Funções: exponenciais, logaritmos e derivadas

Expoente negativo é o inverso: a^{-n} = \dfrac{1}{a^{n}}. E numa fração o inverso troca numerador com denominador.

1. a) 2^{-3} = \dfrac{1}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}.
2. b) \left(\dfrac{2}{5}\right)^{-2} = \left(\dfrac{5}{2}\right)^{2} = \dfrac{25}{4}.
3. c) (-3)^{0} = 1 — qualquer base não nula elevada a zero dá 1.
4. d) \dfrac{3^{7}}{3^{5}} = 3^{7-5} = 3^{2} = 9.

Começa por escrever 4, 8, 16 e 32 como potências de 2. A raiz quadrada é a potência de expoente \frac{1}{2}.

1. a) 4 \times 8 = 2^{2} \times 2^{3} = 2^{5}.
2. b) \dfrac{16}{32} = \dfrac{2^{4}}{2^{5}} = 2^{-1}.
3. c) \left(2^{3}\right)^{4} = 2^{12}.
4. d) \sqrt{2} = 2^{1/2}.Reduzir tudo à mesma base é o gesto que resolve praticamente todas as equações exponenciais da secção 3. Vale a pena automatizá-lo já.

De índice ímpar existe sempre e conserva o sinal; de índice par só existe para radicando não negativo, e é não negativa.

1. a) (-4)^{3} = -64, logo \sqrt[3]{-64} = -4.
2. b) 3^{4} = 81 e a raiz de índice par é não negativa, logo \sqrt[4]{81} = 3.
3. c) 2^{5} = 32, logo \sqrt[5]{32} = 2.
4. d) 0{,}2^{3} = 0{,}008, logo \sqrt[3]{0{,}008} = 0{,}2.

A definição é a^{m/n} = \sqrt[n]{a^{m}}, para a > 0. Uma raiz dentro de outra multiplica os índices.

1. a) \sqrt[3]{7^{2}} = 7^{2/3}.
2. b) \dfrac{1}{\sqrt{5}} = \dfrac{1}{5^{1/2}} = 5^{-1/2}.
3. c) \sqrt[4]{a^{3}} = a^{3/4}.
4. d) \sqrt{\sqrt[3]{2}} = \left(2^{1/3}\right)^{1/2} = 2^{1/6}.

As regras são as mesmas das potências de expoente inteiro: somam-se expoentes no produto, subtraem-se no quociente, multiplicam-se na potência de potência.

1. a) a^{1/2 + 1/3} = a^{5/6}.
2. b) a^{3/4 - 1/4} = a^{1/2}.
3. c) a^{(2/3)\times(3/2)} = a^{1}= a.
4. d) a^{1/2} \times a^{2/3} \div a^{1} = a^{1/2 + 2/3 - 1} = a^{1/6}.É por as regras se manterem exatamente as mesmas que faz sentido estender a definição. Se alguma delas falhasse, a extensão não valeria a pena.

Escreve cada base como potência de um número pequeno: 27 = 3^{3}, 16 = 2^{4}, 8 = 2^{3}, 125 = 5^{3}, 81 = 3^{4}.

1. a) 27^{2/3} = \left(3^{3}\right)^{2/3} = 3^{2} = 9.
2. b) 16^{-3/4} = \left(2^{4}\right)^{-3/4} = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}.
3. c) \left(\dfrac{8}{125}\right)^{-1/3} = \left(\dfrac{125}{8}\right)^{1/3} = \dfrac{5}{2}.
4. d) 81^{1/4} \times 9^{1/2} = 3 \times 3 = 9.

Trabalha de dentro para fora: primeiro a\sqrt{a} numa só potência, depois a raiz exterior.

1. a\,\sqrt{a} = a^{1} \times a^{1/2} = a^{3/2}.
2. \sqrt{a^{3/2}} = \left(a^{3/2}\right)^{1/2} = a^{3/4}.

Escreve os três com o mesmo índice — o mínimo múltiplo comum de 2, 3 e 6 — e compara os radicandos.

1. O índice comum é 6: \sqrt{2} = 2^{1/2} = 2^{3/6} = \sqrt[6]{8}.
2. \sqrt[3]{3} = 3^{1/3} = 3^{2/6} = \sqrt[6]{9}.
3. \sqrt[6]{10} já está no índice certo.
4. Com o mesmo índice, maior radicando dá maior raiz: \sqrt[6]{8} < \sqrt[6]{9} < \sqrt[6]{10}.

Em juro composto, cada ano o capital fica multiplicado por 1 + r. Ao fim de n anos, foi multiplicado n vezes.

1. a) C(n) = 2500 \times (1 + 0{,}018)^{n} = 2500 \times 1{,}018^{n} euros.
2. b) C(5) = 2500 \times 1{,}018^{5} \approx 2733{,}25 euros.Repara que n está no expoente. É esta a assinatura de todos os modelos deste capítulo: o que cresce não é o que se soma, é o que se multiplica.

Na alínea c), experimenta a = -8 com \frac{m}{n} = \frac{1}{3} e com a fração equivalente \frac{2}{6}.

1. a) \sqrt{(-3)^{2}} = \sqrt{9} = 3 \neq -3. A raiz de índice par nunca é negativa.
2. b) É verdadeira exatamente para x \geq 0. Em \mathbb{R}, o que vale sempre é \sqrt{x^{2}} = |x|.
3. c) Com a = -8: por um lado a^{1/3} = \sqrt[3]{-8} = -2; por outro, como \frac{1}{3} = \frac{2}{6}, viria a^{2/6} = \sqrt[6]{(-8)^{2}} = \sqrt[6]{64} = 2. O mesmo expoente daria dois valores, conforme a fração escolhida — a definição deixaria de ser uma definição.É por isso que, daqui em diante, a base de uma exponencial é sempre positiva. Não é um capricho: é a única maneira de a extensão a expoente real ser coerente.

Não se procura o valor de x. Escreve cada expressão à custa de 2^{x}, usando as regras operatórias.

1. a) 2^{x+3} = 2^{x} \times 2^{3} = 5 \times 8 = 40.
2. b) 2^{2x} = \left(2^{x}\right)^{2} = 25.
3. c) 2^{-x} = \dfrac{1}{2^{x}} = \dfrac{1}{5}.
4. d) 4^{x} = \left(2^{2}\right)^{x} = \left(2^{x}\right)^{2} = 25 e 8^{x} = \left(2^{x}\right)^{3} = 125, logo a soma é 150.É exatamente esta manobra — trocar 4^{x} e 8^{x} por potências de 2^{x} — que resolve as equações exponenciais por mudança de variável, na secção 3.

Cada termo da sucessão é um racional — e para racionais a potência já está definida na alínea anterior desta secção. A questão é o que acontece no limite.

1. a) 2^{1} = 2; 2^{1{,}4} \approx 2{,}6390; 2^{1{,}41} \approx 2{,}6574; 2^{1{,}414} \approx 2{,}6647.
2. b) 2^{\sqrt{2}} \approx 2{,}6651. Os valores aproximam-se dele, e cada casa decimal a mais no expoente dá uma casa decimal certa a mais no resultado. Define-se 2^{\sqrt{2}} como o limite dos 2^{r}, com r racional a tender para \sqrt{2}.
3. c) Com base negativa, muitos dos expoentes racionais nem sequer dão um número real: (-2)^{1{,}4} = (-2)^{7/5} = \sqrt[5]{(-2)^{7}} ainda existe, mas (-2)^{1{,}41} = (-2)^{141/100} = \sqrt[100]{(-2)^{141}} não existe em \mathbb{R}. A sucessão de valores nem chega a formar-se.Fica assim justificada a condição a > 0 da definição de função exponencial, na secção 1: só para bases positivas a potência faz sentido para todo o expoente real.

Numa função exponencial a variável está no expoente e a base é um número fixo, positivo e diferente de 1.

1. a) É exponencial, de base 3.
2. b) Não é: a variável está na base e o expoente é fixo. É uma função potência.
3. c) Não é: a base é 1 e 1^{x} = 1 para todo o x — é a função constante 1. Exclui-se a base 1 exatamente por isso.
4. d) É exponencial, de base \frac{2}{7}, que está entre 0 e 1: é decrescente.

Expoente negativo dá o inverso; expoente \frac{1}{2} dá a raiz quadrada.

1. f(-3) = 2^{-3} = \dfrac{1}{8}.
2. f(-1) = \dfrac{1}{2}.
3. f(0) = 1 — como em toda a exponencial.
4. f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{2} \approx 1{,}41.
5. f(4) = 16.

Só interessa comparar a base com 1.

1. a) 1{,}05 > 1: crescente.
2. b) 0{,}98 < 1: decrescente.
3. c) \sqrt{2} \approx 1{,}41 > 1: crescente.
4. d) \frac{3}{4} < 1: decrescente.Uma base a um passo de 1, como 1{,}05, dá uma subida muito lenta — mas é uma subida, e ao fim de muitos passos torna-se enorme. É o juro composto.

Base maior do que 1: maior expoente, maior potência. Base entre 0 e 1: maior expoente, menor potência.

1. a) Base 3 > 1 e 1{,}2 < 1{,}3, logo 3^{1{,}2} < 3^{1{,}3}.
2. b) Base 0{,}4 < 1 e 2 < 3, logo 0{,}4^{2} > 0{,}4^{3}.
3. c) -\sqrt{2} \approx -1{,}414 > -1{,}5 e a base é 2 > 1, logo 2^{-\sqrt{2}} > 2^{-1{,}5}.
4. d) \pi > 3 e a base está entre 0 e 1, logo \left(\frac{1}{2}\right)^{\pi} < \left(\frac{1}{2}\right)^{3}.

a^{3} = 27 e a > 0: há um só valor possível.

1. a) a^{3} = 27 \iff a = 3 (única solução positiva).
2. b) f(-2) = 3^{-2} = \dfrac{1}{9} e f\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{3}.
3. c) D'_{f} = \mathbb{R}^{+} e a assíntota horizontal é a reta de equação y = 0.

Substitui x = 0 primeiro: a^{0} = 1, o que dá logo b.

1. a) f(0) = b \cdot a^{0} = b = 5.
2. Depois f(2) = 5a^{2} = 45 \iff a^{2} = 9 \iff a = 3, porque a > 0.
3. b) f(-1) = 5 \times 3^{-1} = \dfrac{5}{3}.O b lê-se sempre na ordenada na origem: é o valor inicial. O a é o fator de crescimento por cada unidade de x.

Qual é o eixo de que o gráfico se aproxima sem nunca lá chegar?

1. (A) é verdadeira: a^{x} > 0 e todos os positivos são atingidos.
2. (B) é verdadeira: a^{x} = 0 é impossível.
3. (C) é falsa: a assíntota é horizontal, de equação y = 0. A reta x = 0 é o eixo Oy, que o gráfico interseta em (0,1).
4. (D) é verdadeira: sendo estritamente monótona, é injetiva.

Compara os dois em x = 1. E depois lembra-te de que a^{-1} = \frac{1}{a}.

1. a) Em x = 1 vem a^{1} > b^{1}, ou seja a > b. Como ambas são crescentes, a > b > 1.
2. b) Em x = -1: a^{-1} = \dfrac{1}{a} e b^{-1} = \dfrac{1}{b}. Como a > b > 0, tem-se \dfrac{1}{a} < \dfrac{1}{b}. Para x < 0 é o gráfico de y = b^{x} que está acima.Os dois gráficos cruzam-se exatamente uma vez, em (0,1) — é o ponto por onde todas as exponenciais passam. À direita manda a base maior; à esquerda, a menor.

Na alínea b) simplifica a fração com a regra \frac{a^{x}}{a^{y}} = a^{x-y} — o t desaparece.

1. a) N(0) = 400 \times 2^{0} = 400 bactérias.
2. b) \dfrac{N(t+1)}{N(t)} = \dfrac{400 \times 2^{t+1}}{400 \times 2^{t}} = 2^{t+1-t} = 2. Em cada hora que passa a população fica multiplicada por 2: duplica de hora a hora, sempre, seja qual for o instante.
3. c) N(0{,}5) = 400\sqrt{2} \approx 566 bactérias.É esta razão constante que distingue o crescimento exponencial do linear: no linear é a diferença que se mantém, no exponencial é o quociente.

Uma função estritamente monótona nunca repete imagens.

1. a) Para a > 1 a função x \mapsto a^{x} é estritamente crescente; para 0 < a < 1, estritamente decrescente. Em qualquer dos casos é injetiva: objetos diferentes têm imagens diferentes. Logo, imagens iguais obrigam a objetos iguais.
2. b) 5^{x^{2}} = 5^{3x-2} \iff x^{2} = 3x-2 \iff x^{2}-3x+2 = 0 \iff x = 1 \lor x = 2.
3. c) Com a = 1 viria 1^{u} = 1^{v} = 1 para quaisquer u e v: a função é constante, não é injetiva, e nada se pode concluir sobre os expoentes.É esta propriedade — e só ela — que autoriza o passo «bases iguais, expoentes iguais» que se vai usar em toda a secção 3.

Na alínea b) representa as duas funções na mesma janela e procura o último ponto de interseção. Experimenta uma janela com x até 40 e y até 10^{8}.

1. a) f(10) = 1024 e g(10) = 100\,000: aqui o polinómio ganha, e por muito. Mas f(20) = 1\,048\,576 e g(20) = 3\,200\,000: a diferença já encolheu muito.
2. b) Os gráficos voltam a cruzar-se entre 22 e 23; a partir de x = 23 tem-se sempre 2^{x} > x^{5}. Com efeito, 2^{23} = 8\,388\,608 e 23^{5} = 6\,436\,343. Logo n = 23.
3. c) O polinómio pode liderar durante muito tempo, mas a exponencial acaba sempre por ultrapassá-lo e a distância torna-se depois esmagadora. Nenhuma potência de x, por maior que seja o expoente, aguenta a comparação a longo prazo.Este facto tem nome e demonstra-se com um limite notável, no capítulo dos limites: \lim_{x \to +\infty} \frac{a^{x}}{x^{p}} = +\infty, para a > 1. Aqui fica a experiência; a prova chega mais tarde.

Na alínea b) escreve \left(\frac{1}{a}\right)^{x} como potência de base a.

1. a) f_{a}(0) = a^{0} = 1 para toda a base a > 0. Todos os gráficos passam em (0,\,1).
2. b) f_{1/a}(x) = \left(\dfrac{1}{a}\right)^{x} = \left(a^{-1}\right)^{x} = a^{-x} = f_{a}(-x). Trocar x por -x é precisamente refletir o gráfico no eixo Oy.
3. c) a^{-2} = \dfrac{1}{9} \iff \dfrac{1}{a^{2}} = \dfrac{1}{9} \iff a^{2} = 9 \iff a = 3, porque a > 0.Esta simetria explica por que razão as duas figuras da secção são, afinal, a mesma figura vista ao espelho.

A assíntota é y = d, o valor que se soma. O contradomínio fica de um lado de d — o sinal de b diz qual.

1. a) d = 5 e b = 1 > 0: assíntota y = 5, D' = \left]5,\, +\infty\right[.
2. b) d = 0: assíntota y = 0, D' = \mathbb{R}^{+}. A translação horizontal não mexe na assíntota.
3. c) d = 1 e b = -1 < 0: assíntota y = 1, D' = \left]-\infty,\, 1\right[.
4. d) d = -2 e b = 4 > 0: assíntota y = -2, D' = \left]-2,\, +\infty\right[.

O que está dentro do expoente mexe na horizontal (e ao contrário do que parece); o que está fora mexe na vertical.

1. a) Translação associada ao vetor (0,\,-3): desce 3 unidades.
2. b) Translação associada ao vetor (-2,\,0): desloca-se 2 unidades para a esquerda.
3. c) Reflexão em relação ao eixo Ox.
4. d) Dilatação vertical de fator 5.O sinal do c engana toda a gente: 2^{x+2} = 2^{x-(-2)}, logo c = -2 e o gráfico anda para a esquerda.

Com Oy: faz x = 0. Com Ox: resolve f(x) = 0, reduzindo à mesma base.

1. Com Oy: f(0) = 3^{0} - 9 = 1 - 9 = -8, logo o ponto é (0,\,-8).
2. Com Ox: 3^{x} - 9 = 0 \iff 3^{x} = 3^{2} \iff x = 2, logo o ponto é (2,\,0).

Duas coisas decidem: a base (maior ou menor do que 1) e o sinal de b. Um sinal negativo inverte a monotonia.

1. a) Base 2 > 1 e b = 1 > 0: crescente. As translações não alteram a monotonia.
2. b) Base 2 > 1 mas b = -3 < 0: decrescente.
3. c) Base \frac{1}{2} < 1 e b = 5 > 0: decrescente.
4. d) Base \frac{1}{3} < 1 (decrescente) e b = -1 < 0 (inverte): crescente.

Escreve f(x) = -2^{x+1} + 8 para identificar b e d sem hesitar.

1. a) b = -1 < 0 e d = 8: D'_{f} = \left]-\infty,\, 8\right[ e a assíntota é y = 8.
2. b) Com Oy: f(0) = 8 - 2 = 6, ponto (0,\,6). Com Ox: 8 - 2^{x+1} = 0 \iff 2^{x+1} = 2^{3} \iff x = 2, ponto (2,\,0).
3. c) Estritamente decrescente. Quando x \to -\infty, 2^{x+1} \to 0 e f(x) \to 8; quando x \to +\infty, 2^{x+1} \to +\infty e f(x) \to -\infty.

A assíntota dá d de imediato; a ordenada na origem dá b + d.

1. a) Da assíntota, d = -3. De f(0) = b \times 1 + d = 1 vem b - 3 = 1, logo b = 4.
2. b) 4 \times 2^{x} - 3 = 0 \iff 2^{x} = \dfrac{3}{4}. Como \frac{3}{4} não é potência inteira de 2, a solução exata só se escreve com um logaritmo — assunto da secção 6. Com a calculadora gráfica obtém-se x \approx -0{,}415.Aparece aqui, pela primeira vez, o limite do que se consegue fazer sem logaritmos: sabe-se que existe uma solução (a função é injetiva), mas não se sabe escrevê-la.

Quando x \to -\infty, e^{x} \to 0, logo f(x) \to a.

1. A assíntota horizontal está em y = a, logo a = -1.
2. f(0) = a + b\,e^{0} = a + b = 1, logo -1 + b = 1 e b = 2.

Calcula f(0), o zero e a assíntota de cada uma. Basta uma dessas três informações para decidir.

1. a) f(0) = 0 e assíntota y = -1 → IV.
2. b) g(1) = 2^{0} = 1 e assíntota y = 0 → III.
3. c) Assíntota y = 2 e 2 - 2^{x} = 0 \iff x = 1 → II.
4. d) j(x) = \left(\frac{1}{2}\right)^{x}: decrescente e passa em (0,1) → I.

Na alínea c) pensa no que acontece a \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} quando t cresce muito.

1. a) T(0) = 20 + 60 \times 1 = 80^{\circ}\mathrm{C}.
2. b) T(20) = 20 + 60 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{2} = 20 + 15 = 35^{\circ}\mathrm{C}.
3. c) Quando t \to +\infty, \left(\frac{1}{2}\right)^{t/10} \to 0 e T(t) \to 20. O 20 é a temperatura ambiente — a assíntota horizontal do gráfico. O café arrefece até à temperatura da sala, e nunca abaixo dela.Sempre que num modelo aparece uma constante somada a uma exponencial decrescente, essa constante é o valor de equilíbrio. É a assinatura da lei do arrefecimento de Newton, que volta na secção 4.

Aplica a regra a^{u-v} = \frac{a^{u}}{a^{v}} à expressão de g.

1. Translação: g(x) = f(x-3), translação associada ao vetor (3,\,0).
2. Contração vertical: g(x) = 2^{x-3} = \dfrac{2^{x}}{2^{3}} = \dfrac{1}{8}\,f(x) — contração vertical de fator \frac{1}{8}.
3. Com f(x) = x^{2}, f(x-3) = (x-3)^{2} = x^{2} - 6x + 9, que não é múltiplo de x^{2}. A coincidência é exclusiva da exponencial e vem de a^{x-c} = a^{-c}\,a^{x}: no expoente, somar é multiplicar.É a mesma propriedade que faz com que, num modelo exponencial, «atrasar o relógio» e «mudar a unidade de medida» sejam a mesma coisa.

Na alínea b) precisas de um número c tal que 2^{c} = 5. Existe? É inteiro?

1. a) 4^{x} = \left(2^{2}\right)^{x} = 2^{2x}, logo f(x) = 5 \times 2^{2x}: b = 5 e k = 2.
2. b) Seria preciso 2^{c} = 5. Como 2^{2} = 4 < 5 < 8 = 2^{3} e a exponencial é estritamente crescente, o tal c existe e está entre 2 e 3 — logo não é inteiro. Escrevê-lo exatamente exige um logaritmo: c = \log_{2} 5, notação que chega na secção 6.
3. c) \dfrac{5 \times 4^{x+1}}{5 \times 4^{x}} = 4: a cada unidade de x, o valor fica multiplicado por 4.

Na alínea a) usa a mudança de variável y = 2^{x}. Na c) repara em que g é decrescente e toma todos os valores de \mathbb{R}^{+}, enquanto f é crescente com assíntota y = k.

1. a) 2^{x} = 2^{-x} \iff x = -x \iff x = 0, pela injetividade. O ponto é (0,\,1).
2. b) f(1) = g(1) \iff 2 + k = \dfrac{1}{2} \iff k = -\dfrac{3}{2}.
3. c) f é estritamente crescente com contradomínio \left]k,\, +\infty\right[ e g é estritamente decrescente com contradomínio \mathbb{R}^{+}. A diferença f - g é estritamente crescente; quando x \to -\infty tende para -\infty, e quando x \to +\infty tende para +\infty. Há, portanto, sempre exatamente um ponto de interseção, seja qual for k: os gráficos intersetam-se sempre.A calculadora confirma, mas não prova. A justificação está na monotonia da diferença — o argumento completo, com o teorema de Bolzano-Cauchy, chega no capítulo das funções contínuas.

Escreve o segundo membro como potência da mesma base e iguala os expoentes.

1. a) 2^{x} = 2^{5} \iff x = 5.
2. b) 3^{x-1} = 3^{4} \iff x - 1 = 4 \iff x = 5.
3. c) 5^{2x} = 5^{3} \iff 2x = 3 \iff x = \dfrac{3}{2}.
4. d) 10^{x} = 10^{-3} \iff x = -3.

Reduz os dois membros à mesma base, transformando raízes em expoentes fracionários.

1. a) 2^{2x} = 2^{-1/2} \iff 2x = -\dfrac{1}{2} \iff x = -\dfrac{1}{4}.
2. b) 3^{2x} = 3^{1/3} \iff 2x = \dfrac{1}{3} \iff x = \dfrac{1}{6}.
3. c) e^{x-2} = e^{-1/2} \iff x - 2 = -\dfrac{1}{2} \iff x = \dfrac{3}{2}.
4. d) 2^{-x} = 2^{3} \iff -x = 3 \iff x = -3.

Base maior do que 1: o sentido da desigualdade mantém-se. Base entre 0 e 1: inverte-se.

1. a) 2^{x} > 2^{4} \iff x > 4. S = \left]4,\, +\infty\right[.
2. b) 3^{x} \leq 3^{-2} \iff x \leq -2. S = \left]-\infty,\, -2\right].
3. c) \left(\frac{1}{2}\right)^{x} < \left(\frac{1}{2}\right)^{3}; a base é menor do que 1, logo x > 3. S = \left]3,\, +\infty\right[.
4. d) e^{-x} > e^{0} \iff -x > 0 \iff x < 0. S = \mathbb{R}^{-}.

Reduz à mesma base e resolve a equação do 2.º grau que aparece nos expoentes.

1. 2^{x^{2}-x} = 2^{2} \iff x^{2} - x = 2, pela injetividade.
2. x^{2} - x - 2 = 0 \iff x = \dfrac{1 \pm \sqrt{1+8}}{2} = \dfrac{1 \pm 3}{2}.
3. x = 2 \lor x = -1.

Em a) faz y = 2^{x} e repara em que 4^{x} = y^{2}. Não te esqueças de que y > 0.

1. a) Com y = 2^{x} > 0: y^{2} - 5y + 4 = 0 \iff y = 1 \lor y = 4.
2. Voltando a x: 2^{x} = 1 \iff x = 0 e 2^{x} = 4 \iff x = 2.
3. b) Com y = 3^{x} > 0: y^{2} - 4y + 3 = 0 \iff y = 1 \lor y = 3.
4. 3^{x} = 1 \iff x = 0 e 3^{x} = 3 \iff x = 1.

Com y = e^{x}, uma das raízes da equação do 2.º grau é negativa. O que se faz com ela?

1. Com y = e^{x}, e sabendo que y > 0: y^{2} + y - 6 = 0.
2. y = \dfrac{-1 \pm \sqrt{1+24}}{2} = \dfrac{-1 \pm 5}{2}, ou seja y = 2 \lor y = -3.
3. y = -3 rejeita-se: e^{x} = -3 é impossível, porque a exponencial é sempre positiva.
4. Resta e^{x} = 2. Este valor não é uma potência exata de e: a solução escreve-se x = \ln 2, notação que chega na secção 6. Com a calculadora, x \approx 0{,}693.Rejeitar a raiz negativa não é um pormenor: é a condição y > 0 da mudança de variável, e vale metade da cotação num item de exame.

Escreve 2^{2-x} = \dfrac{4}{2^{x}} e faz y = 2^{x}. Ao multiplicar pela incógnita, lembra-te de que y > 0.

1. 2^{2-x} = \dfrac{2^{2}}{2^{x}} = \dfrac{4}{2^{x}}. Com y = 2^{x} > 0, a inequação fica y + \dfrac{4}{y} \leq 5.
2. Como y > 0, pode multiplicar-se por y sem trocar o sentido: y^{2} + 4 \leq 5y \iff y^{2} - 5y + 4 \leq 0.
3. As raízes são 1 e 4; a parábola tem concavidade voltada para cima, logo 1 \leq y \leq 4.
4. Voltando a x: 2^{0} \leq 2^{x} \leq 2^{2} e, como a base é maior do que 1, 0 \leq x \leq 2.

Escreve \frac{1}{e} como potência de e. A base é maior do que 1.

1. e^{-x} > e^{-1}.
2. Como e > 1, a exponencial é crescente e o sentido mantém-se: -x > -1 \iff x < 1.

Não dividas por e^{x} antes de pensar: põe e^{x} em evidência e usa a lei do anulamento do produto.

1. x\,e^{x} - 3e^{x} = 0 \iff e^{x}(x - 3) = 0.
2. Pela lei do anulamento do produto: e^{x} = 0 \lor x - 3 = 0.
3. e^{x} = 0 é impossível — a exponencial nunca se anula. Resta x = 3.É este passo que aparece em quase todos os itens de exame com produtos de exponenciais: o fator exponencial é sempre positivo, logo nunca contribui com soluções. Convém dizê-lo por escrito.

Em a) começa por escrever 9^{x} em base 3. Em b) escreve \frac{1}{e} como e^{-1}.

1. a) 9^{x} = 3^{2x} = \left(3^{x}\right)^{2}. Com y = 3^{x} > 0: 3y^{2} + 1 = 4y \iff 3y^{2} - 4y + 1 = 0.
2. y = \dfrac{4 \pm \sqrt{16-12}}{6} = \dfrac{4 \pm 2}{6}, ou seja y = 1 \lor y = \dfrac{1}{3}. Ambos positivos.
3. 3^{x} = 1 \iff x = 0 e 3^{x} = \dfrac{1}{3} \iff x = -1.
4. b) e^{x^{2}} = e^{-(2x-1)} = e^{-2x+1} \iff x^{2} = -2x + 1 \iff x^{2} + 2x - 1 = 0.
5. x = \dfrac{-2 \pm \sqrt{4+4}}{2} = \dfrac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} = -1 \pm \sqrt{2}.

Com y = 2^{x}, a equação do 2.º grau em y tem soma k+1 e produto k. Isso identifica logo as raízes.

1. a) Com x = 0: 1 - (k+1) + k = 1 - k - 1 + k = 0. Verifica-se sempre.
2. b) Com y = 2^{x} > 0: y^{2} - (k+1)y + k = 0. Como a soma das raízes é k+1 e o produto é k, as raízes são y = 1 e y = k. Logo y^{2} - (k+1)y + k = (y-1)(y-k).
3. 2^{x} = 1 dá x = 0 — é a solução da alínea anterior. 2^{x} = k só tem solução se k > 0, e nesse caso a solução é única (a exponencial é injetiva).
4. Assim: se k \leq 0, a única solução é x = 0; se k = 1, as duas condições dão a mesma solução x = 0; se k > 0 e k \neq 1, há duas soluções.A equação tem exatamente uma solução para k \leq 0 ou k = 1. Repara em que a condição y > 0 não é uma formalidade: é ela que faz desaparecer metade dos casos.

Dois números de que se conhece a soma e o produto são as raízes de t^{2} - St + P = 0.

1. a) e^{u} e e^{v} são as raízes de t^{2} - 10t + 21 = 0, ou seja t = 3 e t = 7. Logo \{e^{u},\, e^{v}\} = \{3,\, 7\}.
2. b) e^{u+v} = e^{u} \times e^{v} = 21.
3. c) e^{2u} + e^{2v} = \left(e^{u}\right)^{2} + \left(e^{v}\right)^{2} = \left(e^{u} + e^{v}\right)^{2} - 2\,e^{u}e^{v} = 100 - 42 = 58.Em nenhum momento foi preciso saber quanto valem u e v. Tratar e^{u} como um número e usar as regras operatórias resolve o problema todo.

Na alínea c) resolve 3^{t} = 27, depois de dividir por 250.

1. a) N(0) = 250 bactérias.
2. b) N(2) = 250 \times 9 = 2250 bactérias.
3. c) 250 \times 3^{t} = 6750 \iff 3^{t} = 27 \iff t = 3 horas.

Semivida T significa m(t) = m_{0} \left(\frac{1}{2}\right)^{t/T}.

1. a) m(t) = 80 \left(\dfrac{1}{2}\right)^{t/6}.
2. b) 18 = 3 \times 6, logo três semividas: 80 \to 40 \to 20 \to 10. Restam 10 mg.
3. c) 5 = \dfrac{80}{16} = 80 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{4}: são quatro semividas, ou seja 24 anos.

Na alínea c) representa y = 4000 \times 1{,}025^{x} e y = 5000 e procura a interseção.

1. a) C(n) = 4000 \times 1{,}025^{n} euros.
2. b) C(10) = 4000 \times 1{,}025^{10} \approx 5120{,}34 euros.
3. c) A interseção ocorre em x \approx 9{,}04. Como o juro só é creditado ao fim de cada ano completo, o capital ultrapassa 5000 euros ao fim de 10 anos.

Na alínea c) pensa no que acontece a e^{-0{,}04t} quando t \to +\infty.

1. a) T(0) = 18 + 62 = 80^{\circ}\mathrm{C}.
2. b) T(30) = 18 + 62\,e^{-1{,}2} \approx 18 + 18{,}67 \approx 36{,}7^{\circ}\mathrm{C}.
3. c) Quando t \to +\infty, e^{-0{,}04t} \to 0 e T(t) \to 18: aproxima-se da temperatura ambiente, sem nunca a atingir.

Na alínea a) usa \frac{e^{u}}{e^{v}} = e^{u-v}: o t desaparece.

1. a) \dfrac{U(t+1)}{U(t)} = \dfrac{1800\,e^{0{,}15(t+1)}}{1800\,e^{0{,}15t}} = e^{0{,}15} \approx 1{,}16. Não depende de t.
2. b) Em cada dia que passa o número de utilizadores fica multiplicado por 1{,}16: cresce, aproximadamente, 16\% por dia.
3. c) Representando y = 1800\,e^{0{,}15x} e y = 10000, a interseção ocorre em x \approx 11{,}43. Ao fim de 12 dias completos o número de utilizadores já ultrapassou 10\,000.A constante e^{k} é o fator de crescimento por unidade de tempo; e k é, aproximadamente, a taxa de crescimento quando k é pequeno — e^{0{,}15} \approx 1{,}16, ou seja perto de 15\%.

De a^{3} = \frac{1}{9} tira-se a elevando ambos os membros a \frac{1}{3}.

1. a) m_{0} = m(0) = 90. De 90a^{3} = 10 vem a^{3} = \dfrac{1}{9}, logo a = \sqrt[3]{\dfrac{1}{9}} = 9^{-1/3} = 3^{-2/3}.
2. b) m(6) = 90\,a^{6} = 90 \left(a^{3}\right)^{2} = 90 \times \dfrac{1}{81} = \dfrac{10}{9} \approx 1{,}11 gramas.
3. c) a^{t} > 0 para todo o t, logo m(t) = 90a^{t} > 0. A massa aproxima-se de zero mas nunca o atinge — matematicamente, o modelo nunca «acaba».Na prática há um número inteiro de átomos e o processo termina. O modelo contínuo é uma aproximação excelente enquanto esse número for enorme.

A fração que resta é 0{,}88^{5} — não é 5 \times 12\%.

1. \dfrac{y(5)}{y_{0}} = 0{,}88^{5} \approx 0{,}5277.
2. Resta cerca de 53\% da quantidade inicial.A armadilha é somar as perdas: 5 \times 12\% = 60\% daria 40\%, que não é opção nenhuma por acaso. Cada ano perde-se 12\% do que resta, não 12\% do inicial.

Na alínea c) estuda o quociente \frac{A(t)}{B(t)}: é uma exponencial de base maior do que 1?

1. a) A(0) = 500 e B(0) = 1200: a população B é maior.
2. b) Os gráficos intersetam-se em t \approx 17{,}5. Ao fim de aproximadamente 18 dias.
3. c) \dfrac{A(t)}{B(t)} = \dfrac{500}{1200}\,e^{0{,}05t} = \dfrac{5}{12}\,e^{0{,}05t}, que é uma função estritamente crescente de t. Vale 1 uma única vez; antes é menor do que 1, depois é maior. Logo, a partir do instante de igualdade, A(t) > B(t) para sempre.

Na alínea c) repara em que 7e^{-0{,}2t} > 0, logo o denominador é sempre maior do que 1.

1. a) N(0) = \dfrac{120}{1+7} = 15 nenúfares.
2. b) N(7) = \dfrac{120}{1 + 7e^{-1{,}4}} \approx \dfrac{120}{1 + 1{,}726} \approx 44 nenúfares.
3. c) Como e^{-0{,}2t} > 0, tem-se 1 + 7e^{-0{,}2t} > 1 e portanto N(t) = \dfrac{120}{1 + 7e^{-0{,}2t}} < 120. Quando t \to +\infty, e^{-0{,}2t} \to 0 e N(t) \to 120: o número 120 é a capacidade de carga do lago, o valor de que a população se aproxima sem nunca o ultrapassar.Este é o modelo logístico: no início cresce quase como uma exponencial, depois trava. É o modelo com que se descreve o crescimento de uma população num meio limitado — e aparece em dezenas de itens de exame.

Na alínea a) escreve P(t+T) com as regras das potências e simplifica.

1. a) P(t+T) = P_{0}\,a^{t+T} = P_{0}\,a^{t}\,a^{T} = P(t)\,a^{T}. A condição P(t+T) = 2P(t) equivale a a^{T} = 2 — uma condição só sobre T, sem t nenhum.
2. b) \left(2^{1/5}\right)^{T} = 2 \iff 2^{T/5} = 2^{1} \iff T = 5.
3. c) De a^{T} = 2 sai a = 2^{1/T}, logo P(t) = P_{0}\left(2^{1/T}\right)^{t} = P_{0}\,2^{t/T}.Esta é a forma mais legível de um modelo exponencial: em P_{0}2^{t/T} lê-se de imediato o valor inicial e o tempo de duplicação. Para o decaimento, m_{0}\left(\frac{1}{2}\right)^{t/T} mostra a semivida da mesma maneira.

Na alínea c) repara em que 25\% = \frac{1}{4} = \left(\frac{1}{2}\right)^{2}: são exatamente duas semividas.

1. a) Semivida 5730 significa Q(5730) = \dfrac{Q_{0}}{2}, isto é Q_{0}e^{-5730k} = \dfrac{Q_{0}}{2}. Dividindo por Q_{0} \neq 0, vem e^{-5730k} = \dfrac{1}{2}.
2. b) Representando y = e^{-5730x} e y = 0{,}5, a interseção dá k \approx 0{,}0001210.
3. c) \dfrac{Q(t)}{Q_{0}} = \dfrac{1}{4} = \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2}: passaram exatamente duas semividas, ou seja 2 \times 5730 = 11\,460 anos.Repara em que a alínea c) não precisou de k nenhum. Sempre que a fração que resta é uma potência exata de \frac{1}{2}, a resposta lê-se em semividas. Para frações quaisquer — 0{,}894, por exemplo — é preciso o logaritmo da secção 10.

Na alínea c) repara em que a base 1 + \frac{1}{n} se aproxima de 1 à medida que o expoente cresce. Há duas forças em sentidos contrários.

1. a) C_{1} = 2; C_{2} = 1{,}5^{2} = 2{,}25; C_{12} \approx 2{,}6130; C_{365} \approx 2{,}7146.
2. b) Os valores sobem, mas cada vez menos, e aproximam-se de e \approx 2{,}7183. Capitalizar de hora a hora, ou ao segundo, quase não acrescenta nada: o limite é e.
3. c) Há duas forças opostas. O expoente n cresce — o que puxa para cima —, mas a base 1 + \frac{1}{n} aproxima-se de 1 — o que puxa para baixo, já que 1^{n} = 1. O equilíbrio entre as duas dá um valor finito, e esse valor é precisamente e.É esta a origem histórica do número e, encontrada por Jacob Bernoulli em 1683 a estudar juros. A prova de que o limite existe usa ferramentas do capítulo dos limites; aqui fica a evidência numérica.

Para mostrar que não é injetiva basta um par de objetos distintos com a mesma imagem.

1. a) É injetiva: é estritamente crescente (função afim de declive positivo).
2. b) Não é: g(-1) = g(1) = 4.
3. c) É injetiva: se \frac{1}{x_{1}} = \frac{1}{x_{2}}, então x_{1} = x_{2}.
4. d) É injetiva: x \mapsto x^{3} é estritamente crescente em \mathbb{R}, e somar 1 não altera isso.

f(a) = b \iff f^{-1}(b) = a. Nas duas últimas alíneas nem é preciso saber os valores.

1. a) f(1) = 5, logo f^{-1}(5) = 1.
2. b) f(2) = -3, logo f^{-1}(-3) = 2.
3. c) f\left(f^{-1}(4)\right) = 4 — uma função desfaz a outra.
4. d) f^{-1}\left(f(2)\right) = 2, pela mesma razão.

Escreve y = f(x), resolve em ordem a x e troca as letras no fim.

1. a) y = 4x+1 \iff x = \dfrac{y-1}{4}, logo f^{-1}(x) = \dfrac{x-1}{4}, de \mathbb{R} em \mathbb{R}.
2. b) g^{-1}(x) = -x + 2 — a função é a sua própria inversa.
3. c) h^{-1}(x) = 3(x+5) = 3x + 15.
4. d) j^{-1}(x) = \dfrac{2-x}{3}.

A inversa troca os papéis: o domínio de uma é o contradomínio da outra.

1. a) D_{f^{-1}} = D'_{f} = \left]-\infty,\, 5\right] e D'_{f^{-1}} = D_{f} = \left[2,\, +\infty\right[.
2. b) Como (3,\,1) pertence ao gráfico de f, o ponto (1,\,3) pertence ao gráfico de f^{-1}.

Depois de completar o quadrado, o vértice diz onde é que a parábola muda de sentido.

1. a) x^{2}-6x+11 = (x-3)^{2} - 9 + 11 = (x-3)^{2} + 2.
2. b) O vértice é (3,\,2); à direita de 3 a função é estritamente crescente. Logo c = 3.
3. c) Em [3, +\infty[, y = (x-3)^{2}+2 \iff (x-3)^{2} = y-2 \iff x - 3 = \sqrt{y-2}, tomando a raiz positiva porque x \geq 3. Assim f^{-1}(x) = 3 + \sqrt{x-2}, de domínio D'_{f} = [2,\, +\infty[.A escolha do sinal da raiz não é livre: é a restrição do domínio que a impõe. Se se tivesse restringido a ]-\infty,\,3], a inversa seria 3 - \sqrt{x-2}.

Multiplica em cruz e junta os termos com x do mesmo lado.

1. a) y = \dfrac{x+2}{x-2} \iff y(x-2) = x+2 \iff yx - 2y = x + 2 \iff x(y-1) = 2y+2 \iff x = \dfrac{2y+2}{y-1}.
2. Logo f^{-1}(x) = \dfrac{2x+2}{x-1}.
3. b) D_{f^{-1}} = \mathbb{R} \setminus \{1\} e D'_{f^{-1}} = \mathbb{R} \setminus \{2\}.
4. c) As duas expressões são diferentes, mas os gráficos são simétricos em relação à reta y = x; e os valores excluídos trocaram de papel — o 2 que faltava ao domínio de f passou a faltar ao contradomínio de f^{-1}.

f^{-1}(3) é o objeto cuja imagem por f é 3. Resolve f(x) = 3.

1. \sqrt{x-1} = 3 \iff x - 1 = 9 \iff x = 10.
2. Como 10 pertence ao domínio, f^{-1}(3) = 10.

Em c), f^{-1}(k) é o expoente a que é preciso elevar 2 para obter k.

1. a) É estritamente crescente, logo injetiva; e o seu contradomínio é \mathbb{R}^{+}. Logo é invertível de \mathbb{R} em \mathbb{R}^{+}.
2. b) D_{f^{-1}} = \mathbb{R}^{+} e D'_{f^{-1}} = \mathbb{R}.
3. c) 2^{3} = 8, logo f^{-1}(8) = 3. 2^{0} = 1, logo f^{-1}(1) = 0. 2^{-2} = \frac{1}{4}, logo f^{-1}\left(\frac{1}{4}\right) = -2.
4. d) Resolver y = 2^{x} em ordem a x exigiria «desfazer» a exponencial — e não há, entre as operações conhecidas até aqui, nenhuma que o faça. É preciso inventar um símbolo para essa operação: é isso que se faz na secção 6, e esse símbolo chama-se logaritmo.Esta função inversa é, palavra por palavra, a definição de \log_{2}. O capítulo inteiro passa por aqui.

Em c) parte de y_{1} < y_{2} no contradomínio e escreve y_{i} = f(x_{i}).

1. a) (5,\,-2) e (0,\,4).
2. b) Se o gráfico de f passa em (3,\,3), então f(3) = 3 e portanto f^{-1}(3) = 3: os dois gráficos encontram-se sobre a bissetriz.
3. c) Sejam y_{1} < y_{2} no contradomínio de f, e x_{1} = f^{-1}(y_{1}), x_{2} = f^{-1}(y_{2}). Se fosse x_{1} \geq x_{2}, viria f(x_{1}) \geq f(x_{2}), isto é y_{1} \geq y_{2} — contradição. Logo x_{1} < x_{2}, ou seja f^{-1}(y_{1}) < f^{-1}(y_{2}): f^{-1} é estritamente crescente.

Em c) resolve a equação \frac{x+3}{2} = \frac{1}{2x-3}, com a condição de existência devida.

1. a) f^{-1}(x) = \dfrac{x+3}{2}, de domínio \mathbb{R}; \dfrac{1}{f(x)} = \dfrac{1}{2x-3}, de domínio \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{3}{2}\right\}.
2. b) f^{-1}(1) = 2 e \dfrac{1}{f(1)} = \dfrac{1}{-1} = -1. São coisas completamente diferentes.
3. c) \dfrac{x+3}{2} = \dfrac{1}{2x-3} \iff (x+3)(2x-3) = 2 \iff 2x^{2} + 3x - 9 = 2 \iff 2x^{2} + 3x - 11 = 0.
4. x = \dfrac{-3 \pm \sqrt{9 + 88}}{4} = \dfrac{-3 \pm \sqrt{97}}{4}. Nenhuma delas é \frac{3}{2}, logo ambas servem.O símbolo f^{-1} não é uma potência de expoente -1: é um nome para a função inversa. Coincidirem em dois pontos é um acaso aritmético, não uma identidade.

Em a) multiplica em cruz e simplifica; muitos termos cancelam-se aos pares.

1. a) De \dfrac{ax_{1}+b}{cx_{1}+d} = \dfrac{ax_{2}+b}{cx_{2}+d} vem (ax_{1}+b)(cx_{2}+d) = (ax_{2}+b)(cx_{1}+d).
2. Desenvolvendo: acx_{1}x_{2} + adx_{1} + bcx_{2} + bd = acx_{1}x_{2} + adx_{2} + bcx_{1} + bd.
3. Cancelando: adx_{1} + bcx_{2} = adx_{2} + bcx_{1} \iff ad(x_{1}-x_{2}) - bc(x_{1}-x_{2}) = 0 \iff (ad-bc)(x_{1}-x_{2}) = 0.
4. b) Se ad - bc \neq 0, o produto só se anula com x_{1} = x_{2}: f é injetiva.
5. c) Com esses valores, ad - bc = 4 - 4 = 0 e f(x) = \dfrac{2x+4}{x+2} = \dfrac{2(x+2)}{x+2} = 2, para x \neq -2. É uma função constante — e uma constante nunca é injetiva.

Em c) usa a simetria dos gráficos de f e de f^{-1}. Em d) compara os domínios.

1. a) y = \dfrac{1}{x} \iff x = \dfrac{1}{y}, logo f^{-1}(x) = \dfrac{1}{x} = f(x).
2. b) y = k - x \iff x = k - y, logo g^{-1}(x) = k - x = g(x).
3. c) Sendo f^{-1} = f, o gráfico é simétrico do de f^{-1}, isto é, de si próprio, em relação à reta y = x. O gráfico de uma involução é simétrico em relação à bissetriz dos quadrantes ímpares.
4. d) Uma exponencial tem domínio \mathbb{R} e contradomínio \mathbb{R}^{+}. Se fosse involução, a inversa teria domínio \mathbb{R}^{+} e contradomínio \mathbb{R} — e teria de coincidir com f, o que obrigaria \mathbb{R} = \mathbb{R}^{+}. Impossível.É por os domínios trocarem de papel que a inversa de uma exponencial é uma função genuinamente nova, de domínio \mathbb{R}^{+}. Essa função é o logaritmo.

Em cada caso, a pergunta é: «a que expoente é preciso elevar a base para obter este número?»

1. a) 2^{6} = 64, logo \log_{2} 64 = 6.
2. b) 3^{-2} = \dfrac{1}{9}, logo \log_{3} \dfrac{1}{9} = -2.
3. c) 5^{1/2} = \sqrt{5}, logo \log_{5} \sqrt{5} = \dfrac{1}{2}.
4. d) 10^{3} = 1000, logo \log 1000 = 3.

\ln é o logaritmo de base e. Escreve cada número como potência de e.

1. a) e^{1} = e, logo \ln e = 1.
2. b) e^{0} = 1, logo \ln 1 = 0.
3. c) \ln e^{5} = 5.
4. d) \dfrac{1}{\sqrt{e}} = e^{-1/2}, logo o logaritmo é -\dfrac{1}{2}.

a^{y} = x \iff \log_{a} x = y: a base fica base, o expoente passa a ser o valor do logaritmo.

1. a) \log_{4} 64 = 3.
2. b) \log 0{,}01 = -2.
3. c) \ln 1 = 0.
4. d) \log_{7} 20 = x.

Só há logaritmo de números positivos, e a base tem de ser positiva e diferente de 1.

1. a) Não existe: 2^{y} > 0 para todo o y, logo 2^{y} = -8 é impossível.
2. b) Não existe: 3^{y} = 0 é impossível.
3. c) Existe e é negativo, porque 0 < 0{,}5 < 1 e a base e é maior do que 1.
4. d) Não existe: a base 1 está excluída, porque 1^{y} = 1 nunca dá 5.

Passa para a forma exponencial. Na alínea c) a incógnita é a base — não te esqueças de que tem de ser positiva e diferente de 1.

1. a) x = 2^{5} = 32.
2. b) x = e^{-2} = \dfrac{1}{e^{2}}.
3. c) x^{4} = 81 com x > 0 e x \neq 1, logo x = 3.
4. d) 2x - 1 = 5^{2} = 25 \iff x = 13. Confere a condição de existência: 2 \times 13 - 1 = 25 > 0.

a^{\log_{a} x} = x para x > 0; \log_{a}\left(a^{y}\right) = y para todo o y. Em d), começa por escrever 2\log 3 = \log 3 + \log 3.

1. a) 2^{\log_{2} 7} = 7.
2. b) \log_{3}\left(3^{x^{2}}\right) = x^{2}, para todo o x real.
3. c) e^{\ln 5} = 5.
4. d) 10^{2\log 3} = \left(10^{\log 3}\right)^{2} = 3^{2} = 9.A ordem importa: \log_{a}(a^{y}) = y vale sempre; a^{\log_{a} x} = x só vale para x > 0, porque só aí é que \log_{a} x existe.

Primeiro escreve x na forma exponencial; só depois multiplica por 5.

1. \log_{5} x = \pi - 1 \iff x = 5^{\pi-1}.
2. 5x = 5 \times 5^{\pi-1} = 5^{1 + \pi - 1} = 5^{\pi}.

Encaixa o número entre duas potências consecutivas da base e usa a monotonia.

1. a) 2^{6} = 64 < 100 < 128 = 2^{7}, logo 6 < \log_{2} 100 < 7.
2. b) 10^{2} = 100 < 500 < 1000 = 10^{3}, logo 2 < \log 500 < 3.
3. c) e^{2} \approx 7{,}39 < 10 < 20{,}1 \approx e^{3}, logo 2 < \ln 10 < 3.
4. d) 3^{-2} = \frac{1}{9} \approx 0{,}11 < 0{,}2 < 0{,}33 \approx 3^{-1}, logo -2 < \log_{3} 0{,}2 < -1.Este enquadramento é a maneira mais rápida de detetar um erro de calculadora. Um logaritmo decimal diz, grosso modo, quantos algarismos tem o número.

Em cada caso é preciso que o logaritmando seja estritamente positivo.

1. a) x - 3 > 0 \iff x > 3. Domínio: \left]3,\, +\infty\right[.
2. b) 5 - 2x > 0 \iff x < \dfrac{5}{2}. Domínio: \left]-\infty,\, \dfrac{5}{2}\right[.
3. c) x^{2} > 0 \iff x \neq 0. Domínio: \mathbb{R} \setminus \{0\}.
4. d) 1 - x^{2} > 0 \iff -1 < x < 1. Domínio: \left]-1,\, 1\right[.A alínea c) é a que apanha mais gente: \log(x^{2}) existe para x negativo, ao contrário de 2\log x. As duas expressões não são iguais — voltamos a este ponto na secção 8.

Passa à forma exponencial e resolve em ordem a a, sem esquecer a > 0.

1. a) a^{4} = 16 com a > 0, logo a = 2 (a raiz -2 não serve).
2. b) a^{-3} = \dfrac{1}{8} \iff a^{3} = 8 \iff a = 2.
3. c) a^{1/3} = 2 \iff a = 2^{3} = 8.
4. d) A igualdade é verdadeira para qualquer base admissível: a \in \mathbb{R}^{+} \setminus \{1\}. É uma identidade, não uma equação.

Duas condições: o argumento do logaritmo exterior tem de ser positivo, e o do interior também.

1. a) Condições: x > 0 e \log_{3} x > 0 \iff x > 1. Logo x > 1.
2. \log_{2}\left(\log_{3} x\right) = 1 \iff \log_{3} x = 2^{1} = 2 \iff x = 3^{2} = 9. Como 9 > 1, serve.
3. b) Condições: x > 0 e \log x > 0 \iff x > 1.
4. \ln(\log x) = 0 \iff \log x = e^{0} = 1 \iff x = 10^{1} = 10. Como 10 > 1, serve.

Em c), 2^{1000} = 10^{301} \times 10^{0{,}03}. O que é 10^{0{,}03}?

1. a) n \leq \log N < n+1 equivale a 10^{n} \leq N < 10^{n+1}, pela monotonia da exponencial de base 10. Os inteiros nesse intervalo são exatamente os que têm n+1 algarismos.
2. b) \log\left(2^{1000}\right) = 1000 \times 0{,}30103 = 301{,}03. Como 301 \leq 301{,}03 < 302, o número tem 302 algarismos.
3. c) 2^{1000} = 10^{301{,}03} = 10^{301} \times 10^{0{,}03}. Ora 10^{0{,}03} \approx 1{,}072, logo 2^{1000} \approx 1{,}072 \times 10^{301}: começa por 1.É exatamente para isto que os logaritmos foram inventados, no século XVII: substituir contas gigantescas por somas pequenas. Antes das máquinas de calcular, uma tábua de logaritmos era o instrumento de trabalho dos astrónomos e dos navegadores.

O logaritmando tem de ser estritamente positivo.

1. a) x + 4 > 0 \iff x > -4: D_{f} = \left]-4,\, +\infty\right[.
2. b) 3 - x > 0 \iff x < 3: D_{g} = \left]-\infty,\, 3\right[.
3. c) 2x - 6 > 0 \iff x > 3: D_{h} = \left]3,\, +\infty\right[.
4. d) x^{2} + 1 > 0 para todo o x: D_{j} = \mathbb{R}.

O zero de um logaritmo é sempre x = 1. Depois usa a monotonia.

1. a) \log_{3} x = 0 \iff x = 3^{0} = 1.
2. b) A base é 3 > 1, logo f é crescente: positiva em \left]1,\, +\infty\right[ e negativa em \left]0,\, 1\right[.
3. c) \lim_{x \to 0^{+}} \log_{3} x = -\infty e \lim_{x \to +\infty} \log_{3} x = +\infty.

Só interessa comparar a base com 1 — tal como na exponencial.

1. a) 5 > 1: crescente.
2. b) 0{,}3 < 1: decrescente.
3. c) e \approx 2{,}72 > 1: crescente.
4. d) \frac{1}{4} < 1: decrescente.

Nas duas primeiras calcula f; nas duas últimas resolve f(x) = k.

1. a) 4^{2} = 16, logo o ponto é (16,\, 2).
2. b) 4^{-1/2} = \dfrac{1}{2}, logo o ponto é \left(\dfrac{1}{2},\, -\dfrac{1}{2}\right).
3. c) x = 4^{3} = 64: ponto (64,\, 3).
4. d) x = 4^{-1} = \dfrac{1}{4}: ponto \left(\dfrac{1}{4},\, -1\right).

Resolve y = f(x) em ordem a x: numa passa-se a logaritmo, na outra a exponencial.

1. a) y = 2^{x} - 3 \iff 2^{x} = y + 3 \iff x = \log_{2}(y+3).
2. Logo f^{-1} : \left]-3,\, +\infty\right[ \to \mathbb{R}, f^{-1}(x) = \log_{2}(x+3).
3. b) y = 1 + \ln(x-2) \iff \ln(x-2) = y - 1 \iff x - 2 = e^{y-1} \iff x = 2 + e^{y-1}.
4. Logo g^{-1} : \mathbb{R} \to \left]2,\, +\infty\right[, g^{-1}(x) = 2 + e^{x-1}.Repara em que os domínios trocam exatamente de papel — é a marca de água de um par de funções inversas.

O que está dentro do logaritmo mexe na horizontal — e é ele que muda o domínio e a assíntota.

1. a) D_{g} = \left]2,\, +\infty\right[; D_{h} = \mathbb{R}^{+}; D_{j} = \mathbb{R}^{-}.
2. b) x = 2 para g; x = 0 para h; x = 0 para j.
3. c) g: translação de vetor (2,\,0). h: translação de vetor (0,\,3). j: reflexão em relação ao eixo Oy.

\log_{9} x = \frac{1}{2} \iff x = 9^{1/2}.

1. \log_{9} x = \dfrac{1}{2} \iff x = 9^{1/2} = \sqrt{9} = 3.

Base maior do que 1: preserva a ordem. Base entre 0 e 1: inverte-a.

1. a) Base 2 > 1 e 5 < 7: \log_{2} 5 < \log_{2} 7.
2. b) Base 0{,}5 < 1: a ordem inverte-se, \log_{0{,}5} 5 > \log_{0{,}5} 7.
3. c) 0{,}9 < 1 e a base e é maior do que 1: \ln 0{,}9 < 0.
4. d) Ambos valem 1: \log_{3} 3 = \log_{7} 7.

Começa por determinar B: é o zero de g. O triângulo é retângulo em O.

1. Zero de g: \ln(x+2) = 0 \iff x + 2 = e^{0} = 1 \iff x = -1. Logo B(-1,\,0).
2. O triângulo é retângulo em O, com catetos \overline{OA} = 5 e \overline{OB} = |-1| = 1.
3. Área = \dfrac{5 \times 1}{2} = \dfrac{5}{2}.A abcissa de B é negativa, mas o comprimento do cateto é o seu módulo. Trocar as duas coisas é um erro clássico.

Repara em que x^{2}-4 é uma função par: f(-x) = f(x).

1. a) x^{2} - 4 > 0 \iff x < -2 \lor x > 2: D_{f} = \left]-\infty,\, -2\right[ \cup \left]2,\, +\infty\right[.
2. b) \ln(x^{2}-4) = 0 \iff x^{2} - 4 = 1 \iff x^{2} = 5 \iff x = \pm\sqrt{5}. Ambos pertencem ao domínio (\sqrt{5} \approx 2{,}24 > 2).
3. c) f(-x) = \ln\left((-x)^{2}-4\right) = \ln\left(x^{2}-4\right) = f(x): dois objetos simétricos têm a mesma imagem. Por exemplo, f(3) = f(-3) = \ln 5.
4. d) Em \left]2,\, +\infty\right[ a função x \mapsto x^{2}-4 é estritamente crescente e o logaritmo também, logo f é estritamente crescente — e portanto injetiva.Vale a pena reter: \ln(x^{2}) e 2\ln x não são a mesma função. A primeira está definida para x negativo; a segunda não. Voltamos a este ponto na secção 8.

Mostra que f(-a) = -f(a). Uma reta que une dois pontos simétricos em relação à origem passa pela origem.

1. f(-a) = \ln\left(\dfrac{-a-1}{-a+1}\right) = \ln\left(\dfrac{-(a+1)}{-(a-1)}\right) = \ln\left(\dfrac{a+1}{a-1}\right).
2. Ora \dfrac{a+1}{a-1} é o inverso de \dfrac{a-1}{a+1}, e \ln\left(\dfrac{1}{u}\right) = -\ln u.
3. Logo f(-a) = -\ln\left(\dfrac{a-1}{a+1}\right) = -f(a).
4. Os pontos A(a,\, f(a)) e B(-a,\, -f(a)) são simétricos em relação à origem: o ponto médio de [AB] é \left(\dfrac{a-a}{2},\, \dfrac{f(a)-f(a)}{2}\right) = (0,\,0). A reta AB passa, portanto, na origem. \squareEste é o item do Exame de 2016, 1.ª Fase. A ideia toda está na primeira linha: reconhecer que f é uma função ímpar.

Traduz cada condição numa igualdade com f: a segunda diz que f(-2) = 1.

1. Da primeira: f(0) = 2, ou seja \log_{a} b = 2, isto é b = a^{2}.
2. Da segunda: (1,\,-2) no gráfico de f^{-1} significa f(-2) = 1, ou seja \log_{a}(-2+b) = 1, isto é b - 2 = a.
3. Substituindo: a^{2} - 2 = a \iff a^{2} - a - 2 = 0 \iff a = 2 \lor a = -1.
4. Como a > 1, vem a = 2 e b = a^{2} = 4.
5. Confirmação: f(x) = \log_{2}(x+4) dá f(0) = \log_{2} 4 = 2 ✓ e f(-2) = \log_{2} 2 = 1 ✓.

Soma vira produto, diferença vira quociente, coeficiente vira expoente.

1. a) \log_{2}(5 \times 3) = \log_{2} 15.
2. b) \ln\dfrac{12}{4} = \ln 3.
3. c) \log\left(x^{3}\right).
4. d) \log_{3} x + \log_{3}\left(y^{2}\right) = \log_{3}\left(xy^{2}\right).

A raiz é uma potência de expoente \frac{1}{2}. E não te esqueças de calcular os logaritmos que dão inteiros.

1. a) \log_{2} 8 + \log_{2} x = 3 + \log_{2} x.
2. b) \ln x - 3\ln y.
3. c) 2\log x + \dfrac{1}{2}\log y.
4. d) \log_{5} 25 - \log_{5} x = 2 - \log_{5} x.

Junta primeiro num só logaritmo; muitas vezes o resultado fica bonito.

1. a) \log_{2}(8 \times 4) = \log_{2} 32 = 5.
2. b) \log(50 \times 2) = \log 100 = 2.
3. c) 3 - 1 = 2.
4. d) \log_{3}\dfrac{18}{2} = \log_{3} 9 = 2.

\log_{a} x = \dfrac{\ln x}{\ln a}.

1. a) \dfrac{\ln 7}{\ln 2} \approx 2{,}807.
2. b) \dfrac{\ln 20}{\ln 5} \approx 1{,}861.
3. c) \dfrac{\ln 0{,}5}{\ln 3} \approx -0{,}631.
4. d) \dfrac{\ln 7}{\ln 7} = 1, exatamente.

Escreve cada número à custa de 5 e de potências de 2: 10 = 2 \times 5, 0{,}4 = \frac{2}{5}.

1. a) \log_{2}(2 \times 5) = 1 + k.
2. b) \log_{2}\dfrac{2}{5} = 1 - k.
3. c) \log_{2}\left(5^{2}\right) = 2k.
4. d) \log_{2}\left(5^{1/2}\right) = \dfrac{k}{2}.

Reduz tudo a múltiplos de \log x, tratando os logaritmos de números como constantes.