∞Astrolábio · Introdução à inferência estatística
Matemática A · 12.º ano

Introdução à inferência estatística

Perguntar a mil pessoas e dizer alguma coisa sobre dez milhões. O que é uma amostra aleatória, o que é um estimador, porque é que a média amostral se comporta sempre da mesma maneira — o Teorema Limite Central — e como daí sai um intervalo de confiança. Um dos três temas opcionais das Aprendizagens Essenciais. Teoria, laboratórios interativos e exercícios com resolução passo a passo.

\bar{x} \pm 1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} O aleatório está nos extremos, não no valor médio.
0exercícios
3laboratórios interativos
8secções
0%concluído
01

Da amostra à população

Toda a estatística que vem antes deste capítulo descreve dados. A partir daqui faz-se outra coisa: a partir de uma parte, afirma-se alguma coisa sobre o todo — e assume-se que se pode estar enganado. O que isto pressupõe está dado noutro sítio: a estatística descritiva — população e amostra, média, desvio padrão amostral — no capítulo Estatística, e o modelo Normal em Probabilidades §14.

Aprendizagens Essenciais
  • Distinguir raciocínio indutivo ou inferencial de raciocínio dedutivo.
  • Distinguir parâmetro de estatística, e estimador de estimativa.
  • Compreender o conceito de amostra aleatória.

1 · Um raciocínio de outro tipo

Até aqui, a matemática deste livro foi sempre dedutiva: das hipóteses tira-se a conclusão, e a conclusão é certa. A inferência estatística é indutiva: do particular tira-se o geral, e a conclusão vem sempre com uma medida de incerteza colada.

A diferença, numa frase

Numa demonstração, a conclusão é verdadeira. Numa inferência, a conclusão é provável — e a estatística serve, precisamente, para dizer quão provável.

2 · Parâmetro e estatística

Definições

Parâmetro: um valor da população — fixo e, em geral, desconhecido. Estatística: um valor calculado a partir da amostra — conhecido, mas diferente de amostra para amostra.

População (parâmetro)Amostra (estatística)
Valor médio{\mu}\bar{x}
Desvio-padrão{\sigma}s
Proporçãop\hat{p}

A notação faz metade do trabalho: letra grega ou p sem chapéu, é da população; barra ou chapéu, veio de uma amostra.

3 · Estimador e estimativa

Definições

Estimador: a regra usada para estimar um parâmetro — por exemplo, \bar{X}. É uma variável aleatória, porque depende da amostra que calhar. Estimativa: o número que essa regra devolveu numa amostra concreta — por exemplo, \bar{x} = 68{,}5.

A distinção parece formal e não é. O estimador, sendo variável aleatória, tem uma distribuição — e é essa distribuição que permite dizer alguma coisa sobre o erro que se está a cometer. É o assunto da secção 2.

Um bom estimador

Diz-se centrado quando o seu valor médio é o próprio parâmetro. A média amostral é centrada: E\left[\bar{X}\right] = {\mu}. Em média, acerta — o que não impede que numa amostra concreta erre.

4 · Amostra aleatória

Definição · amostra aleatória

Uma amostra diz-se aleatória quando todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de nela figurar, e a escolha de um não influencia a dos outros.

A hipótese que sustenta o capítulo inteiro

Tudo o que vem a seguir — a distribuição de amostragem, o Teorema Limite Central, os intervalos de confiança — assenta em a amostra ser aleatória. Se não for, nenhuma fórmula corrige o problema: uma amostra enviesada de dez mil pessoas é pior do que uma amostra aleatória de mil.

Exemplo 1 Separar o que se sabe do que se quer saber

Uma fábrica quer conhecer o peso médio dos pacotes que produz. Pesa 60 pacotes escolhidos ao acaso e obtém média 498{,}2 g e desvio-padrão 7{,}1 g.

Identifica a população, a amostra, o parâmetro, o estimador e a estimativa.

  1. População: todos os pacotes produzidos pela fábrica.
  2. Amostra: os 60 pacotes pesados.
  3. Parâmetro: {\mu}, o peso médio de todos os pacotes — desconhecido.
  4. Estimador: a média amostral \bar{X}.
  5. Estimativa: \bar{x} = 498{,}2 g.O 7{,}1 é também uma estatística — s, a estimativa de {\sigma}. Vai fazer falta na secção 3, quando o {\sigma} da fórmula tiver de ser substituído por alguma coisa conhecida.
RespostaParâmetro {\mu}; estimador \bar{X}; estimativa 498{,}2 g
Exemplo 2 Onde é que a amostragem falha

Para estimar o tempo médio que os alunos demoram a chegar à escola, um professor pergunta aos alunos da sua turma da primeira aula da manhã.

Explica por que razão a amostra não é aleatória e em que sentido a estimativa é previsivelmente enviesada.

  1. Não é aleatória. Os alunos das outras turmas têm probabilidade nula de entrar na amostra — e a condição exige que todos tenham a mesma.
  2. O enviesamento. Quem se inscreve numa turma com aula à primeira hora tende a morar mais perto, ou a ter transporte mais fiável. Quem mora longe evita essas turmas.
  3. A estimativa será, previsivelmente, inferior ao verdadeiro tempo médio.
  4. A correção não é inquirir mais alunos da mesma turma: é sortear alunos de toda a escola.Identificar a direção do enviesamento — para cima ou para baixo — é o que distingue uma crítica útil de uma objeção vaga.
RespostaNem todos podem ser escolhidos; a estimativa fica abaixo do valor real
Python A mesma população, cinco amostras 
import random
import statistics

random.seed(7)
populacao = [random.normalvariate(70, 12) for _ in range(100000)]
print('mu verdadeiro :', round(statistics.mean(populacao), 3))
print()

for k in range(5):
    amostra = random.sample(populacao, 30)
    print('amostra %d -> media = %7.3f   desvio = %6.3f'
          % (k + 1, statistics.mean(amostra), statistics.stdev(amostra)))

Cinco médias diferentes, todas à volta de 70 — e nenhuma exatamente 70. Sobe a dimensão de 30 para 300 e repara em como as cinco se aproximam umas das outras.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Metade deles não tem contas nenhumas — são sobre o que se pode e não se pode afirmar, que é onde a inferência se decide.

Exercício 1§1 · parâmetro e estatística

Classifica cada valor como parâmetro ou estatística.

a) A altura média dos 10\,600\,000 habitantes de Portugal. b) A altura média de 500 pessoas escolhidas ao acaso. c) A percentagem de peças defeituosas numa amostra de 200.

Exercício 2§1 · notação

Indica o que representa cada símbolo: {\mu}, \bar{x}, {\sigma}, s, p e \hat{p}.

Exercício 3§1 · estimador e estimativa

Numa amostra de 40 lâmpadas, o tempo médio de vida foi 1180 horas.

a) Indica o estimador utilizado.b) Indica a estimativa obtida.

Exercício 4§1 · amostras aleatórias

Indica, justificando, qual dos processos seguintes dá uma amostra aleatória dos 1200 alunos de uma escola.

a) Perguntar aos primeiros 50 que chegarem à escola. b) Numerar os alunos de 1 a 1200 e sortear 50 números.

Exercício 5§1 · estimador e estimativa

Três amostras de dimensão 30, retiradas da mesma população, deram médias 52{,}1, 49{,}8 e 51{,}4.

Explica por que razão isto não significa que houve erro em alguma delas.

Exercício 6§1 · parâmetro e estatística

Numa sondagem a 1000 eleitores, 430 declararam intenção de votar num partido.

a) Determina \hat{p}.b) Indica o parâmetro que se pretende estimar.

Exercício 7§1 · amostras aleatórias

Para estimar o número médio de livros lidos por ano, uma revista publica um questionário e recolhe as respostas de quem quiser participar.

Explica por que razão a estimativa obtida será, previsivelmente, demasiado alta.

Exercício 8§1 · estimador e estimativa

Para estimar o valor médio de uma população, alguém propõe usar, em vez da média, o maior valor da amostra.

Explica por que razão este estimador não é adequado.

Exercício 9§1 · notação

Numa população, sabe-se que {\mu} = 70 e {\sigma} = 12. Recolhe-se uma amostra de dimensão 36 e obtém-se \bar{x} = 68{,}5 e s = 11{,}2.

Indica quais destes quatro números são conhecidos ao investigador numa situação real.

Exercício 10§1 · estimador e estimativa

Uma população tem só três elementos, com os valores 2, 4 e 9. Recolhe-se uma amostra aleatória de dimensão 2, com reposição: sorteia-se um elemento, regista-se o valor, devolve-se, e sorteia-se outra vez.

a) Determina o valor médio {\mu} da população.b) Lista todas as amostras possíveis e a média \bar{x} de cada uma.c) Verifica que o valor médio de \bar{X} é {\mu}.

Exercício 11§1 · amostras aleatórias

Uma empresa tem 4000 trabalhadores: 3000 na produção e 1000 nos escritórios. Pretende-se uma amostra de 200.

Explica por que razão sortear 100 de cada grupo não dá uma amostra em que todos têm a mesma probabilidade de ser escolhidos.

Exercício 12§1 · parâmetro e estatística

Um jornal escreve: «A sondagem revela que 38\% dos portugueses são a favor da medida.»

Reescreve a frase de modo estatisticamente correto, admitindo que a sondagem inquiriu 1000 pessoas.

A pergunta é sempre a mesma: o número foi calculado a partir de toda a população, ou só da amostra?

  1. a) Parâmetro — vem da população inteira.
  2. b) Estatística — vem de uma amostra.
  3. c) Estatística — também vem de uma amostra.Um parâmetro é um número fixo e, em geral, desconhecido. Uma estatística é conhecida — mas muda de amostra para amostra.
Respostaparâmetro · estatística · estatística

As letras gregas e o p são da população; as latinas com barra ou chapéu são da amostra.

  1. Da população: {\mu} valor médio, {\sigma} desvio-padrão, p proporção. São parâmetros.
  2. Da amostra: \bar{x} média, s desvio-padrão, \hat{p} proporção. São estatísticas.A notação faz metade do trabalho: assim que se vê um chapéu ou uma barra, sabe-se que aquilo veio de uma amostra e que muda se a amostra mudar.
Resposta{\mu}, {\sigma}, p são parâmetros; \bar{x}, s, \hat{p} são estatísticas

O estimador é a regra; a estimativa é o número que ela devolveu nesta amostra.

  1. a) O estimador é a média amostral \bar{X}.
  2. b) A estimativa é 1180 horas.A distinção não é preciosismo: o estimador é uma variável aleatória, com distribuição própria — e é essa distribuição que a secção 2 estuda. A estimativa é só um valor que ela tomou desta vez.
RespostaEstimador \bar{X}; estimativa 1180 h

Numa amostra aleatória, todos os elementos têm de ter a mesma probabilidade de ser escolhidos.

  1. a) Não. Quem chega cedo não é um grupo aleatório — mora perto, vem de transporte próprio, tem hábitos diferentes.
  2. b) Sim. Cada aluno tem probabilidade \frac{50}{1200} de ser escolhido, e a escolha não depende de nenhuma característica sua.
RespostaSó o processo b)

O que é que muda de amostra para amostra: o parâmetro, ou a estatística?

  1. O valor médio {\mu} da população é um só e não muda.
  2. A média amostral \bar{X} é uma variável aleatória: depende de quais elementos calharam na amostra, e por isso muda de amostra para amostra.
  3. As três estimativas diferentes são o comportamento esperado, e não um erro. Chama-se variabilidade amostral.É esta variabilidade que torna uma estimativa pontual insuficiente — e que obriga, na secção 3, a dar um intervalo em vez de um número.
RespostaÉ variabilidade amostral: {\mu} é fixo, \bar{X} é que varia

A proporção amostral é a contagem a dividir pela dimensão.

  1. a) \hat{p} = \dfrac{430}{1000} = 0{,}43.
  2. b) O parâmetro é p, a proporção de toda a população de eleitores com essa intenção de voto — que é desconhecida.Dizer «43\% vai votar naquele partido» é confundir \hat{p} com p. O que se sabe é \hat{p}; o que se quer é p, e entre os dois há uma margem de erro.
Resposta\hat{p} = 0{,}43; o parâmetro é p

Quem é que responde voluntariamente a um questionário de uma revista sobre leitura?

  1. A amostra é de resposta voluntária: só entra quem decide participar.
  2. Quem lê a revista e se dá ao trabalho de responder a um questionário sobre leitura lê, previsivelmente, mais do que a média da população.
  3. A estimativa fica enviesada por excesso, e aumentar a amostra não corrige nada — só torna o valor errado mais preciso.É o erro mais caro da estatística aplicada: um enviesamento não se cura com mais dados. A única correção é mudar o processo de amostragem.
RespostaAmostra de resposta voluntária: enviesada por excesso

Um bom estimador deve acertar em média. Onde é que o maior valor da amostra cai, em relação a {\mu}?

  1. O maior valor de uma amostra é, quase sempre, maior do que o valor médio da população.
  2. Repetindo o processo muitas vezes, as estimativas ficariam sistematicamente acima de {\mu}: o estimador é enviesado.
  3. Pior: aumentar a dimensão da amostra agrava o problema, porque o máximo tende a crescer.A média amostral não tem este defeito: em média acerta em {\mu}, e a variabilidade diminui com n. É por isso que é a escolha.
RespostaÉ enviesado por excesso, e piora com n

Numa situação real, o que é que se conhece: os parâmetros ou as estatísticas?

  1. Conhecidos: \bar{x} = 68{,}5 e s = 11{,}2 — calculam-se a partir dos dados recolhidos.
  2. Desconhecidos: {\mu} e {\sigma} — são exatamente o que se quer estimar. Se fossem conhecidos, não haveria problema nenhum.Nos exercícios dá-se {\mu} para se poder verificar se o método funciona. Na vida real, ninguém o conhece — e é isso que torna o intervalo de confiança necessário.
RespostaSó \bar{x} e s

Com reposição, cada uma das duas extrações tem 3 resultados possíveis: há 3 \times 3 = 9 amostras, todas com a mesma probabilidade. Junta as que dão a mesma média e calcula o valor médio de \bar{X} como o de qualquer variável aleatória.

  1. a) {\mu} = \dfrac{2+4+9}{3} = 5.
  2. b) As nove amostras, pela ordem das duas extrações, e as suas médias: (2,2) \to 2; (2,4) \to 3; (2,9) \to 5{,}5; (4,2) \to 3; (4,4) \to 4; (4,9) \to 6{,}5; (9,2) \to 5{,}5; (9,4) \to 6{,}5; (9,9) \to 9. Cada uma tem probabilidade \dfrac{1}{9}.
  3. c) \bar{X} toma os valores 2, 3, 4, 5{,}5, 6{,}5 e 9, com probabilidades \dfrac{1}{9}, \dfrac{2}{9}, \dfrac{1}{9}, \dfrac{2}{9}, \dfrac{2}{9} e \dfrac{1}{9}. O seu valor médio é 2 \times \frac{1}{9} + 3 \times \frac{2}{9} + 4 \times \frac{1}{9} + 5{,}5 \times \frac{2}{9} + 6{,}5 \times \frac{2}{9} + 9 \times \frac{1}{9} = \frac{45}{9} = 5 = {\mu}.
  4. Diz-se que \bar{X} é um estimador centrado de {\mu}: em média, acerta.Nenhuma das nove amostras dá exatamente \bar{x} = 5, e mesmo assim, em média, acertam. Acertar em média não é acertar sempre. Falta saber quanto se desvia — e essa é a pergunta da secção 2.
Resposta{\mu} = 5 e o valor médio de \bar{X} é \dfrac{45}{9} = 5: o estimador é centrado

Calcula a probabilidade de um trabalhador da produção ser escolhido, e a de um dos escritórios.

  1. Na produção: \dfrac{100}{3000} = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033.
  2. Nos escritórios: \dfrac{100}{1000} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1.
  3. Um trabalhador dos escritórios tem três vezes mais probabilidade de entrar. Os escritórios ficam sobre-representados.
  4. Para respeitar as proporções, seriam 150 da produção e 50 dos escritórios.Isto não quer dizer que a amostragem por grupos seja má — é até muito usada. Mas exige que os resultados sejam depois ponderados, e não simplesmente misturados.
Resposta0{,}033 contra 0{,}1: os escritórios ficam sobre-representados

O que a sondagem observou foi \hat{p}. O que a frase afirma é sobre p.

  1. O que se observou: \hat{p} = 0{,}38 numa amostra de 1000.
  2. O que a frase afirma: que p = 0{,}38 na população inteira — o que a sondagem não permite garantir.
  3. Uma redação correta: «Numa amostra de 1000 portugueses, 38\% declararam-se a favor da medida. Estima-se assim que a percentagem na população esteja próxima de 38\%, com uma margem de erro a indicar.»A margem de erro não é um pormenor técnico para o rodapé: sem ela, a frase afirma sobre dez milhões de pessoas o que se observou em mil.
RespostaDistinguir \hat{p} = 0{,}38, observado, de p, estimado com margem de erro
02

Distribuição de amostragem e o Teorema Limite Central

Se cada amostra dá uma média diferente, então a média amostral é ela própria uma variável aleatória — e tem distribuição. Descobrir qual é resolve o problema todo: é o resultado mais surpreendente da estatística, e um dos mais úteis de toda a matemática.

Aprendizagens Essenciais
  • Compreender que, para averiguar da eficácia de um estimador, é necessário conhecer a sua distribuição de amostragem.
  • Compreender que a distribuição de amostragem depende da dimensão das amostras e apresentará tanto menor variabilidade quanto maior for a dimensão.
  • Compreender a utilização do Teorema Limite Central na obtenção da distribuição de amostragem da média.

1 · A distribuição de amostragem

Fixe-se uma dimensão n e imagine-se que se recolhem todas as amostras possíveis dessa dimensão, calculando a média de cada uma. Os valores obtidos têm eles próprios uma distribuição.

Definição · distribuição de amostragem

Chama-se distribuição de amostragem de uma estatística à distribuição dos valores que ela toma quando se consideram todas as amostras possíveis de uma dada dimensão.

Na prática, ninguém recolhe todas as amostras — recolhe-se uma. Mas conhecer esta distribuição é o que permite dizer quão longe de {\mu} a estimativa poderá estar. Sem ela, uma estimativa é um número sem garantia nenhuma.

Valor médio e desvio-padrão de \bar{X}

Para amostras aleatórias de dimensão n, de uma população com valor médio {\mu} e desvio-padrão {\sigma}:

E\left[\bar{X}\right] = {\mu}, \qquad {\sigma}_{\bar{X}} = \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

A média amostral acerta em média — e varia tanto menos quanto maior for n.

A raiz quadrada, que é a má notícia

É \sqrt{n} e não n. Para reduzir a variabilidade a metade é preciso quadruplicar a amostra; para a reduzir a um décimo, multiplicá-la por cem. É esta fórmula que explica por que razão quase todas as sondagens param à volta dos mil inquiridos.

2 · O Teorema Limite Central

Falta o essencial: que forma tem a distribuição de \bar{X}? A resposta é notável, porque quase não depende da população de partida.

Teorema Limite Central (TLC)

Seja X uma população com valor médio {\mu} e desvio-padrão {\sigma} finitos, e \bar{X} a média de uma amostra aleatória de dimensão n. Então, para n suficientemente grande,

\bar{X} \ \text{é aproximadamente Normal, com valor médio } {\mu} \text{ e desvio-padrão } \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},

qualquer que seja a distribuição da população.

Onde é que quase toda a gente se engana

O TLC não diz que a população se torna Normal. A população fica como está — assimétrica, discreta, com duas corcovas, o que for. O que se aproxima da Normal é a distribuição das médias das amostras. São duas distribuições diferentes, e é preciso não as trocar.

Laboratório · O Teorema Limite Central

interativo

Escolhe exponencial — nada mais assimétrico — e deixa o n em 1: o histograma de baixo copia a forma de cima. Agora sobe o n devagar. Por volta de n = 10 a assimetria já quase desapareceu; em n = 30 a curva Normal assenta em cima. Repete com 0 ou 1, que nem sequer é contínua, e vê acontecer o mesmo. E compara sempre o desvio-padrão previsto com o observado.

Um pouco de história

A primeira versão do teorema é de Abraham de Moivre (1667-1754), em 1733: mostrou que o número de caras em muitos lançamentos de uma moeda se aproxima de uma curva em sino. Pierre-Simon Laplace (1749-1827) generalizou-o em 1810, e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tornou a curva indissociável do seu nome. A demonstração no grau de generalidade em que hoje se usa só chegou no início do século XX, com a escola russa de Andrei Markov (1856-1922) e Aleksandr Lyapunov. Dois séculos entre a intuição e a prova.

Exemplo 3 Aplicar o TLC

O peso dos sacos de cimento produzidos por uma fábrica tem {\mu} = 25 kg e {\sigma} = 0{,}6 kg, com distribuição desconhecida. Recolhe-se uma amostra de 36 sacos.

Determina a probabilidade aproximada de a média da amostra ser inferior a 24{,}8 kg.

  1. A distribuição de \bar{X}, pelo TLC — que não precisa de saber a forma da população: {\sigma}_{\bar{X}} = \frac{0{,}6}{\sqrt{36}} = \frac{0{,}6}{6} = 0{,}1.
  2. A quantos desvios-padrão está o 24{,}8: \frac{24{,}8 - 25}{0{,}1} = -2.
  3. Pela regra empírica, abaixo de -2 desvios-padrão fica \frac{1-0{,}954}{2} = 0{,}023.
  4. Cerca de 2{,}3\%.Não foi preciso saber nada sobre a forma da distribuição dos sacos. É isso que faz do TLC o teorema mais usado da estatística aplicada: dispensa a informação que quase nunca se tem.
Resposta\approx 0{,}023
Exemplo 4 Escolher a dimensão da amostra

Numa população com {\sigma} = 18, pretende-se que \bar{X} se afaste de {\mu} menos de 2 unidades, com probabilidade 0{,}95.

Determina a menor dimensão da amostra.

  1. Traduzir a condição. Com probabilidade 0{,}95, \bar{X} fica a menos de 1{,}96\,{\sigma}_{\bar{X}} de {\mu}. Logo exige-se 1{,}96 \times \frac{18}{\sqrt{n}} < 2.
  2. Resolver: \sqrt{n} > \frac{1{,}96 \times 18}{2} = 17{,}64 \iff n > 311{,}2.
  3. A menor dimensão inteira é n = 312.Arredonda-se sempre por excesso: com 311 a condição ainda não se cumpre. É o único arredondamento deste capítulo que não segue a regra habitual.
Respostan = 312
Python O TLC, medido 
import random
import statistics

def media_amostral(n):
    return statistics.mean(random.expovariate(1) for _ in range(n))

print('populacao exponencial: mu = 1, sigma = 1')
print('%4s  %10s  %10s  %10s' % ('n', 'media', 'observado', 'previsto'))

for n in (1, 2, 5, 10, 30, 100):
    medias = [media_amostral(n) for _ in range(20000)]
    print('%4d  %10.4f  %10.4f  %10.4f'
          % (n, statistics.mean(medias), statistics.stdev(medias), 1 / n**0.5))

As duas últimas colunas coincidem em todas as linhas, desde n = 1. A fórmula {\sigma}/\sqrt{n} vale sempre; o que precisa de n grande é a forma ser Normal — e isso vê-se no laboratório, não nesta tabela.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Em quase todos, o primeiro passo é o mesmo: calcular \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} e ver a quantos desvios-padrão está o valor em causa.

Exercício 13§2 · desvio-padrão da média

Uma população tem {\mu} = 60 e {\sigma} = 15. Recolhem-se amostras aleatórias de dimensão 25.

a) Indica o valor médio de \bar{X}.b) Determina o desvio-padrão de \bar{X}.

Exercício 14§2 · desvio-padrão da média

Com {\sigma} = 20, determina a dimensão da amostra para que o desvio-padrão de \bar{X} seja 2.

Exercício 15§2 · TLC

Indica se cada afirmação é verdadeira ou falsa, e justifica.

a) O TLC exige que a população tenha distribuição Normal. b) O TLC diz respeito à distribuição da média amostral, e não à da população.

Exercício 16§2 · aplicar o TLC

Uma população tem {\mu} = 500 e {\sigma} = 40. Para amostras de dimensão 64, indica a distribuição aproximada de \bar{X}.

Exercício 17§2 · aplicar o TLC

Com {\mu} = 500, {\sigma} = 40 e n = 64, determina um intervalo centrado em 500 onde \bar{X} caia com probabilidade aproximada de 0{,}95.

Exercício 18§2 · desvio-padrão da média

Duas amostras da mesma população têm dimensões 50 e 200.

Quantas vezes menor é o desvio-padrão da média na segunda?

Exercício 19§2 · TLC

Uma população só tem os valores 0 e 1, com P(X = 1) = 0{,}3. Sabe-se que {\mu} = 0{,}3 e {\sigma} = \sqrt{0{,}21} \approx 0{,}458.

Explica por que razão, mesmo assim, a média de amostras de dimensão 100 tem distribuição aproximadamente Normal.

Exercício 20§2 · aplicar o TLC

O tempo de atendimento num balcão tem {\mu} = 4 minutos e {\sigma} = 2{,}5 minutos, com distribuição assimétrica.

Determina a probabilidade aproximada de a média de 100 atendimentos exceder 4{,}5 minutos.

Exercício 21§2 · desvio-padrão da média

Pretende-se que o desvio-padrão de \bar{X} não exceda 1, sabendo que {\sigma} = 12.

Determina a menor dimensão de amostra que serve.

Exercício 22§2 · TLC

Explica por que razão a fórmula \dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}} faz sentido nos dois casos extremos: n = 1 e n muito grande.

Exercício 23§2 · aplicar o TLC

Um elevador suporta 600 kg. O peso de uma pessoa tem {\mu} = 70 kg e {\sigma} = 12 kg.

Determina a probabilidade aproximada de 8 pessoas excederem o limite.

Exercício 24§2 · TLC

Duas amostras da mesma população, uma de dimensão n e outra de dimensão 4n.

Mostra que a amplitude do intervalo {\mu} \pm 1{,}96\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}} fica reduzida a metade na segunda, e comenta o custo.

O valor médio de \bar{X} é o próprio {\mu}. O desvio-padrão é \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

  1. a) E\left[\bar{X}\right] = {\mu} = 60.
  2. b) \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3.
  3. A média de 25 observações varia cinco vezes menos do que uma observação isolada.É o \sqrt{n} que faz a estatística funcionar — e é também ele que a torna cara: para dividir a variabilidade por 2 é preciso quadruplicar a amostra.
Resposta60 · 3

Resolve \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} = 2 em ordem a n.

  1. \frac{20}{\sqrt{n}} = 2 \iff \sqrt{n} = 10 \iff n = 100.
Respostan = 100

Volta ao enunciado do teorema: sobre que variável é que ele fala?

  1. a) Falsa. É precisamente o contrário: o TLC vale seja qual for a distribuição da população, desde que a amostra seja suficientemente grande.
  2. b) Verdadeira. O teorema descreve o comportamento de \bar{X}. A população continua com a forma que tinha.Confundir as duas distribuições é o erro central deste tema. A população pode ser assimétrica, discreta, com duas corcovas — a média amostral aproxima-se da Normal na mesma.
Respostaa) falsa · b) verdadeira

Pelo TLC, é Normal. Falta dizer com que valor médio e que desvio-padrão.

  1. Valor médio: 500.
  2. Desvio-padrão: \dfrac{40}{\sqrt{64}} = \dfrac{40}{8} = 5.
  3. Logo \bar{X} é aproximadamente Normal com {\mu} = 500 e desvio-padrão 5.
RespostaNormal, com {\mu} = 500 e {\sigma}_{\bar{X}} = 5

É {\mu} \pm 1{,}96 \times \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. O desvio-padrão de \bar{X} já foi calculado no exercício anterior.

  1. O desvio-padrão de \bar{X}: 5.
  2. A margem: 1{,}96 \times 5 = 9{,}8.
  3. \left]500-9{,}8,\ 500+9{,}8\right[ = \left]490{,}2,\ 509{,}8\right[.Repara no sentido desta frase: aqui {\mu} é conhecido e o intervalo apanha \bar{X}. Na secção 3 vai inverter-se — \bar{x} é que é conhecido, e o intervalo apanha {\mu}.
Resposta\left]490{,}2,\ 509{,}8\right[

Compara \frac{{\sigma}}{\sqrt{50}} com \frac{{\sigma}}{\sqrt{200}}. O {\sigma} cancela-se.

  1. \frac{{\sigma}/\sqrt{50}}{{\sigma}/\sqrt{200}} = \sqrt{\frac{200}{50}} = \sqrt{4} = 2.
  2. É duas vezes menor — e não quatro, apesar de a amostra ser quatro vezes maior.A raiz quadrada é a má notícia da estatística: o ganho em precisão cresce muito mais devagar do que o custo de recolher dados.
RespostaDuas vezes menor

O TLC não pede nada à forma da população — só que a amostra seja grande.

  1. A população é discreta e só toma dois valores: nada mais longe de uma Normal.
  2. Mas o TLC não impõe condições à forma da população. Com n = 100, suficientemente grande, \bar{X} é aproximadamente Normal com valor médio 0{,}3 e desvio-padrão \frac{0{,}458}{\sqrt{100}} \approx 0{,}046.
  3. Note-se que \bar{X}, aqui, é a proporção de uns na amostra — é o \hat{p} da secção 4.É este caso que faz as sondagens funcionarem: uma população de zeros e uns, e uma média amostral que se comporta como uma Normal.
RespostaO TLC não exige normalidade da população; \bar{X} é \approx Normal com {\sigma}_{\bar{X}} \approx 0{,}046

Calcula o desvio-padrão de \bar{X} e vê a quantos desvios-padrão está o 4{,}5.

  1. Desvio-padrão de \bar{X}: \dfrac{2{,}5}{\sqrt{100}} = 0{,}25.
  2. A quantos desvios: \dfrac{4{,}5-4}{0{,}25} = 2.
  3. Pela regra empírica, acima de 2 desvios-padrão fica \dfrac{1-0{,}954}{2} = 0{,}023.
  4. Cerca de 2{,}3\%.A distribuição dos atendimentos é assimétrica, e para um só atendimento a regra empírica não valeria. Para a média de cem, vale — é o TLC a trabalhar.
Resposta\approx 0{,}023

Resolve a inequação \frac{12}{\sqrt{n}} \leq 1.

  1. \frac{12}{\sqrt{n}} \leq 1 \iff \sqrt{n} \geq 12 \iff n \geq 144.
  2. A menor dimensão é n = 144.A dimensão sai sempre de uma inequação, e arredonda-se por excesso: com 143 a condição já não se cumpre.
Respostan = 144

Substitui n = 1. E experimenta valores de n cada vez maiores — 100, 10\,000, 1\,000\,000 — e vê o que acontece à expressão.

  1. Com n = 1: \dfrac{{\sigma}}{\sqrt{1}} = {\sigma}. Faz sentido — a «média» de uma só observação é essa observação, e varia tanto como ela.
  2. Com n muito grande: para n = 100, 10\,000 e 1\,000\,000, \sqrt{n} vale 10, 100 e 1000, e a expressão vale \dfrac{{\sigma}}{10}, \dfrac{{\sigma}}{100} e \dfrac{{\sigma}}{1000}. Quanto maior for n, maior é \sqrt{n}, e \dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}} fica tão perto de 0 quanto se queira. A média amostral deixa de variar: com a população inteira, \bar{X} é exatamente {\mu}.
  3. A fórmula liga corretamente os dois extremos.Testar uma fórmula nos casos extremos é o hábito mais barato que há para apanhar erros — e aqui confirma que o \sqrt{n} está no sítio certo.
RespostaDá {\sigma} com n=1 e fica tão perto de 0 quanto se queira quando n cresce

Exceder 600 kg com 8 pessoas é ter peso médio superior a 600/8. Traduz para \bar{X}.

  1. Traduzir: a soma excede 600 exatamente quando a média excede \dfrac{600}{8} = 75 kg.
  2. Desvio-padrão de \bar{X}: \dfrac{12}{\sqrt{8}} \approx 4{,}243.
  3. A distribuição: pelo TLC, \bar{X} é aproximadamente N(70;\,4{,}243).
  4. Com a calculadora, P(\bar{X} > 75) \approx 0{,}119: cerca de 12\%.Com n = 8, a aproximação Normal é frágil se a população for muito assimétrica. Aqui o peso das pessoas já é aproximadamente Normal, e por isso a conta vale.
Resposta\approx 0{,}12

Escreve as duas amplitudes e divide uma pela outra.

  1. As amplitudes: 2 \times 1{,}96\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}} e 2 \times 1{,}96\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{4n}}.
  2. A razão: \frac{{\sigma}/\sqrt{4n}}{{\sigma}/\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2}.
  3. Para reduzir a amplitude a metade é preciso quadruplicar a amostra — quatro vezes o custo e o tempo, para o dobro da precisão.É a razão económica por que as sondagens param nos mil inquiridos: passar de mil para quatro mil só reduz a margem de erro a metade, e custa quatro vezes mais.
RespostaFica a metade; exige quadruplicar a amostra
03

Intervalos de confiança para o valor médio

Uma estimativa pontual dá um número e não diz nada sobre o erro. A alternativa é dar um intervalo, e dizer com que frequência um método destes acerta. Toda a dificuldade está em perceber o que essa frequência quer dizer — e o que não quer.

Aprendizagens Essenciais
  • Reconhecer as limitações das estimativas pontuais, devido à variabilidade amostral.
  • Utilizar o modelo Normal como aproximação da distribuição de amostragem da média, para estimar o valor médio {\mu}.
  • Reconhecer a fórmula geral para o intervalo de confiança com uma confiança de 100(1-{\alpha})\%.

1 · Porque é que um número não chega

A secção 1 mostrou que amostras diferentes dão estimativas diferentes. Uma estimativa pontual — «{\mu} é 498{,}2» — esconde essa variabilidade e não permite avaliar a qualidade do que se afirma. Falta dizer quanto se pode estar errado.

2 · De onde vem a fórmula

Pelo Teorema Limite Central, para n suficientemente grande, \bar{X} é aproximadamente Normal com valor médio {\mu} e desvio-padrão \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. Logo, com probabilidade 0{,}95, \bar{X} fica a menos de 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} de {\mu}:

P\left({\mu} - 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq \bar{X} \leq {\mu} + 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right) = 0{,}95.

Agora o passo decisivo: a condição «\bar{X} está a menos de d de {\mu}» é a mesma que «{\mu} está a menos de d de \bar{X}». Trocando os papéis,

Intervalo de confiança a 95\% para {\mu} P\left(\bar{X} - 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq {\mu} \leq \bar{X} + 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right) = 0{,}95

Substituindo \bar{X} pelo valor observado \bar{x}, obtém-se o intervalo

\left[\bar{x} - 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \ \bar{x} + 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right].
Quando {\sigma} é desconhecido

Na prática quase nunca se conhece {\sigma}. Substitui-se pelo desvio-padrão amostral s, e para n grande a aproximação é boa. É isso que as Aprendizagens Essenciais pedem — e é o que se faz em todos os exercícios deste capítulo.

Quando o enunciado dá a amostra em bruto, o s tira-se da calculadora — e não é o número que ela mostra primeiro. Escritos os dados na coluna V1 da aplicação Estatística, o separador Estat começa por dar {\sigma}, que divide por n.

Separador Estat da NumWorks, descido na lista, com desvio padrão amostral s igual a 5,486347 e variância amostral s ao quadrado igual a 30,1
O s não é o primeiro desvio-padrão da lista: está mais abaixo, com o rótulo amostral. É este o que entra no intervalo de confiança.

A pergunta que decide é a mesma de Probabilidades · §13: isto é uma medição ou é um modelo? Aqui é uma medição — os números vieram de uma amostra —, e por isso o s. Se o enunciado desse a distribuição da população, o parâmetro seria o {\sigma}, e não se estimava nada.

3 · O que «95% de confiança» quer dizer

O aleatório está nos extremos

Lê-se «a probabilidade de o intervalo conter {\mu} é 95\%», e não «a probabilidade de {\mu} estar contido no intervalo». A diferença não é de estilo: {\mu} é um número fixo, ou está lá dentro ou não está. O que varia — o que é aleatório — são os extremos, porque dependem da amostra que calhou.

A leitura correta é sobre o método: se se recolhessem 100 amostras e se construísse um intervalo para cada uma, esperar-se-ia que cerca de 95 contivessem {\mu}. Como na prática só se recolhe uma, nunca se saber se é uma das 95 ou uma das 5.

Laboratório · Cem intervalos de confiança

interativo

Cada traço é um intervalo, construído a partir de uma amostra diferente da mesma população, com {\mu} = 50. A reta dourada é o {\mu}, que nunca se mexe — são os intervalos que saltam. Os vermelhos falham. Carrega em «outras 100» várias vezes: o número de falhas anda à volta de 5, mas quase nunca é exatamente 5. Passa para 99\% e vê as falhas quase desaparecerem — à custa de traços muito mais compridos.

4 · Outros níveis de confiança

Fórmula geral

Para uma confiança de 100(1-{\alpha})\%:

\left[\bar{x} - z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \ \bar{x} + z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right]
Confiança{\alpha}z_{1-{\alpha}/2}
90\%0{,}101{,}645
95\%0{,}051{,}960
99\%0{,}012{,}576
Exemplo 5 Construir e ler um intervalo

Uma amostra aleatória de 144 sacos de café deu peso médio 248{,}6 g e desvio-padrão amostral 6 g.

Constrói um intervalo de 95\% de confiança para o peso médio da produção e interpreta-o.

  1. O que se tem: \bar{x} = 248{,}6, s = 6, n = 144. Como {\sigma} é desconhecido, usa-se s.
  2. A margem de erro: 1{,}96 \times \frac{6}{\sqrt{144}} = 1{,}96 \times \frac{6}{12} = 1{,}96 \times 0{,}5 = 0{,}98.
  3. O intervalo: \left]248{,}6 - 0{,}98,\ \ 248{,}6 + 0{,}98\right[ = \left]247{,}62,\ 249{,}58\right[.
  4. A leitura: construiu-se o intervalo por um método que, repetido muitas vezes, produz intervalos que contêm o verdadeiro peso médio em cerca de 95\% dos casos.Repara que 250 g fica fora do intervalo. Se a embalagem anunciar 250 g, os dados não sustentam essa afirmação.
Resposta\left]247{,}62,\ 249{,}58\right[ g
Exemplo 6 A mesma amostra, três confianças

Com \bar{x} = 70, s = 10 e n = 100, constrói os intervalos a 90\%, 95\% e 99\% e compara-os.

  1. O erro-padrão, igual nos três casos: \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10}{10} = 1.
  2. As três margens: 1{,}645, 1{,}96 e 2{,}576.
  3. Os três intervalos: \left]68{,}36,\ 71{,}64\right[, \quad \left]68{,}04,\ 71{,}96\right[, \quad \left]67{,}42,\ 72{,}58\right[.
  4. Os três estão centrados no mesmo 70 e vão-se alargando.Não há aqui escolha «certa»: a confiança decide-se antes de olhar para os dados, em função do risco que se aceita correr. Escolhê-la depois, para obter o intervalo que convém, é fraude.
Resposta\left]68{,}36,\ 71{,}64\right[ · \left]68{,}04,\ 71{,}96\right[ · \left]67{,}42,\ 72{,}58\right[
Python Cem intervalos, e quantos acertam 
import random
import statistics
import math

num_amostras = 100
dim_amostra = 20
mu = 0
acertos = 0

for i in range(num_amostras):
    amostra = [random.normalvariate(mu, 1) for k in range(dim_amostra)]
    vmedio = statistics.mean(amostra)
    desvio_padrao = statistics.stdev(amostra)
    d = 1.96 * desvio_padrao / math.sqrt(dim_amostra)
    if vmedio - d <= mu <= vmedio + d:
        acertos = acertos + 1

print('intervalos que contem o valor medio:', acertos, 'em', num_amostras)

Corre várias vezes: sai 93, 96, 94, 97… à volta de 95, e quase nunca exatamente 95. Sobe dim_amostra para 200 e repara que a proporção de acertos não muda — o que muda é a largura dos intervalos.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Os que pedem interpretação valem tanto como os que pedem contas: é aí que se separa quem percebeu o que é a confiança de quem só aplicou a fórmula.

Exercício 25§3 · construir o intervalo

Uma amostra de 100 peças deu \bar{x} = 250 g. Sabe-se que {\sigma} = 20 g.

Constrói um intervalo de 95\% de confiança para {\mu}.

Exercício 26§3 · construir o intervalo

Numa amostra de 64 alunos, o tempo médio de estudo semanal foi 12{,}5 horas, com desvio-padrão amostral 4 horas.

Constrói um intervalo de 95\% de confiança para o tempo médio da população.

Exercício 27§3 · interpretar

Obteve-se o intervalo de 95\% de confiança \left]48{,}2,\ 51{,}8\right[ para {\mu}.

Indica qual das leituras seguintes é correta, e porquê.

a) «A probabilidade de {\mu} estar entre 48{,}2 e 51{,}8 é 95\%.» b) «Se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos conteriam {\mu}.»

Exercício 28§3 · outros níveis

Com \bar{x} = 80, {\sigma} = 12 e n = 36, constrói um intervalo de 99\% de confiança para {\mu}, usando z = 2{,}576.

Exercício 29§3 · interpretar

Numa simulação, construíram-se 200 intervalos de 95\% de confiança a partir de 200 amostras da mesma população, cujo {\mu} era conhecido.

Quantos intervalos se espera que não contenham {\mu}? E seria estranho se fossem 14?

Exercício 30§3 · construir o intervalo

Numa amostra de 49 baterias, a duração média foi 18{,}4 horas e o desvio-padrão amostral 2{,}1 horas.

a) Constrói o intervalo a 95\%.b) Indica a margem de erro.

Exercício 31§3 · outros níveis

Para a mesma amostra, constrói-se um intervalo a 90\% (z = 1{,}645) e outro a 99\% (z = 2{,}576).

Explica, sem contas, qual dos dois é mais largo e porquê.

Exercício 32§3 · construir o intervalo

De uma amostra sabe-se apenas que o intervalo de 95\% de confiança para {\mu} é \left]32{,}4,\ 37{,}6\right[.

Determina \bar{x} e a margem de erro.

Exercício 33§3 · interpretar

Um fabricante afirma que os seus pacotes têm em média 500 g. Uma amostra deu o intervalo de 95\% de confiança \left]492{,}1,\ 498{,}3\right[.

Comenta a afirmação do fabricante.

Exercício 34§3 · construir o intervalo

Numa amostra de dimensão n, com {\sigma} = 15, obteve-se um intervalo de 95\% de confiança de amplitude 4.

Determina n.

Exercício 35§3 · interpretar

Dois investigadores estudam a mesma população. O primeiro, com n = 100, obtém \left]48,\ 52\right[; o segundo, com n = 400, obtém \left]50{,}5,\ 51{,}5\right[. Ambos a 95\%.

Os resultados são contraditórios? Justifica.

Exercício 36§3 · outros níveis

Mostra que, mantendo tudo o resto igual, passar de 95\% para 99\% de confiança aumenta a amplitude do intervalo em cerca de 31\%.

É \bar{x} \pm 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. Calcula primeiro a margem.

  1. A margem: 1{,}96 \times \frac{20}{\sqrt{100}} = 1{,}96 \times 2 = 3{,}92.
  2. O intervalo: \left]250-3{,}92,\ 250+3{,}92\right[ = \left]246{,}08,\ 253{,}92\right[.
Resposta\left]246{,}08,\ 253{,}92\right[

Como {\sigma} é desconhecido, usa-se s no seu lugar — é legítimo com n grande.

  1. A margem, com s a substituir {\sigma}: 1{,}96 \times \frac{4}{\sqrt{64}} = 1{,}96 \times 0{,}5 = 0{,}98.
  2. O intervalo: \left]11{,}52,\ 13{,}48\right[ horas.Substituir {\sigma} por s é o que se faz na prática, porque {\sigma} quase nunca se conhece. Com n grande — na ordem das dezenas — a aproximação é boa.
Resposta\left]11{,}52,\ 13{,}48\right[ horas

Pergunta-te o que é que é aleatório: o {\mu}, ou os extremos do intervalo?

  1. A correta é a b).
  2. Porquê. O valor {\mu} é um número fixo: ou está dentro de \left]48{,}2,\ 51{,}8\right[ ou não está. Não há probabilidade nenhuma nisso.
  3. O que é aleatório são os extremos, que dependem da amostra que calhou. A confiança de 95\% é uma propriedade do método, não deste intervalo em particular.É a distinção mais importante do capítulo, e a mais maltratada nos jornais. «A probabilidade de o intervalo conter {\mu}» está certo; «a probabilidade de {\mu} estar no intervalo» está errado.
RespostaA alínea b); o aleatório está nos extremos, não em {\mu}

A fórmula é a mesma; muda só o z.

  1. A margem: 2{,}576 \times \dfrac{12}{6} = 2{,}576 \times 2 = 5{,}152.
  2. O intervalo: \left]74{,}85,\ 85{,}15\right[.Compara com o que daria a 95\%: margem 3{,}92, intervalo mais estreito. Mais confiança custa sempre menos precisão.
Resposta\left]74{,}85,\ 85{,}15\right[

Espera-se que 5\% falhem. Mas o número de falhas é ele próprio uma variável aleatória.

  1. O esperado: 5\% de 200, ou seja 10 intervalos.
  2. Seriam 14 estranhos? Não. O número de falhas varia de simulação para simulação; 14 está perfeitamente dentro do que se observa habitualmente.
  3. O que seria estranho era obter, digamos, 60 falhas — aí haveria motivo para suspeitar do método.A confiança de 95\% é uma média a longo prazo, não uma promessa exata para cada conjunto de 200 intervalos.
RespostaCerca de 10; 14 não é estranho

A margem de erro é o número que se soma e se subtrai a \bar{x}: 1{,}96 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}}, como no primeiro Exemplo desta secção.

  1. a) A margem: 1{,}96 \times \dfrac{2{,}1}{7} = 1{,}96 \times 0{,}3 = 0{,}588. \left]17{,}812,\ 18{,}988\right[.
  2. b) A margem de erro é 0{,}588 horas — o valor de 1{,}96 \times \dfrac{s}{\sqrt{n}} que, em a), se somou e se subtraiu a 18{,}4.
Resposta\left]17{,}81,\ 18{,}99\right[ · margem 0{,}588 h

Mais confiança significa apanhar {\mu} mais vezes. O que é preciso fazer ao intervalo para isso acontecer?

  1. O de 99\% é mais largo, porque 2{,}576 > 1{,}645.
  2. Porquê. Para que o método falhe menos vezes, o intervalo tem de ser mais generoso — tem de abrir mais para apanhar {\mu} em mais casos.
  3. Há sempre uma troca: mais confiança, menos precisão. Um intervalo de 100\% de confiança seria \left]-\infty,\ +\infty\right[, que acerta sempre e não informa nada.É o argumento que fecha a questão: um intervalo que nunca falha é um intervalo que nada diz. A confiança só tem valor quando se paga em amplitude.
RespostaO de 99\%; mais confiança compra-se com mais amplitude

O intervalo é simétrico em torno de \bar{x}.

  1. O centro: \bar{x} = \dfrac{32{,}4+37{,}6}{2} = 35.
  2. A margem: 37{,}6 - 35 = 2{,}6.
Resposta\bar{x} = 35 · margem 2{,}6

O valor 500 está dentro ou fora do intervalo?

  1. O valor 500 não pertence ao intervalo, que termina em 498{,}3.
  2. Os dados são, portanto, pouco compatíveis com a afirmação: se o valor médio fosse mesmo 500, um intervalo destes teria menos de 5\% de hipóteses de o deixar de fora.
  3. Há motivo para duvidar da afirmação — sem que isso seja uma prova de que é falsa.É o mais longe que este capítulo vai em «testar» uma afirmação. O procedimento formal — os testes de hipóteses — fica fora das Aprendizagens Essenciais.
Resposta500 está fora do intervalo: os dados não sustentam a afirmação

A amplitude é 2 \times 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. Iguala a 4.

  1. 2 \times 1{,}96 \times \frac{15}{\sqrt{n}} = 4 \iff \frac{58{,}8}{\sqrt{n}} = 4.
  2. \sqrt{n} = 14{,}7 \iff n = 216{,}09.
  3. Como n é inteiro, e para a amplitude não exceder 4, toma-se n = 217.Cuidado com a amplitude e a margem: a amplitude é o dobro da margem. Confundi-las dá um n quatro vezes errado.
Respostan = 217

Vê se os dois intervalos se intersetam, e compara as amplitudes com as dimensões.

  1. Não são contraditórios: os dois intervalos intersetam-se em \left]50{,}5,\ 51{,}5\right[, e qualquer valor aí é compatível com ambos.
  2. As amplitudes. 4 contra 1: o segundo é quatro vezes mais estreito porque a amostra é quatro vezes maior… e \sqrt{4} = 2 daria apenas metade. A diferença extra vem de s ter saído menor nesta amostra.
  3. O segundo intervalo é mais informativo, por ser mais estreito com a mesma confiança.Dois intervalos que não se intersetassem seriam um sinal de alerta — mas não uma prova: com estas dimensões, isso ainda acontece por puro azar em menos de 1\% das vezes. Quando acontece, o que se faz é desconfiar de que uma das amostras não era aleatória ou de que as populações não eram as mesmas.
RespostaNão: intersetam-se. O segundo é mais informativo

A amplitude é proporcional a z. Compara 2{,}576 com 1{,}96.

  1. A amplitude é 2z\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}}: com {\sigma} e n fixos, é proporcional a z.
  2. \frac{2{,}576}{1{,}96} \approx 1{,}314.
  3. Um aumento de cerca de 31{,}4\%.Para o mesmo ganho por via da amostra seria preciso reduzir n em cerca de 42\% — porque o n entra debaixo da raiz e o z não. É por isso que a confiança é uma escolha barata e o n uma escolha cara.
Resposta2{,}576/1{,}96 \approx 1{,}31: mais 31\%
04

Margem de erro e proporções

O número que aparece no rodapé de todas as sondagens. Saber de onde vem — e o que é preciso pagar para o reduzir — é o que permite ler uma sondagem sem acreditar em coisas que ela não diz.

Aprendizagens Essenciais
  • Saber que a margem de erro é igual a metade da amplitude do intervalo.
  • Explorar a relação entre a margem de erro, a confiança e a dimensão da amostra.
  • Reconhecer que a proporção populacional p é um caso particular do valor médio, e obter o intervalo de confiança para p.
  • Saber fazer uma leitura adequada da informação veiculada pela comunicação social quando apresenta resultados de sondagens.

1 · A margem de erro

Definição · margem de erro

A margem de erro é metade da amplitude do intervalo de confiança:

m = z_{1-{\alpha}/2}\,\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

O intervalo escreve-se então, simplesmente, \bar{x} \pm m.

Três quantidades a determinam, e só uma delas se decide livremente:

QuantidadeEfeito na margemQuem manda
confiança (z)mais confiança, maior margemdecide-se, e é grátis
desvio-padrão ({\sigma})mais dispersão, maior margemé da população; não se escolhe
dimensão (n)maior n, menor margemdecide-se, e custa dinheiro
A regra prática que vale a pena guardar

A margem é proporcional a \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Para a reduzir a metade é preciso quadruplicar a amostra. É esta a razão económica por que as sondagens nacionais param quase sempre à volta dos mil inquiridos.

Laboratório · A margem de erro

interativo

As três curvas são as três confianças. Repara na forma: desce muito depressa no início e depois quase não desce. Passar de n = 25 para n = 100 corta a margem a metade; passar de 100 para 175 quase não muda nada. É o \sqrt{n} a mandar — e é ele que decide o orçamento de qualquer estudo.

2 · Uma proporção é um valor médio

Para estimar a proporção p de uma população com certa característica, considere-se a variável que vale 1 quando a característica está presente e 0 quando não está:

X10
P(X = x)p1-p

O valor médio desta variável é 1 \times p + 0 \times (1-p) = p, e a variância é p(1-p). Ou seja: uma proporção é o valor médio de uma população de zeros e uns, e a proporção amostral \hat{p} é a média dessa amostra. Tudo o que a secção 3 fez aplica-se, sem alteração.

Intervalo de confiança para uma proporção \left[\hat{p} - z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}},\ \ \hat{p} + z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}\right]

É a fórmula da secção 3 com {\sigma} substituído por \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}.

O pior caso, e os mil inquiridos

A função \hat{p}(1-\hat{p}) é máxima em \hat{p} = 0{,}5, onde vale 0{,}25. Usar esse valor dá a margem mais larga possível — e portanto uma promessa que se cumpre seja qual for o p verdadeiro. É daí que vem o número mágico das sondagens: com n = 1000 e \hat{p} = 0{,}5, a margem a 95\% é 1{,}96 \times \frac{0{,}5}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}031 — os três pontos percentuais que aparecem em todas as fichas técnicas.

3 · Ler uma sondagem

Com a margem de erro à mão, três leituras passam a ser possíveis — e a terceira é a que mais falta faz.

Três perguntas a fazer a qualquer sondagem

Qual é a margem de erro? Sem ela, a percentagem não significa nada. Como foi recolhida a amostra? Uma amostra não aleatória invalida tudo o que se siga. A diferença é maior do que a margem? Se não for, não há conclusão — é um empate técnico, por muito que os títulos digam o contrário.

Exemplo 7 Uma sondagem, lida como deve ser

Numa sondagem a 800 pessoas, 45\% declararam-se a favor de uma medida.

Constrói o intervalo de 95\% de confiança para p e discute se se pode afirmar que a medida tem oposição maioritária.

  1. A proporção amostral: \hat{p} = 0{,}45.
  2. A margem de erro: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}45 \times 0{,}55}{800}} = 1{,}96\sqrt{0{,}000309} \approx 1{,}96 \times 0{,}0176 \approx 0{,}0345.
  3. O intervalo: \left]0{,}4155,\ 0{,}4845\right[, \quad\text{ou seja } \left]41{,}6\%,\ 48{,}5\%\right[.
  4. A discussão. O valor 0{,}5 fica fora do intervalo, e acima dele. Os dados são pouco compatíveis com «metade ou mais a favor» — há, portanto, indício de oposição maioritária.Note-se a diferença em relação a um resultado de 48\%: aí o intervalo conteria 0{,}5 e não haveria conclusão nenhuma. São três pontos percentuais a separar «há indício» de «não se sabe».
Resposta\left]41{,}6\%,\ 48{,}5\%\right[; há indício de oposição maioritária
Exemplo 8 Quantas pessoas é preciso inquirir

Uma câmara municipal quer estimar a proporção de habitantes que usam transportes públicos, com margem de erro não superior a 0{,}04 e confiança de 95\%. Não há informação prévia sobre p.

Determina a dimensão mínima da amostra.

  1. Sem informação prévia, usa-se o pior caso \hat{p} = 0{,}5, que maximiza \hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25.
  2. A condição: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq 0{,}04 \iff \frac{0{,}98}{\sqrt{n}} \leq 0{,}04.
  3. Resolver: \sqrt{n} \geq \frac{0{,}98}{0{,}04} = 24{,}5 \iff n \geq 600{,}25.
  4. A dimensão mínima é n = 601.Se houvesse informação prévia — digamos, que p anda perto de 0{,}2 —, o produto \hat{p}(1-\hat{p}) baixaria para 0{,}16 e bastariam 385 pessoas. A informação prévia vale dinheiro, literalmente.
Respostan = 601
Python A margem de erro, tabelada 
import math

def margem(p, n, z=1.96):
    return z * math.sqrt(p * (1 - p) / n)

print('%6s' % 'n', ''.join('%10s' % ('p=' + str(p)) for p in (0.1, 0.3, 0.5)))
for n in (100, 400, 1000, 2500, 10000):
    print('%6d' % n, ''.join('%10.4f' % margem(p, n) for p in (0.1, 0.3, 0.5)))

print()
print('para margem 0,03 com p = 0,5 sao precisos',
      math.ceil((1.96 * 0.5 / 0.03) ** 2), 'inquiridos')

A coluna de p = 0{,}5 é sempre a maior — é o pior caso. E repara na última linha: 1068, o número que está por trás dos «três pontos percentuais» de quase todas as sondagens que vais ler.

Exercícios propostos

Treze exercícios. Os que dimensionam a amostra arredondam sempre por excesso; os que leem sondagens comparam a diferença com a margem antes de concluir seja o que for.

Exercício 37§4 · margem de erro

Um intervalo de 95\% de confiança para {\mu} é \left]18{,}4,\ 21{,}6\right[.

Determina a margem de erro.

Exercício 38§4 · proporção

Numa amostra de 400 pessoas, 240 responderam «sim».

Determina \hat{p} e a margem de erro a 95\%.

Exercício 39§4 · proporção

Com os dados do exercício anterior, constrói o intervalo de 95\% de confiança para p.

Exercício 40§4 · margem de erro

Indica, justificando, o efeito de cada mudança sobre a margem de erro.

a) Aumentar a dimensão da amostra. b) Aumentar o nível de confiança.

Exercício 41§4 · dimensionar

Pretende-se estimar {\mu} com margem de erro não superior a 1, a 95\% de confiança, sabendo que {\sigma} \approx 8.

Determina a menor dimensão de amostra.

Exercício 42§4 · proporção

Numa sondagem a 1000 eleitores, 52\% declararam intenção de votar num candidato.

a) Determina a margem de erro a 95\%.b) Pode afirmar-se que o candidato tem maioria?

Exercício 43§4 · dimensionar

Uma amostra de 100 deu margem de erro 4. Quer-se margem 2, com a mesma confiança.

Determina a dimensão necessária.

Exercício 44§4 · proporção

Duas sondagens sobre o mesmo tema: a primeira com 500 inquiridos deu \hat{p} = 0{,}44; a segunda com 2000 deu \hat{p} = 0{,}46.

Determina as duas margens de erro a 95\% e comenta.

Exercício 45§4 · margem de erro

Com \bar{x} = 42, s = 9 e n = 81, determina a margem de erro a 90\% (z = 1{,}645) e a 99\% (z = 2{,}576).

Exercício 46§4 · dimensionar

Pretende-se estimar uma proporção p com margem de erro não superior a 0{,}03, a 95\%, sem qualquer informação prévia sobre p.

Determina a dimensão necessária, usando o pior caso.

Exercício 47§4 · proporção

Uma notícia afirma: «Sondagem a 1000 pessoas: A tem 34\% e B tem 31\%. A está à frente.»

Comenta a afirmação, calculando as margens de erro a 95\%.

Exercício 48§4 · dimensionar

Mostra que, para estimar uma proporção com margem de erro m a 95\% de confiança e sem informação prévia, basta

n \geq \left(\frac{0{,}98}{m}\right)^{2}.

Aplica a fórmula para m = 0{,}02.

Exercício 49§4 · proporção

Quatro pessoas lançaram, cada uma, a sua moeda, e registaram a frequência relativa de «face nacional». Qual dos resultados seguintes é o mais forte indício de que a moeda usada não é equilibrada?

  • (A)8 nacionais em 10 lançamentos.
  • (B)62 nacionais em 100 lançamentos.
  • (C)545 nacionais em 1000 lançamentos.
  • (D)5100 nacionais em 10 000 lançamentos.

A margem de erro é metade da amplitude.

  1. A amplitude: 21{,}6-18{,}4 = 3{,}2.
  2. A margem: \dfrac{3{,}2}{2} = 1{,}6.
Resposta1{,}6

A margem é 1{,}96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.

  1. A proporção: \hat{p} = \dfrac{240}{400} = 0{,}6.
  2. A margem: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}6 \times 0{,}4}{400}} = 1{,}96\sqrt{0{,}0006} \approx 1{,}96 \times 0{,}0245 \approx 0{,}048.
  3. Ou seja, cerca de 4{,}8 pontos percentuais.
Resposta\hat{p} = 0{,}6 · margem \approx 0{,}048

É \hat{p} mais e menos a margem.

  1. \left]0{,}6-0{,}048,\ 0{,}6+0{,}048\right[ = \left]0{,}552,\ 0{,}648\right[.
  2. Entre 55{,}2\% e 64{,}8\%.
Resposta\left]0{,}552,\ 0{,}648\right[

Olha para onde cada um aparece na fórmula z\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

  1. a) O n está no denominador: aumentar n diminui a margem — mas devagar, porque entra debaixo de uma raiz.
  2. b) Mais confiança significa maior z, logo aumenta a margem.Só uma das duas é uma decisão livre e barata: a confiança. O n custa dinheiro e tempo — e o retorno é proporcional a \sqrt{n}, não a n.
Respostaa) diminui · b) aumenta

Resolve 1{,}96\frac{8}{\sqrt{n}} \leq 1, e arredonda por excesso.

  1. 1{,}96 \times \frac{8}{\sqrt{n}} \leq 1 \iff \sqrt{n} \geq 15{,}68 \iff n \geq 245{,}86.
  2. A menor dimensão inteira é n = 246.Arredonda-se sempre por excesso, mesmo que a parte decimal seja pequena: com 245 a margem já ultrapassaria 1.
Respostan = 246

Constrói o intervalo e vê se o valor 0{,}5 fica dentro ou fora.

  1. a) 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}52 \times 0{,}48}{1000}} \approx 1{,}96 \times 0{,}0158 \approx 0{,}031. Cerca de 3{,}1 pontos percentuais.
  2. b) O intervalo é \left]0{,}489,\ 0{,}551\right[, e contém 0{,}5.
  3. Portanto não se pode afirmar que tem maioria: os dados são compatíveis com uma percentagem inferior a 50\%.É o erro mais comum na leitura de sondagens: com 52\% e margem de 3 pontos, o resultado é um empate técnico — e não uma vitória.
RespostaMargem \approx 3{,}1 p.p.; não se pode afirmar a maioria

Metade da margem exige quadruplicar o n. Confirma pela fórmula.

  1. A margem é proporcional a \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Para a reduzir a metade, \sqrt{n} tem de duplicar, logo n tem de quadruplicar.
  2. n = 4 \times 100 = 400.É a regra prática que vale a pena guardar: metade da margem custa quatro vezes a amostra.
Respostan = 400

Calcula as duas e vê se os intervalos se intersetam.

  1. Primeira: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}44 \times 0{,}56}{500}} \approx 0{,}044. Intervalo \left]0{,}396,\ 0{,}484\right[.
  2. Segunda: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}46 \times 0{,}54}{2000}} \approx 0{,}022. Intervalo \left]0{,}438,\ 0{,}482\right[.
  3. Os intervalos intersetam-se: os resultados não são contraditórios. A segunda é mais precisa — margem de metade, com quatro vezes a amostra.Duas sondagens com resultados «diferentes» são frequentemente compatíveis. Comparar só os valores centrais, sem as margens, leva a conclusões que os dados não sustentam.
Resposta\approx 0{,}044 e \approx 0{,}022; compatíveis

O erro-padrão \frac{s}{\sqrt{n}} é o mesmo nos dois casos.

  1. O erro-padrão: \dfrac{9}{9} = 1.
  2. A 90\%: 1{,}645.   A 99\%: 2{,}576.
  3. A margem é, aqui, o próprio z — porque o erro-padrão deu exatamente 1.
Resposta1{,}645 e 2{,}576

A margem depende de \hat{p}(1-\hat{p}). Para que valor de \hat{p} é que esse produto é máximo?

  1. O pior caso. A função \hat{p}(1-\hat{p}) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e zeros em 0 e 1: o máximo está no vértice, \hat{p} = 0{,}5, e vale 0{,}25.
  2. A condição: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq 0{,}03 \iff \frac{0{,}98}{\sqrt{n}} \leq 0{,}03 \iff \sqrt{n} \geq 32{,}67.
  3. n \geq 1067{,}1 \implies n = 1068.
  4. É por isto que quase todas as sondagens nacionais usam cerca de mil inquiridos: é o que dá 3 pontos de margem, aconteça o que acontecer.Usar \hat{p} = 0{,}5 é a escolha conservadora: garante a margem prometida seja qual for o valor verdadeiro de p. Qualquer outro valor daria um n menor — e uma promessa que poderia não se cumprir.
Respostan = 1068

Constrói os dois intervalos e vê se se intersetam.

  1. Margem de A: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}34 \times 0{,}66}{1000}} \approx 0{,}029. Intervalo \left]0{,}311,\ 0{,}369\right[.
  2. Margem de B: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}31 \times 0{,}69}{1000}} \approx 0{,}029. Intervalo \left]0{,}281,\ 0{,}339\right[.
  3. Os dois intervalos intersetam-se largamente, entre 0{,}311 e 0{,}339.
  4. A diferença de 3 pontos é inferior à margem de erro: os dados não permitem afirmar que A está à frente.É o «empate técnico». A regra prática dos jornais — comparar a diferença com a margem — é grosseira mas útil: se a diferença for menor do que a margem, não há conclusão.
RespostaMargens \approx 2{,}9 p.p.; a diferença é menor e não permite concluir

Parte de 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq m e resolve em ordem a n.

  1. A condição, com o pior caso \hat{p} = 0{,}5: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq m \iff 1{,}96 \times \frac{0{,}5}{\sqrt{n}} \leq m.
  2. Isolar \sqrt{n}: \sqrt{n} \geq \frac{0{,}98}{m} \iff n \geq \left(\frac{0{,}98}{m}\right)^{2}.
  3. Com m = 0{,}02: n \geq \left(\dfrac{0{,}98}{0{,}02}\right)^{2} = 49^{2} = 2401.
  4. Para descer de 3 para 2 pontos de margem, a amostra passa de 1068 para 2401 — mais do dobro, para um terço de ganho.A fórmula mostra o preço de uma só vez: a margem entra ao quadrado no denominador. Reduzi-la a metade multiplica o custo por quatro.
Respostan \geq (0{,}98/m)^{2}; com m = 0{,}02, n = 2401

Todas as frequências relativas estão acima de 0{,}5. A questão não é qual está mais longe, mas em qual desses desvios é mais difícil de explicar pelo acaso — e isso depende do número de lançamentos.

  1. As frequências relativas — as proporções amostrais \hat{p} — são 0{,}8; 0{,}62; 0{,}545; 0{,}51.
  2. Comparar só os desvios não chega: 0{,}3 em 10 lançamentos é banal, 0{,}01 em 10\,000 não é. O que torna os quatro casos comparáveis é medir cada desvio na escala do próprio acaso — o desvio-padrão de \hat{p}. Numa moeda equilibrada, p = 0{,}5, e {\sigma}_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{p(1-p)}{n}} = \frac{0{,}5}{\sqrt{n}}.
  3. \begin{array}{c|ccc} & \left|\hat{p}-0{,}5\right| & {\sigma}_{\hat{p}} & \dfrac{\left|\hat{p}-0{,}5\right|}{{\sigma}_{\hat{p}}} \\ \hline \text{(A)} & 0{,}3 & 0{,}158 & 1{,}9 \\ \text{(B)} & 0{,}12 & 0{,}05 & 2{,}4 \\ \text{(C)} & 0{,}045 & 0{,}0158 & 2{,}8 \\ \text{(D)} & 0{,}01 & 0{,}005 & 2{,}0 \end{array}
  4. O maior é o de (C): 545 em 1000 está a 2{,}8 desvios-padrão de 0{,}5, mais do que os 2{,}0 de (D) — e isto apesar de (D) ter dez vezes mais lançamentos.
  5. Opção (C).Um desvio pequeno num número enorme de repetições pode dizer mais do que um desvio grande em poucas — por isso (D) diz mais do que (A). Mas ter muitas repetições não chega: o que conta é a razão entre o desvio e o desvio-padrão de \hat{p}. É essa mesma régua que está por trás da margem de erro desta secção.
RespostaOpção (C)
A

Python e pensamento computacional

Três problemas que só existem porque a máquina existe. Não são traduções de contas para código: são perguntas que a folha de papel não sabe responder — qual é o melhor h?, como é que o algoritmo sabe que já chegou?, porque é que duas formas da mesma equação se comportam ao contrário?

Possíveis aprofundamentos (AE)
  • Utilizar a tecnologia para resolver problemas que envolvam funções exponenciais e logarítmicas, incluindo equações sem solução algébrica.
  • Explorar a utilização da programação na determinação aproximada de zeros, de extremos e de imagens por uma função inversa.

Os programas correm no Python Math Studio, a consola que já vive nesta página. Em cada bloco há o botão ▶ Correr no compilador — a consola abre com o programa escrito, basta carregar em Run Code. O botão 💬 Explicar o código troca o programa pela versão comentada linha a linha.

Nenhum destes três problemas se resolve com uma fórmula. Todos se resolvem com um algoritmo — e todos têm um caso de fronteira que o faz falhar se não for previsto. É esse caso de fronteira o verdadeiro conteúdo de cada problema.

Consola de Python

corre no navegadorprograma inserido no editor — carrega em Run Code

Como usar

  1. Num bloco de código desta página, carrega em ▶ Correr no compilador — a consola abre-se com o programa já escrito.
  2. Carrega em Run Code e lê a saída.
  3. Muda os valores e volta a correr — é assim que se explora.
já vem carregado
from math import * · log, exp, e
numpy · malhas e vetores
sympy · contas exatas
matplotlib · gráficos

Corre tudo dentro do teu navegador: nada sai do computador, e funciona sem ligação à Internet.

A máquina confirma resultados; nos itens de construção o exame exige a resolução analítica justificada.

1 · O melhor h não é o mais pequeno

DecomposiçãoReconhecimento de padrõesErros de vírgula flutuante

Enquadramento

A derivada é um limite: f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. Um computador não sabe fazer limites — sabe fazer contas com um h pequeno mas fixo. Duas escolhas naturais:

\underbrace{\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}}_{\text{razão incremental à direita}} \qquad\text{e}\qquad \underbrace{\dfrac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}}_{\text{diferença centrada}}.

A segunda é a média das razões incrementais dos dois lados, e os erros dos dois lados cancelam-se em parte. Por isso é a que se usa.

O desafio. Diminuir h aproxima a razão incremental do limite — mas cada subtração f(a+h) - f(a-h) subtrai dois números quase iguais, e o computador guarda-os com cerca de 16 algarismos. Quando h é minúsculo, quase todos esses algarismos cancelam-se e sobra ruído. Há portanto dois erros a puxar em sentidos contrários e um h ótimo algures no meio. Descobre-o por medição, não por adivinhação: usa f(x) = \dfrac{\ln x}{x}, cuja derivada sabes calcular — f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}, logo f'(1) = 1 — e mede o erro para h = 10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-14}.

from math import log

def f(x):
    return log(x) / x

def D(f, x, h):                       # diferenca centrada
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2*h)

# f'(x) = (1 - ln x) / x**2  ->  f'(1) = 1.  Qual e' o melhor h?
print(' h        D(f,1,h)            erro')
for k in range(1, 15):
    h = 10.0**(-k)
    d = D(f, 1, h)
    print('1e-%-2d  %18.14f   %.3e' % (k, d, abs(d - 1)))

O erro desce, atinge um mínimo por volta de h \approx 10^{-5} ou 10^{-6} — e depois volta a subir. Em h = 10^{-14} já quase não há algarismos corretos. Este gráfico em V é uma das primeiras coisas que se aprende em cálculo numérico.

Segunda parte. Com o h escolhido, encontra os extremos de f em [0{,}5,\; 8] sem usar a expressão da derivada — só valores de f. O algoritmo é a versão computacional do quadro de sinais: varrer a malha à procura de uma troca de sinal da derivada aproximada, e depois apertar cada troca por bisseção.

from math import log, e

H   = 1e-6            # o h que ganhou a corrida acima
EPS = 1e-12           # criterio de paragem da bissecao

def f(x):
    return log(x) / x

def D(x):
    return (f(x + H) - f(x - H)) / (2*H)

def varre(a, b, n):
    """Percorre a malha e devolve os intervalos onde D muda de sinal."""
    passo = (b - a) / n
    trocas = []
    x0, d0 = a, D(a)
    for i in range(1, n + 1):
        x1 = a + i * passo
        d1 = D(x1)
        if (d0 < 0) != (d1 < 0):        # mudou de sinal: ha' extremo entre os dois
            trocas.append((x0, x1, d0))
        x0, d0 = x1, d1
    return trocas

def aperta(x0, x1, d0):
    """Bissecao sobre a derivada. Termina sempre: o intervalo e' sempre metade."""
    while x1 - x0 > EPS * (1 + abs(x0)):
        m = (x0 + x1) / 2
        dm = D(m)
        if dm == 0:
            return m
        if (dm < 0) == (d0 < 0):
            x0, d0 = m, dm
        else:
            x1 = m
    return (x0 + x1) / 2

for (x0, x1, d0) in varre(0.5, 8, 300):
    c = aperta(x0, x1, d0)
    tipo = 'maximo' if d0 > 0 else 'minimo'
    print('%s relativo em x = %.12f   f(x) = %.12f' % (tipo, c, f(c)))

print('exato:              e = %.12f   1/e  = %.12f' % (e, 1/e))

O programa devolve x = 2{,}718281828\ldots — o número e — com f(e) = 1/e. Confere com a conta à mão: f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e. A máquina não sabia disso; chegou lá só com subtrações e divisões.

Casos de fronteira. (i) O teste (d0 < 0) != (d1 < 0) em vez de d0 * d1 < 0 — o produto dá 0 quando um dos valores é exatamente zero, e um extremo seria perdido. (ii) O critério de paragem é relativo, eps * (1 + abs(x)) — um critério absoluto como x1 - x0 > 1e-12 nunca terminaria para valores da ordem de 10^{6}. (iii) A bisseção termina sempre: o intervalo é exatamente metade em cada passo. Já while dm != 0 podia não terminar nunca.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. O varrimento avalia f em 2n pontos: é O(n). A bisseção divide o intervalo ao meio de cada vez, logo faz O(\log_{2}(1/\varepsilon)) passos. Qual das duas partes domina o tempo total quando \varepsilon = 10^{-12} e n = 300?
  2. Se aumentares n para 3000, que erro deixas de cometer? E que erro não desaparece por mais que aumentes n?
  3. O que acontece se a malha for grosseira e f tiver dois extremos muito próximos dentro do mesmo intervalo da malha? O algoritmo dá erro, ou dá uma resposta errada em silêncio? Qual dos dois é pior?
  4. Experimenta H = 10^{-14} na segunda parte. Quantos extremos falsos aparecem? Explica-os com o gráfico em V da primeira parte.
  5. Numa função com um patamar — f quase constante num intervalo — a derivada aproximada oscila em torno de zero por puro ruído. Que teste acrescentarias para não declarar um extremo em cada oscilação?

2 · Inverter uma função que não se sabe inverter

AbstraçãoOtimização algorítmicaDerivada nulaSeparação de ramos

Enquadramento

Uma função estritamente monótona num intervalo é injetiva, logo tem inversa (secção 5). Calcular f^{-1}(y) é resolver f(x) = y, ou seja, achar o zero de F(x) = f(x) - y.

O método de Newton sai diretamente da secção R2. A tangente ao gráfico de F no ponto de abcissa x_n é y = F'(x_n)(x - x_n) + F(x_n). Onde é que essa recta corta Ox? Fazendo y = 0:

x_{n+1} = x_n - \dfrac{F(x_n)}{F'(x_n)} = x_n - \dfrac{f(x_n) - y}{f'(x_n)}.

Newton é isto e mais nada: trocar a curva pela sua tangente e ir onde a tangente vai.

O desafio. Inverter y = x\,e^{x}. Pela regra do produto, f'(x) = (1+x)e^{x}, que se anula em x = -1: a função não é injetiva em \mathbb{R}. O quadro de sinais dá

x-\infty-1+\infty
Sinal de f'−0+
Variação de f↘-1/emín↗

Logo, para -1/e < y < 0 há duas soluções — uma em cada ramo. Antes de inverter é preciso escolher o ramo. E há um segundo perigo: exatamente em x = -1 a derivada é nula e a tangente é horizontal — nunca corta Ox. Newton, sozinho, atira o ponto para o infinito. A solução é Newton com rede: manter sempre um intervalo [a,b] com mudança de sinal e, sempre que Newton propuser um ponto fora dele (ou a derivada for nula), dar um passo de bisseção.

from math import exp, e

def f(x):                       # queremos inverter  y = x e^x
    return x * exp(x)

def df(x):                      # regra do produto
    return (1 + x) * exp(x)

def newton_seguro(y, a, b, eps=1e-14, maxit=80):
    """Resolve f(x) = y em [a, b]. Newton quando pode, bissecao quando deve."""
    fa = f(a) - y
    fb = f(b) - y
    if (fa < 0) == (fb < 0):
        raise ValueError('sem mudanca de sinal em [%g, %g]' % (a, b))
    x = a
    nn = nb = 0                                  # quantos passos de cada tipo
    for n in range(1, maxit + 1):
        d = df(x)
        xn = None
        if d != 0:                               # derivada nula: Newton nao serve
            cand = x - (f(x) - y) / d
            if a < cand < b:                     # saiu do intervalo: nao serve
                xn = cand
        if xn is None:
            xn = (a + b) / 2                     # rede de seguranca
            nb += 1
        else:
            nn += 1
        fn = f(xn) - y
        if (fn < 0) == (fa < 0):                 # aperta o intervalo
            a, fa = xn, fn
        else:
            b = xn
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, nn, nb
        x = xn
    return x, nn, nb

y = -0.2                        # -1/e < y < 0: DOIS ramos
print('minimo de f em x = -1,  f(-1) = -1/e = %.12f' % (-1/e))
for nome, a, b in (('direito', -1 + 1e-9, 20), ('esquerdo', -10, -1 - 1e-9)):
    x, nn, nb = newton_seguro(y, a, b)
    print('ramo %-9s x = %.12f   f(x) = %.12f   Newton: %d   bissecao: %d'
          % (nome, x, f(x), nn, nb))

Para y = -0{,}2 obtêm-se x \approx -0{,}2592 e x \approx -2{,}5426 — duas imagens inversas do mesmo y, uma por ramo. Repara na contagem dos dois tipos de passo. No ramo direito são 19 de Newton e apenas 1 de bisseção: a partir de x = 9{,}5 a tangente faz o ponto descer cerca de uma unidade de cada vez — Newton só fica rápido quando já está perto. No ramo esquerdo é 6 e 6: ali x e^{x} é quase plano, a tangente é quase horizontal e atira o ponto para fora do intervalo — sem a rede de bisseção, o algoritmo fugia.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. A bisseção ganha um bit de precisão por iteração: O(\log_{2}(1/\varepsilon)), cerca de 50 passos para 10^{-15}. Newton duplica o número de algarismos corretos de cada vez. Conta as iterações dos dois no mesmo problema e confirma a diferença.
  2. Porque é que o programa começa em -1 + 10^{-9} e não em -1? O que imprime df(-1)?
  3. Retira a rede de segurança (fica só Newton, sem bisseção) e arranca em x_0 = -0{,}999. Para onde vai o primeiro iterado? E porque é que o contador nb é tão alto no ramo esquerdo?
  4. O critério de paragem compara |x_{n+1} - x_n|, não |f(x_n) - y|. Dá um exemplo de função em que estes dois critérios discordam — um diz «cheguei» e o outro não.
  5. Este problema tem nome: a inversa de x e^{x} chama-se função W de Lambert, e os seus dois ramos são exatamente os dois que separaste. Onde é que a escolha do ramo tem de ser feita por quem escreve o programa, e não pelo programa?

3 · A mesma equação, duas escritas, dois destinos

Reconhecimento de padrõesConvergênciaOtimização algorítmicaCiclos infinitos

Enquadramento

A equação e^{-x} = x não se resolve com as regras da secção 3: não há como pôr o x de um lado só. Mas pode escrever-se como x = g(x) e iterar x_{n+1} = g(x_n) — o método do ponto fixo. Há duas escritas óbvias:

x = e^{-x} \qquad\text{ou}\qquad -x = \ln x \;\Longleftrightarrow\; x = -\ln x.

São algebricamente equivalentes. Numericamente, comportam-se ao contrário uma da outra.

O desafio. Se x^{*} é o ponto fixo, então perto dele a tangente descreve bem g e g(x_n) - g(x^{*}) \approx g'(x^{*})\,(x_n - x^{*}). Ou seja, o erro é multiplicado por |g'(x^{*})| em cada passo: menor do que 1 encolhe, maior do que 1 cresce. Aqui x^{*} \approx 0{,}567, e

|g_1'(x^{*})| = e^{-x^{*}} \approx 0{,}567 < 1, \qquad |g_2'(x^{*})| = \dfrac{1}{x^{*}} \approx 1{,}76 > 1.

Uma converge, a outra foge. Escreve um iterador que sobreviva às duas: tem de detetar a divergência (o valor explode, ou sai do domínio do logaritmo) e tem de ter um travão de iterações — sem ele, o segundo caso nunca termina.

from math import exp, log

# Equacao:  e^(-x) = x.  Nao se resolve com as regras da seccao 3.
def g1(x): return exp(-x)         # x = e^(-x)   ->  g1'(x) = -e^(-x)
def g2(x): return -log(x)         # x = -ln x    ->  g2'(x) = -1/x

def ponto_fixo(g, x0, eps=1e-13, maxit=300):
    """Iteracao x <- g(x). Devolve (raiz, iteracoes) ou (None, iteracoes)."""
    x = x0
    for n in range(1, maxit + 1):
        try:
            xn = g(x)
        except (ValueError, OverflowError):
            return None, n                       # saiu do dominio: divergiu
        if abs(xn) > 1e12:
            return None, n                       # explodiu: divergiu
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, n
        x = xn
    return None, maxit                           # nao convergiu a tempo

def newton(x0, eps=1e-13, maxit=300):
    x = x0
    for n in range(1, maxit + 1):
        fx = x - exp(-x)
        d  = 1 + exp(-x)                         # f'(x) = 1 + e^(-x) > 0 sempre
        xn = x - fx / d
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, n
        x = xn
    return None, maxit

r1, n1 = ponto_fixo(g1, 0.5)
r2, n2 = ponto_fixo(g2, 0.5)
r3, n3 = newton(0.5)
print('x = e^(-x)  ->', r1, 'em', n1, 'iteracoes')
print('x = -ln x   ->', r2, 'em', n2, 'iteracoes')
print('Newton      ->', r3, 'em', n3, 'iteracoes')

# Porque? Porque o erro e' multiplicado por |g'(x*)| em cada passo.
x = r3
print('|g1\'(x*)| =', abs(-exp(-x)), ' < 1  -> converge')
print('|g2\'(x*)| =', abs(-1/x),     ' > 1  -> diverge')

A primeira escrita chega a 0{,}5671432904\ldots ao fim de umas dezenas de iterações; a segunda devolve None; Newton chega ao mesmo valor em quatro ou cinco. A diferença não está na equação — está na forma como a escrevemos.

Convergência linear e convergência quadrática. No ponto fixo o erro fica multiplicado por 0{,}567 por passo: para ganhar um algarismo decimal são precisos cerca de 4 passos, e para 12 algarismos cerca de 48. Em Newton o erro passa a ser aproximadamente proporcional ao quadrado do erro anterior: 10^{-2} \to 10^{-4} \to 10^{-8} \to 10^{-16}. É a diferença entre O(\log(1/\varepsilon)) e O(\log\log(1/\varepsilon)) iterações.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. Imprime |x_{n+1} - x^{*}| em cada passo da primeira iteração e calcula o quociente entre erros consecutivos. Aproxima-se de 0{,}567? Porquê?
  2. Faz o mesmo com Newton. O quociente |e_{n+1}|/|e_n|^{2} estabiliza — em que valor?
  3. A segunda escrita diverge a partir de x_0 = 0{,}5. Existe algum x_0 a partir do qual ela convirja? (Cuidado: o ponto fixo é o mesmo. O que muda?)
  4. O travão maxit é o que separa um programa de um bloqueio. Que outra condição de paragem acrescentarias para detetar cedo que a sucessão está a afastar-se, em vez de esperar pelas 300 iterações?
  5. Aceleração de Aitken. Com três iterados consecutivos, \tilde{x} = x_0 - \dfrac{(x_1 - x_0)^{2}}{x_2 - 2x_1 + x_0} costuma estar muito mais perto de x^{*} do que x_2. Implementa-o sobre a primeira iteração e conta quantas iterações poupas. Que caso de fronteira tens de tratar no denominador?
05

Teste rápido

Dez questões de resposta imediata, com correção e explicação. Serve para verificares se podes avançar — ou se convém voltar atrás.

Pergunta 1 de 10
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Formulário essencial e referências

Tudo o que este capítulo usa, numa página. A caixa das leituras erradas é a que mais falta faz — é lá que estão os enganos que aparecem nos jornais todas as semanas.

Parâmetro e estatística

PopulaçãoAmostra
Valor médio{\mu}\bar{x}
Desvio-padrão{\sigma}s
Proporçãop\hat{p}

Os da esquerda são parâmetros — fixos e desconhecidos. Os da direita são estatísticas — conhecidas e variáveis.

Média e desvio-padrão amostrais

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i} s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}

Distribuição de amostragem da média

E\left[\bar{X}\right] = {\mu}, \qquad {\sigma}_{\bar{X}} = \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}

Teorema Limite Central

Para n suficientemente grande, \bar{X} é aproximadamente Normal com valor médio {\mu} e desvio-padrão \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}, qualquer que seja a distribuição da população.

Regra empírica

{\mu} \pm {\sigma}\approx 0{,}683
{\mu} \pm 2{\sigma}\approx 0{,}954
{\mu} \pm 3{\sigma}\approx 0{,}997
{\mu} \pm 1{,}96{\sigma}= 0{,}95

Intervalo de confiança para {\mu}

\left[\bar{x} - z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \ \bar{x} + z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right]

Quando {\sigma} é desconhecido, substitui-se por s.

Valores de z

Confiança{\alpha}z_{1-{\alpha}/2}
90\%0{,}101{,}645
95\%0{,}051{,}960
99\%0{,}012{,}576

Margem de erro

m = z_{1-{\alpha}/2}\,\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}

É metade da amplitude. Para a reduzir a metade, quadruplica-se n.

Intervalo para uma proporção

\left[\hat{p} - z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\ \ \hat{p} + z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]

Dimensionar a amostra

Sem informação prévia sobre p, usa-se o pior caso \hat{p} = 0{,}5:

n \geq \left(\frac{z_{1-{\alpha}/2} \times 0{,}5}{m}\right)^{2}

A 95\%, com m = 0{,}03: n = 1068. São os «três pontos» das sondagens.

As leituras erradas, e as certas

Errado: «a probabilidade de {\mu} estar no intervalo é 95\%». Certo: «a probabilidade de o intervalo conter {\mu} é 95\%» — o aleatório está nos extremos. Errado: «o TLC diz que a população é Normal». Certo: é a média amostral que se aproxima da Normal. Errado: «52\% com margem de 3 pontos, logo tem maioria». Certo: o intervalo contém 50\% — é um empate técnico. Errado: «a amostra é grande, logo é representativa». Certo: o que faz a representatividade é ser aleatória; nenhuma dimensão corrige um enviesamento.

Antes de dar uma resolução por fechada

o desvio-padrão amostral divide por n-1; ao dimensionar uma amostra, arredonda-se por excesso; margem de erro é metade da amplitude; numa proporção sem informação prévia, usa-se o pior caso \hat{p} = 0{,}5; a resposta a uma leitura de sondagem compara sempre a diferença com a margem.

Referências

Aprendizagens Essenciais · Matemática A · 12.º ano (2023), tema opcional «Introdução à inferência estatística». Abraham de Moivre, The Doctrine of Chances (1733) — a primeira versão do Teorema Limite Central. Pierre-Simon Laplace, Théorie analytique des probabilités (1812) — a generalização. ALEA — Ação Local de Estatística Aplicada, Introdução à Inferência Estatística.

07

Exercícios globais

Os temas opcionais nunca foram avaliados em Exame Nacional — não há, por isso, itens de exame para este capítulo. O que se segue são exercícios originais, no formato e no grau de exigência de um item, arrumados por tema. Cada um traz sugestão e resolução passo a passo.

Exercícios globais · Amostragem e Teorema Limite Central

Cinco exercícios sobre amostras, estimadores e a distribuição da média. Em dois deles não há contas nenhumas — e são os mais difíceis.

Exercício 1 construçãoExercício global · TLC

O tempo de espera numa fila tem valor médio 6 minutos e desvio-padrão 3 minutos, com distribuição fortemente assimétrica.

a) Justifica que a média de 100 esperas tem distribuição aproximadamente Normal, e indica os seus parâmetros.b) Determina a probabilidade aproximada de essa média exceder 6{,}6 minutos.

Exercício 2 escolha múltiplaExercício global · TLC

Numa população com {\\sigma} = 20, o desvio-padrão da média de amostras de dimensão n é 2{,}5.

Qual é o valor de n?

  • (A)8
  • (B)16
  • (C)64
  • (D)400
Exercício 3 construçãoExercício global · amostragem

Um investigador quer estimar o tempo médio diário que os jovens passam nas redes sociais. Publica um inquérito numa rede social e recolhe 5000 respostas.

Explica por que razão a estimativa será previsivelmente enviesada, e indica o sentido do enviesamento.

Exercício 4 construçãoExercício global · estimador

Para estimar o valor médio de uma população, dois estudantes propõem estimadores diferentes: o primeiro usa a média da amostra; o segundo usa a média entre o menor e o maior valor da amostra.

Comenta os dois, sabendo que a população é aproximadamente Normal.

Exercício 5 construçãoExercício global · dimensionar

Numa população com {\\sigma} = 25, pretende-se que a média amostral se afaste de {\\mu} menos de 4 unidades, com probabilidade 0{,}95.

Determina a menor dimensão de amostra.

Na alínea a), invoca o TLC — que não exige nada à forma da população. Na b), conta os desvios-padrão.

  1. a) Pelo Teorema Limite Central, com n = 100 suficientemente grande, \\bar{X} é aproximadamente Normal, qualquer que seja a distribuição da população: E\\left[\\bar{X}\\right] = 6, \\qquad {\\sigma}_{\\bar{X}} = \\frac{3}{\\sqrt{100}} = 0{,}3.
  2. b) \\dfrac{6{,}6-6}{0{,}3} = 2: são dois desvios-padrão acima.
  3. Pela regra empírica, acima de 2 desvios fica \\dfrac{1-0{,}954}{2} = 0{,}023.A assimetria da população é irrelevante para a alínea b) — é isso que o TLC compra. Para uma espera, a regra empírica não valeria.
RespostaNormal com {\\mu}=6 e {\\sigma}_{\\bar{X}}=0{,}3 · \\approx 0{,}023

Resolve \\frac{20}{\\sqrt{n}} = 2{,}5.

  1. \\frac{20}{\\sqrt{n}} = 2{,}5 \\iff \\sqrt{n} = 8 \\iff n = 64.
  2. A opção (A) é a armadilha: 8 é o \\sqrt{n}, não o n.Vale a pena verificar no fim: \\frac{20}{\\sqrt{64}} = \\frac{20}{8} = 2{,}5. ✓
RespostaOpção (C)

Quem é que pode responder a um inquérito publicado numa rede social?

  1. Quem entra na amostra. Só quem usa a rede social e a usa com frequência suficiente para ver o inquérito e decide responder. Quem não usa redes sociais tem probabilidade nula de entrar.
  2. O sentido. Os utilizadores mais intensivos são os que mais provavelmente veem e respondem: a estimativa fica acima do verdadeiro tempo médio dos jovens.
  3. A dimensão não salva nada. As 5000 respostas tornam a estimativa mais precisa — mas em torno do valor errado.É a distinção entre precisão e exatidão. Uma amostra enviesada de 5000 é pior do que uma amostra aleatória de 300: dá uma resposta errada com mais convicção.
RespostaAmostra de resposta voluntária, enviesada por excesso; a dimensão não corrige

Numa população simétrica, ambos acertam em média. A diferença está noutro sítio.

  1. Ambos são centrados. Numa população simétrica, tanto a média como o ponto médio entre extremos têm valor médio igual a {\\mu}.
  2. A diferença está na variabilidade. O segundo usa apenas dois valores da amostra — e precisamente os dois mais extremos, que são os mais instáveis. O primeiro usa todos.
  3. O segundo tem muito maior desvio-padrão: é centrado mas mau. Além disso, não melhora com n ao mesmo ritmo.Ser centrado não chega para ser bom estimador. Entre dois estimadores centrados, escolhe-se o de menor variabilidade — e é por isso que a média amostral é a escolha.
RespostaAmbos centrados; o segundo tem variabilidade muito maior

Com probabilidade 0{,}95, \\bar{X} fica a menos de 1{,}96\\,{\\sigma}_{\\bar{X}} de {\\mu}.

  1. 1{,}96 \\times \\frac{25}{\\sqrt{n}} < 4 \\iff \\sqrt{n} > \\frac{49}{4} = 12{,}25.
  2. n > 150{,}06 \\implies n = 151.
  3. Arredonda-se por excesso.Com n = 150 a condição já não se cumpre — por pouco, mas não se cumpre. Neste tipo de problema, arredondar por defeito é sempre erro.
Respostan = 151

Exercícios globais · Intervalos de confiança e sondagens

Cinco exercícios de intervalos, margens de erro e leitura de sondagens. O último é uma notícia verdadeira em tudo menos no título.

Exercício 6 construçãoExercício global · intervalo para a média

Uma amostra aleatória de 225 lâmpadas deu duração média 1180 horas e desvio-padrão amostral 90 horas.

a) Constrói o intervalo de 95\\% de confiança para a duração média.b) O fabricante anuncia 1200 horas. Comenta.

Exercício 7 escolha múltiplaExercício global · interpretar

Um estudo apresenta o intervalo de 95\\% de confiança \\left]12{,}3,\\ 15{,}7\\right[ para {\\mu}.

Qual das afirmações é correta?

  • (A)95\\% da população está entre 12{,}3 e 15{,}7
  • (B)A probabilidade de {\\mu} estar entre 12{,}3 e 15{,}7 é 0{,}95
  • (C)Repetindo o processo, cerca de 95\\% dos intervalos conteriam {\\mu}
  • (D)95\\% das amostras têm média entre 12{,}3 e 15{,}7
Exercício 8 construçãoExercício global · proporção

Numa amostra aleatória de 625 consumidores, 150 declararam preferir a marca A.

a) Constrói o intervalo de 95\\% de confiança para p.b) Pode afirmar-se que menos de um terço dos consumidores prefere a marca A?

Exercício 9 construçãoExercício global · dimensionar uma sondagem

Uma empresa quer encomendar uma sondagem com margem de erro de 2 pontos percentuais, a 95\\% de confiança.

a) Determina a dimensão necessária, sem informação prévia sobre p.b) Sabendo que cada inquérito custa 4 €, compara o custo com o de uma sondagem de 3 pontos de margem.

Exercício 10 construçãoExercício global · ler uma notícia

Uma notícia diz: «Sondagem realizada a 1200 pessoas, com margem de erro de 2{,}8 pontos percentuais para um nível de confiança de 95\\%. O partido X tem 27{,}5\\% e o partido Y tem 25{,}2\\%. X ultrapassa Y.»

a) Confirma a margem de erro anunciada, usando o pior caso.b) Comenta a afirmação final.

Na alínea b), vê se 1200 está dentro ou fora do intervalo.

  1. a) A margem: 1{,}96 \\times \\frac{90}{\\sqrt{225}} = 1{,}96 \\times \\frac{90}{15} = 1{,}96 \\times 6 = 11{,}76. O intervalo é \\left]1168{,}24,\\ 1191{,}76\\right[.
  2. b) O valor 1200 fica fora do intervalo, acima dele.
  3. Os dados são pouco compatíveis com a duração anunciada: há indício de que o fabricante exagera.«Pouco compatível» não é «provado falso». Se a duração média fosse mesmo 1200, um intervalo destes deixá-la-ia de fora em menos de 5\\% das amostras — é pouco, mas não é impossível.
Resposta\\left]1168{,}24,\\ 1191{,}76\\right[; 1200 fica fora

Só uma das quatro fala do método em vez de falar deste intervalo em concreto.

  1. (C) é a correta: a confiança é uma propriedade do método, verificada ao longo de muitas repetições.
  2. (A) é falsa: o intervalo é para o valor médio, não para os valores individuais da população.
  3. (B) é a armadilha: {\\mu} é fixo — ou está ou não está. Não há probabilidade a atribuir-lhe.
  4. (D) é falsa: confunde a distribuição de \\bar{X} com o intervalo construído a partir de uma amostra.A diferença entre (B) e (C) é a mais subtil e a mais importante do capítulo. Em (B) o aleatório estaria em {\\mu}; em (C) está, corretamente, nos extremos.
RespostaOpção (C)

Um terço é 0{,}3\\overline{3}. Vê se esse valor cai dentro do intervalo.

  1. a) \\hat{p} = \\dfrac{150}{625} = 0{,}24. A margem: 1{,}96\\sqrt{\\frac{0{,}24 \\times 0{,}76}{625}} = 1{,}96\\sqrt{0{,}00029184} \\approx 1{,}96 \\times 0{,}01708 \\approx 0{,}0335. O intervalo é \\left]0{,}2065,\\ 0{,}2735\\right[.
  2. b) Um terço é \\approx 0{,}333, que fica acima do extremo superior do intervalo.
  3. Sim: os dados sustentam que a proporção é inferior a um terço.Note-se a assimetria da conclusão. Dizer «é inferior a um terço» é seguro porque todo o intervalo está abaixo desse valor. Se o intervalo o contivesse, nada se poderia afirmar.
Resposta\\left]0{,}207,\\ 0{,}274\\right[; sim, todo o intervalo está abaixo de 1/3

Usa o pior caso \\hat{p} = 0{,}5 nas duas alíneas.

  1. a) 1{,}96\\sqrt{\\frac{0{,}25}{n}} \\leq 0{,}02 \\iff \\sqrt{n} \\geq \\frac{0{,}98}{0{,}02} = 49 \\iff n \\geq 2401.
  2. b) Com 3 pontos: \\sqrt{n} \\geq \\dfrac{0{,}98}{0{,}03} \\approx 32{,}67, logo n = 1068.
  3. Os custos: 2401 \\times 4 = 9604 € contra 1068 \\times 4 = 4272 €.
  4. Ganhar um ponto percentual de precisão custa mais do dobro.É a conta que decide o orçamento de qualquer sondagem — e a razão por que quase todas ficam nos 3 pontos. A margem entra ao quadrado no denominador do n.
Respostan = 2401, a 9604 €, contra 1068 a 4272 €

Na alínea a), calcula 1{,}96\\sqrt{0{,}25/1200}. Na b), compara a diferença com a margem.

  1. a) 1{,}96\\sqrt{\\frac{0{,}25}{1200}} = 1{,}96 \\times \\frac{0{,}5}{34{,}64} \\approx 0{,}0283. São de facto cerca de 2{,}8 pontos percentuais. ✓
  2. b) A diferença entre os dois partidos é 27{,}5-25{,}2 = 2{,}3 pontos — inferior à margem de 2{,}8.
  3. Os intervalos dos dois partidos intersetam-se: os dados não permitem afirmar que X ultrapassa Y. É um empate técnico.
  4. A ficha técnica está correta; a conclusão do título é que não.É o padrão mais comum: o rodapé traz a informação certa e o título ignora-a. Saber ler a ficha técnica é o que este capítulo dá.
RespostaMargem confirmada (\\approx 2{,}8 p.p.); a diferença é menor, logo empate técnico