Primitivas imediatas e integrais definidos

Todas saem da tabela, com a constante a passar por cima da derivada: (kf)' = k f'.

1. a) f'(x) = 5 \times 4x^{3} = 20x^{3}.
2. b) g'(x) = 3e^{x} — a exponencial é a sua própria derivada.
3. c) h'(x) = 2\cos x.
4. d) j'(x) = 0: a derivada de uma constante é zero.É a alínea d) que interessa para o que vem a seguir. Como todas as constantes têm derivada nula, uma função não tem uma primitiva — tem uma família inteira.

A derivada de uma soma é a soma das derivadas. Termo a termo.

1. Termo a termo: f'(x) = 3x^{2} - 8x + 1.
2. O -9 desaparece.Repara na descida de grau: um polinómio de grau 3 tem derivada de grau 2. Ao primitivar, o grau sobe — é a primeira coisa a verificar numa primitiva de um polinómio.

Para a segunda, ou usas a regra da cadeia, ou reparas que \ln(3x) = \ln 3 + \ln x.

1. f'(x) = \dfrac{1}{x}.
2. Como \ln(3x) = \ln 3 + \ln x e \ln 3 é constante, g'(x) = \dfrac{1}{x}.
3. As duas têm a mesma derivada — e diferem por uma constante, \ln 3.É o exemplo que explica o +C: duas funções com a mesma derivada não são iguais, mas a diferença entre elas é constante.

Deriva a primeira. Para as outras, soma-lhe constantes diferentes.

1. F'(x) = \dfrac{4x^{3}}{4} = x^{3}.
2. Somando constantes: \dfrac{x^{4}}{4}+1, \dfrac{x^{4}}{4}-7, \dfrac{x^{4}}{4}+\sqrt{2}.
3. Todas têm derivada x^{3}.Escrever uma função com derivada x^{3} é fácil; o que a secção 1 vai pedir é escrever todas.

Regra do produto: (uv)' = u'v + uv'. Depois põe e^{x} em evidência.

1. Com u = x e v = e^{x}: f'(x) = 1 \times e^{x} + x \times e^{x} = e^{x}(1+x).
2. Em evidência fica e^{x}(x+1).Guarda este resultado: significa que x e^{x} é uma primitiva de e^{x}(x+1). Ler a tabela ao contrário é exatamente isto.

A simplificação é \dfrac{x^{2}}{x}+\dfrac{1}{x} = x + \dfrac{1}{x}. Compara o trabalho das duas vias.

1. Pelo quociente, com u = x^{2}+1 e v = x: f'(x) = \frac{2x \times x - (x^{2}+1)}{x^{2}} = \frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
2. Simplificando primeiro, f(x) = x + x^{-1}: f'(x) = 1 - x^{-2} = 1 - \frac{1}{x^{2}} = \frac{x^{2}-1}{x^{2}}.
3. O mesmo resultado, com metade do trabalho.Separar a fração antes de mexer é o gesto que a secção 1 vai usar sem parar: só se sabe primitivar somas, e não quocientes.

Verificar uma primitiva é sempre a mesma coisa: derivar F e comparar com f.

1. Derivando parcela a parcela: F'(x) = -(-\operatorname{sen} x) + \frac{2x}{2} = \operatorname{sen} x + x.
2. Como F' = f, F é uma primitiva de f.Repara no sinal: a derivada do cosseno é -\operatorname{sen} x, e por isso a primitiva do seno é -\cos x. É o único sinal desta tabela que engana.

\sqrt{x} = x^{1/2}. Depois é a regra da potência, com o expoente \frac{1}{2}.

1. Como potência: f(x) = x^{1/2}.
2. Regra da potência: f'(x) = \frac{1}{2}x^{-1/2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}.

Faz o desenho. A região é um retângulo — a área sai da geometria do 5.º ano, sem integral nenhum.

1. A região é o retângulo de base 4-1 = 3 e altura 2.
2. A = 3 \times 2 = 6.Este é o caso em que a resposta se sabe de antemão — e é por isso que serve para testar qualquer método novo de calcular áreas. Se um método falhar aqui, não vale nada.

A região é um triângulo retângulo. Depois deriva \frac{b^{2}}{2} em ordem a b e vê o que aparece.

1. A área. É o triângulo de catetos b e f(b) = b: A(b) = \frac{b \times b}{2} = \frac{b^{2}}{2}.
2. A derivada. Derivando em ordem a b: A'(b) = \frac{2b}{2} = b = f(b).
3. A função que mede a área tem por derivada a função que limita a região.Isto não é coincidência deste triângulo: é o Teorema Fundamental do Cálculo Integral, que a secção 3 demonstra. Vale a pena guardar o resultado antes de saber o nome dele.

Regra do produto na primeira parcela. Repara no que sobra depois de subtrair o -x.

1. A primeira parcela, pela regra do produto: \left(x\ln x\right)' = 1 \times \ln x + x \times \frac{1}{x} = \ln x + 1.
2. Juntando: F'(x) = \ln x + 1 - 1 = \ln x.
3. Portanto F é uma primitiva de \ln x.O logaritmo não está na tabela de primitivas das Aprendizagens Essenciais — e mesmo assim tem primitiva. Encontrá-la exige adivinhar; verificar é imediato. É a diferença entre derivar e primitivar em duas linhas.

Deriva F, iguala a f e resolve em ordem a k.

1. F'(x) = 3kx^{2}.
2. Para que F' = f é preciso 3kx^{2} = x^{2} para todo o x, logo 3k = 1.
3. k = \dfrac{1}{3}, e F(x) = \dfrac{x^{3}}{3}.É este raciocínio, feito de uma vez para x^{n}, que dá a linha mais usada da tabela de primitivas: \frac{x^{n+1}}{n+1}. O denominador não é decoração — é o que compensa o expoente que desce ao derivar.

Cada uma é uma linha da tabela. Não esqueças o +C em nenhuma.

1. a) \dfrac{x^{6}}{6} + C.
2. b) 4x + C.
3. c) e^{x} + C.
4. d) \operatorname{sen} x + C.Confere sempre por derivação: é uma conta de dois segundos que apanha o erro de sinal e o denominador trocado.

Primitiva parcela a parcela e deixa as constantes passar por fora.

1. Parcela a parcela: P(f) = 3 \times \frac{x^{3}}{3} - 5 \times \frac{x^{2}}{2} + 2x + C.
2. Simplificando: P(f) = x^{3} - \frac{5x^{2}}{2} + 2x + C.
3. Confirmação: derivando obtém-se 3x^{2}-5x+2.Um só +C no fim, e não um por parcela: a soma de três constantes é uma constante.

A constante sai para fora. O que fica é a linha do \frac{1}{x}.

1. Pela linearidade, P(f) = 3\,P\!\left(\frac{1}{x}\right) = 3\ln|x| + C.
2. Como o domínio é \mathbb{R}^{+}, pode escrever-se 3\ln x + C.O módulo dentro do logaritmo não é um enfeite: \frac{1}{x} também está definida para x < 0, e aí a primitiva é \ln(-x). Escrever \ln|x| cobre os dois casos de uma vez.

Duas linhas da tabela. Cuidado com o sinal da primeira.

1. Parcela a parcela: P(f) = 2 \times (-\cos x) + \frac{1}{2}\operatorname{sen} x + C = -2\cos x + \frac{1}{2}\operatorname{sen} x + C.
2. Confirmação: a derivada de -2\cos x é 2\operatorname{sen} x.

Não há regra para primitivar um quociente. Separa a fração primeiro — fica uma soma.

1. Separar a fração, para x \neq 0: f(x) = \frac{x^{3}}{x} - \frac{2x}{x} = x^{2} - 2.
2. Primitivar o que sobrou: P(f) = \frac{x^{3}}{3} - 2x + C.É este o gesto que salva metade dos exercícios do capítulo: só se sabe primitivar somas, e por isso tudo o que for produto, quociente ou potência de soma tem de ser desfeito primeiro.

Desenvolve o quadrado. A tentação de primitivar «pela cadeia ao contrário» dá o resultado errado aqui.

1. Desenvolver: f(x) = x^{2} + 2x + 1.
2. Primitivar: P(f) = \frac{x^{3}}{3} + x^{2} + x + C.
3. Confirmação: a derivada é x^{2}+2x+1 = (x+1)^{2}.Aqui \frac{(x+1)^{3}}{3} também seria uma primitiva — desenvolve-o e vê que difere do resultado acima por uma constante, \frac{1}{3}. Não há contradição: são duas primitivas da mesma função.

Escreve as duas raízes como potências de expoente racional. Depois é a mesma linha da tabela, duas vezes.

1. Como potências: f(x) = x^{1/2} + x^{-1/2}.
2. Primitivar, com \frac{x^{n+1}}{n+1} em cada uma: P(f) = \frac{x^{3/2}}{3/2} + \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + 2x^{1/2} + C.
3. Ou seja, \dfrac{2}{3}x\sqrt{x} + 2\sqrt{x} + C.O expoente -\frac{1}{2} não é o caso proibido: o único expoente que a regra não cobre é n = -1, porque aí o denominador n+1 seria zero — e é precisamente por isso que \frac{1}{x} tem uma linha só para si.

Primitiva primeiro, com o +C. A condição F(1) = 5 serve para descobrir qual das primitivas é.

1. A família: F(x) = 3x^{2} - 4x + C.
2. A condição. De F(1) = 5: 3 - 4 + C = 5 \iff C = 6.
3. Logo F(x) = 3x^{2} - 4x + 6.Uma condição do género F(a) = b fixa a constante e escolhe uma curva da família. É assim que um problema de física passa de «a aceleração é esta» para «a posição é esta».

O caudal é a taxa de variação do volume: V' = c. Portanto V é uma primitiva de c.

1. Traduzir. O caudal é a taxa a que o volume varia, logo V'(t) = c(t).
2. Primitivar: V(t) = 4t + t^{2} + C.
3. A condição inicial. V(0) = 10 dá C = 10.
4. Portanto V(t) = t^{2} + 4t + 10 litros.A constante é o que já lá estava antes de o processo começar. Sem ela, o modelo diria que o depósito partiu vazio — e o enunciado diz que não.

Divide cada parcela do numerador pelo denominador. As três resultantes estão todas na tabela.

1. Separar: f(x) = \frac{2x^{2}}{x^{2}} - \frac{3x}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}} = 2 - \frac{3}{x} + x^{-2}.
2. Primitivar as três parcelas: P(f) = 2x - 3\ln x + \frac{x^{-1}}{-1} + C = 2x - 3\ln x - \frac{1}{x} + C.
3. Confirmação: derivando, 2 - \frac{3}{x} + \frac{1}{x^{2}}.Repara que a mesma expressão produziu três linhas diferentes da tabela: a constante, o logaritmo e a potência. É por isso que separar compensa sempre.

Duas primitivações seguidas, cada uma com a sua constante — e cada condição fixa uma delas. Não avances para a segunda antes de fechar a primeira.

1. Primeira primitivação, de f'' para f': f'(x) = 6x^{2} + C_{1}.
2. Fechar C_{1}: de f'(0) = 1 vem C_{1} = 1, logo f'(x) = 6x^{2}+1.
3. Segunda primitivação: f(x) = 2x^{3} + x + C_{2}.
4. Fechar C_{2}: de f(0) = -2 vem C_{2} = -2.
5. Portanto f(x) = 2x^{3} + x - 2.Duas primitivações, duas constantes, duas condições. Levar C_{1} por resolver para a segunda primitivação transforma-o num C_{1}x e complica tudo sem necessidade.

Considera H = F - G e calcula H'. Depois lembra-te do que o sinal da derivada diz sobre a monotonia.

1. A função diferença. Seja H = F - G. Então H'(x) = F'(x) - G'(x) = f(x) - f(x) = 0, \quad \forall x \in I.
2. Derivada nula num intervalo. Uma função com derivada nula em todo um intervalo não cresce nem decresce em parte nenhuma dele: é constante em I.
3. Logo F - G = C, e portanto F = G + C.A hipótese intervalo é essencial. Em \mathbb{R}\setminus\{0\}, que não é um intervalo, a função que vale 0 para x < 0 e 1 para x > 0 tem derivada nula e não é constante.

Desenha a região. É um retângulo — não é preciso primitiva nenhuma.

1. A região é o retângulo de base 5-1 = 4 e altura 3.
2. \int_{1}^{5} 3\,dx = 4 \times 3 = 12.

A região é um triângulo retângulo com os catetos sobre os eixos.

1. A região é o triângulo de catetos 3 e f(3) = 3.
2. \int_{0}^{3} x\,dx = \frac{3 \times 3}{2} = \frac{9}{2}.Vale a pena guardar este valor: a secção 3 vai calculá-lo outra vez, com a fórmula de Barrow, e tem de dar o mesmo.

A região é um trapézio: duas bases verticais, f(0) e f(2), e altura 2.

1. As bases: f(0) = 1 e f(2) = 5. A altura do trapézio é 2-0 = 2.
2. \int_{0}^{2}(2x+1)\,dx = \frac{(1+5) \times 2}{2} = 6.

A amplitude de cada intervalo é h = 0{,}5. As alturas lêem-se em x = 0;\ 0{,}5;\ 1;\ 1{,}5.

1. Amplitude: h = \dfrac{2-0}{4} = 0{,}5.
2. Alturas, em 0;\ 0{,}5;\ 1;\ 1{,}5: 0;\ 0{,}25;\ 1;\ 2{,}25.
3. Soma: S = 0{,}5 \times (0 + 0{,}25 + 1 + 2{,}25) = 0{,}5 \times 3{,}5 = 1{,}75.
4. O valor exato do integral é \frac{8}{3} \approx 2{,}67: com só quatro retângulos, e pela esquerda, a soma fica bastante abaixo.Com f crescente, o extremo esquerdo dá sempre o retângulo mais baixo — a soma fica por defeito. Pela direita ficaria por excesso.

As alturas passam a ler-se em 0{,}5;\ 1;\ 1{,}5;\ 2. E a área verdadeira fica entre as duas somas.

1. Alturas, em 0{,}5;\ 1;\ 1{,}5;\ 2: 0{,}25;\ 1;\ 2{,}25;\ 4.
2. Soma: S = 0{,}5 \times (0{,}25 + 1 + 2{,}25 + 4) = 0{,}5 \times 7{,}5 = 3{,}75.
3. O enquadramento. Como f é crescente, a soma pela esquerda fica por defeito e a soma pela direita por excesso: 1{,}75 < \int_{0}^{2} x^{2}\,dx < 3{,}75.Quatro retângulos dão um intervalo com dois de amplitude — inútil na prática. Duplicar n corta a amplitude ao meio, e é esse aperto que define o integral.

As duas regiões encostam uma à outra em x = 2 e não se sobrepõem. As áreas somam-se.

1. A região sobre \left[0,\,6\right] é a união das regiões sobre \left[0,\,2\right] e \left[2,\,6\right], que só têm em comum um segmento.
2. Logo as áreas somam-se: \int_{0}^{6} f(x)\,dx = 5 + 3 = 8.É a propriedade aditiva em relação ao intervalo, e lê-se no desenho antes de se escrever em símbolos.

O integral herda as duas propriedades da primitivação: constantes saem para fora, somas separam-se.

1. Pela linearidade, \int_{1}^{4}\left(2f+3g\right) = 2\int_{1}^{4} f + 3\int_{1}^{4} g.
2. Substituindo: 2 \times 7 + 3 \times 2 = 20.

Parte o intervalo em 3. Cada pedaço é uma figura elementar: um retângulo e um trapézio.

1. Em \left[0,\,3\right]: retângulo de base 3 e altura 2, área 6.
2. Em \left[3,\,6\right]: trapézio de bases f(3) = 2 e f(6) = 5 e altura 3: \frac{(2+5) \times 3}{2} = \frac{21}{2} = 10{,}5.
3. Somando: 6 + 10{,}5 = 16{,}5.A função não é contínua em 3 — dá um salto de 2 para 2… não dá: f(3^{-}) = 2 e f(3) = 2, encaixa. Vale a pena confirmar sempre esse encaixe antes de somar as áreas.

A amplitude é 0{,}5. Os pontos médios são 1{,}25 e 1{,}75.

1. Pontos médios: 1{,}25 e 1{,}75.
2. Alturas: \frac{1}{1{,}25} = 0{,}8 e \frac{1}{1{,}75} \approx 0{,}5714.
3. Soma: S = 0{,}5 \times (0{,}8 + 0{,}5714) \approx 0{,}686.
4. O valor exato é \ln 2 \approx 0{,}693.Com dois retângulos ao ponto médio já se acerta na segunda casa decimal. Pela esquerda, com dois, o erro seria umas dez vezes maior — o ponto médio compensa por cima o que falha por baixo.

Desenha os dois retângulos: um de altura m e outro de altura M, ambos com base \left[a,\,b\right]. Onde é que fica a região?

1. O retângulo de baixo. Como f(x) \geq m em todo o intervalo, a região por baixo do gráfico contém o retângulo de base b-a e altura m.
2. O de cima. Como f(x) \leq M, a região está contida no retângulo de base b-a e altura M.
3. Áreas. Uma região contida noutra tem área menor ou igual, logo m(b-a) \leq \int_{a}^{b} f(x)\,dx \leq M(b-a).É a estimativa mais grosseira que existe — e a mais útil para uma verificação rápida: se um cálculo der um valor fora deste intervalo, há erro de certeza.

A amplitude é \frac{1}{n} e o extremo direito do k-ésimo intervalo é \frac{k}{n}. Usa 1+2+\cdots+n = \frac{n(n+1)}{2}.

1. Escrever a soma. Amplitude \frac{1}{n}, alturas f\!\left(\frac{k}{n}\right) = \frac{k}{n}: S_{n} = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{n} \times \frac{k}{n} = \frac{1}{n^{2}}\sum_{k=1}^{n} k.
2. A soma dos primeiros n naturais: S_{n} = \frac{1}{n^{2}} \times \frac{n(n+1)}{2} = \frac{n+1}{2n}.
3. O limite: \lim_{n \to +\infty} \frac{n+1}{2n} = \frac{1}{2}.
4. E \frac{1}{2} é a área do triângulo de catetos 1 e 1.É o único caso do capítulo em que a definição se leva até ao fim à mão. Serve para ver que o número existe e é o esperado — depois usa-se Barrow, que faz o mesmo em duas linhas.

Dois trapézios encostados em x = 2. Não é preciso a expressão de f.

1. Primeiro trapézio, em \left[0,\,2\right]: bases 1 e 4, altura 2. A_{1} = \frac{(1+4) \times 2}{2} = 5.
2. Segundo, em \left[2,\,4\right]: bases 4 e 0{,}5, altura 2. A_{2} = \frac{(4+0{,}5) \times 2}{2} = 4{,}5.
3. Total: 5 + 4{,}5 = 9{,}5.Quando o gráfico é feito de segmentos, o integral é geometria pura — e é bom lembrar-se disso antes de procurar primitivas que não são precisas.

Em cada uma: escreve uma primitiva, calcula-a nos dois limites e subtrai. O +C não é preciso — cancela-se sempre.

1. a) \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3}.
2. b) \left[x^{2}\right]_{1}^{3} = 9 - 1 = 8.
3. c) \left[e^{x}\right]_{0}^{1} = e - 1.
4. d) \left[-\cos x\right]_{0}^{{\pi}} = -\cos{\pi} + \cos 0 = 1 + 1 = 2.Na alínea d) o sinal aparece duas vezes: uma na primitiva, outra na subtração. É onde mais se erra no capítulo inteiro.

Por Barrow, uma primitiva é x^{2}+3x. Pela geometria, a região é um trapézio.

1. Por Barrow: \int_{1}^{4}(2x+3)\,dx = \left[x^{2}+3x\right]_{1}^{4} = (16+12)-(1+3) = 24.
2. Pela geometria: trapézio de bases f(1) = 5 e f(4) = 11 e altura 3: \frac{(5+11) \times 3}{2} = 24.
3. Os dois métodos dão o mesmo.Sempre que a geometria também sabe responder, vale a pena usá-la como confirmação. É a maneira mais rápida de apanhar um erro de primitiva.

Uma primitiva de \frac{1}{x} em \mathbb{R}^{+} é \ln x.

1. \int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_{1}^{e} = \ln e - \ln 1 = 1 - 0 = 1.
2. A área por baixo da hipérbole, entre 1 e e, é exatamente 1.É uma das maneiras de definir o número e: é a abcissa onde essa área chega a 1.

Duas parcelas, duas linhas da tabela. Cuidado ao substituir \frac{{\pi}}{2}.

1. Primitiva: \operatorname{sen} x + x.
2. Barrow: \left[\operatorname{sen} x + x\right]_{0}^{{\pi}/2} = \left(1 + \frac{{\pi}}{2}\right) - (0+0) = 1 + \frac{{\pi}}{2}.

Separa a fração antes de procurar primitiva. Depois é Barrow, com duas parcelas.

1. Separar: \dfrac{x^{2}+1}{x} = x + \dfrac{1}{x}, para x > 0.
2. Primitiva: \dfrac{x^{2}}{2} + \ln x.
3. Barrow: \left[\frac{x^{2}}{2}+\ln x\right]_{1}^{2} = \left(2 + \ln 2\right) - \left(\frac{1}{2} + 0\right) = \frac{3}{2} + \ln 2.

Não há primitiva de um produto. Multiplica primeiro.

1. Multiplicar: x(x+2) = x^{2}+2x.
2. Primitiva: \dfrac{x^{3}}{3}+x^{2}.
3. Barrow: \left[\frac{x^{3}}{3}+x^{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}+1 = \frac{4}{3}.Primitivar cada fator e multiplicar daria \frac{x^{2}}{2}\left(\frac{x^{2}}{2}+2x\right), cuja derivada não é x(x+2). Não há regra do produto na primitivação.

Para a alínea a) não é preciso calcular integral nenhum: é o Teorema Fundamental, aplicado diretamente.

1. a) Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Integral, a derivada da função área é a função integranda avaliada em x: F'(x) = x^{2}+1.
2. b) Agora sim, por Barrow: F(3) = \left[\frac{t^{3}}{3}+t\right]_{0}^{3} = (9+3) - 0 = 12.As duas alíneas medem coisas diferentes: a primeira é o teorema, a segunda é a fórmula que dele decorre. Calcular o integral para responder à a) é trabalho desperdiçado.

Pelo Teorema Fundamental, A' = f. E o que é que o enunciado diz sobre o sinal de f?

1. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo Integral, A'(x) = f(x) para todo o x \in \left[0,\,10\right].
2. Como f é positiva, A'(x) > 0 em todo o intervalo.
3. Uma função com derivada positiva num intervalo é crescente nesse intervalo. Logo A é crescente.Faz sentido antes de qualquer conta: acrescentar mais um bocado de intervalo acrescenta mais um bocado de área, e a área acumulada só pode subir.

Calcula o integral em função de b, iguala a 2 e resolve a equação com logaritmos.

1. Barrow: \int_{1}^{b}\frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_{1}^{b} = \ln b.
2. A equação: \ln b = 2 \iff b = e^{2}.
3. Como e^{2} \approx 7{,}39 > 1, o valor serve.Verificar a condição b > 1 não é formalidade: se a equação desse b = e^{-2}, o limite superior ficaria abaixo do inferior e a região deixaria de fazer sentido.

A concavidade lê-se no sinal de A''. E A' = f, portanto A'' = f'.

1. Pelo Teorema Fundamental, A'(x) = f(x).
2. Derivando outra vez, A''(x) = f'(x).
3. Num intervalo onde f é crescente tem-se f' \geq 0, logo A'' \geq 0 e o gráfico de A tem a concavidade voltada para cima.Traduzido: onde a função cresce, a área acumula-se cada vez mais depressa. O teorema desce um nível — o que era monotonia de f passa a concavidade de A.

Barrow dá um polinómio em k. Iguala a 12 e resolve — depois escolhe a raiz que respeita k > 0.

1. Barrow: \int_{0}^{k}(2x+1)\,dx = \left[x^{2}+x\right]_{0}^{k} = k^{2}+k.
2. A equação: k^{2}+k-12 = 0, cujas raízes são k = \frac{-1 \pm \sqrt{1+48}}{2} = \frac{-1 \pm 7}{2} \iff k = 3 \lor k = -4.
3. Como k > 0, fica k = 3.A raiz negativa não se rejeita «porque sim»: rejeita-se porque a região está definida de 0 a k com k > 0. Dizê-lo faz parte da resposta.

Calcula as derivadas das duas. Ou, mais direto, calcula cada integral por Barrow.

1. Pelo teorema. F'(x) = \dfrac{1}{x} e G'(x) = \dfrac{1}{x}, logo (F-G)' = 0 em \mathbb{R}^{+}, que é um intervalo: F-G é constante.
2. A constante, por Barrow: F(x) = \ln x - \ln 1 = \ln x, \qquad G(x) = \ln x - \ln 2.
3. Logo F(x) - G(x) = \ln 2.Mudar o limite inferior de integração muda a função área — mas só por uma constante. É a mesma família de primitivas, vista de outro ponto de partida.

A função é positiva em \left[0,\,2\right], logo a área é o integral. Barrow.

1. A função é positiva em \left[0,\,2\right], logo a área é \displaystyle\int_{0}^{2}(x^{2}+1)\,dx.
2. Barrow: \left[\frac{x^{3}}{3}+x\right]_{0}^{2} = \frac{8}{3}+2 = \frac{14}{3}.

A exponencial é sempre positiva, e é a sua própria primitiva.

1. A = \int_{0}^{2} e^{x}\,dx = \left[e^{x}\right]_{0}^{2} = e^{2}-1.
2. Aproximadamente 7{,}39 - 1 = 6{,}39.

Verifica primeiro que o cosseno é positivo em todo esse intervalo — só assim o integral é a área.

1. O sinal. Em \left[0,\,\frac{{\pi}}{2}\right] o cosseno é positivo, logo o integral é a área.
2. Barrow: A = \int_{0}^{{\pi}/2}\cos x\,dx = \left[\operatorname{sen} x\right]_{0}^{{\pi}/2} = 1 - 0 = 1.Alargar o intervalo até {\pi} mudaria tudo: o cosseno passa a ser negativo depois de \frac{{\pi}}{2}, e o integral deixaria de ser a área.

Os limites de integração não vêm no enunciado: encontram-se a resolver f(x) = 0.

1. Os zeros. 4-x^{2} = 0 \iff x = -2 \lor x = 2. Com x \geq 0, a região vai de 0 a 2.
2. Barrow: A = \int_{0}^{2}(4-x^{2})\,dx = \left[4x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 8 - \frac{8}{3} = \frac{16}{3}.Quando o enunciado não dá os limites, são os zeros da função que os fixam. Encontrá-los é meio exercício.

Verifica qual está por cima nesse intervalo e integra a diferença.

1. Quem está por cima. Em \left[-1,\,1\right] tem-se 4-x^{2} \geq 3 > 1, logo f \geq g, e ambas são positivas.
2. Integrar a diferença: A = \int_{-1}^{1}\left(4-x^{2}-1\right)dx = \int_{-1}^{1}\left(3-x^{2}\right)dx.
3. Barrow: \left[3x - \frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \left(3-\frac{1}{3}\right) - \left(-3+\frac{1}{3}\right) = \frac{16}{3}.

Encontra primeiro onde as curvas se cruzam — é isso que dá os limites de integração.

1. Interseção. x+2 = x^{2} \iff x^{2}-x-2 = 0 \iff x = -1 \lor x = 2. Com x \geq 0, a região vai de 0 a 2.
2. Quem está por cima. Em x = 1: f(1) = 3 e g(1) = 1, logo f \geq g em \left[0,\,2\right]. As duas são positivas nesse intervalo.
3. Integrar a diferença: A = \int_{0}^{2}\left(x+2-x^{2}\right)dx = \left[\frac{x^{2}}{2}+2x-\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = 2+4-\frac{8}{3} = \frac{10}{3}.Testar num ponto interior é a maneira mais segura de saber quem está por cima — mais segura do que confiar no desenho feito à pressa.

Em \left[1,\,5\right] a função é positiva. Primitiva de \frac{1}{x} é \ln x.

1. A = \int_{1}^{5}\frac{1}{x}\,dx = \left[\ln x\right]_{1}^{5} = \ln 5 - \ln 1 = \ln 5.
2. Aproximadamente 1{,}61.Repara na lentidão: para a área chegar a 2, o extremo direito teria de ir até e^{2} \approx 7{,}4; para chegar a 3, até e^{3} \approx 20. A área cresce, mas cada vez mais devagar.

Os dois primeiros zeros não negativos do seno são 0 e {\pi}. Entre eles o seno é positivo.

1. Os zeros. \operatorname{sen} x = 0 em x = k{\pi}; os dois primeiros com x \geq 0 são 0 e {\pi}.
2. O sinal. Em \left]0,\,{\pi}\right[ o seno é positivo, logo o integral é a área.
3. Barrow: A = \int_{0}^{{\pi}}\operatorname{sen} x\,dx = \left[-\cos x\right]_{0}^{{\pi}} = -(-1) - (-1) = 2.Uma área de exatamente 2, saída de uma curva sem um único bocado reto. É o tipo de resultado que faz o cálculo integral parecer mágica — e não é: são duas substituições.

As duas curvas tocam-se em x = 0. Em \left]0,\,3\right], qual está por cima?

1. Quem está por cima. f(x)-g(x) = \dfrac{x^{2}}{2} \geq 0, com igualdade só em x = 0. Logo f \geq g, e ambas são positivas.
2. Integrar a diferença: A = \int_{0}^{3}\frac{x^{2}}{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{6}\right]_{0}^{3} = \frac{27}{6} = \frac{9}{2}.
3. Note-se que o +1 das duas funções desapareceu.Subir as duas curvas a mesma altura não muda a região entre elas. É por isso que só a diferença conta — e simplificá-la antes de primitivar poupa metade do trabalho.

Calcula a área total. Depois escreve a área de 0 a c e iguala a metade.

1. Área total: A = \int_{0}^{3}(6-2x)\,dx = \left[6x-x^{2}\right]_{0}^{3} = 18-9 = 9.
2. Área até c: \left[6x-x^{2}\right]_{0}^{c} = 6c-c^{2}.
3. A condição: 6c - c^{2} = \frac{9}{2} \iff 2c^{2}-12c+9 = 0 \iff c = \frac{12 \pm \sqrt{144-72}}{4} = \frac{12 \pm 6\sqrt{2}}{4}.
4. As raízes são 3 \pm \frac{3\sqrt{2}}{2}, ou seja \approx 0{,}879 e \approx 5{,}12. Só a primeira está em \left]0,\,3\right[.A raiz de fora não é «erro de conta»: é a solução simétrica, do outro lado do vértice da parábola 6c-c^{2}. Rejeita-se pelo intervalo, e diz-se porquê.

Confirma que f \geq g em \left[0,\,2\right] e integra f-g. Junta os termos em x^{2} antes de primitivar.

1. A diferença: f(x)-g(x) = 4 - \frac{x^{2}}{3} - \frac{1}{2} - \frac{x^{2}}{4} = \frac{7}{2} - \frac{7x^{2}}{12}.
2. É positiva em \left[0,\,2\right]: em x = 2 vale \frac{7}{2}-\frac{7}{3} = \frac{7}{6} > 0, e a expressão é decrescente nesse intervalo.
3. Barrow: A = \left[\frac{7x}{2} - \frac{7x^{3}}{36}\right]_{0}^{2} = 7 - \frac{56}{36} = 7 - \frac{14}{9} = \frac{49}{9}.
4. Aproximadamente 5{,}44.Reduzir -\frac{x^{2}}{3}-\frac{x^{2}}{4} a -\frac{7x^{2}}{12} antes de primitivar evita duas frações a arrastar até ao fim. Arrumar cedo é sempre mais barato.

Para a alínea b), o volume acumulado é o integral do caudal — é a mesma ideia da secção 1, agora com os dois limites.

1. a) Os zeros de -t^{2}+6t+12 são t = 3 \pm \sqrt{21}, ou seja \approx -1{,}58 e \approx 7{,}58. Como a parábola tem a concavidade voltada para baixo, é positiva entre os zeros — e \left[0,\,6\right] está lá dentro.
2. b) O volume é o integral do caudal: V = \int_{0}^{6}\left(12+6t-t^{2}\right)dt = \left[12t+3t^{2}-\frac{t^{3}}{3}\right]_{0}^{6}.
3. V = 72 + 108 - 72 = 108.
4. Entraram 108\ \text{m}^{3}.A alínea a) não é um adorno: sem c > 0, o integral deixava de ser a área por baixo do gráfico, e a interpretação como volume acumulado ficava por justificar.