06.03.2013

Considere o intervalo \left[\dfrac{5{\pi}}{6},\,\dfrac{4{\pi}}{3}\right].

Qual das equações seguintes não tem solução neste intervalo?

  • (A)\cos x = -0{,}5
  • (B)\operatorname{sen}x = -0{,}5
  • (C)\cos x = -0{,}9
  • (D)\operatorname{sen}x = -0{,}9
Item 63 construçãoTeste Intermédio 11.º · 06.03.2013

Na figura está representado, num referencial o.n. xOy, o círculo trigonométrico. Os pontos A, B, C e D são os pontos de interseção da circunferência com os eixos do referencial.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do arco BC, nunca coincidindo com B nem com C. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto do arco AB que tem ordenada igual à do ponto P, e seja R o ponto do eixo Ox que tem abcissa igual à do ponto Q.

Seja {\alpha} a amplitude, em radianos, do ângulo orientado que tem por lado origem o semieixo positivo Ox e por lado extremidade a semirreta \dot{O}P, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[.

x y P Q R A B C D O α
O ponto Q tem a ordenada de P; R tem a abcissa de Q.

Resolva os itens seguintes sem recorrer à calculadora.

a) Mostre que a área do trapézio [OPQR] é dada por -\dfrac{3}{2}\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. b) Para uma certa posição do ponto P, a reta OP interseta a reta de equação x = 1 num ponto de ordenada -\dfrac{7}{24}. Determine, para essa posição, a área do trapézio [OPQR], na forma de fração irredutível.

Item 64 construçãoExame 2013 · 2.ª Fase (adaptado)

Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy, o triângulo [OAB] e a reta r.

Sabe-se que:

a reta r é definida por x = -3; o ponto A pertence à reta r e tem ordenada positiva; o ponto B é o simétrico do ponto A em relação ao eixo Ox; {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta \dot{O}A, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[.

x y A B O P α r
A reta r é x = -3; B é o simétrico de A em relação ao eixo Ox.

Mostre que o perímetro do triângulo [OAB] é dado, em função de {\alpha}, pela expressão

-6\operatorname{tg}{\alpha}-\frac{6}{\cos{\alpha}}
Item 65 construçãoExame 2013 · Época especial (adaptado)

Na figura estão representados a circunferência de centro no ponto C e de raio 1, a semirreta \dot{C}B, a reta AD e o triângulo [ACE].

Sabe-se que:

os pontos A e B pertencem à circunferência; os pontos D e E pertencem à semirreta \dot{C}B; a reta AD é perpendicular à semirreta \dot{C}B; o ponto A desloca-se sobre a circunferência, e os pontos D e E acompanham esse movimento de modo que \overline{DE} = 6; x é a amplitude, em radianos, do ângulo ACB, com x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

C B A D E x 6
O ponto A desloca-se na circunferência; D e E acompanham, com \overline{DE} = 6.

Mostre que a área do triângulo [ACE] é dada, em função de x, por

\frac{\operatorname{sen}x\left(6+\cos x\right)}{2}
Item 66 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 11.03.2014

Qual das expressões seguintes designa um número real positivo, para qualquer x pertencente ao intervalo \left]{\pi},\,\dfrac{3{\pi}}{2}\right[?

  • (A)\operatorname{sen}x+\cos x
  • (B)\dfrac{\cos x}{\operatorname{tg}x}
  • (C)\operatorname{tg}x-\operatorname{sen}x
  • (D)\operatorname{sen}x \times \operatorname{tg}x
Item 67 escolha múltiplaTeste Intermédio 11.º · 11.03.2014

Considere, em \mathbb{R}, a equação trigonométrica

\operatorname{sen}x = 0{,}3

Quantas soluções tem esta equação no intervalo \left[-20{\pi},\,20{\pi}\right[?

  • (A)20
  • (B)40
  • (C)60
  • (D)80
Item 68 construçãoTeste Intermédio 11.º · 11.03.2014

Na figura estão representados:

o retângulo [ABCD], em que \overline{DC} = 1 e \overline{BC} = 2; o ponto O, ponto médio do segmento [AD]; uma semicircunferência de centro no ponto O e raio 1.

Considere que um ponto P se desloca ao longo do segmento de reta [AB], nunca coincidindo com A, mas podendo coincidir com B. Para cada posição do ponto P, seja Q o ponto de interseção da reta PO com a semicircunferência.

Seja x a amplitude, em radianos, do ângulo DOQ, com x \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{4}\right].

A B C D O P Q R x 2 1
O ponto Q é a interseção da reta PO com a semicircunferência; R é a projeção de Q sobre [AD].

Resolva os dois itens seguintes sem recorrer à calculadora.

a) Mostre que a área do polígono [BCDQP], representado a sombreado, é dada, em função de x, por 2-\dfrac{\operatorname{tg}x}{2}+\dfrac{\operatorname{sen}x}{2}. b) Para uma certa posição do ponto P, tem-se \cos\left(\dfrac{3{\pi}}{2}-x\right) = -\dfrac{3}{5}. Determine, para essa posição, a área do polígono [BCDQP], na forma de fração irredutível.

Item 69 escolha múltiplaExame 2014 · 1.ª Fase

Na figura está representada, num referencial o.n. xOy, uma circunferência de centro O e raio 1.

Sabe-se que:

os pontos A e B pertencem à circunferência; o ponto A tem coordenadas (1,\,0); os pontos B e C têm a mesma abcissa; o ponto C tem ordenada zero; o ponto D tem coordenadas (-3,\,0); {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[.

x y B C D A O α
O ponto D tem coordenadas (-3,\,0) e C tem a abcissa de B.

Qual das expressões seguintes representa, em função de {\alpha}, a área do triângulo [BCD]?

  • (A)\dfrac{1}{2}\left(-3-\operatorname{sen}{\alpha}\right)\cos{\alpha}
  • (B)\dfrac{1}{2}\left(-3+\operatorname{sen}{\alpha}\right)\cos{\alpha}
  • (C)\dfrac{1}{2}\left(3+\cos{\alpha}\right)\operatorname{sen}{\alpha}
  • (D)\dfrac{1}{2}\left(3-\cos{\alpha}\right)\operatorname{sen}{\alpha}
Item 70 construçãoExame 2014 · 2.ª Fase (adaptado)

Na figura estão representados uma circunferência de centro O e raio 2 e os pontos P, Q, R e S.

Sabe-se que:

os pontos P, Q, R e S pertencem à circunferência; [PR] é um diâmetro da circunferência; \overline{PQ} = \overline{PS}; {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo QPR, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

P Q R S O α
O quadrilátero [PQRS] tem \overline{PQ} = \overline{PS} e [PR] por diagonal.

a) Mostre que a área do quadrilátero [PQRS] é dada, em função de {\alpha}, pela expressão 16\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. b) Para um certo número real {\theta}, com {\theta} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, tem-se \operatorname{tg}{\theta} = 2\sqrt{2}. Determine o valor exato da área do quadrilátero [PQRS] correspondente a {\theta}, recorrendo a métodos analíticos, sem utilizar a calculadora.

Item 71 escolha múltiplaExame 2014 · Época especial

Na figura estão representadas, num referencial o.n. xOy, a circunferência de centro O e a reta r.

Sabe-se que:

os pontos A e B pertencem à circunferência; o ponto B tem coordenadas (0,\,1); a reta r é tangente à circunferência no ponto B; o ponto C é o ponto de interseção da reta r com a semirreta \dot{O}A; {\alpha} é a amplitude, em radianos, do ângulo AOB, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

x y B A C O α r
A região sombreada é o triângulo [OBC] menos o setor circular de amplitude {\alpha}.

Qual das expressões seguintes representa, em função de {\alpha}, a área da região a sombreado?

  • (A)\dfrac{\operatorname{sen}{\alpha}-{\alpha}}{2}
  • (B)\dfrac{\operatorname{tg}{\alpha}-{\alpha}}{2}
  • (C)\dfrac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}
  • (D)\dfrac{{\alpha}}{2}
Item 72 escolha múltiplaExame 2015 · 1.ª Fase (adaptado)

Na figura está representado o círculo trigonométrico.

Sabe-se que:

o ponto A pertence ao primeiro quadrante e à circunferência; o ponto B pertence ao eixo Ox; o ponto C tem coordenadas (1,\,0); o ponto D pertence à semirreta \dot{O}A; os segmentos de reta [AB] e [DC] são paralelos ao eixo Oy.

Seja {\alpha} a amplitude do ângulo COD, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

x y A B C D O α
Os segmentos [AB] e [DC] são paralelos ao eixo Oy.

Qual das expressões seguintes dá a área do quadrilátero [ABCD], representado a sombreado, em função de {\alpha}?

  • (A)\operatorname{tg}{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
  • (B)\dfrac{\operatorname{tg}{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{2}
  • (C)\dfrac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}-\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
  • (D)\operatorname{tg}{\alpha}-\dfrac{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{2}
Item 73 escolha múltiplaExame 2016 · 1.ª Fase

Na figura estão representados o círculo trigonométrico e um trapézio retângulo [OPQR].

Sabe-se que:

o ponto P tem coordenadas (0,\,1); o ponto R pertence ao quarto quadrante e à circunferência.

Seja {\alpha} a amplitude de um ângulo orientado cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo lado extremidade é a semirreta \dot{O}R.

x y P Q R O α
O ponto P tem coordenadas (0,\,1) e R está na circunferência, no 4.º quadrante.

Qual das expressões seguintes dá a área do trapézio [OPQR], em função de {\alpha}?

  • (A)\dfrac{\cos{\alpha}}{2}+\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
  • (B)\dfrac{\cos{\alpha}}{2}-\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
  • (C)\cos{\alpha}+\dfrac{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{2}
  • (D)\cos{\alpha}-\dfrac{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{2}
Item 74 escolha múltiplaExame 2016 · 2.ª Fase (adaptado)

Na figura está representada uma circunferência de centro no ponto O e raio 1.

Sabe-se que:

os diâmetros [AC] e [BD] são perpendiculares; o ponto P pertence ao arco AB; [PQ] é um diâmetro da circunferência; o ponto R pertence a [OD] e é tal que [QR] é paralelo a [AC].

Seja {\alpha} a amplitude, em radianos, do ângulo AOP, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

A B C D P Q R O α
O segmento [QR] é paralelo a [AC], e [PQ] é um diâmetro.

Qual das expressões seguintes dá a área do triângulo [PQR], representado a sombreado, em função de {\alpha}?

  • (A)\dfrac{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{4}
  • (B)\dfrac{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{2}
  • (C)2\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
  • (D)\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
Item 75 escolha múltiplaExame 2018 · 2.ª Fase

Na figura está representado um triângulo [ABC].

Sabe-se que:

\overline{AC} = 5; B\hat{A}C = 57^{\circ}; A\hat{B}C = 81^{\circ}.

A B C 57° 81° 5
Dois ângulos e o lado [AC]: falta o terceiro ângulo, que sai da soma dos ângulos internos.

Qual é o valor de \overline{AB}, arredondado às centésimas?

  • (A)3{,}31
  • (B)3{,}35
  • (C)3{,}39
  • (D)3{,}43
Item 76 escolha múltiplaExame 2019 · 1.ª Fase

Qual é a solução da equação 2\cos x+1 = 0 no intervalo \left[-{\pi},\,0\right]?

  • (A)-\dfrac{5{\pi}}{6}
  • (B)-\dfrac{2{\pi}}{3}
  • (C)-\dfrac{{\pi}}{3}
  • (D)-\dfrac{2{\pi}}{6}
Item 77 escolha múltiplaExame 2020 · 1.ª Fase

Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy, a circunferência trigonométrica, a reta r de equação x = 1, e um ponto A, de ordenada a (a > 1), pertencente à reta r.

Está também representada a semirreta \dot{O}A, que interseta a circunferência trigonométrica no ponto B.

x y A B O a r
O ponto A tem ordenada a, com a > 1; B é a interseção de \dot{O}A com a circunferência.

Qual das expressões seguintes dá, em função de a, a abcissa do ponto B?

  • (A)\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}
  • (B)\sqrt{a^{2}+1}
  • (C)\dfrac{1}{\sqrt{a^{2}-1}}
  • (D)\sqrt{a^{2}-1}
Item 78 construçãoExame 2021 · 1.ª Fase

Na figura estão representados, num referencial o.n. xOy, a circunferência de centro em O e raio 3 e o triângulo [ABC].

Sabe-se que:

o segmento de reta [AB] é um diâmetro da circunferência; {\alpha} é a inclinação da reta AB, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[; o ponto C pertence ao semieixo positivo Ox; a reta BC é paralela ao eixo Oy.

x y A B C 3 3 α
A reta BC é paralela ao eixo Oy, e [AB] é um diâmetro.

Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada pela expressão -9\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}.

Item 79 construçãoExame 2021 · 2.ª Fase

Sabe-se que \operatorname{sen}\left({\alpha}-\dfrac{{\pi}}{2}\right) = -\dfrac{1}{5} e que {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

Determine, sem recorrer à calculadora, o valor de

\operatorname{tg}\left({\pi}-{\alpha}\right)+2\cos\left(-\frac{7{\pi}}{2}+{\alpha}\right)

Apresente o resultado na forma \dfrac{a\sqrt{b}}{c}, com a \in \mathbb{Z}, b \in \mathbb{N} e c \in \mathbb{N}.

Item 80 construçãoExame 2021 · Época especial

Na figura está representado, num referencial o.n. xOy, o arco de circunferência AB, contido no primeiro quadrante do plano cartesiano, cujo centro é a origem do referencial e cujo raio é igual a r (r > 0).

O ponto A pertence ao eixo Ox e o ponto B pertence ao eixo Oy.

Seja P um ponto do arco AB, distinto de A e de B, e seja d o comprimento do arco AP.

O ponto S pertence ao eixo das ordenadas e tem ordenada igual à do ponto P. O ponto T pertence ao eixo das abcissas e tem abcissa igual à do ponto P.

x y A B P S T d α
O comprimento do arco AP é d; S e T são as projeções de P nos eixos.

Mostre que uma expressão que dá o valor de \overline{BS}+\overline{TA}, em função de d e de r, é

r\left(2-\operatorname{sen}\frac{d}{r}-\cos\frac{d}{r}\right)
Item 81 construçãoExame 2022 · 2.ª Fase

Resolva este item sem recorrer à calculadora.

Na figura estão representadas, em referencial o.n. Oxy, as retas r e s.

a reta r é definida pela equação y = \dfrac{\sqrt{3}}{2}x+1; a reta s passa pela origem do referencial e tem inclinação {\alpha}; o ponto A é o ponto de interseção da reta r com o eixo Ox; o ponto B é o ponto de interseção das duas retas.

Sabe-se que \cos{\alpha} = \dfrac{1}{2}.

x y A B O α r s
O ponto A é a interseção de r com Ox; B é a interseção das duas retas.

Determine a área do triângulo [AOB].

Item 82 construçãoExame 2022 · Época especial (adaptado)

Na figura está representado um triângulo [ABC], inscrito numa semicircunferência de diâmetro \overline{AC} = 4.

Seja {\alpha} a amplitude do ângulo CAB.

A C B O α
Um triângulo inscrito numa semicircunferência, com o diâmetro por lado, é retângulo no vértice do arco.

Mostre que a área da região sombreada na figura é dada, em função de {\alpha}, por

2{\pi}-8\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
Item 83 construçãoExame 2023 · 2.ª Fase (adaptado)

Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy, uma semicircunferência de raio 2 e centro na origem do referencial, e o triângulo isósceles [ABC].

Sabe-se que:

o vértice A pertence ao semieixo positivo Ox; o vértice B pertence ao semieixo positivo Oy; o vértice C pertence ao semieixo negativo Ox; \overline{AB} = \overline{BC}; o lado [AB] é tangente à semicircunferência no ponto T; A\hat{O}T = {\alpha}, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[.

x y A B C T α
A reta AB é tangente à semicircunferência em T: o raio [OT] é perpendicular a [AB].

Prove que a área do triângulo [ABC] é dada, em função de {\alpha}, por

\frac{4}{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}
Item 84 construçãoExame 2023 · Época especial

Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferência trigonométrica, o triângulo [ABC] e a reta de equação x = 1.

Sabe-se que:

o ponto A tem coordenadas (1,\,0); o ponto B pertence à reta de equação x = 1; C é o ponto de interseção da semirreta \dot{O}B com a circunferência trigonométrica; A\hat{O}B = {\alpha}, com 0 < {\alpha} < \dfrac{{\pi}}{2} e \cos{\alpha} = \dfrac{1}{3}.

x y A B C α
O ponto C é a interseção da semirreta \dot{O}B com a circunferência trigonométrica.

Determine a área do triângulo [ABC].

Item 85 construçãoExame 2024 · 1.ª Fase (adaptado)

Na figura estão representadas, em referencial o.n. Oxy, a circunferência de centro em O e raio 2 e uma região sombreada composta pelo trapézio [OBCD], retângulo em C e em D, e pelo setor circular correspondente ao ângulo orientado AOB, de amplitude {\alpha}, em radianos, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[, e raio \overline{OA}.

Sabe-se que:

o ponto A pertence à circunferência e ao semieixo positivo Ox; os pontos B e C pertencem à circunferência, sendo C o simétrico de B em relação ao eixo Oy.

x y A B C D α
A região sombreada é a união do setor AOB com o trapézio [OBCD].

Mostre que a área da região sombreada é dada, em função de {\alpha}, pela expressão

2{\alpha}+6\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}
Item 86 construçãoExame 2024 · Época especial (adaptado)

Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy, o quadrilátero [ABCD] e a circunferência de centro em O e raio 4.

Sabe-se que:

o segmento de reta [AC] é um diâmetro da circunferência; {\alpha} é a inclinação, em radianos, da reta AC, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[; o ponto B pertence ao semieixo negativo Ox e o ponto D pertence ao semieixo positivo Ox; as retas AB e CD são paralelas ao eixo Oy.

x y A B C D 4 4 α
As retas AB e CD são paralelas ao eixo Oy, e [AC] é um diâmetro.

Mostre que a área do quadrilátero [ABCD] é dada pela expressão -32\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}.

Item 87 construçãoExame 2025 · 2.ª Fase (adaptado)

Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferência centrada na origem e de raio 1, o triângulo [ABC] e a reta de equação x = 1.

Sabe-se que:

o ponto A pertence à circunferência; o ponto B pertence à reta de equação x = 1; o ponto O pertence à reta AB; {\alpha} é a inclinação, em radianos, da reta AB, com {\alpha} \in \left]\dfrac{{\pi}}{2},\,{\pi}\right[; o ponto C pertence ao semieixo positivo Oy; a reta AC é paralela ao eixo Ox.

x y A C B 1 α
A reta AC é paralela ao eixo Ox, e O pertence à reta AB.

Mostre que a área do triângulo [ABC] é dada, em função de {\alpha}, por

\frac{\operatorname{sen}{\alpha}\left(1-\cos{\alpha}\right)}{2}
Item 88 construçãoExame 2026 · 1.ª Fase

Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferência de centro na origem O e raio 1, a reta r de equação y = 1, o triângulo [BCD] e o ponto A.

Sabe-se que:

A é o ponto da circunferência que pertence ao semieixo positivo Ox; C é o ponto da circunferência que pertence ao semieixo positivo Oy; B é o ponto da reta r tal que a amplitude do ângulo AOB é {\alpha}, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{2}\right[; D é o ponto da circunferência tal que o segmento de reta [BD] contém um diâmetro da circunferência.

x y A C B D α r
O segmento [BD] contém um diâmetro da circunferência: D é o ponto onde a reta BO volta a encontrá-la.

Mostre que a área do triângulo [BCD] é dada pela expressão

\frac{\cos{\alpha}\left(1+\operatorname{sen}{\alpha}\right)}{2\operatorname{sen}{\alpha}}
Item 89 construçãoExame 2026 · 2.ª Fase

Na figura estão representados, em referencial o.n. Oxy, a circunferência trigonométrica, o triângulo [ABC] e o ponto D.

Sabe-se que:

A é um ponto pertencente à reta de equação x = 1, de ordenada positiva; {\alpha} é a inclinação da reta OA, com {\alpha} \in \left]0,\,\dfrac{{\pi}}{4}\right[; C é o ponto de interseção da reta OA com a circunferência, de coordenadas negativas; D é o ponto de coordenadas (0,\,1); B é o ponto de interseção da reta de equação x = 1 com a reta CD.

x y A B C D P α
O ponto C é diametralmente oposto ao ponto onde a reta OA corta a circunferência.

Mostre que

\overline{AB} = 1+\frac{1}{\cos{\alpha}}

A altura parte o triângulo em dois retângulos. O da direita tem hipotenusa [BC] = 2 e o ângulo x: dá a altura e o pedaço [HC] da base.

  1. No triângulo [BHC]. É retângulo em H, com hipotenusa \overline{BC} = 2 e o ângulo x em C: \operatorname{sen}x = \frac{\overline{BH}}{2} \iff \overline{BH} = 2\operatorname{sen}x, \qquad \cos x = \frac{\overline{HC}}{2} \iff \overline{HC} = 2\cos x.
  2. A base. Como \overline{AH} = 1 e H está entre A e C: \overline{AC} = \overline{AH}+\overline{HC} = 1+2\cos x.
  3. A área. A_{[ABC]} = \frac{\overline{AC} \times \overline{BH}}{2} = \frac{\left(1+2\cos x\right) \times 2\operatorname{sen}x}{2} = \operatorname{sen}x\left(1+2\cos x\right).A altura é a mesma para os dois triângulos em que [BH] parte [ABC] — é por isso que basta somar as duas bases e usar \overline{BH} uma só vez.
Respostademonstração

O triângulo [AMP] é retângulo em M e \overline{AM} = 4. O cano [FP] é o que sobra de [FM] depois de tirar [PM].

  1. 90.1 · No triângulo [AMP]. É retângulo em M, com \overline{AM} = \frac{8}{2} = 4 e o ângulo x em A: \cos x = \frac{4}{\overline{PA}} \iff \overline{PA} = \frac{4}{\cos x}, \qquad \operatorname{tg}x = \frac{\overline{PM}}{4} \iff \overline{PM} = 4\operatorname{tg}x.
  2. O cano vertical. Como \overline{FM} = 4 e P está entre F e M: \overline{FP} = 4-\overline{PM} = 4-4\operatorname{tg}x.
  3. O total. Como \overline{PA} = \overline{PB}: C(x) = 2 \times \frac{4}{\cos x}+4-4\operatorname{tg}x = \frac{8}{\cos x}-\frac{4\operatorname{sen}x}{\cos x}+4 = 4+\frac{8-4\operatorname{sen}x}{\cos x}.
  4. 90.2 · Em x = 0. C(0) = 4+\frac{8-0}{1} = 12 \text{ km}.
  5. A interpretação. Com x = 0, o ponto P coincide com M: a canalização toma a forma de um T invertido, com o cano [FM] de 4 km e os dois canos ao longo de [AB], que juntos medem 8 km. Ao todo, 4+8 = 12 km, como a expressão dá.O intervalo pára em \frac{{\pi}}{4} porque aí \operatorname{tg}x = 1 e \overline{PM} = 4: o ponto P chega a F e o cano [FP] desaparece. Passar disso punha P acima da fonte, fora da figura.
RespostaC(0) = 12 km

A zona relvada é o círculo menos o retângulo. Para os lados do retângulo, repara que [OB] é um raio e vale 5 — e que os diâmetros passam pelos pontos médios dos lados.

  1. As coordenadas de B. Seja P a projeção de B sobre o diâmetro [HF]. Como \overline{OB} = 5: \overline{BP} = 5\operatorname{sen}x, \qquad \overline{OP} = 5\cos x.
  2. Os lados. Os diâmetros contêm os pontos médios dos lados, logo cada lado é o dobro: \overline{AB} = 2\overline{OP} = 10\cos x, \qquad \overline{BC} = 2\overline{BP} = 10\operatorname{sen}x.
  3. As duas áreas. A_{\circ} = {\pi} \times 5^{2} = 25{\pi}, \qquad A_{[ABCD]} = 10\cos x \times 10\operatorname{sen}x = 100\operatorname{sen}x\cos x.
  4. A diferença. A = 25{\pi}-100\operatorname{sen}x\cos x = 25\left({\pi}-4\operatorname{sen}x\cos x\right).O retângulo maior que cabe assim no círculo é o quadrado, em x = \frac{{\pi}}{4} — e é aí que a zona relvada é mínima. Nos extremos do intervalo o retângulo achata-se e a relva ocupa quase todo o canteiro.
Respostademonstração

Dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo x: um em A, que dá \overline{AD}, e outro em E, que dá a parte da altura acima do retângulo. Como [EF] é paralelo a [AC], os ângulos em A e em E são iguais.

  1. Metades. Sejam H o ponto médio de [EF] e I o de [AC]. Como \overline{EF} = \overline{DG} = 2, tem-se \overline{EH} = 1; e \overline{HI} = \overline{DE} = 1.
  2. À esquerda do retângulo. No triângulo retângulo [ADE], com \overline{DE} = 1: \operatorname{tg}x = \frac{1}{\overline{AD}} \iff \overline{AD} = \frac{1}{\operatorname{tg}x}.
  3. Acima do retângulo. Como [EF] \parallel [AC], o ângulo BEF tem amplitude x. No triângulo retângulo [EHB], com \overline{EH} = 1: \operatorname{tg}x = \frac{\overline{BH}}{1} \iff \overline{BH} = \operatorname{tg}x.
  4. A base e a altura. \overline{AC} = 2\overline{AD}+\overline{DG} = \frac{2}{\operatorname{tg}x}+2, \qquad \overline{BI} = \overline{BH}+\overline{HI} = \operatorname{tg}x+1.
  5. A área. A_{[ABC]} = \frac{\left(\frac{2}{\operatorname{tg}x}+2\right)\left(\operatorname{tg}x+1\right)}{2} = \frac{2+\frac{2}{\operatorname{tg}x}+2\operatorname{tg}x+2}{2} = 2+\operatorname{tg}x+\frac{1}{\operatorname{tg}x}.O passo que o enunciado sugere — B\hat{E}F = B\hat{A}C — é o que evita ter de calcular a altura toda de uma vez: parte-se em \overline{BH} e \overline{HI}, e cada pedaço sai de um triângulo diferente.
Respostademonstração

O cateto conhecido é o adjacente a x: o cosseno dá a hipotenusa e a tangente dá o outro cateto. No 87.2, começa por reduzir \cos\left(\frac{{\pi}}{2}+{\alpha}\right).

  1. 87.1 · Os outros lados. Com \overline{AB} = 1 e o ângulo x em A: \cos x = \frac{1}{\overline{AC}} \iff \overline{AC} = \frac{1}{\cos x}, \qquad \operatorname{tg}x = \frac{\overline{BC}}{1} \iff \overline{BC} = \operatorname{tg}x.
  2. O perímetro. P = 1+\operatorname{tg}x+\frac{1}{\cos x} = \frac{\cos x}{\cos x}+\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}+\frac{1}{\cos x} = \frac{1+\operatorname{sen}x+\cos x}{\cos x}.
  3. 87.2 · Reduzir. \cos\left(\frac{{\pi}}{2}+{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{3}{5} \iff \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{3}{5}.
  4. O cosseno. Pela fórmula fundamental, \cos^{2}{\alpha} = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25} \iff \cos{\alpha} = \pm\frac{4}{5}, e como {\alpha} \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[, o cosseno é positivo: \cos{\alpha} = \frac{4}{5}.
  5. O perímetro. P = \frac{1+\frac{3}{5}+\frac{4}{5}}{\frac{4}{5}} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{4}{5}} = 3.Sem a condição {\alpha} \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[, o cosseno admitia os dois sinais e o perímetro daria também -3 — que um perímetro não pode ser. O intervalo faz aqui o trabalho que a figura fez noutros itens.
RespostaP = 3

Projeta A e D sobre a base [BC]. Por simetria, os dois pedaços que sobram nos extremos são iguais — e é isso que dá a base menor.

  1. 86.1 · A altura. Sejam P e Q as projeções de A e de D sobre [BC]. No triângulo retângulo [ABP], com \overline{AB} = 1: \overline{AP} = \operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{BP} = \cos{\alpha}.
  2. A base menor. Por simetria, \overline{QC} = \overline{BP} = \cos{\alpha}, e como \overline{BC} = 1: \overline{AD} = \overline{PQ} = 1-2\cos{\alpha}.
  3. A área. A_{[ABCD]} = \frac{\overline{BC}+\overline{AD}}{2} \times \overline{AP} = \frac{1+1-2\cos{\alpha}}{2} \times \operatorname{sen}{\alpha} = \left(1-\cos{\alpha}\right)\operatorname{sen}{\alpha}.
  4. 86.2 · O valor. A\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = \operatorname{sen}\frac{{\pi}}{2}\left(1-\cos\frac{{\pi}}{2}\right) = 1 \times \left(1-0\right) = 1.
  5. A interpretação. Com {\alpha} = \frac{{\pi}}{2}, os ângulos em B e em C são retos e \overline{AD} = 1-2 \times 0 = 1. O quadrilátero tem os quatro lados iguais a 1 e quatro ângulos retos: é um quadrado de lado 1, cuja área é 1^{2} = 1.A restrição {\alpha} > \frac{{\pi}}{3} vem de \overline{AD} > 0: se \cos{\alpha} \geq \frac{1}{2}, a base menor anulava-se ou ficava negativa e o trapézio deixava de existir.
RespostaA\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = 1 (um quadrado de lado 1)

Num triângulo retângulo, os dois catetos servem de base e de altura um do outro. E a hipotenusa é 2, não 1.

  1. Os catetos. Com \overline{BC} = 2 por hipotenusa e o ângulo {\alpha} em B: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\overline{AC}}{2} \iff \overline{AC} = 2\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \cos{\alpha} = \frac{\overline{AB}}{2} \iff \overline{AB} = 2\cos{\alpha}.
  2. A área. Os catetos são perpendiculares, logo um é base e o outro altura: A_{[ABC]} = \frac{2\cos{\alpha} \times 2\operatorname{sen}{\alpha}}{2} = 2\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}. A opção correta é a (A).A opção (C) é o que sai de esquecer a divisão por 2 da fórmula da área do triângulo — e é por isso que lá está.
RespostaOpção (A)

[EG] é a altura de uma face lateral, e [FG] mede metade do lado da base. O triângulo [FGE] é retângulo em F.

  1. A metade do lado. Como F é o centro da base e G o ponto médio de [BC], o segmento [FG] mede metade do lado: \overline{FG} = \frac{2}{2} = 1.
  2. A altura da face. No triângulo retângulo [FGE], com o ângulo x em G: \cos x = \frac{\overline{FG}}{\overline{EG}} = \frac{1}{\overline{EG}} \iff \overline{EG} = \frac{1}{\cos x}.
  3. Uma face lateral. É um triângulo de base \overline{BC} = 2 e altura [EG]: A_{[BCE]} = \frac{2 \times \frac{1}{\cos x}}{2} = \frac{1}{\cos x}.
  4. A área total. Quatro faces laterais iguais mais a base quadrada de área 2^{2} = 4: A_{T} = 4 \times \frac{1}{\cos x}+4 = \frac{4}{\cos x}+\frac{4\cos x}{\cos x} = \frac{4\cos x+4}{\cos x}.O ângulo x mede a inclinação da face, não a da aresta lateral: o triângulo onde ele vive tem por catetos a apótema da base e a altura da pirâmide.
Respostademonstração

A região é a soma de duas: um quarto de círculo de raio 1 e um triângulo retângulo. A ordenada de A lê-se na reta x = 1.

  1. O quarto de círculo. \frac{{\pi} \times 1^{2}}{4} = \frac{{\pi}}{4}.
  2. O triângulo. Sendo P = (1,\,0), o triângulo [OPA] é retângulo em P, com \overline{OP} = 1: \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\overline{PA}}{1} \iff \overline{PA} = \operatorname{tg}{\alpha}, \qquad A_{[OPA]} = \frac{1 \times \operatorname{tg}{\alpha}}{2} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}.
  3. A soma. A = \frac{{\pi}}{4}+\frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}. A opção correta é a (A).A reta x = 1 é o eixo das tangentes: a ordenada do ponto onde o lado extremidade a corta é \operatorname{tg}{\alpha}. As opções (C) e (D) esquecem que o quarto de círculo é um quarto — e não o círculo inteiro.
RespostaOpção (A)

Parte a ponte em dois no apoio A. Cada pedaço é a hipotenusa de um triângulo retângulo em que o cateto conhecido é 12 ou 16. No 82.2, um triângulo retângulo isósceles tem os ângulos agudos iguais.

  1. 82.1 · O primeiro troço. Seja A_{1} a projeção de A sobre a margem que contém P_{1}, com \overline{AA_{1}} = 12. No triângulo retângulo [AA_{1}P_{1}], o ângulo em P_{1} tem amplitude x: \operatorname{sen}x = \frac{12}{\overline{AP_{1}}} \iff \overline{AP_{1}} = \frac{12}{\operatorname{sen}x}.
  2. O segundo troço. Seja A_{2} a projeção de A sobre a outra margem, com \overline{AA_{2}} = 16. O ângulo A_{2}AP_{2} também tem amplitude x (ângulos de lados perpendiculares), logo \cos x = \frac{16}{\overline{AP_{2}}} \iff \overline{AP_{2}} = \frac{16}{\cos x}.
  3. O comprimento. \overline{P_{1}P_{2}} = \frac{12}{\operatorname{sen}x}+\frac{16}{\cos x} = \frac{12\cos x+16\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x\cos x} = \frac{16\operatorname{sen}x+12\cos x}{\operatorname{sen}x\cos x}.
  4. 82.2 · O ângulo. Se \overline{BP_{1}} = \overline{BP_{2}}, o triângulo [BP_{1}P_{2}] é retângulo em B e isósceles: os dois ângulos agudos são iguais e valem \frac{{\pi}}{4}. Logo x = \frac{{\pi}}{4}.
  5. O valor. Com \operatorname{sen}\frac{{\pi}}{4} = \cos\frac{{\pi}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}: \frac{16 \times \frac{\sqrt{2}}{2}+12 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{28 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}} = 28\sqrt{2} \approx 39{,}6 \text{ metros}.O segundo troço usa o cosseno, e não o seno, porque o ângulo x aparece lá noutro sítio: em A, e não em P_{2}. Dois ângulos de lados dois a dois perpendiculares são iguais — é isso que transporta o x de um triângulo para o outro.
Resposta28\sqrt{2} \approx 39{,}6 m

Trabalha no triângulo retângulo [EBC]: o cateto [BC] mede 1, e é o oposto ao ângulo x. A simetria em relação a [AC] dá o resto do perímetro.

  1. No triângulo [EBC]. É retângulo em B, com \overline{BC} = 1: \operatorname{sen}x = \frac{\overline{BC}}{\overline{EC}} = \frac{1}{\overline{EC}} \iff \overline{EC} = \frac{1}{\operatorname{sen}x}, \operatorname{tg}x = \frac{\overline{BC}}{\overline{EB}} = \frac{1}{\overline{EB}} \iff \overline{EB} = \frac{1}{\operatorname{tg}x}.
  2. O lado [AE]. Como \overline{AE}+\overline{EB} = 1: \overline{AE} = 1-\frac{1}{\operatorname{tg}x}.
  3. A simetria. A diagonal [AC] é eixo de simetria do quadrado e \overline{AE} = \overline{AF}, logo \overline{FC} = \overline{EC}.
  4. O perímetro. P = 2\overline{AE}+2\overline{EC} = 2\left(1-\frac{1}{\operatorname{tg}x}\right)+\frac{2}{\operatorname{sen}x} = 2-\frac{2}{\operatorname{tg}x}+\frac{2}{\operatorname{sen}x}.A restrição x \in \left]\frac{{\pi}}{4},\,\frac{{\pi}}{2}\right[ não é decorativa: é ela que garante \operatorname{tg}x > 1, isto é, \overline{EB} < 1, e portanto que E cai mesmo dentro do lado [AB].
Respostademonstração

Toma [AB] por base. Como [AB] é perpendicular a Ox, os pontos A e B são simétricos em relação a esse eixo: a base é o dobro da ordenada de A.

  1. As medidas. Seja P a interseção de [AB] com o eixo Ox. Como \overline{OA} = 1: \overline{AP} = \operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{OP} = \cos{\alpha}.
  2. A base. Por simetria em relação ao eixo Ox, \overline{AB} = 2\overline{AP} = 2\operatorname{sen}{\alpha}.
  3. A área. Com [AB] por base e [OP] por altura: A_{[OAB]} = \frac{2\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}}{2} = \operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}. A opção correta é a (A).Quem esquece a simetria toma \overline{AB} = \operatorname{sen}{\alpha} e fica com metade do valor. O enunciado diz que A e B pertencem à circunferência e que [AB] \perp Ox: são essas duas condições que fazem de P o ponto médio de [AB].
RespostaOpção (A)

Mede a partir do centro: C está sempre à distância 1 da reta. Falta saber quanto é que P está acima ou abaixo de C.

  1. Um ponto de apoio. Seja I a posição inicial de P: está à distância 2 de r, é o ponto da circunferência mais afastado da reta, e [IC] é perpendicular a r.
  2. A altura de P sobre C. Depois de uma rotação de amplitude {\alpha}, o ângulo ICP tem amplitude {\alpha}. Sendo Q a projeção de P sobre a reta IC, e \overline{CP} = 1: \cos{\alpha} = \frac{\overline{CQ}}{1} \iff \overline{CQ} = \cos{\alpha}.
  3. A distância. O centro está à distância 1 de r, e P está \cos{\alpha} acima de C — quantidade que fica negativa quando P desce abaixo do centro: d = 1+\cos{\alpha}. A opção correta é a (A).Um teste rápido de plausibilidade: em {\alpha} = 0 tem de dar 2, e em {\alpha} = {\pi} tem de dar 0, que é quando P toca a reta. Só a opção (A) passa nos dois.
RespostaOpção (A)

O raio do arco é \overline{BE} = 2. Tira daí \overline{CE} e \overline{BC}, e depois retira ao trapézio [ACEG] o triângulo [BCE].

  1. 78.1 · Os catetos. Como [BE] é um raio do arco, \overline{BE} = 2. No triângulo retângulo [BCE]: \operatorname{sen}x = \frac{\overline{CE}}{2} \iff \overline{CE} = 2\operatorname{sen}x, \qquad \cos x = \frac{\overline{BC}}{2} \iff \overline{BC} = 2\cos x.
  2. O trapézio. [ACEG] tem bases \overline{AG} = 2 e \overline{CE} = 2\operatorname{sen}x, e altura \overline{AC} = \overline{AB}+\overline{BC} = 2+2\cos x: A_{[ACEG]} = \frac{2+2\operatorname{sen}x}{2} \times \left(2+2\cos x\right) = \left(1+\operatorname{sen}x\right)\left(2+2\cos x\right).
  3. O triângulo a retirar. A_{[BCE]} = \frac{\overline{BC} \times \overline{CE}}{2} = \frac{2\cos x \times 2\operatorname{sen}x}{2} = 2\operatorname{sen}x\cos x.
  4. A diferença. A_{[ABEG]} = 2+2\cos x+2\operatorname{sen}x+2\operatorname{sen}x\cos x-2\operatorname{sen}x\cos x = 2\left(1+\operatorname{sen}x+\cos x\right).
  5. 78.2 · Nos extremos. A(0) = 2\left(1+0+1\right) = 4, \qquad A\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = 2\left(1+1+0\right) = 4.
  6. A interpretação. Com x = 0, o ponto E coincide com D e o polígono é o triângulo [AGD], de base \overline{AD} = 4 e altura \overline{AG} = 2: área \frac{4 \times 2}{2} = 4. Com x = \frac{{\pi}}{2}, o ponto E coincide com F e o polígono é o quadrado [ABFG], de área 2 \times 2 = 4.Os dois extremos dão o mesmo valor, mas o polígono não é constante pelo meio: a expressão 2\left(1+\operatorname{sen}x+\cos x\right) tem máximo em x = \frac{{\pi}}{4}, onde a área vale 2+2\sqrt{2} \approx 4{,}83.
RespostaA(0) = A\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = 4

Divide a fórmula fundamental por \cos^{2}{\theta}: fica uma relação entre a tangente e o cosseno. Repara que só aparecem quadrados — o sinal, e portanto o quadrante, não interessa.

  1. Uma relação com a tangente. Dividindo \operatorname{sen}^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta} = 1 por \cos^{2}{\theta}: \operatorname{tg}^{2}{\theta}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\theta}}.
  2. O cosseno ao quadrado. Com \operatorname{tg}{\theta} = \frac{1}{2}: \frac{1}{4}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\theta}} \iff \frac{5}{4} = \frac{1}{\cos^{2}{\theta}} \iff \cos^{2}{\theta} = \frac{4}{5}.
  3. O seno ao quadrado. Pela fórmula fundamental: \operatorname{sen}^{2}{\theta} = 1-\frac{4}{5} = \frac{1}{5}.
  4. A expressão. 2-5\operatorname{sen}^{2}{\theta} = 2-5 \times \frac{1}{5} = 2-1 = 1.Não é preciso saber em que quadrante está {\theta}: só entram quadrados, e um quadrado apaga o sinal. Num item que pedisse \operatorname{sen}{\theta}, já haveria duas respostas possíveis.
Resposta1

Primeiro a área do trapézio; metade dela é a área do triângulo [APD]. Depois \overline{PA}: no triângulo retângulo [APD], o cateto conhecido é \overline{AD} = 30 e o ângulo está em D.

  1. A área do trapézio. A_{[ABCD]} = \frac{\overline{AD}+\overline{BC}}{2} \times \overline{AB} = \frac{30+10}{2} \times 10 = 200. Metade é 100: é essa a área que o triângulo [APD] tem de ter.
  2. O cateto [PA]. No triângulo retângulo [APD], o ângulo em D tem amplitude x, o cateto oposto é [PA] e o adjacente é [AD]: \operatorname{tg}x = \frac{\overline{PA}}{30} \iff \overline{PA} = 30\operatorname{tg}x.
  3. A equação. A_{[APD]} = \frac{\overline{AD} \times \overline{PA}}{2} = \frac{30 \times 30\operatorname{tg}x}{2} = \frac{30^{2}\operatorname{tg}x}{2}, e a condição pedida é \frac{30^{2}\operatorname{tg}x}{2} = 100. A opção correta é a (B).O seno não serve: [AD] não é a hipotenusa do triângulo, é um cateto. Quem relaciona dois catetos é a tangente.
RespostaOpção (B)

Projeta R sobre os dois eixos que [OA] e [OM] determinam. Fica um triângulo retângulo com [RM] por hipotenusa — e a fórmula fundamental faz o resto.

  1. 75.1 · As projeções. Seja B a projeção de R sobre [OM] e C a projeção sobre [OA]. Como \overline{OR} = 5: \overline{OB} = \overline{CR} = 5\operatorname{sen}x, \qquad \overline{BR} = \overline{OC} = 5\cos x.
  2. O outro cateto. Como \overline{OM} = 8: \overline{BM} = \overline{OM}-\overline{OB} = 8-5\operatorname{sen}x.
  3. Pitágoras. O triângulo [BRM] é retângulo em B: \overline{RM}^{2} = \left(8-5\operatorname{sen}x\right)^{2}+\left(5\cos x\right)^{2} = 64-80\operatorname{sen}x+25\operatorname{sen}^{2}x+25\cos^{2}x.
  4. A fórmula fundamental. Como 25\operatorname{sen}^{2}x+25\cos^{2}x = 25\left(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x\right) = 25: \overline{RM}^{2} = 64+25-80\operatorname{sen}x = 89-80\operatorname{sen}x, e, sendo uma distância, d(x) = \sqrt{89-80\operatorname{sen}x}.
  5. 75.2 · O valor. d\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = \sqrt{89-80\operatorname{sen}\frac{{\pi}}{2}} = \sqrt{89-80} = \sqrt{9} = 3.
  6. A justificação. Com x = \frac{{\pi}}{2}, a Rita está sobre o segmento [OM], entre O e a mãe. Nessa posição \overline{RM} = \overline{OM}-\overline{OR} = 8-5 = 3 \text{ metros}, que é o valor obtido — e é a menor distância a que a Rita chega da mãe.A expressão de d continua a valer quando R sai do primeiro quadrante: aí \cos x e \operatorname{sen}x mudam de sinal, mas entram elevados ao quadrado ou multiplicados pelo mesmo -80. É a vantagem de definir seno e cosseno no círculo, e não só no triângulo.
Respostad\left(\frac{{\pi}}{2}\right) = 3 metros

Um período é a distância entre dois maximizantes consecutivos — não entre um maximizante e o minimizante seguinte.

  1. Ler o gráfico. Os valores \frac{2{\pi}}{9} e \frac{14{\pi}}{9} são maximizantes consecutivos; entre eles, \frac{8{\pi}}{9} é um minimizante.
  2. A distância. P = \frac{14{\pi}}{9}-\frac{2{\pi}}{9} = \frac{12{\pi}}{9} = \frac{4{\pi}}{3}. A opção correta é a (D).A opção (C), \frac{2{\pi}}{3}, é exatamente meio período: a distância de um maximizante ao minimizante seguinte. Avançar meio período leva o gráfico ao seu simétrico, não a si próprio.
RespostaOpção (D)

Os quatro raios cortam a região em oito peças: quatro triângulos retângulos iguais e quatro setores de amplitude x. A área do setor de raio r e amplitude {\theta} é \frac{1}{2}r^{2}{\theta}.

  1. Os catetos. Como \overline{OB} = 3, no triângulo retângulo [OIB]: \operatorname{sen}x = \frac{\overline{OI}}{3} \iff \overline{OI} = 3\operatorname{sen}x, \qquad \cos x = \frac{\overline{IB}}{3} \iff \overline{IB} = 3\cos x.
  2. Os quatro triângulos. Por simetria, [OIA], [OIB], [OJC] e [OJD] são iguais: 4 \times A_{[OIB]} = 4 \times \frac{\overline{OI} \times \overline{IB}}{2} = 4 \times \frac{3\operatorname{sen}x \times 3\cos x}{2} = 18\operatorname{sen}x \times \cos x.
  3. Os quatro setores. Cada um tem raio 3 e amplitude x: 4 \times \frac{1}{2} \times 3^{2} \times x = 18x.
  4. Somar. A(x) = 18\operatorname{sen}x \times \cos x+18x = 18\left(x+\operatorname{sen}x \times \cos x\right), \quad x \in \left[0,\,\frac{{\pi}}{2}\right].A fórmula do setor só vale com a amplitude em radianos — e é isso que faz aparecer o x «solto» na expressão final, sem função trigonométrica à volta.
Respostademonstração

A reta OP é eixo de simetria da figura: parte o ângulo SOR ao meio e o quadrilátero em dois triângulos iguais. Um raio é sempre perpendicular à tangente no ponto de tangência.

  1. O ângulo reto. A reta PR é tangente à circunferência em R, logo é perpendicular ao raio [OR]. O triângulo [ORP] é retângulo em R.
  2. A simetria. Os pontos R e S são simétricos relativamente à reta OP, pelo que o ângulo ROP tem amplitude \frac{{\alpha}}{2}.
  3. O cateto. No triângulo retângulo [ORP], com \overline{OR} = 1: \operatorname{tg}\frac{{\alpha}}{2} = \frac{\overline{RP}}{\overline{OR}} = \frac{\overline{RP}}{1} \iff \overline{RP} = \operatorname{tg}\frac{{\alpha}}{2}.
  4. Meia área. Tomando [OR] por base e [RP] por altura: A_{[ORP]} = \frac{\overline{OR} \times \overline{RP}}{2} = \frac{1 \times \operatorname{tg}\frac{{\alpha}}{2}}{2} = \frac{\operatorname{tg}\frac{{\alpha}}{2}}{2}.
  5. O quadrilátero. Os triângulos [ORP] e [OPS] são iguais, logo A_{[ORPS]} = 2 \times \frac{\operatorname{tg}\frac{{\alpha}}{2}}{2} = \operatorname{tg}\frac{{\alpha}}{2}, \quad {\alpha} \in \left]0,\,{\pi}\right[.É o «meio ângulo» que explica o \frac{{\alpha}}{2} da expressão pedida: o enunciado dá o ângulo SOR inteiro, mas quem entra no triângulo retângulo é metade dele. A restrição {\alpha} \in \left]0,\,{\pi}\right[ garante \frac{{\alpha}}{2} \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[, onde a tangente está definida e é positiva.
Respostademonstração

Baixa a altura de P sobre [OR]. Num triângulo isósceles, essa altura é também mediana — parte a base em duas partes iguais.

  1. A altura. Seja Q o pé da altura tirada de P. Como \overline{OP} = 1: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\overline{PQ}}{1} \iff \overline{PQ} = \operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \cos{\alpha} = \frac{\overline{OQ}}{1} \iff \overline{OQ} = \cos{\alpha}.
  2. A base. O triângulo é isósceles com \overline{OP} = \overline{PR}, logo a altura tirada de P é também mediana e \overline{OQ} = \overline{QR}. Assim \overline{OR} = \overline{OQ}+\overline{QR} = 2\cos{\alpha}.
  3. A área. A_{[OPR]} = \frac{\overline{OR} \times \overline{PQ}}{2} = \frac{2\cos{\alpha} \times \operatorname{sen}{\alpha}}{2} = \operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha}. A opção correta é a (A).A palavra «isósceles» não é adorno do enunciado: é ela que duplica \cos{\alpha} para dar a base. Sem ela, a base ficava por determinar.
RespostaOpção (A)

A fórmula fundamental dá o seno a menos do sinal. O sinal decide-se pelo quadrante — e as duas condições do enunciado localizam-no.

  1. A fórmula fundamental. \operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 1 \iff \operatorname{sen}^{2}{\alpha} = 1-\cos^{2}{\alpha} \iff \operatorname{sen}{\alpha} = \pm\sqrt{1-\cos^{2}{\alpha}}. Isto já elimina as opções (C) e (D).
  2. O quadrante. \cos{\alpha} < 0 põe {\alpha} no 2.º ou no 3.º quadrante; \operatorname{tg}{\alpha} > 0 põe-no no 1.º ou no 3.º. Em comum: o 3.º quadrante.
  3. O sinal. No 3.º quadrante o seno é negativo, logo \operatorname{sen}{\alpha} = -\sqrt{1-\cos^{2}{\alpha}}. A opção correta é a (B).A tangente é o quociente \frac{\operatorname{sen}}{\cos}: ser positiva com o cosseno negativo obriga o seno a ser também negativo. É outra forma de fechar o mesmo raciocínio.
RespostaOpção (B)

Testa cada opção com uma fórmula de redução. Qual delas transforma um cosseno num menos seno?

  1. O que se sabe. \operatorname{sen}{\beta} = \frac{1}{5}. Procura-se um valor cujo cosseno seja -\frac{1}{5}, ou seja, -\operatorname{sen}{\beta}.
  2. Reduzir cada opção. \cos\left({\pi}+{\beta}\right) = -\cos{\beta} \qquad \cos\left(\frac{{\pi}}{2}+{\beta}\right) = -\operatorname{sen}{\beta} \cos\left(-{\beta}\right) = \cos{\beta} \qquad \cos\left(\frac{{\pi}}{2}-{\beta}\right) = \operatorname{sen}{\beta}
  3. Escolher. Só a segunda dá -\operatorname{sen}{\beta} = -\frac{1}{5}: \cos\left(\frac{{\pi}}{2}+{\beta}\right) = -\operatorname{sen}{\beta} = -\frac{1}{5}. A opção correta é a (B).As opções (A) e (C) devolvem \pm\cos{\beta}, que o enunciado não dá; e (D) devolve +\frac{1}{5}, com o sinal trocado.
RespostaOpção (B)

São três pedaços: um arco e dois segmentos. O arco de raio 1 mede {\alpha} — é essa a definição de radiano.

  1. O arco. Num círculo de raio 1, o comprimento do arco é s = r{\theta} = 1 \times {\alpha} = {\alpha}.
  2. O segmento vertical. Como \overline{OA} = 1, no triângulo [OCA]: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\overline{AC}}{1} \iff \overline{AC} = \operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \cos{\alpha} = \frac{\overline{OC}}{1} \iff \overline{OC} = \cos{\alpha}.
  3. O segmento no eixo. Como \overline{OB} = 1: \overline{CB} = \overline{OB}-\overline{OC} = 1-\cos{\alpha}.
  4. Somar. P = {\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}+1-\cos{\alpha} = 1+{\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}-\cos{\alpha}. A opção correta é a (D).As opções (A) e (B) põem {\pi} \times {\alpha} no arco: é a confusão entre s = r{\theta} e o perímetro 2{\pi}r. Num raio 1, o arco é o próprio ângulo em radianos.
RespostaOpção (D)

Toma [OC] por base — está sobre o eixo Oy. A altura é então a distância de P a esse eixo.

  1. A base. \overline{OC} = 1, sobre o eixo Oy.
  2. A altura. A altura relativa a essa base é a distância de P ao eixo Oy, isto é, a abcissa de P. Como P está no círculo trigonométrico, essa abcissa é \cos x.
  3. A área. f(x) = \frac{\overline{OC} \times \cos x}{2} = \frac{1 \times \cos x}{2} = \frac{\cos x}{2}. A opção correta é a (B).O reflexo é tomar o seno, porque é a coordenada que costuma dar alturas. Aqui a base está no eixo vertical: quem mede a altura é a outra coordenada.
RespostaOpção (B)

Isola o cosseno. O valor que sai lê-se no círculo em dois pontos, simétricos em relação ao eixo Ox.

  1. Isolar. 5+2\cos x = 6 \iff \cos x = \frac{1}{2}.
  2. Ler no círculo. A abcissa vale \frac{1}{2} em dois pontos, associados a \frac{{\pi}}{3} e a -\frac{{\pi}}{3}.
  3. Pôr no intervalo. Em \left]0,\,2{\pi}\right[, o segundo escreve-se -\frac{{\pi}}{3}+2{\pi} = \frac{5{\pi}}{3}.
  4. A opção correta é a (B).As opções com \frac{{\pi}}{6} correspondem a \cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}. Confundir os ângulos de referência \frac{{\pi}}{6} e \frac{{\pi}}{3} é o erro que estas quatro opções procuram.
RespostaOpção (B)

A ordenada do ponto onde a reta corta x = 1 é a tangente do ângulo. Depois reduz as duas parcelas: uma com \frac{{\pi}}{2}, outra tirando primeiro uma volta.

  1. A tangente. A reta OA corta x = 1 num ponto de ordenada \sqrt{8}, logo \operatorname{tg}{\alpha} = \sqrt{8}.
  2. O cosseno. Dividindo a fórmula fundamental por \cos^{2}{\alpha}: \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff 9 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff \cos^{2}{\alpha} = \frac{1}{9}. A figura põe A no 3.º quadrante, onde o cosseno é negativo: \cos{\alpha} = -\frac{1}{3}.
  3. A primeira parcela. \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}+{\alpha}\right) = \cos{\alpha} = -\frac{1}{3}.
  4. A segunda. Tirando uma volta, 3{\pi}-{\alpha} = {\pi}-{\alpha}+2{\pi}: \cos\left(3{\pi}-{\alpha}\right) = \cos\left({\pi}-{\alpha}\right) = -\cos{\alpha} = \frac{1}{3}.
  5. Juntar. 5\left(-\frac{1}{3}\right)+2 \times \frac{1}{3} = -\frac{5}{3}+\frac{2}{3} = -1.O quadrante vem da figura, não das contas: é ela que diz que A está no 3.º quadrante e obriga \cos{\alpha} < 0. A tangente sozinha admitia os dois sinais.
Resposta-1

A soma dos ângulos internos é {\pi}. Escreve {\beta} em função de {\alpha} e reduz, tratando 2{\alpha} como um único ângulo.

  1. A soma dos ângulos. {\alpha}+{\alpha}+{\beta} = {\pi} \iff {\beta} = {\pi}-2{\alpha}.
  2. Reduzir. Com a fórmula \cos\left({\pi}-u\right) = -\cos u, aplicada a u = 2{\alpha}: \cos{\beta} = \cos\left({\pi}-2{\alpha}\right) = -\cos(2{\alpha}). A opção correta é a (D).Não é preciso saber nenhuma fórmula de duplicação: 2{\alpha} trata-se como um ângulo qualquer, e a redução é a de sempre.
RespostaOpção (D)

O intervalo é o 2.º quadrante: seno positivo, cosseno negativo, tangente negativa.

  1. Os sinais. \operatorname{sen}{\theta} > 0, \cos{\theta} < 0, \operatorname{tg}{\theta} < 0.
  2. (A) Negativo menos positivo: negativo.
  3. (B) e (C) Positivo vezes negativo: negativos.
  4. (D) Positivo menos negativo — isto é, \operatorname{sen}{\theta}+\left|\operatorname{tg}{\theta}\right|: positivo.
  5. A opção correta é a (D).Outra vez a mesma leitura: uma diferença em que o subtraendo é negativo é, no fundo, uma soma de dois positivos.
RespostaOpção (D)

Isola a tangente. Depois resolve em ordem ao argumento 2x, e só no fim divide por 2 — é aí que o período {\pi} se transforma em \frac{{\pi}}{2}.

  1. Isolar. 1+3\operatorname{tg}(2x) = 4 \iff \operatorname{tg}(2x) = 1.
  2. Resolver em ordem ao argumento. A tangente vale 1 em \frac{{\pi}}{4}, e tem período {\pi}: 2x = \frac{{\pi}}{4}+k{\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}.
  3. Isolar x. x = \frac{{\pi}}{8}+\frac{k{\pi}}{2}, \quad k \in \mathbb{Z}.
  4. Percorrer k. Com k = 1: x = \frac{{\pi}}{8}+\frac{{\pi}}{2} = \frac{5{\pi}}{8}. A opção correta é a (C).Dividir k{\pi} por 2 dá \frac{k{\pi}}{2}: as soluções passam a estar duas vezes mais juntas. É por isso que \frac{3{\pi}}{8} e \frac{7{\pi}}{8} parecem plausíveis e não são.
RespostaOpção (C)

Seja P a projeção de B sobre o eixo Ox. O triângulo [ABP] é retângulo em P: aplica-lhe o teorema de Pitágoras. Em b), divide a fórmula fundamental por \cos^{2}{\alpha}.

  1. a) Os catetos. Seja P a projeção ortogonal de B sobre Ox. Como \overline{OB} = 5: \overline{BP} = 5\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{OP} = 5\cos{\alpha}.
  2. O outro cateto. Como A = (-5,\,0) e P está à direita da origem: \overline{AP} = \overline{AO}+\overline{OP} = 5+5\cos{\alpha}.
  3. Pitágoras. d^{2} = \overline{BP}^{2}+\overline{AP}^{2} = 25\operatorname{sen}^{2}{\alpha}+25+50\cos{\alpha}+25\cos^{2}{\alpha}.
  4. A fórmula fundamental. Agrupando 25\left(\operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha}\right) = 25: d^{2} = 25+25+50\cos{\alpha} = 50+50\cos{\alpha}. \quad \square
  5. b) O cosseno. Dividindo a fórmula fundamental por \cos^{2}{\alpha}: \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff 25 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff \cos^{2}{\alpha} = \frac{1}{25}. Como B está no 1.º quadrante, \cos{\alpha} = \frac{1}{5}.
  6. A distância. d^{2} = 50+50 \times \frac{1}{5} = 60 \implies d = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}.Também se podia usar diretamente a fórmula da distância entre A e B = \left(5\cos{\alpha},\,5\operatorname{sen}{\alpha}\right): dá o mesmo, com uma linha a menos.
Respostaa) d^{2} = 50+50\cos{\alpha} · b) d = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}

Toma [OR] por base: mede 1. A altura é a ordenada de Q.

  1. As coordenadas de Q. Como Q está no círculo trigonométrico: Q = \left(\cos\frac{5{\pi}}{7},\,\operatorname{sen}\frac{5{\pi}}{7}\right).
  2. A área. Com [OR] por base, sobre o eixo Ox, e altura y_{Q}: A_{[OQR]} = \frac{1 \times \operatorname{sen}\frac{5{\pi}}{7}}{2} \approx \frac{0{,}7818}{2} \approx 0{,}39. A opção correta é a (A).A calculadora tem de estar em radianos. E repara que a altura é a ordenada de Q — não o comprimento \overline{OQ}, que é o raio e vale 1.
RespostaOpção (A)

A reta r é horizontal, de ordenada 1. A distância de um ponto a uma reta horizontal é a diferença de ordenadas.

  1. As coordenadas de C. O arco tem raio 1, logo C = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right).
  2. A distância. A reta r é y = 1, e no 1.º quadrante \operatorname{sen}{\alpha} \leq 1: d = 1-y_{C} = 1-\operatorname{sen}{\alpha}. A opção correta é a (B).Confirmação rápida: quando C chega a B, tem-se {\alpha} = \frac{{\pi}}{2} e d = 0 — o ponto está sobre a reta. A expressão (B) dá isso; as outras, não.
RespostaOpção (B)

Reduz as quatro ao ângulo x. Como x é do 1.º quadrante, o seno e o cosseno de x são ambos positivos.

  1. Reduzir as quatro. \cos\left({\pi}-x\right) = -\cos x, \qquad \operatorname{sen}\left({\pi}-x\right) = \operatorname{sen}x, \cos\left(\frac{3{\pi}}{2}-x\right) = -\operatorname{sen}x, \qquad \operatorname{sen}\left(\frac{3{\pi}}{2}-x\right) = -\cos x.
  2. Ler os sinais. No 1.º quadrante \operatorname{sen}x > 0 e \cos x > 0, logo três das expressões são negativas e só \operatorname{sen}\left({\pi}-x\right) = \operatorname{sen}x é positiva.
  3. A opção correta é a (B).Vale a pena reduzir as quatro antes de decidir: três delas trazem um sinal de menos que não se vê no enunciado.
RespostaOpção (B)

A abcissa vale -0{,}3 em dois pontos da circunferência, um no 2.º quadrante e outro no 3.º. Vê quantos deles cabem em cada intervalo.

  1. Onde está a solução. Como -0{,}3 < 0, os pontos com essa abcissa estão no 2.º e no 3.º quadrantes.
  2. (A) e (D). São o 1.º e o 4.º quadrantes, onde \cos x > 0: nenhuma solução.
  3. (C). O intervalo \left[\frac{{\pi}}{2},\,\frac{3{\pi}}{2}\right] cobre o 2.º e o 3.º quadrantes: duas soluções.
  4. (B). O intervalo \left[0,\,{\pi}\right] cobre o 1.º e o 2.º: só a do 2.º quadrante, isto é uma solução.
  5. A opção correta é a (B).Contar soluções é sempre a mesma coisa: ver quantos pontos da circunferência têm a coordenada pedida, e depois quantos deles caem no intervalo.
RespostaOpção (B)

O arco AB tem centro em C: \overline{CA} e \overline{CB} são raios do mesmo arco, e por isso são iguais.

  1. As coordenadas de B. Como [OB] é um raio do círculo trigonométrico: B = \left(\cos{\theta},\,\operatorname{sen}{\theta}\right), \quad\text{logo}\quad \overline{OC} = \cos{\theta}, \quad \overline{BC} = \operatorname{sen}{\theta}.
  2. O raio do segundo arco. O arco AB tem centro em C, logo \overline{CA} = \overline{CB} = \operatorname{sen}{\theta}.
  3. A abcissa de A. x_{A} = \overline{OC}+\overline{CA} = \cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}. A opção correta é a (C).A palavra «centro» no enunciado é o dado que resolve o item: sem ela, \overline{CA} seria desconhecido. Vale a pena sublinhar sempre o que a figura diz por palavras.
RespostaOpção (C)

Em a), [ACD] é a diferença entre [ABD] e [ABC], e ambos têm a mesma base [AB]. Em c), \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}+a\right) = \cos a.

  1. a) O cateto vertical. No triângulo [ABD], retângulo em B: \operatorname{tg}x = \frac{\overline{BD}}{\overline{AB}} = \frac{\overline{BD}}{2} \iff \overline{BD} = 2\operatorname{tg}x.
  2. A diferença de dois triângulos. Ambos têm base \overline{AB} = 2: A_{[ACD]} = A_{[ABD]}-A_{[ABC]} = \frac{2 \times 2\operatorname{tg}x}{2}-\frac{2 \times 1}{2} = 2\operatorname{tg}x-1. \quad \square
  3. b) A equação. 2\operatorname{tg}x-1 = 1 \iff \operatorname{tg}x = 1 \iff x = \frac{{\pi}}{4}, única solução no intervalo em que x faz sentido.
  4. c) O dado, reduzido. \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}+a\right) = \cos a, logo \cos a = \frac{5}{13}.
  5. A tangente. Da fórmula fundamental, \operatorname{sen}^{2}a = 1-\frac{25}{169} = \frac{144}{169}; no 1.º quadrante \operatorname{sen}a = \frac{12}{13} e \operatorname{tg}a = \frac{12/13}{5/13} = \frac{12}{5}.
  6. O valor pedido. 2 \times \frac{12}{5}-1 = \frac{24-5}{5} = \frac{19}{5}.O terno 5, 12, 13 outra vez. Reconhecê-lo poupa a raiz quadrada e evita erros de arredondamento.
Respostaa) 2\operatorname{tg}x-1 · b) x = \frac{{\pi}}{4} · c) \frac{19}{5}

Dois lados são raios, e valem 1. O terceiro é horizontal: Q é o simétrico de P em relação ao eixo Oy.

  1. Os dois raios. \overline{OP} = \overline{OQ} = 1.
  2. O terceiro lado. Como P = \left(\cos 53^{\circ},\,\operatorname{sen}53^{\circ}\right) e Q é o seu simétrico em relação a Oy: \overline{PQ} = 2\cos 53^{\circ} \approx 2 \times 0{,}6018 \approx 1{,}2036.
  3. O perímetro. P = 1+1+1{,}2036 \approx 3{,}2. A opção correta é a (A).A calculadora tem de estar em graus: em radianos, \cos 53 daria -0{,}92 e o perímetro sairia negativo — sinal seguro de que o modo está errado.
RespostaOpção (A)

Uma volta completa do ponteiro dos minutos são 2{\pi} radianos e 60 minutos. Atenção ao sinal: o ponteiro roda no sentido negativo.

  1. Quantas voltas. -3{\pi} = -2{\pi}+\left(-{\pi}\right), isto é, uma volta completa mais meia volta — no sentido dos ponteiros do relógio, que é o sentido negativo.
  2. Quanto tempo. Uma volta do ponteiro dos minutos é uma hora; meia volta é meia hora. Passou uma hora e meia.
  3. A hora. 10h45 mais 1h30 dá 12h15.
  4. A opção correta é a (C).O sinal negativo diz o sentido da rotação, não que o tempo ande para trás: o ponteiro dos minutos roda sempre no sentido negativo, e é por isso que o enunciado o escreve assim.
RespostaOpção (C)

A região sombreada é o círculo menos o triângulo. O triângulo é retângulo, com hipotenusa igual ao diâmetro.

  1. O triângulo é retângulo, por estar inscrito com o diâmetro por lado. A hipotenusa mede 2, e os catetos são b = 2\operatorname{sen}x, \qquad a = 2\cos x.
  2. O círculo. De raio 1: A_{\circ} = {\pi} \times 1^{2} = {\pi}.
  3. A diferença. A = {\pi}-\frac{2\operatorname{sen}x \times 2\cos x}{2} = {\pi}-2\operatorname{sen}x\cos x. A opção correta é a (A).A opção (B) trocaria o círculo pelo semicírculo. Convém confirmar sempre se a região sombreada é o círculo inteiro ou metade — a figura dá a resposta num relance.
RespostaOpção (A)

Compara 3 com \dfrac{{\pi}}{2} \approx 1{,}57 e com {\pi} \approx 3{,}14.

  1. Onde cai o 3. Como \frac{{\pi}}{2} \approx 1{,}57 e {\pi} \approx 3{,}14: \frac{{\pi}}{2} < 3 < {\pi}.
  2. Que quadrante é esse. Um ângulo entre \frac{{\pi}}{2} e {\pi} é obtuso: o lado extremidade fica no 2.º quadrante, e perto do semieixo negativo Ox, porque 3 está perto de {\pi}.
  3. A opção correta é a (B).Saber de cor que {\pi} \approx 3{,}14 resolve o item numa linha. É a razão pela qual convém ter uma ideia do tamanho dos ângulos em radianos, e não só das suas frações de {\pi}.
RespostaOpção (B)

Em cada intervalo, vê entre que valores a ordenada pode andar, e compara com 0{,}1.

  1. Opção (D). No arco de \frac{{\pi}}{6} a \frac{{\pi}}{2}, o seno cresce de \frac{1}{2} a 1: \frac{1}{2} \leq \operatorname{sen}x \leq 1. Como 0{,}1 < \frac{1}{2}, a equação não tem solução aí.
  2. As outras três. Em (C), o seno vai de 0 a \frac{1}{2} e passa por 0{,}1; em (A) e (B) o intervalo contém (C).
  3. A opção correta é a (D).Nestes itens compensa procurar o intervalo onde o valor pedido fica fora do enquadramento, em vez de testar as quatro opções uma a uma.
RespostaOpção (D)

A região é um trapézio de bases [AB] e [PC] e altura 2. O comprimento \overline{DP} sai da tangente no triângulo [ADP]. Em c), \cos\left(x+\frac{{\pi}}{2}\right) = -\operatorname{sen}x.

  1. a) O pedaço horizontal. Seja Q a projeção de P sobre [AB]. O triângulo [AQP] é retângulo em Q, com \overline{PQ} = \overline{BC} = 2, e o ângulo x está em A: \operatorname{tg}x = \frac{\overline{PQ}}{\overline{AQ}} = \frac{2}{\overline{AQ}} \iff \overline{AQ} = \frac{2}{\operatorname{tg}x}.
  2. A base menor. Como \overline{DP} = \overline{AQ}, \overline{PC} = 2-\frac{2}{\operatorname{tg}x}.
  3. A área do trapézio. Bases \overline{AB} = 2 e \overline{PC}, altura \overline{BC} = 2: A = \frac{2+2-\frac{2}{\operatorname{tg}x}}{2} \times 2 = 4-\frac{2}{\operatorname{tg}x}. \quad \square
  4. b) A equação. 4-\frac{2}{\operatorname{tg}x} = \frac{12-2\sqrt{3}}{3} = 4-\frac{2\sqrt{3}}{3} \iff \frac{2}{\operatorname{tg}x} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \iff \operatorname{tg}x = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}. No intervalo \left]\frac{{\pi}}{4},\,\frac{{\pi}}{2}\right[, isso dá x = \frac{{\pi}}{3}.
  5. c) O dado, reduzido. \cos\left(x+\frac{{\pi}}{2}\right) = -\operatorname{sen}x, logo \operatorname{sen}x = \frac{15}{17}.
  6. O cosseno e a tangente. \cos^{2}x = 1-\frac{225}{289} = \frac{64}{289}; no intervalo dado o cosseno é positivo, \cos x = \frac{8}{17}, e \operatorname{tg}x = \frac{15/17}{8/17} = \frac{15}{8}.
  7. A área. A = 4-\frac{2}{15/8} = 4-\frac{16}{15} = \frac{60-16}{15} = \frac{44}{15}.O par 8, 15, 17 é outro terno pitagórico. Nestes itens, quando o enunciado dá uma fração de denominador 17 ou 25, é quase certo que os valores exatos saem racionais.
Respostaa) 4-\frac{2}{\operatorname{tg}x} · b) x = \frac{{\pi}}{3} · c) \frac{44}{15}

Substitui as coordenadas na equação. A soma \operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} aparece sozinha e vale 1.

  1. Substituir. As coordenadas de P verificam a equação: \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+\operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\left(2+\cos{\alpha}-2\right)^{2} = 4 \iff \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+\operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 4.
  2. A fórmula fundamental. \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+1 = 4 \iff \operatorname{tg}^{2}{\alpha} = 3 \iff \operatorname{tg}{\alpha} = \pm\sqrt{3}.
  3. Escolher. No 1.º quadrante a tangente é positiva: \operatorname{tg}{\alpha} = \sqrt{3}. Da tabela dos valores exatos, {\alpha} = \frac{{\pi}}{3}.
  4. As coordenadas. P = \left(\sqrt{3},\,\operatorname{sen}\frac{{\pi}}{3},\,2+\cos\frac{{\pi}}{3}\right) = \left(\sqrt{3},\,\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{5}{2}\right).A esfera tem centro (0,\,0,\,2) e raio 2 — o \left(z-2\right)^{2} do enunciado é o que faz o \cos{\alpha} ficar sozinho depois de substituir.
RespostaP = \left(\sqrt{3},\,\frac{\sqrt{3}}{2},\,\frac{5}{2}\right)

No triângulo [ABP], retângulo em B, conhece-se o cateto adjacente \overline{AB} = 5. O lado [AC] não depende de x: sai do teorema de Pitágoras.

  1. Os dois lados que dependem de x. No triângulo [ABP], retângulo em B: \cos x = \frac{5}{\overline{AP}} \iff \overline{AP} = \frac{5}{\cos x}, \qquad \operatorname{tg}x = \frac{\overline{BP}}{5} \iff \overline{BP} = 5\operatorname{tg}x.
  2. O pedaço restante do cateto. Como \overline{BP}+\overline{PC} = 5: \overline{PC} = 5-5\operatorname{tg}x.
  3. A hipotenusa. Pelo teorema de Pitágoras, e sem depender de x: \overline{AC} = \sqrt{5^{2}+5^{2}} = \sqrt{50}.
  4. O perímetro. P_{[APC]} = \overline{AP}+\overline{PC}+\overline{AC} = \frac{5}{\cos x}+5-5\operatorname{tg}x+\sqrt{50}. \quad \squareA condição x < \frac{{\pi}}{4} garante \operatorname{tg}x < 1 e portanto \overline{PC} > 0: P fica mesmo entre B e C.
Resposta\overline{AP} = \frac{5}{\cos x}, \overline{PC} = 5-5\operatorname{tg}x, \overline{AC} = \sqrt{50}

O triângulo está inscrito numa semicircunferência com o diâmetro por lado: é retângulo em B, e a hipotenusa é \overline{OA} = 2.

  1. O ângulo reto. Como [OA] é um diâmetro e B está na circunferência, o triângulo [OAB] é retângulo em B, com hipotenusa \overline{OA} = 2.
  2. Os dois catetos. Visto de O, o cateto oposto a {\alpha} é [AB] e o adjacente é [OB]: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\overline{AB}}{2} \iff \overline{AB} = 2\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \cos{\alpha} = \frac{\overline{OB}}{2} \iff \overline{OB} = 2\cos{\alpha}.
  3. O perímetro. P = \overline{OA}+\overline{AB}+\overline{OB} = 2+2\operatorname{sen}{\alpha}+2\cos{\alpha} = 2\left(1+\cos{\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}\right). \quad \squareA propriedade do ângulo inscrito num semicírculo aparece em quatro itens deste banco. É a que transforma «ponto que anda numa circunferência» em «triângulo retângulo de hipotenusa conhecida».
Resposta\overline{AB} = 2\operatorname{sen}{\alpha}, \overline{OB} = 2\cos{\alpha}

O raio é 3. Põe a origem em O: o ponto A é o mais baixo da esfera, e a ordenada de B lê-se com o cosseno do ângulo ao centro.

  1. a) O raio. O diâmetro é 6, logo o raio é 3 e \overline{OA} = \overline{OB} = 3.
  2. A altura, em duas parcelas. Medindo a partir de O, o ponto A está 3 abaixo. O ponto C, ao nível de B, está 3\cos{\theta} abaixo de O, porque {\theta} é o ângulo entre [OA] e [OB]: h({\theta}) = \overline{AC} = 3-3\cos{\theta}. \quad \square
  3. b) A equação. 3-3\cos{\theta} = 3 \iff \cos{\theta} = 0. Em \left]0,\,{\pi}\right[, a única solução é {\theta} = \frac{{\pi}}{2}.
  4. A interpretação. Com {\theta} = \frac{{\pi}}{2}, o nível do combustível passa exatamente pelo centro da esfera: o depósito está meio cheio, e a altura do combustível é 3 metros, igual ao raio.O enunciado pede a interpretação, não só o valor. Nos itens de modelação, dizer o que o número significa no contexto vale cotação própria.
Respostaa) h({\theta}) = 3-3\cos{\theta} · b) {\theta} = \frac{{\pi}}{2}, o depósito está meio cheio

Em cada intervalo, vê entre que valores a abcissa pode andar. Compara com 0{,}9.

  1. Opção (C). No arco de \frac{{\pi}}{4} a \frac{3{\pi}}{4}, a abcissa vai de \frac{\sqrt{2}}{2} a -\frac{\sqrt{2}}{2}: -\frac{\sqrt{2}}{2} \leq \cos x \leq \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0{,}71. Como 0{,}9 > 0{,}71, a equação não tem solução aí.
  2. As outras três. Todas contêm x = 0 numa vizinhança onde o cosseno passa por 1, e portanto por 0{,}9 — em (A), (B) e (D) há solução.
  3. A opção correta é a (C).O máximo do cosseno num intervalo atinge-se no extremo mais próximo de 0. Aqui esse extremo é \frac{{\pi}}{4}, e \cos\frac{{\pi}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} fica abaixo de 0{,}9.
RespostaOpção (C)

A ordenada do ponto onde a reta corta x = 1 é a tangente do ângulo. O ângulo procurado está no 3.º quadrante, uma meia-volta à frente do agudo.

  1. A tangente. O ponto P está na reta x = 1 com ordenada 2, logo \operatorname{tg}{\alpha} = 2.
  2. O ângulo agudo correspondente. Com a calculadora em radianos, o ângulo do 1.º quadrante cuja tangente é 2 vale aproximadamente 1{,}1071.
  3. Passar para o 3.º quadrante. A tangente tem período {\pi}, e Q está no 3.º quadrante: {\alpha} \approx 1{,}1071+{\pi} \approx 4{,}2487.
  4. Arredondando às centésimas, {\alpha} \approx 4{,}25: a opção correta é a (B).O período da tangente é {\pi}, não 2{\pi}. Somar 2{\pi} devolveria um ângulo do 1.º quadrante — e nenhuma das opções.
RespostaOpção (B)

Tira {\beta} e {\theta} em função de {\alpha} e reduz cada seno. Um deles é o de um ângulo complementar; o outro, o de um ângulo simétrico a menos de uma volta.

  1. O primeiro. De {\alpha}+{\beta} = \frac{{\pi}}{2} vem {\beta} = \frac{{\pi}}{2}-{\alpha}, e portanto \operatorname{sen}{\beta} = \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = \cos{\alpha}.
  2. O segundo. De {\alpha}+{\theta} = 2{\pi} vem {\theta} = 2{\pi}-{\alpha}, e uma volta completa não muda nada: \operatorname{sen}{\theta} = \operatorname{sen}\left(-{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha}.
  3. Somar. \operatorname{sen}{\alpha}+\cos{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha} = \cos{\alpha}. A opção correta é a (D).O intervalo dado para {\alpha} não é usado no cálculo: serve só para garantir que os três ângulos são os da figura mental do enunciado. Nem todo o dado de um item entra na conta.
RespostaOpção (D)

Em a), o triângulo é isósceles: R é o ponto médio de [OQ] e [PR] é a altura. Em c), desenvolve o quadrado e usa a fórmula fundamental.

  1. a) As medidas. Como \overline{OP} = 5, \overline{PR} = 5\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{OR} = 5\cos{\alpha}.
  2. A base. O triângulo [OPQ] é isósceles (\overline{PO} = \overline{PQ}), logo a altura [PR] é também mediana e \overline{OQ} = 2\overline{OR} = 10\cos{\alpha}.
  3. A área. A_{[OPQ]} = \frac{10\cos{\alpha} \times 5\operatorname{sen}{\alpha}}{2} = 25\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} = f({\alpha}). \quad \square
  4. b) A equação. Como \cos{\alpha} \neq 0 no intervalo dado, pode dividir-se por 25\cos{\alpha}: 25\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} = 25\cos^{2}{\alpha} \iff \operatorname{sen}{\alpha} = \cos{\alpha} \iff \operatorname{tg}{\alpha} = 1. No intervalo \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[, a única solução é {\alpha} = \frac{{\pi}}{4}.
  5. c) O produto. De 25\operatorname{sen}{\theta}\cos{\theta} = 5 vem \operatorname{sen}{\theta}\cos{\theta} = \frac{1}{5}.
  6. Desenvolver o quadrado. \left(\operatorname{sen}{\theta}+\cos{\theta}\right)^{2} = \operatorname{sen}^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}+2\operatorname{sen}{\theta}\cos{\theta} = 1+\frac{2}{5} = \frac{7}{5}.Em b), dividir por \cos{\alpha} só é legítimo porque o intervalo garante que ele não se anula. Fora dele haveria de fatorizar — e apareceriam as soluções com \cos{\alpha} = 0.
Respostaa) 25\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} · b) \frac{{\pi}}{4} · c) \frac{7}{5}

Reduz o dado: \cos\left(\frac{3{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha}. Depois é a fórmula fundamental e o quadrante.

  1. O dado, reduzido. \cos\left(\frac{3{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{4}{5} \iff \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{4}{5}.
  2. O cosseno. \cos^{2}{\alpha} = 1-\frac{16}{25} = \frac{9}{25} \iff \cos{\alpha} = \pm\frac{3}{5}. Como {\alpha} é do 1.º quadrante, \cos{\alpha} = \frac{3}{5}.
  3. A tangente. \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{4/5}{3/5} = \frac{4}{3}.
  4. O valor pedido. 3-\frac{1}{4/3} = 3-\frac{3}{4} = \frac{12-3}{4} = \frac{9}{4}.O \frac{3}{4} é o inverso da tangente — a cotangente, que o programa não nomeia. Deixar a fração escrita é resposta completa.
Resposta\frac{9}{4}

A tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência, logo [OQP] é retângulo em Q. A hipotenusa é \overline{OP} = 1+d e o cateto oposto a x é o raio.

  1. Um triângulo retângulo. Como PQ é tangente em Q, o raio [OQ] é perpendicular a [PQ]: o triângulo [OQP] é retângulo em Q.
  2. Os dois lados. A hipotenusa é \overline{OP} = \overline{OA}+\overline{AP} = 1+d, e o cateto oposto ao ângulo x é o raio \overline{OQ} = 1: \operatorname{sen}x = \frac{\overline{OQ}}{\overline{OP}} = \frac{1}{1+d}.
  3. Resolver em ordem a d. 1+d = \frac{1}{\operatorname{sen}x} \iff d = \frac{1}{\operatorname{sen}x}-1 = \frac{1-\operatorname{sen}x}{\operatorname{sen}x}. \quad \square
  4. Confirmar. Para x perto de \frac{{\pi}}{2}, \operatorname{sen}x \to 1 e d \to 0: o ponto P aproxima-se de A, e a tangente aproxima-se da perpendicular ao raio em A. Bate certo.Verificar um caso-limite depois de obter a expressão custa dez segundos e apanha a maior parte dos erros de sinal.
Resposta\operatorname{sen}x = \frac{1}{1+d}

O contorno tem seis lados: dois raios, dois segmentos horizontais e dois verticais. Por simetria, os lados iguais aparecem aos pares.

  1. Os comprimentos. Como \overline{OA} = 1, \overline{OE} = \operatorname{sen}{\theta}, \qquad \overline{EA} = \cos{\theta}.
  2. O contorno. P = \overline{AO}+\overline{OB}+\overline{BD}+\overline{DO}+\overline{OE}+\overline{EA}.
  3. Simetria. Como B é o simétrico de A em relação à origem, \overline{AO} = \overline{OB} = 1, \overline{BD} = \overline{EA} e \overline{DO} = \overline{OE}. Logo P = 2 \times 1+2\cos{\theta}+2\operatorname{sen}{\theta} = 2\left(1+\cos{\theta}+\operatorname{sen}{\theta}\right). A opção correta é a (C).É um perímetro, não uma área — e o contorno inclui os dois raios. Esquecê-los leva à opção (A).
RespostaOpção (C)

Toma [OA] por base: mede 1. A altura é o valor absoluto da ordenada de B. Onde é que B está, contado a partir do semieixo positivo?

  1. Onde está B. O ângulo AOB mede \frac{2{\pi}}{3} a partir de [OA], que aponta para {\pi}. Descendo, B corresponde a {\pi}-\frac{2{\pi}}{3} = \frac{{\pi}}{3} \quad\text{abaixo do eixo, isto é } -\frac{{\pi}}{3}.
  2. As coordenadas. B = \left(\cos\left(-\frac{{\pi}}{3}\right),\,\operatorname{sen}\left(-\frac{{\pi}}{3}\right)\right) = \left(\frac{1}{2},\,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right).
  3. A área. Com [OA] por base, sobre o eixo Ox, a altura é \left|y_{B}\right|: A_{[OAB]} = \frac{\overline{OA} \times \left|y_{B}\right|}{2} = \frac{1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}. A opção correta é a (A).A amplitude do ângulo AOB conta-se a partir de [OA], não do semieixo positivo. É esse o passo que decide o item — e o que separa -\frac{{\pi}}{3} de \frac{2{\pi}}{3}.
RespostaOpção (A)

Procura-se um ângulo cujo seno seja o simétrico do de {\theta}. Percorre as fórmulas de redução e vê qual delas troca o sinal do seno.

  1. O que se procura. Um ângulo u tal que \operatorname{sen}u = -\operatorname{sen}{\theta}.
  2. Testar as quatro. \operatorname{sen}\left({\pi}-{\theta}\right) = \operatorname{sen}{\theta}, \qquad \operatorname{sen}\left({\pi}+{\theta}\right) = -\operatorname{sen}{\theta}, \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}-{\theta}\right) = \cos{\theta}, \qquad \operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}+{\theta}\right) = \cos{\theta}.
  3. Concluir. Só {\pi}+{\theta} troca o sinal do seno: \operatorname{sen}\left({\pi}+{\theta}\right) = -\left(-\frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}. A opção correta é a (B).As opções (C) e (D) dão \cos{\theta}, que não se conhece — e é essa a armadilha: parecem naturais, mas trocam a razão em vez de trocar o sinal.
RespostaOpção (B)

A altura tirada de B é o lado comum aos dois triângulos retângulos. Escreve-a duas vezes: uma com o ângulo {\alpha}, outra com os 30^{\circ}.

  1. A altura, vista da esquerda. No triângulo retângulo de hipotenusa [AB]: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{h}{2} \iff h = 2\operatorname{sen}{\alpha}.
  2. A altura, vista da direita. No triângulo retângulo de hipotenusa [BC]: \operatorname{sen}30^{\circ} = \frac{h}{\overline{BC}} \iff \frac{1}{2} = \frac{h}{\overline{BC}} \iff \overline{BC} = 2h.
  3. Juntar. \overline{BC} = 2 \times 2\operatorname{sen}{\alpha} = 4\operatorname{sen}{\alpha}. A opção correta é a (A).É o método da secção R1 inteiro: partir o triângulo pela altura e escrever essa altura duas vezes. Não é preciso lei dos senos nenhuma.
RespostaOpção (A)

Em a), escreve P = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right) e usa a fórmula da distância entre dois pontos. Em c), divide a fórmula fundamental por \cos^{2}{\alpha} para tirar o cosseno da tangente.

  1. a) A distância. Com P = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right) e B = (3,\,0): d = \sqrt{\left(\cos{\alpha}-3\right)^{2}+\operatorname{sen}^{2}{\alpha}} = \sqrt{\cos^{2}{\alpha}-6\cos{\alpha}+9+\operatorname{sen}^{2}{\alpha}}.
  2. A fórmula fundamental. Como \operatorname{sen}^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 1: d = \sqrt{10-6\cos{\alpha}} \implies d^{2} = 10-6\cos{\alpha}. \quad \square
  3. b) A equação. 10-6\cos{\alpha} = 7 \iff \cos{\alpha} = \frac{1}{2}. No círculo, a abcissa vale \frac{1}{2} em dois pontos, associados a \frac{{\pi}}{3} e a -\frac{{\pi}}{3}. Em \left[0,\,2{\pi}\right[: {\alpha} = \frac{{\pi}}{3} \;\lor\; {\alpha} = \frac{5{\pi}}{3}.
  4. c) Do \operatorname{tg}{\alpha} para o cosseno. Dividindo a fórmula fundamental por \cos^{2}{\alpha}: \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff 35+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff \cos^{2}{\alpha} = \frac{1}{36}.
  5. Escolher o sinal. Como {\alpha} \in \left[0,\,{\pi}\right] e \operatorname{tg}{\alpha} < 0, o ângulo é do 2.º quadrante e \cos{\alpha} = -\frac{1}{6}.
  6. A distância. d^{2} = 10-6\left(-\frac{1}{6}\right) = 11 \implies d = \sqrt{11}, porque d > 0.A alínea a) é a fórmula da distância mais a fórmula fundamental, e mais nada. É o item que mostra que a trigonometria e a geometria analítica são a mesma coisa vista de dois lados.
Respostaa) d^{2} = 10-6\cos{\alpha} · b) \frac{{\pi}}{3} e \frac{5{\pi}}{3} · c) d = \sqrt{11}

O raio do arco é \overline{BP} = 2. Toma [AQ] por base do triângulo e [PQ] por altura.

  1. A altura. No triângulo [BQP], retângulo em Q, a hipotenusa é o raio \overline{BP} = 2: \operatorname{sen}x = \frac{\overline{PQ}}{2} \iff \overline{PQ} = 2\operatorname{sen}x.
  2. Um pedaço da base. \cos x = \frac{\overline{BQ}}{2} \iff \overline{BQ} = 2\cos x.
  3. A base inteira. Como B é o ponto médio de [AC], \overline{AB} = 2, e \overline{AQ} = \overline{AB}+\overline{BQ} = 2+2\cos x.
  4. A área. A_{[APQ]} = \frac{\overline{AQ} \times \overline{PQ}}{2} = \frac{\left(2+2\cos x\right)2\operatorname{sen}x}{2} = 2\operatorname{sen}x\left(1+\cos x\right). \quad \squareO ponto P move-se, mas \overline{BP} é sempre o raio do arco. É por isso que \overline{PQ} e \overline{BQ} saem tão simples.
Respostabase 2+2\cos x, altura 2\operatorname{sen}x

Marca P em [AB] com [DP] perpendicular a [AB]: então \overline{DP} = 1 e o ângulo ADP tem amplitude {\alpha}-\dfrac{{\pi}}{2}. Usa \cos\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right) = \operatorname{sen}{\alpha}.

  1. O ponto auxiliar. Seja P \in [AB] com [DP] \perp [AB]. Então \overline{DP} = \overline{BC} = 1, \overline{PB} = \overline{DC} = 1, e o ângulo ADP tem amplitude {\alpha}-\frac{{\pi}}{2}.
  2. O lado oblíquo. No triângulo [ADP], retângulo em P: \cos\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right) = \frac{\overline{DP}}{\overline{DA}} \iff \overline{DA} = \frac{1}{\operatorname{sen}{\alpha}}, usando \cos\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right) = \cos\left(\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = \operatorname{sen}{\alpha}.
  3. O pedaço da base. \operatorname{tg}\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right) = \frac{\overline{AP}}{\overline{DP}} = \overline{AP}. Ora \operatorname{tg}\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right) = \frac{\operatorname{sen}\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right)}{\cos\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right)} = \frac{-\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}}, logo \overline{AP} = -\frac{\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}}, que é positivo porque no 2.º quadrante \cos{\alpha} < 0.
  4. O perímetro. P = \overline{PB}+\overline{BC}+\overline{CD}+\overline{DA}+\overline{AP} = 1+1+1+\frac{1}{\operatorname{sen}{\alpha}}-\frac{\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}} = 3+\frac{1-\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}}. \quad \squareEscrever o ângulo auxiliar como {\alpha}-\frac{{\pi}}{2} — e não como \frac{{\pi}}{2}-{\alpha} — é o que mantém as amplitudes positivas e a figura coerente. As duas reduções dão o mesmo, mas só uma se lê na figura.
Resposta\overline{DA} = \frac{1}{\operatorname{sen}{\alpha}}, \overline{AP} = -\frac{\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}}

A região sombreada é o quadrado menos oito triângulos retângulos congruentes. Marca P, o ponto médio de [AB]: o triângulo [AEP] é um deles.

  1. Um triângulo de referência. Seja P o ponto médio de [AB]. Como \overline{AE} = \overline{BE}, o triângulo [AEB] é isósceles e [EP] é a sua altura, com \overline{AP} = 2.
  2. A altura. No triângulo [AEP], retângulo em P: \operatorname{tg}x = \frac{\overline{EP}}{\overline{AP}} = \frac{\overline{EP}}{2} \iff \overline{EP} = 2\operatorname{tg}x.
  3. Oito triângulos iguais. A região branca é feita de oito triângulos congruentes a [AEP]: 8 \times \frac{\overline{AP} \times \overline{EP}}{2} = 8 \times \frac{2 \times 2\operatorname{tg}x}{2} = 16\operatorname{tg}x.
  4. A diferença. A = \overline{AB}^{2}-16\operatorname{tg}x = 16-16\operatorname{tg}x = 16\left(1-\operatorname{tg}x\right). \quad \squareA condição x < \frac{{\pi}}{4} garante \operatorname{tg}x < 1 e, portanto, área positiva. Em x = \frac{{\pi}}{4} as oito pontas encontrar-se-iam no centro e a área anular-se-ia.
Respostaquadrado 16 menos oito triângulos, 16\operatorname{tg}x

Marca o arco no círculo, de \frac{5{\pi}}{6} a \frac{4{\pi}}{3}, e vê que valores as coordenadas podem tomar nesse arco.

  1. O arco. Vai do 2.º quadrante ao 3.º, dos 150^{\circ} aos 240^{\circ}.
  2. O que a ordenada pode valer. Nos extremos, \operatorname{sen}\frac{5{\pi}}{6} = \frac{1}{2} e \operatorname{sen}\frac{4{\pi}}{3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}; pelo meio desce continuamente. Logo -\frac{\sqrt{3}}{2} \leq \operatorname{sen}x \leq \frac{1}{2}.
  3. O que a abcissa pode valer. Analogamente, -1 \leq \cos x \leq -\frac{1}{2}.
  4. Testar as quatro. -0{,}5 está nos dois intervalos; -0{,}9 está no do cosseno. Mas -\frac{\sqrt{3}}{2} \approx -0{,}87, e -0{,}9 < -0{,}87: o seno nunca chega a -0{,}9 neste arco.
  5. A opção correta é a (D).O valor -\frac{\sqrt{3}}{2} é o mínimo do seno no arco porque \frac{4{\pi}}{3} é o extremo — o mínimo absoluto, -1, só se atingiria em \frac{3{\pi}}{2}, que está fora.
RespostaOpção (D)

As bases paralelas são [OR] e [PQ], ambas horizontais; a altura é a ordenada comum de P e Q. Em b), a ordenada do ponto na reta x = 1 é \operatorname{tg}{\alpha}.

  1. a) Os três pontos. P = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right); Q tem a ordenada de P e está no arco do 1.º quadrante, logo Q = \left(-\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right); e R = \left(-\cos{\alpha},\,0\right).
  2. As duas bases. No 2.º quadrante \cos{\alpha} < 0, logo -\cos{\alpha} > 0 e \overline{OR} = -\cos{\alpha}, \qquad \overline{PQ} = -\cos{\alpha}-\cos{\alpha} = -2\cos{\alpha}.
  3. A altura. É a ordenada comum: h = \operatorname{sen}{\alpha}.
  4. A área. A_{[OPQR]} = \frac{\overline{OR}+\overline{PQ}}{2} \times h = \frac{-\cos{\alpha}-2\cos{\alpha}}{2}\operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{3}{2}\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. \quad \square
  5. b) A tangente. A ordenada do ponto de interseção da reta OP com x = 1 é \operatorname{tg}{\alpha} = -\frac{7}{24}.
  6. O cosseno. Dividindo a fórmula fundamental por \cos^{2}{\alpha}: \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff \frac{49}{576}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff \cos^{2}{\alpha} = \frac{576}{625}. No 2.º quadrante o cosseno é negativo: \cos{\alpha} = -\frac{24}{25}.
  7. O seno. De \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\operatorname{sen}{\alpha}}{\cos{\alpha}}: \operatorname{sen}{\alpha} = \operatorname{tg}{\alpha} \times \cos{\alpha} = \left(-\frac{7}{24}\right)\left(-\frac{24}{25}\right) = \frac{7}{25}.
  8. A área. A = -\frac{3}{2} \times \frac{7}{25} \times \left(-\frac{24}{25}\right) = \frac{3 \times 7 \times 24}{2 \times 625} = \frac{504}{1250} = \frac{252}{625}.O \frac{7}{24} do enunciado não é ao acaso: 7, 24 e 25 formam um terno pitagórico, e é por isso que o seno e o cosseno saem racionais.
Respostaa) -\frac{3}{2}\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} · b) \frac{252}{625}

Seja P = (-3,\,0). No triângulo [OPA], retângulo em P, o ângulo em O tem amplitude {\pi}-{\alpha}. Depois reduz: \cos({\pi}-{\alpha}) = -\cos{\alpha} e \operatorname{tg}({\pi}-{\alpha}) = -\operatorname{tg}{\alpha}.

  1. Um ponto auxiliar. Seja P = (-3,\,0). O ângulo AOP tem amplitude {\pi}-{\alpha}, e \overline{OP} = 3.
  2. A hipotenusa. No triângulo [OPA], retângulo em P: \cos\left({\pi}-{\alpha}\right) = \frac{3}{\overline{OA}} \iff \overline{OA} = \frac{3}{\cos\left({\pi}-{\alpha}\right)} = \frac{3}{-\cos{\alpha}} = -\frac{3}{\cos{\alpha}}.
  3. O cateto. \operatorname{tg}\left({\pi}-{\alpha}\right) = \frac{\overline{AP}}{3} \iff \overline{AP} = 3\operatorname{tg}\left({\pi}-{\alpha}\right) = -3\operatorname{tg}{\alpha}.
  4. O perímetro. Como B é o simétrico de A, tem-se \overline{AB} = 2\overline{AP} e \overline{OB} = \overline{OA}: P_{[OAB]} = \overline{AB}+\overline{OA}+\overline{OB} = 2\left(-3\operatorname{tg}{\alpha}\right)+2\left(-\frac{3}{\cos{\alpha}}\right) = -6\operatorname{tg}{\alpha}-\frac{6}{\cos{\alpha}}. \quad \square
  5. Confirmar o sinal. No 2.º quadrante \operatorname{tg}{\alpha} < 0 e \cos{\alpha} < 0, logo as duas parcelas são positivas.É o mesmo movimento do item do quadrilátero de 2024: os sinais de menos da expressão final são o que torna positivos comprimentos escritos com um cosseno negativo.
Resposta\overline{OA} = -\frac{3}{\cos{\alpha}}, \overline{AP} = -3\operatorname{tg}{\alpha}

Toma [EC] por base e [DA] por altura. No triângulo [ADC], retângulo em D, a hipotenusa é o raio \overline{CA} = 1.

  1. A altura. No triângulo [ADC], retângulo em D, a hipotenusa é \overline{CA} = 1 e [DA] é o cateto oposto a x: \operatorname{sen}x = \frac{\overline{DA}}{1} \iff \overline{DA} = \operatorname{sen}x.
  2. Um pedaço da base. O cateto adjacente é [DC]: \cos x = \frac{\overline{DC}}{1} \iff \overline{DC} = \cos x.
  3. A base inteira. Como \overline{ED} = 6 e D está entre E e C: \overline{EC} = \overline{ED}+\overline{DC} = 6+\cos x.
  4. A área. A_{[ACE]} = \frac{\overline{EC} \times \overline{DA}}{2} = \frac{\left(6+\cos x\right)\operatorname{sen}x}{2}. \quad \squareO ponto A move-se, mas \overline{CA} = 1 não muda: é sempre o raio. É esse comprimento fixo que faz o seno e o cosseno aparecerem sem denominador.
Respostabase 6+\cos x, altura \operatorname{sen}x

O intervalo é o 3.º quadrante: seno e cosseno negativos, tangente positiva. Depois é ler o sinal de cada expressão.

  1. Os sinais no 3.º quadrante. \operatorname{sen}x < 0, \cos x < 0 e, sendo o quociente de dois negativos, \operatorname{tg}x > 0.
  2. (A) Soma de dois negativos: negativa.
  3. (B) Negativo a dividir por positivo: negativo.
  4. (C) Positivo menos negativo — ou, o que é o mesmo, \operatorname{tg}x+\left|\operatorname{sen}x\right|, soma de dois positivos: positivo.
  5. (D) Negativo vezes positivo: negativo.
  6. A opção correta é a (C).Ler uma diferença como soma — a-b = a+|b| quando b < 0 — é o passo que resolve o item. Sem ele, «positivo menos negativo» parece ambíguo e não é.
RespostaOpção (C)

Em cada volta completa, o seno toma um valor estritamente entre -1 e 1 exatamente duas vezes. Quantas voltas cabem no intervalo?

  1. Quantas soluções por volta. Como -1 < 0{,}3 < 1, a reta horizontal de ordenada 0{,}3 corta a circunferência em dois pontos. Em \left[0,\,2{\pi}\right[ há portanto 2 soluções.
  2. Quantas voltas. O intervalo \left[-20{\pi},\,20{\pi}\right[ tem amplitude 40{\pi}, isto é \frac{40{\pi}}{2{\pi}} = 20 voltas completas.
  3. Contar. 20 \times 2 = 40 \ \text{soluções}. A opção correta é a (B).O intervalo é fechado à esquerda e aberto à direita — \left[-20{\pi},\,20{\pi}\right[ — e contém exatamente 20 períodos, sem repetir nenhuma extremidade. Se fosse fechado dos dois lados a contagem seria a mesma, porque \operatorname{sen}(20{\pi}) = 0 \neq 0{,}3.
RespostaOpção (B)

Os ângulos DOQ e AOP são verticalmente opostos, logo têm a mesma amplitude. A área do polígono é o retângulo, mais o triângulo [ODQ], menos o triângulo [OAP]. Em b), \cos\left(\frac{3{\pi}}{2}-x\right) = -\operatorname{sen}x.

  1. a) Os dois comprimentos. Como [OA] e [OQ] são raios, \overline{OA} = \overline{OD} = 1. Sendo R a projeção de Q sobre [AD], \operatorname{sen}x = \frac{\overline{QR}}{1} \iff \overline{QR} = \operatorname{sen}x, \qquad \operatorname{tg}x = \frac{\overline{AP}}{1} \iff \overline{AP} = \operatorname{tg}x. A segunda usa que DOQ e AOP são verticalmente opostos e por isso têm a mesma amplitude.
  2. Compor a área. O polígono é o retângulo, mais o triângulo [ODQ], menos o triângulo [OAP]: A = \overline{DC} \times \overline{BC}+\frac{\overline{OD} \times \overline{QR}}{2}-\frac{\overline{AP} \times \overline{OA}}{2} = 2+\frac{\operatorname{sen}x}{2}-\frac{\operatorname{tg}x}{2}. \quad \square
  3. b) O dado, reduzido. \cos\left(\frac{3{\pi}}{2}-x\right) = -\operatorname{sen}x, logo -\operatorname{sen}x = -\frac{3}{5} \iff \operatorname{sen}x = \frac{3}{5}.
  4. O cosseno e a tangente. Da fórmula fundamental, \cos^{2}x = 1-\frac{9}{25} = \frac{16}{25}. Como x \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{4}\right], o cosseno é positivo: \cos x = \frac{4}{5} e \operatorname{tg}x = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}.
  5. Substituir. A = 2-\frac{3/4}{2}+\frac{3/5}{2} = 2-\frac{3}{8}+\frac{3}{10} = \frac{80-15+12}{40} = \frac{77}{40}.Reduzir tudo ao mesmo denominador 40 no fim evita andar com decimais numa resposta que o enunciado quer em fração irredutível.
Respostaa) 2-\frac{\operatorname{tg}x}{2}+\frac{\operatorname{sen}x}{2} · b) \frac{77}{40}

O triângulo é retângulo em C. Um cateto é a ordenada de B; o outro é a distância de D a C sobre o eixo — e \cos{\alpha} é negativo.

  1. Os dois catetos. Como B = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right) e C = \left(\cos{\alpha},\,0\right): \overline{BC} = \operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{OC} = \left|\cos{\alpha}\right|.
  2. O sinal. No 2.º quadrante \cos{\alpha} < 0, logo \left|\cos{\alpha}\right| = -\cos{\alpha} e \overline{DC} = \overline{OD}-\overline{OC} = 3-\left(-\cos{\alpha}\right) = 3+\cos{\alpha}.
  3. A área. A_{[BCD]} = \frac{\overline{DC} \times \overline{BC}}{2} = \frac{\left(3+\cos{\alpha}\right)\operatorname{sen}{\alpha}}{2}. A opção correta é a (C).Repara em \overline{DC} = 3+\cos{\alpha}, com mais: C está entre D e O, e o cosseno negativo encurta a distância. Um sinal trocado aqui leva à opção (D).
RespostaOpção (C)

Em a), [PQR] está inscrito numa semicircunferência com o diâmetro por lado: é retângulo em Q. Em b), da tangente tira-se o cosseno dividindo a fórmula fundamental por \cos^{2}{\theta}.

  1. a) O triângulo [PQR] é retângulo em Q, porque [PR] é um diâmetro e Q está na circunferência. A hipotenusa é \overline{PR} = 2 \times 2 = 4, e \overline{QR} = 4\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{PQ} = 4\cos{\alpha}.
  2. A área de metade. Os catetos são perpendiculares: A_{[PQR]} = \frac{4\operatorname{sen}{\alpha} \times 4\cos{\alpha}}{2} = 8\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}.
  3. O quadrilátero. Como \overline{PQ} = \overline{PS}, os triângulos [PQR] e [PSR] são congruentes: A_{[PQRS]} = 2 \times 8\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} = 16\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. \quad \square
  4. b) Do \operatorname{tg}{\theta} para o cosseno. Dividindo \operatorname{sen}^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta} = 1 por \cos^{2}{\theta}: \operatorname{tg}^{2}{\theta}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\theta}} \iff 8+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\theta}} \iff \cos^{2}{\theta} = \frac{1}{9}. No 1.º quadrante o cosseno é positivo: \cos{\theta} = \frac{1}{3}.
  5. O seno. \operatorname{sen}^{2}{\theta} = 1-\frac{1}{9} = \frac{8}{9} \implies \operatorname{sen}{\theta} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.
  6. A área. 16 \times \frac{2\sqrt{2}}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{32\sqrt{2}}{9}.A identidade \operatorname{tg}^{2}+1 = \frac{1}{\cos^{2}} não é para decorar: sai da fórmula fundamental numa divisão. É assim que ela cabe no programa.
Respostaa) 16\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} · b) \frac{32\sqrt{2}}{9}

A região é o triângulo [OBC] menos o setor circular de amplitude {\alpha}. O triângulo é retângulo em B, com \overline{OB} = 1.

  1. O triângulo. A tangente é perpendicular ao raio, logo [OBC] é retângulo em B, com \overline{OB} = 1 adjacente a {\alpha}: \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\overline{BC}}{\overline{OB}} = \overline{BC}, e portanto A_{[OBC]} = \frac{\overline{OB} \times \overline{BC}}{2} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}.
  2. O setor. De raio 1 e amplitude {\alpha} em radianos: A_{\text{setor}} = \frac{1}{2}r^{2}{\alpha} = \frac{{\alpha}}{2}.
  3. A diferença. A = \frac{\operatorname{tg}{\alpha}}{2}-\frac{{\alpha}}{2} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha}-{\alpha}}{2}. A opção correta é a (B).Que a resposta seja positiva é o próprio enquadramento \operatorname{sen}{\alpha} < {\alpha} < \operatorname{tg}{\alpha} — a desigualdade que, no 12.º ano, dá o limite notável \frac{\operatorname{sen}x}{x} = 1.
RespostaOpção (B)

O quadrilátero é a diferença de dois triângulos retângulos com o mesmo vértice em O: o maior, [OCD], e o menor, [OBA].

  1. O que se lê no círculo. Com A na circunferência e D na reta x = 1: \overline{OB} = \cos{\alpha}, \quad \overline{AB} = \operatorname{sen}{\alpha}, \quad \overline{OC} = 1, \quad \overline{CD} = \operatorname{tg}{\alpha}.
  2. A diferença de dois triângulos. O quadrilátero [ABCD] é o que sobra ao triângulo [OCD] depois de lhe tirar [OBA]: A_{[ABCD]} = \frac{\overline{OC} \times \overline{CD}}{2}-\frac{\overline{OB} \times \overline{AB}}{2}.
  3. Substituir. A_{[ABCD]} = \frac{1 \times \operatorname{tg}{\alpha}}{2}-\frac{\cos{\alpha} \times \operatorname{sen}{\alpha}}{2} = \frac{\operatorname{tg}{\alpha}-\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{2}. A opção correta é a (B).Os dois triângulos são semelhantes — têm o ângulo {\alpha} comum e ângulos retos — e por isso a diferença das áreas é a maneira mais curta de chegar ao quadrilátero. Tentar calculá-lo por decomposição em trapézio dá o mesmo, com o dobro do trabalho.
RespostaOpção (B)

As bases paralelas são [OP] e [QR], ambas verticais; a altura é \overline{PQ}, horizontal. Atenção ao sinal: R está no 4.º quadrante, logo \operatorname{sen}{\alpha} < 0.

  1. As medidas. A base menor é \overline{OP} = 1. Como R = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right) está no 4.º quadrante, \cos{\alpha} > 0 e \operatorname{sen}{\alpha} < 0, e a altura é \overline{PQ} = \cos{\alpha}.
  2. A base maior. O lado [QR] vai de y = 1 até y = \operatorname{sen}{\alpha} < 0: \overline{QR} = 1+\left|\operatorname{sen}{\alpha}\right| = 1-\operatorname{sen}{\alpha}.
  3. A área. A_{[OPQR]} = \frac{\overline{OP}+\overline{QR}}{2} \times \overline{PQ} = \frac{1+1-\operatorname{sen}{\alpha}}{2}\cos{\alpha} = \frac{2-\operatorname{sen}{\alpha}}{2}\cos{\alpha}.
  4. Distribuir. = \cos{\alpha}-\frac{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}{2}. A opção correta é a (D).Se se escrevesse \overline{QR} = 1+\operatorname{sen}{\alpha}, esquecendo que o seno é negativo, saía a opção (C). O quadrante do enunciado está lá para isto.
RespostaOpção (D)

Escreve as coordenadas de P, de Q e de R. Toma [QR] por base: é horizontal, e a altura é a distância vertical de P a essa reta.

  1. Os três vértices. Como a circunferência tem raio 1, P = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right), \qquad Q = \left(-\cos{\alpha},\,-\operatorname{sen}{\alpha}\right), e R está em [OD] — o semieixo negativo Oy — à altura de Q, logo R = \left(0,\,-\operatorname{sen}{\alpha}\right).
  2. A base. [QR] é horizontal e vai de x = -\cos{\alpha} a x = 0: \overline{QR} = \cos{\alpha}.
  3. A altura. É a distância vertical de P à reta que contém [QR], de ordenada -\operatorname{sen}{\alpha}: h = \operatorname{sen}{\alpha}-\left(-\operatorname{sen}{\alpha}\right) = 2\operatorname{sen}{\alpha}.
  4. A área. A_{[PQR]} = \frac{\cos{\alpha} \times 2\operatorname{sen}{\alpha}}{2} = \operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. A opção correta é a (D).O 2 da altura cancela o 2 do denominador — e é por isso que a resposta não tem denominador. Quem esquecer que P e Q estão de lados opostos do eixo escolhe a opção (B).
RespostaOpção (D)

Falta o terceiro ângulo, que sai da soma dos ângulos internos. Depois, a lei dos senos relaciona cada lado com o seno do ângulo oposto.

  1. O terceiro ângulo. A soma dos ângulos internos é 180^{\circ}: A\hat{C}B = 180^{\circ}-81^{\circ}-57^{\circ} = 42^{\circ}.
  2. A lei dos senos. Cada lado é proporcional ao seno do ângulo que se lhe opõe: \frac{\overline{AC}}{\operatorname{sen}\left(A\hat{B}C\right)} = \frac{\overline{AB}}{\operatorname{sen}\left(A\hat{C}B\right)} \iff \frac{5}{\operatorname{sen}81^{\circ}} = \frac{\overline{AB}}{\operatorname{sen}42^{\circ}}.
  3. Resolver. Com a calculadora em graus, \overline{AB} = \frac{5\operatorname{sen}42^{\circ}}{\operatorname{sen}81^{\circ}} \approx 3{,}39. A opção correta é a (C).A lei dos senos está nos «possíveis aprofundamentos» das Aprendizagens Essenciais, não no essencial. Sem ela, este triângulo resolve-se traçando a altura de C sobre [AB] e escrevendo-a duas vezes — o método da secção R1.
RespostaOpção (C)

Isola o cosseno. O valor que aparece lê-se no círculo: é o cosseno de um dos ângulos da tabela, com o sinal do 2.º ou do 3.º quadrante.

  1. Isolar. 2\cos x+1 = 0 \iff \cos x = -\frac{1}{2}.
  2. Ler no círculo. A abcissa vale -\frac{1}{2} em dois pontos, simétricos em relação ao eixo Ox, associados a \frac{2{\pi}}{3} e a -\frac{2{\pi}}{3}.
  3. Escolher o do intervalo. De \left[-{\pi},\,0\right] só serve x = -\frac{2{\pi}}{3}.
  4. A opção correta é a (B).Vale a pena confirmar: -\frac{5{\pi}}{6} também está no intervalo, mas o seu cosseno é -\frac{\sqrt{3}}{2}, não -\frac{1}{2}. É a distração habitual entre \frac{{\pi}}{6} e \frac{{\pi}}{3} como ângulo de referência.
RespostaOpção (B)

Na reta x = 1, a ordenada de A é \operatorname{tg}{\alpha}, e a abcissa de B é \cos{\alpha}. Divide a fórmula fundamental por \cos^{2}{\alpha}.

  1. O que cada coordenada é. Seja {\alpha} o ângulo entre \dot{O}A e o semieixo positivo Ox. Como A está na reta x = 1, a sua ordenada é \operatorname{tg}{\alpha} = a. E como B está na circunferência trigonométrica, x_{B} = \cos{\alpha}.
  2. Uma relação entre os dois. Da fórmula fundamental, dividindo tudo por \cos^{2}{\alpha} — que não é nulo, porque {\alpha} é agudo: \frac{\operatorname{sen}^{2}{\alpha}}{\cos^{2}{\alpha}}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}} \iff \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}}.
  3. Substituir. Com \operatorname{tg}{\alpha} = a e \cos{\alpha} = x_{B}: a^{2}+1 = \frac{1}{x_{B}^{2}} \iff x_{B}^{2} = \frac{1}{a^{2}+1}.
  4. Escolher o sinal. Como a > 1, o ponto A está no 1.º quadrante e x_{B} > 0: x_{B} = \frac{1}{\sqrt{a^{2}+1}}. A opção correta é a (A).A identidade do segundo passo não é para decorar — deduz-se da fórmula fundamental numa linha, dividindo por \cos^{2}{\alpha}. É assim que ela entra no âmbito do programa.
RespostaOpção (A)

As coordenadas de A são \left(3\cos{\alpha},\,3\operatorname{sen}{\alpha}\right), e B é o simétrico de A em relação à origem. Toma [BC] por base; a altura é a distância horizontal de A a C.

  1. Os três vértices. Como o raio é 3, A = \left(3\cos{\alpha},\,3\operatorname{sen}{\alpha}\right); como [AB] é um diâmetro, B = \left(-3\cos{\alpha},\,-3\operatorname{sen}{\alpha}\right); e como BC é vertical com C em Ox, C = \left(-3\cos{\alpha},\,0\right).
  2. Os sinais. No 2.º quadrante, \operatorname{sen}{\alpha} > 0 e \cos{\alpha} < 0. Logo \overline{BC} = \left|-3\operatorname{sen}{\alpha}\right| = 3\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{OC} = \left|-3\cos{\alpha}\right| = -3\cos{\alpha}.
  3. A altura. A abcissa de A é simétrica da de C, pelo que a distância horizontal de A à reta BC é 2\overline{OC} = -6\cos{\alpha}.
  4. A área. A_{[ABC]} = \frac{\overline{BC} \times 2\overline{OC}}{2} = 3\operatorname{sen}{\alpha} \times \left(-3\cos{\alpha}\right) = -9\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. \quad \squareOs módulos não são zelo excessivo: \cos{\alpha} é negativo, e um comprimento não pode ser. É deles que vem o sinal de menos da expressão final.
Resposta\overline{BC} = 3\operatorname{sen}{\alpha}, altura -6\cos{\alpha}

Reduz primeiro o dado: \operatorname{sen}\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right) = -\cos{\alpha}. Depois tira as voltas de -\frac{7{\pi}}{2}+{\alpha} somando 4{\pi}.

  1. O dado, reduzido. Como \operatorname{sen}\left({\alpha}-\frac{{\pi}}{2}\right) = -\operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = -\cos{\alpha}: -\cos{\alpha} = -\frac{1}{5} \iff \cos{\alpha} = \frac{1}{5}.
  2. O seno, pela fórmula fundamental. \operatorname{sen}^{2}{\alpha} = 1-\frac{1}{25} = \frac{24}{25} \iff \operatorname{sen}{\alpha} = \pm\frac{\sqrt{24}}{5}. Como {\alpha} \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{2}\right[, o seno é positivo: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{2\sqrt{6}}{5}.
  3. A tangente. \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{2\sqrt{6}/5}{1/5} = 2\sqrt{6}, \qquad \operatorname{tg}\left({\pi}-{\alpha}\right) = -\operatorname{tg}{\alpha} = -2\sqrt{6}.
  4. A segunda parcela. Somando duas voltas, 4{\pi}, ao argumento: \cos\left(-\frac{7{\pi}}{2}+{\alpha}\right) = \cos\left({\alpha}+\frac{{\pi}}{2}\right) = -\operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{2\sqrt{6}}{5}.
  5. Juntar. -2\sqrt{6}+2\left(-\frac{2\sqrt{6}}{5}\right) = -2\sqrt{6}-\frac{4\sqrt{6}}{5} = \frac{-10\sqrt{6}-4\sqrt{6}}{5} = \frac{-14\sqrt{6}}{5}.O enunciado pede a forma \frac{a\sqrt{b}}{c}: convém simplificar \sqrt{24} = 2\sqrt{6} logo no princípio, ou a conta arrasta radicais que não estão na forma pedida.
Resposta-\frac{14\sqrt{6}}{5}

Chama {\alpha} à amplitude do ângulo AOP. As coordenadas de P são \left(r\cos{\alpha},\,r\operatorname{sen}{\alpha}\right). No fim, usa d = r{\alpha} para trocar {\alpha} por \frac{d}{r}.

  1. As coordenadas de P. Seja {\alpha} a amplitude, em radianos, do ângulo AOP. Como P está na circunferência de raio r: P = \left(r\cos{\alpha},\,r\operatorname{sen}{\alpha}\right).
  2. Os dois comprimentos. Tem-se \overline{OA} = \overline{OB} = r, \overline{OT} = x_{P} = r\cos{\alpha} e \overline{OS} = y_{P} = r\operatorname{sen}{\alpha}, logo \overline{BS}+\overline{TA} = \left(\overline{OB}-\overline{OS}\right)+\left(\overline{OA}-\overline{OT}\right) = r-r\operatorname{sen}{\alpha}+r-r\cos{\alpha}.
  3. Pôr r em evidência. \overline{BS}+\overline{TA} = r\left(2-\operatorname{sen}{\alpha}-\cos{\alpha}\right).
  4. Trocar {\alpha} por d e r. O comprimento de arco é d = r{\alpha}, com {\alpha} em radianos, logo {\alpha} = \frac{d}{r}: \overline{BS}+\overline{TA} = r\left(2-\operatorname{sen}\frac{d}{r}-\cos\frac{d}{r}\right). \quad \squareÉ este o item que mostra para que serve o radiano: a relação d = r{\alpha} só é assim tão simples porque a amplitude vai em radianos.
Resposta{\alpha} = \frac{d}{r} e \overline{BS}+\overline{TA} = r\left(2-\operatorname{sen}{\alpha}-\cos{\alpha}\right)

O declive de uma reta é a tangente da sua inclinação. Com \cos{\alpha} = \frac{1}{2} e {\alpha} agudo, a fórmula fundamental dá o seno e daí a tangente. Toma [AO] como base: a altura é a ordenada de B.

  1. A tangente de {\alpha}. Da fórmula fundamental, com \cos{\alpha} = \frac{1}{2}: \operatorname{sen}^{2}{\alpha} = 1-\frac{1}{4} = \frac{3}{4}. A inclinação de uma reta está em \left[0,\,{\pi}\right[ e aqui o cosseno é positivo, logo {\alpha} é do 1.º quadrante e \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\sqrt{3}}{2}. Então \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}.
  2. A equação de s. O declive é \operatorname{tg}{\alpha} = \sqrt{3} e a reta passa na origem: y = \sqrt{3}x.
  3. O ponto B. Resolvendo o sistema: \sqrt{3}x = \frac{\sqrt{3}}{2}x+1 \iff \frac{\sqrt{3}}{2}x = 1 \iff x = \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}, e y_{B} = \sqrt{3} \times \frac{2\sqrt{3}}{3} = 2.
  4. O ponto A. Fazendo y = 0 em r: \frac{\sqrt{3}}{2}x+1 = 0 \iff x = -\frac{2}{\sqrt{3}} = -\frac{2\sqrt{3}}{3}.
  5. A área. Com [AO] por base, sobre o eixo Ox, a altura é y_{B}: A_{[AOB]} = \frac{\left|x_{A}\right| \times y_{B}}{2} = \frac{\frac{2\sqrt{3}}{3} \times 2}{2} = \frac{2\sqrt{3}}{3}.O declive é a tangente da inclinação, não a inclinação. Confundir as duas é o erro que mais custa nestes itens de geometria analítica.
Resposta\frac{2\sqrt{3}}{3}

Um triângulo inscrito numa semicircunferência, com o diâmetro por lado, é retângulo no terceiro vértice. A região sombreada é o semicírculo menos o triângulo.

  1. O triângulo é retângulo em B, porque está inscrito numa semicircunferência e tem o diâmetro por lado. A hipotenusa é \overline{AC} = 4.
  2. Os catetos. Visto de A, o cateto oposto a {\alpha} é [BC] e o adjacente é [AB]: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{\overline{BC}}{4} \iff \overline{BC} = 4\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \cos{\alpha} = \frac{\overline{AB}}{4} \iff \overline{AB} = 4\cos{\alpha}.
  3. O semicírculo. O raio é metade do diâmetro, r = 2: A_{\text{semi}} = \frac{{\pi}r^{2}}{2} = \frac{4{\pi}}{2} = 2{\pi}.
  4. A diferença. A = 2{\pi}-\frac{\overline{BC} \times \overline{AB}}{2} = 2{\pi}-\frac{4\operatorname{sen}{\alpha} \times 4\cos{\alpha}}{2} = 2{\pi}-8\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. \quad \squareA propriedade do primeiro passo — «ângulo inscrito num semicírculo é reto» — é o que transforma um problema de circunferência num problema de triângulo retângulo. Vale a pena tê-la à mão.
Respostasemicírculo 2{\pi} menos triângulo 8\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}

Uma tangente é perpendicular ao raio no ponto de tangência: os triângulos [OTA] e [OTB] são retângulos em T, com \overline{OT} = 2. O ângulo T\hat{O}B é o complementar de {\alpha}.

  1. Dois triângulos retângulos. A reta AB é tangente em T, logo é perpendicular ao raio [OT]. Os triângulos [OTA] e [OTB] são retângulos em T, com hipotenusas [OA] e [OB].
  2. O lado \overline{OA}. No triângulo [OTA], [OT] é adjacente a {\alpha}: \cos{\alpha} = \frac{\overline{OT}}{\overline{OA}} = \frac{2}{\overline{OA}} \iff \overline{OA} = \frac{2}{\cos{\alpha}}.
  3. O lado \overline{OB}. Como T\hat{O}B = \frac{{\pi}}{2}-{\alpha} e \cos\left(\frac{{\pi}}{2}-{\alpha}\right) = \operatorname{sen}{\alpha}: \cos\left(T\hat{O}B\right) = \frac{2}{\overline{OB}} \iff \overline{OB} = \frac{2}{\operatorname{sen}{\alpha}}.
  4. A área. O triângulo [ABC] tem base \overline{AC} = 2\overline{OA} e altura \overline{OB}: A_{[ABC]} = \frac{2\overline{OA} \times \overline{OB}}{2} = \overline{OA} \times \overline{OB} = \frac{2}{\cos{\alpha}} \times \frac{2}{\operatorname{sen}{\alpha}} = \frac{4}{\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}}. \quad \squareO passo que resolve o problema é o primeiro: reconhecer que a tangente é perpendicular ao raio. Sem isso não há triângulo retângulo nenhum e nada se calcula.
Resposta\overline{OA} = \frac{2}{\cos{\alpha}}, \overline{OB} = \frac{2}{\operatorname{sen}{\alpha}}

Toma [AB] como base: mede \operatorname{tg}{\alpha}. A altura é a distância horizontal de C à reta x = 1, isto é 1-\cos{\alpha}. Para \operatorname{tg}{\alpha}, parte da fórmula fundamental.

  1. A base. B está na reta x = 1, logo \overline{AB} = \operatorname{tg}{\alpha}.
  2. Calcular \operatorname{tg}{\alpha}. Da fórmula fundamental, com \cos{\alpha} = \frac{1}{3}: \operatorname{sen}^{2}{\alpha} = 1-\frac{1}{9} = \frac{8}{9}. No 1.º quadrante o seno é positivo: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{2\sqrt{2}}{3}. Logo \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{2\sqrt{2}/3}{1/3} = 2\sqrt{2}.
  3. A altura. A abcissa de C é \cos{\alpha} = \frac{1}{3}, e a base está na reta x = 1: h = 1-\cos{\alpha} = 1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}.
  4. A área. A_{[ABC]} = \frac{2\sqrt{2} \times \frac{2}{3}}{2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}.A resolução publicada obtém \operatorname{tg}{\alpha} por \operatorname{tg}^{2}{\alpha}+1 = \frac{1}{\cos^{2}{\alpha}}. Dá o mesmo, mas essa identidade está fora das Aprendizagens Essenciais — a fórmula fundamental chega, e é o que aqui se usa.
Resposta\frac{2\sqrt{2}}{3}

A região é a soma de duas: o setor, de área \frac{1}{2}r^{2}{\alpha}, e o trapézio, de área \frac{B+b}{2}\times h. Escreve as coordenadas de B, C e D em função de {\alpha}.

  1. O setor. Com raio 2 e amplitude {\alpha} em radianos, A_{\text{setor}} = \frac{1}{2}r^{2}{\alpha} = \frac{1}{2} \times 4 \times {\alpha} = 2{\alpha}.
  2. Os três pontos. Como B está na circunferência de raio 2: B = \left(2\cos{\alpha},\,2\operatorname{sen}{\alpha}\right), \quad C = \left(-2\cos{\alpha},\,2\operatorname{sen}{\alpha}\right), \quad D = \left(-2\cos{\alpha},\,0\right).
  3. Os lados do trapézio. \overline{BC} = 2\cos{\alpha}+\left|-2\cos{\alpha}\right| = 4\cos{\alpha}, \qquad \overline{OD} = 2\cos{\alpha}, \qquad \overline{CD} = 2\operatorname{sen}{\alpha}.
  4. A área do trapézio. A_{[OBCD]} = \frac{\overline{BC}+\overline{OD}}{2} \times \overline{CD} = \frac{4\cos{\alpha}+2\cos{\alpha}}{2} \times 2\operatorname{sen}{\alpha} = 6\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}.
  5. Somar. A = 2{\alpha}+6\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. \quad \squareA parcela 2{\alpha} só sai limpa porque a amplitude vem em radianos: em graus a fórmula do setor traria um fator \frac{{\pi}}{180}.
Respostasetor 2{\alpha} + trapézio 6\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}

Como A está na circunferência de raio 4 e a reta OA tem inclinação {\alpha}, as coordenadas de A são \left(4\cos{\alpha},\,4\operatorname{sen}{\alpha}\right). O quadrilátero é a união de dois triângulos congruentes.

  1. As coordenadas de A. A = \left(4\cos{\alpha},\,4\operatorname{sen}{\alpha}\right).
  2. Os comprimentos. Como AB é vertical, B tem a abcissa de A: \overline{AB} = 4\operatorname{sen}{\alpha}, \qquad \overline{OB} = \left|4\cos{\alpha}\right| = -4\cos{\alpha}, porque {\alpha} é do 2.º quadrante e \cos{\alpha} < 0. Como [AC] é um diâmetro, C é o simétrico de A e D o simétrico de B, logo \overline{BD} = 2\overline{OB} = -8\cos{\alpha}.
  3. A área. A diagonal [BD] parte o quadrilátero em dois triângulos congruentes, de base \overline{BD} e altura \overline{AB}: A_{[ABCD]} = 2 \times \frac{\overline{BD} \times \overline{AB}}{2} = \left(-8\cos{\alpha}\right) \times 4\operatorname{sen}{\alpha} = -32\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}. \quad \square
  4. Confirmar o sinal. No 2.º quadrante \operatorname{sen}{\alpha} > 0 e \cos{\alpha} < 0, logo -32\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha} > 0: a área é positiva, como tem de ser.O sinal de menos na expressão final não é um erro — é o que transforma \cos{\alpha}, que é negativo, num comprimento positivo.
Resposta\overline{AB} = 4\operatorname{sen}{\alpha}, \overline{BD} = -8\cos{\alpha}

Toma [AC] como base. Como A está na circunferência, A = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right); a altura é a distância vertical de B à reta AC.

  1. As coordenadas de A. O ponto A está na circunferência de raio 1 e a reta OA tem inclinação {\alpha}, logo A = \left(\cos{\alpha},\,\operatorname{sen}{\alpha}\right).
  2. A base. Como AC é paralela ao eixo Ox e C está em Oy, tem-se C = \left(0,\,\operatorname{sen}{\alpha}\right). No 2.º quadrante \cos{\alpha} < 0, e portanto \overline{AC} = \left|\cos{\alpha}\right| = -\cos{\alpha}.
  3. A altura. O ponto B está na reta x = 1 e na reta OA, logo B = \left(1,\,\operatorname{tg}{\alpha}\right). A altura relativa a [AC] — que é horizontal, de ordenada \operatorname{sen}{\alpha} — é a diferença de ordenadas. No 2.º quadrante \operatorname{tg}{\alpha} < 0 < \operatorname{sen}{\alpha}, pelo que h = \operatorname{sen}{\alpha}-\operatorname{tg}{\alpha}.
  4. A área. A_{[ABC]} = \frac{\left(-\cos{\alpha}\right)\left(\operatorname{sen}{\alpha}-\operatorname{tg}{\alpha}\right)}{2}.
  5. Simplificar. Substituindo \operatorname{tg}{\alpha} = \frac{\operatorname{sen}{\alpha}}{\cos{\alpha}} e distribuindo: A_{[ABC]} = \frac{-\operatorname{sen}{\alpha}\cos{\alpha}+\operatorname{sen}{\alpha}}{2} = \frac{\operatorname{sen}{\alpha}\left(1-\cos{\alpha}\right)}{2}. \quad \squareOs dois módulos que a figura obriga a pôr — \overline{AC} = -\cos{\alpha} e h = \operatorname{sen}{\alpha}-\operatorname{tg}{\alpha} — desaparecem os dois na simplificação. É o sinal de que os quadrantes foram bem lidos.
Respostabase -\cos{\alpha}, altura \operatorname{sen}{\alpha}-\operatorname{tg}{\alpha}

Seja P o ponto onde a reta BO volta a encontrar a circunferência do lado de B, e Q a sua projeção sobre Oy. Os triângulos [OPQ] e [OBC] são semelhantes. A base do triângulo é [CB].

  1. Um ponto auxiliar. Seja P o ponto da circunferência sobre a semirreta \dot{O}B, e Q a projeção ortogonal de P em Oy. Então \overline{PQ} = \cos{\alpha}, \qquad \overline{OQ} = \operatorname{sen}{\alpha}.
  2. Semelhança. Os triângulos [OPQ] e [OBC] têm o ângulo em O comum e ângulos retos em Q e em C: \frac{\overline{CB}}{\overline{PQ}} = \frac{\overline{OC}}{\overline{OQ}} \iff \frac{\overline{CB}}{\cos{\alpha}} = \frac{1}{\operatorname{sen}{\alpha}} \iff \overline{CB} = \frac{\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}}.
  3. A altura. Como [BD] contém um diâmetro, D é o simétrico de P em relação à origem, e a sua ordenada é y_{D} = -\operatorname{sen}{\alpha}. Tomando [CB] como base — que é horizontal, de ordenada 1 — a altura é 1+\left|-\operatorname{sen}{\alpha}\right| = 1+\operatorname{sen}{\alpha}.
  4. A área. A_{[BCD]} = \frac{\overline{CB} \times \left(1+\operatorname{sen}{\alpha}\right)}{2} = \frac{\frac{\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}}\left(1+\operatorname{sen}{\alpha}\right)}{2} = \frac{\cos{\alpha}\left(1+\operatorname{sen}{\alpha}\right)}{2\operatorname{sen}{\alpha}}. \quad \squareO módulo em \left|y_{D}\right| não é decoração: a ordenada de D é negativa, e a altura é uma distância.
Resposta\overline{CB} = \frac{\cos{\alpha}}{\operatorname{sen}{\alpha}} e a altura é 1+\operatorname{sen}{\alpha}

Seja P = (1,\,0). No triângulo [OPA], retângulo em P, o cosseno dá \overline{OA}. Depois compara os triângulos [COD] e [CAB]: têm um ângulo comum e lados paralelos.

  1. O que se lê na figura. Seja P = (1,\,0). Então \overline{CO} = \overline{DO} = \overline{PO} = 1, porque são raios ou o segmento até x = 1, e \overline{CA} = \overline{CO}+\overline{OA} = 1+\overline{OA}.
  2. O comprimento \overline{OA}. No triângulo [OPA], retângulo em P, o cateto [OP] é adjacente a {\alpha} e [OA] é a hipotenusa: \cos{\alpha} = \frac{\overline{OP}}{\overline{OA}} = \frac{1}{\overline{OA}} \iff \overline{OA} = \frac{1}{\cos{\alpha}}.
  3. Dois triângulos semelhantes. Os triângulos [COD] e [CAB] têm o ângulo em C comum, e [OD] é paralelo a [AB] — ambos verticais. Logo são semelhantes, e os lados correspondentes são proporcionais: \frac{\overline{AB}}{\overline{OD}} = \frac{\overline{CA}}{\overline{CO}} \iff \frac{\overline{AB}}{1} = \frac{1+\overline{OA}}{1}.
  4. Concluir. \overline{AB} = 1+\overline{OA} = 1+\frac{1}{\cos{\alpha}}. \quad \squareA condição {\alpha} \in \left]0,\,\frac{{\pi}}{4}\right[ garante que A fica abaixo de D e que a figura é a que está desenhada; o cálculo em si não a usa.
Resposta\overline{OA} = \frac{1}{\cos{\alpha}} e a semelhança dá \overline{AB} = 1+\overline{OA}

Exercícios globais · Trigonometria do 11.º ano

Três exercícios sobre triângulos, três sobre o círculo e os ângulos generalizados, quatro sobre o radiano e a redução ao primeiro quadrante, e seis sobre funções trigonométricas e fenómenos periódicos. Os filtros ao lado deixam trabalhar um bloco de cada vez.

Exercício 90 escolha múltiplaGlobal · triângulos

Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede o dobro de um dos catetos.

A amplitude do ângulo oposto a esse cateto é:

  • (A)30^{\circ}
  • (B)45^{\circ}
  • (C)60^{\circ}
  • (D)\text{depende do triângulo}
Exercício 91 construçãoGlobal · problema com triângulos

Uma escada de 5 metros está encostada a uma parede vertical e faz com o solo um ângulo de amplitude {\theta}.

a) Escreve, em função de {\theta}, a altura h a que a escada toca a parede e a distância d do pé da escada à parede. b) Mostra que h^{2}+d^{2} não depende de {\theta}. c) Determina {\theta}, em graus e arredondado às décimas, sabendo que o pé da escada está a 1{,}8 metros da parede.

Exercício 92 construçãoGlobal · área em função de um ângulo

Considera um triângulo isósceles [ABC] em que \overline{AB} = \overline{AC} = 6 e o ângulo BAC tem amplitude {\alpha}, com {\alpha} \in \left]0,\,{\pi}\right[.

a) Mostra que \overline{BC} = 12\operatorname{sen}\dfrac{{\alpha}}{2}. b) Mostra que a altura relativa a [BC] é 6\cos\dfrac{{\alpha}}{2}. c) Determina, recorrendo à calculadora gráfica, o valor de {\alpha} para o qual a área do triângulo é 15, arredondado às centésimas.

Exercício 93 escolha múltiplaGlobal · sinais no círculo

Sabe-se que {\alpha} \in \left]{\pi},\,\dfrac{3{\pi}}{2}\right[.

Qual das afirmações é necessariamente verdadeira?

  • (A)\operatorname{sen}{\alpha} \times \cos{\alpha} < 0
  • (B)\operatorname{tg}{\alpha} > 0
  • (C)\operatorname{sen}{\alpha} > \cos{\alpha}
  • (D)\cos{\alpha} > 0
Exercício 94 construçãoGlobal · coordenadas no círculo

Num referencial ortonormado, P é um ponto da circunferência trigonométrica, do 3.º quadrante, associado a um ângulo de amplitude {\alpha}.

Sabe-se que \operatorname{tg}{\alpha} = 2.

a) Determina as coordenadas de P. b) Determina o valor exato de \operatorname{sen}\left({\pi}-{\alpha}\right)+\cos\left(-{\alpha}\right).

Exercício 95 escolha múltiplaGlobal · expressão geral

Quantos ângulos de amplitude entre -2{\pi} e 4{\pi} têm o mesmo lado extremidade que um ângulo de \dfrac{{\pi}}{7}?

  • (A)2
  • (B)3
  • (C)4
  • (D)6
Exercício 96 escolha múltiplaGlobal · redução

A expressão \operatorname{sen}\left(x-\dfrac{11{\pi}}{2}\right)-2\cos\left(x+7{\pi}\right) é igual a:

  • (A)\cos x
  • (B)3\cos x
  • (C)\operatorname{sen}x
  • (D)-\cos x
Exercício 97 construçãoGlobal · simplificar

Simplifica, escrevendo o resultado em função de \operatorname{sen}x e de \cos x, a expressão

\cos\left(\frac{{\pi}}{2}-x\right)\operatorname{sen}\left({\pi}+x\right)+\cos^{2}\left({\pi}-x\right).

Conclui daí o valor da expressão para x = \dfrac{{\pi}}{4}.

Exercício 98 construçãoGlobal · setor circular

Numa circunferência de centro O e raio 10 cm, um arco tem \dfrac{25{\pi}}{3} cm de comprimento.

a) Determina a amplitude, em radianos, do ângulo ao centro correspondente. b) Determina a área do setor circular correspondente. c) Verifica se o arco é maior ou menor do que meia circunferência.

Exercício 99 escolha múltiplaGlobal · valor exato

O valor de \operatorname{sen}\dfrac{7{\pi}}{6}+\cos\dfrac{4{\pi}}{3} é:

  • (A)-1
  • (B)0
  • (C)-\dfrac{1}{2}
  • (D)\dfrac{\sqrt{3}}{2}
Exercício 100 construçãoGlobal · estudo de uma função

Seja f a função, de domínio \mathbb{R}, definida por f(x) = 1-2\cos\left(\dfrac{x}{2}\right).

a) Determina o contradomínio de f. b) Determina o período positivo mínimo de f. c) Determina, analiticamente, os zeros de f em \left[0,\,8{\pi}\right].

Exercício 101 escolha múltiplaGlobal · gráfico e período

Na figura de um enunciado está representada parte do gráfico de uma função periódica g. Sabe-se que o máximo é 5, o mínimo é -1, e que g atinge dois mínimos consecutivos em x = 2 e x = 10.

Uma expressão possível para g é:

  • (A)2+3\cos\left(\dfrac{{\pi}}{4}(x-2)\right)
  • (B)2-3\cos\left(\dfrac{{\pi}}{4}(x-2)\right)
  • (C)2-3\cos\left(\dfrac{{\pi}}{8}(x-2)\right)
  • (D)3-2\cos\left(\dfrac{{\pi}}{4}(x-2)\right)
Exercício 102 construçãoGlobal · roda gigante

Numa roda gigante, a altura ao solo de uma cadeira, em metros, t minutos depois do início do movimento, é dada por

h(t) = 21-19\cos\left(\frac{{\pi}t}{5}\right), \quad t \geq 0.

a) Determina a altura mínima e a altura máxima da cadeira. b) Determina quanto tempo demora a roda a dar uma volta completa. c) Determina, analiticamente, os instantes dos primeiros 20 minutos em que a cadeira está no ponto mais alto. d) Recorrendo à calculadora gráfica, determina durante quanto tempo, em cada volta, a cadeira está acima dos 30 metros. Apresenta o resultado em minutos, arredondado às centésimas.

Exercício 103 construçãoGlobal · ajustar um modelo

A profundidade da água, em metros, num certo cais, é bem modelada por uma função do tipo

p(t) = a+b\operatorname{sen}\left(c\left(t-d\right)\right), \quad b > 0,\ c > 0,

em que t é o tempo em horas contado a partir da meia-noite. Sabe-se que a maré é alta às 3 horas, com 7{,}4 metros de profundidade, e que a maré seguinte é baixa, com 2{,}6 metros. As marés repetem-se de 12 em 12 horas.

a) Determina a, b, c e d, com d \in \left[0,\,12\right[. b) Um navio só pode entrar no cais com pelo menos 5 metros de água. Determina, recorrendo à calculadora gráfica, o intervalo de tempo da manhã em que o navio pode entrar, com os extremos arredondados às centésimas da hora.

Exercício 104 escolha múltiplaGlobal · frequência

Um pêndulo oscila de modo que o seu afastamento à posição de equilíbrio, em centímetros, t segundos após o início da observação, é dado por a(t) = 12\operatorname{sen}\left(\dfrac{2{\pi}t}{3}\right).

A frequência deste movimento, em oscilações por segundo, é:

  • (A)3
  • (B)\dfrac{1}{3}
  • (C)\dfrac{2{\pi}}{3}
  • (D)12
Exercício 105 construçãoGlobal · provar um período

Seja h a função, de domínio \mathbb{R}, definida por h(x) = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right)-4.

a) Mostra, pela definição, que 6{\pi} é período de h. b) Justifica que h não tem zeros. c) Determina os maximizantes de h.

Escreve o seno desse ângulo: é o cateto a dividir pela hipotenusa.

  1. Se o cateto oposto for c, a hipotenusa é 2c: \operatorname{sen}{\alpha} = \frac{c}{2c} = \frac{1}{2}.
  2. Sendo o ângulo agudo, {\alpha} = 30^{\circ}.
  3. A opção correta é a (A).O valor não depende do triângulo — é o que as razões trigonométricas garantem. A opção (D) só seria certa se as razões dependessem do tamanho, e não da forma.
RespostaOpção (A)

A escada é a hipotenusa. Em b), a fórmula fundamental aparece sozinha.

  1. a) h = 5\operatorname{sen}{\theta}, \qquad d = 5\cos{\theta}.
  2. b) h^{2}+d^{2} = 25\operatorname{sen}^{2}{\theta}+25\cos^{2}{\theta} = 25\left(\operatorname{sen}^{2}{\theta}+\cos^{2}{\theta}\right) = 25. Vale sempre 25, seja qual for {\theta}. \square
  3. c) De 5\cos{\theta} = 1{,}8 vem \cos{\theta} = 0{,}36 e, com a calculadora em graus, {\theta} \approx 68{,}9^{\circ}.A alínea b) é o teorema de Pitágoras a dizer que o comprimento da escada não muda — que é exatamente o que a fórmula fundamental afirma, escrita noutra linguagem.
Respostaa) h = 5\operatorname{sen}{\theta}, d = 5\cos{\theta} · b) 25 · c) \approx 68{,}9^{\circ}

A altura tirada de A é também mediana e bissetriz: parte o triângulo em dois retângulos, com um ângulo de \frac{{\alpha}}{2} em A.

  1. a) Seja M o ponto médio de [BC]. No triângulo [AMB], retângulo em M, com hipotenusa 6 e ângulo \frac{{\alpha}}{2} em A: \operatorname{sen}\frac{{\alpha}}{2} = \frac{\overline{MB}}{6} \iff \overline{MB} = 6\operatorname{sen}\frac{{\alpha}}{2}, e \overline{BC} = 2\overline{MB} = 12\operatorname{sen}\frac{{\alpha}}{2}. \square

    O enunciado diz 12\operatorname{sen}\frac{{\alpha}}{2}, e é o que sai — não 6\operatorname{sen}{\alpha}.

  2. b) No mesmo triângulo, \overline{AM} = 6\cos\frac{{\alpha}}{2}. \square
  3. c) A área é A({\alpha}) = \frac{\overline{BC} \times \overline{AM}}{2} = \frac{12\operatorname{sen}\frac{{\alpha}}{2} \times 6\cos\frac{{\alpha}}{2}}{2} = 36\operatorname{sen}\frac{{\alpha}}{2}\cos\frac{{\alpha}}{2}. Na calculadora, em modo radiano e na janela \left[0,\,{\pi}\right] \times \left[0,\,20\right], as curvas y_{1} = A({\alpha}) e y_{2} = 15 intersetam-se em {\alpha} \approx 0{,}99 e {\alpha} \approx 2{,}16.
  4. Ambos pertencem a \left]0,\,{\pi}\right[, logo há duas soluções.A área tem máximo em {\alpha} = \frac{{\pi}}{2}, onde vale 18. Como 15 < 18, tem de haver duas soluções — e é bom sabê-lo antes de ir à calculadora.
Respostac) {\alpha} \approx 0{,}99 e {\alpha} \approx 2{,}16

O intervalo dado é o 3.º quadrante. Escreve os sinais das três razões aí.

  1. No 3.º quadrante, \operatorname{sen}{\alpha} < 0 e \cos{\alpha} < 0.
  2. (A) Produto de dois negativos: positivo. Falsa.
  3. (B) Quociente de dois negativos: positivo. Verdadeira.
  4. (C) Não é necessariamente verdadeira. Em {\alpha} = \frac{7{\pi}}{6} tem-se \operatorname{sen} = -\frac{1}{2} > -\frac{\sqrt{3}}{2} = \cos, mas em {\alpha} = \frac{4{\pi}}{3} tem-se \operatorname{sen} = -\frac{\sqrt{3}}{2} < -\frac{1}{2} = \cos. O contraexemplo elimina a opção.
  5. (D) Falsa: no 3.º quadrante a abcissa é negativa.
  6. A opção correta é a (B).Numa opção do tipo «necessariamente verdadeira», basta um contraexemplo para a eliminar. Foi o que se fez em (C).
RespostaOpção (B)

Escreve \operatorname{sen}{\alpha} = 2\cos{\alpha} e leva à fórmula fundamental. O quadrante escolhe o sinal.

  1. a) De \operatorname{tg}{\alpha} = 2 vem \operatorname{sen}{\alpha} = 2\cos{\alpha}. Na fórmula fundamental: 4\cos^{2}{\alpha}+\cos^{2}{\alpha} = 1 \iff \cos^{2}{\alpha} = \frac{1}{5} \iff \cos{\alpha} = \pm\frac{\sqrt{5}}{5}.
  2. No 3.º quadrante a abcissa é negativa: \cos{\alpha} = -\frac{\sqrt{5}}{5} e \operatorname{sen}{\alpha} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}. P = \left(-\frac{\sqrt{5}}{5},\, -\frac{2\sqrt{5}}{5}\right).
  3. b) Reduzindo: \operatorname{sen}({\pi}-{\alpha}) = \operatorname{sen}{\alpha} e \cos(-{\alpha}) = \cos{\alpha}. \operatorname{sen}{\alpha}+\cos{\alpha} = -\frac{2\sqrt{5}}{5}-\frac{\sqrt{5}}{5} = -\frac{3\sqrt{5}}{5}.A tangente sozinha não fixa o ponto: dá dois, simétricos em relação à origem. É o quadrante que decide, e é por isso que o enunciado o dá.
Respostaa) \left(-\frac{\sqrt{5}}{5},\,-\frac{2\sqrt{5}}{5}\right) · b) -\frac{3\sqrt{5}}{5}

A expressão geral é \frac{{\pi}}{7}+2k{\pi}. Conta quantos valores de k mantêm o resultado no intervalo.

  1. A expressão geral: \frac{{\pi}}{7}+2k{\pi}, k \in \mathbb{Z}.
  2. A condição: -2{\pi} < \frac{{\pi}}{7}+2k{\pi} < 4{\pi} \iff -2-\frac{1}{7} < 2k < 4-\frac{1}{7}. Ou seja -1{,}07 < k < 1{,}93.
  3. Os inteiros são k \in \{-1,\,0,\,1\}: três ângulos.
  4. A opção correta é a (B).O intervalo tem 6{\pi}, isto é três voltas — e por isso a resposta havia de ser três. Contar as voltas é a maneira rápida de confirmar.
RespostaOpção (B)

Tira as voltas completas de cada argumento antes de reduzir: \frac{11{\pi}}{2} = 4{\pi}+\frac{3{\pi}}{2} e 7{\pi} = 6{\pi}+{\pi}.

  1. Primeira parcela. Como \frac{11{\pi}}{2} = 4{\pi}+\frac{3{\pi}}{2}, e 4{\pi} são duas voltas: \operatorname{sen}\left(x-\frac{11{\pi}}{2}\right) = \operatorname{sen}\left(x-\frac{3{\pi}}{2}\right) = \operatorname{sen}\left(-\left(\frac{3{\pi}}{2}-x\right)\right) = -\operatorname{sen}\left(\frac{3{\pi}}{2}-x\right) = \cos x.
  2. Segunda parcela. Como 7{\pi} = 6{\pi}+{\pi}: \cos\left(x+7{\pi}\right) = \cos\left(x+{\pi}\right) = -\cos x.
  3. Juntar. \cos x-2\left(-\cos x\right) = 3\cos x.
  4. A opção correta é a (B).Retirar as voltas primeiro deixa sempre um argumento com {\pi}, \frac{{\pi}}{2} ou \frac{3{\pi}}{2} — e aí é uma linha da tabela de redução. Sem esse passo o exercício fica confuso.
RespostaOpção (B)

Reduz cada fator e cada parcela ao ângulo x antes de multiplicar. Atenção ao quadrado: ele apaga o sinal de menos.

  1. Reduzir cada peça. \cos\left(\frac{{\pi}}{2}-x\right) = \operatorname{sen}x, \qquad \operatorname{sen}\left({\pi}+x\right) = -\operatorname{sen}x, \qquad \cos\left({\pi}-x\right) = -\cos x.
  2. Substituir. No último caso o quadrado apaga o sinal: \operatorname{sen}x \times \left(-\operatorname{sen}x\right)+\left(-\cos x\right)^{2} = -\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x.
  3. O resultado é \cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x, válido para todo o x real.
  4. Em x = \frac{{\pi}}{4}: como \operatorname{sen}\frac{{\pi}}{4} = \cos\frac{{\pi}}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{1}{2}-\frac{1}{2} = 0.Uma expressão em \operatorname{sen}x e \cos x é resposta completa. Não é preciso — nem é pedido — reconhecer \cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x como \cos(2x): as fórmulas de duplicação não pertencem às Aprendizagens Essenciais.
Resposta\cos^{2}x-\operatorname{sen}^{2}x · vale 0 em x = \frac{{\pi}}{4}

De s = r{\theta} tira-se {\theta}. Em c), compara com {\pi}.

  1. a) {\theta} = \frac{s}{r} = \frac{25{\pi}/3}{10} = \frac{25{\pi}}{30} = \frac{5{\pi}}{6}.
  2. b) A = \frac{1}{2}r^{2}{\theta} = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{5{\pi}}{6} = \frac{125{\pi}}{3}\ \text{cm}^{2}.
  3. c) \frac{5{\pi}}{6} < {\pi}, logo o arco é menor do que meia circunferência. Em graus, \frac{5{\pi}}{6} = 150^{\circ}.
  4. Confirmação. \frac{150}{360} = \frac{5}{12} da volta; \frac{5}{12} do perímetro 20{\pi} é \frac{25{\pi}}{3} ✓, e \frac{5}{12} da área 100{\pi} é \frac{125{\pi}}{3} ✓.A confirmação por proporção é sempre possível e demora dez segundos. Vale mais do que reler a fórmula.
Resposta\frac{5{\pi}}{6} · \frac{125{\pi}}{3} cm2 · menor

Os dois ângulos são do 3.º quadrante. Reduz cada um ao ângulo agudo de referência.

  1. \frac{7{\pi}}{6} = {\pi}+\frac{{\pi}}{6}, do 3.º quadrante, onde o seno é negativo: \operatorname{sen}\frac{7{\pi}}{6} = -\operatorname{sen}\frac{{\pi}}{6} = -\frac{1}{2}.
  2. \frac{4{\pi}}{3} = {\pi}+\frac{{\pi}}{3}, também do 3.º quadrante, onde o cosseno é negativo: \cos\frac{4{\pi}}{3} = -\cos\frac{{\pi}}{3} = -\frac{1}{2}.
  3. A soma é -1: opção (A).Os dois ângulos estão no mesmo quadrante mas as referências são diferentes — \frac{{\pi}}{6} e \frac{{\pi}}{3}. Coincidiu darem o mesmo valor porque \operatorname{sen}\frac{{\pi}}{6} = \cos\frac{{\pi}}{3}: são ângulos complementares.
RespostaOpção (A)

Em c), isola o cosseno. O valor a que ele fica igual não está sobre um eixo — mas lê-se diretamente no círculo, porque é um dos valores da tabela.

  1. a) De -1 \leq \cos\left(\frac{x}{2}\right) \leq 1 vem -2 \leq -2\cos\left(\frac{x}{2}\right) \leq 2, logo -1 \leq f(x) \leq 3: contradomínio \left[-1,\,3\right].
  2. b) T = \frac{2{\pi}}{1/2} = 4{\pi}.
  3. c) f(x) = 0 \iff \cos\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{2}. No círculo, a abcissa vale \frac{1}{2} em dois pontos, associados a \frac{{\pi}}{3} e a -\frac{{\pi}}{3}. Resolvendo em ordem ao argumento: \frac{x}{2} = \frac{{\pi}}{3}+2k{\pi} \;\lor\; \frac{x}{2} = -\frac{{\pi}}{3}+2k{\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}.
  4. Isolar x: x = \frac{2{\pi}}{3}+4k{\pi} \;\lor\; x = -\frac{2{\pi}}{3}+4k{\pi}.
  5. Escolher os que caem em \left[0,\,8{\pi}\right]: da primeira família, \frac{2{\pi}}{3} e \frac{14{\pi}}{3}; da segunda, \frac{10{\pi}}{3} e \frac{22{\pi}}{3}.Quatro zeros em 8{\pi}, que são dois períodos — dois por período, como havia de ser, porque 0 está estritamente dentro de \left[-1,\,3\right].
Resposta\left[-1,3\right] · 4{\pi} · \left\{\frac{2{\pi}}{3},\frac{10{\pi}}{3},\frac{14{\pi}}{3},\frac{22{\pi}}{3}\right\}

Três leituras: o meio do contradomínio dá o a, metade da diferença dá |b|, e a distância entre mínimos dá o período. Depois é ver qual das expressões tem mínimo em x = 2.

  1. Meio e amplitude. a = \frac{5+(-1)}{2} = 2 e |b| = \frac{5-(-1)}{2} = 3. Isto elimina a opção (D).
  2. Período. T = 10-2 = 8, logo \frac{2{\pi}}{|c|} = 8 \iff |c| = \frac{{\pi}}{4}. Isto elimina a opção (C).
  3. Onde está o mínimo. Em x = 2 o argumento é 0 e \cos 0 = 1. Para que x = 2 seja minimizante, o coeficiente do cosseno tem de ser negativo: g(2) = 2-3 \times 1 = -1 \ \checkmark A opção (A) daria g(2) = 5, que é o máximo.
  4. A opção correta é a (B).As três leituras — meio, amplitude, período — deixam sempre duas opções de pé. É o sinal de b, decidido por onde está o extremo, que separa a última.
RespostaOpção (B)

Em c), o máximo dá-se quando o cosseno vale -1 — e isso lê-se sobre um eixo. Em d), interseta o modelo com a reta y = 30 e mede o intervalo.

  1. a) De -1 \leq \cos\left(\frac{{\pi}t}{5}\right) \leq 1 vem -19 \leq -19\cos(\cdots) \leq 19, logo 2 \leq h(t) \leq 40. Mínimo 2 m, máximo 40 m.
  2. b) T = \frac{2{\pi}}{{\pi}/5} = 10\ \text{minutos}.
  3. c) A altura é máxima quando \cos\left(\frac{{\pi}t}{5}\right) = -1, isto é \frac{{\pi}t}{5} = {\pi}+2k{\pi} \iff t = 5+10k, \quad k \in \mathbb{Z}. Nos primeiros 20 minutos: t = 5 e t = 15.
  4. d) Na calculadora, em modo radiano, na janela \left[0,\,10\right] \times \left[0,\,45\right], as curvas y_{1} = h(t) e y_{2} = 30 intersetam-se em t \approx 3{,}29 e t \approx 6{,}71. Entre esses dois instantes a cadeira está acima dos 30 metros: 6{,}7135-3{,}2865 \approx 3{,}43\ \text{minutos por volta}.Repara na simetria: 3{,}29 e 6{,}71 são simétricos em relação a t = 5, o instante do máximo. É uma verificação gratuita — se não fossem, algum dos dois valores estaria errado.
Respostaa) 2 m e 40 m · b) 10 min · c) t = 5 e t = 15 · d) \approx 3{,}43 min

Em a), a é o meio entre 7{,}4 e 2{,}6, e b é metade da diferença. O d sai de o seno valer 1 às 3 horas.

  1. a) Meio e amplitude. a = \frac{7{,}4+2{,}6}{2} = 5, \qquad b = \frac{7{,}4-2{,}6}{2} = 2{,}4.
  2. Período. \frac{2{\pi}}{c} = 12 \iff c = \frac{{\pi}}{6}.
  3. Desfasamento. O máximo dá-se quando o seno vale 1, isto é quando o argumento é \frac{{\pi}}{2}. Isso acontece em t = 3: \frac{{\pi}}{6}(3-d) = \frac{{\pi}}{2} \iff 3-d = 3 \iff d = 0. Logo p(t) = 5+2{,}4\operatorname{sen}\left(\frac{{\pi}t}{6}\right).
  4. b) Na calculadora, em modo radiano, na janela \left[0,\,12\right] \times \left[2,\,8\right]: as curvas y_{1} = p(t) e y_{2} = 5 intersetam-se em t = 0, t = 6 e t = 12. Entre 0 e 6 a profundidade é superior a 5 metros.
  5. O navio pode entrar entre a meia-noite e as 6 horas. Como o enunciado pede os extremos arredondados, escreve-se \left]0{,}00;\ 6{,}00\right[.Aqui os valores saem exatos porque 5 é precisamente o valor médio — e o seno anula-se em 0 e em 6. Nem sempre é assim: se o limiar fosse 5{,}5, os extremos seriam irracionais e a calculadora seria indispensável.
Respostaa) a = 5, b = 2{,}4, c = \frac{{\pi}}{6}, d = 0 · b) entre 0{,}00 e 6{,}00 horas

Primeiro o período, T = \frac{2{\pi}}{|c|}; a frequência é o seu inverso.

  1. Período. T = \frac{2{\pi}}{2{\pi}/3} = 3\ \text{segundos}.
  2. Frequência. \frac{1}{3} oscilações por segundo.
  3. A opção correta é a (B).A opção (A) é o período e a (D) é a amplitude. As três grandezas leem-se na mesma expressão, e é fácil trocá-las — escrever a unidade antes de escolher resolve o problema.
RespostaOpção (B)

Em a), calcula h(x+6{\pi}) e usa que 2{\pi} é período do cosseno. Em b), começa pelo contradomínio.

  1. a) Seja x \in \mathbb{R} qualquer; como D_{h} = \mathbb{R}, também x+6{\pi} \in D_{h}. h(x+6{\pi}) = \cos\left(\frac{x+6{\pi}}{3}\right)-4 = \cos\left(\frac{x}{3}+2{\pi}\right)-4 = \cos\left(\frac{x}{3}\right)-4 = h(x). Logo 6{\pi} é período de h. \square
  2. b) De -1 \leq \cos\left(\frac{x}{3}\right) \leq 1 vem -5 \leq h(x) \leq -3. Como h(x) \leq -3 < 0 para todo o x, a função nunca se anula. \square
  3. c) O máximo -3 atinge-se quando \cos\left(\frac{x}{3}\right) = 1: \frac{x}{3} = 2k{\pi} \iff x = 6k{\pi}, \quad k \in \mathbb{Z}.Repara que os maximizantes distam 6{\pi} uns dos outros — que é o período que se provou em a). Tinha de ser assim: numa função periódica, os máximos repetem-se de período em período.
Respostab) h(x) \leq -3 < 0 · c) x = 6k{\pi},\ k \in \mathbb{Z}