Matrizes

As coordenadas do vetor são «chegada menos partida». A norma sai do teorema de Pitágoras.

1. a) \overrightarrow{AB} = B - A = (5-2,\,3-(-1)) = (3,\,4).
2. b) \left\|\overrightarrow{AB}\right\| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5.

Coordenada a coordenada — exatamente como se vai somar matrizes na secção 2.

1. \vec{u}+\vec{v} = (2-1,\,-3+4) = (1,\,1).
2. 2\vec{u} = (4,\,-6), logo 2\vec{u}-\vec{v} = (4+1,\,-6-4) = (5,\,-10).Somar vetores é somar coordenada a coordenada, e multiplicar por um número é multiplicar todas. As matrizes vão fazer exatamente o mesmo — uma matriz coluna é um vetor.

Transladar é somar o vetor às coordenadas do ponto.

1. P' = P + \vec{u} = (-2+5,\,4-1) = (3,\,3).

As coordenadas são os coeficientes da combinação. É quase uma definição.

1. \vec{w} = 4\,\vec{e_{1}} - 7\,\vec{e_{2}}.
2. Verificação: 4(1,0) - 7(0,1) = (4,0)+(0,-7) = (4,-7). ✓É esta decomposição que faz a secção 3 funcionar: se se souber para onde vão \vec{e_{1}} e \vec{e_{2}}, sabe-se para onde vai tudo o resto.

Refletir no eixo Ox muda o sinal da ordenada; no eixo Oy, o da abcissa.

1. a) (3,\,5).
2. b) (-3,\,-5).
3. c) (-3,\,5) — os dois sinais mudam.A reflexão na origem é o mesmo que uma rotação de 180°. Na secção 3 vai ver-se que as duas têm mesmo a mesma matriz.

Uma homotetia de centro na origem multiplica as duas coordenadas pela razão. E a área não cresce na mesma proporção.

1. Os vértices: A'(0,0), B'(4,0), C'(0,6).
2. As áreas: \frac{2 \times 3}{2} = 3 antes; \frac{4 \times 6}{2} = 12 depois.
3. A área ficou multiplicada por 4 = 2^{2}, e não por 2.Guarda o resultado: numa ampliação de razão k, a área multiplica-se por k^{2}. O laboratório da secção 3 mostra isso a acontecer.

Dois vetores são colineares quando um é múltiplo do outro. Compara as primeiras coordenadas para descobrir o múltiplo.

1. O múltiplo, pelas primeiras coordenadas: 6 = 2 \times 3, logo \vec{v} = 2\vec{u} se forem colineares.
2. As segundas: 4 = 2k \iff k = 2.
3. Verificação: \vec{u}(3,\,2) e \vec{v}(6,\,4) = 2\vec{u}. ✓A colinearidade das duas colunas de uma matriz é exatamente o que faz o plano colapsar numa reta — é o exercício 12 da secção 3.

O ponto médio tem por coordenadas as médias das coordenadas dos extremos.

1. M\left(\frac{-3+7}{2},\ \frac{6-2}{2}\right) = M(2,\,2).

Desenha o ponto e roda-o um quarto de volta no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. Repara no que acontece às duas coordenadas.

1. Rodar 90° no sentido positivo leva o eixo Ox ao eixo Oy e o eixo Oy ao semieixo negativo Ox.
2. Portanto (x,\,y) \mapsto (-y,\,x), e P(2,\,5) \mapsto P'(-5,\,2).
3. Confirma-se pela norma: \sqrt{4+25} = \sqrt{25+4}. Uma rotação não muda distâncias.A regra (x,y)\mapsto(-y,x) vai reaparecer na secção 3 como uma matriz. Vale a pena chegar lá já a saber o resultado.

Decompõe P como 4\vec{e_{1}} - 2\vec{e_{2}} e transporta a decomposição para as imagens.

1. Decompor: (4,\,-2) = 4\,\vec{e_{1}} - 2\,\vec{e_{2}}.
2. Transportar, porque a transformação respeita somas e múltiplos: 4(3,\,1) - 2(-1,\,2) = (12,\,4) - (-2,\,4) = (14,\,0).
3. A imagem é (14,\,0).Este exercício é a secção 3, escrito sem uma única matriz. Quando a matriz aparecer, as imagens de \vec{e_{1}} e \vec{e_{2}} vão ser as suas colunas — e a conta é esta.

Faz o desenho. A base não se mexe — só o topo é que desliza.

1. a) (0,0) \mapsto (0,0); (1,0) \mapsto (1,0); (1,1) \mapsto (2,1); (0,1) \mapsto (1,1).
2. b) A imagem é um paralelogramo de base 1 (o segmento de (0,0) a (1,0)) e altura 1: área 1.
3. A área é a mesma do quadrado de partida.É um cisalhamento, e a área nunca muda num cisalhamento — a figura escorrega, mas não se estica nem se encolhe.

Num paralelogramo \left[ABCD\right] tem-se \overrightarrow{AB} = \overrightarrow{DC}. Escreve os dois vetores e iguala.

1. O vetor conhecido: \overrightarrow{AB} = (4,\,2).
2. A condição: \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AB}, ou seja C - D = (4,\,2).
3. Resolver: D = C - (4,\,2) = (3-4,\,8-2) = (-1,\,6).
4. Verificação: \overrightarrow{AD} = (-2,\,4) e \overrightarrow{BC} = (-2,\,4). ✓A ordem dos vértices manda. Com \left[ABDC\right] a condição seria outra, e o ponto sairia noutro sítio.

O tipo é «linhas \times colunas», por essa ordem. E em a_{ij} o primeiro índice é a linha.

1. a) A tem 2 linhas e 3 colunas: é do tipo 2 \times 3.
2. b) a_{12} é o elemento da linha 1, coluna 2: a_{12} = -1. E a_{23} = -4.A ordem dos índices não é convenção arbitrária que se possa trocar: é ela que faz o produto de matrizes funcionar, na secção 2.

Uma matriz pode caber em mais do que uma classificação — a identidade é diagonal e quadrada ao mesmo tempo.

1. a) Quadrada 2 \times 2 e diagonal: fora da diagonal principal só há zeros.
2. b) Matriz linha, do tipo 1 \times 3.
3. c) Quadrada, diagonal e identidade: a diagonal só tem uns.
4. d) Matriz coluna, do tipo 2 \times 1.As matrizes coluna são as que interessam na secção 3: é assim que se escreve um ponto do plano para o poder multiplicar por uma matriz.

Percorre as posições por ordem: linha 1 com j = 1, 2, 3; depois linha 2.

1. Linha 1 (i = 1): 1+2 = 3, 1+4 = 5, 1+6 = 7.
2. Linha 2 (i = 2): 2+2 = 4, 2+4 = 6, 2+6 = 8.
3. A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 7\\ 4 & 6 & 8 \end{bmatrix}.

Duas matrizes são iguais quando têm o mesmo tipo e os elementos coincidem posição a posição.

1. As duas são 2 \times 2, logo pode comparar-se posição a posição.
2. Da posição (1,2): x = 7. Da posição (2,1): y = -1.

Uma linha por loja e uma coluna por produto. Depois lê o elemento pedido no contexto, e não como número solto.

1. a) Com as colunas por ordem bolos, tartes, pastéis: V = \begin{bmatrix} 40 & 25 & 60\\ 30 & 45 & 50 \end{bmatrix}.
2. b) v_{21} = 30: é o número de bolos vendidos na loja L_{2}.A matriz só tem sentido depois de se dizer o que é cada linha e o que é cada coluna. Sem essa legenda, é uma tabela de números sem significado.

Uma estrada liga nos dois sentidos, o que faz a matriz simétrica. E uma cidade não tem estrada para si própria.

1. Com as cidades por ordem A, B, C, D: M = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0\\ 1 & 0 & 1 & 0\\ 1 & 1 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}.
2. A diagonal é toda de zeros, e a matriz é simétrica em relação a ela.Chamam-se matrizes de adjacência, e são a forma como um mapa, uma rede social ou um circuito entram num computador. É por aí que as matrizes deixam de ser tabelas e passam a ser ferramenta.

Cada posição dá uma equação. A primeira tem duas soluções; a segunda também.

1. Posição (1,1): x^{2} = 9 \iff x = -3 \lor x = 3.
2. Posição (2,2): y = y^{2}-6 \iff y^{2}-y-6 = 0 \iff y = -2 \lor y = 3.
3. As restantes posições já coincidem. Há portanto quatro pares (x,\,y) possíveis.A igualdade de matrizes dá um sistema, uma equação por posição — e o número de soluções é o das combinações, não o de uma equação só.

Escreve-a e compara com os casos particulares da secção.

1. B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
2. É a matriz identidade de ordem 3, que se representa por I_{3}.Na secção 2 vai-se ver que I faz na multiplicação de matrizes o que o 1 faz na dos números: multiplicar por ela não muda nada.

O número de elementos é o produto do tipo. E uma matriz diagonal tem de ser, antes de mais, quadrada.

1. a) 3 \times 5 = 15 elementos.
2. b) Não. Uma matriz diagonal é, por definição, quadrada — e 3 \neq 5.Vale a pena reparar que «ter muitos zeros» não faz uma matriz diagonal. A definição começa por exigir que seja quadrada.

Na alínea b) não é preciso olhar para a matriz: basta reparar em que i+j e j+i são o mesmo número.

1. a) O expoente i+j é par na diagonal e alterna à volta: C = \begin{bmatrix} 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & -1\\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}.
2. b) Como a adição é comutativa, i+j = j+i, logo c_{ij} = (-1)^{i+j} = (-1)^{j+i} = c_{ji}.
3. A justificação vale para qualquer ordem, e não só para 3.Provar a partir da fórmula, e não da tabela escrita, é o que faz a demonstração valer para todas as ordens de uma vez.

Na alínea b), pensa em que ordem as duas matrizes teriam de aparecer para que os «modelos» se encontrassem uns com os outros.

1. a) Colunas por ordem tecido, fechos, rebites: N = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 4\\ 3 & 2 & 2 \end{bmatrix}.
2. b) A encomenda é Q = \begin{bmatrix} 50 & 80 \end{bmatrix}, uma matriz linha 1 \times 2.
3. Para o produto QN fazer sentido, o número de colunas de Q tem de ser igual ao número de linhas de N: 2 = 2. ✓ O resultado será 1 \times 3 — o total de cada material.É a secção 2 a bater à porta: o produto só existe quando os «modelos» de uma matriz encontram os «modelos» da outra. O tipo não é burocracia, é o que garante que a conta tem significado.

Duas das quatro posições já coincidem. As outras duas dão um sistema.

1. As posições (1,2) e (2,1) já coincidem.
2. As outras duas dão o sistema \begin{cases} a+b = 7\\ a-b = 1 \end{cases}
3. Somando as duas equações: 2a = 8 \iff a = 4. Substituindo, b = 3.
4. Verificação: 4+3 = 7 ✓ e 4-3 = 1 ✓.É aqui que se vê porque é que as matrizes e os sistemas andam juntos: uma igualdade de matrizes é um sistema, escrito de outra maneira.

Posição a posição. As duas são 2 \times 2, logo a soma existe.

1. A+B = \begin{bmatrix} 3 & 3\\ -2 & 8 \end{bmatrix}, \qquad A-B = \begin{bmatrix} 1 & -5\\ 2 & -2 \end{bmatrix}.

Multiplicar por um escalar é multiplicar todos os elementos por esse número.

1. 3A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & -6\\ 9 & 15 & 3 \end{bmatrix}.
2. -\frac{1}{2}A = \begin{bmatrix} -0{,}5 & 0 & 1\\ -1{,}5 & -2{,}5 & -0{,}5 \end{bmatrix}.Todos os elementos, incluindo os zeros — que ficam zeros. É diferente do produto de matrizes, onde um zero pode desaparecer numa soma.

A regra é uma só: as colunas da primeira têm de ser tantas como as linhas da segunda. O que sobra dá o tipo do produto.

1. a) 3 = 3 ✓. O produto existe e é do tipo 2 \times 4.
2. b) Colunas de A: 3. Linhas de B: 2. Como 3 \neq 2, o produto não existe.
3. c) 1 = 1 ✓. O produto existe e é do tipo 3 \times 3.Na alínea c) duas matrizes com três elementos cada uma dão uma matriz com nove. O produto não é «elemento a elemento» — nunca foi.

Cada elemento do produto é a soma dos produtos de uma linha de A por uma coluna de B.

1. Posição (1,1): linha 1 de A por coluna 1 de B: 1 \times 3 + 2 \times 4 = 11.
2. Posição (1,2): 1 \times 1 + 2 \times (-2) = -3.
3. Posição (2,1): 0 \times 3 + (-1) \times 4 = -4.
4. Posição (2,2): 0 \times 1 + (-1) \times (-2) = 2.
5. AB = \begin{bmatrix} 11 & -3\\ -4 & 2 \end{bmatrix}.

Faz a conta toda outra vez, agora com B à esquerda. Não se pode reaproveitar nada.

1. Posição a posição: 3 \times 1 + 1 \times 0 = 3; 3 \times 2 + 1 \times (-1) = 5; 4 \times 1 + (-2) \times 0 = 4; 4 \times 2 + (-2)\times(-1) = 10.
2. BA = \begin{bmatrix} 3 & 5\\ 4 & 10 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 11 & -3\\ -4 & 2 \end{bmatrix} = AB.
3. A multiplicação de matrizes não é comutativa.Não é uma esquisitice da conta: na secção 3 vê-se o significado geométrico — rodar e depois esticar não dá o mesmo que esticar e depois rodar.

Confirma primeiro o tipo: 2 \times 3 por 3 \times 2 dá 2 \times 2. Cada elemento é uma soma de três produtos.

1. Tipo: (2 \times 3)(3 \times 2) = 2 \times 2. ✓
2. (1,1): 2(1) + 0(0) + 1(3) = 5.   (1,2): 2(4) + 0(-2) + 1(1) = 9.
3. (2,1): -1(1) + 3(0) + 2(3) = 5.   (2,2): -1(4) + 3(-2) + 2(1) = -8.
4. AB = \begin{bmatrix} 5 & 9\\ 5 & -8 \end{bmatrix}.O número de parcelas de cada soma é a dimensão que desaparece — aqui, o 3. É por isso que ela tem de ser igual nas duas matrizes.

Faz as duas contas. É um dos poucos casos em que a ordem não importa.

1. A I_{2} = \begin{bmatrix} 4 & -3\\ 1 & 2 \end{bmatrix} = A, \qquad I_{2} A = \begin{bmatrix} 4 & -3\\ 1 & 2 \end{bmatrix} = A.
2. A identidade é elemento neutro da multiplicação, dos dois lados.É o análogo do 1 nos números — e um dos raros pares de matrizes que comutam. Na secção 3, I é a transformação que deixa tudo onde está.

Resolve como resolverias em números: passa a matriz conhecida para o outro membro e divide por 2.

1. Isolar 2X: 2X = \begin{bmatrix} 7 & -2\\ 1 & 10 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 & 0\\ -3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -2\\ 4 & 6 \end{bmatrix}.
2. Multiplicar por \frac{1}{2}: X = \begin{bmatrix} 3 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}.Com a adição pode fazer-se isto, porque tem as mesmas propriedades da adição de números. Com o produto não: não há divisão de matrizes.

Uma matriz de necessidades (modelos \times peças) e uma matriz coluna de preços (peças \times 1). O produto dá modelos \times 1.

1. As matrizes, com as colunas por ordem rodas, selins: N = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 2 & 2 \end{bmatrix}, \qquad P = \begin{bmatrix} 15\\ 8 \end{bmatrix}.
2. O tipo encaixa: (2 \times 2)(2 \times 1) = 2 \times 1. ✓
3. NP = \begin{bmatrix} 2(15)+1(8)\\ 2(15)+2(8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 38\\ 46 \end{bmatrix}.
4. O modelo M_{1} custa 38 € de material e o M_{2} custa 46 €.Repara no que o produto fez: as peças desapareceram. É sempre isso — a dimensão comum às duas matrizes é a que se soma e se perde.

Desenvolve (A+B)^{2} = (A+B)(A+B) com cuidado: não se pode juntar AB com BA, porque não são iguais.

1. O desenvolvimento correto: (A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2}. Só se poderia escrever 2AB se fosse AB = BA.
2. As duas parcelas do meio: AB = \begin{bmatrix} 2 & 1\\ 1 & 1 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 1 & 1\\ 1 & 2 \end{bmatrix}. São diferentes.
3. Logo A^{2}+AB+BA+B^{2} \neq A^{2}+2AB+B^{2}, e a igualdade proposta é falsa.Todos os «casos notáveis» da álgebra de números dependem da comutatividade. Nas matrizes, nenhum deles se aplica sem mais.

Faz a conta até ao fim. O resultado é surpreendente — e diz alguma coisa importante sobre a álgebra das matrizes.

1. (1,1): 1(2)+2(-1) = 0.   (1,2): 1(-4)+2(2) = 0.
2. (2,1): 2(2)+4(-1) = 0.   (2,2): 2(-4)+4(2) = 0.
3. AB = \begin{bmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{bmatrix}.
4. Duas matrizes não nulas cujo produto é a matriz nula.Nos números reais, ab = 0 obriga a = 0 ou b = 0. Nas matrizes, não. É por isso que não se pode «cortar» matrizes numa igualdade: de AX = AY não se conclui X = Y.

Não é preciso calcular M^{2} todo: basta o elemento da linha de A com a coluna de D.

1. As linhas e colunas de que se precisa. Linha de A: \begin{bmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}. Coluna de D: \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1\\ 0 \end{bmatrix}.
2. O produto: 0(0) + 1(0) + 1(1) + 0(0) = 1.
3. Há um caminho: A \to C \to D.A conta do produto é literalmente a contagem: cada parcela pergunta «há estrada de A para a cidade k?» vezes «há estrada de k para D?». Só sobra 1 quando as duas existem.

Escreve o ponto como matriz coluna e soma a matriz coluna do vetor.

1. \begin{bmatrix} 3\\ -1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2\\ 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5\\ 4 \end{bmatrix}.
2. A imagem é P'(5,\,4).A translação é a única das quatro transformações desta secção que se faz por soma. Todas as outras são multiplicações — e é por isso que a translação não se escreve como matriz 2\times 2.

Multiplica a matriz pela matriz coluna do ponto. O ponto vai à direita.

1. \begin{bmatrix} 3 & 0\\ 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2\\ -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(2)+0(-3)\\ 0(2)+3(-3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6\\ -9 \end{bmatrix}.
2. A imagem é P'(6,\,-9).

Faz as duas contas — e depois compara os resultados com as colunas de A.

1. a) A\begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 0 \end{bmatrix}: a imagem é (2,\,0).
2. b) A\begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ -1 \end{bmatrix}: a imagem é (0,\,-1).
3. São exatamente a primeira e a segunda coluna de A.Não é coincidência deste exemplo: acontece sempre, e é a chave de toda a secção. As colunas de uma matriz são as imagens dos dois vetores unitários.

Multiplica e confirma no desenho: uma rotação de 90° leva o primeiro quadrante ao segundo.

1. \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0(4)+(-1)(1)\\ 1(4)+0(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1\\ 4 \end{bmatrix}.
2. A imagem é P'(-1,\,4) — de facto no segundo quadrante.A regra de bolso: uma rotação de 90° troca as coordenadas e muda o sinal da primeira, (x,y) \mapsto (-y,\,x). Confere com a conta.

Escreve as imagens de e_{1} e de e_{2}. Elas são as colunas da matriz.

1. Imagem de e_{1}(1,0): a abcissa duplica, a ordenada mantém-se: (2,\,0).
2. Imagem de e_{2}(0,1): a abcissa é 0 e continua 0; a ordenada mantém-se: (0,\,1).
3. As colunas: A = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}.Escrever uma matriz de transformação nunca exige resolver um sistema: basta perguntar «para onde vai o (1,0)?» e «para onde vai o (0,1)?», e arrumar as respostas em coluna.

Repara que a base do quadrado, sobre o eixo Ox, não se mexe. É o topo que desliza.

1. a) (0,0) \mapsto (0,0); (1,0) \mapsto (1,0); (1,1) \mapsto (3,1); (0,1) \mapsto (2,1).
2. b) A base ficou onde estava e o topo deslizou 2 para a direita: a imagem é um paralelogramo, com a mesma base e a mesma altura.
3. Note-se que a área não mudou: 1 antes, 1 depois.Um cisalhamento é o que acontece a um baralho de cartas quando se empurra o topo de lado. Nada se estica — as coisas escorregam umas sobre as outras.

Aplicar E e depois R a um ponto X é calcular R(EX) = (RE)X. A matriz da composta é o produto, com a segunda transformação à esquerda.

1. Primeiro E, depois R: RE = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 2 & 0 \end{bmatrix}.
2. Primeiro R, depois E: ER = \begin{bmatrix} 2 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -2\\ 1 & 0 \end{bmatrix}.
3. São diferentes: esticar e depois rodar não é o mesmo que rodar e depois esticar.É aqui que a não comutatividade da secção 2 deixa de ser uma esquisitice da conta e passa a ter significado: a ordem das transformações importa, e qualquer pessoa que já tenha rodado e escalado uma imagem sabe disso.

Onde vão parar o (1,0) e o (0,1) quando se reflete no eixo horizontal?

1. Imagem de e_{1}(1,0): está sobre o eixo, não se mexe: (1,\,0).
2. Imagem de e_{2}(0,1): passa para baixo: (0,\,-1).
3. S = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}.Uma reflexão vira a figura do avesso — e isso vê-se no laboratório: a área não muda, mas a orientação inverte-se.

Primeiro a multiplicação, para os três pontos; só depois a soma. A ordem é a do enunciado.

1. Ampliação de razão 2: (2,2), (8,2), (2,6).
2. Translação, somando (-3,\,2) a cada um: A''(-1,\,4), \qquad B''(5,\,4), \qquad C''(-1,\,8).
3. Note-se que a translação não se pode escrever como matriz 2 \times 2: é sempre uma soma à parte.É por isso que a computação gráfica usa matrizes 3\times3 com uma linha a mais — o truque das «coordenadas homogéneas» —, que arruma a translação dentro de uma multiplicação. Está fora do que as Aprendizagens Essenciais pedem, mas é o que faz a técnica funcionar de verdade.

Onde vão parar os dois vetores unitários numa meia-volta? E depois calcula R^{2}.

1. As imagens: e_{1}(1,0) \mapsto (-1,\,0) e e_{2}(0,1) \mapsto (0,\,-1).
2. R = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = -I_{2}.
3. Duas vezes: R^{2} = \begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I_{2}.
4. Duas meias-voltas dão a identidade — que é a transformação que não mexe em nada.Uma rotação de 180° é o mesmo que multiplicar o plano inteiro por -1. É a única rotação que se escreve como um escalar vezes a identidade.

Calcula os dois produtos. Depois vê para onde vão e_{1} e e_{2} em cada um — as colunas dizem-no logo.

1. S R_{90} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ -1 & 0 \end{bmatrix}.
2. R_{90} S = \begin{bmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}.
3. Interpretar o segundo: as colunas dizem que (1,0) \mapsto (0,1) e (0,1) \mapsto (1,0). Trocar as coordenadas é refletir na bissetriz dos quadrantes ímpares, y = x.
4. E o primeiro: (1,0) \mapsto (0,-1) e (0,1) \mapsto (-1,0) — é a reflexão na bissetriz dos quadrantes pares, y = -x.Duas reflexões diferentes, saídas das mesmas duas transformações, só pela ordem. É o exemplo mais bonito de não comutatividade deste capítulo.

Calcula as imagens de e_{1} e de e_{2} e compara-as. O que é que uma tem que ver com a outra?

1. As imagens dos unitários são as colunas: (3,\,1) e (6,\,2).
2. São colineares: (6,\,2) = 2(3,\,1). Os dois vetores têm a mesma direção.
3. A imagem de um ponto qualquer. Como (x,y) = x\,e_{1} + y\,e_{2}, A\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = x\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix} + y\begin{bmatrix} 6\\ 2 \end{bmatrix} = (x+2y)\begin{bmatrix} 3\\ 1 \end{bmatrix}.
4. Toda a imagem é um múltiplo de (3,\,1): está na reta que passa na origem com essa direção, de equação y = \dfrac{x}{3}.O plano inteiro colapsa numa reta — a transformação esmaga uma dimensão. No laboratório, é o que acontece quando a área passa a ser multiplicada por zero.

Multiplica a matriz pela matriz coluna do ponto. A matriz é diagonal: cada coordenada é tratada à parte.

1. \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2\\ 6\\ 4 \end{bmatrix}.
2. A imagem é P'(2,\,6,\,4).Uma matriz diagonal estica cada eixo por si. Aqui: o dobro em x, o triplo em y, nada em z.

Onde vão parar e_{1}(1,0,0), e_{2}(0,1,0) e e_{3}(0,0,1)? As respostas são as colunas.

1. As imagens dos três unitários são (3,0,0), (0,3,0) e (0,0,3).
2. A = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 0\\ 0 & 3 & 0\\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} = 3 I_{3}.

As colunas dão as imagens de imediato. Repara no que acontece ao eixo Oz.

1. As colunas: e_{1} \mapsto (0,1,0), e_{2} \mapsto (-1,0,0), e_{3} \mapsto (0,0,1).
2. O eixo Oz fica fixo e o plano xOy roda 90°: é a rotação de 90° em torno do eixo Oz.Reconhece-se o bloco 2\times2 da rotação no canto superior esquerdo, com o 1 isolado a segurar o eixo que não se mexe.

Cada aresta duplica. E o volume?

1. Cada aresta passa de 1 a 2, logo a imagem é um cubo de aresta 2.
2. V = 2^{3} = 8.No plano a área multiplicava-se por k^{2}; no espaço o volume multiplica-se por k^{3}. É a mesma ideia, com mais uma dimensão.

Duas colunas ficam como estavam; a terceira anula-se.

1. As imagens: e_{1} \mapsto (1,0,0), e_{2} \mapsto (0,1,0), e_{3} \mapsto (0,0,0).
2. P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.
3. Todo o espaço é esmagado num plano: o volume passa a zero.É o análogo tridimensional do exercício em que o plano colapsava numa reta. Uma dimensão desaparece — e não há maneira de a recuperar.

Escreve as duas matrizes e multiplica nas duas ordens. Repara em que R não mexe no z e E não mexe no x nem no y.

1. R = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad E = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
2. ER = RE = \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}.
3. Comutam.Comutam porque atuam em direções separadas: uma só mexe no plano xOy, a outra só no eixo Oz. Assim que duas transformações disputarem as mesmas direções, deixam de comutar.

Multiplica. Depois repara em qual das coordenadas entra no cálculo da primeira.

1. C\begin{bmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+2\\ 1\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3\\ 1\\ 1 \end{bmatrix}.
2. A abcissa cresce proporcionalmente à altura: o cisalhamento empurra as camadas de cima na direção Ox, e o plano z = 0 fica no sítio.É a versão espacial do baralho de cartas empurrado de lado: quanto mais alta a carta, mais longe vai.

Um cisalhamento não estica nada — só escorrega. Pensa no que aconteceu à área no cisalhamento do plano.

1. O cisalhamento leva o cubo a um paralelepípedo oblíquo com a mesma base e a mesma altura.
2. Como o volume é «área da base \times altura», e nenhuma das duas mudou, V = 1.
3. O volume não muda.O laboratório confirma: com um cisalhamento, o número do «volume fica multiplicado por» mantém-se em 1, por muito inclinado que o cubo fique.

Refletir nesse plano deixa x e y como estão e troca o sinal de z.

1. As imagens: e_{1} \mapsto (1,0,0), e_{2} \mapsto (0,1,0), e_{3} \mapsto (0,0,-1).
2. S = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}.
3. O volume não muda em valor absoluto, mas a figura vira do avesso.

A imagem de e_{1} é sempre a primeira coluna do produto. Calcula só essa coluna, em cada ordem.

1. Primeiro R_{z}, depois R_{x}. R_{z}e_{1} = (0,1,0), e R_{x}(0,1,0) = (0,\,0,\,1).
2. Primeiro R_{x}, depois R_{z}. R_{x}e_{1} = (1,0,0), e R_{z}(1,0,0) = (0,\,1,\,0).
3. As imagens são diferentes: as rotações no espaço não comutam.No plano, duas rotações comutam sempre — os ângulos somam-se. No espaço deixam de comutar, porque cada uma tem o seu eixo. Experimenta com um livro fechado: roda-o 90° nas duas ordens e compara.

Compara as três colunas. Quantas direções independentes há entre elas?

1. As colunas: a segunda é o dobro da primeira, (2,0,0) = 2(1,0,0). Só há duas direções distintas: (1,0,0) e (0,0,1).
2. A imagem de um ponto qualquer: A\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = x(1,0,0) + y(2,0,0) + z(0,0,1) = (x+2y)\,(1,0,0) + z\,(0,0,1).
3. Toda a imagem é combinação de (1,0,0) e (0,0,1): está no plano xOz, de equação y = 0.Uma dimensão foi esmagada, e o volume passa a zero. No laboratório, é o que se vê quando o cubo fica achatado numa folha.

O eixo Oz não se mexe. No plano xOy é a rotação plana de sempre — encaixa-a no canto superior esquerdo.

1. O que não se mexe: e_{3}(0,0,1) \mapsto (0,0,1), que dá a terceira coluna.
2. No plano xOy: e_{1} \mapsto (\cos{\theta},\ \operatorname{sen}{\theta},\ 0) e e_{2} \mapsto (-\operatorname{sen}{\theta},\ \cos{\theta},\ 0).
3. R_{z}({\theta}) = \begin{bmatrix} \cos{\theta} & -\operatorname{sen}{\theta} & 0\\ \operatorname{sen}{\theta} & \cos{\theta} & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}.
4. Com {\theta} = 90° recupera-se a matriz do exercício 3.A estrutura repete-se para os outros dois eixos: o bloco da rotação plana nas duas coordenadas que se mexem, e um 1 isolado na que fica parada.