∞Astrolábio · Introdução à inferência estatística
Matemática A · 12.º ano · Aprendizagens Essenciais

Introdução à inferência estatística

Perguntar a mil pessoas e dizer alguma coisa sobre dez milhões. O que é uma amostra aleatória, o que é um estimador, porque é que a média amostral se comporta sempre da mesma maneira — o Teorema Limite Central — e como daí sai um intervalo de confiança. Um dos três temas opcionais das Aprendizagens Essenciais. Teoria, laboratórios interativos e exercícios com resolução passo a passo.

\bar{x} \pm 1{,}96\frac{\sigma}{\sqrt{n}} O aleatório está nos extremos, não no valor médio.
0exercícios
3laboratórios interativos
8secções
0%concluído
R

Revisão · Médias e o modelo Normal

Três coisas que vêm de trás e de que este capítulo não larga a mão: a média e o desvio-padrão de uma amostra, a forma da curva Normal, e a diferença entre olhar para todos e olhar para alguns.

Aprendizagens Essenciais
  • Retomar as noções de população, amostra, média e desvio-padrão, e o modelo Normal, como base do raciocínio inferencial.

1 · Média e desvio-padrão de uma amostra

Definições

Para uma amostra x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n}:

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i}, \qquad s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}.

A s chama-se desvio-padrão amostral.

Porquê n-1 e não n

Existem as duas fórmulas. A de n-1 é a que se usa quando o objetivo é estimar o desvio-padrão da população: os desvios medem-se em relação a \bar{x}, que já foi calculado a partir dos próprios dados, e isso encolhe-os sistematicamente. Dividir por n-1 compensa esse encolhimento. Nas calculadoras, é a tecla s_{x} — e não a {\sigma}_{x}.

2 · O modelo Normal, e os três números

Uma variável com distribuição Normal de valor médio {\mu} e desvio-padrão {\sigma} tem uma curva simétrica em torno de {\mu}, e reparte-se sempre da mesma maneira:

IntervaloProbabilidade
\left]{\mu}-{\sigma},\ {\mu}+{\sigma}\right[\approx 0{,}683
\left]{\mu}-2{\sigma},\ {\mu}+2{\sigma}\right[\approx 0{,}954
\left]{\mu}-3{\sigma},\ {\mu}+3{\sigma}\right[\approx 0{,}997
\left]{\mu}-1{,}96{\sigma},\ {\mu}+1{,}96{\sigma}\right[= 0{,}95

A última linha é a que este capítulo usa sem parar. O 1{,}96 é o número que deixa exatamente 2{,}5\% de cada lado — e é de lá que vem, tal e qual, o 1{,}96 de todos os intervalos de confiança a 95\%.

3 · Toda a população, ou só uma parte

População e amostra

População: o conjunto de todos os elementos sobre os quais se quer concluir. Amostra: o subconjunto que se observa de facto. Censo: observar a população inteira. Às vezes é caro; muitas vezes é impossível.

Quando a população é infinita — todos os lançamentos possíveis de um dado, todas as peças que uma máquina virá a produzir — o censo não é caro: é impossível por princípio. É aí que a inferência deixa de ser uma comodidade.

Exemplo 1 Média e desvio-padrão, à mão

Determina a média e o desvio-padrão amostral de 4,\ 7,\ 7,\ 10,\ 12.

  1. A média: \bar{x} = \dfrac{4+7+7+10+12}{5} = \dfrac{40}{5} = 8.
  2. Os desvios e os quadrados: -4, -1, -1, 2, 4 e 16, 1, 1, 4, 16, que somam 38.
  3. O desvio-padrão amostral, com n-1 = 4: s = \sqrt{\frac{38}{4}} = \sqrt{9{,}5} \approx 3{,}08.
  4. Verificação rápida: a soma dos desvios tem de dar zero — -4-1-1+2+4 = 0. ✓Essa verificação apanha erros de sinal em dois segundos, e vale a pena fazê-la sempre antes de elevar ao quadrado.
Resposta\bar{x} = 8 · s \approx 3{,}08
Exemplo 2 Ler uma Normal sem calculadora

O tempo de vida de uma lâmpada é Normal com {\mu} = 1200 horas e {\sigma} = 100 horas.

Determina a percentagem aproximada de lâmpadas que duram mais de 1400 horas.

  1. Quantos desvios-padrão: \dfrac{1400-1200}{100} = 2. É {\mu}+2{\sigma}.
  2. Dentro de dois desvios fica 0{,}954, logo fora fica 1-0{,}954 = 0{,}046.
  3. Por simetria, à direita fica metade: P(X > 1400) \approx \frac{0{,}046}{2} = 0{,}023.
  4. Cerca de 2{,}3\% das lâmpadas.Passar do valor para «quantos desvios-padrão» é o gesto que dispensa a calculadora — e é o mesmo que a secção 3 vai fazer com a média amostral.
Resposta\approx 2{,}3\%
Python A regra empírica, verificada por simulação 
import random
import statistics

mu, sigma = 100, 15
n = 200000
amostra = [random.normalvariate(mu, sigma) for _ in range(n)]

for k in (1, 2, 3):
    dentro = sum(1 for x in amostra if mu - k*sigma < x < mu + k*sigma)
    print('%d desvios-padrao -> %.4f' % (k, dentro / n))

print('media    :', round(statistics.mean(amostra), 3))
print('desvio   :', round(statistics.stdev(amostra), 3))

Saem 0{,}683, 0{,}954 e 0{,}997, com dois ou três algarismos certos. Baixa o n para 200 e repara em quanto os valores passam a oscilar de execução para execução — é a variabilidade amostral, que é o assunto da secção 2.

Exercícios propostos

Doze exercícios de revisão. Os que falam de amostras enviesadas não são acessórios: tudo o que este capítulo constrói assenta em a amostra ser aleatória.

A cor do título dá o grau de dificuldade: verde, aplicação direta · amarelo, exige uma ideia intermédia · vermelho, justificação ou generalização, ao nível do Exame.

Exercício 1§R · média e desvio-padrão

Considera a amostra 2,\ 5,\ 5,\ 8,\ 10.

a) Determina a média.b) Determina o desvio-padrão amostral, com três casas decimais.

Exercício 2§R · modelo Normal

Seja X uma variável aleatória com distribuição Normal de valor médio {\mu} = 100 e desvio-padrão {\sigma} = 15.

Indica, sem calculadora, o valor aproximado de P(85 < X < 115).

Exercício 3§R · modelo Normal

Sendo X Normal com {\mu} = 20 e {\sigma} = 4, determina o intervalo \left]{\mu}-2{\sigma},\ {\mu}+2{\sigma}\right[ e a probabilidade aproximada de X lá cair.

Exercício 4§R · média e desvio-padrão

Numa turma de 25 alunos, a média das alturas é 1{,}68 m. Entra um aluno novo, com 1{,}94 m.

Determina a nova média, com três casas decimais.

Exercício 5§R · amostras

Numa escola com 800 alunos pretende-se estimar a percentagem que vai a pé para a escola.

a) Indica a população em estudo.b) Explica por que razão perguntar apenas aos alunos do 12.º ano não daria uma amostra representativa.

Exercício 6§R · modelo Normal

Seja X Normal com {\mu} = 500 e {\sigma} = 50. Determina a tal que P(500-a < X < 500+a) \approx 0{,}95.

Exercício 7§R · média e desvio-padrão

Uma amostra de 4 valores tem média 10 e os três primeiros valores são 7, 9 e 12.

Determina o quarto valor.

Exercício 8§R · amostras

Explica a diferença entre população e amostra, e dá um exemplo em que a população é infinita.

Exercício 9§R · modelo Normal

Sendo X Normal com {\mu} = 0 e {\sigma} = 1, e sabendo que P(-1{,}96 < X < 1{,}96) = 0{,}95, determina P(X > 1{,}96).

Exercício 10§R · média e desvio-padrão

Mostra que, se a cada valor de uma amostra se somar uma constante k, a média aumenta k e o desvio-padrão não muda.

Exercício 11§R · modelo Normal

Uma máquina enche pacotes com peso Normal de valor médio 500 g e desvio-padrão 8 g. Um pacote é rejeitado se pesar menos de 484 g.

Determina a percentagem aproximada de pacotes rejeitados.

Exercício 12§R · amostras

Uma sondagem por telefone fixo, realizada às 15 horas de um dia útil, conclui que 70\% da população é a favor de uma medida.

Aponta duas razões pelas quais esta amostra pode não ser representativa da população portuguesa.

O desvio-padrão amostral divide por n-1, e não por n.

  1. a) \bar{x} = \dfrac{2+5+5+8+10}{5} = 6.
  2. b) Os desvios são -4, -1, -1, 2, 4, e os quadrados 16, 1, 1, 4, 16, que somam 38. s = \sqrt{\frac{38}{5-1}} = \sqrt{9{,}5} \approx 3{,}082.O n-1 não é capricho: é ele que faz de s^{2} um bom estimador da variância da população. Com n no denominador, o valor sai sistematicamente pequeno demais.
Resposta\bar{x} = 6 · s \approx 3{,}082

É o intervalo {\mu} \pm {\sigma}. Há um valor da regra empírica para isso.

  1. 85 = {\mu} - {\sigma} e 115 = {\mu} + {\sigma}.
  2. Pela regra empírica, P({\mu}-{\sigma} < X < {\mu}+{\sigma}) \approx 0{,}954? Não: esse é o de 2{\sigma}. Para 1{\sigma}, P(85 < X < 115) \approx 0{,}683.Os três valores a ter na cabeça: 68{,}3\% a um desvio-padrão, 95{,}4\% a dois, 99{,}7\% a três. O 1{,}96 dos intervalos de confiança é o que dá exatamente 95\%.
Resposta\approx 0{,}683

Aplica a fórmula e usa a regra empírica.

  1. \left]20-8,\ 20+8\right[ = \left]12,\ 28\right[.
  2. P(12 < X < 28) \approx 0{,}954.
Resposta\left]12,\,28\right[ · \approx 0{,}954

A média é a soma a dividir pelo número. Reconstrói a soma antiga.

  1. A soma antiga: 25 \times 1{,}68 = 42.
  2. A nova: 42 + 1{,}94 = 43{,}94, agora com 26 alunos.
  3. \bar{x} = \frac{43{,}94}{26} \approx 1{,}690\ \text{m}.Um valor extremo mexe pouco numa amostra grande e muito numa pequena. É essa a intuição que a secção 2 vai transformar em fórmula.
Resposta\approx 1{,}690 m

Uma amostra é representativa quando todos os elementos da população têm hipóteses de lá entrar.

  1. a) Os 800 alunos da escola.
  2. b) Os alunos do 12.º ano são mais velhos, vivem eventualmente mais longe e alguns já conduzem — a percentagem que vai a pé pode ser sistematicamente diferente da do resto da escola. A amostra ficaria enviesada.Uma amostra grande mal escolhida é pior do que uma pequena bem escolhida: o enviesamento não desaparece por se recolherem mais dados.
RespostaOs 800 alunos; a amostra ficaria enviesada

Não são exatamente dois desvios-padrão: o valor que dá 95\% certos é 1{,}96.

  1. Para 95\% exatos, a = 1{,}96\,{\sigma}.
  2. a = 1{,}96 \times 50 = 98.
  3. O intervalo é \left]402,\ 598\right[.O 1{,}96 vai aparecer em todos os intervalos de confiança a 95\% deste capítulo. Vale a pena saber de onde vem: é o valor que deixa 2{,}5\% de cada lado.
Respostaa = 98

A soma dos quatro é 4 \times 10.

  1. A soma: 4 \times 10 = 40.
  2. O quarto: 40 - (7+9+12) = 40 - 28 = 12.
Resposta12

Pensa num processo que possa ser repetido sem limite.

  1. População é o conjunto de todos os elementos sobre os quais se quer concluir; amostra é o subconjunto efetivamente observado.
  2. População infinita: todos os lançamentos possíveis de um dado; ou todas as peças que uma máquina virá a produzir. Não se podem observar todos — nem sequer existem todos ao mesmo tempo.Quando a população é infinita, o censo é impossível por princípio, e não por falta de dinheiro. É aí que a inferência deixa de ser uma comodidade e passa a ser a única via.
RespostaPopulação: todos; amostra: os observados. Ex.: todos os lançamentos possíveis de um dado

A curva Normal é simétrica em relação a {\mu} = 0. O que sobra reparte-se pelas duas caudas.

  1. Fora do intervalo fica 1 - 0{,}95 = 0{,}05.
  2. Por simetria, metade de cada lado: P(X > 1{,}96) = \frac{0{,}05}{2} = 0{,}025.É esta a leitura do 1{,}96: é o valor que deixa 2{,}5\% à direita — e por isso se escreve z_{0{,}975}.
Resposta0{,}025

Escreve a nova média e os novos desvios em relação a ela.

  1. A nova média. Se y_{i} = x_{i}+k, então \bar{y} = \frac{\sum(x_{i}+k)}{n} = \frac{\sum x_{i} + nk}{n} = \bar{x} + k.
  2. Os desvios: y_{i}-\bar{y} = (x_{i}+k)-(\bar{x}+k) = x_{i}-\bar{x}. São exatamente os mesmos.
  3. Logo a soma dos quadrados não muda, e o desvio-padrão também não.Somar uma constante desloca tudo em bloco: a dispersão é a mesma. Já multiplicar por uma constante multiplica o desvio-padrão por ela.
Resposta\bar{y} = \bar{x}+k e os desvios são iguais

Quantos desvios-padrão abaixo da média está 484? Depois é a regra empírica e a simetria.

  1. Quantos desvios: \dfrac{484-500}{8} = -2. É exatamente {\mu}-2{\sigma}.
  2. Pela regra empírica, P({\mu}-2{\sigma} < X < {\mu}+2{\sigma}) \approx 0{,}954, logo fora fica 0{,}046.
  3. Por simetria, à esquerda fica metade: 0{,}023, ou seja cerca de 2{,}3\%.
Resposta\approx 2{,}3\%

Pergunta-te: quem é que pode entrar nesta amostra, e quem é que fica sistematicamente de fora?

  1. O telefone fixo. Uma parte grande da população já não tem telefone fixo, e essa parte não é aleatória — tende a ser mais jovem e mais urbana.
  2. A hora. Às 15 horas de um dia útil, quem atende tende a ser quem está em casa: reformados, desempregados, quem trabalha por turnos. Quem está a trabalhar fica de fora.
  3. A amostra é enviesada: há grupos com probabilidade nula, ou muito reduzida, de serem escolhidos.Tudo o que este capítulo constrói — estimadores, intervalos, margens de erro — assenta na hipótese de a amostra ser aleatória. Se ela falhar, nenhuma fórmula salva o resultado.
RespostaO telefone fixo e a hora excluem sistematicamente grupos da população
01

Da amostra à população

Toda a estatística que vem antes deste capítulo descreve dados. A partir daqui faz-se outra coisa: a partir de uma parte, afirma-se alguma coisa sobre o todo — e assume-se que se pode estar enganado.

Aprendizagens Essenciais
  • Distinguir raciocínio indutivo ou inferencial de raciocínio dedutivo.
  • Distinguir parâmetro de estatística, e estimador de estimativa.
  • Compreender o conceito de amostra aleatória.

1 · Um raciocínio de outro tipo

Até aqui, a matemática deste livro foi sempre dedutiva: das hipóteses tira-se a conclusão, e a conclusão é certa. A inferência estatística é indutiva: do particular tira-se o geral, e a conclusão vem sempre com uma medida de incerteza colada.

A diferença, numa frase

Numa demonstração, a conclusão é verdadeira. Numa inferência, a conclusão é provável — e a estatística serve, precisamente, para dizer quão provável.

2 · Parâmetro e estatística

Definições

Parâmetro: um valor da população — fixo e, em geral, desconhecido. Estatística: um valor calculado a partir da amostra — conhecido, mas diferente de amostra para amostra.

População (parâmetro)Amostra (estatística)
Valor médio{\mu}\bar{x}
Desvio-padrão{\sigma}s
Proporçãop\hat{p}

A notação faz metade do trabalho: letra grega ou p sem chapéu, é da população; barra ou chapéu, veio de uma amostra.

3 · Estimador e estimativa

Definições

Estimador: a regra usada para estimar um parâmetro — por exemplo, \bar{X}. É uma variável aleatória, porque depende da amostra que calhar. Estimativa: o número que essa regra devolveu numa amostra concreta — por exemplo, \bar{x} = 68{,}5.

A distinção parece formal e não é. O estimador, sendo variável aleatória, tem uma distribuição — e é essa distribuição que permite dizer alguma coisa sobre o erro que se está a cometer. É o assunto da secção 2.

Um bom estimador

Diz-se centrado quando o seu valor médio é o próprio parâmetro. A média amostral é centrada: E\left[\bar{X}\right] = {\mu}. Em média, acerta — o que não impede que numa amostra concreta erre.

4 · Amostra aleatória

Definição · amostra aleatória

Uma amostra diz-se aleatória quando todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de nela figurar, e a escolha de um não influencia a dos outros.

A hipótese que sustenta o capítulo inteiro

Tudo o que vem a seguir — a distribuição de amostragem, o Teorema Limite Central, os intervalos de confiança — assenta em a amostra ser aleatória. Se não for, nenhuma fórmula corrige o problema: uma amostra enviesada de dez mil pessoas é pior do que uma amostra aleatória de mil.

Exemplo 3 Separar o que se sabe do que se quer saber

Uma fábrica quer conhecer o peso médio dos pacotes que produz. Pesa 60 pacotes escolhidos ao acaso e obtém média 498{,}2 g e desvio-padrão 7{,}1 g.

Identifica a população, a amostra, o parâmetro, o estimador e a estimativa.

  1. População: todos os pacotes produzidos pela fábrica.
  2. Amostra: os 60 pacotes pesados.
  3. Parâmetro: {\mu}, o peso médio de todos os pacotes — desconhecido.
  4. Estimador: a média amostral \bar{X}.
  5. Estimativa: \bar{x} = 498{,}2 g.O 7{,}1 é também uma estatística — s, a estimativa de {\sigma}. Vai fazer falta na secção 3, quando o {\sigma} da fórmula tiver de ser substituído por alguma coisa conhecida.
RespostaParâmetro {\mu}; estimador \bar{X}; estimativa 498{,}2 g
Exemplo 4 Onde é que a amostragem falha

Para estimar o tempo médio que os alunos demoram a chegar à escola, um professor pergunta aos alunos da sua turma da primeira aula da manhã.

Explica por que razão a amostra não é aleatória e em que sentido a estimativa é previsivelmente enviesada.

  1. Não é aleatória. Os alunos das outras turmas têm probabilidade nula de entrar na amostra — e a condição exige que todos tenham a mesma.
  2. O enviesamento. Quem se inscreve numa turma com aula à primeira hora tende a morar mais perto, ou a ter transporte mais fiável. Quem mora longe evita essas turmas.
  3. A estimativa será, previsivelmente, inferior ao verdadeiro tempo médio.
  4. A correção não é inquirir mais alunos da mesma turma: é sortear alunos de toda a escola.Identificar a direção do enviesamento — para cima ou para baixo — é o que distingue uma crítica útil de uma objeção vaga.
RespostaNem todos podem ser escolhidos; a estimativa fica abaixo do valor real
Python A mesma população, cinco amostras 
import random
import statistics

random.seed(7)
populacao = [random.normalvariate(70, 12) for _ in range(100000)]
print('mu verdadeiro :', round(statistics.mean(populacao), 3))
print()

for k in range(5):
    amostra = random.sample(populacao, 30)
    print('amostra %d -> media = %7.3f   desvio = %6.3f'
          % (k + 1, statistics.mean(amostra), statistics.stdev(amostra)))

Cinco médias diferentes, todas à volta de 70 — e nenhuma exatamente 70. Sobe a dimensão de 30 para 300 e repara em como as cinco se aproximam umas das outras.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Metade deles não tem contas nenhumas — são sobre o que se pode e não se pode afirmar, que é onde a inferência se decide.

Exercício 13§1 · parâmetro e estatística

Classifica cada valor como parâmetro ou estatística.

a) A altura média dos 10\,600\,000 habitantes de Portugal. b) A altura média de 500 pessoas escolhidas ao acaso. c) A percentagem de peças defeituosas numa amostra de 200.

Exercício 14§1 · notação

Indica o que representa cada símbolo: {\mu}, \bar{x}, {\sigma}, s, p e \hat{p}.

Exercício 15§1 · estimador e estimativa

Numa amostra de 40 lâmpadas, o tempo médio de vida foi 1180 horas.

a) Indica o estimador utilizado.b) Indica a estimativa obtida.

Exercício 16§1 · amostras aleatórias

Indica, justificando, qual dos processos seguintes dá uma amostra aleatória dos 1200 alunos de uma escola.

a) Perguntar aos primeiros 50 que chegarem à escola. b) Numerar os alunos de 1 a 1200 e sortear 50 números.

Exercício 17§1 · estimador e estimativa

Três amostras de dimensão 30, retiradas da mesma população, deram médias 52{,}1, 49{,}8 e 51{,}4.

Explica por que razão isto não significa que houve erro em alguma delas.

Exercício 18§1 · parâmetro e estatística

Numa sondagem a 1000 eleitores, 430 declararam intenção de votar num partido.

a) Determina \hat{p}.b) Indica o parâmetro que se pretende estimar.

Exercício 19§1 · amostras aleatórias

Para estimar o número médio de livros lidos por ano, uma revista publica um questionário e recolhe as respostas de quem quiser participar.

Explica por que razão a estimativa obtida será, previsivelmente, demasiado alta.

Exercício 20§1 · estimador e estimativa

Para estimar o valor médio de uma população, alguém propõe usar, em vez da média, o maior valor da amostra.

Explica por que razão este estimador não é adequado.

Exercício 21§1 · notação

Numa população, sabe-se que {\mu} = 70 e {\sigma} = 12. Recolhe-se uma amostra de dimensão 36 e obtém-se \bar{x} = 68{,}5 e s = 11{,}2.

Indica quais destes quatro números são conhecidos ao investigador numa situação real.

Exercício 22§1 · estimador e estimativa

Mostra que, se X_{1}, \ldots, X_{n} forem observações independentes de uma população com valor médio {\mu}, então o valor médio de \bar{X} = \dfrac{X_{1}+\cdots+X_{n}}{n} é {\mu}.

Exercício 23§1 · amostras aleatórias

Uma empresa tem 4000 trabalhadores: 3000 na produção e 1000 nos escritórios. Pretende-se uma amostra de 200.

Explica por que razão sortear 100 de cada grupo não dá uma amostra em que todos têm a mesma probabilidade de ser escolhidos.

Exercício 24§1 · parâmetro e estatística

Um jornal escreve: «A sondagem revela que 38\% dos portugueses são a favor da medida.»

Reescreve a frase de modo estatisticamente correto, admitindo que a sondagem inquiriu 1000 pessoas.

A pergunta é sempre a mesma: o número foi calculado a partir de toda a população, ou só da amostra?

  1. a) Parâmetro — vem da população inteira.
  2. b) Estatística — vem de uma amostra.
  3. c) Estatística — também vem de uma amostra.Um parâmetro é um número fixo e, em geral, desconhecido. Uma estatística é conhecida — mas muda de amostra para amostra.
Respostaparâmetro · estatística · estatística

As letras gregas e o p são da população; as latinas com barra ou chapéu são da amostra.

  1. Da população: {\mu} valor médio, {\sigma} desvio-padrão, p proporção. São parâmetros.
  2. Da amostra: \bar{x} média, s desvio-padrão, \hat{p} proporção. São estatísticas.A notação faz metade do trabalho: assim que se vê um chapéu ou uma barra, sabe-se que aquilo veio de uma amostra e que muda se a amostra mudar.
Resposta{\mu}, {\sigma}, p são parâmetros; \bar{x}, s, \hat{p} são estatísticas

O estimador é a regra; a estimativa é o número que ela devolveu nesta amostra.

  1. a) O estimador é a média amostral \bar{X}.
  2. b) A estimativa é 1180 horas.A distinção não é preciosismo: o estimador é uma variável aleatória, com distribuição própria — e é essa distribuição que a secção 2 estuda. A estimativa é só um valor que ela tomou desta vez.
RespostaEstimador \bar{X}; estimativa 1180 h

Numa amostra aleatória, todos os elementos têm de ter a mesma probabilidade de ser escolhidos.

  1. a) Não. Quem chega cedo não é um grupo aleatório — mora perto, vem de transporte próprio, tem hábitos diferentes.
  2. b) Sim. Cada aluno tem probabilidade \frac{50}{1200} de ser escolhido, e a escolha não depende de nenhuma característica sua.
RespostaSó o processo b)

O que é que muda de amostra para amostra: o parâmetro, ou a estatística?

  1. O valor médio {\mu} da população é um só e não muda.
  2. A média amostral \bar{X} é uma variável aleatória: depende de quais elementos calharam na amostra, e por isso muda de amostra para amostra.
  3. As três estimativas diferentes são o comportamento esperado, e não um erro. Chama-se variabilidade amostral.É esta variabilidade que torna uma estimativa pontual insuficiente — e que obriga, na secção 3, a dar um intervalo em vez de um número.
RespostaÉ variabilidade amostral: {\mu} é fixo, \bar{X} é que varia

A proporção amostral é a contagem a dividir pela dimensão.

  1. a) \hat{p} = \dfrac{430}{1000} = 0{,}43.
  2. b) O parâmetro é p, a proporção de toda a população de eleitores com essa intenção de voto — que é desconhecida.Dizer «43\% vai votar naquele partido» é confundir \hat{p} com p. O que se sabe é \hat{p}; o que se quer é p, e entre os dois há uma margem de erro.
Resposta\hat{p} = 0{,}43; o parâmetro é p

Quem é que responde voluntariamente a um questionário de uma revista sobre leitura?

  1. A amostra é de resposta voluntária: só entra quem decide participar.
  2. Quem lê a revista e se dá ao trabalho de responder a um questionário sobre leitura lê, previsivelmente, mais do que a média da população.
  3. A estimativa fica enviesada por excesso, e aumentar a amostra não corrige nada — só torna o valor errado mais preciso.É o erro mais caro da estatística aplicada: um enviesamento não se cura com mais dados. A única correção é mudar o processo de amostragem.
RespostaAmostra de resposta voluntária: enviesada por excesso

Um bom estimador deve acertar em média. Onde é que o maior valor da amostra cai, em relação a {\mu}?

  1. O maior valor de uma amostra é, quase sempre, maior do que o valor médio da população.
  2. Repetindo o processo muitas vezes, as estimativas ficariam sistematicamente acima de {\mu}: o estimador é enviesado.
  3. Pior: aumentar a dimensão da amostra agrava o problema, porque o máximo tende a crescer.A média amostral não tem este defeito: em média acerta em {\mu}, e a variabilidade diminui com n. É por isso que é a escolha.
RespostaÉ enviesado por excesso, e piora com n

Numa situação real, o que é que se conhece: os parâmetros ou as estatísticas?

  1. Conhecidos: \bar{x} = 68{,}5 e s = 11{,}2 — calculam-se a partir dos dados recolhidos.
  2. Desconhecidos: {\mu} e {\sigma} — são exatamente o que se quer estimar. Se fossem conhecidos, não haveria problema nenhum.Nos exercícios dá-se {\mu} para se poder verificar se o método funciona. Na vida real, ninguém o conhece — e é isso que torna o intervalo de confiança necessário.
RespostaSó \bar{x} e s

Usa a linearidade do valor médio: o valor médio de uma soma é a soma dos valores médios.

  1. Cada X_{i} tem valor médio {\mu}.
  2. Pela linearidade, E\left[\bar{X}\right] = \frac{1}{n}\left(E[X_{1}] + \cdots + E[X_{n}]\right) = \frac{1}{n} \times n{\mu} = {\mu}.
  3. Diz-se que \bar{X} é um estimador centrado de {\mu}: em média, acerta.Acertar em média não é acertar sempre. Falta saber quanto se desvia — e essa é a pergunta da secção 2.
RespostaE\left[\bar{X}\right] = {\mu}: o estimador é centrado

Calcula a probabilidade de um trabalhador da produção ser escolhido, e a de um dos escritórios.

  1. Na produção: \dfrac{100}{3000} = \dfrac{1}{30} \approx 0{,}033.
  2. Nos escritórios: \dfrac{100}{1000} = \dfrac{1}{10} = 0{,}1.
  3. Um trabalhador dos escritórios tem três vezes mais probabilidade de entrar. Os escritórios ficam sobre-representados.
  4. Para respeitar as proporções, seriam 150 da produção e 50 dos escritórios.Isto não quer dizer que a amostragem por grupos seja má — é até muito usada. Mas exige que os resultados sejam depois ponderados, e não simplesmente misturados.
Resposta0{,}033 contra 0{,}1: os escritórios ficam sobre-representados

O que a sondagem observou foi \hat{p}. O que a frase afirma é sobre p.

  1. O que se observou: \hat{p} = 0{,}38 numa amostra de 1000.
  2. O que a frase afirma: que p = 0{,}38 na população inteira — o que a sondagem não permite garantir.
  3. Uma redação correta: «Numa amostra de 1000 portugueses, 38\% declararam-se a favor da medida. Estima-se assim que a percentagem na população esteja próxima de 38\%, com uma margem de erro a indicar.»A margem de erro não é um pormenor técnico para o rodapé: sem ela, a frase afirma sobre dez milhões de pessoas o que se observou em mil.
RespostaDistinguir \hat{p} = 0{,}38, observado, de p, estimado com margem de erro
02

Distribuição de amostragem e o Teorema Limite Central

Se cada amostra dá uma média diferente, então a média amostral é ela própria uma variável aleatória — e tem distribuição. Descobrir qual é resolve o problema todo: é o resultado mais surpreendente da estatística, e um dos mais úteis de toda a matemática.

Aprendizagens Essenciais
  • Compreender que, para averiguar da eficácia de um estimador, é necessário conhecer a sua distribuição de amostragem.
  • Compreender que a distribuição de amostragem depende da dimensão das amostras e apresentará tanto menor variabilidade quanto maior for a dimensão.
  • Compreender a utilização do Teorema Limite Central na obtenção da distribuição de amostragem da média.

1 · A distribuição de amostragem

Fixe-se uma dimensão n e imagine-se que se recolhem todas as amostras possíveis dessa dimensão, calculando a média de cada uma. Os valores obtidos têm eles próprios uma distribuição.

Definição · distribuição de amostragem

Chama-se distribuição de amostragem de uma estatística à distribuição dos valores que ela toma quando se consideram todas as amostras possíveis de uma dada dimensão.

Na prática, ninguém recolhe todas as amostras — recolhe-se uma. Mas conhecer esta distribuição é o que permite dizer quão longe de {\mu} a estimativa poderá estar. Sem ela, uma estimativa é um número sem garantia nenhuma.

Valor médio e desvio-padrão de \bar{X}

Para amostras aleatórias de dimensão n, de uma população com valor médio {\mu} e desvio-padrão {\sigma}:

E\left[\bar{X}\right] = {\mu}, \qquad {\sigma}_{\bar{X}} = \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

A média amostral acerta em média — e varia tanto menos quanto maior for n.

A raiz quadrada, que é a má notícia

É \sqrt{n} e não n. Para reduzir a variabilidade a metade é preciso quadruplicar a amostra; para a reduzir a um décimo, multiplicá-la por cem. É esta fórmula que explica por que razão quase todas as sondagens param à volta dos mil inquiridos.

2 · O Teorema Limite Central

Falta o essencial: que forma tem a distribuição de \bar{X}? A resposta é notável, porque quase não depende da população de partida.

Teorema Limite Central (TLC)

Seja X uma população com valor médio {\mu} e desvio-padrão {\sigma} finitos, e \bar{X} a média de uma amostra aleatória de dimensão n. Então, para n suficientemente grande,

\bar{X} \ \text{é aproximadamente Normal, com valor médio } {\mu} \text{ e desvio-padrão } \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},

qualquer que seja a distribuição da população.

Onde é que quase toda a gente se engana

O TLC não diz que a população se torna Normal. A população fica como está — assimétrica, discreta, com duas corcovas, o que for. O que se aproxima da Normal é a distribuição das médias das amostras. São duas distribuições diferentes, e é preciso não as trocar.

Laboratório · O Teorema Limite Central

interativo

Escolhe exponencial — nada mais assimétrico — e deixa o n em 1: o histograma de baixo copia a forma de cima. Agora sobe o n devagar. Por volta de n = 10 a assimetria já quase desapareceu; em n = 30 a curva Normal assenta em cima. Repete com 0 ou 1, que nem sequer é contínua, e vê acontecer o mesmo. E compara sempre o desvio-padrão previsto com o observado.

Um pouco de história

A primeira versão do teorema é de Abraham de Moivre (1667-1754), em 1733: mostrou que o número de caras em muitos lançamentos de uma moeda se aproxima de uma curva em sino. Pierre-Simon Laplace (1749-1827) generalizou-o em 1810, e Carl Friedrich Gauss (1777-1855) tornou a curva indissociável do seu nome. A demonstração no grau de generalidade em que hoje se usa só chegou no início do século XX, com a escola russa de Andrei Markov (1856-1922) e Aleksandr Lyapunov. Dois séculos entre a intuição e a prova.

Exemplo 5 Aplicar o TLC

O peso dos sacos de cimento produzidos por uma fábrica tem {\mu} = 25 kg e {\sigma} = 0{,}6 kg, com distribuição desconhecida. Recolhe-se uma amostra de 36 sacos.

Determina a probabilidade aproximada de a média da amostra ser inferior a 24{,}8 kg.

  1. A distribuição de \bar{X}, pelo TLC — que não precisa de saber a forma da população: {\sigma}_{\bar{X}} = \frac{0{,}6}{\sqrt{36}} = \frac{0{,}6}{6} = 0{,}1.
  2. A quantos desvios-padrão está o 24{,}8: \frac{24{,}8 - 25}{0{,}1} = -2.
  3. Pela regra empírica, abaixo de -2 desvios-padrão fica \frac{1-0{,}954}{2} = 0{,}023.
  4. Cerca de 2{,}3\%.Não foi preciso saber nada sobre a forma da distribuição dos sacos. É isso que faz do TLC o teorema mais usado da estatística aplicada: dispensa a informação que quase nunca se tem.
Resposta\approx 0{,}023
Exemplo 6 Escolher a dimensão da amostra

Numa população com {\sigma} = 18, pretende-se que \bar{X} se afaste de {\mu} menos de 2 unidades, com probabilidade 0{,}95.

Determina a menor dimensão da amostra.

  1. Traduzir a condição. Com probabilidade 0{,}95, \bar{X} fica a menos de 1{,}96\,{\sigma}_{\bar{X}} de {\mu}. Logo exige-se 1{,}96 \times \frac{18}{\sqrt{n}} < 2.
  2. Resolver: \sqrt{n} > \frac{1{,}96 \times 18}{2} = 17{,}64 \iff n > 311{,}2.
  3. A menor dimensão inteira é n = 312.Arredonda-se sempre por excesso: com 311 a condição ainda não se cumpre. É o único arredondamento deste capítulo que não segue a regra habitual.
Respostan = 312
Python O TLC, medido 
import random
import statistics

def media_amostral(n):
    return statistics.mean(random.expovariate(1) for _ in range(n))

print('populacao exponencial: mu = 1, sigma = 1')
print('%4s  %10s  %10s  %10s' % ('n', 'media', 'observado', 'previsto'))

for n in (1, 2, 5, 10, 30, 100):
    medias = [media_amostral(n) for _ in range(20000)]
    print('%4d  %10.4f  %10.4f  %10.4f'
          % (n, statistics.mean(medias), statistics.stdev(medias), 1 / n**0.5))

As duas últimas colunas coincidem em todas as linhas, desde n = 1. A fórmula {\sigma}/\sqrt{n} vale sempre; o que precisa de n grande é a forma ser Normal — e isso vê-se no laboratório, não nesta tabela.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Em quase todos, o primeiro passo é o mesmo: calcular \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} e ver a quantos desvios-padrão está o valor em causa.

Exercício 25§2 · desvio-padrão da média

Uma população tem {\mu} = 60 e {\sigma} = 15. Recolhem-se amostras aleatórias de dimensão 25.

a) Indica o valor médio de \bar{X}.b) Determina o desvio-padrão de \bar{X}.

Exercício 26§2 · desvio-padrão da média

Com {\sigma} = 20, determina a dimensão da amostra para que o desvio-padrão de \bar{X} seja 2.

Exercício 27§2 · TLC

Indica se cada afirmação é verdadeira ou falsa, e justifica.

a) O TLC exige que a população tenha distribuição Normal. b) O TLC diz respeito à distribuição da média amostral, e não à da população.

Exercício 28§2 · aplicar o TLC

Uma população tem {\mu} = 500 e {\sigma} = 40. Para amostras de dimensão 64, indica a distribuição aproximada de \bar{X}.

Exercício 29§2 · aplicar o TLC

Com {\mu} = 500, {\sigma} = 40 e n = 64, determina um intervalo centrado em 500 onde \bar{X} caia com probabilidade aproximada de 0{,}95.

Exercício 30§2 · desvio-padrão da média

Duas amostras da mesma população têm dimensões 50 e 200.

Quantas vezes menor é o desvio-padrão da média na segunda?

Exercício 31§2 · TLC

Uma população só tem os valores 0 e 1, com P(X = 1) = 0{,}3. Sabe-se que {\mu} = 0{,}3 e {\sigma} = \sqrt{0{,}21} \approx 0{,}458.

Explica por que razão, mesmo assim, a média de amostras de dimensão 100 tem distribuição aproximadamente Normal.

Exercício 32§2 · aplicar o TLC

O tempo de atendimento num balcão tem {\mu} = 4 minutos e {\sigma} = 2{,}5 minutos, com distribuição assimétrica.

Determina a probabilidade aproximada de a média de 100 atendimentos exceder 4{,}5 minutos.

Exercício 33§2 · desvio-padrão da média

Pretende-se que o desvio-padrão de \bar{X} não exceda 1, sabendo que {\sigma} = 12.

Determina a menor dimensão de amostra que serve.

Exercício 34§2 · TLC

Explica por que razão a fórmula \dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}} faz sentido nos dois casos extremos: n = 1 e n muito grande.

Exercício 35§2 · aplicar o TLC

Um elevador suporta 600 kg. O peso de uma pessoa tem {\mu} = 70 kg e {\sigma} = 12 kg.

Determina a probabilidade aproximada de 8 pessoas excederem o limite.

Exercício 36§2 · TLC

Duas amostras da mesma população, uma de dimensão n e outra de dimensão 4n.

Mostra que a amplitude do intervalo {\mu} \pm 1{,}96\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}} fica reduzida a metade na segunda, e comenta o custo.

O valor médio de \bar{X} é o próprio {\mu}. O desvio-padrão é \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

  1. a) E\left[\bar{X}\right] = {\mu} = 60.
  2. b) \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3.
  3. A média de 25 observações varia cinco vezes menos do que uma observação isolada.É o \sqrt{n} que faz a estatística funcionar — e é também ele que a torna cara: para dividir a variabilidade por 2 é preciso quadruplicar a amostra.
Resposta60 · 3

Resolve \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} = 2 em ordem a n.

  1. \frac{20}{\sqrt{n}} = 2 \iff \sqrt{n} = 10 \iff n = 100.
Respostan = 100

Volta ao enunciado do teorema: sobre que variável é que ele fala?

  1. a) Falsa. É precisamente o contrário: o TLC vale seja qual for a distribuição da população, desde que a amostra seja suficientemente grande.
  2. b) Verdadeira. O teorema descreve o comportamento de \bar{X}. A população continua com a forma que tinha.Confundir as duas distribuições é o erro central deste tema. A população pode ser assimétrica, discreta, com duas corcovas — a média amostral aproxima-se da Normal na mesma.
Respostaa) falsa · b) verdadeira

Pelo TLC, é Normal. Falta dizer com que valor médio e que desvio-padrão.

  1. Valor médio: 500.
  2. Desvio-padrão: \dfrac{40}{\sqrt{64}} = \dfrac{40}{8} = 5.
  3. Logo \bar{X} é aproximadamente Normal com {\mu} = 500 e desvio-padrão 5.
RespostaNormal, com {\mu} = 500 e {\sigma}_{\bar{X}} = 5

É {\mu} \pm 1{,}96 \times \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. O desvio-padrão de \bar{X} já foi calculado no exercício anterior.

  1. O desvio-padrão de \bar{X}: 5.
  2. A margem: 1{,}96 \times 5 = 9{,}8.
  3. \left]500-9{,}8,\ 500+9{,}8\right[ = \left]490{,}2,\ 509{,}8\right[.Repara no sentido desta frase: aqui {\mu} é conhecido e o intervalo apanha \bar{X}. Na secção 3 vai inverter-se — \bar{x} é que é conhecido, e o intervalo apanha {\mu}.
Resposta\left]490{,}2,\ 509{,}8\right[

Compara \frac{{\sigma}}{\sqrt{50}} com \frac{{\sigma}}{\sqrt{200}}. O {\sigma} cancela-se.

  1. \frac{{\sigma}/\sqrt{50}}{{\sigma}/\sqrt{200}} = \sqrt{\frac{200}{50}} = \sqrt{4} = 2.
  2. É duas vezes menor — e não quatro, apesar de a amostra ser quatro vezes maior.A raiz quadrada é a má notícia da estatística: o ganho em precisão cresce muito mais devagar do que o custo de recolher dados.
RespostaDuas vezes menor

O TLC não pede nada à forma da população — só que a amostra seja grande.

  1. A população é discreta e só toma dois valores: nada mais longe de uma Normal.
  2. Mas o TLC não impõe condições à forma da população. Com n = 100, suficientemente grande, \bar{X} é aproximadamente Normal com valor médio 0{,}3 e desvio-padrão \frac{0{,}458}{\sqrt{100}} \approx 0{,}046.
  3. Note-se que \bar{X}, aqui, é a proporção de uns na amostra — é o \hat{p} da secção 4.É este caso que faz as sondagens funcionarem: uma população de zeros e uns, e uma média amostral que se comporta como uma Normal.
RespostaO TLC não exige normalidade da população; \bar{X} é \approx Normal com {\sigma}_{\bar{X}} \approx 0{,}046

Calcula o desvio-padrão de \bar{X} e vê a quantos desvios-padrão está o 4{,}5.

  1. Desvio-padrão de \bar{X}: \dfrac{2{,}5}{\sqrt{100}} = 0{,}25.
  2. A quantos desvios: \dfrac{4{,}5-4}{0{,}25} = 2.
  3. Pela regra empírica, acima de 2 desvios-padrão fica \dfrac{1-0{,}954}{2} = 0{,}023.
  4. Cerca de 2{,}3\%.A distribuição dos atendimentos é assimétrica, e para um só atendimento a regra empírica não valeria. Para a média de cem, vale — é o TLC a trabalhar.
Resposta\approx 0{,}023

Resolve a inequação \frac{12}{\sqrt{n}} \leq 1.

  1. \frac{12}{\sqrt{n}} \leq 1 \iff \sqrt{n} \geq 12 \iff n \geq 144.
  2. A menor dimensão é n = 144.A dimensão sai sempre de uma inequação, e arredonda-se por excesso: com 143 a condição já não se cumpre.
Respostan = 144

Substitui n = 1. E vê para onde vai a expressão quando n \to +\infty.

  1. Com n = 1: \dfrac{{\sigma}}{\sqrt{1}} = {\sigma}. Faz sentido — a «média» de uma só observação é essa observação, e varia tanto como ela.
  2. Com n \to +\infty: \lim_{n \to +\infty} \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} = 0. A média amostral deixa de variar: com a população inteira, \bar{X} é exatamente {\mu}.
  3. A fórmula liga corretamente os dois extremos.Testar uma fórmula nos casos extremos é o hábito mais barato que há para apanhar erros — e aqui confirma que o \sqrt{n} está no sítio certo.
RespostaDá {\sigma} com n=1 e tende para 0 com n \to +\infty

Exceder 600 kg com 8 pessoas é ter peso médio superior a 600/8. Traduz para \bar{X}.

  1. Traduzir: a soma excede 600 exatamente quando a média excede \dfrac{600}{8} = 75 kg.
  2. Desvio-padrão de \bar{X}: \dfrac{12}{\sqrt{8}} \approx 4{,}243.
  3. A quantos desvios: \dfrac{75-70}{4{,}243} \approx 1{,}18.
  4. Consultando a Normal, P(Z > 1{,}18) \approx 0{,}119: cerca de 12\%.Com n = 8, a aproximação Normal é frágil se a população for muito assimétrica. Aqui o peso das pessoas já é aproximadamente Normal, e por isso a conta vale.
Resposta\approx 0{,}12

Escreve as duas amplitudes e divide uma pela outra.

  1. As amplitudes: 2 \times 1{,}96\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}} e 2 \times 1{,}96\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{4n}}.
  2. A razão: \frac{{\sigma}/\sqrt{4n}}{{\sigma}/\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{4n}} = \frac{1}{2}.
  3. Para reduzir a amplitude a metade é preciso quadruplicar a amostra — quatro vezes o custo e o tempo, para o dobro da precisão.É a razão económica por que as sondagens param nos mil inquiridos: passar de mil para quatro mil só reduz a margem de erro a metade, e custa quatro vezes mais.
RespostaFica a metade; exige quadruplicar a amostra
03

Intervalos de confiança para o valor médio

Uma estimativa pontual dá um número e não diz nada sobre o erro. A alternativa é dar um intervalo, e dizer com que frequência um método destes acerta. Toda a dificuldade está em perceber o que essa frequência quer dizer — e o que não quer.

Aprendizagens Essenciais
  • Reconhecer as limitações das estimativas pontuais, devido à variabilidade amostral.
  • Utilizar o modelo Normal como aproximação da distribuição de amostragem da média, para estimar o valor médio {\mu}.
  • Reconhecer a fórmula geral para o intervalo de confiança com uma confiança de 100(1-{\alpha})\%.

1 · Porque é que um número não chega

A secção 1 mostrou que amostras diferentes dão estimativas diferentes. Uma estimativa pontual — «{\mu} é 498{,}2» — esconde essa variabilidade e não permite avaliar a qualidade do que se afirma. Falta dizer quanto se pode estar errado.

2 · De onde vem a fórmula

Pelo Teorema Limite Central, para n suficientemente grande, \bar{X} é aproximadamente Normal com valor médio {\mu} e desvio-padrão \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. Logo, com probabilidade 0{,}95, \bar{X} fica a menos de 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} de {\mu}:

P\left({\mu} - 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq \bar{X} \leq {\mu} + 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right) = 0{,}95.

Agora o passo decisivo: a condição «\bar{X} está a menos de d de {\mu}» é a mesma que «{\mu} está a menos de d de \bar{X}». Trocando os papéis,

Intervalo de confiança a 95\% para {\mu} P\left(\bar{X} - 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}} \leq {\mu} \leq \bar{X} + 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right) = 0{,}95

Substituindo \bar{X} pelo valor observado \bar{x}, obtém-se o intervalo

\left[\bar{x} - 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \ \bar{x} + 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right].
Quando {\sigma} é desconhecido

Na prática quase nunca se conhece {\sigma}. Substitui-se pelo desvio-padrão amostral s, e para n grande a aproximação é boa. É isso que as Aprendizagens Essenciais pedem — e é o que se faz em todos os exercícios deste capítulo.

3 · O que «95% de confiança» quer dizer

O aleatório está nos extremos

Lê-se «a probabilidade de o intervalo conter {\mu} é 95\%», e não «a probabilidade de {\mu} estar contido no intervalo». A diferença não é de estilo: {\mu} é um número fixo, ou está lá dentro ou não está. O que varia — o que é aleatório — são os extremos, porque dependem da amostra que calhou.

A leitura correta é sobre o método: se se recolhessem 100 amostras e se construísse um intervalo para cada uma, esperar-se-ia que cerca de 95 contivessem {\mu}. Como na prática só se recolhe uma, nunca se saber se é uma das 95 ou uma das 5.

Laboratório · Cem intervalos de confiança

interativo

Cada traço é um intervalo, construído a partir de uma amostra diferente da mesma população, com {\mu} = 50. A reta dourada é o {\mu}, que nunca se mexe — são os intervalos que saltam. Os vermelhos falham. Carrega em «outras 100» várias vezes: o número de falhas anda à volta de 5, mas quase nunca é exatamente 5. Passa para 99\% e vê as falhas quase desaparecerem — à custa de traços muito mais compridos.

4 · Outros níveis de confiança

Fórmula geral

Para uma confiança de 100(1-{\alpha})\%:

\left[\bar{x} - z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \ \bar{x} + z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right]
Confiança{\alpha}z_{1-{\alpha}/2}
90\%0{,}101{,}645
95\%0{,}051{,}960
99\%0{,}012{,}576
Exemplo 7 Construir e ler um intervalo

Uma amostra aleatória de 144 sacos de café deu peso médio 248{,}6 g e desvio-padrão amostral 6 g.

Constrói um intervalo de 95\% de confiança para o peso médio da produção e interpreta-o.

  1. O que se tem: \bar{x} = 248{,}6, s = 6, n = 144. Como {\sigma} é desconhecido, usa-se s.
  2. A margem de erro: 1{,}96 \times \frac{6}{\sqrt{144}} = 1{,}96 \times \frac{6}{12} = 1{,}96 \times 0{,}5 = 0{,}98.
  3. O intervalo: \left]248{,}6 - 0{,}98,\ \ 248{,}6 + 0{,}98\right[ = \left]247{,}62,\ 249{,}58\right[.
  4. A leitura: construiu-se o intervalo por um método que, repetido muitas vezes, produz intervalos que contêm o verdadeiro peso médio em cerca de 95\% dos casos.Repara que 250 g fica fora do intervalo. Se a embalagem anunciar 250 g, os dados não sustentam essa afirmação.
Resposta\left]247{,}62,\ 249{,}58\right[ g
Exemplo 8 A mesma amostra, três confianças

Com \bar{x} = 70, s = 10 e n = 100, constrói os intervalos a 90\%, 95\% e 99\% e compara-os.

  1. O erro-padrão, igual nos três casos: \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{10}{10} = 1.
  2. As três margens: 1{,}645, 1{,}96 e 2{,}576.
  3. Os três intervalos: \left]68{,}36,\ 71{,}64\right[, \quad \left]68{,}04,\ 71{,}96\right[, \quad \left]67{,}42,\ 72{,}58\right[.
  4. Os três estão centrados no mesmo 70 e vão-se alargando.Não há aqui escolha «certa»: a confiança decide-se antes de olhar para os dados, em função do risco que se aceita correr. Escolhê-la depois, para obter o intervalo que convém, é fraude.
Resposta\left]68{,}36,\ 71{,}64\right[ · \left]68{,}04,\ 71{,}96\right[ · \left]67{,}42,\ 72{,}58\right[
Python Cem intervalos, e quantos acertam 
import random
import statistics
import math

num_amostras = 100
dim_amostra = 20
mu = 0
acertos = 0

for i in range(num_amostras):
    amostra = [random.normalvariate(mu, 1) for k in range(dim_amostra)]
    vmedio = statistics.mean(amostra)
    desvio_padrao = statistics.stdev(amostra)
    d = 1.96 * desvio_padrao / math.sqrt(dim_amostra)
    if vmedio - d <= mu <= vmedio + d:
        acertos = acertos + 1

print('intervalos que contem o valor medio:', acertos, 'em', num_amostras)

Corre várias vezes: sai 93, 96, 94, 97… à volta de 95, e quase nunca exatamente 95. Sobe dim_amostra para 200 e repara que a proporção de acertos não muda — o que muda é a largura dos intervalos.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Os que pedem interpretação valem tanto como os que pedem contas: é aí que se separa quem percebeu o que é a confiança de quem só aplicou a fórmula.

Exercício 37§3 · construir o intervalo

Uma amostra de 100 peças deu \bar{x} = 250 g. Sabe-se que {\sigma} = 20 g.

Constrói um intervalo de 95\% de confiança para {\mu}.

Exercício 38§3 · construir o intervalo

Numa amostra de 64 alunos, o tempo médio de estudo semanal foi 12{,}5 horas, com desvio-padrão amostral 4 horas.

Constrói um intervalo de 95\% de confiança para o tempo médio da população.

Exercício 39§3 · interpretar

Obteve-se o intervalo de 95\% de confiança \left]48{,}2,\ 51{,}8\right[ para {\mu}.

Indica qual das leituras seguintes é correta, e porquê.

a) «A probabilidade de {\mu} estar entre 48{,}2 e 51{,}8 é 95\%.» b) «Se repetíssemos o processo muitas vezes, cerca de 95\% dos intervalos conteriam {\mu}.»

Exercício 40§3 · outros níveis

Com \bar{x} = 80, {\sigma} = 12 e n = 36, constrói um intervalo de 99\% de confiança para {\mu}, usando z = 2{,}576.

Exercício 41§3 · interpretar

Numa simulação, construíram-se 200 intervalos de 95\% de confiança a partir de 200 amostras da mesma população, cujo {\mu} era conhecido.

Quantos intervalos se espera que não contenham {\mu}? E seria estranho se fossem 14?

Exercício 42§3 · construir o intervalo

Numa amostra de 49 baterias, a duração média foi 18{,}4 horas e o desvio-padrão amostral 2{,}1 horas.

a) Constrói o intervalo a 95\%.b) Indica a margem de erro.

Exercício 43§3 · outros níveis

Para a mesma amostra, constrói-se um intervalo a 90\% (z = 1{,}645) e outro a 99\% (z = 2{,}576).

Explica, sem contas, qual dos dois é mais largo e porquê.

Exercício 44§3 · construir o intervalo

De uma amostra sabe-se apenas que o intervalo de 95\% de confiança para {\mu} é \left]32{,}4,\ 37{,}6\right[.

Determina \bar{x} e a margem de erro.

Exercício 45§3 · interpretar

Um fabricante afirma que os seus pacotes têm em média 500 g. Uma amostra deu o intervalo de 95\% de confiança \left]492{,}1,\ 498{,}3\right[.

Comenta a afirmação do fabricante.

Exercício 46§3 · construir o intervalo

Numa amostra de dimensão n, com {\sigma} = 15, obteve-se um intervalo de 95\% de confiança de amplitude 4.

Determina n.

Exercício 47§3 · interpretar

Dois investigadores estudam a mesma população. O primeiro, com n = 100, obtém \left]48,\ 52\right[; o segundo, com n = 400, obtém \left]50{,}5,\ 51{,}5\right[. Ambos a 95\%.

Os resultados são contraditórios? Justifica.

Exercício 48§3 · outros níveis

Mostra que, mantendo tudo o resto igual, passar de 95\% para 99\% de confiança aumenta a amplitude do intervalo em cerca de 31\%.

É \bar{x} \pm 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. Calcula primeiro a margem.

  1. A margem: 1{,}96 \times \frac{20}{\sqrt{100}} = 1{,}96 \times 2 = 3{,}92.
  2. O intervalo: \left]250-3{,}92,\ 250+3{,}92\right[ = \left]246{,}08,\ 253{,}92\right[.
Resposta\left]246{,}08,\ 253{,}92\right[

Como {\sigma} é desconhecido, usa-se s no seu lugar — é legítimo com n grande.

  1. A margem, com s a substituir {\sigma}: 1{,}96 \times \frac{4}{\sqrt{64}} = 1{,}96 \times 0{,}5 = 0{,}98.
  2. O intervalo: \left]11{,}52,\ 13{,}48\right[ horas.Substituir {\sigma} por s é o que se faz na prática, porque {\sigma} quase nunca se conhece. Com n grande — na ordem das dezenas — a aproximação é boa.
Resposta\left]11{,}52,\ 13{,}48\right[ horas

Pergunta-te o que é que é aleatório: o {\mu}, ou os extremos do intervalo?

  1. A correta é a b).
  2. Porquê. O valor {\mu} é um número fixo: ou está dentro de \left]48{,}2,\ 51{,}8\right[ ou não está. Não há probabilidade nenhuma nisso.
  3. O que é aleatório são os extremos, que dependem da amostra que calhou. A confiança de 95\% é uma propriedade do método, não deste intervalo em particular.É a distinção mais importante do capítulo, e a mais maltratada nos jornais. «A probabilidade de o intervalo conter {\mu}» está certo; «a probabilidade de {\mu} estar no intervalo» está errado.
RespostaA alínea b); o aleatório está nos extremos, não em {\mu}

A fórmula é a mesma; muda só o z.

  1. A margem: 2{,}576 \times \dfrac{12}{6} = 2{,}576 \times 2 = 5{,}152.
  2. O intervalo: \left]74{,}85,\ 85{,}15\right[.Compara com o que daria a 95\%: margem 3{,}92, intervalo mais estreito. Mais confiança custa sempre menos precisão.
Resposta\left]74{,}85,\ 85{,}15\right[

Espera-se que 5\% falhem. Mas o número de falhas é ele próprio uma variável aleatória.

  1. O esperado: 5\% de 200, ou seja 10 intervalos.
  2. Seriam 14 estranhos? Não. O número de falhas varia de simulação para simulação; 14 está perfeitamente dentro do que se observa habitualmente.
  3. O que seria estranho era obter, digamos, 60 falhas — aí haveria motivo para suspeitar do método.A confiança de 95\% é uma média a longo prazo, não uma promessa exata para cada conjunto de 200 intervalos.
RespostaCerca de 10; 14 não é estranho

A margem de erro é metade da amplitude do intervalo.

  1. a) A margem: 1{,}96 \times \dfrac{2{,}1}{7} = 1{,}96 \times 0{,}3 = 0{,}588. \left]17{,}812,\ 18{,}988\right[.
  2. b) A margem de erro é 0{,}588 horas — metade da amplitude, que é 1{,}176.
Resposta\left]17{,}81,\ 18{,}99\right[ · margem 0{,}588 h

Mais confiança significa apanhar {\mu} mais vezes. O que é preciso fazer ao intervalo para isso acontecer?

  1. O de 99\% é mais largo, porque 2{,}576 > 1{,}645.
  2. Porquê. Para que o método falhe menos vezes, o intervalo tem de ser mais generoso — tem de abrir mais para apanhar {\mu} em mais casos.
  3. Há sempre uma troca: mais confiança, menos precisão. Um intervalo de 100\% de confiança seria \left]-\infty,\ +\infty\right[, que acerta sempre e não informa nada.É o argumento que fecha a questão: um intervalo que nunca falha é um intervalo que nada diz. A confiança só tem valor quando se paga em amplitude.
RespostaO de 99\%; mais confiança compra-se com mais amplitude

O intervalo é simétrico em torno de \bar{x}.

  1. O centro: \bar{x} = \dfrac{32{,}4+37{,}6}{2} = 35.
  2. A margem: 37{,}6 - 35 = 2{,}6.
Resposta\bar{x} = 35 · margem 2{,}6

O valor 500 está dentro ou fora do intervalo?

  1. O valor 500 não pertence ao intervalo, que termina em 498{,}3.
  2. Os dados são, portanto, pouco compatíveis com a afirmação: se o valor médio fosse mesmo 500, um intervalo destes teria menos de 5\% de hipóteses de o deixar de fora.
  3. Há motivo para duvidar da afirmação — sem que isso seja uma prova de que é falsa.É o mais longe que este capítulo vai em «testar» uma afirmação. O procedimento formal — os testes de hipóteses — fica fora das Aprendizagens Essenciais.
Resposta500 está fora do intervalo: os dados não sustentam a afirmação

A amplitude é 2 \times 1{,}96\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}. Iguala a 4.

  1. 2 \times 1{,}96 \times \frac{15}{\sqrt{n}} = 4 \iff \frac{58{,}8}{\sqrt{n}} = 4.
  2. \sqrt{n} = 14{,}7 \iff n = 216{,}09.
  3. Como n é inteiro, e para a amplitude não exceder 4, toma-se n = 217.Cuidado com a amplitude e a margem: a amplitude é o dobro da margem. Confundi-las dá um n quatro vezes errado.
Respostan = 217

Vê se os dois intervalos se intersetam, e compara as amplitudes com as dimensões.

  1. Não são contraditórios: os dois intervalos intersetam-se em \left]50{,}5,\ 51{,}5\right[, e qualquer valor aí é compatível com ambos.
  2. As amplitudes. 4 contra 1: o segundo é quatro vezes mais estreito porque a amostra é quatro vezes maior… e \sqrt{4} = 2 daria apenas metade. A diferença extra vem de s ter saído menor nesta amostra.
  3. O segundo intervalo é mais informativo, por ser mais estreito com a mesma confiança.Dois intervalos que não se intersetassem já seriam sinal de problema: ou uma das amostras não era aleatória, ou as populações não eram as mesmas.
RespostaNão: intersetam-se. O segundo é mais informativo

A amplitude é proporcional a z. Compara 2{,}576 com 1{,}96.

  1. A amplitude é 2z\dfrac{{\sigma}}{\sqrt{n}}: com {\sigma} e n fixos, é proporcional a z.
  2. \frac{2{,}576}{1{,}96} \approx 1{,}314.
  3. Um aumento de cerca de 31{,}4\%.Para o mesmo ganho por via da amostra seria preciso reduzir n em cerca de 42\% — porque o n entra debaixo da raiz e o z não. É por isso que a confiança é uma escolha barata e o n uma escolha cara.
Resposta2{,}576/1{,}96 \approx 1{,}31: mais 31\%
04

Margem de erro e proporções

O número que aparece no rodapé de todas as sondagens. Saber de onde vem — e o que é preciso pagar para o reduzir — é o que permite ler uma sondagem sem acreditar em coisas que ela não diz.

Aprendizagens Essenciais
  • Saber que a margem de erro é igual a metade da amplitude do intervalo.
  • Explorar a relação entre a margem de erro, a confiança e a dimensão da amostra.
  • Reconhecer que a proporção populacional p é um caso particular do valor médio, e obter o intervalo de confiança para p.
  • Saber fazer uma leitura adequada da informação veiculada pela comunicação social quando apresenta resultados de sondagens.

1 · A margem de erro

Definição · margem de erro

A margem de erro é metade da amplitude do intervalo de confiança:

m = z_{1-{\alpha}/2}\,\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

O intervalo escreve-se então, simplesmente, \bar{x} \pm m.

Três quantidades a determinam, e só uma delas se decide livremente:

QuantidadeEfeito na margemQuem manda
confiança (z)mais confiança, maior margemdecide-se, e é grátis
desvio-padrão ({\sigma})mais dispersão, maior margemé da população; não se escolhe
dimensão (n)maior n, menor margemdecide-se, e custa dinheiro
A regra prática que vale a pena guardar

A margem é proporcional a \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Para a reduzir a metade é preciso quadruplicar a amostra. É esta a razão económica por que as sondagens nacionais param quase sempre à volta dos mil inquiridos.

Laboratório · A margem de erro

interativo

As três curvas são as três confianças. Repara na forma: desce muito depressa no início e depois quase não desce. Passar de n = 25 para n = 100 corta a margem a metade; passar de 100 para 175 quase não muda nada. É o \sqrt{n} a mandar — e é ele que decide o orçamento de qualquer estudo.

2 · Uma proporção é um valor médio

Para estimar a proporção p de uma população com certa característica, considere-se a variável que vale 1 quando a característica está presente e 0 quando não está:

X10
P(X = x)p1-p

O valor médio desta variável é 1 \times p + 0 \times (1-p) = p, e a variância é p(1-p). Ou seja: uma proporção é o valor médio de uma população de zeros e uns, e a proporção amostral \hat{p} é a média dessa amostra. Tudo o que a secção 3 fez aplica-se, sem alteração.

Intervalo de confiança para uma proporção \left[\hat{p} - z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}},\ \ \hat{p} + z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}\left(1-\hat{p}\right)}{n}}\right]

É a fórmula da secção 3 com {\sigma} substituído por \sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})}.

O pior caso, e os mil inquiridos

A função \hat{p}(1-\hat{p}) é máxima em \hat{p} = 0{,}5, onde vale 0{,}25. Usar esse valor dá a margem mais larga possível — e portanto uma promessa que se cumpre seja qual for o p verdadeiro. É daí que vem o número mágico das sondagens: com n = 1000 e \hat{p} = 0{,}5, a margem a 95\% é 1{,}96 \times \frac{0{,}5}{\sqrt{1000}} \approx 0{,}031 — os três pontos percentuais que aparecem em todas as fichas técnicas.

3 · Ler uma sondagem

Com a margem de erro à mão, três leituras passam a ser possíveis — e a terceira é a que mais falta faz.

Três perguntas a fazer a qualquer sondagem

Qual é a margem de erro? Sem ela, a percentagem não significa nada. Como foi recolhida a amostra? Uma amostra não aleatória invalida tudo o que se siga. A diferença é maior do que a margem? Se não for, não há conclusão — é um empate técnico, por muito que os títulos digam o contrário.

Exemplo 9 Uma sondagem, lida como deve ser

Numa sondagem a 800 pessoas, 45\% declararam-se a favor de uma medida.

Constrói o intervalo de 95\% de confiança para p e discute se se pode afirmar que a medida tem oposição maioritária.

  1. A proporção amostral: \hat{p} = 0{,}45.
  2. A margem de erro: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}45 \times 0{,}55}{800}} = 1{,}96\sqrt{0{,}000309} \approx 1{,}96 \times 0{,}0176 \approx 0{,}0345.
  3. O intervalo: \left]0{,}4155,\ 0{,}4845\right[, \quad\text{ou seja } \left]41{,}6\%,\ 48{,}5\%\right[.
  4. A discussão. O valor 0{,}5 fica fora do intervalo, e acima dele. Os dados são pouco compatíveis com «metade ou mais a favor» — há, portanto, indício de oposição maioritária.Note-se a diferença em relação a um resultado de 48\%: aí o intervalo conteria 0{,}5 e não haveria conclusão nenhuma. São três pontos percentuais a separar «há indício» de «não se sabe».
Resposta\left]41{,}6\%,\ 48{,}5\%\right[; há indício de oposição maioritária
Exemplo 10 Quantas pessoas é preciso inquirir

Uma câmara municipal quer estimar a proporção de habitantes que usam transportes públicos, com margem de erro não superior a 0{,}04 e confiança de 95\%. Não há informação prévia sobre p.

Determina a dimensão mínima da amostra.

  1. Sem informação prévia, usa-se o pior caso \hat{p} = 0{,}5, que maximiza \hat{p}(1-\hat{p}) = 0{,}25.
  2. A condição: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq 0{,}04 \iff \frac{0{,}98}{\sqrt{n}} \leq 0{,}04.
  3. Resolver: \sqrt{n} \geq \frac{0{,}98}{0{,}04} = 24{,}5 \iff n \geq 600{,}25.
  4. A dimensão mínima é n = 601.Se houvesse informação prévia — digamos, que p anda perto de 0{,}2 —, o produto \hat{p}(1-\hat{p}) baixaria para 0{,}16 e bastariam 385 pessoas. A informação prévia vale dinheiro, literalmente.
Respostan = 601
Python A margem de erro, tabelada 
import math

def margem(p, n, z=1.96):
    return z * math.sqrt(p * (1 - p) / n)

print('%6s' % 'n', ''.join('%10s' % ('p=' + str(p)) for p in (0.1, 0.3, 0.5)))
for n in (100, 400, 1000, 2500, 10000):
    print('%6d' % n, ''.join('%10.4f' % margem(p, n) for p in (0.1, 0.3, 0.5)))

print()
print('para margem 0,03 com p = 0,5 sao precisos',
      math.ceil((1.96 * 0.5 / 0.03) ** 2), 'inquiridos')

A coluna de p = 0{,}5 é sempre a maior — é o pior caso. E repara na última linha: 1068, o número que está por trás dos «três pontos percentuais» de quase todas as sondagens que vais ler.

Exercícios propostos

Doze exercícios. Os que dimensionam a amostra arredondam sempre por excesso; os que leem sondagens comparam a diferença com a margem antes de concluir seja o que for.

Exercício 49§4 · margem de erro

Um intervalo de 95\% de confiança para {\mu} é \left]18{,}4,\ 21{,}6\right[.

Determina a margem de erro.

Exercício 50§4 · proporção

Numa amostra de 400 pessoas, 240 responderam «sim».

Determina \hat{p} e a margem de erro a 95\%.

Exercício 51§4 · proporção

Com os dados do exercício anterior, constrói o intervalo de 95\% de confiança para p.

Exercício 52§4 · margem de erro

Indica, justificando, o efeito de cada mudança sobre a margem de erro.

a) Aumentar a dimensão da amostra. b) Aumentar o nível de confiança.

Exercício 53§4 · dimensionar

Pretende-se estimar {\mu} com margem de erro não superior a 1, a 95\% de confiança, sabendo que {\sigma} \approx 8.

Determina a menor dimensão de amostra.

Exercício 54§4 · proporção

Numa sondagem a 1000 eleitores, 52\% declararam intenção de votar num candidato.

a) Determina a margem de erro a 95\%.b) Pode afirmar-se que o candidato tem maioria?

Exercício 55§4 · dimensionar

Uma amostra de 100 deu margem de erro 4. Quer-se margem 2, com a mesma confiança.

Determina a dimensão necessária.

Exercício 56§4 · proporção

Duas sondagens sobre o mesmo tema: a primeira com 500 inquiridos deu \hat{p} = 0{,}44; a segunda com 2000 deu \hat{p} = 0{,}46.

Determina as duas margens de erro a 95\% e comenta.

Exercício 57§4 · margem de erro

Com \bar{x} = 42, s = 9 e n = 81, determina a margem de erro a 90\% (z = 1{,}645) e a 99\% (z = 2{,}576).

Exercício 58§4 · dimensionar

Pretende-se estimar uma proporção p com margem de erro não superior a 0{,}03, a 95\%, sem qualquer informação prévia sobre p.

Determina a dimensão necessária, usando o pior caso.

Exercício 59§4 · proporção

Uma notícia afirma: «Sondagem a 1000 pessoas: A tem 34\% e B tem 31\%. A está à frente.»

Comenta a afirmação, calculando as margens de erro a 95\%.

Exercício 60§4 · dimensionar

Mostra que, para estimar uma proporção com margem de erro m a 95\% de confiança e sem informação prévia, basta

n \geq \left(\frac{0{,}98}{m}\right)^{2}.

Aplica a fórmula para m = 0{,}02.

A margem de erro é metade da amplitude.

  1. A amplitude: 21{,}6-18{,}4 = 3{,}2.
  2. A margem: \dfrac{3{,}2}{2} = 1{,}6.
Resposta1{,}6

A margem é 1{,}96\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}.

  1. A proporção: \hat{p} = \dfrac{240}{400} = 0{,}6.
  2. A margem: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}6 \times 0{,}4}{400}} = 1{,}96\sqrt{0{,}0006} \approx 1{,}96 \times 0{,}0245 \approx 0{,}048.
  3. Ou seja, cerca de 4{,}8 pontos percentuais.
Resposta\hat{p} = 0{,}6 · margem \approx 0{,}048

É \hat{p} mais e menos a margem.

  1. \left]0{,}6-0{,}048,\ 0{,}6+0{,}048\right[ = \left]0{,}552,\ 0{,}648\right[.
  2. Entre 55{,}2\% e 64{,}8\%.
Resposta\left]0{,}552,\ 0{,}648\right[

Olha para onde cada um aparece na fórmula z\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}.

  1. a) O n está no denominador: aumentar n diminui a margem — mas devagar, porque entra debaixo de uma raiz.
  2. b) Mais confiança significa maior z, logo aumenta a margem.Só uma das duas é uma decisão livre e barata: a confiança. O n custa dinheiro e tempo — e o retorno é proporcional a \sqrt{n}, não a n.
Respostaa) diminui · b) aumenta

Resolve 1{,}96\frac{8}{\sqrt{n}} \leq 1, e arredonda por excesso.

  1. 1{,}96 \times \frac{8}{\sqrt{n}} \leq 1 \iff \sqrt{n} \geq 15{,}68 \iff n \geq 245{,}86.
  2. A menor dimensão inteira é n = 246.Arredonda-se sempre por excesso, mesmo que a parte decimal seja pequena: com 245 a margem já ultrapassaria 1.
Respostan = 246

Constrói o intervalo e vê se o valor 0{,}5 fica dentro ou fora.

  1. a) 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}52 \times 0{,}48}{1000}} \approx 1{,}96 \times 0{,}0158 \approx 0{,}031. Cerca de 3{,}1 pontos percentuais.
  2. b) O intervalo é \left]0{,}489,\ 0{,}551\right[, e contém 0{,}5.
  3. Portanto não se pode afirmar que tem maioria: os dados são compatíveis com uma percentagem inferior a 50\%.É o erro mais comum na leitura de sondagens: com 52\% e margem de 3 pontos, o resultado é um empate técnico — e não uma vitória.
RespostaMargem \approx 3{,}1 p.p.; não se pode afirmar a maioria

Metade da margem exige quadruplicar o n. Confirma pela fórmula.

  1. A margem é proporcional a \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Para a reduzir a metade, \sqrt{n} tem de duplicar, logo n tem de quadruplicar.
  2. n = 4 \times 100 = 400.É a regra prática que vale a pena guardar: metade da margem custa quatro vezes a amostra.
Respostan = 400

Calcula as duas e vê se os intervalos se intersetam.

  1. Primeira: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}44 \times 0{,}56}{500}} \approx 0{,}044. Intervalo \left]0{,}396,\ 0{,}484\right[.
  2. Segunda: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}46 \times 0{,}54}{2000}} \approx 0{,}022. Intervalo \left]0{,}438,\ 0{,}482\right[.
  3. Os intervalos intersetam-se: os resultados não são contraditórios. A segunda é mais precisa — margem de metade, com quatro vezes a amostra.Duas sondagens com resultados «diferentes» são frequentemente compatíveis. Comparar só os valores centrais, sem as margens, leva a conclusões que os dados não sustentam.
Resposta\approx 0{,}044 e \approx 0{,}022; compatíveis

O erro-padrão \frac{s}{\sqrt{n}} é o mesmo nos dois casos.

  1. O erro-padrão: \dfrac{9}{9} = 1.
  2. A 90\%: 1{,}645.   A 99\%: 2{,}576.
  3. A margem é, aqui, o próprio z — porque o erro-padrão deu exatamente 1.
Resposta1{,}645 e 2{,}576

A margem depende de \hat{p}(1-\hat{p}). Para que valor de \hat{p} é que esse produto é máximo?

  1. O pior caso. A função \hat{p}(1-\hat{p}) é uma parábola com a concavidade voltada para baixo e zeros em 0 e 1: o máximo está no vértice, \hat{p} = 0{,}5, e vale 0{,}25.
  2. A condição: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq 0{,}03 \iff \frac{0{,}98}{\sqrt{n}} \leq 0{,}03 \iff \sqrt{n} \geq 32{,}67.
  3. n \geq 1067{,}1 \implies n = 1068.
  4. É por isto que quase todas as sondagens nacionais usam cerca de mil inquiridos: é o que dá 3 pontos de margem, aconteça o que acontecer.Usar \hat{p} = 0{,}5 é a escolha conservadora: garante a margem prometida seja qual for o valor verdadeiro de p. Qualquer outro valor daria um n menor — e uma promessa que poderia não se cumprir.
Respostan = 1068

Constrói os dois intervalos e vê se se intersetam.

  1. Margem de A: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}34 \times 0{,}66}{1000}} \approx 0{,}029. Intervalo \left]0{,}311,\ 0{,}369\right[.
  2. Margem de B: 1{,}96\sqrt{\dfrac{0{,}31 \times 0{,}69}{1000}} \approx 0{,}029. Intervalo \left]0{,}281,\ 0{,}339\right[.
  3. Os dois intervalos intersetam-se largamente, entre 0{,}311 e 0{,}339.
  4. A diferença de 3 pontos é inferior à margem de erro: os dados não permitem afirmar que A está à frente.É o «empate técnico». A regra prática dos jornais — comparar a diferença com a margem — é grosseira mas útil: se a diferença for menor do que a margem, não há conclusão.
RespostaMargens \approx 2{,}9 p.p.; a diferença é menor e não permite concluir

Parte de 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq m e resolve em ordem a n.

  1. A condição, com o pior caso \hat{p} = 0{,}5: 1{,}96\sqrt{\frac{0{,}25}{n}} \leq m \iff 1{,}96 \times \frac{0{,}5}{\sqrt{n}} \leq m.
  2. Isolar \sqrt{n}: \sqrt{n} \geq \frac{0{,}98}{m} \iff n \geq \left(\frac{0{,}98}{m}\right)^{2}.
  3. Com m = 0{,}02: n \geq \left(\dfrac{0{,}98}{0{,}02}\right)^{2} = 49^{2} = 2401.
  4. Para descer de 3 para 2 pontos de margem, a amostra passa de 1068 para 2401 — mais do dobro, para um terço de ganho.A fórmula mostra o preço de uma só vez: a margem entra ao quadrado no denominador. Reduzi-la a metade multiplica o custo por quatro.
Respostan \geq (0{,}98/m)^{2}; com m = 0{,}02, n = 2401
A

Python e pensamento computacional

Três problemas que só existem porque a máquina existe. Não são traduções de contas para código: são perguntas que a folha de papel não sabe responder — qual é o melhor h?, como é que o algoritmo sabe que já chegou?, porque é que duas formas da mesma equação se comportam ao contrário?

Possíveis aprofundamentos (AE)
  • Utilizar a tecnologia para resolver problemas que envolvam funções exponenciais e logarítmicas, incluindo equações sem solução algébrica.
  • Explorar a utilização da programação na determinação aproximada de zeros, de extremos e de imagens por uma função inversa.

Os programas correm no Python Math Studio, a consola que já vive nesta página. Em cada bloco há o botão ▶ Correr no compilador — a consola abre com o programa escrito, basta carregar em Run Code. O botão 💬 Explicar o código troca o programa pela versão comentada linha a linha.

Nenhum destes três problemas se resolve com uma fórmula. Todos se resolvem com um algoritmo — e todos têm um caso de fronteira que o faz falhar se não for previsto. É esse caso de fronteira o verdadeiro conteúdo de cada problema.

Consola de Python

corre no navegadorprograma inserido no editor — carrega em Run Code

Como usar

  1. Num bloco de código desta página, carrega em ▶ Correr no compilador — a consola abre-se com o programa já escrito.
  2. Carrega em Run Code e lê a saída.
  3. Muda os valores e volta a correr — é assim que se explora.
já vem carregado
from math import * · log, exp, e
numpy · malhas e vetores
sympy · contas exatas
matplotlib · gráficos

Corre tudo dentro do teu navegador: nada sai do computador, e funciona sem ligação à Internet.

A máquina confirma resultados; nos itens de construção o exame exige a resolução analítica justificada.

1 · O melhor h não é o mais pequeno

DecomposiçãoReconhecimento de padrõesErros de vírgula flutuante

Enquadramento

A derivada é um limite: f'(a) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}. Um computador não sabe fazer limites — sabe fazer contas com um h pequeno mas fixo. Duas escolhas naturais:

\underbrace{\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}}_{\text{razão incremental à direita}} \qquad\text{e}\qquad \underbrace{\dfrac{f(a+h) - f(a-h)}{2h}}_{\text{diferença centrada}}.

A segunda é a média das razões incrementais dos dois lados, e os erros dos dois lados cancelam-se em parte. Por isso é a que se usa.

O desafio. Diminuir h aproxima a razão incremental do limite — mas cada subtração f(a+h) - f(a-h) subtrai dois números quase iguais, e o computador guarda-os com cerca de 16 algarismos. Quando h é minúsculo, quase todos esses algarismos cancelam-se e sobra ruído. Há portanto dois erros a puxar em sentidos contrários e um h ótimo algures no meio. Descobre-o por medição, não por adivinhação: usa f(x) = \dfrac{\ln x}{x}, cuja derivada sabes calcular — f'(x) = \dfrac{1 - \ln x}{x^{2}}, logo f'(1) = 1 — e mede o erro para h = 10^{-1}, 10^{-2}, \ldots, 10^{-14}.

from math import log

def f(x):
    return log(x) / x

def D(f, x, h):                       # diferenca centrada
    return (f(x + h) - f(x - h)) / (2*h)

# f'(x) = (1 - ln x) / x**2  ->  f'(1) = 1.  Qual e' o melhor h?
print(' h        D(f,1,h)            erro')
for k in range(1, 15):
    h = 10.0**(-k)
    d = D(f, 1, h)
    print('1e-%-2d  %18.14f   %.3e' % (k, d, abs(d - 1)))

O erro desce, atinge um mínimo por volta de h \approx 10^{-5} ou 10^{-6} — e depois volta a subir. Em h = 10^{-14} já quase não há algarismos corretos. Este gráfico em V é uma das primeiras coisas que se aprende em cálculo numérico.

Segunda parte. Com o h escolhido, encontra os extremos de f em [0{,}5,\; 8] sem usar a expressão da derivada — só valores de f. O algoritmo é a versão computacional do quadro de sinais: varrer a malha à procura de uma troca de sinal da derivada aproximada, e depois apertar cada troca por bisseção.

from math import log, e

H   = 1e-6            # o h que ganhou a corrida acima
EPS = 1e-12           # criterio de paragem da bissecao

def f(x):
    return log(x) / x

def D(x):
    return (f(x + H) - f(x - H)) / (2*H)

def varre(a, b, n):
    """Percorre a malha e devolve os intervalos onde D muda de sinal."""
    passo = (b - a) / n
    trocas = []
    x0, d0 = a, D(a)
    for i in range(1, n + 1):
        x1 = a + i * passo
        d1 = D(x1)
        if (d0 < 0) != (d1 < 0):        # mudou de sinal: ha' extremo entre os dois
            trocas.append((x0, x1, d0))
        x0, d0 = x1, d1
    return trocas

def aperta(x0, x1, d0):
    """Bissecao sobre a derivada. Termina sempre: o intervalo e' sempre metade."""
    while x1 - x0 > EPS * (1 + abs(x0)):
        m = (x0 + x1) / 2
        dm = D(m)
        if dm == 0:
            return m
        if (dm < 0) == (d0 < 0):
            x0, d0 = m, dm
        else:
            x1 = m
    return (x0 + x1) / 2

for (x0, x1, d0) in varre(0.5, 8, 300):
    c = aperta(x0, x1, d0)
    tipo = 'maximo' if d0 > 0 else 'minimo'
    print('%s relativo em x = %.12f   f(x) = %.12f' % (tipo, c, f(c)))

print('exato:              e = %.12f   1/e  = %.12f' % (e, 1/e))

O programa devolve x = 2{,}718281828\ldots — o número e — com f(e) = 1/e. Confere com a conta à mão: f'(x) = 0 \iff 1 - \ln x = 0 \iff x = e. A máquina não sabia disso; chegou lá só com subtrações e divisões.

Casos de fronteira. (i) O teste (d0 < 0) != (d1 < 0) em vez de d0 * d1 < 0 — o produto dá 0 quando um dos valores é exatamente zero, e um extremo seria perdido. (ii) O critério de paragem é relativo, eps * (1 + abs(x)) — um critério absoluto como x1 - x0 > 1e-12 nunca terminaria para valores da ordem de 10^{6}. (iii) A bisseção termina sempre: o intervalo é exatamente metade em cada passo. Já while dm != 0 podia não terminar nunca.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. O varrimento avalia f em 2n pontos: é O(n). A bisseção divide o intervalo ao meio de cada vez, logo faz O(\log_{2}(1/\varepsilon)) passos. Qual das duas partes domina o tempo total quando \varepsilon = 10^{-12} e n = 300?
  2. Se aumentares n para 3000, que erro deixas de cometer? E que erro não desaparece por mais que aumentes n?
  3. O que acontece se a malha for grosseira e f tiver dois extremos muito próximos dentro do mesmo intervalo da malha? O algoritmo dá erro, ou dá uma resposta errada em silêncio? Qual dos dois é pior?
  4. Experimenta H = 10^{-14} na segunda parte. Quantos extremos falsos aparecem? Explica-os com o gráfico em V da primeira parte.
  5. Numa função com um patamar — f quase constante num intervalo — a derivada aproximada oscila em torno de zero por puro ruído. Que teste acrescentarias para não declarar um extremo em cada oscilação?

2 · Inverter uma função que não se sabe inverter

AbstraçãoOtimização algorítmicaDerivada nulaSeparação de ramos

Enquadramento

Uma função estritamente monótona num intervalo é injetiva, logo tem inversa (secção 5). Calcular f^{-1}(y) é resolver f(x) = y, ou seja, achar o zero de F(x) = f(x) - y.

O método de Newton sai diretamente da secção R2. A tangente ao gráfico de F no ponto de abcissa x_n é y = F'(x_n)(x - x_n) + F(x_n). Onde é que essa recta corta Ox? Fazendo y = 0:

x_{n+1} = x_n - \dfrac{F(x_n)}{F'(x_n)} = x_n - \dfrac{f(x_n) - y}{f'(x_n)}.

Newton é isto e mais nada: trocar a curva pela sua tangente e ir onde a tangente vai.

O desafio. Inverter y = x\,e^{x}. Pela regra do produto, f'(x) = (1+x)e^{x}, que se anula em x = -1: a função não é injetiva em \mathbb{R}. O quadro de sinais dá

x-\infty-1+\infty
Sinal de f'−0+
Variação de f↘-1/emín↗

Logo, para -1/e < y < 0 há duas soluções — uma em cada ramo. Antes de inverter é preciso escolher o ramo. E há um segundo perigo: exatamente em x = -1 a derivada é nula e a tangente é horizontal — nunca corta Ox. Newton, sozinho, atira o ponto para o infinito. A solução é Newton com rede: manter sempre um intervalo [a,b] com mudança de sinal e, sempre que Newton propuser um ponto fora dele (ou a derivada for nula), dar um passo de bisseção.

from math import exp, e

def f(x):                       # queremos inverter  y = x e^x
    return x * exp(x)

def df(x):                      # regra do produto
    return (1 + x) * exp(x)

def newton_seguro(y, a, b, eps=1e-14, maxit=80):
    """Resolve f(x) = y em [a, b]. Newton quando pode, bissecao quando deve."""
    fa = f(a) - y
    fb = f(b) - y
    if (fa < 0) == (fb < 0):
        raise ValueError('sem mudanca de sinal em [%g, %g]' % (a, b))
    x = a
    nn = nb = 0                                  # quantos passos de cada tipo
    for n in range(1, maxit + 1):
        d = df(x)
        xn = None
        if d != 0:                               # derivada nula: Newton nao serve
            cand = x - (f(x) - y) / d
            if a < cand < b:                     # saiu do intervalo: nao serve
                xn = cand
        if xn is None:
            xn = (a + b) / 2                     # rede de seguranca
            nb += 1
        else:
            nn += 1
        fn = f(xn) - y
        if (fn < 0) == (fa < 0):                 # aperta o intervalo
            a, fa = xn, fn
        else:
            b = xn
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, nn, nb
        x = xn
    return x, nn, nb

y = -0.2                        # -1/e < y < 0: DOIS ramos
print('minimo de f em x = -1,  f(-1) = -1/e = %.12f' % (-1/e))
for nome, a, b in (('direito', -1 + 1e-9, 20), ('esquerdo', -10, -1 - 1e-9)):
    x, nn, nb = newton_seguro(y, a, b)
    print('ramo %-9s x = %.12f   f(x) = %.12f   Newton: %d   bissecao: %d'
          % (nome, x, f(x), nn, nb))

Para y = -0{,}2 obtêm-se x \approx -0{,}2592 e x \approx -2{,}5426 — duas imagens inversas do mesmo y, uma por ramo. Repara na contagem dos dois tipos de passo. No ramo direito são 19 de Newton e apenas 1 de bisseção: a partir de x = 9{,}5 a tangente faz o ponto descer cerca de uma unidade de cada vez — Newton só fica rápido quando já está perto. No ramo esquerdo é 6 e 6: ali x e^{x} é quase plano, a tangente é quase horizontal e atira o ponto para fora do intervalo — sem a rede de bisseção, o algoritmo fugia.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. A bisseção ganha um bit de precisão por iteração: O(\log_{2}(1/\varepsilon)), cerca de 50 passos para 10^{-15}. Newton duplica o número de algarismos corretos de cada vez. Conta as iterações dos dois no mesmo problema e confirma a diferença.
  2. Porque é que o programa começa em -1 + 10^{-9} e não em -1? O que imprime df(-1)?
  3. Retira a rede de segurança (fica só Newton, sem bisseção) e arranca em x_0 = -0{,}999. Para onde vai o primeiro iterado? E porque é que o contador nb é tão alto no ramo esquerdo?
  4. O critério de paragem compara |x_{n+1} - x_n|, não |f(x_n) - y|. Dá um exemplo de função em que estes dois critérios discordam — um diz «cheguei» e o outro não.
  5. Este problema tem nome: a inversa de x e^{x} chama-se função W de Lambert, e os seus dois ramos são exatamente os dois que separaste. Onde é que a escolha do ramo tem de ser feita por quem escreve o programa, e não pelo programa?

3 · A mesma equação, duas escritas, dois destinos

Reconhecimento de padrõesConvergênciaOtimização algorítmicaCiclos infinitos

Enquadramento

A equação e^{-x} = x não se resolve com as regras da secção 3: não há como pôr o x de um lado só. Mas pode escrever-se como x = g(x) e iterar x_{n+1} = g(x_n) — o método do ponto fixo. Há duas escritas óbvias:

x = e^{-x} \qquad\text{ou}\qquad -x = \ln x \;\Longleftrightarrow\; x = -\ln x.

São algebricamente equivalentes. Numericamente, comportam-se ao contrário uma da outra.

O desafio. Se x^{*} é o ponto fixo, então perto dele a tangente descreve bem g e g(x_n) - g(x^{*}) \approx g'(x^{*})\,(x_n - x^{*}). Ou seja, o erro é multiplicado por |g'(x^{*})| em cada passo: menor do que 1 encolhe, maior do que 1 cresce. Aqui x^{*} \approx 0{,}567, e

|g_1'(x^{*})| = e^{-x^{*}} \approx 0{,}567 < 1, \qquad |g_2'(x^{*})| = \dfrac{1}{x^{*}} \approx 1{,}76 > 1.

Uma converge, a outra foge. Escreve um iterador que sobreviva às duas: tem de detetar a divergência (o valor explode, ou sai do domínio do logaritmo) e tem de ter um travão de iterações — sem ele, o segundo caso nunca termina.

from math import exp, log

# Equacao:  e^(-x) = x.  Nao se resolve com as regras da seccao 3.
def g1(x): return exp(-x)         # x = e^(-x)   ->  g1'(x) = -e^(-x)
def g2(x): return -log(x)         # x = -ln x    ->  g2'(x) = -1/x

def ponto_fixo(g, x0, eps=1e-13, maxit=300):
    """Iteracao x <- g(x). Devolve (raiz, iteracoes) ou (None, iteracoes)."""
    x = x0
    for n in range(1, maxit + 1):
        try:
            xn = g(x)
        except (ValueError, OverflowError):
            return None, n                       # saiu do dominio: divergiu
        if abs(xn) > 1e12:
            return None, n                       # explodiu: divergiu
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, n
        x = xn
    return None, maxit                           # nao convergiu a tempo

def newton(x0, eps=1e-13, maxit=300):
    x = x0
    for n in range(1, maxit + 1):
        fx = x - exp(-x)
        d  = 1 + exp(-x)                         # f'(x) = 1 + e^(-x) > 0 sempre
        xn = x - fx / d
        if abs(xn - x) <= eps * (1 + abs(xn)):
            return xn, n
        x = xn
    return None, maxit

r1, n1 = ponto_fixo(g1, 0.5)
r2, n2 = ponto_fixo(g2, 0.5)
r3, n3 = newton(0.5)
print('x = e^(-x)  ->', r1, 'em', n1, 'iteracoes')
print('x = -ln x   ->', r2, 'em', n2, 'iteracoes')
print('Newton      ->', r3, 'em', n3, 'iteracoes')

# Porque? Porque o erro e' multiplicado por |g'(x*)| em cada passo.
x = r3
print('|g1\'(x*)| =', abs(-exp(-x)), ' < 1  -> converge')
print('|g2\'(x*)| =', abs(-1/x),     ' > 1  -> diverge')

A primeira escrita chega a 0{,}5671432904\ldots ao fim de umas dezenas de iterações; a segunda devolve None; Newton chega ao mesmo valor em quatro ou cinco. A diferença não está na equação — está na forma como a escrevemos.

Convergência linear e convergência quadrática. No ponto fixo o erro fica multiplicado por 0{,}567 por passo: para ganhar um algarismo decimal são precisos cerca de 4 passos, e para 12 algarismos cerca de 48. Em Newton o erro passa a ser aproximadamente proporcional ao quadrado do erro anterior: 10^{-2} \to 10^{-4} \to 10^{-8} \to 10^{-16}. É a diferença entre O(\log(1/\varepsilon)) e O(\log\log(1/\varepsilon)) iterações.

Análise Cinco perguntas críticas
  1. Imprime |x_{n+1} - x^{*}| em cada passo da primeira iteração e calcula o quociente entre erros consecutivos. Aproxima-se de 0{,}567? Porquê?
  2. Faz o mesmo com Newton. O quociente |e_{n+1}|/|e_n|^{2} estabiliza — em que valor?
  3. A segunda escrita diverge a partir de x_0 = 0{,}5. Existe algum x_0 a partir do qual ela convirja? (Cuidado: o ponto fixo é o mesmo. O que muda?)
  4. O travão maxit é o que separa um programa de um bloqueio. Que outra condição de paragem acrescentarias para detetar cedo que a sucessão está a afastar-se, em vez de esperar pelas 300 iterações?
  5. Aceleração de Aitken. Com três iterados consecutivos, \tilde{x} = x_0 - \dfrac{(x_1 - x_0)^{2}}{x_2 - 2x_1 + x_0} costuma estar muito mais perto de x^{*} do que x_2. Implementa-o sobre a primeira iteração e conta quantas iterações poupas. Que caso de fronteira tens de tratar no denominador?
05

Teste rápido

Dez questões de resposta imediata, com correção e explicação. Serve para verificares se podes avançar — ou se convém voltar atrás.

Pergunta 1 de 10
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Formulário essencial e referências

Tudo o que este capítulo usa, numa página. A caixa das leituras erradas é a que mais falta faz — é lá que estão os enganos que aparecem nos jornais todas as semanas.

Parâmetro e estatística

PopulaçãoAmostra
Valor médio{\mu}\bar{x}
Desvio-padrão{\sigma}s
Proporçãop\hat{p}

Os da esquerda são parâmetros — fixos e desconhecidos. Os da direita são estatísticas — conhecidas e variáveis.

Média e desvio-padrão amostrais

\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i} s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\bar{x}\right)^{2}

Distribuição de amostragem da média

E\left[\bar{X}\right] = {\mu}, \qquad {\sigma}_{\bar{X}} = \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}

Teorema Limite Central

Para n suficientemente grande, \bar{X} é aproximadamente Normal com valor médio {\mu} e desvio-padrão \frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}, qualquer que seja a distribuição da população.

Regra empírica

{\mu} \pm {\sigma}\approx 0{,}683
{\mu} \pm 2{\sigma}\approx 0{,}954
{\mu} \pm 3{\sigma}\approx 0{,}997
{\mu} \pm 1{,}96{\sigma}= 0{,}95

Intervalo de confiança para {\mu}

\left[\bar{x} - z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}},\ \ \bar{x} + z_{1-{\alpha}/2}\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}\right]

Quando {\sigma} é desconhecido, substitui-se por s.

Valores de z

Confiança{\alpha}z_{1-{\alpha}/2}
90\%0{,}101{,}645
95\%0{,}051{,}960
99\%0{,}012{,}576

Margem de erro

m = z_{1-{\alpha}/2}\,\frac{{\sigma}}{\sqrt{n}}

É metade da amplitude. Para a reduzir a metade, quadruplica-se n.

Intervalo para uma proporção

\left[\hat{p} - z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}},\ \ \hat{p} + z_{1-{\alpha}/2}\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}\right]

Dimensionar a amostra

Sem informação prévia sobre p, usa-se o pior caso \hat{p} = 0{,}5:

n \geq \left(\frac{z_{1-{\alpha}/2} \times 0{,}5}{m}\right)^{2}

A 95\%, com m = 0{,}03: n = 1068. São os «três pontos» das sondagens.

As leituras erradas, e as certas

Errado: «a probabilidade de {\mu} estar no intervalo é 95\%». Certo: «a probabilidade de o intervalo conter {\mu} é 95\%» — o aleatório está nos extremos. Errado: «o TLC diz que a população é Normal». Certo: é a média amostral que se aproxima da Normal. Errado: «52\% com margem de 3 pontos, logo tem maioria». Certo: o intervalo contém 50\% — é um empate técnico. Errado: «a amostra é grande, logo é representativa». Certo: o que faz a representatividade é ser aleatória; nenhuma dimensão corrige um enviesamento.

Antes de dar uma resolução por fechada

o desvio-padrão amostral divide por n-1; ao dimensionar uma amostra, arredonda-se por excesso; margem de erro é metade da amplitude; numa proporção sem informação prévia, usa-se o pior caso \hat{p} = 0{,}5; a resposta a uma leitura de sondagem compara sempre a diferença com a margem.

Referências

Aprendizagens Essenciais · Matemática A · 12.º ano (2023), tema opcional «Introdução à inferência estatística». Abraham de Moivre, The Doctrine of Chances (1733) — a primeira versão do Teorema Limite Central. Pierre-Simon Laplace, Théorie analytique des probabilités (1812) — a generalização. ALEA — Ação Local de Estatística Aplicada, Introdução à Inferência Estatística.

07

Exercícios globais

Os temas opcionais nunca foram avaliados em Exame Nacional — não há, por isso, itens de exame para este capítulo. O que se segue são exercícios originais, no formato e no grau de exigência de um item, arrumados por tema. Cada um traz sugestão e resolução passo a passo.

Exercícios globais · Amostragem e Teorema Limite Central

Cinco exercícios sobre amostras, estimadores e a distribuição da média. Em dois deles não há contas nenhumas — e são os mais difíceis.

Exercício 1 construçãoExercício global · TLC

O tempo de espera numa fila tem valor médio 6 minutos e desvio-padrão 3 minutos, com distribuição fortemente assimétrica.

a) Justifica que a média de 100 esperas tem distribuição aproximadamente Normal, e indica os seus parâmetros.b) Determina a probabilidade aproximada de essa média exceder 6{,}6 minutos.

Exercício 2 escolha múltiplaExercício global · TLC

Numa população com {\\sigma} = 20, o desvio-padrão da média de amostras de dimensão n é 2{,}5.

Qual é o valor de n?

  • (A)8
  • (B)16
  • (C)64
  • (D)400
Exercício 3 construçãoExercício global · amostragem

Um investigador quer estimar o tempo médio diário que os jovens passam nas redes sociais. Publica um inquérito numa rede social e recolhe 5000 respostas.

Explica por que razão a estimativa será previsivelmente enviesada, e indica o sentido do enviesamento.

Exercício 4 construçãoExercício global · estimador

Para estimar o valor médio de uma população, dois estudantes propõem estimadores diferentes: o primeiro usa a média da amostra; o segundo usa a média entre o menor e o maior valor da amostra.

Comenta os dois, sabendo que a população é simétrica.

Exercício 5 construçãoExercício global · dimensionar

Numa população com {\\sigma} = 25, pretende-se que a média amostral se afaste de {\\mu} menos de 4 unidades, com probabilidade 0{,}95.

Determina a menor dimensão de amostra.

Na alínea a), invoca o TLC — que não exige nada à forma da população. Na b), conta os desvios-padrão.

  1. a) Pelo Teorema Limite Central, com n = 100 suficientemente grande, \\bar{X} é aproximadamente Normal, qualquer que seja a distribuição da população: E\\left[\\bar{X}\\right] = 6, \\qquad {\\sigma}_{\\bar{X}} = \\frac{3}{\\sqrt{100}} = 0{,}3.
  2. b) \\dfrac{6{,}6-6}{0{,}3} = 2: são dois desvios-padrão acima.
  3. Pela regra empírica, acima de 2 desvios fica \\dfrac{1-0{,}954}{2} = 0{,}023.A assimetria da população é irrelevante para a alínea b) — é isso que o TLC compra. Para uma espera, a regra empírica não valeria.
RespostaNormal com {\\mu}=6 e {\\sigma}_{\\bar{X}}=0{,}3 · \\approx 0{,}023

Resolve \\frac{20}{\\sqrt{n}} = 2{,}5.

  1. \\frac{20}{\\sqrt{n}} = 2{,}5 \\iff \\sqrt{n} = 8 \\iff n = 64.
  2. A opção (A) é a armadilha: 8 é o \\sqrt{n}, não o n.Vale a pena verificar no fim: \\frac{20}{\\sqrt{64}} = \\frac{20}{8} = 2{,}5. ✓
RespostaOpção (C)

Quem é que pode responder a um inquérito publicado numa rede social?

  1. Quem entra na amostra. Só quem usa a rede social e a usa com frequência suficiente para ver o inquérito e decide responder. Quem não usa redes sociais tem probabilidade nula de entrar.
  2. O sentido. Os utilizadores mais intensivos são os que mais provavelmente veem e respondem: a estimativa fica acima do verdadeiro tempo médio dos jovens.
  3. A dimensão não salva nada. As 5000 respostas tornam a estimativa mais precisa — mas em torno do valor errado.É a distinção entre precisão e exatidão. Uma amostra enviesada de 5000 é pior do que uma amostra aleatória de 300: dá uma resposta errada com mais convicção.
RespostaAmostra de resposta voluntária, enviesada por excesso; a dimensão não corrige

Numa população simétrica, ambos acertam em média. A diferença está noutro sítio.

  1. Ambos são centrados. Numa população simétrica, tanto a média como o ponto médio entre extremos têm valor médio igual a {\\mu}.
  2. A diferença está na variabilidade. O segundo usa apenas dois valores da amostra — e precisamente os dois mais extremos, que são os mais instáveis. O primeiro usa todos.
  3. O segundo tem muito maior desvio-padrão: é centrado mas mau. Além disso, não melhora com n ao mesmo ritmo.Ser centrado não chega para ser bom estimador. Entre dois estimadores centrados, escolhe-se o de menor variabilidade — e é por isso que a média amostral é a escolha.
RespostaAmbos centrados; o segundo tem variabilidade muito maior

Com probabilidade 0{,}95, \\bar{X} fica a menos de 1{,}96\\,{\\sigma}_{\\bar{X}} de {\\mu}.

  1. 1{,}96 \\times \\frac{25}{\\sqrt{n}} < 4 \\iff \\sqrt{n} > \\frac{49}{4} = 12{,}25.
  2. n > 150{,}06 \\implies n = 151.
  3. Arredonda-se por excesso.Com n = 150 a condição já não se cumpre — por pouco, mas não se cumpre. Neste tipo de problema, arredondar por defeito é sempre erro.
Respostan = 151

Exercícios globais · Intervalos de confiança e sondagens

Cinco exercícios de intervalos, margens de erro e leitura de sondagens. O último é uma notícia verdadeira em tudo menos no título.

Exercício 6 construçãoExercício global · intervalo para a média

Uma amostra aleatória de 225 lâmpadas deu duração média 1180 horas e desvio-padrão amostral 90 horas.

a) Constrói o intervalo de 95\\% de confiança para a duração média.b) O fabricante anuncia 1200 horas. Comenta.

Exercício 7 escolha múltiplaExercício global · interpretar

Um estudo apresenta o intervalo de 95\\% de confiança \\left]12{,}3,\\ 15{,}7\\right[ para {\\mu}.

Qual das afirmações é correta?

  • (A)95\\% da população está entre 12{,}3 e 15{,}7
  • (B)A probabilidade de {\\mu} estar entre 12{,}3 e 15{,}7 é 0{,}95
  • (C)Repetindo o processo, cerca de 95\\% dos intervalos conteriam {\\mu}
  • (D)95\\% das amostras têm média entre 12{,}3 e 15{,}7
Exercício 8 construçãoExercício global · proporção

Numa amostra aleatória de 625 consumidores, 150 declararam preferir a marca A.

a) Constrói o intervalo de 95\\% de confiança para p.b) Pode afirmar-se que menos de um terço dos consumidores prefere a marca A?

Exercício 9 construçãoExercício global · dimensionar uma sondagem

Uma empresa quer encomendar uma sondagem com margem de erro de 2 pontos percentuais, a 95\\% de confiança.

a) Determina a dimensão necessária, sem informação prévia sobre p.b) Sabendo que cada inquérito custa 4 €, compara o custo com o de uma sondagem de 3 pontos de margem.

Exercício 10 construçãoExercício global · ler uma notícia

Uma notícia diz: «Sondagem realizada a 1200 pessoas, com margem de erro de 2{,}8 pontos percentuais para um nível de confiança de 95\\%. O partido X tem 27{,}5\\% e o partido Y tem 25{,}2\\%. X ultrapassa Y.»

a) Confirma a margem de erro anunciada, usando o pior caso.b) Comenta a afirmação final.

Na alínea b), vê se 1200 está dentro ou fora do intervalo.

  1. a) A margem: 1{,}96 \\times \\frac{90}{\\sqrt{225}} = 1{,}96 \\times \\frac{90}{15} = 1{,}96 \\times 6 = 11{,}76. O intervalo é \\left]1168{,}24,\\ 1191{,}76\\right[.
  2. b) O valor 1200 fica fora do intervalo, acima dele.
  3. Os dados são pouco compatíveis com a duração anunciada: há indício de que o fabricante exagera.«Pouco compatível» não é «provado falso». Se a duração média fosse mesmo 1200, um intervalo destes deixá-la-ia de fora em menos de 5\\% das amostras — é pouco, mas não é impossível.
Resposta\\left]1168{,}24,\\ 1191{,}76\\right[; 1200 fica fora

Só uma das quatro fala do método em vez de falar deste intervalo em concreto.

  1. (C) é a correta: a confiança é uma propriedade do método, verificada ao longo de muitas repetições.
  2. (A) é falsa: o intervalo é para o valor médio, não para os valores individuais da população.
  3. (B) é a armadilha: {\\mu} é fixo — ou está ou não está. Não há probabilidade a atribuir-lhe.
  4. (D) é falsa: confunde a distribuição de \\bar{X} com o intervalo construído a partir de uma amostra.A diferença entre (B) e (C) é a mais subtil e a mais importante do capítulo. Em (B) o aleatório estaria em {\\mu}; em (C) está, corretamente, nos extremos.
RespostaOpção (C)

Um terço é 0{,}3\\overline{3}. Vê se esse valor cai dentro do intervalo.

  1. a) \\hat{p} = \\dfrac{150}{625} = 0{,}24. A margem: 1{,}96\\sqrt{\\frac{0{,}24 \\times 0{,}76}{625}} = 1{,}96\\sqrt{0{,}00029184} \\approx 1{,}96 \\times 0{,}01708 \\approx 0{,}0335. O intervalo é \\left]0{,}2065,\\ 0{,}2735\\right[.
  2. b) Um terço é \\approx 0{,}333, que fica acima do extremo superior do intervalo.
  3. Sim: os dados sustentam que a proporção é inferior a um terço.Note-se a assimetria da conclusão. Dizer «é inferior a um terço» é seguro porque todo o intervalo está abaixo desse valor. Se o intervalo o contivesse, nada se poderia afirmar.
Resposta\\left]0{,}207,\\ 0{,}274\\right[; sim, todo o intervalo está abaixo de 1/3

Usa o pior caso \\hat{p} = 0{,}5 nas duas alíneas.

  1. a) 1{,}96\\sqrt{\\frac{0{,}25}{n}} \\leq 0{,}02 \\iff \\sqrt{n} \\geq \\frac{0{,}98}{0{,}02} = 49 \\iff n \\geq 2401.
  2. b) Com 3 pontos: \\sqrt{n} \\geq \\dfrac{0{,}98}{0{,}03} \\approx 32{,}67, logo n = 1068.
  3. Os custos: 2401 \\times 4 = 9604 € contra 1068 \\times 4 = 4272 €.
  4. Ganhar um ponto percentual de precisão custa mais do dobro.É a conta que decide o orçamento de qualquer sondagem — e a razão por que quase todas ficam nos 3 pontos. A margem entra ao quadrado no denominador do n.
Respostan = 2401, a 9604 €, contra 1068 a 4272 €

Na alínea a), calcula 1{,}96\\sqrt{0{,}25/1200}. Na b), compara a diferença com a margem.

  1. a) 1{,}96\\sqrt{\\frac{0{,}25}{1200}} = 1{,}96 \\times \\frac{0{,}5}{34{,}64} \\approx 0{,}0283. São de facto cerca de 2{,}8 pontos percentuais. ✓
  2. b) A diferença entre os dois partidos é 27{,}5-25{,}2 = 2{,}3 pontos — inferior à margem de 2{,}8.
  3. Os intervalos dos dois partidos intersetam-se: os dados não permitem afirmar que X ultrapassa Y. É um empate técnico.
  4. A ficha técnica está correta; a conclusão do título é que não.É o padrão mais comum: o rodapé traz a informação certa e o título ignora-a. Saber ler a ficha técnica é o que este capítulo dá.
RespostaMargem confirmada (\\approx 2{,}8 p.p.); a diferença é menor, logo empate técnico