∞Astrolábio · Estatística
Matemática A · revisão do 10.º ano

Estatística

O 12.º ano faz contas com médias e desvios padrão sem voltar a explicá-los, e o Exame Nacional de Matemática A pede correlação e reta de regressão desde 2023. Este capítulo repõe o degrau que falta, e repõe-o inteiro: da primeira pergunta — a que só se responde recolhendo dados — até à reta dos mínimos quadrados. Pelo meio ficam as tabelas de frequências, as classes e o histograma, a média, a mediana e os quartis, a amplitude interquartil e o desvio padrão amostral, e o que acontece a tudo isso quando se transformam os dados. Os conjuntos de dados são pequenos de propósito: quase todos se fazem à mão, e a calculadora entra onde entra no Exame. No fim há mais de cem itens de Exame e de MACS, com resolução passo a passo.

\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_{i} \qquad s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2}} \qquad y = ax+b Onde está o centro, quanto é que os dados se afastam dele, e o que acontece quando se olha para duas variáveis ao mesmo tempo. É todo o capítulo em três fórmulas.
0exercícios
5laboratórios interativos
9secções
0%concluído
R1

O problema estatístico

A Estatística começa antes das contas: começa numa pergunta cuja resposta depende de recolher dados, e cujos dados variam de caso para caso. Esta secção arruma o vocabulário que todo o resto pressupõe — população, amostra, variável — e mostra por que razão uma amostra grande mal escolhida vale menos do que uma pequena bem escolhida.

Aprendizagens Essenciais · 10.º ano · págs. 20–21
  • Reconhecer o papel relevante desempenhado pela Estatística em todos os campos do conhecimento.
  • Reconhecer a variabilidade como um conceito chave de um problema estatístico.
  • Conhecer e interpretar situações do mundo que nos rodeia em que a variabilidade está presente.
  • Identificar num estudo estatístico, população, amostra e a(s) caraterística(s) a estudar, que se designa(m) por variável (variáveis).
  • Reconhecer as fases de um procedimento estatístico: Produção ou aquisição de dados; Organização e representação de dados; Interpretação tendo por base as representações obtidas.
  • Reconhecer os métodos existentes para a seleção de amostras, no sentido de que estas sejam representativas das populações subjacentes, e de modo a evitar amostras enviesadas cujo estudo levaria a inferir conclusões erradas para as populações.
  • Intuir que os problemas estatísticos em que se recorre a amostras para inferir para a população subjacente, não têm uma solução matemática única que se possa exprimir como verdadeiro ou falso.
  • Identificar dados quantitativos discretos ou contínuos.

1 · Uma pergunta cujas respostas variam

Questão estatística

Uma pergunta é uma questão estatística quando cumpre duas condições:

a) responder-lhe exige recolher dados; b) as respostas variam de unidade para unidade.

«Qual é a minha altura?» não é uma questão estatística: tem uma resposta só, e mede-se de uma vez. «Que altura têm os alunos do 10.º ano desta escola?» é: obriga a medir muitos alunos, e cada um dá um valor diferente. É essa segunda pergunta que a Estatística sabe responder — e a resposta não vai ser um número, vai ser uma descrição de como os valores se espalham.

A essa diferença entre valores chama-se variabilidade, e é ela que põe a Estatística a trabalhar. Repara em quatro decisões banais, todas presas à mesma dificuldade:

— um autarca pergunta-se se vale a pena recandidatar-se, e as intenções de voto dos seus concidadãos não são todas iguais; — o diretor de um agrupamento quer saber que percentagem de alunos almoça na escola, e essa percentagem muda de dia para dia; — um padeiro decide quantos pães vai fazer amanhã, sabendo que a procura de ontem não foi a de anteontem; — o gerente de uma fábrica de camisas escolhe em que tamanhos há de investir, e os corpos das pessoas não têm todos a mesma medida.

Nenhuma destas perguntas tem uma resposta certa que se possa deduzir. Todas se respondem do mesmo modo: recolhem-se dados e resume-se o que eles mostram.

É por isso que a Estatística acaba por ser a linguagem comum de campos que não falam entre si. A medicina serve-se dela para decidir se um tratamento funciona melhor do que outro; a climatologia, para separar uma oscilação de um ano de uma tendência de cinquenta; a economia, para medir o desemprego sem perguntar a toda a gente; a biologia, a psicologia, o desporto, o controlo de qualidade de uma fábrica. E a própria Matemática A do 12.º ano volta a ela na Inferência estatística. A razão é sempre a mesma: onde há variabilidade, não há uma observação que chegue — é preciso recolher muitas e saber resumi-las.

A resposta não é verdadeira nem falsa

Estás habituado a problemas de Matemática cuja resposta está certa ou errada. Aqui não é assim. Quando se conclui de uma amostra para a população, o resultado vem sempre com um grau de confiança — nunca com um valor lógico. Podes fazer tudo bem e ainda assim enganar-te, porque calhou a amostra ser pouco típica; o que se pode fazer é tornar isso improvável e dizer quanto. Quantificar esse grau é trabalho do 12.º ano, e faz-se com probabilidade: é o capítulo da Inferência estatística.

2 · População, amostra e variável

Os três nomes

Num estudo estatístico:

— a população é o conjunto de todos os elementos — as unidades estatísticas — sobre os quais se quer concluir; — a amostra é o subconjunto da população cujos elementos são efetivamente observados; ao seu número de elementos chama-se dimensão da amostra e representa-se por n; — a variável estatística é a característica que se observa em cada unidade e que toma valores diferentes de unidade para unidade.

Aos valores observados chama-se dados. Um estudo pode ter mais do que uma variável: observam-se então duas ou mais características sobre as mesmas unidades.

A mesma palavra para duas coisas

«População» e «amostra» designam tanto o conjunto das unidades como o conjunto dos valores que a variável tomou nelas. Quando se diz «a amostra tem 60 alunos», fala-se das unidades; quando se diz «os dados da amostra vão de 5 a 48 minutos», fala-se dos valores. É uma ambiguidade da linguagem corrente da Estatística, e a melhor maneira de lidar com ela é dizer qual das duas se quer sempre que houver dúvida.

Exemplo 1 Quem é a população, quem é a amostra

Numa escola com 840 alunos escolhem-se 60 ao acaso e regista-se o tempo, em minutos, que cada um demora a chegar à escola.

a) Qual é a população? b) Qual é a amostra, e qual é a sua dimensão? c) Qual é a variável em estudo, e de que tipo é?

  1. a) A população é o conjunto dos 840 alunos da escola. É sobre eles que se quer concluir, ainda que só se vá observar uma parte.
  2. b) A amostra é o conjunto dos 60 alunos escolhidos, e a sua dimensão é n = 60.
  3. c) A variável é o tempo de deslocação até à escola. É quantitativa contínua: obtém-se por medição e pode tomar qualquer valor de um intervalo — 7 minutos, 7{,}5, 7{,}23, conforme o rigor do relógio.Repara que a população não são os 840 tempos: são os 840 alunos. Os tempos são os valores que a variável toma neles — e é essa a ambiguidade da nota acima.
Respostaa) os 840 alunos da escola · b) os 60 alunos escolhidos, n = 60 · c) o tempo de deslocação, quantitativa contínua
Neste capítulo, os dados são sempre de uma amostra

Daí virem as medidas com as letras que trazem: \overline{x} para o centro e s para a dispersão são medidas calculadas sobre dados observados. No 12.º ano aparece o outro lado — a população descrita por um modelo, com o valor médio {\mu} e o desvio padrão populacional {\sigma} —, e os dois ficam lado a lado em Probabilidades · §13.

Repara na assimetria, porque é dela que vive metade dos enganos. Perante os mesmos dados, há um valor para a média e dois para o desvio padrão, conforme se divida por n ou por n-1. É por isso que o desvio padrão leva rótulo — amostral, s — e a média não leva nenhum: é sempre «a média». As Aprendizagens Essenciais escrevem-no assim mesmo: «média (\overline{x})», sem qualificativo, e «desvio padrão amostral, s».

3 · Recenseamento e sondagem

As duas maneiras de recolher

Num recenseamento — ou censo — recolhem-se dados sobre toda a população. Numa sondagem recolhem-se dados apenas sobre uma amostra.

O recenseamento parece sempre melhor, e às vezes é: quando a população é pequena e a observação é barata, não há razão nenhuma para sondar. Mas há três situações em que ele não se faz — e a terceira é a mais comum:

a) a população é infinita, ou não está toda formada: todas as peças que uma máquina virá a produzir, todos os lançamentos possíveis de um dado; b) a observação é destrutiva: para saber com que força um cabo de aço parte, é preciso parti-lo — recensear o lote deixaria a fábrica sem lote; c) o custo ou o tempo tornam-no impraticável: perguntar a dez milhões de pessoas o que elas tencionam votar, todas as semanas, não é possível.

Em Portugal faz-se um recenseamento à população de dez em dez anos, e é uma operação nacional de meses. As sondagens que aparecem nos jornais fazem-se em dias — porque observam algumas centenas de pessoas, e não dez milhões.

Uma amostra não dá certezas

Mesmo bem escolhida, uma sondagem dá uma estimativa, e uma estimativa tem erro. Duas amostras diferentes da mesma população dão resultados diferentes — e nenhuma delas é «a verdadeira». Existem técnicas para decidir que dimensão é precisa para o erro ficar dentro de um limite aceitável, e para dizer com que confiança se afirma o que se afirma; não são matéria do 10.º ano. O que interessa reter agora é que o erro existe, que ele se pode medir, e que é a probabilidade que permite fazê-lo.

4 · Amostras enviesadas

Amostra representativa

Uma amostra é representativa quando reproduz a população naquilo que interessa ao estudo. Para isso precisa de duas coisas:

a) ser aleatória — todos os elementos da população com a mesma hipótese de entrar nela; b) ter dimensão suficiente — tanto maior quanto maior for a variabilidade da população.

Ao processo mais simples de garantir a primeira condição — numerar todos os elementos da população e sortear os da amostra, todos com a mesma hipótese de saírem — chama-se amostragem aleatória simples. Há outros processos, que as Aprendizagens Essenciais do 10.º ano não desenvolvem.

Quando a amostra falha a primeira condição, diz-se enviesada: há grupos da população com hipótese nula, ou muito reduzida, de entrar nela. E o que sai de uma amostra enviesada não descreve a população — descreve o grupo que teve hipótese de ser ouvido.

Os dois enviesamentos com nome

São os dois que aparecem em quase todos os casos reais:

— por conveniência: inquirem-se os elementos que estão à mão — os que passam naquela rua, os que estão naquela sala, os que se conhecem; — por resposta voluntária: publica-se o questionário e só entra na amostra quem decidir responder.

Nos dois casos a amostra deixou de ser escolhida por quem faz o estudo. No primeiro, escolhe-a o sítio; no segundo, escolhe-a o próprio inquirido — e quem se dá ao trabalho de responder costuma ser quem tem uma opinião forte sobre o assunto.

Aumentar a amostra não corrige o enviesamento

É o engano mais teimoso do tema. Mil respostas recolhidas todas no mesmo sítio continuam a ser mil respostas daquele sítio: o grupo que ficou de fora continua de fora, e continua a ser tão grande como era. Recolher mais dados torna a resposta mais precisa — e a resposta precisa continua a ser a resposta errada, agora com mais casas decimais. Uma amostra pequena e aleatória vale mais do que uma amostra enorme e enviesada.

Exemplo 2 Duas sondagens na mesma cidade

Numa cidade com 40\,000 eleitores fizeram-se duas sondagens sobre a construção de um parque:

Sondagem A — 200 pessoas escolhidas ao acaso em todo o concelho. Sondagem B — 2000 pessoas inquiridas à saída de um único centro comercial, ao sábado à tarde.

Qual das duas merece mais confiança?

  1. A sondagem B tem dez vezes mais inquiridos. É a primeira coisa que se vê, e é a que engana.
  2. Em B, só pode entrar na amostra quem está naquele centro comercial, naquela tarde. Quem não vai a centros comerciais, quem trabalha ao sábado, quem vive longe dali — todos com hipótese praticamente nula de serem ouvidos. É uma amostra por conveniência.
  3. Em A, todos os eleitores do concelho tinham a mesma hipótese de ser escolhidos: a amostra é aleatória.
  4. Merece mais confiança a sondagem A, apesar de ser dez vezes menor.Se B tivesse inquirido 20\,000 pessoas em vez de 2000, continuaria a ser pior do que A. O defeito de B não está na dimensão — está na maneira de escolher, e essa não se corrige com mais respostas.
Respostaa sondagem A

5 · Dados quantitativos discretos e contínuos

Discretos e contínuos

Ao observar uma variável quantitativa sobre as unidades da amostra, aparecem duas situações:

— a variável toma valores num conjunto finito ou numerável e a observação é uma contagem: diz-se discreta. O número de irmãos, o número de golos, o número de livros requisitados; — a variável pode tomar qualquer valor de um intervalo de \mathbb{R} e a observação é uma medição: diz-se contínua. A altura, a massa, o tempo, a temperatura.

O teste rápido é este: contaste ou mediste?

A natureza depende da forma de medir

A natureza dos dados não é uma propriedade da característica em si — depende de como ela foi registada. A idade é contínua por natureza, mas registada em anos completos (15, 16, 17) usa-se como discreta. O tamanho de uma camisa é uma medida contínua — centímetros de perímetro do peito —, mas classificado em XS, S, M, L, XL deixa de ser sequer numérico: passa a ser qualitativo. É a única vez que esta palavra aparece no capítulo, e entra assim, de passagem, porque é assim que as Aprendizagens Essenciais a introduzem.

6 · As fases de um procedimento estatístico

As três fases

Todo o procedimento estatístico tem três fases, por esta ordem:

a) Produção ou aquisição de dados — formular a questão, identificar a população e a variável, decidir se se recenseia ou se se sonda, escolher a amostra e recolher os valores. É a fase que mais decide o resultado, e a única cujos erros as outras duas não conseguem reparar; b) Organização e representação de dados — arrumar os valores em tabelas de frequências e escolher a representação gráfica adequada ao tipo de dados. É o que se faz em R2 e R3; c) Interpretação tendo por base as representações obtidas — ler o que as tabelas e os gráficos mostram, resumi-lo em medidas, comparar conjuntos de dados e responder à questão inicial, dizendo também o que os dados não permitem concluir. É o que se faz de R4 a R7.

Esta secção é a primeira fase; as outras cinco secções do capítulo são as outras duas.

Python Uma amostra à mão e uma amostra ao acaso

A lista tem as alturas, em centímetros, dos 40 alunos de um ano de escolaridade, por ordem crescente — é assim que os dados chegam de uma pauta ordenada por altura. O programa compara a percentagem de alunos com mais de 170 cm em três conjuntos: a população inteira, os oito primeiros da lista (a amostra que se obtém inquirindo quem está mais à mão) e oito alunos sorteados.

import random

alturas = [152, 154, 155, 156, 157, 158, 158, 159, 160, 161,
           161, 162, 163, 163, 164, 165, 165, 166, 166, 167,
           167, 168, 168, 169, 170, 170, 171, 172, 172, 173,
           174, 175, 176, 177, 178, 179, 180, 181, 183, 185]

def percentagem_altos(lista):
    altos = 0
    for a in lista:
        if a > 170:
            altos = altos + 1
    return round(100 * altos / len(lista), 1)

print("populacao (40 alunos):", percentagem_altos(alturas), "%")
print("8 primeiros da lista:", percentagem_altos(alturas[:8]), "%")
print("8 sorteados ao acaso:", percentagem_altos(random.sample(alturas, 8)), "%")

Corre o programa cinco vezes seguidas. A percentagem da amostra sorteada salta de corrida para corrida — 25\%, 37{,}5\%, 50\%, às vezes 12{,}5\% —, mas anda sempre à volta dos 35\% da população: é isso que se espera de uma amostra aleatória pequena. A dos oito primeiros dá sempre 0\%, e está sempre errada — repeti-la mil vezes não a aproxima do valor certo. Depois troca alturas[:8] por alturas[-8:]: passa a dar 100\%, e o erro é do mesmo tamanho, para o outro lado.

Exercícios propostos

Doze exercícios de leitura e de crítica: identificar população, amostra e variável num estudo, distinguir recenseamento de sondagem, classificar dados como discretos, contínuos ou qualitativos, e reconhecer os dois enviesamentos com nome. Não há uma única conta — o que se treina aqui é ler um estudo e ver-lhe os defeitos antes de olhar para os números.

A cor do título dá o grau de dificuldade: verde, aplicação direta · amarelo, exige uma ideia intermédia · vermelho, justificação ou generalização, ao nível do Exame.

Exercício 1§R1 · população, amostra e variável

Numa escola com 720 alunos escolhem-se 90 ao acaso e regista-se, para cada um, o número de livros que requisitou na biblioteca no último mês.

a) Indica a população. b) Indica a amostra e a sua dimensão. c) Indica a variável em estudo e classifica-a.

Exercício 2§R1 · discreta ou contínua

Das quatro variáveis seguintes, qual é quantitativa contínua?

  • (A)O número de irmãos de cada aluno.
  • (B)O número de golos marcados numa jornada.
  • (C)O tempo de reação a um sinal luminoso.
  • (D)A cor dos olhos de cada aluno.
Exercício 3§R1 · questão estatística

Considera as quatro perguntas seguintes.

a) «Quantos anos tenho?» b) «Que idade têm os sócios deste clube?» c) «Que horas são?» d) «A que horas se deitam os alunos do 10.º ano desta escola?»

Indica quais são questões estatísticas e explica porquê.

Exercício 4§R1 · recenseamento ou sondagem

A câmara mediu o consumo de água das 8 piscinas municipais do concelho — todas elas.

Trata-se de:

  • (A)uma sondagem.
  • (B)um recenseamento.
  • (C)uma amostra por conveniência.
  • (D)uma amostra aleatória.
Exercício 5§R1 · população e amostra

a) Explica, por palavras tuas, a diferença entre população e amostra. b) Dá um exemplo de uma população infinita e explica por que razão, nesse caso, o recenseamento é impossível.

Exercício 6§R1 · amostras enviesadas

Num clube com 500 sócios quer estimar-se a percentagem dos que usam a piscina.

a) Indica a população. b) Alguém propõe inquirir apenas os sócios que estiverem no ginásio à terça-feira de manhã. Explica por que razão essa amostra não é representativa.

Exercício 7§R1 · a forma de medir

A mesma característica pode ser registada de maneiras diferentes. Classifica cada um dos registos seguintes.

a) A idade de cada pessoa, calculada a partir do dia de nascimento. b) A idade de cada pessoa, em anos completos. c) O tamanho de uma sweatshirt, medido em centímetros de perímetro do peito. d) O tamanho de uma sweatshirt, registado como S, M, L ou XL.

Exercício 8§R1 · as três fases

Um grupo de alunos quer saber quanto papel se gasta na escola durante uma semana.

Descreve o que o grupo tem de fazer em cada uma das três fases de um procedimento estatístico, neste caso concreto.

Exercício 9§R1 · por resposta voluntária

Qual destas amostras é enviesada por resposta voluntária?

  • (A)100 alunos sorteados da lista de todos os alunos da escola.
  • (B)Os leitores que responderam ao questionário publicado no jornal escolar.
  • (C)Os 30 primeiros alunos a entrar no refeitório.
  • (D)5 alunos de uma escola com 756.
Exercício 10§R1 · duas causas de enviesamento

Uma sondagem feita por mensagem numa rede social, às 23 horas de um sábado, conclui que 68\% das pessoas apoia uma determinada medida. O texto que a acompanha diz: «os portugueses apoiam a medida».

Aponta duas razões independentes para esta amostra poder não representar a população do país.

Exercício 11§R1 · dimensão contra aleatoriedade

Numa vila com 12\,000 habitantes, a junta quer saber que percentagem da população apoia a construção de uma ciclovia. Fizeram-se duas recolhas:

Recolha A — 150 moradores sorteados dos cadernos eleitorais e contactados em casa. Recolha B — 1800 respostas obtidas num quiosque montado à porta de uma loja de bicicletas, durante um mês.

Qual das duas merece mais confiança? Justifica.

Exercício 12§R1 · criticar uma conclusão

O jornal de uma escola publica: «80\% dos alunos aprovam a nova ementa». A conclusão saiu de um questionário deixado em cima do balcão da cantina, disponível durante uma semana para quem o quisesse preencher.

a) Critica a conclusão, apontando os defeitos da recolha. b) Propõe um plano de recolha melhor, indicando a população, a maneira de escolher a amostra e a variável em estudo.

A população é o conjunto sobre o qual se quer concluir; a amostra é a parte que se observa. Para classificar a variável, pergunta se o valor se obtém por contagem ou por medição.

  1. a) A população é o conjunto dos 720 alunos da escola.
  2. b) A amostra é o conjunto dos 90 alunos escolhidos, e a sua dimensão é n = 90.
  3. c) A variável é o número de livros requisitados no último mês. É quantitativa discreta.É discreta porque o valor observado é uma contagem: 0, 1, 2, … livros. Ninguém requisita 2{,}4 livros.
Respostaa) os 720 alunos · b) os 90 escolhidos, n = 90 · c) o número de livros requisitados, quantitativa discreta

Uma variável é contínua quando o valor se obtém por medição e pode ser qualquer número de um intervalo.

  1. (A) e (B) obtêm-se por contagem: são quantitativas discretas.
  2. (D) não é sequer numérica: é qualitativa.
  3. (C) obtém-se por medição e pode tomar qualquer valor de um intervalo — 0{,}18 s, 0{,}235 s, o que o cronómetro conseguir distinguir. É contínua.Repara que o que decide não é o número aparecer com vírgula: é a observação ser uma medição e não uma contagem.
Resposta(C)

Aplica as duas condições: a resposta exige recolher dados? E as respostas variam de caso para caso?

  1. a) Não é. A resposta é um número só, e sei-o sem recolher nada.
  2. c) Não é. Basta olhar para o relógio — não há variabilidade nenhuma para estudar.
  3. b) É. Para responder é preciso recolher a idade de cada sócio, e essas idades variam de sócio para sócio.
  4. d) É, pela mesma razão: cada aluno deita-se à sua hora, e a resposta só se constrói a partir dos dados recolhidos.As duas que são estatísticas não têm uma resposta única: têm uma distribuição de respostas, que é precisamente o que o resto deste capítulo aprende a resumir e a representar.
Respostab) e d)

Quantos elementos da população ficaram por observar?

  1. A população é o conjunto das 8 piscinas municipais.
  2. Observaram-se todas: não houve amostra nenhuma.
  3. Recolher dados sobre toda a população é um recenseamento.Aqui o recenseamento é fácil porque a população é minúscula. É essa a regra: quando a população é pequena e a observação é barata, não há razão para sondar.
Resposta(B)

Na alínea b), pensa num conjunto que ainda não está todo formado — ou que nunca chega a estar.

  1. a) A população é o conjunto de todas as unidades sobre as quais se quer concluir. A amostra é o subconjunto da população que é efetivamente observado.
  2. Recolhem-se dados na amostra, mas o que se quer saber é sobre a população — e é essa passagem que obriga a ter cuidado com a maneira de escolher a amostra.
  3. b) Por exemplo: todas as peças que uma máquina virá a produzir enquanto estiver a funcionar; ou todos os lançamentos possíveis de um dado.
  4. Nestes casos o recenseamento é impossível por princípio, e não por falta de dinheiro ou de tempo: a população não está toda formada, e nunca estará.Há um segundo motivo, este bem concreto, para não recensear mesmo uma população finita: quando observar destrói o que se observa. Testar até à rutura todos os cabos de aço de um lote deixaria a fábrica sem lote nenhum para vender.
Respostaa) a população é o todo, a amostra é a parte observada · b) por exemplo, todas as peças que a máquina virá a produzir

Na alínea b), pergunta-te quem é que não pode aparecer nessa amostra.

  1. a) A população é o conjunto dos 500 sócios do clube.
  2. b) É uma amostra por conveniência: inquirem-se os que estão à mão, no sítio e na hora que dão jeito.
  3. Quem só vai ao clube ao fim do dia, ou ao fim de semana, tem hipótese nula de entrar na amostra — e quem vai ao clube só para nadar, sem passar pelo ginásio, também.
  4. Como o que se quer estimar é precisamente a percentagem de sócios que usam a piscina, a amostra é escolhida num sítio ligado à resposta. O resultado sai enviesado, e não há maneira de saber para que lado.A pergunta que denuncia quase todos os enviesamentos é sempre a mesma: quem é que não podia ter sido escolhido?
Respostaa) os 500 sócios · b) é uma amostra por conveniência: há sócios com hipótese nula de entrar nela

A natureza dos dados não é uma propriedade da característica: depende da forma como é medida.

  1. a) Quantitativa contínua: o tempo decorrido desde o nascimento pode tomar qualquer valor de um intervalo.
  2. b) Quantitativa discreta: o registo passou a ser uma contagem de anos inteiros.
  3. c) Quantitativa contínua: é uma medição, em centímetros.
  4. d) Qualitativa: os valores deixaram de ser números e passaram a ser categorias.A mesma característica deu três naturezas diferentes. Por isso a primeira pergunta a fazer nunca é «que característica é esta?», mas «como é que ela foi registada?».
Respostaa) contínua · b) discreta · c) contínua · d) qualitativa

As três fases são: produção ou aquisição de dados; organização e representação de dados; interpretação tendo por base as representações obtidas.

  1. Produção ou aquisição de dados. Decidir o que se conta — resmas abertas, folhas saídas de cada fotocopiadora — e em que unidades; decidir onde e quando se recolhe (todas as fotocopiadoras da escola? só as da sala de professores? cinco dias ou uma semana inteira?); e recolher, registando cada valor à medida que aparece.
  2. Organização e representação de dados. Passar os registos para uma tabela, agrupar por dia e por local, e escolher a representação gráfica que deixa ver o que se procura.
  3. Interpretação tendo por base as representações obtidas. Ler o que a tabela e o gráfico mostram — que dias gastam mais, que locais pesam mais no total — e responder à pergunta inicial, dizendo também o que os dados não permitem concluir.A primeira fase é a que mais decide o resultado e a que menos tempo costuma levar. Um dado mal recolhido não se corrige nas outras duas.
Respostarecolher (o quê, onde, quando) · organizar em tabela e representar · interpretar e responder à pergunta inicial

Numa amostra por resposta voluntária, quem decide se entra na amostra não é quem faz o estudo — é o próprio inquirido.

  1. (A) não é enviesada: o sorteio dá a todos os alunos a mesma hipótese de entrar.
  2. (C) é enviesada, mas por conveniência: inquirem-se os que estão à mão, e quem não almoça no refeitório nunca aparece.
  3. (D) não é enviesada pela maneira de escolher, mas tem dimensão insuficiente: cinco respostas dizem muito pouco sobre setecentos e cinquenta e seis alunos.
  4. (B) é a de resposta voluntária: só entra na amostra quem se deu ao trabalho de responder — e quem responde a um questionário de jornal costuma ser quem tem uma opinião forte sobre o assunto.Repara na diferença entre (C) e (D): uma amostra pode falhar por ser mal escolhida ou por ser pequena de mais. São dois defeitos independentes, e o segundo é o único que se corrige recolhendo mais dados.
Resposta(B)

Uma das razões tem que ver com o meio escolhido; a outra, com o momento.

  1. Primeira razão — o meio. Quem não usa aquela rede social tem hipótese nula de entrar na amostra. E quem a usa não é um grupo tirado ao acaso da população portuguesa: tende a ser mais jovem e mais urbano do que o país.
  2. Segunda razão — o momento. Às 23 horas de um sábado responde quem está acordado, com o telemóvel à mão e disponível para responder. Isso volta a selecionar um grupo particular, e por um critério diferente do primeiro.
  3. São razões independentes: mudar a hora não resolve a primeira, e mudar de rede social não resolve a segunda.
  4. Acrescente-se que a amostra é ainda de resposta voluntária — responde quem quer —, o que costuma favorecer quem tem uma opinião forte.O erro maior não está no 68\%: está na frase «os portugueses». A sondagem descreve as pessoas que responderam, e mais ninguém. Nenhum cálculo posterior repara isto.
Respostao meio (quem não usa a rede fica de fora, e quem a usa não é um grupo ao acaso) e o momento (às 23 horas de sábado responde quem está disponível)

Compara as duas por dois critérios separados: a dimensão e a maneira de escolher quem responde. Só um deles se corrige com mais respostas.

  1. A recolha B tem doze vezes mais respostas do que a A.
  2. Mas em B só entra quem passa à porta de uma loja de bicicletas — um grupo escolhido, precisamente, por um critério ligado à resposta que se quer estimar. É uma amostra por conveniência, e quem não anda de bicicleta quase não aparece.
  3. Em A todos os moradores inscritos tinham a mesma hipótese de ser escolhidos: a amostra é aleatória, e portanto representativa.
  4. Merece mais confiança a recolha A, apesar de ser muito menor.Multiplicar por doze uma amostra enviesada não corrige o enviesamento: torna-o mais preciso. O resultado passa a estar errado com mais casas decimais — e a dimensão grande dá-lhe uma aparência de rigor que ele não tem.
Respostaa recolha A: é aleatória, e a dimensão de B não corrige o enviesamento

Na alínea a) há dois enviesamentos, não um. Na b), garante que todos os alunos da escola podem entrar na amostra.

  1. a) A amostra é enviesada por conveniência: só chega a quem passa pelo balcão da cantina. Um aluno que traga almoço de casa, ou que almoce fora, nunca viu o questionário — e é justamente quem teria mais razões para não aprovar a ementa.
  2. E é enviesada por resposta voluntária: entre os que viram o questionário, só respondeu quem quis.
  3. A conclusão fala de «os alunos», mas os dados só descrevem quem almoça na cantina e decidiu responder. Nem sequer se sabe quantos alunos responderam — sem a dimensão da amostra, o 80\% não se pode avaliar.
  4. b) População: todos os alunos da escola. Amostra: numerar todos os alunos na pauta da escola e sortear, por exemplo, 120 números — amostragem aleatória simples; os sorteados são procurados na sala de aula, para que responder não dependa de o aluno ir à cantina nem de ele querer responder.
  5. Variável: o grau de satisfação com a ementa, registado numa escala de 1 a 5. Convém registar também se o aluno almoça habitualmente na cantina, para se poder comparar os dois grupos.Repara no que muda: no plano do jornal era o aluno que decidia se entrava na amostra; no plano novo é o sorteio. É essa troca — e não o número de respostas — que transforma a recolha.
Respostaa) enviesamento por conveniência e por resposta voluntária, e dimensão da amostra desconhecida · b) população: todos os alunos; amostra: sorteio de 120 alunos, procurados na sala; variável: grau de satisfação de 1 a 5
R2

Tabelas de frequências e gráficos

Recolhidos os dados, o passo seguinte é arrumá-los para que digam alguma coisa. Uma tabela de frequências com quatro colunas e três gráficos — barras, caule-e-folhas e, na secção seguinte, o histograma — chegam para o programa inteiro. Nesta secção não há ainda nenhuma média nem nenhuma mediana: só se conta e se representa.

Aprendizagens Essenciais · 10.º ano · pág. 22
  • Organizar e representar a informação contida em dados quantitativos discretos e contínuos em tabelas de frequências absolutas, absolutas acumuladas, relativas e relativas acumuladas e interpretá-las.
  • Selecionar representações gráficas adequadas para cada tipo de dados identificando vantagens/inconvenientes, relembrando a construção de gráficos de barras, diagramas de caule-e-folhas e diagramas de extremos-e-quartis.

Dos três gráficos que a segunda alínea nomeia, dois constroem-se aqui: o de barras e o de caule-e-folhas. O terceiro — o diagrama de extremos e quartis — fica para R4 §6, porque precisa de medidas que ainda não foram dadas.

1 · As quatro frequências

Uma amostra de 20 respostas não se lê como uma lista de 20 números: lê-se contando quantas vezes aparece cada valor. É isso que uma tabela de frequências faz, e faz de quatro maneiras.

As quatro frequências

Seja uma amostra de dimensão n e sejam x_{1} < x_{2} < \ldots < x_{p} os seus p valores distintos, escritos por ordem crescente. Para cada um deles definem-se:

  • a frequência absoluta n_{i} — o número de observações iguais a x_{i};
  • a frequência absoluta acumulada N_{i} = n_{1} + n_{2} + \ldots + n_{i};
  • a frequência relativa f_{i} = \dfrac{n_{i}}{n};
  • a frequência relativa acumulada F_{i} = \dfrac{N_{i}}{n} = f_{1} + f_{2} + \ldots + f_{i}.

E há duas igualdades que apanham quase todos os erros de contagem:

\sum_{i=1}^{p} n_{i} = n, \qquad \sum_{i=1}^{p} f_{i} = 1,

ou, o que dá no mesmo, a última linha das acumuladas tem de ser N_{p} = n e F_{p} = 1.

Acumulada quer dizer «até aqui, inclusive»

N_{i} conta as observações com valor menor ou igual a x_{i} — o próprio x_{i} entra na conta —, e F_{i} é a fração correspondente. Quem quiser saber quantas observações estão acima de x_{i} faz n - N_{i}, ou 1 - F_{i} em proporção.

2 · A tabela completa

Exemplo 3 Livros requisitados

Cada um dos 20 alunos de uma turma disse quantos livros requisitou na biblioteca durante um mês:

1 \quad 2 \quad 0 \quad 3 \quad 2 \quad 1 \quad 4 \quad 2 \quad 1 \quad 0 \quad 2 \quad 3 \quad 1 \quad 2 \quad 0 \quad 1 \quad 3 \quad 2 \quad 1 \quad 2

a) Quantos alunos requisitaram no máximo 2 livros? b) Que percentagem requisitou pelo menos 3?

  1. Contar. Os valores distintos são 0, 1, 2, 3 e 4. Percorrendo a lista uma vez: três zeros, seis uns, sete dois, três três e um quatro.
  2. Acumular e dividir. As acumuladas somam-se de cima para baixo; as relativas dividem-se por n = 20.
  3. a) «No máximo 2» é a acumulada do valor 2: N_{3} = 16 alunos.
  4. b) «Pelo menos 3» é o complementar de «no máximo 2»: 1 - F_{3} = 1 - 0{,}80 = 0{,}20, ou seja 20\%.As duas perguntas resolvem-se sem voltar à lista: a tabela já tem lá dentro tudo o que a lista tinha. É para isso que ela serve.
Valor
x_{i}		Frequência absoluta
n_{i}		Frequência absoluta acumulada
N_{i}		Frequência relativa
f_{i}		Frequência relativa acumulada
F_{i}
0330,150,15
1690,30,45
27160,350,8
33190,150,95
41200,051
Total20—1—
Respostaa) 16 alunos · b) 20\%

3 · Gráfico de barras

Gráfico de barras

Serve para dados discretos — e também para dados qualitativos. No eixo horizontal ficam os valores da variável; sobre cada um levanta-se uma barra de altura igual à sua frequência, absoluta ou relativa. As barras têm todas a mesma largura e ficam separadas umas das outras. O gráfico leva título e o nome de cada eixo, com a unidade.

0 1 2 3 4 livros requisitados número de alunos 2 4 6
Uma barra por valor, todas com a mesma largura e separadas umas das outras — a variável é discreta, e entre 1 e 2 livros não há nada. A altura é a frequência absoluta.
Absolutas ou relativas

A forma do gráfico é exatamente a mesma nas duas versões: muda só a escala do eixo vertical. Mas quando se comparam duas amostras de dimensões diferentes, usam-se sempre as relativas — com as absolutas, a amostra maior parece ter mais de tudo, e a comparação não diz nada.

4 · Diagrama de caule-e-folhas

Caule-e-folhas

Traça-se uma linha vertical. À esquerda escreve-se o algarismo (ou os algarismos) de maior ordem de cada observação — é o caule —; à direita, o algarismo de menor ordem — a folha. Há uma folha por observação, incluindo as repetições, e as folhas escrevem-se ordenadas dentro de cada caule. O diagrama leva sempre uma legenda a dizer quanto vale o caule e quanto vale a folha.

Faz duas coisas ao mesmo tempo: ordena os dados — é o papel que as Aprendizagens Essenciais lhe atribuem — e mostra a forma da distribuição, como um gráfico de barras deitado. E guarda todos os valores, um a um. É por guardar tudo que deixa de servir quando os dados são muitos.

Exemplo 4 Ordenar com o caule-e-folhas

Pesaram-se 16 morangos, um a um, e registaram-se as massas em gramas pela ordem em que foram pesados:

52 \quad 67 \quad 43 \quad 58 \quad 74 \quad 45 \quad 61 \quad 55 \quad 76 \quad 47 \quad 62 \quad 51 \quad 70 \quad 58 \quad 73 \quad 64

Constrói o diagrama de caule-e-folhas e determina a massa do quarto morango mais leve.

  1. Escolher o caule. As massas têm dois algarismos, entre 43 e 76: o caule é o algarismo das dezenas, de 4 a 7, e a folha é o das unidades.
  2. Distribuir e ordenar. Cada morango dá uma folha. O 58 aparece duas vezes, e escrevem-se as duas folhas.
  3. Ler. O diagrama já está ordenado, e é só contar quatro folhas da esquerda para a direita, de cima para baixo: 43, 45, 47, 51.Não foi preciso ordenar a lista à parte: o diagrama ordenou-a ao ser construído. É esta a vantagem que as Aprendizagens Essenciais realçam — uma ordenação rápida, feita à mão, sem calculadora.
O caule vale 10 g e a folha vale 1 g: o caule 4 com a folha 3 lê-se 43 g.
CauleFolhas
43 5 7
51 2 5 8 8
61 2 4 7
70 3 4 6
Resposta51 g

5 · A função cumulativa

Funções cumulativas

N(x) é o número de observações com valor menor ou igual a x, e F(x) é a soma das frequências relativas dos valores menores ou iguais a x. Estão definidas para todo o número real x, e não só nos valores observados.

São funções definidas por ramos e constantes entre dois valores observados consecutivos: o gráfico é uma escada, com um degrau em cada valor da amostra. Marca-se bola cheia no início de cada patamar e bola aberta no fim — o valor onde a função salta já pertence ao patamar de cima.

Com os 20 alunos do Exemplo dos livros, a coluna N_{i} lida como função dá

N(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 0\\ 3 & \text{se } 0 \le x < 1\\ 9 & \text{se } 1 \le x < 2\\ 16 & \text{se } 2 \le x < 3\\ 19 & \text{se } 3 \le x < 4\\ 20 & \text{se } x \ge 4\end{cases}

e a coluna F_{i} dá a mesma escada dividida por 20, a subir de 0 até 1.

livros requisitados F(x) 0 1 2 3 4 0,25 0,5 0,75 1
A função cumulativa conta a proporção de alunos com no máximo aquele número de livros. Salta em cada valor observado e é constante entre eles: a bola cheia diz que o valor do salto já conta, a bola aberta diz que ainda não.
Onde isto reaparece

A função cumulativa não é um gráfico a mais: é a coluna F_{i} vista como função. Quando, em R4, se procurar o valor abaixo do qual está uma dada percentagem dos dados, é a esta escada que se vai — e é dela que saem os percentis.

Python A tabela de frequências, com as quatro colunas 
dados = [1, 2, 0, 3, 2, 1, 4, 2, 1, 0, 2, 3, 1, 2, 0, 1, 3, 2, 1, 2]
n = len(dados)
valores = sorted(set(dados))

acumulada = 0
print("xi   ni   Ni    fi     Fi")
for v in valores:
    ni = dados.count(v)
    acumulada = acumulada + ni
    print(v, ni, acumulada, round(ni / n, 2), round(acumulada / n, 2))

print("Total", n, "-", "-", 1.0)

Acrescenta um 5 ao fim da lista e corre outra vez. Repara em duas coisas: as acumuladas mudam todas a partir dali — e só a partir dali —, e F continua a acabar em 1, agora com n = 21. Depois troca a lista pelos 20 resultados do quiz do exercício e2a e confere a tua tabela com a do programa.

Exercícios propostos

Catorze exercícios sobre contar e representar. Os primeiros constroem a tabela das quatro frequências a partir dos dados, de um gráfico de barras ou de três informações soltas; os do meio escolhem a representação adequada, comparam dois diagramas de caule-e-folhas e leem uma escada; os últimos comparam amostras de dimensões diferentes, refazem a tabela a partir da coluna acumulada e discutem o que cada representação mostra e esconde.

Exercício 13§R2 · a tabela completa

Num quiz de 5 perguntas, registou-se o número de respostas certas de cada um de 20 alunos:

3 \quad 4 \quad 2 \quad 5 \quad 3 \quad 4 \quad 4 \quad 1 \quad 3 \quad 5 \quad 4 \quad 2 \quad 3 \quad 4 \quad 5 \quad 2 \quad 4 \quad 3 \quad 5 \quad 4

Constrói a tabela de frequências com as quatro colunas: n_{i}, N_{i}, f_{i} e F_{i}.

Exercício 14§R2 · do gráfico para a tabela

O gráfico seguinte mostra o número de animais de estimação de 25 famílias de um prédio.

0 1 2 3 4 animais de estimação número de famílias 2 4 6 8
Número de animais de estimação em 25 famílias.

Constrói a tabela com as colunas x_{i}, n_{i} e f_{i}.

Exercício 15§R2 · construir o caule-e-folhas

Registaram-se os tempos, em segundos, de 15 concorrentes numa prova de perícia:

34 \quad 41 \quad 28 \quad 37 \quad 45 \quad 33 \quad 29 \quad 52 \quad 38 \quad 41 \quad 26 \quad 35 \quad 47 \quad 30 \quad 44

a) Constrói o diagrama de caule-e-folhas, com as folhas ordenadas. b) Escreve a legenda de leitura do diagrama.

Exercício 16§R2 · ler uma acumulada

Na tabela do quiz do exercício e2a, a frequência relativa acumulada do valor 3 é F_{3} = 0{,}45.

Que percentagem dos alunos acertou no máximo 3 perguntas?

  • (A)25\%
  • (B)45\%
  • (C)55\%
  • (D)80\%
Exercício 17§R2 · completar a tabela

Numa amostra de dimensão n = 40, a variável em estudo tomou os valores 0, 1, 2 e 3. Da tabela de frequências só se conhecem três números:

a) n_{1} = 6 b) f_{2} = 0{,}35 c) N_{3} = 34

Completa a tabela com as quatro colunas.

Exercício 18§R2 · tabela de frequências

Registou-se, durante 25 dias, o número de reclamações recebidas por uma loja:

0, 2, 1, 0, 3, 1, 1, 2, 0, 4, 2, 1, 0, 1, 3, 2, 1, 0, 2, 1, 5, 1, 2, 0, 3

Constrói a tabela com as frequências absolutas, relativas e relativas acumuladas, e indica em que percentagem dos dias houve no máximo 2 reclamações.

Exercício 19§R2 · escolher a representação

Considera três conjuntos de dados.

a) O número de irmãos de 24 alunos de uma turma, entre 0 e 4. b) As massas, em gramas, de 300 maçãs de um pomar. c) As 18 pontuações, todas de dois algarismos, de um torneio de damas.

Em a) e c), diz qual das representações desta secção serve melhor, e justifica. Em b), diz por que razão nenhuma delas serve — e que característica teria de ter a representação que serve.

Exercício 20§R2 · comparar dois caules

Dois grupos de 10 concorrentes registaram estas pontuações.

Grupo A: 21 \quad 23 \quad 25 \quad 28 \quad 30 \quad 32 \quad 33 \quad 35 \quad 38 \quad 41 Grupo B: 18 \quad 22 \quad 22 \quad 26 \quad 27 \quad 29 \quad 31 \quad 34 \quad 40 \quad 44

a) Constrói o diagrama de caule-e-folhas de cada grupo. b) Compara as duas distribuições quanto à forma e à concentração, sem calcular nada.

Exercício 21§R2 · a cumulativa por ramos

Volta à tabela do quiz do exercício e2a, em que 20 alunos acertaram entre 1 e 5 perguntas.

a) Escreve N(x), a função cumulativa das frequências absolutas, definida por ramos. b) Esboça o gráfico em escada de N.

Exercício 22§R2 · de percentagens para contagens

Um inquérito a 200 pessoas sobre o número de idas ao cinema num mês foi publicado só com as percentagens:

a) 0 idas: 12\% b) 1 ida: 28\% c) 2 idas: 35\% d) 3 idas: 20\% e) 4 idas: 5\%

Recupera as frequências absolutas e verifica a soma.

Exercício 23§R2 · ler um gráfico em escada

O gráfico seguinte é a função cumulativa das frequências relativas do número de irmãos dos 20 alunos de uma turma.

número de irmãos F(x) 0 1 2 3 4 0,25 0,5 0,75 1
Função cumulativa do número de irmãos numa turma de 20 alunos.

Que percentagem dos alunos tem um número de irmãos inferior a 3?

  • (A)30\%
  • (B)35\%
  • (C)65\%
  • (D)90\%
Exercício 24§R2 · barras de frequências relativas

Volta aos dados do exercício e2b: 25 famílias com 0, 1, 2, 3 ou 4 animais de estimação, nas quantidades 7, 9, 5, 3 e 1.

a) Desenha o gráfico de barras das frequências relativas. b) Explica por que razão é essa a versão a usar quando se quer comparar estas famílias com as de outro prédio, com um número diferente de famílias.

Exercício 25§R2 · comparar duas amostras

Registou-se o número de irmãos dos alunos de duas turmas.

Turma A (n = 20): 2, 6, 8 e 4 alunos com 0, 1, 2 e 3 irmãos. Turma B (n = 30): 6, 9, 9 e 6 alunos, pela mesma ordem.

a) Constrói a tabela das frequências relativas das duas turmas. b) Compara as duas distribuições. c) Alguém afirma: «a turma B tem 9 alunos com um irmão e a A só tem 6, logo ter um irmão é mais comum na B». Explica o erro.

Exercício 26§R2 · da acumulada para a tabela

A 50 pessoas perguntou-se quantas línguas dizem falar (de 0 a 4). Do estudo só se guardou a coluna das frequências relativas acumuladas:

F_{i} = 0{,}08 \quad 0{,}28 \quad 0{,}60 \quad 0{,}88 \quad 1{,}00

a) Reconstrói a coluna N_{i}. b) Reconstrói a coluna n_{i}. c) Quantas pessoas dizem falar pelo menos 3 línguas?

Exercício 27§R2 · vantagens e inconvenientes

Os mesmos 40 resultados de um teste, todos entre 0 e 100 pontos, foram representados de duas maneiras: num diagrama de caule-e-folhas com 40 folhas e num gráfico de barras.

a) Diz o que cada uma das representações mostra que a outra esconde. b) Explica o que aconteceria a cada uma com 4000 observações em vez de 40, e diz qual das duas deixaria de servir primeiro — e porquê.

Começa por listar os valores distintos por ordem crescente. Depois conta um valor de cada vez e confirma que a soma dos n_{i} dá 20.

  1. Os valores distintos são 1, 2, 3, 4 e 5. Contando: 1 aluno com uma certa, 3 com duas, 5 com três, 7 com quatro e 4 com cinco.
  2. As acumuladas vão-se somando: 1, 1+3=4, 4+5=9, 9+7=16, 16+4=20.
  3. As relativas dividem-se por n = 20: \dfrac{1}{20} = 0{,}05, \dfrac{3}{20} = 0{,}15, e assim por diante.
  4. Verificação: \sum n_{i} = 20 = n e \sum f_{i} = 1; a última acumulada é N_{5} = 20 e F_{5} = 1. ✓As duas verificações apanham quase todos os erros de contagem. Se a última acumulada não der n, ou perdeste uma observação ou contaste alguma duas vezes.
x_{i}n_{i}N_{i}f_{i}F_{i}
1110,050,05
2340,150,2
3590,250,45
47160,350,8
54200,21
Total20—1—
Respostan_{i}: 1, 3, 5, 7, 4 · N_{i}: 1, 4, 9, 16, 20 · f_{i}: 0{,}05; 0{,}15; 0{,}25; 0{,}35; 0{,}20

A altura de cada barra é a frequência absoluta. Confirma que as cinco somam 25 antes de dividir.

  1. Do gráfico lêem-se as alturas: 7, 9, 5, 3 e 1.
  2. Verificação: 7+9+5+3+1 = 25. ✓
  3. As relativas obtêm-se dividindo por 25: \dfrac{7}{25} = 0{,}28, \dfrac{9}{25} = 0{,}36, \dfrac{5}{25} = 0{,}20, \dfrac{3}{25} = 0{,}12, \dfrac{1}{25} = 0{,}04.Aqui as frequências relativas dão todas exatas com duas casas, porque 25 divide 100. Com n = 30 nenhuma daria — e aí arredondam-se a duas casas, e a soma pode ficar em 0{,}99 ou 1{,}01.
x_{i}n_{i}f_{i}
070,28
190,36
250,2
330,12
410,04
Total251
Respostan_{i}: 7, 9, 5, 3, 1 · f_{i}: 0{,}28; 0{,}36; 0{,}20; 0{,}12; 0{,}04

O caule é o algarismo das dezenas e a folha o das unidades. Faz primeiro os caules de 2 a 5, todos, mesmo os que ficarem com poucas folhas.

  1. a) O algarismo das dezenas dá quatro caules: 2, 3, 4 e 5. Distribuem-se as unidades e ordenam-se dentro de cada linha.
  2. Repara que o 41 aparece duas vezes: uma folha por observação, e as repetições escrevem-se todas.
  3. b) A legenda diz quanto vale o caule e quanto vale a folha.Sem legenda o diagrama é ambíguo: a linha «4 | 1» tanto poderia valer 41 como 4{,}1. É por isso que a legenda não é decoração — faz parte do gráfico.
O caule vale 10 segundos e a folha vale 1 segundo: o caule 4 com a folha 1 lê-se 41 s.
CauleFolhas
26 8 9
30 3 4 5 7 8
41 1 4 5 7
52
Respostacaules 2 · 3 · 4 · 5, com as folhas 6 8 9 · 0 3 4 5 7 8 · 1 1 4 5 7 · 2

«Acumulada até 3» já quer dizer «3 ou menos». Não há nada para somar nem para subtrair.

  1. F_{3} é a fração dos alunos com valor menor ou igual a 3.
  2. Logo a percentagem é 0{,}45 \times 100 = 45\%.
  3. A opção (C), 55\%, é a percentagem dos que acertaram mais de 3: 1 - 0{,}45 = 0{,}55.Ler uma acumulada é responder a «até aqui, quantos?». Quem quiser «daqui para cima, quantos?» tem de fazer 1 - F_{i} — e é aí que se erra.
Resposta(B)

De f_{2} tira-se n_{2} = f_{2} \times n. E de N_{3} tira-se n_{3}, porque N_{3} = n_{1}+n_{2}+n_{3}.

  1. n_{2} = 0{,}35 \times 40 = 14.
  2. N_{3} = n_{1}+n_{2}+n_{3} = 34, logo n_{3} = 34 - 6 - 14 = 14.
  3. A última frequência sai do total: n_{4} = 40 - 34 = 6.
  4. As acumuladas: 6, 20, 34, 40. As relativas: 0{,}15; 0{,}35; 0{,}35; 0{,}15.
  5. Verificação: \sum f_{i} = 0{,}15+0{,}35+0{,}35+0{,}15 = 1 e N_{4} = 40 = n. ✓A distribuição saiu simétrica — 6, 14, 14, 6 —, e isso não estava dado: apareceu das três informações. Uma tabela de frequências fica determinada por muito menos do que parece.
x_{i}n_{i}N_{i}f_{i}F_{i}
0660,150,15
114200,350,5
214340,350,85
36400,151
Total40—1—
Respostan_{i}: 6, 14, 14, 6 · N_{i}: 6, 20, 34, 40 · f_{i}: 0{,}15; 0{,}35; 0{,}35; 0{,}15

Conta primeiro quantas vezes aparece cada valor de 0 a 5; a soma das contagens tem de dar 25.

  1. Contagens: 0 aparece 6 vezes, 1 aparece 8, 2 aparece 6, 3 aparece 3, 4 aparece 1 e 5 aparece 1. Total: 6+8+6+3+1+1 = 25 ✓
  2. Frequências relativas: 0{,}24; 0{,}32; 0{,}24; 0{,}12; 0{,}04; 0{,}04. Somam 1 ✓
  3. Acumuladas: 0{,}24; 0{,}56; 0{,}80; 0{,}92; 0{,}96; 1.
  4. «No máximo 2» é a acumulada em 2: 0{,}80.
RespostaEm 80\% dos dias

Pergunta-te sempre duas coisas: quantos valores distintos há, e quantas observações. Uma barra por valor distinto só resulta enquanto os valores distintos forem poucos.

  1. a) Gráfico de barras. A variável é discreta e só tem cinco valores distintos: cinco barras separadas mostram a distribuição inteira num relance.
  2. c) Diagrama de caule-e-folhas. São só 18 observações, todas de dois algarismos — o caule é a dezena e a folha a unidade. Ordena os dados e mostra a forma ao mesmo tempo, sem perder um único valor.
  3. b) As massas são contínuas: cada maçã tem a sua, e é de esperar que quase todas as 300 sejam diferentes. Um gráfico de barras daria trezentas barras de altura 1, e um caule-e-folhas daria trezentas folhas — nenhum dos dois mostra padrão nenhum.
  4. A representação que serve tem de agrupar os valores em intervalos e contar quantas maçãs caem em cada um. É o que a secção seguinte faz.O critério não é a variável ser discreta ou contínua por si só: é o número de valores distintos. Uma variável discreta com centenas de valores distintos — o salário em cêntimos — também se agrupa em intervalos.
Respostaa) barras · c) caule-e-folhas · b) nenhuma: são contínuos e muitos — é preciso agrupar em intervalos

Na alínea b), olha para o comprimento das linhas e para o número de caules ocupados. Um grupo que ocupe mais caules está mais espalhado.

  1. a) O grupo A ocupa três caules; o grupo B ocupa quatro.
  2. b) Concentração. No A, oito das dez pontuações estão entre 25 e 35, e a linha mais comprida é a do caule 3. As pontuações estão apertadas à volta do meio.
  3. Forma e alcance. O B desce até 18 e sobe até 44: espalha-se mais para os dois lados, e tem a linha mais comprida no caule 2, com a cauda a estender-se para cima.
  4. Em resumo: as duas distribuições cobrem valores parecidos, mas o A está mais concentrado e o B mais disperso.Isto leu-se no desenho, sem uma única conta. As medidas que põem número nesta leitura — e que confirmam o que os olhos veem — chegam em R4 e R5.
Grupo A. O caule vale 10 pontos e a folha vale 1 ponto.
CauleFolhas
21 3 5 8
30 2 3 5 8
41
Grupo B. O caule vale 10 pontos e a folha vale 1 ponto.
CauleFolhas
18
22 2 6 7 9
31 4
40 4
Respostao A concentra-se entre 25 e 35; o B espalha-se de 18 a 44

Cada ramo vale entre dois valores observados consecutivos e toma o valor de N_{i} do valor da esquerda. Antes do menor valor, N(x) = 0.

  1. a) As acumuladas são 1, 4, 9, 16 e 20, e cada uma vale desde o seu valor até ao seguinte, exclusive: N(x) = \begin{cases} 0 & \text{se } x < 1\\ 1 & \text{se } 1 \le x < 2\\ 4 & \text{se } 2 \le x < 3\\ 9 & \text{se } 3 \le x < 4\\ 16 & \text{se } 4 \le x < 5\\ 20 & \text{se } x \ge 5\end{cases}
  2. b) O gráfico são seis patamares horizontais, cada um com bola cheia à esquerda e bola aberta à direita, e saltos de altura n_{i} em 1, 2, 3, 4 e 5.
  3. O primeiro patamar está à altura 0 e o último à altura 20, e daí para a direita já não sobe mais.As bolas não são um detalhe de desenho: dizem que a função é contínua à direita. Em x = 3 o valor é 9, e não 4 — o próprio 3 já conta na acumulada.
RespostaN(x) vale 0, 1, 4, 9, 16 e 20 nos seis ramos

n_{i} = f_{i} \times n, com f_{i} em forma decimal e n = 200.

  1. 0{,}12 \times 200 = 24; 0{,}28 \times 200 = 56; 0{,}35 \times 200 = 70; 0{,}20 \times 200 = 40; 0{,}05 \times 200 = 10.
  2. Verificação: 24+56+70+40+10 = 200 = n, e as percentagens somam 100\%. ✓
  3. Todas as contagens deram números inteiros — e tinham de dar.Se uma percentagem publicada com uma casa desse aqui, por exemplo, 24{,}6 pessoas, era sinal de que a percentagem estava arredondada. Fazer a conta ao contrário é a maneira mais rápida de perceber se um quadro de percentagens é exato ou arredondado.
x_{i}percentagemn_{i}
012%24
128%56
235%70
320%40
45%10
Total100%200
Resposta24, 56, 70, 40 e 10 pessoas; somam 200

«Inferior a 3» quer dizer 0, 1 ou 2 irmãos. Qual é a altura do patamar imediatamente antes do salto em 3?

  1. Ter menos de 3 irmãos é ter 0, 1 ou 2 — ou seja, F(2).
  2. No gráfico, o patamar que começa em x = 2 está à altura 0{,}65.
  3. Logo a percentagem é 65\%.
  4. A opção (D), 90\%, é F(3) — a percentagem dos que têm no máximo 3 irmãos, que já inclui os de 3.Numa variável discreta, «inferior a 3» e «até 3» são coisas diferentes, e a diferença é exatamente a altura do salto em 3: 0{,}90 - 0{,}65 = 0{,}25.
Resposta(C)

Na alínea a), a forma do gráfico não muda: muda só o que está escrito no eixo vertical.

  1. a) As alturas passam a ser 0{,}28; 0{,}36; 0{,}20; 0{,}12 e 0{,}04. O eixo vertical vai de 0 a 0{,}4 e o seu nome passa a ser «proporção de famílias».
  2. O desenho é o mesmo do exercício e2b, com outra escala vertical: a razão entre duas barras quaisquer não mudou.
  3. b) Num prédio com 50 famílias, 10 famílias com dois animais são o dobro das 5 daqui — mas em proporção são 0{,}20 nos dois casos, exatamente a mesma coisa.
  4. Com as frequências absolutas, a amostra maior parece sempre «ter mais de tudo». Só as relativas põem as duas na mesma escala.É o mesmo motivo por que se comparam países por casos por cem mil habitantes, e não por casos. A frequência relativa é a versão comparável da contagem.
Respostaa) alturas 0{,}28; 0{,}36; 0{,}20; 0{,}12; 0{,}04 · b) porque as relativas não dependem da dimensão da amostra

Divide cada contagem pela dimensão da sua turma — 20 numa, 30 na outra — antes de comparar seja o que for.

  1. a) Na A: \dfrac{2}{20} = 0{,}10; \dfrac{6}{20} = 0{,}30; \dfrac{8}{20} = 0{,}40; \dfrac{4}{20} = 0{,}20. Na B: \dfrac{6}{30} = 0{,}20; \dfrac{9}{30} = 0{,}30; \dfrac{9}{30} = 0{,}30; \dfrac{6}{30} = 0{,}20.
  2. b) A turma A está mais puxada para os 2 irmãos, que sozinhos levam 40\% dos alunos. A B reparte-se de forma simétrica: 0{,}20; 0{,}30; 0{,}30; 0{,}20.
  3. Filho único é o dobro mais frequente na B (0{,}20 contra 0{,}10).
  4. c) Comparam-se 9 alunos com 6 alunos como se as turmas tivessem o mesmo tamanho, e não têm: a B tem metade dos alunos a mais. Em proporção, \dfrac{9}{30} = 0{,}30 e \dfrac{6}{20} = 0{,}30 — ter um irmão é exatamente igual de comum nas duas turmas.O erro é sempre este: comparar contagens de amostras de dimensões diferentes. A turma maior ganha em todas as categorias por ser maior, e isso não diz nada sobre a distribuição.
x_{i}n_{i} (A)f_{i} (A)n_{i} (B)f_{i} (B)
020,160,2
160,390,3
280,490,3
340,260,2
Total201301
Respostaa) A: 0{,}10; 0{,}30; 0{,}40; 0{,}20 · B: 0{,}20; 0{,}30; 0{,}30; 0{,}20 · c) em proporção é 0{,}30 nas duas

N_{i} = F_{i} \times n. E cada n_{i} é a diferença entre duas acumuladas consecutivas: n_{i} = N_{i} - N_{i-1}.

  1. a) Multiplicando por n = 50: N_{i} = 4, 14, 30, 44, 50.
  2. b) Diferenças sucessivas: n_{1} = 4; n_{2} = 14-4 = 10; n_{3} = 30-14 = 16; n_{4} = 44-30 = 14; n_{5} = 50-44 = 6.
  3. Verificação: 4+10+16+14+6 = 50 = n. ✓
  4. c) «Pelo menos 3» são as pessoas com 3 ou 4 línguas: 50 - N_{3} = 50 - 30 = 20 pessoas — ou, em proporção, 1 - 0{,}60 = 0{,}40, isto é 40\%.A acumulada guarda a tabela inteira: as diferenças devolvem as frequências uma a uma. É o mesmo que acontece com um extrato bancário — dos saldos recuperam-se os movimentos.
x_{i}F_{i}N_{i}n_{i}
00,0844
10,281410
20,63016
30,884414
41506
Respostaa) 4, 14, 30, 44, 50 · b) 4, 10, 16, 14, 6 · c) 20 pessoas

Pergunta-te, para cada uma: consigo recuperar os dados originais a partir do desenho? E o que acontece ao desenho quando o número de observações cresce cem vezes?

  1. a) O caule-e-folhas guarda tudo. Cada folha é uma observação, e do diagrama recuperam-se os 40 valores exatos, já ordenados. O gráfico de barras não: de uma barra de altura 7 só se sabe que há sete alunos naquele valor.
  2. O gráfico de barras mostra melhor a comparação. As alturas veem-se de longe e comparam-se a olho; num caule-e-folhas é preciso contar folhas linha a linha.
  3. b) Com 4000 observações o caule-e-folhas rebenta primeiro. Seriam 4000 folhas distribuídas por umas dez linhas: linhas com centenas de algarismos, que não cabem na página nem se contam.
  4. O gráfico de barras aguenta-se enquanto os valores distintos forem poucos: com resultados de 0 a 100 seriam cento e uma barras finíssimas, quase todas de altura parecida — ilegível também, mas por outro motivo.
  5. O caule-e-folhas falha por causa do número de observações; o gráfico de barras falha por causa do número de valores distintos.É por isso que nenhum dos dois serve para 4000 resultados: a saída é agrupar os valores em intervalos, e é o que a secção seguinte faz. O caule-e-folhas é a representação que se usa quando os dados são poucos e se quer guardá-los todos — o preço de guardar tudo é não escalar.
Respostaa) o caule guarda os valores exatos, as barras comparam melhor · b) o caule-e-folhas deixa de servir primeiro, por causa do número de observações
R3

Classes e histograma

Quando os dados são contínuos, ou são muitos e todos diferentes, uma tabela com uma linha por valor não diz nada: agrupam-se em classes. O histograma é o gráfico dessas classes — e o seu aspeto depende de três escolhas nossas, não dos dados. É a experiência que o laboratório desta secção faz.

Aprendizagens Essenciais · 10.º ano · pág. 22
  • Reconhecer que o histograma é um diagrama de áreas, e que para a sua construção é necessária uma organização prévia dos dados em classes na forma de intervalos.
  • Construir histogramas, considerando classes com a mesma amplitude.

1 · Quando se agrupa, e o que se perde

Na secção anterior, cada valor distinto teve a sua linha na tabela e a sua barra no gráfico. Isso resulta enquanto os valores distintos forem poucos. Se a variável for contínua — um tempo, uma massa, uma altura —, é quase certo que não haja dois dados exatamente iguais, e uma tabela com vinte linhas todas de frequência 1 não resume coisa nenhuma. O mesmo acontece com uma variável discreta que tome muitos valores diferentes.

Nesses casos reparte-se o intervalo onde os dados caem em classes, e conta-se quantos dados caem em cada uma. Ganha-se a forma da distribuição: onde os dados se acumulam, onde rareiam, se há uma cauda comprida de um dos lados. E perde-se o valor exato de cada observação — depois de agrupar já só se sabe em que classe cada dado caiu, e não onde dentro dela.

Classes

Agrupar dados em classes é reparti-los por intervalos [a, b[, fechados à esquerda e abertos à direita, todos com a mesma amplitude h = b - a, sem lacunas nem sobreposições. A primeira classe contém o mínimo dos dados e a última contém o máximo.

Um valor igual a b não pertence a [a, b[: pertence à classe seguinte. É para isso que serve o parêntese reto de um lado só — sem essa convenção, um dado que caísse exatamente sobre uma fronteira ou seria contado duas vezes ou não seria contado nenhuma.

2 · A tabela de dados agrupados

Exemplo 5 Vinte enigmas

No clube de matemática, vinte alunos resolveram o mesmo enigma. Registou-se o tempo de cada um, em minutos:

20{,}7 · 15{,}1 · 24{,}4 · 11{,}2 · 19{,}3 · 22{,}3 · 17{,}6 · 31{,}4 · 13{,}5 · 23{,}1 · 16{,}4 · 25{,}6 · 20{,}0 · 33{,}7 · 18{,}2 · 21{,}5 · 14{,}8 · 26{,}2 · 22{,}8 · 29{,}5

Os tempos vão de 11{,}2 a 33{,}7 minutos e não há dois iguais: uma linha por valor daria vinte linhas de frequência 1. Com h = 5 minutos e a primeira classe a começar em 10, ficam cinco classes — a primeira contém o mínimo, a última contém o máximo.

Classen_{i}N_{i}f_{i}F_{i}
[10, 15[330,150,15
[15, 20[580,250,4
[20, 25[7150,350,75
[25, 30[3180,150,9
[30, 35[2200,11
Total20—1—

a) Qual é a classe com maior frequência? b) Que percentagem dos alunos resolveu o enigma em menos de 25 minutos?

  1. a) A maior frequência absoluta é 7, na classe [20, 25[. É aí que os tempos se acumulam — e vai ser a barra mais alta do histograma que se desenha a seguir.
  2. b) «Menos de 25 minutos» é exatamente o fim da terceira classe, e a coluna F_{i} já tem essa conta feita: F_{3} = 0{,}75, ou seja 75\%.
  3. Sem a coluna acumulada dava o mesmo trabalho: 3 + 5 + 7 = 15 alunos em 20, e 15 : 20 = 0{,}75.Repara em que a pergunta caiu numa fronteira de classe. Se fosse «menos de 23 minutos», a tabela agrupada não respondia: dentro de [20, 25[ não se sabe onde estão os sete tempos.
Respostaa) [20, 25[ · b) 75\%
A coluna F_{i} lê-se no fim de cada classe

Numa tabela de dados agrupados, F_{3} = 0{,}75 quer dizer que 75\% dos tempos são inferiores a 25 minutos — o extremo direito da terceira classe. É a única leitura segura: dentro de uma classe não se sabe como os dados se distribuem, e por isso este capítulo nunca vai buscar valores a meio de uma classe.

3 · O histograma é um diagrama de áreas

Histograma

O histograma representa cada classe por um retângulo, e os retângulos são adjacentes: a base de cada um é o intervalo da classe, desenhado sobre o eixo horizontal, e a área é proporcional à frequência da classe. É daqui que vem o nome diagrama de áreas.

Quando todas as classes têm a mesma amplitude — e neste capítulo têm sempre —, as bases são todas iguais, e uma área proporcional à frequência obriga a altura a ser-lhe também proporcional. É por essa razão, e só por essa, que se marca a frequência absoluta no eixo vertical.

tempo (minutos) número de alunos 10 15 20 25 30 35 2 4 6
Os retângulos são adjacentes: os dados são contínuos e o eixo é uma reta de tempos, sem buracos. Com classes todas da mesma amplitude, a altura de cada retângulo é a frequência absoluta da classe.

No eixo vertical pode marcar-se a frequência relativa em vez da absoluta. O desenho tem exatamente a mesma forma — dividir todas as alturas pelo mesmo n não mexe nas proporções entre elas —, e muda só a escala: em vez de 3, 5, 7, 3, 2, as alturas seriam 0{,}15; 0{,}25; 0{,}35; 0{,}15 e 0{,}1. É a versão que costuma aparecer nos itens de exame de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, e convém reconhecê-la.

Barras encostadas, e porquê

Num gráfico de barras o eixo horizontal traz valores isolados de uma variável discreta, e entre dois deles não há nada: o espaço entre as barras diz isso mesmo. Num histograma o eixo horizontal é um intervalo contínuo, e um espaço entre dois retângulos seria afirmar que naquele bocado do eixo não pode cair nenhuma observação. Os dois gráficos parecem-se — e não são a mesma coisa nem se leem da mesma maneira.

4 · O aspeto depende de três escolhas

Um histograma não é o desenho dos dados: é o desenho de uma decisão nossa sobre os dados. O aspeto que ele tem depende de três escolhas — o número de classes, a amplitude de cada classe e o ponto onde a primeira classe começa —, e das três a primeira e a segunda são a mesma, porque fixada uma fica a outra. Com muitas classes vê-se toda a variabilidade dos dados e o padrão não sobressai; com poucas, o padrão desaparece dentro de duas ou três barras.

tempo (minutos) número de alunos 10 20 30 40 2 4 6 8 10
Os mesmos vinte tempos, agora em três classes. A forma ficou grosseira: perdeu-se a informação de onde, dentro de cada classe, os tempos se acumulam.
tempo (minutos) número de alunos 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30 32,5 35 1 2 3 4
E agora em dez classes. Com tão poucos dados por classe, o desenho passou a mostrar o acaso da amostra e não a forma da distribuição. Entre os dois extremos está o número de classes que serve.

Os três desenhos — o de cinco classes, o de três e o de dez — são do mesmo conjunto de vinte tempos. Nenhum deles está errado, e nenhum deles é o único possível. É por isso que um histograma se lê sempre com a amplitude das classes à vista, e é por isso que quem o constrói tem de dizer que amplitude escolheu.

Laboratório · A amplitude das classes e o ponto onde começa a primeira

interativo

Põe a amplitude em 10: ficam três barras e a distribuição parece quase plana. Baixa para 2{,}5: ficam dez, cada uma com dois ou três dados, e o desenho passa a mostrar o acaso desta amostra e não a forma da distribuição. Volta a 5 e mexe só no início da primeira classe, de 10 para 11: os dados são exatamente os mesmos e o histograma muda. É por isso que um histograma se lê sempre com a amplitude das classes à vista.

Python Contar por classes

O programa recebe os vinte tempos, a amplitude h e o ponto de partida, descobre quantas classes são precisas e conta os dados um a um. A divisão inteira (v - inicio) // h diz logo em que classe cada valor cai.

tempos = [20.7, 15.1, 24.4, 11.2, 19.3, 22.3, 17.6, 31.4, 13.5, 23.1,
          16.4, 25.6, 20.0, 33.7, 18.2, 21.5, 14.8, 26.2, 22.8, 29.5]
h = 5
inicio = 10

n = len(tempos)
k = 1
while inicio + k * h <= max(tempos):
    k = k + 1

conta = [0] * k
for v in tempos:
    conta[int((v - inicio) // h)] = conta[int((v - inicio) // h)] + 1

print("classe          ni     fi")
for i in range(k):
    a = inicio + i * h
    print("[", a, ",", a + h, "[   ", conta[i], round(conta[i] / n, 2))
print("total            ", sum(conta), round(sum(conta) / n, 2))

Corre como está: sai a tabela do exemplo, 3, 5, 7, 3, 2. Troca depois h = 5 por h = 10 e volta a correr — saem 8, 10, 2, que são as alturas da figura de três classes; com h = 2.5 saem as dez da outra figura. Por fim deixa o h em 5 e baixa o inicio para 8: os dados são os mesmos e as contagens passam a 1, 5, 7, 4, 2, 1 — seis classes em vez de cinco. São as três escolhas da secção, uma linha de cada vez.

NumWorks O histograma, e as classes que ele escolhe

  1. Toma dez tempos de espera, em minutos: 12, 15, 15, 18, 20, 20, 20, 24, 24 e 31. Em home›Estatística, separador Dados, escreve-os na coluna V1, cada um seguido de EXE. Depois vai ao separador Gráfico e escolhe Histograma.

    As setas ← e → percorrem as classes uma a uma, e o rodapé diz de cada uma o intervalo, a frequência e a frequência relativa.

    Histograma na NumWorks com a primeira classe destacada e o rodapé a dizer intervalo de 12 a 14, frequência 1 e frequência relativa 0,1
    A máquina escolheu sozinha classes de amplitude 2 a começar em 12. A primeira, [12, 14[, tem um só valor: frequência 1 e relativa 0{,}1.

  2. A amplitude que a máquina escolheu não é obrigatória. Em Definições, na barra de cima, mudam-se a largura das classes e o início da primeira — que são exatamente os dois cursores do laboratório desta secção.

    Muda a largura para 5, volta ao gráfico, e vê o desenho mudar sem que nenhum dado tenha mudado. É a maneira mais rápida de repetir a experiência das três escolhas com a máquina do exame.

Onde fica a aplicação, para que servem as colunas V1 e N1 e que outros gráficos a máquina desenha está no tutorial da calculadora, com as capturas todas.

Exercícios propostos

Doze exercícios sobre agrupar em classes e sobre o histograma: construir a tabela de dados agrupados a partir de dados brutos e de um caule-e-folhas, ler um histograma de frequências absolutas e um de frequências relativas, apanhar um agrupamento mal feito, e discutir o que muda quando se muda a amplitude das classes — e o que se perde ao agrupar.

Exercício 28§R3 · agrupar em classes

Mediu-se a duração, em segundos, de 20 anúncios de uma rádio local:

11{,}4 · 13{,}8 · 15{,}2 · 16{,}0 · 17{,}3 · 18{,}1 · 18{,}9 · 19{,}6 · 20{,}4 · 21{,}2 · 22{,}0 · 22{,}7 · 23{,}5 · 24{,}1 · 24{,}8 · 25{,}3 · 26{,}9 · 28{,}2 · 29{,}4 · 31{,}6

Agrupa as durações em classes de amplitude 5 a partir de 10 e constrói a tabela completa, com as colunas n_{i}, N_{i}, f_{i} e F_{i}.

Exercício 29§R3 · construir o histograma

Retoma a tabela do exercício anterior, com as 20 durações agrupadas em classes de amplitude 5 a partir de 10.

a) Desenha o histograma correspondente. b) Indica a classe com maior frequência.

Exercício 30§R3 · ler um histograma

O histograma seguinte mostra o tempo de espera, em minutos, de 40 clientes numa fila.

tempo (minutos) número de clientes 0 10 20 30 40 50 5 10 15
Tempo, em minutos, que 40 clientes esperaram numa fila.

Quantos clientes esperaram menos de 30 minutos?

  • (A)15
  • (B)27
  • (C)32
  • (D)38
Exercício 31§R3 · escolher as classes

De 30 medições sabe-se apenas que a menor é 3{,}2 e a maior 47{,}9.

Propõe uma amplitude e um ponto de partida que deem cinco classes de igual amplitude a cobrir todos os dados, e escreve as cinco classes.

Exercício 32§R3 · classes

Mediu-se o tempo, em minutos, que 30 pessoas esperaram numa fila. O menor valor foi 2 e o maior 26.

a) Agrupando em classes de amplitude 4 a partir de 2, quantas classes são necessárias?b) Escreve-as.

Sabendo que 9 pessoas esperaram menos de 10 minutos, qual é a frequência relativa acumulada da classe \left[6,\, 10\right[?

Exercício 33§R3 · a mesma amostra, duas amplitudes

Volta às 20 durações de anúncios do exercício e3a.

a) Agrupa-as agora em classes de amplitude 10 a partir de 10 e indica as frequências absolutas. b) Descreve o novo histograma e compara-o com o de amplitude 5. c) Qual dos dois deixa ver melhor o padrão das durações? Justifica.

Exercício 34§R3 · de relativas para absolutas

O histograma seguinte diz respeito à massa, em gramas, de um lote de 200 peças. No eixo vertical está a frequência relativa de cada classe.

massa (gramas) frequência relativa 20 30 40 50 60 70 0,1 0,2 0,3 0,4
Massa, em gramas, de um lote de peças — no eixo vertical, a frequência relativa.

a) Constrói a tabela das frequências absolutas. b) Quantas peças têm massa inferior a 50 gramas?

Exercício 35§R3 · o agrupamento está mal

Para agrupar 50 dados, todos entre 2 e 38, alguém propôs estas classes:

[0, 10[ · [10, 25[ · [20, 30[ · [35, 40[

a) Aponta os três defeitos deste agrupamento. b) Propõe um agrupamento correto, com cinco classes.

Exercício 36§R3 · área e altura

Num histograma cujas classes têm todas a mesma amplitude, a altura de cada retângulo é proporcional:

  • (A)à amplitude da classe.
  • (B)ao ponto médio da classe.
  • (C)à frequência da classe.
  • (D)ao número de classes.
Exercício 37§R3 · do caule-e-folhas para as classes

O diagrama de caule-e-folhas seguinte regista o número de flexões que cada um de 20 atletas fez num minuto.

O caule são as dezenas e a folha são as unidades: a primeira linha lê-se 12, 15, 17 e 18 flexões.
CauleFolhas
12 5 7 8
20 1 3 4 6 6
30 2 3 5 7 8
41 3 6 8

a) Constrói a tabela de frequências com classes de amplitude 10 a partir de 10. b) Descreve o histograma correspondente. c) O que é que o caule-e-folhas mostra e a tabela agrupada já não mostra?

Exercício 38§R3 · ler um histograma

Um histograma de 200 medições usa classes de amplitude 5 e a barra da classe \left[20,\, 25\right[ tem altura 0{,}06 na escala da densidade de frequência.

a) Qual é a frequência relativa dessa classe?b) Quantas medições caíram nela?

Exercício 39§R3 · porque é que as barras se tocam

Responde sem fazer contas, por palavras tuas.

a) Por que razão as barras de um histograma são adjacentes e as de um gráfico de barras não? b) Em que sentido é que o histograma é um diagrama de áreas? E por que motivo, com classes de igual amplitude, basta olhar para a altura?

Exercício 40§R3 · o que se perde ao agrupar

Tens à mão as 20 durações do exercício e3a e a tabela agrupada que construíste, com classes de amplitude 5 a partir de 10.

a) Responde à pergunta «quantos anúncios duraram menos de 20 segundos?» pelas duas vias e compara. b) Escreve duas perguntas a que os dados brutos respondem e a tabela agrupada já não responde. Justifica cada uma.

Exercício 41§R3 · três classes ou dez

Os dois histogramas seguintes representam o mesmo conjunto de 40 observações: o painel A agrupa-as em três classes e o painel B em dez. A escala vertical é a mesma nos dois.

0 0 20 20 40 40 60 60 A · 3 classes B · 10 classes número de valores 5 10 15 20
Os mesmos quarenta valores, agrupados de duas maneiras. A escala vertical é a mesma nos dois painéis — sem isso, a comparação não queria dizer nada.

a) Qual dos dois esconde o padrão dos dados? Justifica. b) E qual deles mostra «muita da variabilidade» presente nos dados, sem fazer sobressair esse padrão? c) Que informação é preciso ter sempre à vista para ler um histograma?

Começa por ver quantas classes são precisas: o mínimo é 11{,}4 e o máximo 31{,}6, e as classes são [10, 15[, [15, 20[, … até apanharem o máximo. Depois conta, uma a uma, quantas durações caem em cada intervalo.

  1. Com h = 5 a partir de 10, cinco classes chegam: [10, 15[, [15, 20[, [20, 25[, [25, 30[ e [30, 35[. A primeira contém o mínimo 11{,}4 e a última o máximo 31{,}6.
  2. Contando: 2 durações abaixo de 15; 6 entre 15 e 20; 7 entre 20 e 25; 4 entre 25 e 30; e 1 acima de 30.
  3. As acumuladas somam-se de cima para baixo e as relativas obtêm-se dividindo por 20.
Classen_{i}N_{i}f_{i}F_{i}
[10, 15[220,10,1
[15, 20[680,30,4
[20, 25[7150,350,75
[25, 30[4190,20,95
[30, 35[1200,051
Total20—1—

A última linha de N_{i} tem de dar 20 e a última de F_{i} tem de dar 1 — é a verificação que apanha quase todos os enganos de contagem.

Respostan_{i} = 2, 6, 7, 4, 1 · N_{i} = 2, 8, 15, 19, 20 · f_{i} = 0{,}1;\ 0{,}3;\ 0{,}35;\ 0{,}2;\ 0{,}05

No eixo horizontal marcam-se os extremos das classes — 10, 15, 20, 25, 30, 35 — e no vertical a frequência absoluta. Os retângulos ficam encostados uns aos outros.

  1. a) Cinco retângulos adjacentes, todos com 5 segundos de base, e com as alturas 2, 6, 7, 4 e 1. O eixo horizontal é «duração (segundos)» e o vertical «número de anúncios», de 0 a 7.
  2. Como todas as classes têm a mesma amplitude, a altura de cada retângulo é a frequência absoluta da classe — não é preciso mais conta nenhuma.
  3. b) A maior frequência é 7, na classe [20, 25[: é o retângulo mais alto.O desenho tem de deixar ver que as barras se tocam. Um espaço entre a barra de [15, 20[ e a de [20, 25[ diria que entre 19{,}9 e 20 segundos não pode cair nada — e pode.
Respostaa) alturas 2, 6, 7, 4 e 1 · b) [20, 25[

«Menos de 30 minutos» é o fim da terceira classe. Soma as alturas dos retângulos que ficam à esquerda de 30.

  1. As classes são [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[ e [40, 50[, com as alturas 5, 12, 15, 6 e 2.
  2. Como as classes têm todas a mesma amplitude, cada altura é a frequência absoluta da sua classe.
  3. Menos de 30 minutos são as três primeiras: 5 + 12 + 15 = 32 clientes.
  4. Confirmação: as cinco alturas somam 5 + 12 + 15 + 6 + 2 = 40, que é o número de clientes.A opção 15 é a frequência de uma só classe e a opção 38 é a soma das quatro primeiras — o erro de contar também a classe [30, 40[, que já começa em 30.
Resposta(C)

Os dados ocupam 47{,}9 - 3{,}2 = 44{,}7 unidades. Cinco classes de amplitude h cobrem 5h, logo h tem de ser maior do que 8{,}94. Escolhe um valor redondo.

  1. Cinco classes de amplitude h cobrem 5h unidades, e é preciso que 5h > 44{,}7, ou seja h > 8{,}94.
  2. O valor redondo mais próximo é h = 10. Começando em 0, ficam [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[ e [40, 50[.
  3. Verificação: a primeira classe contém 3{,}2 e a última contém 47{,}9, porque 47{,}9 < 50. Nenhum dado fica de fora.
  4. Não é a única resposta: h = 9 a partir de 3 dá [3, 12[ até [39, 48[ e também serve.O que não serve é começar acima do mínimo — com início em 4, o valor 3{,}2 não teria classe nenhuma. A primeira classe tem de conter o mínimo.
Respostah = 10 a partir de 0: [0, 10[, [10, 20[, [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[

A primeira classe começa no mínimo. Vai somando 4 até passar o máximo — e não te esqueças de que a última classe também tem de conter o 26.

  1. As classes são \left[2,6\right[, \left[6,10\right[, \left[10,14\right[, \left[14,18\right[, \left[18,22\right[, \left[22,26\right[ e \left[26,30\right[.
  2. São necessárias 7 classes: o valor 26 não pertence a \left[22,26\right[, por a classe ser aberta à direita.É um descuido clássico: com 6 classes o maior valor ficava de fora.
  3. «Menos de 10 minutos» são as duas primeiras classes: 9 pessoas em 30, ou seja 0{,}30.
Respostasa) 7 classes · F = 0{,}30

Com h = 10 a partir de 10 as classes são [10, 20[, [20, 30[ e [30, 40[. Junta as frequências que já tinhas duas a duas.

  1. a) As classes passam a ser [10, 20[, [20, 30[ e [30, 40[. Juntando as frequências anteriores: 2 + 6 = 8, 7 + 4 = 11 e 1.
  2. Verificação: 8 + 11 + 1 = 20. ✓
  3. b) São agora três retângulos, com 10 segundos de base cada um e alturas 8, 11 e 1. As duas primeiras barras são quase iguais e a terceira é minúscula.
  4. c) O de amplitude 5. Com três classes, as durações entre 10 e 30 segundos ficam repartidas por duas barras quase da mesma altura, e desaparece o que o outro histograma mostrava: que os anúncios se concentram à volta dos 20 a 25 segundos e vão rareando para os dois lados.É o efeito de que a secção fala: com poucas classes o padrão esconde-se dentro de duas ou três barras. Os dados são exatamente os mesmos nos dois desenhos.
Respostaa) 8, 11 e 1 · c) o de amplitude 5, porque o de três classes esconde a concentração à volta dos 20 a 25 segundos

A frequência absoluta obtém-se de n_{i} = f_{i} \times n, com n = 200.

  1. a) Multiplicando cada frequência relativa por 200:
Classe (gramas)f_{i}n_{i}N_{i}
[20, 30[0{,}12020
[30, 40[0{,}255070
[40, 50[0{,}3570140
[50, 60[0{,}240180
[60, 70[0{,}120200
Total1200—
  1. Verificação: 20 + 50 + 70 + 40 + 20 = 200. ✓
  2. b) «Menos de 50 gramas» é o fim da terceira classe: 20 + 50 + 70 = 140 peças, que é o N_{3} da tabela.
  3. Repara em que a forma dos dois histogramas — o de frequências relativas e o de frequências absolutas — é exatamente a mesma. Só muda a escala do eixo vertical.É por isso que se pode passar de um para o outro sem voltar aos dados: com n fixo, dividir todas as alturas por 200 não mexe nas proporções entre elas.
Respostaa) 20, 50, 70, 40 e 20 peças · b) 140 peças

Confere três coisas, uma de cada vez: as amplitudes são todas iguais? há algum valor que caiba em duas classes? há algum valor que não caiba em nenhuma?

  1. a) Primeiro defeito — as amplitudes são diferentes: 10, 15, 10 e 5. As classes deste capítulo têm todas de ter a mesma amplitude.
  2. Segundo — há sobreposição: [10, 25[ e [20, 30[ partilham o intervalo de 20 a 25. Um dado igual a 22 caberia nas duas, e seria contado duas vezes.
  3. Terceiro — há uma lacuna: entre 30 e 35 não há classe nenhuma. Um dado igual a 32 não teria onde ser contado, e a soma das frequências deixaria de dar 50.
  4. b) Os dados vão de 2 a 38. Com h = 8 a partir de 0 saem exatamente cinco classes: [0, 8[, [8, 16[, [16, 24[, [24, 32[ e [32, 40[.
  5. Verificação: a primeira contém 2, a última contém 38, as amplitudes são iguais e não há sobreposições nem lacunas. ✓Os três defeitos são as três metades da definição: mesma amplitude, sem sobreposições, sem lacunas. Uma classe fechada dos dois lados, [10, 25], criaria o mesmo problema da sobreposição — é por isso que se escrevem sempre [a, b[.
Respostaa) amplitudes diferentes · sobreposição entre 20 e 25 · lacuna entre 30 e 35 · b) h = 8 a partir de 0: [0, 8[, [8, 16[, [16, 24[, [24, 32[, [32, 40[

Parte do princípio do histograma: a área de cada retângulo é proporcional à frequência. E a área é a base vezes a altura.

  1. Num histograma, a área de cada retângulo é proporcional à frequência da classe: \text{base} \times \text{altura} = c \times n_{i}, para uma constante c.
  2. Se todas as classes têm a mesma amplitude, a base é a mesma em todos os retângulos, digamos h. Então \text{altura} = \dfrac{c}{h} \times n_{i}.
  3. Ou seja, a altura é proporcional a n_{i}, a frequência da classe.
  4. É exatamente por isto que se marca a frequência no eixo vertical.Repara na condição: mesma amplitude. Se as classes tivessem amplitudes diferentes, a altura deixava de ser a frequência — mas esse caso não é matéria do 10.º ano.
Resposta(C)

Num caule-e-folhas com o caule às dezenas, cada linha já é uma classe de amplitude 10: basta contar as folhas de cada linha.

  1. a) Cada caule é uma classe. Contando as folhas: 4, 6, 6 e 4.
Classen_{i}N_{i}f_{i}F_{i}
[10, 20[440,20,2
[20, 30[6100,30,5
[30, 40[6160,30,8
[40, 50[4200,21
Total20—1—
  1. b) Quatro retângulos adjacentes, com 10 flexões de base cada um e alturas 4, 6, 6 e 4. O desenho é simétrico: as duas classes centrais têm a mesma frequência e as duas extremas também.
  2. c) O caule-e-folhas guarda os valores todos — vê-se que houve dois atletas com 26 flexões, que o mínimo foi 12 e o máximo 48. Na tabela agrupada só se sabe quantos caíram em cada classe.Um caule-e-folhas com o caule às dezenas é, na prática, um histograma deitado que não perdeu nada: por isso é que a Aprendizagem Essencial lhe atribui o papel de ordenar os dados depressa.
Respostaa) n_{i} = 4, 6, 6, 4 e f_{i} = 0{,}2;\ 0{,}3;\ 0{,}3;\ 0{,}2 · b) alturas 4, 6, 6 e 4 · c) os valores exatos de cada observação

Na escala da densidade, a área da barra é que é a frequência relativa: altura × amplitude.

  1. Frequência relativa = 0{,}06 \times 5 = 0{,}30
  2. Número de medições = 0{,}30 \times 200 = 60
Respostasa) 0{,}30 · b) 60 medições

Na alínea a), pensa no que está representado no eixo horizontal em cada um dos dois gráficos. Na b), escreve a relação entre a área de um retângulo, a sua base e a sua altura.

  1. a) Num gráfico de barras o eixo horizontal traz valores isolados de uma variável discreta, e entre dois deles não há nada que se possa observar — o espaço entre as barras é honesto, e é ele que mostra que a variável é discreta.
  2. Num histograma o eixo horizontal é um intervalo contínuo, repartido em classes encostadas umas às outras. Deixar um espaço entre dois retângulos seria afirmar que naquele bocado do eixo não pode cair nenhuma observação — e pode: 19{,}97 é um valor tão possível como 20.
  3. b) Num histograma o que representa a frequência de uma classe é a área do seu retângulo, e não a altura: é essa a convenção, e é dela que vem o nome diagrama de áreas.
  4. A área é \text{base} \times \text{altura}. Quando todas as classes têm a mesma amplitude, todas as bases são iguais, e duas áreas só podem estar na razão das frequências se as alturas estiverem também: a altura fica proporcional à frequência.
  5. Por isso, e só por isso, se pode ler a frequência diretamente no eixo vertical.Vale a pena guardar a ordem das ideias: a área é que é a regra, a altura é uma consequência do caso particular em que este capítulo trabalha. Quem troque as duas coisas fica sem saber o que fazer diante de um histograma com classes de larguras diferentes.
Respostaa) o eixo é discreto num caso e contínuo no outro · b) a frequência é a área; com bases iguais, a altura fica proporcional à frequência

Na alínea a), repara em que 20 é exatamente uma fronteira de classe. Na b), procura perguntas sobre valores e não sobre contagens por classe.

  1. a) Pelos dados brutos: 11{,}4; 13{,}8; 15{,}2; 16{,}0; 17{,}3; 18{,}1; 18{,}9 e 19{,}6 — são 8 anúncios.
  2. Pela tabela agrupada: 20 é o fim da segunda classe, logo a resposta é N_{2} = 2 + 6 = 8.
  3. As duas vias dão o mesmo, e dão o mesmo porque a pergunta caiu numa fronteira de classe. Se a pergunta fosse «quantos duraram menos de 22 segundos?», a tabela agrupada não chegava: dentro de [20, 25[ não se sabe onde estão os sete anúncios.
  4. b) Primeira: «qual foi o anúncio mais curto?» Os dados brutos dizem 11{,}4 segundos; a tabela agrupada só diz que houve dois anúncios em [10, 15[, e o mais curto tanto podia ser 10{,}1 como 14{,}9.
  5. Segunda: «houve dois anúncios exatamente com a mesma duração?» Os dados brutos dizem que não — os vinte valores são todos diferentes. A tabela agrupada não tem como responder, porque perdeu os valores.
  6. É isto que se troca ao agrupar: dá-se o valor exato de cada observação em troca da forma da distribuição.Também serviriam: «qual foi a duração mais frequente?», «que duração ficou a meio da lista, depois de a ordenar?» ou qualquer pergunta cuja resposta seja um valor observado e não uma contagem.
Respostaa) 8 pelas duas vias, porque 20 é fronteira de classe · b) por exemplo, o valor mais curto e a existência de valores repetidos

Pergunta-te, para cada painel, o que é que ele te deixa dizer sobre a distribuição. Repara em quantas observações cabem numa classe de cada um: são 40 repartidas por três classes num caso e por dez no outro.

  1. a) O painel A. Com três classes, metade das observações cai toda dentro do mesmo retângulo, e não se fica a saber nada sobre a maneira como se distribuem lá dentro: o desenho reduz-se a «poucos à esquerda, muitos ao meio, poucos à direita».
  2. Em concreto, o painel B mostra que a distribuição sobe até um máximo e desce depois com uma cauda longa à direita — e nada disso se vê no painel A.
  3. b) O painel B. Com dez classes, cada uma fica com muito poucas observações — as alturas vão de 1 a 8 —, e as pequenas subidas e descidas de uma classe para a seguinte são em boa parte acaso desta amostra, e não forma da distribuição.
  4. É o que a Aprendizagem Essencial diz: uma representação com muitas classes apresenta muita da variabilidade presente nos dados sem fazer sobressair o padrão, e uma com um número muito pequeno de classes esconderá esse padrão.
  5. c) A amplitude das classes e o ponto onde a primeira começa. Sem isso não se sabe o que uma altura significa nem se dois histogramas são comparáveis.Nenhum dos dois painéis está errado: são o mesmo conjunto de dados, agrupado de duas maneiras legítimas. É por isso que a escolha do número de classes é uma decisão de quem representa — e tem de ser dita.
Respostaa) o painel A, de três classes · b) o painel B, de dez classes · c) a amplitude das classes e onde começa a primeira

Exercícios de Exame · Tabelas de frequências e gráficos

Trinta e dois itens, todos de exames de Matemática Aplicada às Ciências Sociais — a disciplina que trata estes assuntos há vinte anos e que tem, por isso, um manancial de itens de organização e representação de dados que a Matemática A não tem. Não contam para o número de itens de Exame de Matemática A anunciado na capa: um item de MACS não é um item de Matemática A. O enunciado é o original, com o ano e a fase em cada cartão. Alguns trazem representações que a Matemática A do 10.º ano não pede que se construam — gráficos circulares, pictogramas, barras empilhadas: aqui só se leem, que é o que o item pede.

Item 1 construçãoMACS · Exame 2006 · 1.ª Fase

Com o objetivo de estudar o grau de informação dos cidadãos da União Europeia (UE) sobre as políticas e instituições da UE, uma empresa de sondagens realizou um inquérito no Outono de 1999.

A dimensão da amostra foi de 15 800 pessoas, escolhidas aleatoriamente entre os cidadãos da UE com 15 ou mais anos.

Perguntava-se aos inquiridos em que medida se sentiam informados sobre a UE, sendo a resposta dada mediante a seleção de um número de 1 (não sabe nada) a 10 (sabe muito).

No quadro seguinte, apresentam-se os resultados desse inquérito.

Para cada nível, indica-se a percentagem de inquiridos que se auto-avaliaram nesse nível.

EscalaPercentagem
110
212
316
417
519
612
78
84
91
101

Admita que os níveis 8, 9 e 10 correspondem a um elevado conhecimento das questões da UE.

Determine o número de inquiridos que considera ter um elevado conhecimento sobre as questões da UE.

Item 2 construçãoMACS · Exame 2006 · 2.ª Fase

No dia 14 de Dezembro de 1997, realizaram-se eleições autárquicas em Portugal.

Num certo concelho, concorreram quatro partidos às eleições para a Câmara Municipal. Estavam em disputa sete mandatos. Esses quatro partidos são aqui designados pelas letras A, B, C e D.

A distribuição dos votos pelos quatro partidos, nessas eleições de 1997, foi a seguinte.

PartidosABCD
Número de votos13 4428 7236 0331 120

Houve 1 258 votos brancos e nulos.

Em 2001, realizaram-se novamente eleições para a mesma Câmara Municipal. Os partidos concorrentes foram os mesmos. Os resultados estão representados no seguinte gráfico de barras.

Gráfico de barras dos resultados das eleições de 2001, com cinco barras — A, B, C, D e «Votos brancos e nulos» — sobre um eixo vertical graduado de 10 em 10 até 50: a barra de A chega perto de 47, a de B a 24, a de C a 22, a de D a 3 e a dos votos brancos e nulos a 4.

Elabore um gráfico de barras semelhante ao apresentado, mas relativo às eleições de 1997 para a mesma Câmara Municipal.

Item 3 construçãoMACS · Exame 2007 · 2.ª Fase

A secção de controlo de qualidade de uma fábrica de parafusos escolhe, aleatoriamente, uma amostra de 100 parafusos produzidos por uma determinada máquina e regista o comprimento dos parafusos selecionados.

Na tabela seguinte, estão indicados os dados, agrupados, dos comprimentos dos parafusos da amostra, à esquerda do correspondente histograma.

Comprimento dos parafusos
(em cm)		Frequência absoluta
[5{,}0; 5{,}1[3
[5{,}1; 5{,}2[5
[5{,}2; 5{,}3[9
[5{,}3; 5{,}4[13
[5{,}4; 5{,}5[18
[5{,}5; 5{,}6[19
[5{,}6; 5{,}7[17
[5{,}7; 5{,}8[10
[5{,}8; 5{,}9[3
[5{,}9; 6{,}0[2
[6{,}0; 6{,}1[1
TOTAL100
Histograma «Comprimento dos 100 parafusos (em cm)», com onze barras coloridas, uma por classe de amplitude 0,1 cm entre 5,0 e 6,1, de alturas 3, 5, 9, 13, 18, 19, 17, 10, 3, 2 e 1; o eixo vertical vai de 0 a 20, de 2 em 2, e a legenda à direita identifica as classes de [5,0; 5,1[ até [6,0; 6,1[.

a) Qual é a variável associada à representação feita pelo histograma?b) Determine, nesta amostra, a percentagem de parafusos cujo comprimento é inferior a 5{,}5 cm.c) Os dados disponíveis para a construção do histograma indicam-nos as frequências absolutas dos comprimentos, distribuídos em intervalos de amplitude 1{,}0. É costume aconselhar um número de classes que depende da dimensão da amostra e que, no caso presente, nos conduziria a 7 classes. Numa pequena composição, explique como procederia para obter o histograma correspondente ao mesmo conjunto de dados constituído apenas por 7 classes. Admita que o menor valor registado foi de 5{,}025 cm e que o maior valor foi de 6{,}070 cm.

Na alínea c) deve incluir, obrigatoriamente, na sua resposta:

  • a amplitude de cada classe;
  • os extremos das 7 classes que compõem o histograma;
  • uma justificação da impossibilidade de associar a cada uma das classes construídas a respetiva frequência absoluta, face aos dados de que dispõe.
Item 4 construçãoMACS · Exame 2008 · 1.ª Fase

No âmbito da disciplina de MACS, os alunos de uma turma da Escola Secundária APRENDERMAIS desenvolveram um trabalho de projeto que incluía um estudo sobre a intenção dos jovens da sua região, que frequentavam o ensino secundário, de prosseguirem os estudos, após terminarem esse nível de ensino.

Para a recolha dos dados, elaboraram um inquérito e selecionaram uma amostra aleatória, constituída por 300 jovens, representativa da população em estudo.

No trabalho, incluíram gráficos, um dos quais é o gráfico circular, que representa os dados recolhidos quanto à auto-avaliação do desempenho escolar dos alunos inquiridos:

Gráfico circular da auto-avaliação do desempenho escolar, com cinco setores legendados «Insuficiente» 10%, «Suficiente» 35%, «Bom» 25%, «Muito bom» e «Não responde»; os dois últimos estão sem percentagem escrita e o de «Não responde» é o setor a preto.

No gráfico circular, não constam as percentagens referentes a «Muito Bom» e «Não Responde», mas, no trabalho, refere-se que a percentagem de alunos que se auto-avaliaram com «Muito Bom» é o dobro da percentagem de alunos que responderam «Insuficiente».

Determine a percentagem de alunos inquiridos que não responderam à questão relativa à auto-avaliação do desempenho escolar.

Item 5 construçãoMACS · Exame 2009 · 2.ª Fase

Na escola da Marta, o professor de MACS resolveu questionar os alunos de uma turma sobre o número de mensagens que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel. Os resultados obtidos encontram-se representados numa tabela.

N.º de mensagens recebidasN.º de alunos
101
112
124
1312
143
152
161

a) Determine as frequências relativas simples e as frequências relativas acumuladas do número de mensagens recebidas pelo conjunto dos alunos, nesse sábado. Apresente as frequências com duas casas decimais.b) Represente, num diagrama de barras, os dados relativos às frequências absolutas.

Item 6 construçãoMACS · Exame 2013 · 1.ª Fase

Na tabela seguinte, é apresentado o número de filhos de uma amostra de 200 sócios do Grupo Desportivo de Bicas (GDB).

Número de filhos12345
Frequência absoluta acumulada78166184196200

Construa uma tabela de frequências absolutas e relativas para os dados apresentados na tabela, determinando as frequências absolutas simples e as frequências relativas simples e acumuladas.

Item 7 construçãoMACS · Exame 2014 · 1.ª Fase

Na escola secundária de Semedo, os alunos estudam o consumo diário de café no bar da escola.

Na tabela seguinte, encontram-se registados os dados referentes à variável «número de cafés bebidos, em cada dia, pelo Manuel», numa amostra aleatória de 40 dias.

01222132113413301542
04134424533124850184

Represente os dados da tabela anterior, referentes à variável «número de cafés bebidos, em cada dia, pelo Manuel», num diagrama de barras.

Comece por organizar os dados numa tabela de frequências absolutas simples.

Item 8 construçãoMACS · Exame 2014 · 2.ª Fase

Habitualmente, o café é servido com uma saqueta de açúcar. Para os comerciantes, estão disponíveis, no mercado, os seguintes tipos de embalagens:

  • caixa de 5 quilogramas, com uma média de 830 saquetas com, aproximadamente, 6 gramas de açúcar cada uma;
  • caixa de 5,4 quilogramas, com uma média de 760 saquetas com, aproximadamente, 7 gramas de açúcar cada uma;
  • caixa de 6 quilogramas, com uma média de 750 saquetas com, aproximadamente, 8 gramas de açúcar cada uma.

A Maria recolheu, aleatoriamente, uma amostra de saquetas de uma caixa de 5 quilogramas e pesou cada uma das saquetas.

No gráfico da figura seguinte, está uma representação dos dados recolhidos pela Maria.

Histograma de frequências absolutas acumuladas da massa de açúcar na saqueta, em gramas, com os valores escritos por cima das barras: 24 na classe de 5,8 a 5,9; 36 na de 5,9 a 6,0; 54 na de 6,0 a 6,1; 57 na de 6,1 a 6,2 e 60 na de 6,2 a 6,3; o eixo horizontal tem uma quebra antes de 5,8.

Construa uma tabela de frequências, em que indique as frequências absolutas simples, as frequências relativas simples e as frequências relativas acumuladas, para a variável massa de açúcar na saqueta, com os dados recolhidos pela Maria.

Item 9 construçãoMACS · Exame 2015 · 1.ª Fase

Recentemente, o GAP levou a cabo um inquérito a 200 condutores encartados, selecionados ao acaso, com o intuito de saber quantos exames de condução realizaram até ficarem encartados.

O número de exames realizados variou entre 1 e 4. Na tabela seguinte, apresenta-se parte da informação recolhida.

Número de exames realizados1234
Número de encartados13050ab

Os autores do estudo pretendiam divulgar a informação recolhida na revista do GAP e decidiram apresentá-la através de um gráfico circular idêntico ao gráfico seguinte.

Gráfico circular «Número de exames de condução realizados», com quatro setores distinguidos por tramas e legendados «1 exame», «2 exames», «3 exames» e «4 exames»; o setor de «1 exame» é claramente o maior e os de «3 exames» e «4 exames» são os mais pequenos. Nenhum setor traz a percentagem escrita.

Sabe-se que o ângulo ao centro correspondente ao setor dos encartados que realizaram exatamente três exames de condução tem de amplitude 27 graus.

Determine os valores de a e b.

Item 10 construçãoMACS · Exame 2015 · 2.ª Fase

O Sr. Pereira é motorista da empresa PTM.

O veículo da empresa que o Sr. Pereira conduz é utilizado todos os dias, mesmo quando o Sr. Pereira está de folga.

O departamento de contabilidade da PTM necessita de informação sobre os gastos diários de cada veículo em portagens. Assim, em cada veículo, existe um impresso destinado ao registo desses gastos diários e que é entregue ao departamento de contabilidade no final de cada mês de trabalho.

A tabela seguinte apresenta uma síntese dos dados referentes ao mês de abril do veículo que o Sr. Pereira conduz.

Gastos em abril
(em euros)		[0,5[[5,10[[10,15[[15,20[
Número de dias39153

No gráfico seguinte, está representado o histograma de frequências relativas acumuladas com os dados relativos aos gastos do veículo do Sr. Pereira em portagens, no mês de novembro.

Histograma de frequências relativas acumuladas dos gastos em portagens no mês de novembro, em euros: a barra da classe [0, 5[ chega a 10%, a de [5, 10[ a 30%, a de [10, 15[ a 80% e a de [15, 20[ a 100%; o eixo vertical está graduado de 0% a 100%, de 10 em 10 pontos percentuais.

Depois de analisar os dados sobre os gastos deste veículo, o Sr. Pereira afirma:

«Curioso, nos meses de abril e de novembro, foi igual o número de dias em que a quantia gasta em portagens foi inferior a 10 euros.»

Verifique se o Sr. Pereira tem razão, apresentando todos os cálculos que fundamentam a sua resposta.

Item 11 construçãoMACS · Exame 2017 · 1.ª Fase

Na tabela seguinte, está registado o número de utilizadores de uma das diversões do parque, nas duas primeiras semanas do mês de agosto de 2015.

SEG.TER.QUA.QUI.SEX.SÁB.DOM.
1.ª semana184224232240280328312
2.ª semana208200256264280344288

Na figura seguinte, está registada a variação do número de utilizadores dessa diversão em cada dia da terceira semana do mês de agosto de 2015, relativamente ao dia imediatamente anterior.

A variação do número de utilizadores da diversão na quarta-feira relativamente a terça-feira está representada na figura seguinte por k.

Gráfico de barras «Variação do número de utilizadores da diversão», com a variação de cada dia da terceira semana de agosto em relação ao dia anterior: segunda-feira −45, terça-feira 10, quarta-feira representada pela letra k numa barra pequena abaixo do eixo, quinta-feira 27, sexta-feira 49, sábado 102 e domingo −25; o eixo vertical vai de −60 a 120, de 20 em 20.

Relativamente aos utilizadores da diversão na terceira semana do mês de agosto, sabe-se ainda que um total de 734 pessoas a utilizou até quarta-feira (inclusive).

Determine o valor de k.

Item 12 construçãoMACS · Exame 2017 · 2.ª Fase

Fez-se um estudo estatístico do tempo que os alunos da Escola de Vilar de Sadeija demoram no percurso de casa à escola.

Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados recolhidos.

Tempo (em minutos)Número de alunosFrequência relativa simples %Frequência relativa acumulada %
[0,10[a
[10,20[14412
[20,30[33665
[30,40[

Atendendo aos dados da tabela anterior, determine o valor de a.

Item 13 escolha múltiplaMACS · Exame 2017 · 2.ª Fase

Inquiriram-se 500 alunos da escola, escolhidos ao acaso, relativamente ao número de vezes que foram ao cinema durante o ano de 2016.

Na figura seguinte, está uma representação dos dados recolhidos.

Gráfico de barras opostas «Número de idas ao cinema»: ao centro os valores 0, 1, 2, 3, 4 e 5; para a esquerda as barras das raparigas, com 32, 46, 63, 106, 60 e 43, e para a direita as dos rapazes, com 10, 17, 42, 34, 25 e 22.

Considere apenas os dados referentes às 350 raparigas inquiridas.

Qual é a percentagem, arredondada às décimas, de raparigas que foram ao cinema, pelo menos, três vezes no ano?

  • (A)29{,}4
  • (B)40{,}3
  • (C)59{,}7
  • (D)71{,}4
Item 14 construçãoMACS · Exame 2017 · Época especial

Na tabela seguinte, estão registados, para cada um dos filmes, A, B, C, D, E, F e G, o custo de produção, em milhares de euros, e o número de espectadores, em milhares, que teve nas semanas de exibição em Portugal.

FilmeCusto de produção (em milhares de euros) xNúmero de espectadores (em milhares) y
A43599
B37984
C6516
D6013
E27675
F5912
G439

Admita que o número de espectadores do filme D, registado na tabela anterior, foi obtido nas quatro semanas em que o filme esteve em exibição.

O gráfico seguinte, que não está completo, apresenta a distribuição da percentagem de espectadores do filme D nessas quatro semanas.

Gráfico de barras «Percentagem de espectadores do filme D enquanto esteve em exibição», com uma barra por semana; só a barra da 4.ª semana traz o valor escrito, 5%, e o eixo vertical não está graduado. A barra da 2.ª semana é a mais alta, seguida da 1.ª e da 3.ª.

Admita que na terceira semana o número de espectadores foi 3250.

Determine o número total de espectadores do filme D nas duas primeiras semanas

Item 15 construçãoMACS · Exame 2018 · 1.ª Fase

Na ilha de Dujal existe uma espécie de larvas que se encontram em algumas árvores. Uma equipa de biólogos estudou a evolução da massa das larvas, em gramas, em função do tempo de vida, em semanas.

Numa das semanas em que foram realizadas pesagens de larvas, os biólogos construíram uma tabela onde anotaram a informação recolhida. A tabela por eles criada foi danificada, sendo possível recuperar apenas uma parte da informação nela contida. Na tabela seguinte, apresenta-se a informação recuperada.

Massa (g)Frequência absoluta simplesFrequência relativa acumulada
[0,5[30{,}015
[5,10[15a
…
[20,25[0{,}9
[25,30[b
[30,35[51

Determine os valores de a e de b.

Item 16 construçãoMACS · Exame 2018 · 2.ª Fase

Foi levado a cabo um levantamento do número de espectadores presentes em 100 sessões da peça realizadas em Portugal Continental.

No gráfico seguinte, está representado um histograma de frequências absolutas simples dos dados recolhidos.

Histograma de frequências absolutas simples do número de espectadores nas 100 sessões de Portugal Continental, com as classes [100, 150[, [150, 200[, [200, 250[, [250, 300[ e [300, 350[ e as barras 16, 24, 8, 32 e 20.

Foi igualmente levado a cabo um levantamento do número de espectadores presentes nas 50 sessões da peça realizadas nas ilhas dos Açores e da Madeira.

No gráfico seguinte, está representado um histograma de frequências absolutas acumuladas dos dados recolhidos.

Histograma de frequências absolutas acumuladas do número de espectadores nas 50 sessões dos Açores e da Madeira, com as mesmas cinco classes de 100 a 350 e as barras 12, 30, 38, 44 e 50.

Construa uma tabela de frequências absolutas simples, considerando os dados das 150 sessões realizadas, 100 em Portugal Continental e 50 nas ilhas dos Açores e da Madeira, mantendo as classes utilizadas.

Item 17 construçãoMACS · Exame 2018 · Época especial

Na festa de Fonte Melo, teve lugar uma prova de corrida.

a) Uma das equipas participantes registou os tempos obtidos pelos seus atletas. O diagrama de caule-e-folhas seguinte apresenta os 20 registos dos tempos, em minutos, que foram obtidos pelos atletas desta equipa. No caule, consta o valor das dezenas e, nas folhas, o algarismo das unidades de cada registo.

Tempos dos 20 atletas. O caule vale 10 minutos e a folha vale 1 minuto.
CauleFolhas
46 8 8
50 0 0 4 6 6 6 7
62 2 3 5 9
74 4 4 9

Qual é a percentagem de atletas com um tempo de prova de, pelo menos, 54 minutos?

  • (A)30%
  • (B)35%
  • (C)65%
  • (D)70%

b) Na corrida participaram 1600 atletas, dos quais 1300 eram do género masculino. As idades dos atletas participantes na corrida foram organizadas, por género, em dois histogramas de frequências relativas simples.

Na figura seguinte, apresenta-se o histograma relativo aos dados dos atletas do género feminino.

Histograma das frequências relativas simples, em percentagem, das idades das atletas do género feminino, com as classes [20, 30[, [30, 40[, [40, 50[ e [50, 60[ anos; as quatro barras estão etiquetadas com 23%, 44%, 21% e 12%.

Na figura seguinte, apresenta-se o histograma relativo aos dados dos atletas do género masculino, em que não estão registados todos os valores.

Histograma das frequências relativas simples, em percentagem, das idades dos atletas do género masculino, com as mesmas quatro classes de 20 a 60 anos; só as duas primeiras barras estão etiquetadas, a de [20, 30[ com 15% e a de [30, 40[ com a letra a, e as duas últimas leem-se no eixo a 35% e a 27%.

Determine o valor de a, admitindo que na corrida participaram 682 atletas, de ambos os géneros, com idade inferior a 40 anos.

Item 18 construçãoMACS · Exame 2019 · 1.ª Fase

Uma aplicação informática permite medir a qualidade do acesso à Internet, executando diversos testes, nomeadamente a medição da latência.

A latência é o tempo, em milissegundos (ms), que um conjunto de dados demora a ir de um computador até um servidor e a regressar.

Na figura seguinte, estão representados os dados relativos à latência numa determinada região obtidos nos testes realizados em 2015 e em 2017.

Dois gráficos de barras horizontais, «Latência em 2015» e «Latência em 2017», com a percentagem de testes por classe de tempo. Em 2015: menos de 34 ms, 57,5 por cento; de 30 a 67 ms, 20,8 por cento; de 67 a 100 ms, 6,8 por cento; 100 ms ou mais, 14,9 por cento. Em 2017: menos de 34 ms, 54,7 por cento; de 30 a 67 ms, 26,4 por cento; de 67 a 100 ms, 6,8 por cento; 100 ms ou mais, 12,1 por cento.

Na tabela seguinte, está parcialmente registado o número de testes realizados nos últimos cinco anos, nessa região.

Anos20142015201620172018
N.º de testes realizados10 98012 000a15 00016 450

Considere a afirmação:

«O número de testes cujo valor da latência foi inferior a 34 ms diminui quando se comparam os resultados obtidos nos anos de 2015 e 2017.»

A afirmação é verdadeira? Justifique.

Item 19 construçãoMACS · Exame 2020 · Época especial

Na Escola Secundária de Avelares, os 1500 alunos indicaram o principal motivo pelo qual consideravam importante aderir ao programa de aluguer das BEA, bicicletas elétricas de Avelares.

Os dados recolhidos foram organizados pelos alunos de MACS da escola, tendo-se concluído que:

645 alunos indicaram ser bom para o ambiente;4\% dos alunos indicaram outros motivos.

Qual dos gráficos pode representar a informação recolhida?

Quatro gráficos circulares em anel, (A), (B), (C) e (D), cada um com os sectores Ambiente, Poupança, Saúde e Outros motivos. Em (A) está indicado 40 por cento no sector Ambiente e 19 por cento no sector Saúde; em (B), 35 por cento no sector Poupança e 20 por cento no sector Saúde; em (C), 40 por cento no sector Ambiente e 18 por cento no sector Saúde; em (D), 35 por cento no sector Poupança e 18 por cento no sector Saúde.
Item 20 construçãoMACS · Exame 2021 · 1.ª Fase

A ParaPagar tem 150 funcionários na região de Lisboa e Vale do Tejo cujas idades se apresentam no histograma de frequências absolutas acumuladas, representado na figura seguinte, organizadas nas classes [18,28[, [28,38[, …, [58,68[.

Histograma de frequências absolutas acumuladas da idade dos funcionários, nas classes [18,28[, [28,38[, [38,48[, [48,58[ e [58,68[, com as barras rotuladas 15, 75, 120, 140 e 150.

Na tabela seguinte, apresentam-se, organizadas por classes, as idades dos 100 funcionários da ParaPagar da região do Algarve.

Idade[18,28[[28,38[[38,48[[48,58[[58,68[
N.º de funcionários302530105

Apresente uma tabela de frequências relativas acumuladas para as idades dos 250 funcionários da ParaPagar, 150 da região de Lisboa e Vale do Tejo e 100 da região do Algarve.

Na sua resposta, mantenha as classes utilizadas.

Item 21 construçãoMACS · Exame 2021 · Época especial

A rádio OnOfff é uma rádio local que transmite através da Internet, com recurso a tecnologia de transmissão de áudio e de vídeo em tempo real.

No Dia Internacional da Saúde, a rádio OnOfff lançou aos ouvintes o desafio seguinte: calcularem o seu índice de massa corporal (IMC) e de o enviarem para a rádio.

Os programas da rádio com maior participação dos ouvintes foram «A sua tarde na OnOfff» e «OnOfff night».

As respostas recebidas durante a emissão do programa «A sua tarde na OnOfff» apresentam-se no histograma de frequências absolutas simples, representado no gráfico seguinte, organizadas nas classes [14,18[, [18,22[, …, [30,34[.

Histograma de frequências absolutas simples do valor de IMC, em quilogramas por metro quadrado, nas classes [14,18[, [18,22[, [22,26[, [26,30[ e [30,34[, com as barras rotuladas 18, a, 6, 32 e 16.

As respostas recebidas durante a emissão do programa «OnOfff night» apresentam-se no histograma de frequências absolutas acumuladas, representado no gráfico seguinte, organizadas nas classes [14,18[, [18,22[, …, [30,34[.

Histograma de frequências absolutas acumuladas do valor de IMC, em quilogramas por metro quadrado, nas mesmas classes de 14 a 34, com as barras rotuladas 11, 27, 41, 42 e 50.

Considere a=26

Apresente uma tabela de frequências absolutas simples para o total das respostas recebidas durante a emissão dos programas «A sua tarde na OnOfff» e «OnOfff night».

Na sua resposta, mantenha as classes utilizadas em ambos os histogramas.

Item 22 construçãoMACS · Exame 2022 · 1.ª Fase

No terceiro trimestre do ano de 2021, a agência de viagens Ir&Voltar vendeu, para destinos nacionais e para destinos internacionais, um total de 500 viagens.

No gráfico seguinte, está representada, para cada mês do terceiro trimestre de 2021, a distribuição, em percentagem, das viagens vendidas na agência em função do destino.

jul. N 45% jul. I 55% ago. N 60% ago. I 40% set. N 25% set. I 75% mês e destino percentagem do mês 20 40 60
Viagens vendidas em cada mês, por destino, em percentagem do mês. N é destino nacional e I é destino internacional.

Admita que:

48\% das viagens vendidas no terceiro trimestre de 2021 são viagens vendidas no mês de agosto;o número de viagens vendidas no mês de julho é metade do número de viagens vendidas no mês de agosto.

Determine o número de viagens vendidas no mês de setembro para um destino internacional.

Item 23 construçãoMACS · Exame 2022 · 2.ª Fase

No parque de campismo de Dujal, existem 380 lugares distribuídos do seguinte modo:

lugares para tendas;lugares para estacionar autocaravanas;lugares para estacionar automóveis.

Ao longo de uma determinada semana, verificou-se que estiveram sempre ocupados os mesmos 200 lugares.

Na figura seguinte, é apresentada a distribuição dos lugares ocupados, tendo em conta a sua função.

Gráfico circular em anel com o título «Total: 200 lugares ocupados» ao centro e três sectores — Tenda, Autocaravana e Automóvel —, estando o sector das tendas, que é o maior, rotulado com 70 por cento.

Na tabela seguinte, apresenta-se o número de lugares no parque de campismo, tendo em conta a sua função e o número de lugares ocupados por autocaravanas.

N.º de lugaresN.º de lugares ocupados
Tenda175
Autocaravana8020
Automóvel125

Determine a percentagem de lugares ocupados por automóveis, relativamente ao número de lugares existentes para os estacionar

Item 24 construçãoMACS · Exame 2023 · 1.ª Fase

No ano passado, a Festa da Freguesia teve a duração de catorze dias, consecutivos, correspondendo a duas semanas completas. A festa começou no domingo, dia 7, e terminou no sábado, dia 20.

Na Tabela 4, apresentam-se os dados das temperaturas (T), mínima e máxima, em graus Celsius (ºC), e da precipitação acumulada diária (P), em milímetros (mm), para cada dia da primeira semana da festa.

Dom., 7Seg., 8Terça, 9Quarta, 10Quinta, 11Sexta, 12Sáb., 13
Céu nubladoCéu nubladoCéu nubladoCéu pouco nubladoCéu pouco nubladoCéu pouco nubladoCéu pouco nublado
T16 ºC · 26 ºC15 ºC · 23 ºC16 ºC · 28 ºC16 ºC · 29 ºC15 ºC · 29 ºC15 ºC · 28 ºC14 ºC · 26 ºC
P1 mm0,5 mm0,1 mm0,2 mm0 mm0,3 mm3 mm

Em qual das opções seguintes está representado, para a primeira semana, o gráfico de variação da temperatura máxima, relativamente ao dia anterior?

  • (A)
    8 −3 9 5 10 1 11 0 12 −2 13 −2
    Dia do mês, de segunda-feira, 8, a sábado, 13.
  • (B)
    8 −3 9 5 10 1 11 0 12 −1 13 −1
    Dia do mês, de segunda-feira, 8, a sábado, 13.
  • (C)
    8 −2 9 5 10 1 11 0 12 −1 13 −1
    Dia do mês, de segunda-feira, 8, a sábado, 13.
  • (D)
    8 −3 9 5 10 1 11 0 12 −1 13 −2
    Dia do mês, de segunda-feira, 8, a sábado, 13.
Item 25 escolha múltiplaMACS · Exame 2024 · 1.ª Fase

A Estrada Nacional 2 (EN2) foi incluída no Plano Rodoviário Nacional de 1945. É a mais extensa estrada portuguesa, totalizando 739{,}26 quilómetros, e a única na Europa que atravessa um país em toda a sua extensão, desde Chaves até Faro, passando por 35 concelhos.

Num estabelecimento comercial, estudou-se o valor gasto, em euros, por um determinado número de clientes na compra de lembranças alusivas à EN2.

Na figura seguinte, estão parcialmente registados os dados recolhidos, junto desses clientes, num histograma de frequências absolutas simples e num histograma de frequências relativas acumuladas, em percentagem. Em ambos os gráficos, os clientes foram agrupados nas classes ]0,10], ]10,20], …, ]50,60], de acordo com os valores gastos, em euros, por cada um deles.

Dois histogramas lado a lado, com as classes do valor gasto, em euros, de mais de 0 até 60. À esquerda, o histograma de frequências absolutas simples, com a primeira barra rotulada 29, a segunda 116, a terceira e a quarta sem rótulo, e a quinta e a sexta com a mesma altura, a última rotulada y. À direita, o histograma de frequências relativas acumuladas, em percentagem, com as barras z, 25, 40, x, 90 e 100.

Como se pode observar no histograma de frequências absolutas simples, as classes ]40,50] e ]50,60] têm a mesma frequência.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos espaços, (a), (b), (c) e (d), seguido da opção (1), (2) ou (3) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

De acordo com a informação disponível na figura anterior, (a), dos clientes gastaram na compra de lembranças alusivas à EN2 um valor, em euros, pertencente à classe ]20,30]. O valor de z é (b), o valor de x é (c), e o valor de y é (d).

  • (a)(1) 15\% · (2) 25\% · (3) 40\%
  • (b)(1) 5 · (2) 6 · (3) 7
  • (c)(1) 75 · (2) 80 · (3) 85
  • (d)(1) 46 · (2) 52 · (3) 58
Item 26 construçãoMACS · Exame 2024 · 1.ª Fase

Numa campanha de sensibilização rodoviária realizada na EN2, 400 condutores responderam a um questionário. As respostas obtidas foram organizadas, de acordo com o tipo de veículo conduzido: automóveis ligeiros, motociclos ou autocaravanas.

Na figura seguinte, apresentam-se os resultados obtidos relativos às idades, em anos, dos inquiridos, organizados nas classes [18,28[, [28,38[, [38,48[ e [48,58[.

Três gráficos de barras horizontais das idades dos inquiridos, nas classes [18,28[, [28,38[, [38,48[ e [48,58[: condutores de automóveis ligeiros com 25, 100, 50 e 25; condutores de motociclos com 40, 30, 30 e 20; condutores de autocaravanas com 10, 20, 30 e 20.

a) Apresente uma tabela de frequências absolutas simples e de frequências relativas simples para as idades, em anos, dos 400 condutores inquiridos, sem discriminação do tipo de veículo.

Na sua resposta:

mantenha as classes utilizadas;apresente as frequências relativas simples, em percentagem.

b) Na figura seguinte, apresentam-se os resultados relativos ao tempo de condução habitual, em horas, em viagens longas, até fazer a primeira pausa, de acordo com as respostas dadas pelos condutores ao questionário.

Gráfico de barras horizontais empilhadas do tempo de condução ininterrupta, em horas, por tipo de condutor, nas categorias de mais de 0 até 1, de mais de 1 até 2 e de mais de 2 até 3: automóveis ligeiros 30, 40 e 30 por cento; motociclos 30, 60 e 10 por cento; autocaravanas 10, 30 e 60 por cento.

Atendendo aos dados apresentados nas duas figuras anteriores, associe a cada tipologia de condutor apresentada na Coluna I as afirmações da Coluna II que lhe correspondem.

Cada um dos números, de 1 a 7, deve ser associado apenas a uma letra, e todos os números devem ser utilizados.

Escreva na folha de respostas cada uma das letras da Coluna I, seguida do(s) número(s) correspondente(s) da Coluna II.

Coluna I

(a) Condutores de automóveis ligeiros(b) Condutores de motociclos(c) Condutores de autocaravanas

Coluna II

(1) São os mais numerosos.(2) São os menos numerosos de entre os que perfazem mais de 2 horas de condução ininterrupta.(3) São aqueles em que mais de metade perfaz um tempo de condução ininterrupta superior a 2 horas.(4) São 36 os que perfazem um tempo de condução ininterrupta inferior, ou igual, a 1 hora.(5) São aqueles cuja classe modal das suas idades, em anos, é [18,28[.(6) São aqueles cujo primeiro quartil do tempo de condução ininterrupta, em horas, se situa em ]1,2].(7) São aqueles cuja mediana das suas idades, em anos, se situa em [38,48[.

Item 27 escolha múltiplaMACS · Exame 2024 · 2.ª Fase

Sala de Fuga é um jogo em que uma equipa, fechada numa sala ou num conjunto de salas, tem de resolver desafios, num intervalo de tempo limitado, para o conseguir concluir. Para ter sucesso e resolver os desafios, é necessário recorrer a diversas competências e apelar ao raciocínio lógico e à intuição.

Junto das equipas que concluíram o desafio de um jogo de Sala de Fuga, foi realizado um estudo estatístico relativo ao tempo, em minutos, que as mesmas demoraram para o concluir.

Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados recolhidos.

Tempo
(em minutos)		Número
de equipas		Frequência relativa
simples (%)		Frequência relativa
acumulada (%)
]0,10]x12{,}5
]10,20]y52{,}5
]20,30]60
]30,40]1270
]40,50]z
]50,60]7{,}5100

Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos espaços, (a), (b), (c) e (d), seguido da opção (1), (2) ou (3) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A variável estatística em estudo é uma variável (a).

De acordo com a informação disponível na tabela anterior, o valor de y é (b), o valor de z é (c), e o valor de x é (d).

  • (a)(1) qualitativa · (2) quantitativa discreta · (3) quantitativa contínua
  • (b)(1) 20 · (2) 30 · (3) 40
  • (c)(1) 80 · (2) 92{,}5 · (3) 97{,}7
  • (d)(1) 15 · (2) 17 · (3) 18
Item 28 construçãoMACS · Exame 2024 · Época especial

Um navio de cruzeiro, que atracou no Funchal para a passagem de ano, tinha a bordo 1200 turistas de diferentes nacionalidades, tendo cada um deles apenas uma nacionalidade.

Na tabela seguinte, está registado o número de turistas de nacionalidade X, de nacionalidade Y e de nacionalidade Z. Os turistas de outras nacionalidades foram contabilizados na categoria «Outra».

NacionalidadeNúmero de turistas
X180
Y350
Z210
Outra460

Na figura seguinte, apresentam-se organizados os dados referentes às alturas, em metros, dos turistas de nacionalidade X, dos turistas de nacionalidade Y e dos turistas de nacionalidade Z, respetivamente, num histograma de frequências relativas, num histograma de frequências absolutas e num histograma de frequências absolutas acumuladas.

Nos histogramas, as alturas estão organizadas nas classes [1{,}0;\,1{,}2[, [1{,}2;\,1{,}4[, …, [1{,}8;\,2{,}0[.

Três histogramas lado a lado das alturas, em metros, nas classes de 1,0 a 2,0 com amplitude 0,2. À esquerda, altura dos turistas de nacionalidade X, em frequência relativa, com as barras 0,05; 0,2; 0,45; 0,2 e 0,1. Ao centro, altura dos turistas de nacionalidade Y, em frequência absoluta, com as barras 25, 150, 100, 75 e 0. À direita, altura dos turistas de nacionalidade Z, em frequência absoluta acumulada, com as barras 0, 30, 110, 180 e 210.

Associe a cada uma das nacionalidades, apresentadas na Coluna I, as afirmações da Coluna II que lhe correspondem, considerando os dados apresentados na tabela e na figura anteriores.

Cada um dos números, de 1 a 7, deve ser associado apenas a uma letra, e todos os números devem ser utilizados.

Escreva na folha de respostas cada uma das letras da Coluna I, seguida do(s) número(s) correspondente(s) da Coluna II.

Coluna I

(a) X(b) Y(c) Z

Coluna II

(1) O turista mais baixo não pode ter esta nacionalidade.(2) Exatamente 70\% dos turistas que medem menos de 1{,}6 metros têm esta nacionalidade.(3) O maior número de turistas que medem pelo menos 1{,}6 metros tem esta nacionalidade.(4) Os turistas cujas alturas mais frequentes se situam na classe [1{,}2;\,1{,}4[ têm esta nacionalidade.(5) Exatamente metade dos turistas desta nacionalidade mede pelo menos 1{,}4 metros.(6) De entre os turistas que medem pelo menos 1{,}6 metros e menos de 1{,}8 metros, os desta nacionalidade são os menos numerosos.(7) Apenas 80 turistas cuja altura pertence à classe [1{,}4;\,1{,}6[ têm esta nacionalidade.

Item 29 construçãoMACS · Exame 2025 · 1.ª Fase

Numa praia frequentada pela Leonor, é possível realizar passeios de gaivota, de canoa ou de barco.

Na figura seguinte, apresenta-se a informação recolhida junto de 400 pessoas que realizaram, cada uma, apenas um dos passeios referidos e que tinham idades compreendidas entre os 18 e os 49 anos.

Painel com três gráficos. Em cima, pictograma do número de pessoas por tipo de passeio: gaivota 200, canoa 120 e barco 80. Ao meio, barras empilhadas da percentagem de pessoas por tipo de passeio e duração, em horas, nas categorias de mais de 0 até 1, de mais de 1 até 2 e de mais de 2 até 3: gaivota 50, 25 e 25 por cento; canoa 60, 30 e 10 por cento; barco 40, 20 e 40 por cento. Em baixo, gráfico de barras do número de pessoas por classe etária e tipo de passeio: em [18,26[ 80 gaivota, 28 canoa e 22 barco; em [26,34[ 80, 57 e 25; em [34,42[ 24, 27 e 25; em [42,50[ 16, 8 e 8.

a) Escreva na folha de respostas cada um dos espaços, (a), (b), (c) e (d), seguido da opção (1), (2) ou (3) selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

O número de pessoas que realizaram passeios com duração superior a duas horas foi (a). Dos passeios com duração inferior ou igual a uma hora, o que registou o maior número de pessoas foi o passeio de (b). No que respeita às pessoas que realizaram um passeio de barco, verifica-se que a mediana das suas idades pertence à classe (c), e que a percentagem das que têm idade inferior a 34 anos é igual a (d).

  • (a)(1) 94 · (2) 75 · (3) 68
  • (b)(1) barco · (2) canoa · (3) gaivota
  • (c)(1) [18,\,26[ · (2) [26,\,34[ · (3) [34,\,42[
  • (d)(1) 41{,}25\% · (2) 58{,}75\% · (3) 90\%

b) De acordo com os dados apresentados na figura anterior e mantendo as classes utilizadas, foi construída uma tabela de frequências relativas acumuladas para a idade das 400 pessoas. Qual é o valor da frequência relativa acumulada da classe [26,\,34[?

  • (A)0{,}33
  • (B)0{,}41
  • (C)0{,}67
  • (D)0{,}73
Item 30 construçãoMACS · Exame 2025 · 2.ª Fase

A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.

O V_{O_2\max}, que é o volume máximo de oxigénio que uma pessoa pode consumir durante a realização de exercícios intensos, será tanto maior quanto melhor for a condição física dessa pessoa. Constitui um indicador importante da capacidade aeróbica e da eficiência cardiovascular de uma pessoa, permitindo comparar o desempenho aeróbico de diferentes indivíduos, mesmo com diferentes massas corporais.

A unidade de medida do V_{O_2\max} é expressa em mililitros de oxigénio por quilograma de massa corporal, por minuto (\mathrm{mL\,kg^{-1}min^{-1}}).

a) Uma equipa estudou o valor do V_{O_2\max} dos utilizadores da aplicação AppCaminhadas, em função da idade, em anos.

Na figura seguinte, está representado o gráfico de percentis construído com base nos dados recolhidos.

Gráfico de percentis do volume máximo de oxigénio em função da idade, em anos, com quatro curvas rotuladas P95, P80, P60 e P40; aos 25 anos as curvas passam, de cima para baixo, por cerca de 55, 50, 45 e 40, e o ponto A de coordenadas (65, 40) está assinalado sobre a curva P80.

A localização do ponto A, de coordenadas (65,\,40), assinalado na figura anterior, permite-nos concluir que um utilizador da AppCaminhadas com 65 anos de idade e com um V_{O_2\max} de 40 \mathrm{mL\,kg^{-1}min^{-1}} se encontra no percentil 80. Ou seja, considerando-se os utilizadores da AppCaminhadas com 65 anos de idade, espera-se que, pelo menos, 80\% tenham um V_{O_2\max} inferior ou igual a 40 \mathrm{mL\,kg^{-1}min^{-1}}.

Numa amostra com 200 utilizadores da AppCaminhadas, com 25 anos de idade, qual é o número mínimo dos que se espera que tenham um valor de V_{O_2\max} inferior ou igual a 45 \mathrm{mL\,kg^{-1}min^{-1}}?

  • (A)190
  • (B)120
  • (C)90
  • (D)44

b) Foram recolhidos os valores do V_{O_2\max} (\mathrm{mL\,kg^{-1}min^{-1}}) de alguns dos utilizadores da aplicação AppCaminhadas no momento em que terminaram uma caminhada.

Os valores recolhidos foram organizados nas classes [10,20[, [20,30[, …, [50,60[, construindo-se, de seguida, um histograma de frequências relativas acumuladas, em percentagem, e um diagrama de extremos e quartis, que se apresentam na figura seguinte.

Histograma de frequências relativas acumuladas, em percentagem, com as barras 18, 48, 60, 80 e 100 nas classes [10,20[ a [50,60[, e, ao lado, um diagrama de extremos e quartis com mínimo x, primeiro quartil y, mediana 32, terceiro quartil 48 e máximo 58.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos espaços, (a), (b), (c) e (d), seguido da opção (1), (2) ou (3) selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

A classe modal dos dados recolhidos foi a classe (a), e a classe à qual corresponde o menor número de utilizadores foi a classe (b). No diagrama de extremos e quartis, um possível valor de x é (c), e um possível valor de y é (d).

  • (a)(1) [10,\,20[ · (2) [20,\,30[ · (3) [30,\,40[
  • (b)(1) [10,\,20[ · (2) [20,\,30[ · (3) [30,\,40[
  • (c)(1) 11 · (2) 9 · (3) 7
  • (d)(1) 31 · (2) 22 · (3) 18
Item 31 escolha múltiplaMACS · Exame 2025 · Época especial

As plataformas de Inteligência Artificial (IA) estão cada vez mais presentes no nosso quotidiano, oferecendo uma grande diversidade de recursos.

As plataformas de IA são utilizadas como ferramenta de trabalho para a realização de diversas tarefas.

A um conjunto de pessoas foi proposta a realização de uma tarefa, durante a qual poderiam aceder a plataformas de IA. Concluída a tarefa, registou-se o número de vezes, V, que cada uma das pessoas acedeu a plataformas de IA. Os dados recolhidos foram, posteriormente, agrupados nas classes [0,5[, [5,10[, …, [25,30[.

Na tabela seguinte, estão parcialmente registados esses dados.

Vn_iN_ifr_iFr_i
[0,5[30{,}02
[5,10[12p
[10,15[3q
[15,20[0{,}94
[20,25[r
[25,30[31

Legenda: n_i — frequência absoluta simples; N_i — frequência absoluta acumulada; fr_i — frequência relativa simples; Fr_i — frequência relativa acumulada.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos espaços, (a), (b), (c) e (d), seguido da opção (1), (2) ou (3) selecionada. A cada espaço corresponde uma só opção.

O valor de p é (a), o valor de q é (b) e o valor de r é (c). No total, integraram este estudo (d) pessoas.

  • (a)(1) 9 · (2) 12 · (3) 15
  • (b)(1) 0{,}02 · (2) 0{,}03 · (3) 0{,}04
  • (c)(1) 3 · (2) 6 · (3) 9
  • (d)(1) 147 · (2) 150 · (3) 153
Item 32 escolha múltiplaMACS · Exame 2026 · 2.ª Fase

Numa loja, cada bicicleta que está à venda é catalogada numa das categorias seguintes: Speed, Elétrica, BMX ou Dobrável.

Numa determinada semana, foram vendidas, nessa loja, 72 bicicletas.

No gráfico seguinte, encontra-se organizada, por categorias, a contagem das 62 bicicletas vendidas até ao penúltimo dia dessa semana.

Speed 18 Elétrica 16 BMX 16 Dobrável 12 categoria número de bicicletas 5 10 15
As 62 bicicletas vendidas até ao penúltimo dia da semana.

Considerando o conjunto das bicicletas vendidas no último dia dessa semana, o número de bicicletas da categoria Elétrica é o dobro do número de bicicletas da categoria Speed.

Considere que o conjunto de dados referentes a essa semana admite uma única moda, que é a categoria Elétrica.

Quantas bicicletas da categoria Speed foram vendidas no último dia?

  • (A)1
  • (B)2
  • (C)3
  • (D)4

Os três níveis do topo dão uma única percentagem, que se obtém somando as três linhas da tabela. Aplica-a depois à dimensão da amostra, que está no segundo parágrafo do enunciado.

  1. Os níveis 8, 9 e 10 correspondem, no total, a 4 + 1 + 1 = 6 \text{ por cento dos inquiridos.} As percentagens somam-se porque cada inquirido escolheu um só nível: as dez categorias são disjuntas e esgotam a amostra — e, de facto, as dez percentagens da tabela somam 100.
  2. A amostra tem 15 800 pessoas, logo 0{,}06 \times 15\,800 = 948 \text{ inquiridos.} A tabela dá frequências relativas; o item pede uma frequência absoluta. É a passagem que este item treina, e faz-se multiplicando pela dimensão da amostra.
Resposta948 inquiridos

O gráfico de 2001 está em percentagem — e é isso que o teu tem de estar, senão os dois não se podem comparar. Repara ainda que o gráfico modelo tem cinco barras, e não quatro: os votos brancos e nulos entram no total pelo qual se divide.

  1. O total de votos de 1997 é a soma dos votos dos quatro partidos com os brancos e nulos: 13\,442 + 8\,723 + 6\,033 + 1\,120 + 1\,258 = 30\,576. Os 1\,258 votos brancos e nulos entram no total. O gráfico modelo tem cinco barras, e as cinco percentagens têm de somar 100 — deixá-los de fora empolava as quatro percentagens dos partidos.
  2. Cada número de votos é uma frequência absoluta simples; a frequência relativa, em percentagem e arredondada às décimas, é \dfrac{13\,442}{30\,576} \times 100 \approx 44{,}0 \quad\text{e, do mesmo modo,}\quad 28{,}5;\ 19{,}7;\ 3{,}7;\ 4{,}1.
  3. Em quadro:
    ABCDBrancos e nulosTotal
    Número de votos13 4428 7236 0331 1201 25830 576
    Percentagem44,028,519,73,74,1100,0
    As cinco percentagens arredondadas somam exatamente 100{,}0: é a verificação. Quando um arredondamento faz a soma dar 99{,}9 ou 100{,}1, diz-se — não se corrige um valor à socapa.
  4. O gráfico de barras de 1997 desenha-se como o de 2001: as mesmas cinco categorias no eixo horizontal, pela mesma ordem, o mesmo eixo vertical em percentagem graduado de 10 em 10 até 50, e barras separadas de alturas 44{,}0, 28{,}5, 19{,}7, 3{,}7 e 4{,}1.Os sete mandatos em disputa não entram em nada: o item pede um gráfico de barras, e não a distribuição dos mandatos pelos partidos.
RespostaBarras de 44,0%, 28,5%, 19,7%, 3,7% e 4,1%, sobre um total de 30 576 votos

As alíneas a) e b) leem-se na tabela — na b), repara em que classes acabam antes de 5{,}5. Na c), a amplitude de cada classe é a amplitude da amostra a dividir por 7, arredondada de modo a que as sete classes cheguem para cobrir todos os dados; para a última exigência, pergunta-te se os novos extremos coincidem com algum dos extremos antigos.

  1. a) A variável é o comprimento, em centímetros, dos parafusos produzidos por aquela máquina. É uma variável quantitativa contínua, e é por isso que os dados aparecem agrupados em classes.
  2. b) Comprimento inferior a 5{,}5 cm são as cinco primeiras classes: 3+5+9+13+18 = 48 \text{ parafusos em } 100, \text{ ou seja } 48 \text{ por cento.} As classes são fechadas à esquerda e abertas à direita, por isso a classe [5{,}4; 5{,}5[ conta inteira e a classe seguinte não contribui com nada.
  3. c) A amplitude da amostra é a diferença entre o maior e o menor valor registados: 6{,}070 - 5{,}025 = 1{,}045 \text{ cm.}
  4. A amplitude de cada uma das 7 classes obtém-se dividindo por 7 e arredondando por excesso: \dfrac{1{,}045}{7} \approx 0{,}1493 \longrightarrow 0{,}15 \text{ cm.} Por excesso e nunca por defeito: com 0{,}14, as sete classes cobririam 7 \times 0{,}14 = 0{,}98 cm, menos do que a amplitude da amostra, e ficavam parafusos de fora. Com 0{,}15 cobrem 1{,}05 cm, que chega.
  5. Começando no menor valor registado, 5{,}025, as sete classes são [5{,}025; 5{,}175[,\ [5{,}175; 5{,}325[,\ [5{,}325; 5{,}475[,\ [5{,}475; 5{,}625[, [5{,}625; 5{,}775[,\ [5{,}775; 5{,}925[,\ [5{,}925; 6{,}075[. O maior valor, 6{,}070, cai na última, e o menor, 5{,}025, na primeira.
  6. Não é possível associar a cada uma destas classes a respetiva frequência absoluta. Os novos extremos — 5{,}175, 5{,}325, 5{,}475, … — caem dentro das classes antigas, e a tabela não diz como os dados se distribuem no interior de cada classe: dos 5 parafusos da classe [5{,}1; 5{,}2[ não se sabe quantos medem menos de 5{,}175 cm.Só os dados em bruto responderiam. Agrupar em classes é uma operação com perdas: depois de agrupados, os 100 comprimentos originais já não se recuperam da tabela.
Respostaa) O comprimento, em centímetros, dos parafusos.   b) 48%.   c) Sete classes de amplitude 0{,}15 cm, de [5{,}025; 5{,}175[ a [5{,}925; 6{,}075[, sem que seja possível indicar as frequências absolutas

As cinco fatias do círculo esgotam os inquiridos, logo as cinco percentagens somam 100. Escreve primeiro a de «Muito Bom» à custa da de «Insuficiente», que está no gráfico, e fica uma só incógnita.

  1. No gráfico leem-se «Insuficiente» 10%, «Suficiente» 35% e «Bom» 25%.
  2. A percentagem de «Muito Bom» é o dobro da de «Insuficiente»: 2 \times 10 = 20 \text{ por cento.}
  3. As cinco categorias esgotam os alunos inquiridos, logo as percentagens somam 100: 10 + 35 + 25 + 20 + x = 100 \iff x = 10. Os 300 jovens da amostra não entram na conta nenhuma vez: o item pede uma percentagem, não um número de alunos. Quem responder «30 alunos» respondeu a outra pergunta.
Resposta10% dos alunos inquiridos não responderam

Nenhum total te é dado: começa por somar as sete frequências absolutas, porque é esse número que divide tudo na alínea a). Na alínea b) não há nada para calcular — a altura de cada barra já está na coluna da direita da tabela.

  1. a) A turma tem 1+2+4+12+3+2+1 = 25 alunos.A dimensão da amostra não está escrita em lado nenhum do enunciado: obtém-se somando a coluna das frequências absolutas, e sem ela não há frequências relativas.
  2. Cada frequência absoluta dividida por 25 dá a frequência relativa simples: \dfrac{1}{25}=0{,}04; \quad \dfrac{2}{25}=0{,}08; \quad \dfrac{4}{25}=0{,}16; \quad \dfrac{12}{25}=0{,}48; \quad \dfrac{3}{25}=0{,}12; \quad \dfrac{2}{25}=0{,}08; \quad \dfrac{1}{25}=0{,}04.
  3. Somando-as sucessivamente vêm as frequências relativas acumuladas:
    N.º de mensagensN.º de alunosFrequência relativa simplesFrequência relativa acumulada
    1010{,}040{,}04
    1120{,}080{,}12
    1240{,}160{,}28
    13120{,}480{,}76
    1430{,}120{,}88
    1520{,}080{,}96
    1610{,}041
    Total251
    As duas casas decimais pedidas saem exatas: 25 divide bem todos os numeradores e nenhuma frequência precisa de arredondamento. A última acumulada tem de dar 1.
  4. b) O diagrama de barras tem, sobre os valores 10 a 16, barras separadas de alturas 1, 2, 4, 12, 3, 2 e 1, com o eixo horizontal rotulado «número de mensagens» e o vertical «número de alunos».Barras separadas, porque a variável é discreta: um histograma, de barras encostadas, é para dados agrupados em classes.
Respostaa) Frequências relativas simples 0{,}04; 0{,}08; 0{,}16; 0{,}48; 0{,}12; 0{,}08 e 0{,}04; acumuladas 0{,}04; 0{,}12; 0{,}28; 0{,}76; 0{,}88; 0{,}96 e 1.   b) Barras de alturas 1, 2, 4, 12, 3, 2 e 1 sobre os valores 10 a 16

A linha dada é de frequências absolutas acumuladas: o 78 já é a primeira frequência simples, e cada uma das seguintes obtém-se subtraindo a anterior. O último valor acumulado, 200, é a dimensão da amostra e é por ele que se divide.

  1. As frequências absolutas simples obtêm-se por diferenças sucessivas: 78; \quad 166-78=88; \quad 184-166=18; \quad 196-184=12; \quad 200-196=4. As frequências acumuladas nunca decrescem, e a última é o total. Uma diferença negativa entre duas colunas seguidas denunciava logo um erro de leitura.
  2. Dividindo cada uma pelos 200 sócios vêm as frequências relativas simples: \dfrac{78}{200}=0{,}39; \quad \dfrac{88}{200}=0{,}44; \quad \dfrac{18}{200}=0{,}09; \quad \dfrac{12}{200}=0{,}06; \quad \dfrac{4}{200}=0{,}02.
  3. Por somas sucessivas obtêm-se as frequências relativas acumuladas: 0{,}39; 0{,}83; 0{,}92; 0{,}98; 1.
  4. A tabela pedida:
    Número de filhos12345Total
    Frequência absoluta simples788818124200
    Frequência absoluta acumulada78166184196200
    Frequência relativa simples0{,}390{,}440{,}090{,}060{,}021
    Frequência relativa acumulada0{,}390{,}830{,}920{,}981
    Os valores das frequências relativas saem exatos, sem arredondamento: 200 divide bem todos os numeradores. E a última acumulada é 1, como tem de ser.
RespostaFrequências absolutas simples 78, 88, 18, 12 e 4; relativas simples 0{,}39; 0{,}44; 0{,}09; 0{,}06 e 0{,}02; relativas acumuladas 0{,}39; 0{,}83; 0{,}92; 0{,}98 e 1

Antes de desenhar seja o que for, conta: percorre os 40 valores uma única vez, marcando cada um na linha do seu valor, e confirma no fim que as contagens somam 40. Repara também nos valores que não aparecem nenhuma vez — a variável é discreta e eles têm lugar no eixo.

  1. Contam-se os 40 valores da tabela, valor a valor, e organizam-se numa tabela de frequências absolutas simples:
    Número de cafés012345678Total
    Número de dias49778300240
    A soma das frequências absolutas tem de ser 40, a dimensão da amostra. Fazer esta soma é a única maneira de apanhar um valor contado a mais ou a menos.
  2. O diagrama de barras representa cada valor da variável no eixo horizontal e a respetiva frequência absoluta na altura da barra: barras de altura 4, 9, 7, 7, 8, 3, 0, 0 e 2 sobre os valores 0 a 8.
  3. As barras desenham-se separadas umas das outras, com o eixo horizontal rotulado «número de cafés» e o vertical «número de dias».Os valores 6 e 7 não ocorrem, mas ficam no eixo com barra de altura zero: a escala do eixo é a da variável, não a dos valores observados. Saltá-los encostava o 8 ao 5 e deformava a distribuição. E as barras ficam separadas porque a variável é discreta — encostadas, o desenho passaria por um histograma.
RespostaFrequências absolutas 4, 9, 7, 7, 8, 3, 0, 0 e 2, num total de 40 dias; o diagrama de barras tem estas alturas sobre os valores 0 a 8

O histograma é de frequências absolutas acumuladas: a última barra dá-te a dimensão da amostra e as diferenças entre barras consecutivas dão-te as frequências absolutas simples. Só depois de teres essas é que se divide pelo total.

  1. O histograma é acumulado, por isso a última barra é o total: a Maria pesou 60 saquetas.
  2. As frequências absolutas simples obtêm-se por diferenças sucessivas entre as barras: 24; \quad 36-24=12; \quad 54-36=18; \quad 57-54=3; \quad 60-57=3. A primeira classe não se subtrai a nada: a acumulada da primeira classe já é a sua frequência simples.
  3. Dividindo cada uma pelas 60 saquetas obtêm-se as frequências relativas simples: \dfrac{24}{60}=0{,}4; \quad \dfrac{12}{60}=0{,}2; \quad \dfrac{18}{60}=0{,}3; \quad \dfrac{3}{60}=0{,}05; \quad \dfrac{3}{60}=0{,}05.
  4. Somando-as sucessivamente vêm as frequências relativas acumuladas: 0{,}4; 0{,}6; 0{,}9; 0{,}95; 1.
  5. A tabela pedida:
    Massa (g)Frequência absoluta simplesFrequência relativa simplesFrequência relativa acumulada
    [5{,}8; 5{,}9[240{,}40{,}4
    [5{,}9; 6{,}0[120{,}20{,}6
    [6{,}0; 6{,}1[180{,}30{,}9
    [6{,}1; 6{,}2[30{,}050{,}95
    [6{,}2; 6{,}3[30{,}051
    Total601
    A última frequência relativa acumulada tem de dar exatamente 1, e a coluna das absolutas simples tem de somar 60. É a verificação da tabela inteira: se falhar, uma das subtrações do segundo passo está errada.
RespostaFrequências absolutas simples 24, 12, 18, 3 e 3, num total de 60 saquetas; relativas simples 0{,}4; 0{,}2; 0{,}3; 0{,}05 e 0{,}05; relativas acumuladas 0{,}4; 0{,}6; 0{,}9; 0{,}95 e 1

Num gráfico circular a amplitude de cada setor é proporcional à frequência que ele representa: a volta inteira, 360 graus, corresponde aos 200 inquiridos. Escreve essa proporção para o setor dos três exames e o resto sai da própria tabela.

  1. A volta inteira, de 360 graus, corresponde aos 200 encartados inquiridos, e o setor dos três exames tem 27 graus. Da proporcionalidade entre a amplitude do setor e a frequência absoluta: \dfrac{a}{200} = \dfrac{27}{360}. O gráfico circular está aqui apenas para ser lido: a Matemática A do 10.º ano não pede que se construa. Tudo o que dele se usa é esta proporcionalidade.
  2. Resolvendo, a = \dfrac{27 \times 200}{360} = 15.
  3. Os quatro valores esgotam os 200 inquiridos: b = 200 - 130 - 50 - 15 = 5. Confere com o desenho: 15 em 200 são 7{,}5 por cento e 5 em 200 são 2{,}5 por cento — os dois setores mais pequenos, tal como aparecem na figura.
Respostaa = 15 e b = 5

Os dois meses estão em unidades diferentes: abril vem em número de dias e novembro em percentagem acumulada. Converte novembro para dias antes de comparar — e repara que o número de dias do mês faz falta à conta.

  1. Abril. Gastar menos de 10 euros é cair na classe [0,5[ ou na classe [5,10[: 3 + 9 = 12 \text{ dias.} As classes são fechadas à esquerda e abertas à direita, por isso a classe [5,10[ conta inteira para «inferior a 10 euros» e a seguinte não conta nada.
  2. Novembro. O histograma é de frequências relativas acumuladas: a barra da classe [5,10[ chega a 30%, e isso significa que em 30% dos dias o gasto foi inferior a 10 euros.Numa frequência acumulada, a barra de uma classe já traz as anteriores. Os 30% são a percentagem de dias com gasto inferior a 10 euros; a classe [5,10[, sozinha, vale 30 - 10 = 20 por cento.
  3. Novembro tem 30 dias, logo 0{,}30 \times 30 = 9 \text{ dias.}
  4. Em abril foram 12 dias e em novembro 9 dias. Como 12 \neq 9, a afirmação é falsa.
RespostaO Sr. Pereira não tem razão: em abril foram 12 dias e em novembro 9

As barras do gráfico não são números de utilizadores: são variações em relação ao dia imediatamente anterior. Para a segunda-feira da terceira semana, esse dia anterior é o domingo da segunda semana — e esse só está na tabela. É aí que a cadeia começa.

  1. O último dia registado na tabela é o domingo da 2.ª semana, com 288 utilizadores.A barra de -45 da segunda-feira mede-se a partir do dia imediatamente anterior, que é este domingo. Sem ele a cadeia não arranca — e é a única razão para a tabela estar no enunciado.
  2. Segunda-feira da 3.ª semana: 288 - 45 = 243 utilizadores.
  3. Terça-feira: 243 + 10 = 253 utilizadores.
  4. Quarta-feira: 253 + k utilizadores.
  5. O total dos três dias é 734: 243 + 253 + (253 + k) = 734 \iff 749 + k = 734 \iff k = -15. O sinal confere com o desenho: a barra da quarta-feira está abaixo do eixo, e é pequena.
Respostak = -15

Só uma linha da tabela tem as duas colunas preenchidas ao mesmo tempo — o número de alunos e a percentagem que lhe corresponde. É dessa linha que sai o total da amostra, e com o total todas as outras células se calculam.

  1. A classe [10,20[ tem 144 alunos, que são 12% do total. Sendo n o número de alunos inquiridos, 0{,}12\,n = 144 \iff n = \dfrac{144}{0{,}12} = 1200.
  2. A classe [20,30[ tem 336 alunos, ou seja \dfrac{336}{1200} \times 100 = 28 \text{ por cento.}
  3. A classe [30,40[ é a última: a sua frequência relativa acumulada é 100%. Como a acumulada da classe anterior é 65%, a sua frequência relativa simples é 100 - 65 = 35 por cento.É para isto que serve a coluna acumulada. A última classe fecha sempre em 100%, e a diferença para os 65% é a frequência relativa simples da classe que falta — mais nada.
  4. As quatro frequências relativas simples somam 100%: a = 100 - 12 - 28 - 35 = 25.
Respostaa = 25, isto é, 25%

Só o lado das raparigas conta, e «pelo menos três vezes» junta três barras — a de 3, a de 4 e a de 5. O denominador é o das 350 raparigas, e não o dos 500 alunos inquiridos.

  1. Do lado das raparigas, as barras de 3, 4 e 5 idas ao cinema valem 106, 60 e 43. Foram, pelo menos, três vezes: 106 + 60 + 43 = 209 \text{ raparigas.} «Pelo menos três» inclui o próprio 3. Deixar a barra de 106 de fora dá 103 raparigas e \dfrac{103}{350} \times 100 \approx 29{,}4, que é exatamente a opção (A).
  2. A percentagem, em 350 raparigas, é \dfrac{209}{350} \times 100 = 59{,}71\ldots \approx 59{,}7. A opção (B) é a distribuição complementar: as 32+46+63 = 141 raparigas que foram menos de três vezes dão \dfrac{141}{350} \times 100 \approx 40{,}3. Repara que 59{,}7 + 40{,}3 = 100 — as duas opções estão lá para se apanhar quem responda à pergunta trocada.
RespostaOpção (C), 59{,}7

De toda a tabela só interessa a linha do filme D, e o valor que lá está vem em milhares — converte-o primeiro. Depois repara que o gráfico só é preciso para uma das quatro barras: as duas primeiras semanas obtêm-se do total, por subtração.

  1. O filme D teve 13 milhares de espectadores nas quatro semanas de exibição, isto é, 13\,000 espectadores.A coluna diz «em milhares»: quem trabalhar com 13 em vez de 13\,000 obtém percentagens certas e números de pessoas absurdos.
  2. A 4.ª semana corresponde a 5% do total: 0{,}05 \times 13\,000 = 650 \text{ espectadores.}
  3. Na 3.ª semana foram 3250 espectadores, valor dado no enunciado.
  4. As duas primeiras semanas são o que sobra do total: 13\,000 - 650 - 3250 = 9100. O gráfico está incompleto de propósito. As barras da 1.ª e da 2.ª semana não têm valor escrito e não é preciso lê-las: quem fecha a conta é o total das quatro semanas.
Resposta9100 espectadores

A primeira classe é a chave da tabela toda: nela a frequência relativa acumulada ainda não acumulou nada e coincide com a simples, e ao lado está a frequência absoluta correspondente. Dessas duas células sai o número total de larvas — e sem ele nenhuma outra célula se calcula.

  1. Na classe [0,5[ a frequência relativa acumulada coincide com a simples, porque não há classes antes dela. Logo, sendo n o número total de larvas, \dfrac{3}{n} = 0{,}015 \iff n = \dfrac{3}{0{,}015} = 200. É o único ponto de entrada da tabela. A coluna do meio e a coluna da direita só se ligam através do total, e o total só se obtém aqui.
  2. A frequência relativa simples de [5,10[ é \dfrac{15}{200} = 0{,}075, e a acumulada é a anterior mais esta: a = 0{,}015 + 0{,}075 = 0{,}09.
  3. A classe [30,35[ tem 5 larvas, ou seja frequência relativa simples \dfrac{5}{200} = 0{,}025. Como a acumulada acaba em 1, a acumulada de [25,30[ é 1 - 0{,}025 = 0{,}975.
  4. A frequência relativa simples de [25,30[ é então 0{,}975 - 0{,}9 = 0{,}075, e b = 0{,}075 \times 200 = 15. Subtrai-se sempre na coluna acumulada, nunca na coluna das simples: a subtração é a operação inversa da acumulação. O 0{,}9 é a proporção de larvas com massa inferior a 25 gramas — não é a frequência da classe [20,25[.
Respostaa = 0{,}09 e b = 15

Os dois histogramas não se leem da mesma maneira: o do Continente é de frequências simples, o das ilhas é acumulado. Passa o segundo a frequências simples antes de somar seja o que for — e a operação que desfaz uma acumulação é a subtração entre barras consecutivas.

  1. Do primeiro histograma leem-se, diretamente, as frequências absolutas simples do Continente: 16, 24, 8, 32 e 20, que somam 100 sessões.
  2. O segundo histograma é acumulado: 12, 30, 38, 44 e 50. As frequências simples das ilhas obtêm-se por diferenças sucessivas: 12; \quad 30-12=18; \quad 38-30=8; \quad 44-38=6; \quad 50-44=6. Numa frequência acumulada, a barra de cada classe já contém as anteriores; a diferença entre duas barras consecutivas devolve a classe sozinha. A última barra vale 50, que é o total das sessões das ilhas: é a verificação de que a leitura está certa.
  3. Somam-se as duas colunas, classe a classe: 16+12=28; \quad 24+18=42; \quad 8+8=16; \quad 32+6=38; \quad 20+6=26.
  4. A tabela pedida:
    Número de espectadoresFrequência absoluta simples
    [100,150[28
    [150,200[42
    [200,250[16
    [250,300[38
    [300,350[26
    Total150
    O total tem de dar 150, que são as 100 sessões do Continente mais as 50 das ilhas. Se não desse, uma das subtrações do passo anterior estava errada.
Resposta28, 42, 16, 38 e 26 sessões, num total de 150

Na alínea a), o caule-e-folhas já traz os tempos ordenados: conta os que ficam abaixo de 54 minutos, que são menos, e tira os restantes por diferença. Na alínea b), separa os dois géneros antes de fazer contas — cada histograma tem o seu total, e os 682 atletas são a soma das duas partes.

  1. a) No caule-e-folhas, os tempos inferiores a 54 minutos são 46, 48, 48 (caule 4) e 50, 50, 50 (caule 5): são 6 atletas.Conta-se o lado mais curto. E o 54 conta para «pelo menos 54 minutos»: é o que a expressão significa.
  2. Logo com um tempo de, pelo menos, 54 minutos há 20 - 6 = 14 atletas, e a percentagem é \dfrac{14}{20} \times 100 = 70.
  3. b) Atletas do género feminino: 1600 - 1300 = 300.
  4. No histograma feminino, as classes [20,30[ e [30,40[ dão 23 + 44 = 67 por cento das atletas com idade inferior a 40 anos, ou seja 300 \times 0{,}67 = 201 atletas.As duas percentagens somam-se sem mais porque a classe [30,40[ acaba exatamente em 40 — não é preciso repartir nada dentro de uma classe.
  5. Dos 682 atletas com idade inferior a 40 anos, os do género masculino são 682 - 201 = 481.
  6. No histograma masculino, a classe [20,30[ vale 15 por cento de 1300, isto é 1300 \times 0{,}15 = 195 atletas. Logo na classe [30,40[ há 481 - 195 = 286 atletas.
  7. Por fim, a = \dfrac{286}{1300} \times 100 = 22.O erro que este item apanha é aplicar os 67% do histograma feminino ao total de 1600 participantes. Os dois histogramas são de frequências relativas simples e têm bases diferentes: 300 atletas num, 1300 no outro.
Respostaa) Opção (D), 70%.   b) a = 22, isto é, 22%

A afirmação fala em número de testes e o gráfico dá percentagens. Como o total de testes de 2015 é diferente do de 2017, a percentagem e o número podem variar em sentidos contrários: converte cada percentagem no número de testes que lhe corresponde, com o total do respetivo ano, e compara os dois números.

  1. Ler a figura. Com latência inferior a 34 ms: 57{,}5\% dos testes em 2015 e 54{,}7\% em 2017.
  2. Ler a tabela. Realizaram-se 12\,000 testes em 2015 e 15\,000 em 2017.
  3. Converter em número de testes. Em 2015, 0{,}575 \times 12\,000 = 6900 testes. Em 2017, 0{,}547 \times 15\,000 = 8205 testes.
  4. De 6900 para 8205 houve um aumento de 1305 testes: a afirmação é falsa.A percentagem desceu (57{,}5\% para 54{,}7\%) e o número subiu, porque o total de testes cresceu de 12\,000 para 15\,000. Uma frequência relativa só se compara com outra quando as duas dimensões são iguais — é o erro de leitura que este item existe para apanhar. O valor a da tabela não é preciso.
RespostaFalsa: o número de testes com latência inferior a 34 ms passou de 6900, em 2015, para 8205, em 2017 — aumentou, apesar de a percentagem ter descido

Converte primeiro os 645 alunos em percentagem do total: isso já elimina metade das opções. Para separar as duas que sobram, calcula quanto tem de sobrar para os sectores Poupança e Saúde, depois de descontar o ambiente e os outros motivos.

  1. A percentagem do ambiente. \dfrac{645}{1500} \times 100 = 43\%.
  2. Isso elimina as opções (A) e (C), que marcam 40\% no sector Ambiente.
  3. O que sobra para Poupança e Saúde. 100 - 43 - 4 = 53\%.
  4. Na opção (B), 35 + 20 = 55 \neq 53. Na opção (D), 35 + 18 = 53.Nenhuma das quatro opções rotula os quatro sectores: com dois rótulos por gráfico, é a soma que decide. Estimar a olho a amplitude dos sectores não distingue (B) de (D) — 2\% de um círculo são pouco mais de 7 graus.
RespostaOpção (D)

O histograma dá frequências acumuladas e a tabela dá frequências simples: são escalas diferentes e não se somam. Desacumula primeiro o histograma — cada barra menos a anterior —, soma então as duas regiões classe a classe, divide pelos 250 funcionários e só no fim volta a acumular.

  1. Desacumular o histograma. De 15, 75, 120, 140 e 150, as diferenças sucessivas dão 15, 60, 45, 20 e 10 funcionários de Lisboa e Vale do Tejo — num total de 150.
  2. Juntar as duas regiões. 15+30 = 45; 60+25 = 85; 45+30 = 75; 20+10 = 30; 10+5 = 15. O total é 250.Somar o histograma acumulado (15, 75, …) com a tabela simples (30, 25, …) daria uma coluna sem significado nenhum. As duas representações só se juntam depois de estarem no mesmo tipo de frequência.
  3. Frequências relativas simples. Dividindo por 250: 0{,}18; 0{,}34; 0{,}30; 0{,}12; 0{,}06.
  4. Acumular. 0{,}18; 0{,}18+0{,}34 = 0{,}52; 0{,}52+0{,}30 = 0{,}82; 0{,}82+0{,}12 = 0{,}94; 0{,}94+0{,}06 = 1.
    Idade[18,28[[28,38[[38,48[[48,58[[58,68[
    N.º de funcionários4585753015
    Freq. relativa acumulada0{,}180{,}520{,}820{,}941
    A última frequência relativa acumulada é sempre 1: é a verificação da tabela toda. A prova de MACS tinha aqui outra alínea, que pedia a amplitude do ângulo ao centro de um sector de um gráfico circular — matéria que não consta das Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano, e que por isso não foi reproduzida.
Resposta[18,28[: 0{,}18 · [28,38[: 0{,}52 · [38,48[: 0{,}82 · [48,58[: 0{,}94 · [58,68[: 1

Os dois histogramas não estão na mesma escala: o primeiro dá frequências simples e o segundo frequências acumuladas. Antes de somar seja o que for, converte o segundo em frequências simples, subtraindo cada barra da anterior — e só depois soma classe a classe.

  1. «A sua tarde na OnOfff». O histograma já dá frequências simples, e o enunciado fixa a = 26: 18, 26, 6, 32 e 16 respostas, num total de 98.A barra rotulada a está desenhada à altura 28, mas o enunciado manda considerar a = 26: é o enunciado que manda, não o desenho.
  2. «OnOfff night». As frequências absolutas acumuladas são 11, 27, 41, 42 e 50. Por diferenças sucessivas: 11, 27-11 = 16, 41-27 = 14, 42-41 = 1 e 50-42 = 8, num total de 50.
  3. Somar classe a classe. 18+11 = 29; 26+16 = 42; 6+14 = 20; 32+1 = 33; 16+8 = 24.
    IMC[14,18[[18,22[[22,26[[26,30[[30,34[Total
    N.º de respostas2942203324148
  4. Verificação. 98 + 50 = 148, que é a soma da linha da tabela.A última barra de um histograma de frequências acumuladas dá sempre o total do conjunto: os 50 do segundo programa leem-se diretamente, sem contas.
Resposta[14,18[: 29 · [18,22[: 42 · [22,26[: 20 · [26,30[: 33 · [30,34[: 24, num total de 148 respostas

O gráfico não diz quantas viagens se venderam em cada mês — só como se repartem, dentro de cada mês, entre destino nacional e internacional. Os números de viagens por mês saem das duas condições do enunciado, e só no fim é que a percentagem de setembro entra.

  1. Agosto. São 48\% das 500 viagens: 0{,}48 \times 500 = 240 viagens.
  2. Julho. Metade de agosto: \dfrac{240}{2} = 120 viagens.
  3. Setembro. O que resta do trimestre: 500 - 240 - 120 = 140 viagens.
  4. Destino internacional em setembro. O gráfico dá 75\% para setembro: 0{,}75 \times 140 = 105 viagens.As percentagens do gráfico são dentro de cada mês e somam 100\% em cada barra — não se aplicam ao total do trimestre. Aplicar os 75\% às 500 viagens daria 375, que é o erro que o gráfico convida a cometer.
RespostaEm setembro venderam-se 105 viagens para destino internacional

A percentagem que o gráfico circular mostra é dos lugares ocupados, não dos lugares existentes: começa por a converter em número de lugares. Depois repara que a pergunta compara os automóveis ocupados com os 125 lugares de automóvel — e não com os 200 lugares ocupados nem com os 380 do parque.

  1. Lugares ocupados por tendas. O gráfico dá 70\% dos 200 lugares ocupados: 0{,}70 \times 200 = 140 lugares.
  2. Lugares ocupados por automóveis. Dos 200 ocupados, 140 são de tendas e 20 de autocaravanas, logo 200 - 140 - 20 = 40 são de automóveis.
  3. A percentagem pedida. Existem 125 lugares para automóveis, e 40 estão ocupados: \dfrac{40}{125} = 0{,}32, ou seja 32\%.O denominador é a armadilha do item. Com os 200 lugares ocupados obtinha-se 20\%, e com os 380 do parque cerca de 10{,}5\%: a pergunta diz «relativamente ao número de lugares existentes para os estacionar», e esse número é 125.
Resposta32\% dos lugares de automóvel estavam ocupados

Da tabela só interessa a segunda temperatura de cada célula, a máxima. Escreve os sete valores em linha e calcula as seis diferenças entre cada dia e o dia anterior — não em relação ao domingo, nem à média. Depois compara essas seis diferenças com as barras de cada opção, começando pelos dias em que os quatro gráficos discordam.

  1. As temperaturas máximas. De domingo a sábado: 26, 23, 28, 29, 29, 28 e 26 graus Celsius.
  2. As variações em relação ao dia anterior. Segunda: 23 - 26 = -3. Terça: 28 - 23 = 5. Quarta: 29 - 28 = 1. Quinta: 29 - 29 = 0. Sexta: 28 - 29 = -1. Sábado: 26 - 28 = -2.A variação de segunda-feira compara-se com o domingo, que está na tabela mas não aparece no gráfico: por isso o gráfico tem seis barras e a tabela sete dias.
  3. Comparar com as opções. As quatro coincidem de terça a quinta (5, 1, 0) e separam-se em segunda, sexta e sábado. A opção (C) dá -2 na segunda, a (A) dá -2 na sexta e a (B) dá -1 no sábado.
  4. Só a opção (D) tem -3, 5, 1, 0, -1 e -2.
RespostaOpção (D)

Os dois histogramas falam do mesmo conjunto de clientes: as duas primeiras barras da esquerda (29 e 116 clientes) são exatamente os 25\% que a segunda barra da direita marca. Essa igualdade dá o número total de clientes, e com o total todas as outras incógnitas se convertem de uma escala para a outra.

  1. A percentagem da classe ]20,30]. É a subida da acumulada de uma barra para a seguinte: 40 - 25 = 15\%.
  2. O total de clientes. As duas primeiras classes têm 29 + 116 = 145 clientes e correspondem a 25\% do total: n = \dfrac{145 \times 100}{25} = 580 clientes.É a ponte entre os dois histogramas. Sem ela ficamos com números de clientes de um lado e percentagens do outro, e não há como comparar.
  3. O valor de z. A primeira classe tem 29 clientes em 580: z = \dfrac{29 \times 100}{580} = 5, ou seja 5\%.
  4. O valor de x. A última classe vale 100 - 90 = 10\% e, por hipótese, a classe ]40,50] tem a mesma frequência, logo também vale 10\%: x = 90 - 10 = 80.
  5. O valor de y. É a frequência absoluta da última classe: y = 0{,}10 \times 580 = 58 clientes.
  6. Verificação. As barras sem rótulo do histograma da esquerda ficam 0{,}15 \times 580 = 87 e 0{,}40 \times 580 = 232, e a soma 29+116+87+232+58+58 = 580 fecha.
Resposta(a) → (1) 15\% · (b) → (1) 5 · (c) → (2) 80 · (d) → (3) 58

Para a alínea a) basta somar, classe a classe, as três barras da primeira figura — e a soma final tem de dar 400. Para a alínea b) precisas dos totais de cada tipo de condutor (200, 120 e 80), porque as percentagens da segunda figura são dentro de cada tipo: só depois de as converteres em condutores podes comparar as três tipologias.

  1. a) Somar as três barras de cada classe. 25+40+10 = 75; 100+30+20 = 150; 50+30+30 = 110; 25+20+20 = 65. O total é 400, como deve ser.
  2. As frequências relativas simples obtêm-se dividindo por 400:
    Idade (anos)[18,28[[28,38[[38,48[[48,58[Total
    N.º de condutores7515011065400
    Frequência relativa18{,}75\%37{,}5\%27{,}5\%16{,}25\%100\%
    As quatro percentagens somam 100\%: é a verificação que se faz sempre no fim de uma tabela de frequências relativas.
  3. b) Os totais por tipo. 25+100+50+25 = 200 ligeiros, 40+30+30+20 = 120 motociclos e 10+20+30+20 = 80 autocaravanas. Os mais numerosos são os condutores de automóveis ligeiros: (1).
  4. (2) e (3). Com mais de 2 horas: 200 \times 0{,}30 = 60 ligeiros, 120 \times 0{,}10 = 12 motociclos e 80 \times 0{,}60 = 48 autocaravanas. Os menos numerosos são os motociclos — (2). Em percentagem, só as autocaravanas passam de metade, com 60\% — (3).As duas afirmações usam os mesmos três números e dão respostas diferentes: uma pergunta por quantos, a outra por que fração. É a distinção entre frequência absoluta e frequência relativa, e é ela que o item testa.
  5. (4). Até 1 hora: 200 \times 0{,}30 = 60, 120 \times 0{,}30 = 36 e 80 \times 0{,}10 = 8. Os 36 são os motociclos.
  6. (5). A classe modal das idades é [28,38[ nos ligeiros (100), [18,28[ nos motociclos (40) e [38,48[ nas autocaravanas (30). É a dos motociclos.
  7. (6). O primeiro quartil deixa 25\% dos dados abaixo. Nos ligeiros e nos motociclos, a classe ]0,1] já tem 30\%, e o quartil cai lá; nas autocaravanas só tem 10\%, e a acumulada só chega a 40\% em ]1,2]. São as autocaravanas.
  8. (7). As frequências acumuladas das idades são 25, 125 nos ligeiros (de 200), 40, 70 nos motociclos (de 120) e 10, 30, 60 nas autocaravanas (de 80). Os valores centrais caem em [28,38[ nos dois primeiros e em [38,48[ nas autocaravanas.
Respostaa) [18,28[: 75 (18{,}75\%); [28,38[: 150 (37{,}5\%); [38,48[: 110 (27{,}5\%); [48,58[: 65 (16{,}25\%). b) (a) ligeiros → (1) · (b) motociclos → (2), (4), (5) · (c) autocaravanas → (3), (6), (7)

Duas colunas chegam para tudo: numa frequência relativa acumulada, a diferença entre duas linhas consecutivas é a frequência relativa simples da segunda. Aplica isso à linha que tem, ao mesmo tempo, o número de equipas (12) e as duas acumuladas que a rodeiam — daí sai o total, e do total sai o x.

  1. A variável. O tempo pode tomar qualquer valor num intervalo, e é isso que justifica os dados estarem agrupados em classes: é uma variável quantitativa contínua.
  2. O valor de y. É a frequência relativa simples da classe ]10,20]: y = 52{,}5 - 12{,}5 = 40.
  3. O valor de z. A última classe tem 7{,}5\% e a acumulada fecha em 100\%, logo z = 100 - 7{,}5 = 92{,}5.
  4. O total de equipas. A classe ]30,40] tem frequência relativa simples 70 - 60 = 10\% e 12 equipas, logo o total é \dfrac{12}{0{,}10} = 120 equipas.É a única linha da tabela em que se conhecem, ao mesmo tempo, uma frequência absoluta e a percentagem que lhe corresponde — é sempre daí que se descobre a dimensão da amostra.
  5. O valor de x. A primeira classe tem 12{,}5\% das 120 equipas: x = 0{,}125 \times 120 = 15.
  6. Verificação. As frequências relativas simples são 12{,}5, 40, 7{,}5, 10, 22{,}5 e 7{,}5, em percentagem, e somam 100\%.
Resposta(a) → (3) quantitativa contínua · (b) → (3) 40 · (c) → (2) 92{,}5 · (d) → (1) 15

Os três histogramas estão em escalas diferentes — relativa, absoluta e absoluta acumulada — e nada se compara antes de os pôr todos na mesma moeda. Converte tudo para número de turistas por classe: em X multiplica cada frequência relativa pelos 180 turistas da tabela; em Y lê diretamente; em Z subtrai cada barra da anterior. Só depois testa as sete afirmações.

  1. Pôr os três na mesma moeda. Em X, 0{,}05 \times 180 = 9, 0{,}2 \times 180 = 36, 0{,}45 \times 180 = 81, 0{,}2 \times 180 = 36 e 0{,}1 \times 180 = 18. Em Z, as diferenças sucessivas de 0, 30, 110, 180 e 210 dão 0, 30, 80, 70 e 30.
    Altura (m)[1{,}0;\,1{,}2[[1{,}2;\,1{,}4[[1{,}4;\,1{,}6[[1{,}6;\,1{,}8[[1{,}8;\,2{,}0[Total
    X936813618180
    Y25150100750350
    Z030807030210
    Os totais 180, 350 e 210 batem certo com a tabela das nacionalidades: é a prova de que as três leituras estão corretas antes de se comparar seja o que for.
  2. (1) Só Z tem 0 turistas na classe mais baixa, [1{,}0;\,1{,}2[. O turista mais baixo não pode ser de Z.
  3. (2) Turistas com menos de 1{,}6 metros, em cada nacionalidade: \dfrac{9+36+81}{180} = 70\% em X, \dfrac{275}{350} \approx 78{,}6\% em Y e \dfrac{110}{210} \approx 52{,}4\% em Z. É X.
  4. (3) Com pelo menos 1{,}6 metros: 36+18 = 54 em X, 75+0 = 75 em Y e 70+30 = 100 em Z. O maior número é o de Z.
  5. (4) A classe mais frequente é [1{,}4;\,1{,}6[ em X (81) e em Z (80), e [1{,}2;\,1{,}4[ em Y (150). É Y.
  6. (5) Com pelo menos 1{,}4 metros: \dfrac{135}{180} = 75\% em X, \dfrac{175}{350} = 50\% em Y e \dfrac{180}{210} \approx 85{,}7\% em Z. Exatamente metade é Y.
  7. (6) Na classe [1{,}6;\,1{,}8[: 36 em X, 75 em Y e 70 em Z. Os menos numerosos são os de X.
  8. (7) Na classe [1{,}4;\,1{,}6[: 81 em X, 100 em Y e 80 em Z. Os 80 são de Z.Note-se a diferença entre 81 e 80: a afirmação diz «apenas 80», e é por um turista que X não serve. Numa associação em que todos os números têm de ser usados, é preciso conferir cada valor, não estimar a altura da barra.
  9. Sobram três afirmações para Z — (1), (3) e (7) —, duas para X e duas para Y, e todos os números de 1 a 7 ficam usados uma só vez.A prova de MACS tinha aqui outra alínea, que pedia a amplitude do ângulo ao centro de um sector de um gráfico circular — matéria que não consta das Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano, e que por isso não foi reproduzida.
Resposta(a) X → (2), (6) · (b) Y → (4), (5) · (c) Z → (1), (3), (7)

O gráfico do meio dá percentagens dentro de cada passeio, não números de pessoas: para contar pessoas tens de aplicar cada percentagem ao total do seu passeio, que vem do pictograma de cima (200, 120 e 80). Para a alínea b) trabalha com o gráfico de baixo, somando as três barras de cada classe etária.

  1. a) Passeios com mais de duas horas. Aplica-se a cada passeio a sua percentagem: 200 \times 0{,}25 + 120 \times 0{,}10 + 80 \times 0{,}40 = 50 + 12 + 32 = 94 pessoas.Somar as percentagens 25 + 10 + 40 = 75 daria a opção (2) — e está errado: são percentagens de totais diferentes, e só se somam depois de convertidas em pessoas.
  2. Passeios até uma hora. 200 \times 0{,}50 = 100 de gaivota, 120 \times 0{,}60 = 72 de canoa e 80 \times 0{,}40 = 32 de barco. O maior número é o do passeio de gaivota — apesar de a canoa ter a maior percentagem.
  3. A mediana das idades no passeio de barco. São 80 pessoas, com 22, 25, 25 e 8 por classe. As acumuladas são 22 e 47: como 22 < 40 \le 47, os valores centrais estão na classe [26,\,34[.
  4. A percentagem com menos de 34 anos. São 22 + 25 = 47 das 80 pessoas: \dfrac{47}{80} \times 100 = 58{,}75\%.
  5. b) Somar as três barras de cada classe. 80+28+22 = 130, 80+57+25 = 162, 24+27+25 = 76 e 16+8+8 = 32, num total de 400 pessoas.
  6. A frequência relativa acumulada até ao fim de [26,\,34[ é \dfrac{130+162}{400} = \dfrac{292}{400} = 0{,}73.O 0{,}41 da opção (B) é a frequência relativa simples dessa classe; a acumulada tem de incluir a classe anterior. Confundir as duas colunas é o erro clássico das tabelas de frequências.
Respostaa) (a) → (1) 94 · (b) → (3) gaivota · (c) → (2) [26,\,34[ · (d) → (2) 58{,}75\%. b) Opção (D): 0{,}73

Na alínea a), repara na palavra percentil: procura, aos 25 anos, qual das quatro curvas passa por 45 — a ordem dessa curva é a percentagem que se aplica aos 200 utilizadores. Na alínea b), o histograma é de frequências acumuladas: para saber quantos há em cada classe tens de subtrair cada barra da anterior; e o mínimo e o primeiro quartil do diagrama têm de cair nas classes que essas frequências acumuladas indicam.

  1. a) Ler o gráfico de percentis. Aos 25 anos, o valor 45 está sobre a curva P_{60}.
  2. Estar no percentil 60 significa que, pelo menos, 60\% dos utilizadores dessa idade têm um valor inferior ou igual: 0{,}60 \times 200 = 120 utilizadores.A pergunta diz «número mínimo» porque a definição de percentil garante pelo menos 60\% abaixo, não exatamente 60\%. O 190 corresponderia a P_{95} e o 90 a P_{45}, curvas que não passam por 45 aos 25 anos.
  3. b) Das acumuladas para as simples. Subtraindo cada barra da anterior, 18, 48-18 = 30, 60-48 = 12, 80-60 = 20 e 100-80 = 20, em percentagem.
    Classe[10,20[[20,30[[30,40[[40,50[[50,60[
    Acumulada (%)18486080100
    Simples (%)1830122020
  4. A maior frequência simples é 30\%, na classe [20,30[: é a classe modal. A menor é 12\%, na classe [30,40[.Num histograma de frequências acumuladas a barra mais alta é sempre a última — vale 100\%. A classe modal não é a barra mais alta: é aquela onde a subida de uma barra para a seguinte é maior.
  5. O mínimo. A primeira classe já tem 18\% dos dados, logo há utilizadores em [10,20[ e o mínimo pertence a essa classe. Das três opções, só 11 está em [10,20[.
  6. O primeiro quartil. Como 18\% < 25\% \le 48\%, o valor que deixa 25\% dos dados abaixo cai na classe [20,30[. Das três opções, só 22 está nessa classe.
Respostaa) Opção (B): 120 utilizadores. b) (a) → (2) [20,\,30[ · (b) → (3) [30,\,40[ · (c) → (1) 11 · (d) → (2) 22

Há uma linha da tabela que dá tudo: a primeira. Nela vês ao mesmo tempo a frequência absoluta (3) e a frequência relativa acumulada (0{,}02), que na primeira classe é igual à simples — e daí sai o número total de pessoas. Com o total na mão, as outras três incógnitas são somas e diferenças de colunas.

  1. O valor de p. A frequência absoluta acumulada da primeira classe é a própria frequência absoluta: N_{1} = 3. Logo p = N_{2} = 3 + 12 = 15.
  2. O total. Na primeira classe, fr_{1} = Fr_{1} = 0{,}02, e a essa frequência relativa correspondem 3 pessoas. Então \dfrac{3}{n} = 0{,}02 \iff n = \dfrac{3}{0{,}02} = 150.A frequência relativa acumulada da primeira classe é sempre igual à simples — não há classes antes dela. É a porta de entrada de quase todas as tabelas parcialmente preenchidas.
  3. O valor de q. A terceira classe tem também 3 pessoas, logo q = \dfrac{3}{150} = 0{,}02.
  4. O valor de r. Até ao fim da quarta classe estão 0{,}94 \times 150 = 141 pessoas. Como a última classe tem 3 pessoas, sobram para a quinta r = 150 - 141 - 3 = 6.A tabela fecha: as classes têm 3, 12, 3, 123, 6 e 3 pessoas, que somam 150. A ficha imprime 0{,}2 na primeira opção do espaço (b); é gralha da ficha — o valor coerente com a tabela, e o que a resolução oficial escolhe, é 0{,}02.
Resposta(a) → (3) 15 · (b) → (1) 0{,}02 · (c) → (2) 6 · (d) → (2) 150

Lê primeiro no gráfico a contagem de cada categoria até ao penúltimo dia. Depois chama n ao número de bicicletas Speed vendidas no último dia, escreve em função de n os totais da semana das quatro categorias e procura os valores de n que deixam a Elétrica sozinha no topo.

  1. Ler o gráfico. Cada barra dá a contagem da sua categoria. Até ao penúltimo dia venderam-se 18 Speed, 16 Elétricas, 16 BMX e 12 Dobráveis.A soma 18+16+16+12 = 62 é a confirmação de que a leitura está certa: é o número que o enunciado dá. Se a leitura de alguma barra falhar, a soma deixa de dar 62 — o próprio enunciado denuncia o engano.
  2. O último dia. Venderam-se 72 - 62 = 10 bicicletas.
  3. Seja n o número de bicicletas Speed vendidas no último dia. As Elétricas são 2n, e para as BMX e as Dobráveis sobram 10 - 3n bicicletas. Como esse número não pode ser negativo, n \le 3.
  4. Totais da semana. Speed: 18+n. Elétrica: 16+2n. Para a Elétrica ser moda tem de superar a Speed: 16+2n > 18+n \iff n > 2.
  5. De n > 2 e n \le 3 resulta n = 3.O distrator é o n = 2: dá 20 Speed e 20 Elétricas, uma distribuição bimodal. O enunciado exige moda única, e é essa palavra que elimina a opção (B).
  6. Confirmação. Com n = 3 ficam 21 Speed e 22 Elétricas, e sobra 1 bicicleta para repartir entre BMX e Dobrável: no máximo 17 BMX ou 13 Dobráveis. A Elétrica, com 22, é a única moda.
RespostaOpção (C): venderam-se 3 bicicletas da categoria Speed no último dia
R4

Medidas de localização

Uma tabela e um gráfico mostram a distribuição inteira; uma medida de localização resume-a num número. Média, moda e mediana dizem onde está o centro — e nem sempre concordam. Os percentis dizem onde está qualquer ponto da distribuição, e os quartis são três deles.

Aprendizagens Essenciais · 10.º ano · pág. 22
  • Interpretar as medidas de localização: média (\overline{x}), mediana (M_{e}), moda(s) (M_{o}) e percentis (quartis como caso especial) na caraterização da distribuição dos dados, relacionando-as com as representações gráficas obtidas.
  • Selecionar representações gráficas adequadas para cada tipo de dados … relembrando a construção de … diagramas de extremos-e-quartis.

1 · A média

Média \overline{x}

Sendo x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} os n dados de uma amostra, a média é

\overline{x} = \dfrac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n}.

Quando os dados vêm numa tabela de frequências, com p valores distintos x_{i} e as frequências absolutas n_{i},

\overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} x_{i}\,n_{i}.

A média pode não ser um valor da amostra: com 2 e 3 livros a média é 2{,}5, e não há meio livro nenhum.

O erro típico da tabela

A média não é a média dos valores distintos: cada valor entra tantas vezes quantas a sua frequência. Com a tabela dos livros requisitados de R2 — 3 alunos com 0, 6 com 1, 7 com 2, 3 com 3 e 1 com 4 —,

\overline{x} = \dfrac{0 \times 3 + 1 \times 6 + 2 \times 7 + 3 \times 3 + 4 \times 1}{20} = \dfrac{33}{20} = 1{,}65,

e não \dfrac{0+1+2+3+4}{5} = 2. A tabela tem cinco linhas, mas os alunos são vinte — e é por vinte que se divide.

2 · A moda

Moda M_{o}

A moda é o valor de maior frequência absoluta.

Pode haver mais do que uma — a distribuição diz-se bimodal quando há duas — ou nenhuma: quando todos os valores têm a mesma frequência absoluta, a distribuição diz-se amodal.

Nos livros requisitados de R2, o valor mais frequente é o 2, com 7 alunos: M_{o} = 2 livros. Em dados agrupados fala-se de classe modal: é a classe com maior frequência — a que em R3 §2 já se tinha identificado no histograma. Nos vinte tempos do enigma, com classes de amplitude 5 a partir de 10, a classe modal é [20, 25[, com 7 alunos.

3 · A mediana

Mediana M_{e}

Com os dados ordenados, a mediana é o valor que os divide ao meio:

se n é ímpar, é o valor da posição \dfrac{n+1}{2}; se n é par, é a média dos valores das posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1.

Pelo menos 50\% dos dados são \le M_{e} e pelo menos 50\% são \ge M_{e}. Tal como a média, a mediana pode não ser um valor da amostra.

Exemplo 6 Dez tempos de espera

Registou-se o tempo de espera, em minutos, em 10 atendimentos de um balcão. Os valores já estão ordenados:

12, \quad 15, \quad 15, \quad 18, \quad 20, \quad 20, \quad 20, \quad 24, \quad 24, \quad 31.

a) Determina a média. b) Determina a moda. c) Determina a mediana.

  1. a) \overline{x} = \dfrac{12+15+15+18+20+20+20+24+24+31}{10} = \dfrac{199}{10} = 19{,}9 minutos.
  2. b) O valor mais frequente é o 20, com três ocorrências: M_{o} = 20 minutos.
  3. c) Como n = 10 é par, a mediana é a média dos valores das posições 5 e 6: M_{e} = \dfrac{x_{5}+x_{6}}{2} = \dfrac{20+20}{2} = 20 \ \text{minutos}.
  4. As três medidas estão próximas, mas a média é a mais baixa das três.A culpa é do 31: é o único tempo muito acima dos outros, e a média — que soma os valores — sente-o. A mediana e a moda, que olham para posições e para contagens, não o sentem. Este conjunto volta em §5, com os quartis, e outra vez em R5, com a dispersão.
Resposta\overline{x} = 19{,}9 min · M_{o} = 20 min · M_{e} = 20 min

O laboratório seguinte põe oito tempos de atendimento sobre um eixo e deixa-te arrastá-los com o dedo ou com o rato. Por agora chegam-te os dois primeiros interruptores, o da média e o da mediana; o terceiro desenha o diagrama de extremos e quartis, e esse só se lê depois de §5 — volta cá quando lá chegares.

Laboratório · A média é o ponto de equilíbrio

arrasta o apoio

Cada peso vale o mesmo e marca um dado na sua posição. Arrasta um peso para o mudar de sítio e vê a régua tombar; depois arrasta o apoio até ela ficar direita outra vez. Clica na régua para acrescentar um peso, e clica num peso, sem o arrastar, para o tirar. O sítio onde ela equilibra é a média — e não é coincidência: à esquerda do apoio os desvios são negativos, à direita positivos, e no equilíbrio somam 0. É a propriedade que R6 demonstra. Põe agora um peso em 20, sozinho: o apoio tem de avançar muito para voltar a equilibrar, e é isso que quer dizer que a média não resiste a um valor afastado.

Laboratório · Onde ficam a média, a mediana e os quartis quando um ponto se mexe

arrasta os pontos

Arrasta o ponto mais à direita para longe, sozinho: a média vai atrás dele e a mediana não se mexe. Depois arrasta um dos pontos do meio: agora é a mediana que se mexe. Liga o diagrama de extremos e quartis e repara em que a caixa também fica quieta — os quartis só olham para as posições, e não para o valor de quem está nos extremos. O botão «puxar o maior para 40» faz isto de uma vez.

4 · Percentis

Percentil de ordem k

Sejam x_{1} \le x_{2} \le \ldots \le x_{n} os dados ordenados e k um inteiro de 1 a 99. Para determinar o percentil de ordem k, P_{k}:

calcula-se \dfrac{k \times n}{100}; se o resultado for um número inteiro m, então P_{k} = \dfrac{x_{m} + x_{m+1}}{2} — a média do valor da posição m com o seguinte; se não for inteiro, arredonda-se para cima; sendo m esse inteiro, P_{k} = x_{m}.

Em palavras — e é assim que os exames o pedem: pelo menos k\% dos dados são menores ou iguais a P_{k}, e pelo menos (100-k)\% são maiores ou iguais a P_{k}.

Exemplo 7 Percentis de doze classificações

As classificações, de 0 a 20, de 12 alunos, já ordenadas:

8, \quad 9, \quad 10, \quad 11, \quad 12, \quad 13, \quad 14, \quad 15, \quad 16, \quad 17, \quad 18, \quad 20.

a) Determina P_{25}. b) Determina P_{50}. c) Determina P_{90}. d) Interpreta o valor obtido em c).

  1. a) \dfrac{25 \times 12}{100} = 3, que é inteiro. Aplica-se o primeiro caso: P_{25} = \dfrac{x_{3}+x_{4}}{2} = \dfrac{10+11}{2} = 10{,}5.
  2. b) \dfrac{50 \times 12}{100} = 6, inteiro: P_{50} = \dfrac{x_{6}+x_{7}}{2} = \dfrac{13+14}{2} = 13{,}5.
  3. c) \dfrac{90 \times 12}{100} = 10{,}8, que não é inteiro. Arredonda-se para cima, m = 11, e P_{90} = x_{11} = 18.
  4. d) Pelo menos 90\% das classificações são menores ou iguais a 18 — e pelo menos 10\% são maiores ou iguais a 18.
  5. Repara em que P_{50} é a mediana: com n = 12 par, a regra dá a média das posições 6 e 7, que é exatamente o que §3 mandava fazer.Não são duas definições: é a mesma. A regra \dfrac{k n}{100}, aplicada com k = 50, reduz-se ao par de casos da mediana. É por isso que a mediana é P_{50}.
Respostaa) 10{,}5 · b) 13{,}5 · c) 18 · d) pelo menos 90\% das classificações não passam de 18
Onde se usam percentis

As tabelas de crescimento infantil, que os centros de saúde usam, são feitas de percentis: dizem em que percentil está o peso ou a estatura de uma criança, para a sua idade. «Estar no percentil 75» significa que pelo menos 75\% das crianças da mesma idade pesam o mesmo ou menos. Não é uma nota, nem uma classificação — é uma posição dentro de uma distribuição.

5 · Quartis

Quartis Q_{1}, Q_{2}, Q_{3}

Os quartis são três percentis com nome próprio:

Q_{1} = P_{25}, \qquad Q_{2} = P_{50} = M_{e}, \qquad Q_{3} = P_{75}.

Dividem os dados ordenados em quatro partes com aproximadamente o mesmo número de elementos: 25\% antes de Q_{1}, 50\% entre Q_{1} e Q_{3}, e 25\% depois de Q_{3}.

Continuação · os quartis dos dez tempos de espera

Volta aos dez tempos: 12, 15, 15, 18, 20, 20, 20, 24, 24, 31, com n = 10.

  1. Q_{1} = P_{25}: \dfrac{25 \times 10}{100} = 2{,}5, não é inteiro. Arredonda-se para 3, e Q_{1} = x_{3} = 15 minutos.
  2. Q_{2} = M_{e} = 20 minutos, já calculado no exemplo anterior.
  3. Q_{3} = P_{75}: \dfrac{75 \times 10}{100} = 7{,}5, não é inteiro. Arredonda-se para 8, e Q_{3} = x_{8} = 24 minutos.
  4. Metade dos atendimentos demorou entre 15 e 24 minutos.
RespostaQ_{1} = 15 min · Q_{2} = 20 min · Q_{3} = 24 min
Há mais do que uma maneira de calcular quartis

Programas de cálculo e calculadoras gráficas usam processos diferentes e nem sempre chegam ao mesmo valor. Neste capítulo — e no Exame — vale sempre a definição de percentil de cima. Com os dez tempos deste exemplo, a NumWorks dá Q_{1} = 15 e Q_{3} = 24, exatamente os mesmos valores; noutros conjuntos pode não acontecer, e nesses é o procedimento do programa que conta.

6 · Diagrama de extremos e quartis

Diagrama de extremos e quartis

Desenha-se sobre um eixo com a escala da variável, a partir de cinco números: o mínimo, Q_{1}, M_{e}, Q_{3} e o máximo.

uma caixa de Q_{1} a Q_{3}; um traço na mediana, dentro da caixa; dois bigodes: do meio do lado esquerdo até ao mínimo, e do meio do lado direito até ao máximo.

A caixa contém 50\% dos dados; cada bigode, 25\%. Comprimento no eixo é espalhamento, e não quantidade.

tempo de espera (minutos) 12 15 20 24 31
A caixa vai de Q_{1} a Q_{3} e o traço de dentro é a mediana: dentro da caixa está metade dos tempos. Os bigodes vão até ao mínimo e até ao máximo — todos os dados estão representados.
Os bigodes vão sempre aos extremos

Existem convenções, posteriores ao programa do 10.º ano, que truncam os bigodes e marcam à parte os pontos mais afastados. Este capítulo não as usa: aqui os bigodes acabam sempre no mínimo e no máximo observados, e todos os dados estão dentro do desenho.

Um diagrama destes vale sobretudo quando há mais do que um: desenhados sobre o mesmo eixo, dois ou três diagramas comparam-se a olho, e é isso que R6 §5 faz com as classificações de duas turmas.

Python As idades de cinco alunos

É o programa que as Aprendizagens Essenciais pedem com todas as letras: recolher as idades de cinco alunos, organizá-las numa lista e devolver a média, a mediana, o máximo e o mínimo.

idades = []
for i in [1, 2, 3, 4, 5]:
    idade = int(input("Idade do aluno " + str(i) + ": "))
    idades.append(idade)

idades.sort()

soma = idades[0] + idades[1] + idades[2] + idades[3] + idades[4]
media = soma / 5

print("Lista ordenada:", idades)
print("Media:", media)
print("Mediana:", idades[2])
print("Maximo:", idades[4])
print("Minimo:", idades[0])

Corre-o com 14, 16, 16, 20 e 24: dá média 18{,}0, mediana 16, máximo 24 e mínimo 14. Duas perguntas antes de mudares fosse o que fosse: por que razão a mediana é idades[2] e não idades[3]? E o que é preciso mudar no programa para ele servir para seis alunos — repara em que aí a mediana passa a ser a média de idades[2] e idades[3].

NumWorks As medidas dos dez tempos, e o diagrama da caixa

  1. Os dados. Em home›Estatística, separador Dados, escreve os dez tempos na coluna V1 — um valor, EXE, o seguinte —, e deixa a coluna N1 toda a 1, que é o que a máquina põe sozinha.

    Se os dados vierem numa tabela de frequências, escreve-se o valor em V1 e a frequência em N1, e não é preciso repetir nada.

    Separador Dados da aplicação Estatística da NumWorks com os valores 12, 15, 15, 18, 20 e as frequências todas a 1
    Os primeiros tempos escritos, com a frequência a 1 em cada linha.

  2. As medidas. No separador Estat, a máquina dá logo dimensão 10, mínimo 12, máximo 31 e média 19{,}9; descendo na mesma lista aparecem a mediana 20 e os quartis Q_{1} = 15 e Q_{3} = 24.

    São exatamente os valores que esta secção calculou à mão — a máquina serve para conferir, não para dispensar a conta. O ecrã traz ainda a amplitude, o desvio padrão e a variância: são medidas de dispersão, e quem trata delas é R5 — que mostra também por que razão o {\sigma} dessa linha não é o desvio padrão que o 10.º ano pede.

    Separador Estat da NumWorks com dimensão 10, mínimo 12, máximo 31, amplitude 19, média 19,9, desvio padrão 5,204805 e variância 27,09
    O separador Estat mostra tudo de uma vez, e continua para baixo com a mediana e os quartis.

  3. O diagrama. No separador Gráfico, escolhe Diagrama da caixa. As teclas ← e → percorrem os cinco números, um de cada vez, e o rodapé diz qual é cada um: na captura, o mínimo, 12.

    Repara em que os bigodes vão até ao mínimo e até ao máximo, como o desenho desta secção.

    Diagrama de extremos e quartis na NumWorks com o mínimo assinalado em 12
    O diagrama dos dez tempos, com o mínimo assinalado.

Exercícios propostos

Catorze exercícios sobre as quatro medidas de localização: a média a partir de uma lista e a partir de uma tabela de frequências, a moda e os casos bimodal e amodal, a mediana com n par e com n ímpar, os percentis pelos dois casos da definição, e o diagrama de extremos e quartis — a construir a partir dos cinco números e a ler ao contrário.

Exercício 42§R4 · média

As massas, em quilogramas, de 8 mochilas de uma turma são

12, \quad 15, \quad 15, \quad 18, \quad 20, \quad 22, \quad 24, \quad 30.

Determina a massa média das oito mochilas.

Exercício 43§R4 · n ímpar e n par

Considera os sete valores 7, 3, 9, 5, 11, 4, 8.

a) Determina a mediana. b) Retira o último valor, 8, e determina a mediana dos seis que restam.

Exercício 44§R4 · moda numa tabela

Perguntou-se a 20 alunos quantas vezes tinham ido ao teatro no último ano. As respostas estão na tabela.

x_{i}n_{i}
04
19
26
31

a) Determina a moda. b) Determina a mediana.

Exercício 45§R4 · interpretar um quartil

De uma amostra sabe-se que Q_{3} = 18.

Isso significa que:

  • (A)exatamente 75\% dos dados são iguais a 18.
  • (B)pelo menos 75\% dos dados são menores ou iguais a 18.
  • (C)18 é a média dos 75\% menores.
  • (D)75\% dos dados são maiores do que 18.
Exercício 46§R4 · construir o diagrama

De uma amostra sabe-se que o mínimo é 4, Q_{1} = 8, M_{e} = 11, Q_{3} = 15 e o máximo é 24.

a) Desenha o diagrama de extremos e quartis correspondente. b) Que percentagem dos dados está entre 8 e 15?

Exercício 47§R4 · média, moda e mediana

O número de irmãos de nove alunos é: 1,\ 0,\ 2,\ 1,\ 3,\ 1,\ 0,\ 2,\ 1.

a) Determina a média.b) Indica a moda.c) Determina a mediana.

Exercício 48§R4 · o caso não inteiro

Treze medições, já ordenadas:

4, \quad 6, \quad 7, \quad 9, \quad 10, \quad 11, \quad 13, \quad 14, \quad 16, \quad 18, \quad 19, \quad 22, \quad 25.

Determina P_{25}, P_{50} e P_{75}, dizendo em cada um qual dos dois casos da definição se aplica.

Exercício 49§R4 · média a partir da tabela

Registou-se, para 30 pessoas, o número de idas ao ginásio numa semana.

x_{i}n_{i}
04
18
210
36
42

a) Determina o número médio de idas ao ginásio. b) Explica por que razão o cálculo \dfrac{0+1+2+3+4}{5} = 2 está errado.

Exercício 50§R4 · mediana pela acumulada

Considera a mesma tabela das idas ao ginásio do exercício anterior, com n = 30.

Determina a mediana, usando a coluna das frequências absolutas acumuladas, N_{i}.

Exercício 51§R4 · os cinco números

Onze tempos, em minutos, já ordenados:

3, \quad 5, \quad 6, \quad 8, \quad 9, \quad 10, \quad 12, \quad 13, \quad 15, \quad 18, \quad 25.

a) Determina os cinco números do diagrama de extremos e quartis. b) Desenha o diagrama.

Exercício 52§R4 · bimodal ou amodal

Qual destes conjuntos de dados é amodal?

  • (A)1, 2, 2, 3, 4, 4, 5
  • (B)1, 1, 2, 3, 3, 4, 5
  • (C)2, 3, 4, 5, 6, 7, 8
  • (D)1, 1, 1, 2, 3, 4, 5
Exercício 53§R4 · a conta ao contrário

A média de 6 classificações é 14. Cinco delas são

10, \quad 12, \quad 13, \quad 16, \quad 19.

Determina a sexta classificação.

Exercício 54§R4 · média ponderada

Numa disciplina, a nota final é a média das notas dos três testes, com pesos 25%, 35% e 40%. Um aluno teve 12, 15 e 14 valores.

a) Determina a nota final.b) Compara-a com a média simples dos três testes.

Exercício 55§R4 · o valor que falta

Cinco alunos fizeram um teste. Quatro deles tiveram 12, 15, 9 e 14 valores, e a média dos cinco foi exatamente 13.

a) Determina a nota do quinto aluno.b) Determina a mediana das cinco notas.

Exercício 56§R4 · quantos acima do percentil

Dezasseis pontuações, já ordenadas:

2, \; 3, \; 4, \; 5, \; 5, \; 6, \; 6, \; 6, \; 7, \; 7, \; 8, \; 8, \; 9, \; 10, \; 12, \; 15.

a) Determina P_{75}. b) Quantas pontuações são maiores do que P_{75}?

Exercício 57§R4 · ler o diagrama ao contrário

O diagrama seguinte resume as idades, em anos, dos 200 sócios de uma associação.

idade (anos) 20 30 40 50 60 70 80
Idade, em anos, dos sócios de uma associação.

a) Indica os cinco números do resumo. b) Quantos sócios têm idade entre 34 e 41 anos? E entre 41 e 52? E mais de 52?

Exercício 58§R4 · construir um exemplo

Constrói um conjunto de 8 valores inteiros com mediana 10 e média 12.

Explica depois o que teve de acontecer para as duas medidas ficarem tão afastadas.

Soma os oito valores e divide por 8. A média não tem de ser um dos valores da amostra.

  1. Soma: 12+15+15+18+20+22+24+30 = 156.
  2. \overline{x} = \dfrac{156}{8} = 19{,}5 kg.
  3. Repara em que 19{,}5 não é a massa de nenhuma mochila.A média é um valor de referência, não uma observação: representa o conjunto, não um dos seus elementos.
Resposta\overline{x} = 19{,}5 kg

Ordena sempre primeiro. Com n ímpar há um valor central; com n par há dois, e a mediana é a média deles.

  1. a) Ordenados: 3, 4, 5, \mathbf{7}, 8, 9, 11. Como n = 7 é ímpar, a mediana é o valor da posição \dfrac{7+1}{2} = 4: M_{e} = 7.
  2. b) Ordenados: 3, 4, \mathbf{5}, \mathbf{7}, 9, 11. Como n = 6 é par, a mediana é a média dos valores das posições 3 e 4:
  3. M_{e} = \dfrac{5+7}{2} = 6.
  4. Tirar um valor mudou a mediana de 7 para 6.Nem sempre acontece: a mediana só se mexe se a saída de um valor deslocar a posição central. Aqui deslocou.
Respostaa) M_{e} = 7 · b) M_{e} = 6

A moda lê-se diretamente na coluna n_{i}. Para a mediana, acumula as frequências e procura as posições centrais.

  1. a) A maior frequência absoluta é 9, no valor 1: M_{o} = 1.
  2. b) Frequências acumuladas: N_{i} = 4,\ 13,\ 19,\ 20.
  3. Como n = 20 é par, a mediana é a média dos valores das posições 10 e 11.
  4. As posições de 5 a 13 estão todas no valor 1, logo M_{e} = \dfrac{1+1}{2} = 1.
  5. Aqui a moda e a mediana coincidem.Não é regra nenhuma: são duas medidas com definições diferentes, e neste conjunto calharam no mesmo valor porque quase metade das respostas foi 1.
Respostaa) M_{o} = 1 · b) M_{e} = 1

Q_{3} = P_{75}. Volta a ler a interpretação do percentil de ordem k.

  1. Q_{3} é o percentil de ordem 75.
  2. Pela interpretação do percentil: pelo menos 75\% dos dados são menores ou iguais a Q_{3}, e pelo menos 25\% são maiores ou iguais a Q_{3}.
  3. A opção (A) troca «menores ou iguais» por «iguais»; a (C) confunde o quartil com uma média; a (D) inverte o sentido.A palavra que decide é pelo menos. Com valores repetidos, a percentagem dos dados abaixo do quartil pode ser bastante maior do que 75\% — e a definição continua a servir.
Resposta(B)

São cinco números e cinco marcas: a caixa vai de Q_{1} a Q_{3}, o traço de dentro é a mediana e os bigodes vão até aos extremos.

  1. a) Sobre um eixo que cubra pelo menos de 4 a 24: caixa de 8 a 15, traço vertical em 11 dentro da caixa, bigode da esquerda de 8 até 4 e bigode da direita de 15 até 24.
  2. A caixa fica descentrada: M_{e} - Q_{1} = 3 e Q_{3} - M_{e} = 4. E o bigode da direita, com 9 unidades, é bem maior do que o da esquerda, com 4.
  3. b) Entre Q_{1} e Q_{3} está a caixa, ou seja, 50\% dos dados.
  4. Os dois bigodes têm 25\% cada um — e o da direita ocupa mais do dobro do espaço do da esquerda com o mesmo número de dados.É a leitura mais útil deste gráfico: comprimento no eixo é espalhamento, não quantidade. Um bigode comprido significa dados muito afastados uns dos outros, e não muitos dados.
Respostaa) caixa de 8 a 15, mediana em 11, bigodes até 4 e 24 · b) 50\%

Para a mediana é preciso ordenar primeiro. Com nove valores, a mediana é o do meio.

  1. a) \overline{x} = \dfrac{1+0+2+1+3+1+0+2+1}{9} = \dfrac{11}{9} \approx 1{,}22.
  2. b) O valor mais frequente é 1, que aparece quatro vezes: a moda é 1.
  3. c) Ordenados: 0,0,1,1,1,1,2,2,3. O quinto valor é 1: a mediana é 1.As três medidas coincidem quase sempre em dados simétricos e afastam-se quando há valores extremos — é o que o exercício do salário do sócio-gerente mostra.
Respostasa) \approx 1{,}22 · b) 1 · c) 1

Calcula \dfrac{k \times 13}{100} nos três casos e vê se dá inteiro.

  1. P_{25}: \dfrac{25 \times 13}{100} = 3{,}25 — não é inteiro. Arredonda-se para cima, m = 4, e P_{25} = x_{4} = 9.
  2. P_{50}: \dfrac{50 \times 13}{100} = 6{,}5 — não é inteiro. Arredonda-se para m = 7, e P_{50} = x_{7} = 13.
  3. P_{75}: \dfrac{75 \times 13}{100} = 9{,}75 — não é inteiro. Arredonda-se para m = 10, e P_{75} = x_{10} = 18.
  4. Nos três aplicou-se o caso «não inteiro».Com n = 13, o produto \dfrac{k \times 13}{100} só é inteiro para valores de k múltiplos de 100 divididos por 13 — o que nunca acontece com k entre 1 e 99. Por isso, com 13 dados, o segundo caso da definição nunca chega a ser usado.
RespostaP_{25} = 9 · P_{50} = 13 · P_{75} = 18

Cada valor entra tantas vezes quantas a sua frequência: \overline{x} = \dfrac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} x_{i}\,n_{i}.

  1. a) \sum x_{i}\,n_{i} = 0 \times 4 + 1 \times 8 + 2 \times 10 + 3 \times 6 + 4 \times 2 = 0 + 8 + 20 + 18 + 8 = 54.
  2. \overline{x} = \dfrac{54}{30} = 1{,}8 idas por semana.
  3. b) Aquele cálculo é a média dos cinco valores distintos, e não a média das 30 observações.
  4. Daria o mesmo se as cinco frequências fossem todas iguais — e aqui não são: o 2 aparece 10 vezes e o 4 só 2.É o erro mais frequente do tema. A tabela tem cinco linhas mas trinta pessoas, e é por trinta que se divide.
Respostaa) \overline{x} = 1{,}8 idas · b) porque ignora as frequências: os cinco valores não valem o mesmo

Constrói a coluna N_{i} e procura em que valor caem as posições centrais.

  1. Frequências acumuladas: N_{i} = 4,\ 12,\ 22,\ 28,\ 30.
  2. Como n = 30 é par, a mediana é a média dos valores das posições 15 e 16.
  3. As posições de 13 a 22 estão todas no valor 2 — é isso que a acumulada diz, ao passar de 12 para 22 nessa linha.
  4. Logo M_{e} = \dfrac{2+2}{2} = 2.
  5. A média era 1{,}8 e a mediana é 2: são medidas diferentes e não têm de coincidir.A acumulada poupa a escrita dos trinta valores por extenso. É exatamente para isto que ela serve: a mediana e os percentis são contas de posição, e a coluna N_{i} diz em que valor cai cada posição.
RespostaM_{e} = 2 idas

São o mínimo, Q_{1} = P_{25}, M_{e} = P_{50}, Q_{3} = P_{75} e o máximo. Com n = 11, os três produtos dão não inteiros.

  1. Mínimo: 3. Máximo: 25.
  2. Q_{1}: \dfrac{25 \times 11}{100} = 2{,}75, não inteiro, arredonda-se para 3: Q_{1} = x_{3} = 6.
  3. M_{e}: \dfrac{50 \times 11}{100} = 5{,}5, não inteiro, arredonda-se para 6: M_{e} = x_{6} = 10.
  4. Q_{3}: \dfrac{75 \times 11}{100} = 8{,}25, não inteiro, arredonda-se para 9: Q_{3} = x_{9} = 15.
  5. b) Caixa de 6 a 15, traço em 10, bigodes até 3 e até 25.
  6. O bigode da direita mede 10 e o da esquerda 3: os tempos altos espalham-se muito mais.Com n ímpar, a mediana pela regra dos percentis é o valor da posição \dfrac{n+1}{2} = 6 — o mesmo que a definição de §3 dá. As duas maneiras de a dizer são a mesma conta.
Respostaa) 3 · 6 · 10 · 15 · 25

Amodal é o conjunto em que todos os valores têm a mesma frequência absoluta.

  1. (A): o 2 e o 4 aparecem duas vezes cada um, os outros uma — é bimodal, com M_{o} = 2 e M_{o} = 4.
  2. (B): o 1 e o 3 aparecem duas vezes — também é bimodal.
  3. (C): os sete valores são todos diferentes, todos com frequência 1. Não há um valor mais frequente do que os outros: é amodal.
  4. (D): o 1 aparece três vezes, mais do que qualquer outro — tem moda, M_{o} = 1.
  5. Amodal não quer dizer «sem valores repetidos».Um conjunto como 2, 2, 5, 5, 9, 9 também é amodal: os três valores têm a mesma frequência, e nenhum se destaca. O que conta é a igualdade das frequências, não a ausência de repetições.
Resposta(C)

Se a média é 14 e são 6 valores, quanto vale a soma dos seis?

  1. De \overline{x} = \dfrac{\text{soma}}{6} = 14 vem soma = 6 \times 14 = 84.
  2. Soma das cinco conhecidas: 10+12+13+16+19 = 70.
  3. A sexta é 84 - 70 = 14.
  4. Verificação: \dfrac{70+14}{6} = \dfrac{84}{6} = 14. ✓
  5. Calhou ser igual à média — e por isso não a alterou.Acrescentar a uma amostra um valor igual à média deixa a média onde estava. É a mesma ideia que em R6 vai justificar que a soma dos desvios em relação à média é nula.
Resposta14

Média ponderada: multiplica cada nota pelo seu peso e soma. Os pesos já somam 1.

  1. a) 0{,}25 \times 12 + 0{,}35 \times 15 + 0{,}40 \times 14 = 3 + 5{,}25 + 5{,}6 = 13{,}85.
  2. b) A média simples seria \dfrac{12+15+14}{3} \approx 13{,}67: a ponderada é maior, porque os testes com melhor nota têm mais peso.A média simples é o caso particular em que todos os pesos são iguais a \frac{1}{n}. É exatamente a mesma fórmula que dará o valor médio de uma variável aleatória, com as probabilidades no lugar dos pesos.
Respostasa) 13,85 valores · b) maior do que 13,67

A média multiplicada pelo número de dados dá a soma de todos eles. É por aí que se descobre o valor em falta.

  1. a) A soma das cinco notas é 5 \times 13 = 65. As quatro conhecidas somam 12+15+9+14 = 50.
  2. A quinta nota é 65 - 50 = 15 valores.
  3. b) Ordenadas: 9,\ 12,\ 14,\ 15,\ 15. A mediana é o terceiro valor: 14.Passar da média para a soma é o primeiro reflexo a treinar: quase todos os problemas de «descobrir o valor que falta» se resolvem assim.
Respostasa) 15 valores · b) 14

Com n = 16, o produto \dfrac{75 \times 16}{100} dá inteiro — e aí a definição manda fazer uma média.

  1. a) \dfrac{75 \times 16}{100} = 12, que é inteiro.
  2. Logo P_{75} = \dfrac{x_{12} + x_{13}}{2} = \dfrac{8+9}{2} = 8{,}5.
  3. b) Maiores do que 8{,}5: 9, 10, 12 e 15 — são 4 pontuações.
  4. Quatro em dezasseis são 25\%, que é exatamente o que se espera acima de P_{75}.Aqui a conta fecha certa porque 8{,}5 não é nenhuma das pontuações. Se o percentil calhasse num valor observado — e repetido —, «maiores do que P_{75}» e «maiores ou iguais a P_{75}» dariam contagens diferentes, e nenhuma teria de dar 25\%. O enunciado tem sempre de dizer qual das duas se quer; a definição garante pelo menos 75\% abaixo e pelo menos 25\% acima, e não exatamente.
Respostaa) P_{75} = 8{,}5 · b) 4 pontuações

Os cinco números leem-se nas cinco marcas do desenho. Cada quarto dos dados tem, aproximadamente, um quarto dos 200 sócios.

  1. a) Mínimo 20, Q_{1} = 34, M_{e} = 41, Q_{3} = 52, máximo 78.
  2. b) Entre Q_{1} e M_{e} está um quarto dos dados: 0{,}25 \times 200 = 50 sócios.
  3. Entre M_{e} e Q_{3}, outro quarto: 50 sócios.
  4. Acima de Q_{3}, o último quarto: 50 sócios.
  5. Os três intervalos têm o mesmo número de sócios e comprimentos muito diferentes — 7, 11 e 26 anos.
  6. Os valores são aproximados, e não exatos.Os quartis dividem os dados ordenados em quatro partes com aproximadamente o mesmo número de elementos. Se houver idades repetidas em cima de um quartil, o corte não cai a direito e a contagem afasta-se um pouco de 50. Com 200 observações e o diagrama como única informação, 50 é a melhor resposta possível — e convém dizer que é aproximada.
Respostaa) 20 · 34 · 41 · 52 · 78 · b) cerca de 50 sócios em cada um dos três intervalos

A média fixa a soma: 8 \times 12 = 96. A mediana fixa só as duas posições centrais. Vê o que sobra para os outros seis valores.

  1. A média 12 obriga a soma 8 \times 12 = 96.
  2. A mediana 10 obriga \dfrac{x_{4}+x_{5}}{2} = 10, ou seja x_{4}+x_{5} = 20.
  3. Um conjunto possível: 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 30.
  4. Verificação: M_{e} = \dfrac{9+11}{2} = 10 e \overline{x} = \dfrac{6+7+8+9+11+12+13+30}{8} = \dfrac{96}{8} = 12. ✓
  5. O que teve de acontecer: com sete valores entre 6 e 13, a soma só chega a 96 se o oitavo for muito grande — aqui, 30.
  6. A mediana olha para posições e a média olha para valores. Substituindo o 30 por 300, a mediana continua 10 e a média salta para 45{,}75.Esta é a diferença que R6 vai chamar resistência: a mediana aguenta um valor muito afastado sem se mexer, e a média não. Há muitas soluções para este exercício; todas têm de ter, no fim, pelo menos um valor bastante maior do que os outros.
Respostapor exemplo 6, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 30 — a média sobe porque um dos valores está muito acima dos restantes
R5

Medidas de dispersão

Duas amostras podem ter exatamente a mesma média e não se parecerem nada uma com a outra. O que as distingue é a dispersão: quanto é que os dados se afastam do centro. Há três maneiras de a medir, e cada uma olha para uma parte diferente da distribuição.

Aprendizagens Essenciais · 10.º ano · págs. 22–23
  • Interpretar as medidas de dispersão, amplitude, amplitude interquartil e desvio padrão amostral, s, (variância amostral s^{2}) na caraterização da distribuição dos dados, relacionando-as com as representações gráficas obtidas.
  • Conhecer que se os dados forem fornecidos já agrupados em classes, na forma de intervalos, torna-se necessário adequar as fórmulas ou os procedimentos existentes para dados não agrupados, para obter valores aproximados da média e do desvio padrão.

1 · A amplitude

Amplitude

A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor:

\text{amplitude} = \text{máximo} - \text{mínimo}.

É a mais simples das três, e a que usa menos informação: de todos os dados recolhidos, entram na conta exatamente dois — os dois extremos. Tudo o que está no meio não conta. É por isso que a amplitude é a medida que mais depende de um único valor: basta um dado isolado, muito acima ou muito abaixo dos outros, para a fazer crescer sem que a distribuição tenha mudado.

Nos dez tempos de espera de R4 — 12, 15, 15, 18, 20, 20, 20, 24, 24 e 31 minutos —, a amplitude é 31 - 12 = 19 minutos. Vem, como se vê, na mesma unidade dos dados.

2 · A amplitude interquartil

Amplitude interquartil

A amplitude interquartil (AIQ) é a diferença entre o terceiro e o primeiro quartis:

\text{AIQ} = Q_{3} - Q_{1}.

É a amplitude dos 50\% centrais da distribuição e, no diagrama de extremos e quartis de R4, é o comprimento da caixa.

Ao contrário da amplitude, a AIQ não olha para os extremos: entre os dados que a decidem e o mínimo fica um quarto da amostra, e outro tanto entre Q_{3} e o máximo. Um valor muito grande ou muito pequeno que entre na amostra pode esticar o bigode do diagrama sem mexer na caixa.

Nos mesmos dez tempos, R4 deu Q_{1} = 15 e Q_{3} = 24 minutos. Então \text{AIQ} = 24 - 15 = 9 minutos: metade dos atendimentos cabe numa faixa de nove minutos.

3 · Variância e desvio padrão amostrais

As duas primeiras medidas usam dois valores cada uma. Falta uma que use todos os dados — e a ideia natural é medir, para cada um, a que distância está da média, e depois resumir essas distâncias num número só.

Variância amostral e desvio padrão amostral

Sendo x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} os dados e \overline{x} a sua média, a variância amostral é

s^{2} = \frac{(x_{1}-\overline{x})^{2}+(x_{2}-\overline{x})^{2}+\ldots+(x_{n}-\overline{x})^{2}}{n-1} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2},

e o desvio padrão amostral é a sua raiz quadrada:

s = \sqrt{s^{2}}.

A variância vem nas unidades dos dados ao quadrado — minutos ao quadrado, gramas ao quadrado —, o que a torna impossível de ler no contexto. O desvio padrão vem nas mesmas unidades dos dados, e é por isso a medida de dispersão mais usada: escreve-se ao lado da média e lê-se como uma distância típica ao centro.

O procedimento tem quatro passos, sempre os mesmos. Primeiro, a média \overline{x}. Depois, o desvio de cada dado, x_{i}-\overline{x} — que é positivo acima da média e negativo abaixo dela. A seguir, o quadrado de cada desvio, que apaga os sinais e faz pesar mais os afastamentos grandes. Por fim, soma-se tudo, divide-se por n-1 e tira-se a raiz.

Exemplo 8 Cinco idades, à mão

Os cinco elementos de uma equipa de xadrez têm, em anos, as idades 14, 16, 16, 20 e 24. Determina a variância amostral e o desvio padrão amostral.

  1. A média. \overline{x} = \dfrac{14+16+16+20+24}{5} = \dfrac{90}{5} = 18 anos.
  2. Os desvios. -4, -2, -2, 2 e 6.
  3. Os quadrados. 16, 4, 4, 4 e 36, que somam 64.
  4. A divisão e a raiz. s^{2} = \dfrac{64}{5-1} = \dfrac{64}{4} = 16 e s = \sqrt{16} = 4 anos.
  5. Antes de fechar, uma verificação que custa cinco segundos: a soma dos desvios tem de dar 0. Aqui, -4-2-2+2+6 = 0. ✓Se não der zero, o erro está na média — e vale a pena refazê-la antes de continuar, porque todos os passos seguintes dependem dela. Que isto aconteça sempre, e porquê, é uma das propriedades de R6.
Resposta\overline{x} = 18 anos · s^{2} = 16 · s = 4 anos
Exemplo 9 Os dez tempos, com a máquina

Retomando os dez tempos de espera de R4 — 12, 15, 15, 18, 20, 20, 20, 24, 24 e 31 minutos —, determina as três medidas de dispersão e interpreta-as.

  1. Com n = 10, a média é \overline{x} = \dfrac{199}{10} = 19{,}9 minutos.
  2. A soma dos quadrados dos desvios é 270{,}9, logo s^{2} = \dfrac{270{,}9}{9} = 30{,}1.
  3. s = \sqrt{30{,}1} \approx 5{,}49 minutos.
  4. \text{amplitude} = 31 - 12 = 19 minutos e \text{AIQ} = 24 - 15 = 9 minutos.
  5. Leitura. Metade dos atendimentos cabe num intervalo de 9 minutos, mas o conjunto todo espalha-se por 19; e a distância típica de um atendimento à média é de cerca de 5{,}5 minutos.Os três números não se contradizem — dizem coisas diferentes. A amplitude fala dos extremos, a amplitude interquartil do miolo e o desvio padrão de todos os dados ao mesmo tempo. Num relatório escrevem-se a média e o desvio padrão; num diagrama de extremos e quartis leem-se os outros dois.
Respostaamplitude 19 min · AIQ 9 min · s^{2} = 30{,}1 · s \approx 5{,}49 min

Com dez valores ainda se faz à mão, mas ninguém o faz: escrevem-se os dados na calculadora e leem-se as medidas todas de uma vez. O tutorial da NumWorks de R4 mostra onde — no separador Estat, o desvio padrão fica na mesma lista da média e dos quartis.

Duas letras na mesma lista — e a máquina mostra a outra primeiro

No separador Estat, logo a seguir à média, aparece uma linha Desvio padrão com um {\sigma} ao lado. Não é o desvio padrão deste capítulo. O {\sigma} divide a soma dos quadrados dos desvios por n; o que as Aprendizagens Essenciais do 10.º ano fixam é o amostral s, que divide por n-1 — e esse está mais abaixo, na mesma lista.

Separador Estat da NumWorks, descido na lista, com desvio padrão amostral s igual a 5,486347 e variância amostral s ao quadrado igual a 30,1
A mesma lista, mais abaixo: é aqui que estão o s e o s^{2} deste capítulo, com o rótulo amostral escrito ao lado.

Com os dez tempos desta secção, {\sigma} \approx 5{,}20 e s \approx 5{,}49 — números diferentes, e a diferença é tanto maior quanto menos dados houver. Algumas resoluções oficiais, incluindo de Matemática A, apresentam o valor de {\sigma}: saber que são duas contas diferentes, e reconhecer qual delas está à frente, faz parte.

O n-1 não é um erro de escrita

São n desvios, e divide-se por n-1. Parece um lapso e não é: a variância amostral define-se assim, e é esta a definição que as Aprendizagens Essenciais do 10.º ano fixam e que este capítulo usa em todas as fórmulas. O porquê não se explica aqui — precisa da ideia de estimar uma população a partir de uma amostra, que é o assunto de Inferência · §01, no 12.º ano. Por agora, basta reter o quê: soma dos quadrados dos desvios a dividir por n-1.

Python Amostral ou populacional? A calculadora e o Python concordam 
from statistics import mean, stdev, pstdev

dados = [12, 14, 14, 15, 16, 16, 16, 18, 19, 20]

print('Media          :', mean(dados))
print('Desvio amostral:', stdev(dados))
print('Desvio popul.  :', pstdev(dados))

São os dois valores que a NumWorks mostra lado a lado. Se os dados são uma amostra, usa-se s; se são a população toda, {\sigma}. O programa obriga a escolher — e é bom que obrigue.

4 · Dados agrupados: a marca da classe

Quando os dados chegam já agrupados em classes — e é assim que quase toda a informação publicada chega —, os valores individuais perderam-se: da tabela só se sabe quantos dados caíram em cada intervalo, não quais. As fórmulas da média e do desvio padrão precisam de um número por dado, e é preciso arranjar-lhe um substituto.

Média e desvio padrão de dados agrupados

Cada dado é substituído pela marca da sua classe, o ponto médio c_{i} = \dfrac{a+b}{2} da classe [a, b[, e cada marca pesa tanto quanto a frequência n_{i} da classe. Com p classes,

\overline{x} \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} c_{i}\,n_{i}, \qquad s \approx \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{p} n_{i}\left(c_{i}-\overline{x}\right)^{2}}.

Os valores obtidos são aproximados, e o sinal \approx escreve-se no papel: não são a média e o desvio padrão dos dados, são os da tabela.

Exemplo 10 Os enigmas, agrupados

Em R3 agruparam-se os tempos, em minutos, que 20 alunos levaram a resolver um enigma, em classes de amplitude 5 a partir de 10. Determina a média e o desvio padrão aproximados a partir da tabela.

Classe (min)n_{i}Marca c_{i}c_{i}\,n_{i}
[10, 15[312{,}537{,}5
[15, 20[517{,}587{,}5
[20, 25[722{,}5157{,}5
[25, 30[327{,}582{,}5
[30, 35[232{,}565
Total20—430
  1. A média. \overline{x} \approx \dfrac{430}{20} = 21{,}5 minutos.
  2. Os desvios das marcas. -9, -4, 1, 6 e 11 minutos.
  3. As parcelas n_{i}(c_{i}-\overline{x})^{2}. 3 \times 81 = 243, 5 \times 16 = 80, 7 \times 1 = 7, 3 \times 36 = 108 e 2 \times 121 = 242; a soma é 680.
  4. A divisão e a raiz. s \approx \sqrt{\dfrac{680}{19}} \approx \sqrt{35{,}79} \approx 5{,}98 minutos.
  5. Com os vinte tempos exatos, que R3 lista, os valores verdadeiros são \overline{x} \approx 21{,}37 minutos e s \approx 5{,}98 minutos.A tabela errou a média por pouco mais de um décimo de minuto e acertou no desvio padrão às centésimas. Não é sorte: dentro de cada classe uns dados estão acima da marca e outros abaixo, e os desvios quase se anulam.
Resposta\overline{x} \approx 21{,}5 min e s \approx 5{,}98 min; com os dados exatos, 21{,}37 min e 5{,}98 min

Há uma garantia simples por trás do \approx: dentro de uma classe de amplitude h, nenhum dado dista da sua marca mais do que \dfrac{h}{2}, e por isso a média aproximada também não se pode afastar da verdadeira mais do que isso. Com h = 5, a garantia era de 2{,}5 minutos — e o erro efetivo ficou-se pelos 0{,}135. Classes mais estreitas apertam essa garantia; mas nenhuma escolha de classes devolve o valor exato, e é por isso que a tabela agrupada nunca substitui os dados brutos quando eles existem.

Python Amplitude e desvio padrão, sem importar nada 
dados = [14, 16, 16, 20, 24]

n = len(dados)
media = sum(dados) / n
amplitude = max(dados) - min(dados)
soma_quad = sum((x - media) ** 2 for x in dados)
variancia = soma_quad / (n - 1)
desvio = variancia ** 0.5

print("dados       ", dados)
print("media       ", media)
print("amplitude   ", amplitude)
print("variancia   ", variancia)
print("desvio      ", round(desvio, 2))
print("soma desvios", round(sum(x - media for x in dados), 10))

Três experiências, e as três respondem a perguntas que só R6 vai tratar — aqui olha-se para o que acontece, e o porquê fica para lá. Uma: soma 5 a cada uma das cinco idades e corre outra vez — a média sobe 5 e o desvio padrão não se mexe. Duas: multiplica cada idade por 2 — a média e o desvio padrão duplicam os dois. Três: põe as cinco idades iguais, por exemplo [18, 18, 18, 18, 18] — o desvio padrão dá 0.

Exercícios propostos

Doze exercícios sobre as três medidas: a amplitude e a amplitude interquartil lidas nos dados e no diagrama de extremos e quartis, o desvio padrão amostral à mão e com a calculadora, e a média e o desvio padrão de dados agrupados pela marca da classe. Os últimos comparam duas amostras que não se podem comparar e confrontam o valor exato com o valor aproximado.

Exercício 59§R5 · amplitude e AIQ

Uma loja de aluguer de bicicletas registou, em nove dias seguidos, o número de bicicletas alugadas:

4 \quad 6 \quad 7 \quad 9 \quad 11 \quad 12 \quad 15 \quad 18 \quad 22

a) Determina a amplitude. b) Determina a amplitude interquartil.

Exercício 60§R5 · desvio padrão à mão

Um robô percorreu cinco vezes o mesmo trajeto. Os tempos, em segundos, foram:

3 \quad 5 \quad 8 \quad 10 \quad 14

Determina a média, a variância amostral e o desvio padrão amostral. Apresenta o desvio padrão com duas casas decimais.

Exercício 61§R5 · ler a AIQ no diagrama

O diagrama seguinte resume o número de mensagens que uma pessoa recebeu por dia, ao longo de um mês.

mensagens por dia 5 10 15 20 25 30
Número de mensagens recebidas por dia, ao longo de um mês.

a) Determina a amplitude e a amplitude interquartil. b) Que fração dos dias está representada dentro da caixa?

Exercício 62§R5 · o que o desvio padrão diz

Duas amostras têm exatamente a mesma média, e a segunda tem maior desvio padrão amostral.

Então, na segunda amostra:

  • (A)os dados são maiores.
  • (B)há mais dados.
  • (C)os dados afastam-se mais da média.
  • (D)a mediana é maior.
Exercício 63§R5 · média e desvio padrão

Numa turma, as classificações de um teste foram:

Classificação810121416
N.º de alunos25841

a) Determina a média.b) Determina o desvio padrão amostral, com a calculadora.

Exercício 64§R5 · mesma média, outra dispersão

Registaram-se as pontuações de cinco jogadores em duas provas.

Prova A: 8 \quad 9 \quad 10 \quad 11 \quad 12 Prova B: 2 \quad 6 \quad 10 \quad 14 \quad 18

a) Mostra que as duas provas têm a mesma média. b) Calcula os dois desvios padrão amostrais, com duas casas decimais, e compara as duas provas.

Exercício 65§R5 · dados agrupados

O tempo de espera, em minutos, de 30 clientes de um balcão foi agrupado em classes:

Classe (min)n_{i}
[0, 10[5
[10, 20[10
[20, 30[10
[30, 40[5
Total30

Determina a média e o desvio padrão aproximados, usando a marca de cada classe. Apresenta o desvio padrão com duas casas decimais.

Exercício 66§R5 · a amplitude e um valor só

Sete alunos fizeram um teste. As classificações, ordenadas, foram:

Conjunto I: 10 \quad 12 \quad 13 \quad 15 \quad 16 \quad 17 \quad 18 Conjunto II: o mesmo, mas com o 10 substituído por 3.

a) Determina a amplitude dos dois conjuntos. b) Determina a amplitude interquartil dos dois conjuntos. c) Explica por que razão uma das medidas mudou muito e a outra não mudou nada.

Exercício 67§R5 · com a calculadora

Mediram-se as massas, em gramas, de doze ovos:

48 \quad 52 \quad 55 \quad 55 \quad 58 \quad 60 \quad 61 \quad 63 \quad 66 \quad 70 \quad 72 \quad 80

a) Com a calculadora, determina \overline{x} e s, com duas casas decimais. b) Quantas massas ficam no intervalo \left]\,\overline{x}-s,\ \overline{x}+s\,\right[?

Exercício 68§R5 · os 50% centrais

De uma amostra de 200 tempos de atendimento sabe-se apenas que Q_{1} = 12 minutos e Q_{3} = 21 minutos.

a) Determina a amplitude interquartil. b) Quantos tempos estão, aproximadamente, entre 12 e 21 minutos? c) O maior tempo da amostra era 50 minutos e, ao rever os registos, verificou-se que eram 500. Explica por que razão a amplitude interquartil não se altera.

Exercício 69§R5 · média de dados agrupados

Mediram-se as alturas, em centímetros, de 40 plantas, agrupadas em classes:

Classe[10,\, 14[[14,\, 18[[18,\, 22[[22,\, 26[
N.º de plantas614137

a) Determina um valor aproximado da média.b) Explica por que razão o valor obtido é apenas aproximado.c) Determina a frequência relativa acumulada da classe [18,\, 22[.

Exercício 70§R5 · comparar duas amostras

De um lote de folhas de uma árvore mediram-se duas coisas:

Amostra I — o comprimento, em centímetros, de 8 folhas: \overline{x} = 12 cm e s = 3 cm. Amostra II — a massa, em gramas, de 8 folhas: \overline{x} = 12 g e s = 5 g.

Alguém conclui que «a amostra II é mais dispersa do que a I, porque 5 > 3». Discute esta afirmação.

Exercício 71§R5 · exata contra aproximada

Retoma os 20 anúncios de rádio de R3. As durações, em segundos, foram:

11{,}4 \quad 13{,}8 \quad 15{,}2 \quad 16{,}0 \quad 17{,}3 \quad 18{,}1 \quad 18{,}9 \quad 19{,}6 \quad 20{,}4 \quad 21{,}2

22{,}0 \quad 22{,}7 \quad 23{,}5 \quad 24{,}1 \quad 24{,}8 \quad 25{,}3 \quad 26{,}9 \quad 28{,}2 \quad 29{,}4 \quad 31{,}6

Agrupados em classes de amplitude 5 a partir de 10, os efetivos são 2, 6, 7, 4 e 1.

a) Determina a média exata das 20 durações. b) Determina a média aproximada a partir das marcas das classes. c) Explica a diferença entre os dois valores e diz o que a poderia reduzir.

Exercício 72§R5 · tudo a partir de um caule

A precipitação total, em milímetros, foi registada em 18 meses:

Precipitação total, em milímetros, em 18 meses. O caule vale 10 mm e a folha vale 1 mm.
CauleFolhas
52 4 7
60 1 3 5 8 8
70 2 4 6 9
81 3 5
90

a) Escreve os 18 valores por ordem crescente e determina a mediana. b) Com a calculadora, determina \overline{x} e s, com duas casas decimais. c) Determina a amplitude e a amplitude interquartil, e interpreta estas duas medidas.

Os dados já estão ordenados. Para os quartis, calcula \dfrac{25 \times 9}{100} e \dfrac{75 \times 9}{100}.

  1. a) \text{amplitude} = 22 - 4 = 18 bicicletas.
  2. b) \dfrac{25 \times 9}{100} = 2{,}25, que não é inteiro: arredonda-se para 3 e Q_{1} = x_{3} = 7.
  3. \dfrac{75 \times 9}{100} = 6{,}75, que também não é inteiro: arredonda-se para 7 e Q_{3} = x_{7} = 15.
  4. \text{AIQ} = 15 - 7 = 8 bicicletas.Repara na diferença entre as duas: a amplitude, 18, usa só os dois extremos; a amplitude interquartil, 8, é a largura da zona onde cabe metade dos dias.
Respostaa) 18 bicicletas · b) 8 bicicletas

Começa pela média. Depois faz a tabela dos desvios x_{i}-\overline{x} e dos seus quadrados — e confirma que a soma dos desvios dá 0.

  1. \overline{x} = \dfrac{3+5+8+10+14}{5} = \dfrac{40}{5} = 8 segundos.
  2. Desvios: -5, -3, 0, 2, 6. Somam 0. ✓
  3. Quadrados: 25, 9, 0, 4, 36; a soma é 74.
  4. s^{2} = \dfrac{74}{5-1} = \dfrac{74}{4} = 18{,}5.
  5. s = \sqrt{18{,}5} \approx 4{,}30 segundos.A variância vem em segundos ao quadrado, que não quer dizer nada num cronómetro; o desvio padrão vem em segundos, e por isso é o que se lê ao lado da média.
Resposta\overline{x} = 8 s · s^{2} = 18{,}5 · s \approx 4{,}30 s

A caixa vai de Q_{1} a Q_{3}; os bigodes vão até ao mínimo e até ao máximo.

  1. a) O mínimo é 5 e o máximo é 30, logo \text{amplitude} = 30 - 5 = 25 mensagens.
  2. Os extremos da caixa são Q_{1} = 11 e Q_{3} = 19, logo \text{AIQ} = 19 - 11 = 8 mensagens.
  3. b) Entre Q_{1} e Q_{3} está metade dos dias — 50\%.
  4. A caixa mede 8 e o bigode da direita, sozinho, mede 19 a 30, ou seja 11.Metade dos dias cabe num intervalo de 8 mensagens, mas o mês inteiro espalha-se por 25. É a leitura que a amplitude sozinha não dá.
Respostaa) amplitude 25 · AIQ 8 · b) metade, 50\%

Volta à fórmula: o que é que está dentro do somatório de s^{2}?

  1. Em s^{2} = \dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_{i}-\overline{x})^{2} só entram os desvios — as distâncias de cada dado à média.
  2. Um desvio padrão maior significa desvios maiores, ou seja, dados mais afastados da média: (C).
  3. As outras três não se seguem: os dados podem ser maiores e ter a mesma dispersão (A); o número de dados não é medido pelo desvio padrão (B); e a mediana pode até ser menor, apesar de a média ser igual (D).Duas amostras com a mesma média e desvios padrão diferentes são exatamente o caso do exercício seguinte, com números.
Resposta(C)

Na calculadora, os valores numa coluna e o número de alunos na outra. Repara em que aqui as frequências são contagens, não probabilidades.

  1. n = 2+5+8+4+1 = 20
  2. \overline{x} = \dfrac{8 \times 2 + 10 \times 5 + 12 \times 8 + 14 \times 4 + 16 \times 1}{20} = \dfrac{16+50+96+56+16}{20} = \dfrac{234}{20} = 11{,}7
  3. Com a calculadora, s \approx 2{,}05.Como os dados são uma amostra — as classificações observadas —, o valor a usar é s, não {\sigma}.
Respostasa) \overline{x} = 11{,}7 · b) s \approx 2{,}05

As duas médias dão 10. Depois disso, os desvios de B são exatamente o quádruplo dos de A — repara no que isso faz aos quadrados.

  1. a) \overline{x}_{A} = \dfrac{8+9+10+11+12}{5} = \dfrac{50}{5} = 10 e \overline{x}_{B} = \dfrac{2+6+10+14+18}{5} = \dfrac{50}{5} = 10.
  2. b) Em A, os desvios são -2, -1, 0, 1, 2 e os quadrados 4, 1, 0, 1, 4, que somam 10.
  3. s_{A}^{2} = \dfrac{10}{4} = 2{,}5 e s_{A} = \sqrt{2{,}5} \approx 1{,}58.
  4. Em B, os desvios são -8, -4, 0, 4, 8 e os quadrados 64, 16, 0, 16, 64, que somam 160.
  5. s_{B}^{2} = \dfrac{160}{4} = 40 e s_{B} = \sqrt{40} \approx 6{,}32.
  6. As pontuações da prova B estão muito mais espalhadas do que as da prova A, apesar de o centro ser o mesmo.A média sozinha não distingue as duas provas. É precisamente para isso que serve uma medida de dispersão: dizer o que a média cala.
Respostaa) \overline{x} = 10 nas duas · b) s_{A} \approx 1{,}58 e s_{B} \approx 6{,}32; a prova B é bastante mais dispersa

A marca é o ponto médio da classe: c_{1} = \dfrac{0+10}{2} = 5, e assim por diante. Depois pesa cada marca pela frequência da sua classe.

  1. Marcas: c_{1} = 5, c_{2} = 15, c_{3} = 25, c_{4} = 35.
  2. \overline{x} \approx \dfrac{5 \times 5 + 10 \times 15 + 10 \times 25 + 5 \times 35}{30} = \dfrac{25+150+250+175}{30} = \dfrac{600}{30} = 20 minutos.
  3. Desvios das marcas à média: -15, -5, 5, 15.
  4. Parcelas n_{i}(c_{i}-\overline{x})^{2}: 5 \times 225 = 1125, 10 \times 25 = 250, 10 \times 25 = 250, 5 \times 225 = 1125; a soma é 2750.
  5. s^{2} \approx \dfrac{2750}{29} \approx 94{,}83 e s \approx \sqrt{94{,}83} \approx 9{,}74 minutos.
  6. Os dois valores são aproximados, e o \approx escreve-se.A tabela já não guarda os tempos verdadeiros: substituiu cada um pela marca da sua classe. Com os 30 tempos originais os valores seriam outros — próximos, mas outros.
Resposta\overline{x} \approx 20 min · s \approx 9{,}74 min

Repara em quantos valores entram em cada uma das duas contas: a amplitude usa dois; a amplitude interquartil usa outros dois, e nenhum deles é um extremo.

  1. a) Conjunto I: 18 - 10 = 8 valores. Conjunto II: 18 - 3 = 15 valores.
  2. b) Em ambos, n = 7: \dfrac{25 \times 7}{100} = 1{,}75 \to 2, logo Q_{1} = x_{2} = 12; e \dfrac{75 \times 7}{100} = 5{,}25 \to 6, logo Q_{3} = x_{6} = 17.
  3. Nos dois conjuntos, \text{AIQ} = 17 - 12 = 5 valores.
  4. c) A amplitude é \text{máximo}-\text{mínimo}: o valor que mudou era o mínimo, e por isso a amplitude mudou logo.
  5. A amplitude interquartil só olha para Q_{1} e Q_{3}, que ocupam as posições 2 e 6. Baixar o menor valor de 10 para 3 não muda nenhuma dessas posições — o menor continua a ser o menor.É esta a diferença entre as duas: a amplitude conta com os dois extremos e mais nada; a amplitude interquartil ignora-os por completo, e mede só a largura dos 50\% centrais.
Respostaa) 8 e 15 · b) 5 nos dois · c) o valor alterado era o mínimo, que entra na amplitude e não entra nos quartis

Na calculadora, escreve os doze valores na lista V1 com frequência 1 e lê a média e o s no separador das medidas. Para a alínea b), calcula primeiro os dois extremos do intervalo.

  1. a) \overline{x} = \dfrac{740}{12} \approx 61{,}67 g e s \approx 9{,}14 g.
  2. b) \overline{x}-s \approx 52{,}53 g e \overline{x}+s \approx 70{,}81 g.
  3. Ficam dentro desse intervalo 55, 55, 58, 60, 61, 63, 66 e 70: são oito das doze massas.
  4. Ficam de fora quatro: 48 e 52 por baixo, 72 e 80 por cima.Oito em doze são dois terços. Não é coincidência que a maior parte dos dados caiba a menos de um desvio padrão da média — é a razão de s se chamar «desvio padrão»: é a distância típica de um dado ao centro.
Respostaa) \overline{x} \approx 61{,}67 g e s \approx 9{,}14 g · b) 8 massas

Na alínea b), lembra-te do que Q_{1} e Q_{3} deixam de cada lado. Na c), pergunta-te se a correção muda alguma das posições que decidem os quartis.

  1. a) \text{AIQ} = 21 - 12 = 9 minutos.
  2. b) Abaixo de Q_{1} está cerca de 25\% da amostra e acima de Q_{3} outros 25\%; entre os dois está cerca de 50\%.
  3. 50\% de 200 são cerca de 100 tempos.
  4. c) Os quartis são valores de posição: Q_{1} e Q_{3} saem das posições 50 e 150 da lista ordenada.
  5. O maior tempo continua a ser o maior depois da correção, e por isso nenhum valor troca de posição: Q_{1} e Q_{3} são os mesmos e a amplitude interquartil também.A amplitude, essa, saltava de 50 menos o mínimo para 500 menos o mínimo. Duas medidas de dispersão, a mesma correção, e reações opostas — é a razão de haver mais do que uma.
Respostaa) 9 min · b) cerca de 100 · c) os quartis dependem de posições, e a correção não muda nenhuma

Com dados agrupados, cada classe representa-se pelo seu ponto médio, e usa-se a média ponderada pelas contagens.

  1. Pontos médios: 12, 16, 20 e 24.
  2. a) \overline{x} \approx \dfrac{6 \times 12 + 14 \times 16 + 13 \times 20 + 7 \times 24}{40} = \dfrac{72 + 224 + 260 + 168}{40} = \dfrac{724}{40} = 18{,}1 cm.
  3. b) Porque se perdeu a informação sobre os valores exatos: admite-se que, dentro de cada classe, os dados se distribuem em torno do ponto médio. Se estivessem todos junto de um dos extremos, a média verdadeira seria diferente.
  4. c) Até [18,\, 22[ acumulam-se 6+14+13 = 33 plantas: \dfrac{33}{40} = 0{,}825.É esta perda de informação que o histograma torna visível — e é também por isso que, quanto mais estreitas as classes, melhor a aproximação. É o fio que leva ao laboratório da secção 14.
Respostasa) \approx 18{,}1 cm · c) 0{,}825

Escreve as unidades ao lado de cada número. O que é que 5 g e 3 cm têm em comum?

  1. O desvio padrão vem nas unidades dos dados: o da amostra I é 3 centímetros, o da amostra II é 5 gramas.
  2. Comparar 5 gramas com 3 centímetros não é comparar dispersões — é comparar coisas que não se somam nem se subtraem uma à outra.
  3. E as duas médias serem 12 não ajuda: 12 cm e 12 g também não são a mesma coisa.
  4. A afirmação é, portanto, infundada. O desvio padrão compara dispersões da mesma variável, medida na mesma unidade — como as duas provas do exercício e5e, ambas em pontos.
  5. Se a mesma amostra de comprimentos fosse convertida de centímetros para milímetros, o desvio padrão passaria de 3 para 30 sem que uma única folha mudasse.É isso que mostra que o número sozinho não mede nada: mede na unidade em que está. Em R6 vais ver exatamente o que uma mudança de unidade faz a cada medida.
RespostaNão se pode concluir isso: as duas amostras medem variáveis diferentes, em unidades diferentes

Na alínea a), soma as vinte durações. Na b), as marcas são 12{,}5, 17{,}5, 22{,}5, 27{,}5 e 32{,}5.

  1. a) A soma das vinte durações é 430{,}4, logo \overline{x} = \dfrac{430{,}4}{20} = 21{,}52 segundos.
  2. b) \overline{x} \approx \dfrac{2 \times 12{,}5 + 6 \times 17{,}5 + 7 \times 22{,}5 + 4 \times 27{,}5 + 1 \times 32{,}5}{20}.
  3. = \dfrac{25 + 105 + 157{,}5 + 110 + 32{,}5}{20} = \dfrac{430}{20} = 21{,}5 segundos.
  4. c) A diferença é de 0{,}02 segundos, e vem de a tabela agrupada ter substituído cada duração pela marca da sua classe: dentro de cada classe, uns dados estão acima da marca e outros abaixo, e os desvios quase se anulam.
  5. Com classes de amplitude h, nenhum dado dista da sua marca mais do que \dfrac{h}{2}; aqui, 2{,}5 segundos. Reduzir h reduz essa garantia — e é isso que aproxima os dois valores.
  6. Mas o que a faz desaparecer é ter os dados brutos: com eles, a média sai exata e não há nada a aproximar.É por isso que a tabela agrupada não substitui os dados originais quando eles existem. Agrupar é uma forma de ver a distribuição, não de a guardar.
Respostaa) 21{,}52 s · b) 21{,}5 s · c) diferença de 0{,}02 s, devida às marcas; classes mais estreitas garantem um erro menor, e os dados brutos dão o valor exato

O caule-e-folhas já entrega os dados ordenados: o caule 5 com a folha 2 é o valor 52. Para os quartis, n = 18.

  1. a) Os valores são 52, 54, 57, 60, 61, 63, 65, 68, 68, 70, 72, 74, 76, 79, 81, 83, 85 e 90.
  2. \dfrac{50 \times 18}{100} = 9, que é inteiro, logo M_{e} = \dfrac{x_{9}+x_{10}}{2} = \dfrac{68+70}{2} = 69 mm.
  3. b) \overline{x} = \dfrac{1258}{18} \approx 69{,}89 mm e s \approx 11{,}02 mm.
  4. c) \text{amplitude} = 90 - 52 = 38 mm.
  5. \dfrac{25 \times 18}{100} = 4{,}5 \to 5, logo Q_{1} = x_{5} = 61 mm; e \dfrac{75 \times 18}{100} = 13{,}5 \to 14, logo Q_{3} = x_{14} = 79 mm.
  6. \text{AIQ} = 79 - 61 = 18 mm.
  7. Leitura: os 18 meses espalham-se por 38 mm, mas metade deles cabe numa faixa de 18 mm à volta do centro; e a distância típica de um mês à média é de cerca de 11 mm.As três medidas dizem coisas diferentes sobre o mesmo conjunto — 38, 18 e 11 — e nenhuma delas está errada. A amplitude fala dos extremos, a amplitude interquartil do miolo, o desvio padrão de todos os dados ao mesmo tempo.
Respostaa) M_{e} = 69 mm · b) \overline{x} \approx 69{,}89 mm e s \approx 11{,}02 mm · c) amplitude 38 mm e AIQ 18 mm
R6

Propriedades das medidas

Se se somar o mesmo a todos os dados, o que acontece à média? E ao desvio padrão? E se um único valor for substituído por outro muito maior? As respostas a estas perguntas são matéria — e são o que permite escolher, em cada situação, a medida de centro e a medida de dispersão certas.

Aprendizagens Essenciais · 10.º ano · págs. 23–24
  • Interpretar e mostrar analiticamente as alterações provocadas na média por transformação dos dados pela multiplicação de cada um por uma constante "a" e pela adição de uma constante "b". (pág. 23)
  • Compreender os conceitos e as seguintes propriedades das medidas: Pouca resistência da média e do desvio padrão; Soma dos desvios dos dados relativamente à média é igual a zero; Desvio padrão é igual a zero se e só se todos os dados forem iguais; Amplitude interquartil igual a zero, não implica a não existência de variabilidade. (pág. 23)
  • Reconhecer que existem situações em que é preferível utilizar, como medida de localização do centro da distribuição dos dados, a mediana em vez da média, e como medida de dispersão a amplitude interquartil em vez do desvio padrão, apresentando exemplos simples. (págs. 23–24)
  • Reconhecer que algumas representações gráficas são mais adequadas que outras para comparar conjuntos de dados, nomeadamente o diagrama de extremos e quartis, para comparar a distribuição de dois ou mais conjuntos de dados, realçando aspetos de simetria, dispersão, concentração, etc. (pág. 24)

1 · Transformar os dados: y = ax + b

Mudar de unidade — de centímetros para metros, de euros para dólares, de graus Celsius para graus Fahrenheit — é sempre a mesma operação: substituir cada dado x_{i} por a\,x_{i}+b. Aplicar um desconto a todos os preços, somar três anos a todas as idades, converter uma escala de 0 a 20 numa de 0 a 100: tudo isso é ax+b. E não é preciso refazer conta nenhuma para saber o que acontece à média, à mediana, aos quartis, ao desvio padrão, à amplitude e à amplitude interquartil.

O efeito de y = ax+b

Substitui-se cada dado x_{i} por y_{i} = a\,x_{i}+b, com a > 0. Então as medidas de localização sofrem a mesma transformação que os dados,

\overline{y} = a\,\overline{x}+b, \qquad M_{e}(y) = a\,M_{e}(x)+b, \qquad Q_{1}(y) = a\,Q_{1}(x)+b, \qquad Q_{3}(y) = a\,Q_{3}(x)+b,

e as medidas de dispersão ficam apenas multiplicadas por a:

s_{y} = a\,s_{x}, \qquad \text{AIQ}(y) = a\,\text{AIQ}(x), \qquad \text{amplitude}(y) = a \times \text{amplitude}(x).

Somar b desloca as medidas de localização e não mexe nas de dispersão; multiplicar por a multiplica as duas.

De todas estas propriedades, a da média é a única que as Aprendizagens Essenciais mandam mostrar analiticamente. E mostra-se em três linhas:

\overline{y} = \frac{(a x_{1}+b)+(a x_{2}+b)+\ldots+(a x_{n}+b)}{n} = \frac{a\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right) + n\,b}{n} = a\,\overline{x}+b.

O passo que faz o trabalho é o do meio: no numerador há n parcelas iguais a b, que somam n\,b — e n\,b a dividir por n dá b. A outra parcela é a vezes a soma dos x_{i}, que a dividir por n dá a\,\overline{x}.

Para o desvio padrão, explorar — não demonstrar

Para o desvio padrão as Aprendizagens Essenciais não pedem demonstração: pedem que se explore com a tecnologia, e é o que o laboratório desta secção faz. A razão vê-se, ainda assim, numa linha — o b desaparece logo nos desvios:

y_{i} - \overline{y} = \left(a x_{i}+b\right) - \left(a\,\overline{x}+b\right) = a\left(x_{i}-\overline{x}\right).

Cada desvio ficou multiplicado por a, e mais nada — daí s_{y} = a\,s_{x}. Este capítulo trata sempre a > 0, que é o caso de todas as mudanças de unidade; com a < 0 a ordem dos dados inverte-se (o mínimo passa a máximo) e o desvio padrão passa a ser s_{y} = |a|\,s_{x}.

Exemplo 11 De graus Celsius para graus Fahrenheit

As temperaturas máximas de cinco dias, em graus Celsius, foram

13, \quad 19, \quad 20, \quad 21, \quad 27.

Confirma-se sem dificuldade que \overline{x} = 20, M_{e} = 20, Q_{1} = 19, Q_{3} = 21, amplitude interquartil = 2 e s = 5.

Convertendo para graus Fahrenheit pela regra F = 1{,}8\,C+32, determina as mesmas cinco medidas na nova escala.

  1. Os cinco valores convertidos são 55{,}4, 66{,}2, 68, 69{,}8 e 80{,}6.
  2. Aqui a = 1{,}8 e b = 32. Média: \overline{y} = 1{,}8 \times 20 + 32 = 68.
  3. Mediana: M_{e}(y) = 1{,}8 \times 20 + 32 = 68.
  4. Quartis: Q_{1}(y) = 1{,}8 \times 19 + 32 = 66{,}2 e Q_{3}(y) = 1{,}8 \times 21 + 32 = 69{,}8.
  5. Desvio padrão: s_{y} = 1{,}8 \times 5 = 9. Amplitude interquartil: 1{,}8 \times 2 = 3{,}6.
  6. Repara no que aconteceu ao +32: entrou na média, na mediana e nos quartis, e não entrou no desvio padrão nem na amplitude interquartil.Faz sentido: deslocar toda a gente 32 unidades para cima não aproxima nem afasta ninguém de ninguém. O que muda distâncias é o 1{,}8 — e esse multiplica tudo, localização e dispersão.
Resposta\overline{y} = 68, M_{e} = 68, Q_{1} = 66{,}2, Q_{3} = 69{,}8, s_{y} = 9 e amplitude interquartil = 3{,}6, em graus Fahrenheit

Laboratório · O que os dois números de y = ax + b fazem às medidas

interativo

Deixa o a em 1 e mexe só no b: as duas faixas deslizam juntas, a média e a mediana andam com elas e o desvio padrão e a amplitude interquartil não mudam um milímetro. Agora põe o b a zero e mexe no a: agora muda tudo, e tudo na mesma proporção. O botão C → F faz as duas coisas ao mesmo tempo — é a conversão de graus Celsius em graus Fahrenheit do exemplo desta secção.

2 · A soma dos desvios é zero

Chama-se desvio do dado x_{i} à diferença x_{i}-\overline{x}: leva sinal, e diz de que lado da média o dado está e a que distância. Somá-los todos parece a maneira mais natural de medir dispersão — e não é, por uma razão que se demonstra em duas linhas.

Propriedade · a soma dos desvios

Seja qual for a amostra,

\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right) = 0.

De facto, \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} - n\,\overline{x}, porque \overline{x} aparece n vezes; e como \sum_{i=1}^{n} x_{i} = n\,\overline{x}, por definição de média, a diferença é n\,\overline{x} - n\,\overline{x} = 0.

Nas cinco temperaturas do exemplo anterior, com \overline{x} = 20, os desvios são

13-20 = -7, \quad 19-20 = -1, \quad 20-20 = 0, \quad 21-20 = 1, \quad 27-20 = 7,

e somam -7-1+0+1+7 = 0. Não é coincidência nem propriedade destes cinco números: acontece sempre. Os desvios negativos compensam exatamente os positivos — a média é o ponto de equilíbrio dos dados.

É por isso que a dispersão não se pode medir somando desvios: daria zero para toda a gente, para os dados apertados e para os dados espalhados. Elevam-se ao quadrado primeiro, e é daí que sai a variância — e, com ela, o desvio padrão.

3 · s = 0 e amplitude interquartil = 0

s = 0 se e só se todos os dados forem iguais

Se todos os dados são iguais, são todos iguais à média, todos os desvios são nulos, a soma dos quadrados é nula e s = 0.

Ao contrário: se s = 0, então \left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+\ldots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^{2} = 0. Uma soma de quadrados só é nula quando cada quadrado é nulo, logo x_{i} = \overline{x} para todo o i — e os dados são todos iguais entre si.

Com o desvio padrão, portanto, zero quer mesmo dizer «não há variabilidade nenhuma». Com a amplitude interquartil, não.

Amplitude interquartil igual a zero não quer dizer «sem variabilidade»

A amplitude interquartil só olha para dois números, Q_{1} e Q_{3}: mede a largura dos 50\% centrais e mais nada. Se esses 50\% centrais forem todos iguais, a caixa fecha-se — e as pontas podem continuar tão afastadas quanto se queira. Toma as pontuações de dez jogadores:

2, \quad 8, \quad 8, \quad 8, \quad 8, \quad 8, \quad 8, \quad 8, \quad 8, \quad 15.

Como \dfrac{25 \times 10}{100} = 2{,}5 não é inteiro, arredonda-se para 3 e Q_{1} = x_{3} = 8; como \dfrac{75 \times 10}{100} = 7{,}5 também não é inteiro, arredonda-se para 8 e Q_{3} = x_{8} = 8. Logo a amplitude interquartil é 8-8 = 0.

E, no entanto, a amplitude é 15-2 = 13 e s \approx 3{,}07. Há variabilidade — está toda nas pontas, que é justamente onde a AIQ não olha.

4 · Resistência: quando a mediana ganha à média

Pouca resistência da média e do desvio padrão

A média e o desvio padrão mudam sempre que se altera um dado, e mudam tanto mais quanto maior for a alteração: todos os valores entram na conta, e entram pelo valor que têm.

A mediana e a amplitude interquartil, não: só dependem das posições centrais. Puxar o maior dos dados para dez vezes o que era não lhes mexe. Diz-se, por isso, que a mediana e a amplitude interquartil são resistentes, e que a média e o desvio padrão têm pouca resistência.

Outlier

Chama-se outlier a um dado muito diferente do padrão dos restantes. É tudo o que a palavra diz: não há aqui nenhum critério numérico que decida, a partir de que distância, um valor passa a sê-lo — olha-se para os dados e para o contexto de onde vieram. O que interessa é o efeito: um outlier arrasta consigo a média e o desvio padrão, e deixa a mediana e a amplitude interquartil onde estavam.

Exemplo 12 Nove compras

Numa loja registaram-se os valores, em euros, das compras de nove clientes seguidos:

9, \quad 10, \quad 11, \quad 12, \quad 12, \quad 13, \quad 14, \quad 15, \quad 84.

Compara as quatro medidas com e sem a compra de 84 €.

  1. Com as nove. A soma é 180, logo \overline{x} = \dfrac{180}{9} = 20 €.
  2. Com n = 9, a mediana é o valor da posição 5: M_{e} = 12 €.
  3. Q_{1} = x_{3} = 11 e Q_{3} = x_{7} = 14, logo a amplitude interquartil é 14-11 = 3 €. E s \approx 24{,}07 €.
  4. Sem a compra de 84 €. A soma passa a 96 e n a 8, logo \overline{x} = \dfrac{96}{8} = 12 €.
  5. Com n = 8, a mediana é a média dos valores das posições 4 e 5: M_{e} = \dfrac{12+12}{2} = 12 €.
  6. Q_{1} = \dfrac{10+11}{2} = 10{,}5 e Q_{3} = \dfrac{13+14}{2} = 13{,}5, logo a amplitude interquartil é 13{,}5-10{,}5 = 3 €. E s = 2 €.
  7. Um único cliente fez a média saltar de 12 € para 20 € e o desvio padrão de 2 € para 24{,}07 €. A mediana e a amplitude interquartil não se mexeram um cêntimo.Dizer que «a compra média foi de 20 €» descreve mal o que se passou naquela loja: oito dos nove clientes gastaram menos do que isso. A mediana de 12 € responde melhor à pergunta que interessa — quanto gasta um cliente normal?
RespostaA média passa de 20 € para 12 € e o desvio padrão de \approx 24{,}07 € para 2 €; a mediana (12 €) e a amplitude interquartil (3 €) não mudam.
A regra prática

Quando a distribuição é aproximadamente simétrica e não tem valores muito afastados dos outros, usam-se média e desvio padrão — aproveitam todos os dados. Quando há outliers, ou a distribuição é claramente assimétrica, usam-se mediana e amplitude interquartil, que não se deixam arrastar.

Onde é que a média e a mediana ficam

Numa distribuição aproximadamente simétrica, média, mediana e moda ficam próximas umas das outras. Quando há uma cauda comprida à direita — poucos valores muito grandes —, a média é puxada para lá e fica acima da mediana; com a cauda à esquerda, acontece o contrário. É uma tendência que ajuda a ler um histograma, e não uma regra para aplicar de olhos fechados: há distribuições assimétricas que não a cumprem.

5 · Comparar distribuições

O diagrama de extremos e quartis foi feito para isto. Dois ou mais, desenhados sobre o mesmo eixo e à mesma escala, deixam ler de uma vez o centro (onde está o traço da mediana), a dispersão (a largura da caixa e o comprimento total), a simetria (a posição da mediana dentro da caixa e o comprimento relativo dos dois bigodes) e a concentração (uma caixa estreita quer dizer que metade dos dados está apertada num intervalo curto). Nenhuma medida sozinha diz isto tudo.

Exemplo 13 Duas turmas, a mesma mediana

As classificações, de 0 a 20, de doze alunos de cada uma de duas turmas foram

\text{A:} \quad 8,\ 9,\ 10,\ 11,\ 12,\ 12,\ 13,\ 13,\ 14,\ 15,\ 16,\ 17; \text{B:} \quad 4,\ 6,\ 8,\ 10,\ 11,\ 12,\ 13,\ 14,\ 15,\ 17,\ 18,\ 20.

Compara as duas distribuições.

  1. Turma A. Mínimo 8; Q_{1} = \dfrac{10+11}{2} = 10{,}5; M_{e} = \dfrac{12+13}{2} = 12{,}5; Q_{3} = \dfrac{14+15}{2} = 14{,}5; máximo 17.
  2. Turma B. Mínimo 4; Q_{1} = \dfrac{8+10}{2} = 9; M_{e} = \dfrac{12+13}{2} = 12{,}5; Q_{3} = \dfrac{15+17}{2} = 16; máximo 20.
  3. Amplitude interquartil: 14{,}5-10{,}5 = 4 na A e 16-9 = 7 na B.
  4. Amplitude: 17-8 = 9 na A e 20-4 = 16 na B.
  5. A mediana é a mesma nas duas turmas, 12{,}5. Mas a caixa de B é quase o dobro da de A, e a amplitude também: a turma B é muito mais heterogénea.É um exemplo do que uma medida de centro sozinha não consegue dizer. Se um jornal escrevesse «as duas turmas tiveram o mesmo resultado», estaria a dizer a verdade — e a esconder o essencial: na turma B há alunos com 4 e alunos com 20.
RespostaA mediana é 12{,}5 nas duas; a turma B é muito mais dispersa (amplitude interquartil 7 contra 4, amplitude 16 contra 9).

Desenhados sobre o mesmo eixo, os dois diagramas dizem isto de uma vez, e sem contas:

Turma A Turma B classificação 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Duas distribuições com a mesma mediana, 12{,}5, e espalhamentos muito diferentes. Desenhadas sobre o mesmo eixo, a comparação faz-se a olho: a caixa da turma B é quase o dobro da da turma A.
Python Antes e depois de ax+b

O programa calcula as quatro medidas de uma lista e da lista transformada, e põe-nas lado a lado. A função quartil é a regra dos percentis do capítulo: calcula \dfrac{k\,n}{100}, e se der um inteiro faz a média das duas posições, senão arredonda para cima.

def media(d):
    return sum(d) / len(d)

def quartil(d, k):
    d = sorted(d)
    n = len(d)
    p = k * n / 100
    if p == int(p):
        m = int(p)
        return (d[m - 1] + d[m]) / 2
    m = int(p) + 1
    return d[m - 1]

def mediana(d):
    return quartil(d, 50)

def desvio(d):
    m = media(d)
    v = sum((x - m) ** 2 for x in d) / (len(d) - 1)
    return v ** 0.5

def medidas(d):
    return [media(d), mediana(d), desvio(d), quartil(d, 75) - quartil(d, 25)]

dados = [13, 19, 20, 21, 27]
a = 1.8
b = 32
novos = [a * x + b for x in dados]

nomes = ["media", "mediana", "desvio padrao", "AIQ"]
antes = medidas(dados)
depois = medidas(novos)
print("medida          antes    depois")
for i in range(4):
    print(nomes[i].ljust(14), round(antes[i], 2), "  ", round(depois[i], 2))

Põe a = 1 e mexe só no b: a média e a mediana andam com ele e as duas últimas colunas não se mexem. Depois põe b = 0 e mexe só no a: agora multiplicam-se as quatro. É a propriedade de §1, verificada em dois segundos — e é também o que o laboratório desta secção faz com os cursores.

Exercícios propostos

Doze exercícios sobre as propriedades das medidas: o efeito de ax+b — incluindo a demonstração que as Aprendizagens Essenciais pedem para a média —, a soma nula dos desvios, os dois casos em que uma medida de dispersão dá zero, a resistência da mediana e da amplitude interquartil contra a fragilidade da média e do desvio padrão, e a comparação de duas distribuições por diagramas de extremos e quartis paralelos.

Exercício 73§R6 · somar uma constante

Registaram-se as idades dos sócios de um clube de xadrez e obteve-se \overline{x} = 15{,}4 anos e s = 2{,}1 anos.

Daqui a 3 anos, e supondo que são exatamente as mesmas pessoas, determina a média e o desvio padrão das idades.

Exercício 74§R6 · multiplicar por uma constante

Os artigos de um catálogo têm preço médio \overline{x} = 24 € e desvio padrão s = 6 €.

A loja aplica um desconto de 25\% a todos os artigos. Determina a nova média e o novo desvio padrão.

Exercício 75§R6 · a soma dos desvios

Considera uma amostra x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} de média \overline{x}.

A soma dos desvios dos dados em relação à média, \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right), é:

  • (A)sempre positiva.
  • (B)sempre igual a zero.
  • (C)igual ao desvio padrão.
  • (D)igual a n.
Exercício 76§R6 · trocar um valor

Sete atendimentos demoraram, em minutos,

10, \quad 12, \quad 13, \quad 15, \quad 16, \quad 17, \quad 18.

Um erro de registo trocou o último valor: onde estava 18 passou a estar 60.

a) Determina a média e a mediana antes da troca. b) Determina a média e a mediana depois da troca. c) Diz qual das duas medidas deu por causa do erro.

Exercício 77§R6 · mostrar analiticamente

Seja x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{n} uma amostra de média \overline{x}, e sejam a e b dois números reais.

Mostra que a amostra a x_{1}+b,\ a x_{2}+b,\ \ldots,\ a x_{n}+b tem média a\,\overline{x}+b.

Exercício 78§R6 · verificar e justificar

Cinco pacotes de fruta têm, em gramas, as massas

48, \quad 51, \quad 55, \quad 58, \quad 63.

a) Calcula a média e os cinco desvios em relação à média. b) Verifica que os cinco desvios somam zero. c) Justifica, em geral, por que razão isso acontece com qualquer amostra.

Exercício 79§R6 · dois diagramas paralelos

Registou-se, ao longo de uma semana, o número de atendimentos por hora em duas lojas. Os dois diagramas de extremos e quartis estão desenhados sobre o mesmo eixo.

Loja A Loja B atendimentos por hora 0 5 10 15 20
Atendimentos por hora em duas lojas, ao longo de uma semana.

Classifica cada afirmação em verdadeira ou falsa, justificando.

a) As duas lojas têm a mesma mediana. b) A loja A tem maior amplitude do que a loja B. c) A loja B tem maior amplitude interquartil do que a loja A. d) Metade dos valores registados na loja B está entre 8 e 10 atendimentos por hora.

Exercício 80§R6 · qual medida usar

Oito pessoas foram atendidas num balcão. Os tempos de atendimento, em minutos, foram

17, \quad 19, \quad 21, \quad 22, \quad 22, \quad 23, \quad 25, \quad 27.

Uma nona pessoa levou 112 minutos, porque o seu processo tinha um problema informático.

a) Determina a média e a mediana dos oito primeiros tempos. b) Determina a média e a mediana dos nove tempos. c) Diz qual das duas medidas descreve melhor o serviço daquele balcão, e porquê.

Exercício 81§R6 · quando é que s é zero

O desvio padrão amostral de uma amostra é igual a zero.

Então, com certeza:

  • (A)a média é zero.
  • (B)a amostra tem um só elemento.
  • (C)todos os dados são iguais.
  • (D)a amplitude interquartil é diferente de zero.
Exercício 82§R6 · efeito de um valor extremo

Os salários mensais, em euros, de uma pequena empresa com 6 trabalhadores são 900, 950, 1000, 1000, 1050 e 5100 (o do sócio-gerente).

a) Determina a média e a mediana.b) Qual das duas descreve melhor «o salário de quem ali trabalha»? Justifica.

Exercício 83§R6 · somar uma constante

Uma amostra tem média \overline{x} = 14 e desvio padrão s = 3.

a) Somando 2 a todos os valores, o que acontece à média e ao desvio padrão?b) E multiplicando todos os valores por 2?c) Justifica a resposta dada em a) para o desvio padrão.

Exercício 84§R6 · comparar dois conjuntos

Duas turmas fizeram o mesmo teste. As classificações foram:

Turma A: 10, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 16Turma B: 6, 9, 11, 13, 13, 16, 18, 18

a) Mostra que as duas turmas têm a mesma média.b) Sem calcular, indica qual tem maior desvio padrão e porquê.c) Confirma com a calculadora, usando o desvio padrão amostral.

Exercício 85§R6 · AIQ nula com variabilidade

a) Constrói uma amostra de 10 valores inteiros com amplitude interquartil igual a 0 e amplitude igual a 13. b) Explica por que razão uma amostra assim não contradiz nada do que se disse sobre medidas de dispersão.

Exercício 86§R6 · mudar de escala

Cinco classificações, na escala de 0 a 20, foram

8, \quad 11, \quad 12, \quad 14, \quad 15.

Convertem-se para a escala de 0 a 100 pela regra y = 5x+5.

a) Determina \overline{x}, M_{e}, s e a amplitude interquartil antes e depois da conversão. b) Diz quais destas quatro medidas mudaram por causa do 5 que multiplica e quais mudaram por causa do +5.

Exercício 87§R6 · escolher as medidas

De três conjuntos de dados conhecem-se os cinco números e uma descrição:

I — massas, em gramas, de 40 pacotes: 12, 18, 22, 26, 32; o histograma é aproximadamente simétrico e não há valores afastados dos outros. II — donativos, em euros, de 30 pessoas: 4, 7, 9, 11, 58; um único donativo é muito maior do que todos os outros. III — mensagens enviadas num dia por 24 alunos: 0, 5, 5, 5, 14; mais de metade dos alunos enviou exatamente 5.

Para cada conjunto, escolhe a medida de localização do centro e a medida de dispersão que melhor o descrevem, e justifica com as propriedades desta secção.

Daqui a três anos cada idade x_{i} passou a x_{i}+3: é a transformação y = ax+b com a = 1 e b = 3.

  1. Média: \overline{y} = 1 \times 15{,}4 + 3 = 18{,}4 anos.
  2. Desvio padrão: s_{y} = 1 \times 2{,}1 = 2{,}1 anos — não muda.
  3. Somar a mesma quantidade a todos os dados desloca-os em bloco.O grupo envelheceu todo ao mesmo tempo: as distâncias entre as idades são exatamente as mesmas de hoje, e é isso que o desvio padrão mede.
Resposta\overline{y} = 18{,}4 anos e s_{y} = 2{,}1 anos

Descontar 25\% é multiplicar cada preço por 0{,}75: é a transformação y = ax com a = 0{,}75 e b = 0.

  1. Média: \overline{y} = 0{,}75 \times 24 = 18 €.
  2. Desvio padrão: s_{y} = 0{,}75 \times 6 = 4{,}50 €.
  3. Aqui a dispersão muda: os preços ficaram mais próximos uns dos outros, na mesma proporção em que baixaram.Reparaste na diferença? No exercício anterior somava-se; aqui multiplica-se. Somar desloca e não aperta; multiplicar desloca e aperta.
Resposta18 € e 4{,}50 €

Separa a soma em duas: \sum x_{i} e \sum \overline{x}. Quanto vale cada uma?

  1. \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} - n\,\overline{x}, porque \overline{x} aparece n vezes.
  2. Mas \sum_{i=1}^{n} x_{i} = n\,\overline{x}, por definição de média.
  3. Logo a soma é n\,\overline{x} - n\,\overline{x} = 0, sejam quais forem os dados.É por isso que uma medida de dispersão não pode ser a soma dos desvios: daria zero para toda a gente. Elevam-se ao quadrado primeiro — e daí sai a variância.
Resposta(B)

Os dados já estão ordenados e n = 7 é ímpar: a mediana é o valor da posição 4. Para a média, soma tudo e divide por 7.

  1. a) \overline{x} = \dfrac{101}{7} \approx 14{,}43 minutos; o valor da posição 4 é 15, logo M_{e} = 15 minutos.
  2. b) A nova soma é 143, logo \overline{x} = \dfrac{143}{7} \approx 20{,}43 minutos.
  3. Os dados continuam ordenados e o da posição 4 continua a ser 15: M_{e} = 15 minutos.
  4. c) A média deu por causa do erro — subiu seis minutos. A mediana não deu por nada.A mediana só olha para quem está na posição do meio, e não para o valor de quem está nos extremos. É exatamente isso que se chama ser resistente.
Respostaa) \approx 14{,}43 e 15 · b) \approx 20{,}43 e 15 · c) a média

Escreve a definição de média da nova amostra e separa a soma em duas parcelas: a que tem os a x_{i} e a que tem os b.

  1. Por definição de média, \overline{y} = \frac{(a x_{1}+b)+(a x_{2}+b)+\ldots+(a x_{n}+b)}{n}.
  2. No numerador há n parcelas a x_{i} e n parcelas b. Pondo a em evidência nas primeiras: \overline{y} = \frac{a\left(x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}\right) + n\,b}{n}.
  3. Separando a fração em duas: \overline{y} = a \cdot \frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n} + \frac{n\,b}{n} = a\,\overline{x}+b.
  4. Como se queria mostrar.O passo que faz o trabalho é o do meio: as n parcelas b somam n\,b, e n\,b a dividir por n dá b. É por isso que o b reaparece inteiro na média.
Resposta\overline{y} = a\,\overline{x}+b

O desvio do dado x_{i} é x_{i}-\overline{x} — leva sinal. Na alínea c), soma \sum x_{i} e \sum \overline{x} em separado.

  1. a) \overline{x} = \dfrac{48+51+55+58+63}{5} = \dfrac{275}{5} = 55 gramas.
  2. Desvios: -7, -4, 0, 3 e 8.
  3. b) -7-4+0+3+8 = 0. ✓
  4. c) \sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right) = \sum_{i=1}^{n} x_{i} - n\,\overline{x} = n\,\overline{x} - n\,\overline{x} = 0.
  5. Os desvios negativos compensam exatamente os positivos.A média é o ponto de equilíbrio dos dados: se pusesses os cinco valores sobre uma régua, com pesos iguais, a régua ficaria equilibrada em 55.
Respostaa) \overline{x} = 55 g; desvios -7, -4, 0, 3, 8 · b) somam 0 · c) porque \sum x_{i} = n\,\overline{x}

Lê os cinco números de cada diagrama: mínimo, Q_{1}, mediana, Q_{3} e máximo. A amplitude é máximo menos mínimo; a amplitude interquartil é a largura da caixa.

  1. Loja A: 2, Q_{1} = 6, M_{e} = 9, Q_{3} = 12, 20. Loja B: 5, Q_{1} = 8, M_{e} = 9, Q_{3} = 10, 14.
  2. a) Verdadeira. O traço da mediana está em 9 nas duas.
  3. b) Verdadeira. Amplitude de A: 20-2 = 18; de B: 14-5 = 9.
  4. c) Falsa. A amplitude interquartil de B é 10-8 = 2 e a de A é 12-6 = 6: é a de A que é maior — a caixa de A é visivelmente mais larga.
  5. d) Verdadeira. Entre Q_{1} e Q_{3} está sempre cerca de metade dos dados, e na loja B esse intervalo é [8, 10].
  6. Mesma mediana, distribuições muito diferentes.A loja B é a previsível: quase todas as horas rendem entre 8 e 10 atendimentos. A loja A tem horas mortas e horas de ponta — e, no entanto, a hora do meio é igual nas duas.
Respostaa) V · b) V · c) F · d) V

Com n = 8 a mediana é a média dos valores das posições 4 e 5; com n = 9 é o valor da posição 5.

  1. a) A soma dos oito é 176, logo \overline{x} = \dfrac{176}{8} = 22 minutos.
  2. Posições 4 e 5: 22 e 22. Logo M_{e} = 22 minutos.
  3. b) A soma dos nove é 288, logo \overline{x} = \dfrac{288}{9} = 32 minutos.
  4. Posição 5: 22. Logo M_{e} = 22 minutos.
  5. c) A mediana. Dizer que o atendimento médio demora 32 minutos descreve mal aquele balcão: oito das nove pessoas esperaram menos de 28 minutos.Um só outlier em nove dados deslocou a média dez minutos. A mediana, que continua em 22, é a que responde à pergunta que interessa: quanto tempo espera uma pessoa normal?
Respostaa) 22 e 22 · b) 32 e 22 · c) a mediana

s^{2} é uma soma de quadrados a dividir por n-1. Uma soma de quadrados só é nula quando cada quadrado é nulo.

  1. Se s = 0, então s^{2} = 0, ou seja \left(x_{1}-\overline{x}\right)^{2}+\ldots+\left(x_{n}-\overline{x}\right)^{2} = 0.
  2. Cada parcela é um quadrado, logo é maior ou igual a zero. Uma soma de parcelas não negativas só é nula se todas forem nulas.
  3. Então x_{i}-\overline{x} = 0 para todo o i, ou seja, todos os dados são iguais à média — e, portanto, iguais entre si.
  4. (A) é falsa: os dados podem ser todos iguais a 7. (B) é falsa: podem ser dez valores iguais. (D) é falsa: se todos os dados são iguais, também Q_{1} = Q_{3} e a amplitude interquartil é zero.
Resposta(C)

A mediana de seis valores ordenados é a média dos dois do meio.

  1. \overline{x} = \dfrac{900+950+1000+1000+1050+5100}{6} = \dfrac{10\,000}{6} \approx 1666{,}67 €
  2. Ordenados, os dois do meio são 1000 e 1000: a mediana é 1000 €.
  3. A mediana descreve melhor: cinco dos seis trabalhadores ganham menos do que a média, que está inflacionada por um único salário muito acima dos restantes.A média não é «errada» — responde a outra pergunta: quanto custaria a folha salarial dividida por igual.
Respostasa) \overline{x} \approx 1666{,}67 €, mediana 1000 € · b) a mediana

Pensa no que cada transformação faz aos desvios em relação à média, que é o que o desvio padrão mede.

  1. a) A média passa a 16; o desvio padrão não muda, continua 3.
  2. b) A média passa a 28 e o desvio padrão passa a 6.
  3. c) Se todos os valores sobem 2, a média também sobe 2, e cada desvio x_{i} - \overline{x} fica igual: (x_{i}+2) - (\overline{x}+2) = x_{i} - \overline{x}. Como o desvio padrão só depende desses desvios, não se altera.Deslocar não espalha; ampliar espalha. É a razão pela qual mudar de graus Celsius para Kelvin não altera o desvio padrão, mas mudar para Fahrenheit altera.
Respostasa) média 16, desvio 3 · b) média 28, desvio 6

O desvio padrão mede o espalhamento em torno da média, não o valor da média.

  1. a) Turma A: 10+12+12+13+13+14+14+16 = 104, logo \overline{x} = 13. Turma B: 6+9+11+13+13+16+18+18 = 104, logo também 13.
  2. b) A turma B: as suas notas vão de 6 a 18, enquanto as de A ficam todas entre 10 e 16 — estão muito mais concentradas em torno de 13.
  3. c) Com a calculadora, s_{A} \approx 1{,}77 e s_{B} \approx 4{,}28 ✓Médias iguais e espalhamentos muito diferentes: é o exemplo que mostra por que razão a média sozinha nunca chega para descrever um conjunto de dados.
Respostasa) ambas 13 · b) a turma B · c) \approx 1{,}77 e \approx 4{,}28

Com n = 10, Q_{1} é o valor da posição 3 e Q_{3} o da posição 8. Basta que esses dois sejam iguais — e que o mínimo e o máximo estejam a 13 um do outro.

  1. a) Serve, por exemplo, 2, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 15.
  2. Q_{1} = P_{25}: \dfrac{25 \times 10}{100} = 2{,}5, que não é inteiro; arredonda-se para 3 e Q_{1} = x_{3} = 8.
  3. Q_{3} = P_{75}: \dfrac{75 \times 10}{100} = 7{,}5, que não é inteiro; arredonda-se para 8 e Q_{3} = x_{8} = 8.
  4. Logo a amplitude interquartil é 8-8 = 0, e a amplitude é 15-2 = 13. ✓
  5. b) A amplitude interquartil só olha para dois valores, Q_{1} e Q_{3}: mede a largura dos 50\% centrais e mais nada. Aqui os 50\% centrais são todos iguais a 8, e por isso a caixa tem largura nula.
  6. Mas variabilidade há: a amplitude é 13 e s \approx 3{,}07.É o contraexemplo que as Aprendizagens Essenciais pedem com todas as letras — «amplitude interquartil igual a zero não implica a não existência de variabilidade». Uma amplitude interquartil nula não é um erro de conta: é um aviso de que a informação está toda nas pontas.
Respostaa) por exemplo 2, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 15 · b) a amplitude interquartil só mede os 50\% centrais, e aqui esses são todos iguais

Podes calcular tudo de novo nos valores convertidos — ou aplicar as propriedades de §1 e confirmar. Faz as duas coisas: é a melhor maneira de as fixar.

  1. a) Antes: \overline{x} = \dfrac{60}{5} = 12 e M_{e} = 12 (posição 3).
  2. Q_{1}: \dfrac{25 \times 5}{100} = 1{,}25, arredonda para 2, logo Q_{1} = 11. Q_{3}: \dfrac{75 \times 5}{100} = 3{,}75, arredonda para 4, logo Q_{3} = 14. Amplitude interquartil = 3.
  3. Desvio padrão: s^{2} = \dfrac{16+1+0+4+9}{4} = \dfrac{30}{4} = 7{,}5, logo s \approx 2{,}74.
  4. Depois, os valores são 45, 60, 65, 75, 80: \overline{y} = 5 \times 12 + 5 = 65, M_{e} = 5 \times 12 + 5 = 65, s_{y} = 5 \times 2{,}74 \approx 13{,}69 e amplitude interquartil = 5 \times 3 = 15.
  5. b) As quatro foram multiplicadas por 5. O +5 entrou só na média e na mediana; no desvio padrão e na amplitude interquartil não entrou.Repara na conta: 65 = 5 \times 12 + 5, com o +5 lá; mas 15 = 5 \times 3, sem ele. Somar a mesma quantidade a todos os dados não os afasta uns dos outros.
Respostaa) antes 12, 12, \approx 2{,}74 e 3; depois 65, 65, \approx 13{,}69 e 15 · b) as quatro pelo 5; só a média e a mediana pelo +5

Os cinco números são, por esta ordem, mínimo, Q_{1}, mediana, Q_{3} e máximo. Calcula a amplitude e a amplitude interquartil de cada um antes de decidir.

  1. I. Amplitude 20, amplitude interquartil 8; a mediana está no meio da caixa (22-18 = 4 e 26-22 = 4) e os bigodes têm o mesmo comprimento.
  2. É o caso simétrico e sem outliers: usam-se média e desvio padrão, que aproveitam todos os dados.
  3. II. Amplitude 54, amplitude interquartil 4: o bigode direito é enorme e a caixa é minúscula.
  4. O donativo de 58 € é um outlier: puxa a média e o desvio padrão. Usam-se mediana e amplitude interquartil, que são resistentes.
  5. III. Aqui Q_{1} = M_{e} = Q_{3} = 5, logo a amplitude interquartil é 0 — e uma medida que dá zero não descreve nada.
  6. A mediana serve como centro (5 mensagens), mas a dispersão tem de ser dita pela amplitude (14) ou pelo desvio padrão: há alunos que não enviaram nenhuma e alunos que enviaram catorze.Os três casos mostram que não há uma escolha certa de uma vez por todas. Escolhe-se depois de olhar para a forma da distribuição — e é para isso que serve desenhar antes de calcular.
RespostaI — média e desvio padrão · II — mediana e amplitude interquartil · III — mediana, com a amplitude (ou o desvio padrão), porque a amplitude interquartil é nula

Exercícios de Exame · Gráficos e medidas estatísticas

Cinquenta e três itens: quarenta e nove de exames de Matemática Aplicada às Ciências Sociais e quatro de Prova Nacional de Matemática A — os itens de dispersão dos Exames de 2024 e de 2025 e o item de média do Teste Intermédio de 2008. Os de MACS vêm de uma disciplina que trata estes assuntos há vinte anos e não contam para o número de itens de Exame de Matemática A anunciado na capa; os quatro de Matemática A contam. É o bloco mais completo do capítulo: média, moda, mediana, percentis, quartis, diagramas de extremos e quartis, amplitude, amplitude interquartil, desvio padrão e as propriedades das medidas, tudo com o enunciado original.

Item 33 construçãoMACS · Exame 2006 · 1.ª Fase

Com o objetivo de estudar o grau de informação dos cidadãos da União Europeia (UE) sobre as políticas e instituições da UE, uma empresa de sondagens realizou um inquérito no Outono de 1999.

A dimensão da amostra foi de 15\,800 pessoas, escolhidas aleatoriamente entre os cidadãos da UE com 15 ou mais anos.

Perguntava-se aos inquiridos em que medida se sentiam informados sobre a UE, sendo a resposta dada mediante a seleção de um número de 1 (não sabe nada) a 10 (sabe muito).

No quadro seguinte, apresentam-se os resultados desse inquérito.

Para cada nível, indica-se a percentagem de inquiridos que se auto-avaliaram nesse nível.

EscalaPercentagem
110
212
316
417
519
612
78
84
91
101

Tendo em conta a tabela acima e com base nas respetivas definições, justifique que o primeiro quartil desta distribuição é 3 e que a mediana é 4.

Item 34 construçãoMACS · Exame 2007 · 2.ª Fase

A secção de controlo de qualidade de uma fábrica de parafusos escolhe, aleatoriamente, uma amostra de 100 parafusos produzidos por uma determinada máquina e regista o comprimento dos parafusos selecionados.

Na tabela seguinte, estão indicados os dados, agrupados, dos comprimentos dos parafusos da amostra, à esquerda do correspondente histograma.

Comprimento dos parafusos (em cm)Frequência absoluta
[5{,}0; 5{,}1[3
[5{,}1; 5{,}2[5
[5{,}2; 5{,}3[9
[5{,}3; 5{,}4[13
[5{,}4; 5{,}5[18
[5{,}5; 5{,}6[19
[5{,}6; 5{,}7[17
[5{,}7; 5{,}8[10
[5{,}8; 5{,}9[3
[5{,}9; 6{,}0[2
[6{,}0; 6{,}1[1
TOTAL100
Histograma «Comprimento dos 100 parafusos (em cm)», com a frequência absoluta em ordenadas (0 a 20, de 2 em 2) e onze colunas, uma por classe de amplitude 0,1 cm, de [5,0; 5,1[ a [6,0; 6,1[, com as alturas 3, 5, 9, 13, 18, 19, 17, 10, 3, 2 e 1; à direita, a legenda com as onze classes.

Calcule um valor aproximado para a média do comprimento dos parafusos da amostra selecionada.

Nos cálculos intermédios, utilize duas casas decimais, apresentando o resultado final arredondado às décimas.

Item 35 escolha múltiplaTeste Intermédio 10.º · 28.05.2008

Foi realizado um inquérito acerca do número de livros que cada um dos alunos de uma turma tinha lido nas férias. Os resultados do inquérito estão representados no gráfico que se segue:

Gráfico de barras com o número de livros lidos, de 0 a 5, no eixo horizontal, e o número de alunos, de 0 a 10 com marcas de 2 em 2, no eixo vertical. As barras valem: 0 livros, 3 alunos; 1 livro, 7 alunos; 2 livros, 10 alunos; 3 livros, 3 alunos; 4 livros, 1 aluno; 5 livros, 1 aluno.

Em média, quantos livros foram lidos por aluno?

  • (A)1{,}8
  • (B)2
  • (C)2{,}5
  • (D)3
Item 36 construçãoMACS · Exame 2008 · 1.ª Fase

A empresa FUTUROLIMPO quis saber o tempo necessário para a recolha seletiva dos resíduos na zona residencial referida no item anterior. Para tal, selecionou, aleatoriamente, uma amostra de 22 registos dos tempos necessários a essa recolha.

O diagrama de caule-e-folhas seguinte apresenta os 22 registos dos tempos, em minutos, que foram necessários para a recolha seletiva dos resíduos. No caule, consta o valor das dezenas e, nas folhas, o algarismo das unidades de cada registo.

CauleFolhas
86, 6, 7, 7, 7, 9, 9
90, 0, 4, 4, 5, 5, 5, 5
103, 3, 6, 6, 8
111, 6

Tendo em conta os dados apresentados no diagrama de caule-e-folhas, relativos à amostra selecionada, responda aos itens seguintes:

a) Recorrendo à calculadora, determine o valor da média (\overline{x}) e o valor do desvio padrão (s) do tempo necessário para a recolha seletiva dos resíduos.
Apresente o valor do desvio padrão arredondado às centésimas.
Apresente a(s) lista(s) que introduzir na calculadora, para obter as estatísticas solicitadas.b) Determine a percentagem dos tempos necessários à recolha seletiva dos resíduos que pertencem ao intervalo \left]\overline{x} - s, \overline{x} + s\right[
Apresente o resultado arredondado às unidades.
Caso não tenha respondido à questão anterior, e somente neste caso, considere que \overline{x} \approx 96{,}2 minutos e s \approx 8{,}99 minutos.

Item 37 construçãoMACS · Exame 2008 · 1.ª Fase

No âmbito da disciplina de MACS, os alunos de uma turma da Escola Secundária APRENDERMAIS desenvolveram um trabalho de projeto que incluía um estudo sobre a intenção dos jovens da sua região, que frequentavam o ensino secundário, de prosseguirem os estudos, após terminarem esse nível de ensino.

Para a recolha dos dados, elaboraram um inquérito e selecionaram uma amostra aleatória, constituída por 300 jovens, representativa da população em estudo.

No trabalho, incluíram gráficos, um dos quais é o diagrama de extremos e quartis, que traduz os dados relativos à idade, em anos, dos alunos inquiridos:

Diagrama de extremos e quartis da idade, em anos, dos 300 alunos inquiridos, sobre um eixo graduado de 14 a 22: extremo mínimo 14, primeiro quartil 16, mediana 17, terceiro quartil 18 e extremo máximo 22.

Com base nos dados representados no diagrama de extremos e quartis, indique, justificando, se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: «50% dos alunos inquiridos têm 18 ou mais anos de idade».

Item 38 construçãoMACS · Exame 2008 · 2.ª Fase

Diversos estudos destacam a importância dos hábitos de leitura no desenvolvimento do nível de literacia (capacidade de processamento da informação escrita na vida quotidiana). No sentido de incentivar o gosto pela leitura, o Governo Português tem implementado vários projetos como, por exemplo, o Plano Nacional de Leitura.

Em Outubro de 2007, o Gabinete de Estatística e Planeamento da Educação (GEPE), do Ministério da Educação, publicou um estudo intitulado «Os Estudantes e a Leitura», cuja intenção foi fornecer indicações sobre o desenvolvimento de apetências e capacidades de leitura dos estudantes portugueses dos ensinos básico e secundário.

O estudo foi conduzido, no ano letivo 2006/2007, por meio de inquéritos a estudantes portugueses dos diferentes ciclos de escolaridade, utilizando amostras representativas de cada uma das populações em estudo.

Relativamente aos alunos que frequentavam o ensino secundário, a amostra foi recolhida em 61 escolas do Continente, sendo constituída por 4738 alunos, dos quais 43% pertenciam ao sexo masculino e 57% ao feminino.

Uma das questões incluídas no inquérito era:

«Qual das seguintes frases exprime melhor o teu gosto pela leitura?

Sou viciado na leitura.Gosto muito de ler.Gosto de ler de vez em quando.Gosto pouco de ler.Não gosto nada de ler.»

O gráfico e a tabela que se apresentam de seguida traduzem as respostas obtidas à questão anterior, em função do sexo:

o gráfico refere-se ao sexo feminino e apresenta as frequências relativas em percentagem

nada 3% pouco 11% às vezes 49% muito 31% viciada 6% resposta frequência relativa (%) 10 20 30 40
Intensidade do gosto de ler, no sexo feminino. As cinco respostas, da que menos gosta para a que mais gosta.

a tabela refere-se ao sexo masculino e apresenta as frequências relativas acumuladas em percentagem.

Intensidade do gosto de lerFrequência relativa acumulada (%)
Não gosto nada de ler.12
Gosto pouco de ler.38
Gosto de ler de vez em quando.82
Gosto muito de ler.97
Sou viciado na leitura.100

Num pequeno texto, tendo em conta os dados apresentados no gráfico e na tabela, indique, justificando, se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação: «A moda da intensidade do gosto de ler é a mesma para ambos os sexos, mas, neste inquérito, as raparigas revelaram um maior gosto pela leitura do que os rapazes».

No seu texto deve, obrigatoriamente, apresentar todas as percentagens necessárias à sua fundamentação.

Item 39 construçãoMACS · Exame 2009 · 1.ª Fase

Para estudar o rendimento mensal de um agregado familiar, recolheram-se, aleatoriamente, os dados relativos a doze agregados familiares. Obtiveram-se os dados representados na tabela.

Agregado familiarRendimento mensal (€) (x)
A1250
B2800
C1900
D1650
E1300
F1800
G1200
H2500
I1350
J2100
K1200
L1500

O António pertence ao agregado familiar indicado na tabela pela letra B.

Suponha que o rendimento mensal do agregado familiar do António se alterou, passando a ser de 8000 €. Suponha ainda que os rendimentos mensais dos outros agregados familiares indicados na tabela não se alteraram.

Num pequeno texto, comente a afirmação seguinte, tomando como exemplo os dados relativos ao rendimento mensal dos doze agregados familiares, antes e após a alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António:

«Ao reduzir-se a informação relativa a um conjunto de dados, sob a forma de algumas medidas de localização, está a proceder-se a uma redução drástica dos dados, pelo que as medidas consideradas devem ser convenientemente escolhidas, de modo a representarem o melhor possível os dados que pretendem resumir.»

No seu texto deve incluir:

os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares, antes da alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António;os valores da média e da mediana do rendimento mensal dos doze agregados familiares, após a alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António;a indicação das medidas de localização que melhor representam os dados, antes e após a alteração do rendimento mensal do agregado familiar do António.

Item 40 construçãoMACS · Exame 2009 · 2.ª Fase

Na escola da Marta, o professor de MACS resolveu questionar os alunos de duas turmas distintas sobre o número de mensagens que cada aluno recebeu, num sábado, no telemóvel. Os resultados obtidos encontram-se representados num diagrama de barras, os da Turma A, e numa tabela, os da Turma B.

Turma A

Diagrama de barras com a frequência absoluta do número de mensagens recebidas pelos alunos da turma A: frequência absoluta em ordenadas (0 a 7) e n.º de mensagens em abcissas. As barras valem 1 para 6 mensagens, 1 para 7, 2 para 9, 3 para 10, 1 para 11, 2 para 12, 6 para 13, 2 para 15, 3 para 16, 1 para 17, 2 para 18 e 1 para 19; não há barras para 8 nem para 14.

Turma B

N.º de mensagens recebidasN.º de alunos
101
112
124
1312
143
152
161

Num trabalho para a disciplina de MACS, depois de ter calculado a média e o desvio padrão do número de mensagens recebidas pelo conjunto dos alunos, para cada uma das turmas, a Marta comentou:

«A média do número de mensagens recebidas pelos alunos da turma A e a média do número de mensagens recebidas pelos da turma B são iguais, mas o mesmo não acontece com os desvios padrão.»

O António, aluno da turma da Marta, com quem ela estava a tratar os dados, comentou:

«Quando me disseste que as médias eram iguais, eu, observando as representações gráficas, concluí logo que os desvios padrão eram diferentes.»

Num pequeno texto, apresente as médias e os desvios padrão obtidos e justifique o raciocínio do António.

No seu texto deve:

indicar o valor da média e o do desvio padrão, com aproximação às centésimas, do número de mensagens recebidas pelos alunos da turma A;indicar o valor da média e o do desvio padrão do número de mensagens recebidas pelos alunos da turma B;incluir a justificação do raciocínio do António.

Item 41 construçãoMACS · Exame 2010 · 1.ª Fase

A Joana e a Maria, irmãs gémeas, são alunas da Escola Secundária de Mornas e frequentam a mesma turma.

Leia, atentamente, a informação: «Num conjunto de dados, se adicionarmos uma constante k ao valor de cada um dos dados, obtêm-se novos valores. A média dos novos valores é igual à soma da média dos dados originais com a constante k.»

Considere, agora, o problema:

Para a viagem de finalistas, a Joana, a Maria e o Henrique precisam que a média das quantias depositadas seja de 1100 €. A Joana, a Maria e o Henrique depositaram, numa instituição bancária, as suas poupanças, de 720 €, 800 € e 910 €, respetivamente. Para conseguirem uma taxa de juro mais elevada, o pai do Henrique decidiu ajudá-los, aumentando o capital depositado por cada um dos três jovens, dando o mesmo valor a cada um.

Determine o valor que o pai do Henrique deve oferecer, a cada um dos jovens, para que a média das quantias depositadas se fixe em 1100 €.

Para resolver o problema, pode ser útil usar o conhecimento que consta da informação inicial.

Item 42 construçãoMACS · Exame 2010 · 2.ª Fase

Um grupo de alunos está interessado em estudar o grau de desenvolvimento de sete países. As variáveis estudadas foram analisadas individualmente e através de associações entre elas.

A tabela seguinte apresenta, para os sete países, num determinado ano, duas das variáveis: a Taxa de Alfabetização de Adultos (TAA), em percentagem; e o Produto Interno Bruto per capita (PIB), em dólares.

PaísTAA (x)PIB (y)
A15{,}41839
B74{,}87932
C43{,}54251
D17{,}82586
E11{,}51524
F89{,}612\,674
G61{,}26275

No item seguinte, pode recorrer à calculadora. Sempre que recorrer a estatísticas obtidas na calculadora (média, desvio padrão, etc.), apresente a(s) lista(s) que introduziu na calculadora para a(s) obter.

Determine a média da taxa de alfabetização de adultos, no conjunto dos sete países, tendo em conta os dados da tabela anterior.

Apresente o resultado arredondado às décimas.

Item 43 construçãoMACS · Exame 2011 · 1.ª Fase

Num questionário, aplicado a 40 alunos de uma escola, sobre o número de livros lidos por aluno, nas férias de Verão, obtiveram-se os resultados que se encontram organizados no gráfico seguinte.

Gráfico de barras «Número de livros lidos, por aluno», com o número de alunos em ordenadas (0 a 12, com linhas de grelha de 2 em 2) e o número de livros lidos em abcissas (1 a 12). As barras valem 10, 8 e 6 para 1, 2 e 3 livros, nada para 4, 5 e 6, depois 4 para 7 livros, 3 para 8, nada para 9, 1 para 10, 3 para 11 e 5 para 12.

a) A média é uma medida de localização do centro da distribuição dos dados.
Justifique o facto de a média, nesta amostra, não ser um bom indicador do número de livros lidos por aluno, nas férias de Verão.
Na sua resposta, deve: apresentar a média, arredondada às unidades, do número de livros lidos por aluno, nas férias de Verão; relacionar a média do número de livros lidos por aluno, nas férias de Verão, com a distribuição dos dados apresentada no gráfico anterior.b) O diagrama de extremos e quartis também dá informação relevante sobre a localização do centro da amostra, bem como sobre a variabilidade e a simetria da mesma.
Descreva essa informação, depois de representar os dados do Gráfico 1 num diagrama de extremos e quartis.
Na sua resposta, deve: indicar os valores dos extremos, do 1.º quartil, do 3.º quartil e da mediana; apresentar o diagrama de extremos e quartis; referir a forma como os dados se distribuem quanto à variabilidade; referir a forma como os dados se distribuem quanto à simetria.c) Os 40 alunos que responderam ao questionário foram envolvidos num projeto da escola destinado à promoção de hábitos de leitura.
Pretende-se que, concluído o projeto, nas próximas férias de Verão, cada um dos alunos envolvidos aumente em 1 o número de livros lidos.
Explique as repercussões desse aumento na média e na mediana do número de livros lidos por aluno, nas férias de Verão.

Item 44 construçãoMACS · Exame 2011 · 2.ª Fase

Uma empresa de telecomunicações e multimédia pretende lançar um novo produto. Para isso, encomendou uma sondagem a um especialista no assunto. No seu trabalho, o especialista procurou determinar o número de televisores e o número de leitores de DVD, por habitação. Numa amostra aleatória de 1000 habitações, recolhida em 2009, verificou que o número de televisores e o número de leitores de DVD se distribuíam como consta dos gráficos seguintes.

Dois gráficos de barras lado a lado, ambos com o número de habitações em ordenadas (0 a 500). O da esquerda, «Número de televisores, por habitação», tem as barras 5, 417, 450 e 128 para 0, 1, 2 e 3 televisores. O da direita, «Número de leitores de DVD, por habitação», tem as barras 330, 450, 47 e 173 para 0, 1, 2 e 3 leitores de DVD. Cada barra tem o valor escrito por cima.

a) Determine a mediana e os quartis do número de leitores de DVD, por habitação.b) Comente a afirmação seguinte, tendo em conta os dados que constam dos dois gráficos anteriores.
«O aspeto do gráfico e o valor do desvio padrão de uma variável estatística estão relacionados.»
Na sua resposta, deve: calcular os valores da média e do desvio padrão da variável número de televisores, por habitação, na amostra; calcular os valores da média e do desvio padrão da variável número de leitores de DVD, por habitação, na amostra; concluir, comparando o aspeto dos dois gráficos anteriores; nessa comparação, use os valores obtidos para os desvios padrão.
Apresente os valores das médias e dos desvios padrão arredondados às centésimas.

Item 45 construçãoMACS · Exame 2012 · 1.ª Fase

A Maria analisou algumas das características dos alunos de Francês de três escolas.

a) Para concretizar esse estudo na sua escola, escolheu aleatoriamente uma amostra de entre os alunos de Francês. Na tabela seguinte, apresentam-se os dados que a Maria recolheu, nessa amostra, relativamente à idade dos alunos.

Idade141516p
Número de alunos61062

A Maria sabe que escreveu corretamente os valores de idade 14, 15 e 16 na calculadora, porque conferiu os valores depois de os ter introduzido. Ao efetuar o cálculo, a Maria obteve um valor igual a 48{,}5 para a média de idades. Nesse momento, a Maria teve a certeza de se ter enganado ao escrever o valor de idade, p, mas não sabia que número tinha escrito.

Determine o número que a Maria escreveu, com o qual obteve erradamente a média de idades igual a 48{,}5

b) No gráfico seguinte, apresenta-se o número de alunos de Francês com 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 irmãos, de uma amostra escolhida pela Maria na sua escola.

0 3 1 6 2 8 3 3 4 0 5 4 número de irmãos número de alunos 2 4 6 8
Número de irmãos, por aluno.

Na tabela seguinte, apresenta-se o número de alunos de Francês com 0, 1, 2, 3, 4 ou 5 irmãos, de uma amostra de outra escola.

N.º de irmãosN.º de alunos
01
14
214
34
41
50

Compare as duas amostras quanto à variabilidade de cada uma delas relativamente à média.

Na sua resposta, deve:

determinar a média de cada uma das amostras;determinar o desvio padrão de cada uma das amostras;interpretar os resultados obtidos.

Caso proceda a arredondamentos, conserve, no mínimo, três casas decimais.

Item 46 construçãoMACS · Exame 2012 · 2.ª Fase

O professor da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais da escola de Xisto estudou a existência de uma correlação linear entre as classificações dos alunos na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI) e as classificações desses mesmos alunos no exame nacional da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais (CE).

Os dados recolhidos encontram-se organizados na tabela seguinte.

N.º do aluno123456789101112131415161718
(CI) x99101314911111481416161914111610
(CE) y78{,}29{,}512{,}113{,}77{,}514{,}210{,}614{,}56{,}312{,}117{,}214{,}84{,}211{,}79{,}515{,}28{,}5

A análise do diagrama de barras dos dados obtidos para a variável estatística «classificação dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI)» fornece informação relevante sobre a dispersão e a representatividade da média da amostra das classificações naquela disciplina.

Descreva essa informação.

Na sua resposta, deve:

representar os dados da variável estatística «classificação dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI)» num diagrama de barras;determinar o valor da média da variável estatística «classificação dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI)»;relacionar a representação gráfica dos dados com o valor da média.

Apresente o valor da média com arredondamento às décimas.

Item 47 construçãoMACS · Exame 2013 · 1.ª Fase

Na tabela seguinte, é apresentado o número de filhos de uma amostra de 200 sócios do Grupo Desportivo de Altivo (GDA).

Número de filhos12345
Frequência absoluta simples6646383812

Admita que houve um erro na transcrição da tabela e que o número de filhos deveria ser 0, 1, 2, 3 e 4, em vez de 1, 2, 3, 4 e 5, respetivamente.

Explique as repercussões desse erro na média e no desvio padrão do número de filhos dos 200 sócios do GDA.

Na sua resposta, deve:

determinar a média e o desvio padrão com os dados da tabela;determinar a média e o desvio padrão com os dados corrigidos;concluir.

Apresente os valores dos desvios padrão arredondados com uma casa decimal.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Item 48 construçãoMACS · Exame 2013 · 2.ª Fase

Em 2004, num determinado concelho com doze pontos de acesso à rede postal, a média do número de habitantes por cada ponto de acesso foi 512{,}5. No seguinte conjunto de números relativos aos habitantes servidos por cada um dos doze pontos de acesso nesse concelho, no ano de 2004, falta o número de habitantes, a, servidos por um ponto de acesso.

531518481535493500490a525502493550

Determine o valor do desvio padrão do número de habitantes servidos por cada um dos pontos de acesso desse concelho, em 2004.

Comece por calcular o valor de a.

Apresente o valor do desvio padrão arredondado às unidades.

Item 49 construçãoMACS · Exame 2013 · Época especial

Duas empresas de informática, X e Y, empregam o mesmo número de pessoas.

Em cada uma das empresas, os trabalhadores são remunerados de forma distinta, consoante a função desempenhada.

Apresentam-se a seguir os vencimentos mensais dos trabalhadores, em janeiro de 2009, em cada uma das empresas.

Empresa X
Vencimento mensal
(em euros)		Número
de trabalhadores
5004
5126
7523
8401
15201
38501
Empresa Y
Vencimento mensal
(em euros)		Número
de trabalhadores
7505
87010
10881

Compare a dispersão dos vencimentos mensais, em janeiro de 2009, na empresa X e na empresa Y, em relação aos centros das distribuições, a partir dos valores das médias e dos desvios padrão.

Na sua resposta, deve:

• determinar o valor da média e o do desvio padrão, com aproximação às centésimas, dos vencimentos mensais dos trabalhadores da empresa X;• determinar o valor da média e o do desvio padrão, com aproximação às centésimas, dos vencimentos mensais dos trabalhadores da empresa Y;• comparar os resultados obtidos.

Item 50 construçãoMACS · Exame 2014 · 1.ª Fase

Na escola secundária de Semedo, os alunos estudam o consumo diário de café no bar da escola.

Na tabela seguinte, encontram-se registados os dados referentes à variável «número de cafés bebidos, em cada dia, pelo Manuel», numa amostra aleatória de 40 dias.

01222132113413301542
04134424533124850184

Um aluno apresentou o diagrama da figura seguinte como sendo o diagrama de extremos e quartis da variável «número de cafés bebidos, em cada dia, pelo Manuel» referente à amostra recolhida.

Diagrama de extremos e quartis apresentado pelo aluno para o número de cafés bebidos, em cada dia, pelo Manuel, desenhado sobre papel quadriculado com o eixo graduado de 0 a 8: bigode esquerdo a começar em 0, caixa de 1 a 3 com o traço da mediana em 2 e bigode direito a terminar em 7,5.

Ao analisar o diagrama da figura anterior, o Manuel afirmou: «este diagrama não pode representar a amostra recolhida».

Construa, com os dados da tabela, o diagrama de extremos e quartis que representa a amostra recolhida e identifique as diferenças entre o diagrama que construiu e o diagrama da figura anterior.

Item 51 construçãoMACS · Exame 2014 · 2.ª Fase

Habitualmente, o café é servido com uma saqueta de açúcar. Para os comerciantes, estão disponíveis, no mercado, os seguintes tipos de embalagens:

• caixa de 5 quilogramas, com uma média de 830 saquetas com, aproximadamente, 6 gramas de açúcar cada uma;• caixa de 5{,}4 quilogramas, com uma média de 760 saquetas com, aproximadamente, 7 gramas de açúcar cada uma;• caixa de 6 quilogramas, com uma média de 750 saquetas com, aproximadamente, 8 gramas de açúcar cada uma.

Na fábrica SUCRE, apenas se produzem e se embalam saquetas com, aproximadamente, 7 gramas de açúcar cada uma. No processo de embalagem contabilizou-se o número de saquetas, por caixa, de uma amostra de 20 caixas obtida aleatoriamente.

Na tabela seguinte, é apresentado o número de saquetas de açúcar, por caixa, na amostra recolhida.

Número de saquetas de açúcar
por caixa		693714735756819840
Número de caixas112358

Na amostra, a média do número de saquetas de açúcar por caixa é diferente da média esperada.

Determine o número de saquetas de açúcar que se deve retirar a cada uma das caixas da amostra de modo que a média do número de saquetas, por caixa, na amostra seja 760, sabendo que se deve retirar o mesmo número de saquetas de açúcar a cada uma das caixas da amostra.

Item 52 construçãoMACS · Exame 2015 · Época especial

Nos 12 últimos jogos da equipa de futebol do Grupo Desportivo de Altivo (GDA), registou-se o número de sócios do clube desportivo GDA que foram assistir ao jogo. A seguir, apresentam-se os dados registados.

15 68017 54914 74619 41820 35322 222
28 76326 89434 37037 17438 10839 043

Determine a média e o desvio padrão dos dados registados.

Apresente os resultados com arredondamento às centésimas.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Item 53 construçãoMACS · Exame 2016 · 1.ª Fase

A realização do MaréFest obriga à presença de elementos da organização no recinto do festival além dos dias em que as portas estão abertas ao público.

O número de elementos da organização presentes no recinto ao longo de quinze dias, na edição do MaréFest de 2010, está parcialmente registado no diagrama de caule-e-folhas seguinte. O algarismo das dezenas de cada registo é indicado no caule, e o algarismo das unidades é indicado nas folhas.

CauleFolhas
75, 7, 7
80, 0, 3, a, 8
93, 9
100, 0, 2, 5, 5

a) Determine o valor de a para que o número médio de elementos da organização presentes, por dia, nessa edição do MaréFest, seja 90.

b) Considere agora que a=8. Tendo por base os dados referentes ao número de elementos da organização presentes, por dia, no recinto, na edição do MaréFest de 2011, construiu-se o diagrama de extremos e quartis apresentado na figura seguinte. Comente a afirmação seguinte.

Diagrama de extremos e quartis do número de elementos da organização presentes por dia no recinto do MaréFest de 2011, sobre um eixo com as marcas 75, 80, 100, 105 e 110: mínimo 75, primeiro quartil 80, mediana 100, terceiro quartil 105 e máximo 110.

Os dados relativos ao número de elementos da organização presentes, por dia, no recinto do MaréFest situados entre o 1.º quartil e a mediana estão mais concentrados na amostra referente à edição de 2010 do que na amostra referente ao ano de 2011.

Na sua resposta, apresente:

– os valores do 1.º quartil e da mediana das distribuições de 2010 e de 2011.

Item 54 construçãoMACS · Exame 2016 · Época especial

A redação de informação do TPT é constituída por uma equipa de jornalistas.

No gráfico seguinte, apresenta-se o histograma de frequências relativas acumuladas referente às idades dos jornalistas.

Histograma de frequências relativas acumuladas das idades dos jornalistas, com o valor escrito por cima de cada barra: [20, 30[ com 10%, [30, 40[ com 30%, [40, 50[ com 80% e [50, 60[ com 100%. O eixo vertical, «Frequência relativa acumulada (%)», está graduado de 0% a 100% de 10 em 10; o eixo horizontal, «Idade (anos)», tem as marcas 20, 30, 40, 50 e 60 e uma quebra junto à origem.

Tendo em conta os dados apresentados, determine a média aproximada das idades dos jornalistas.

Item 55 construçãoMACS · Exame 2017 · 1.ª Fase

Na tabela seguinte, está registado o número de utilizadores de uma das diversões do parque, nas duas primeiras semanas do mês de agosto de 2015.

SEG.TER.QUA.QUI.SEX.SÁB.DOM.
1.ª semana184224232240280328312
2.ª semana208200256264280344288

a) O valor da mediana dos dados apresentados na tabela anterior resulta de cálculos entre os números de utilizadores da diversão _______ e _______.

(A) na quinta-feira da primeira semana … na sexta-feira da primeira semana(B) no domingo da primeira semana … na segunda-feira da segunda semana(C) na quarta-feira da segunda semana … na quinta-feira da segunda semana(D) na quarta-feira da primeira semana … no domingo da segunda semana

b) Admita que, nas duas primeiras semanas de agosto do ano seguinte, a média diária do número de utilizadores dessa diversão foi 292{,}5. Determine a percentagem do aumento médio diário de utilizadores dessa diversão de um ano para o outro, nesse período.

Item 56 escolha múltiplaMACS · Exame 2017 · Época especial

Na tabela seguinte, estão registados, para cada um dos filmes, A, B, C, D, E, F e G, o custo de produção, em milhares de euros, e o número de espectadores, em milhares, que teve nas semanas de exibição em Portugal.

FilmeCusto de produção
(em milhares de euros)
x		Número de espectadores
(em milhares)
y
A43599
B37984
C6516
D6013
E27675
F5912
G439

O número de filmes cujo custo de produção é superior ao custo de produção médio é

  • (A)1
  • (B)2
  • (C)3
  • (D)4
Item 57 construçãoMACS · Exame 2018 · 1.ª Fase

Na ilha de Dujal existe uma espécie de larvas que se encontram em algumas árvores. Uma equipa de biólogos estudou a evolução da massa das larvas, em gramas, em função do tempo de vida, em semanas.

Na figura seguinte, está representado o gráfico de percentis construído com base nos dados recolhidos.

Gráfico de percentis da massa das larvas, em gramas, no eixo vertical, graduado de 10 em 10 até 40, em função do tempo de vida, em semanas, no eixo horizontal, graduado de 2 em 2 até 14, sobre papel quadriculado. Estão traçadas cinco curvas crescentes, identificadas à direita por P3, P15, P50, P85 e P97. O ponto A está marcado sobre a curva P85, no par (12; 31). Às 10 semanas, a curva P15 passa em 14 gramas e a curva P85 passa em 27 gramas.

A localização do ponto A, assinalado na figura anterior, permite-nos concluir que uma larva com 12 semanas de vida e 31 gramas de massa se encontra no percentil 85. Ou seja, considerando-se larvas com 12 semanas de vida, 85 em cada 100 terão uma massa máxima de 31 gramas.

Numa amostra com 500 larvas, com 10 semanas de vida, quantas são de esperar encontrar com massa compreendida entre 14 e 27 gramas?

Item 58 construçãoMACS · Exame 2018 · 2.ª Fase

Foi levado a cabo um levantamento do número de espectadores presentes em 100 sessões da peça realizadas em Portugal Continental.

No gráfico seguinte, está representado um histograma de frequências absolutas simples dos dados recolhidos.

Histograma de frequências absolutas simples do número de espectadores por sessão, com cinco classes de amplitude 50 entre 100 e 350 e a frequência escrita por cima de cada barra: [100, 150[ com 16 sessões, [150, 200[ com 24, [200, 250[ com 8, [250, 300[ com 32 e [300, 350[ com 20. O eixo vertical, «Frequência absoluta simples», está graduado de 0 a 35 de 5 em 5; o eixo horizontal, «Número de espectadores», está graduado de 100 a 350 de 50 em 50.

Verifique se a média dos dados agrupados do número de espectadores por sessão pertence à classe modal.

Item 59 construçãoMACS · Exame 2018 · Época especial

Na festa de Fonte Melo, teve lugar uma prova de corrida.

Uma das equipas participantes registou os tempos obtidos pelos seus atletas.

O diagrama de caule-e-folhas seguinte apresenta os 20 registos dos tempos, em minutos, que foram obtidos pelos atletas desta equipa. No caule, consta o valor das dezenas e, nas folhas, o algarismo das unidades de cada registo.

CauleFolhas
46, 8, 8
50, 0, 0, 4, 6, 6, 6, 7
62, 2, 3, 5, 9
74, 4, 4, 9

Determine o número de atletas desta equipa cujos tempos pertencem ao intervalo \left]\overline{x} - s,\, \overline{x} + s\right[, representando \overline{x} o valor da média e s o valor do desvio padrão dos tempos registados.

Na sua resposta, apresente o valor exato de \overline{x} e o valor de s, com arredondamento às unidades.

Item 60 construçãoMACS · Exame 2019 · 1.ª Fase

Uma aplicação informática permite medir a qualidade do acesso à Internet, executando diversos testes, nomeadamente a medição da latência.

A latência é o tempo, em milissegundos (ms), que um conjunto de dados demora a ir de um computador até um servidor e a regressar.

a) Na tabela seguinte, está parcialmente registado o número de testes realizados nos últimos cinco anos, numa determinada região.

Anos20142015201620172018
N.º de testes realizados10 98012 000a15 00016 450

A média do número de testes realizados nos últimos cinco anos é 13 576.

Determine o valor de a.

b) Recolheu-se, na plataforma informática onde está alojada esta aplicação, uma amostra de testes em que se obtiveram valores de latência inferiores a 34 ms.

Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados recolhidos.

Latência (ms)N.º de testesFrequência absoluta
acumulada
918
1327
1751
2142
25
29
3315150

Em qual das opções pode estar representado o diagrama de extremos e quartis referente aos dados da tabela anterior?

Quatro diagramas de extremos e quartis, identificados por (A), (B), (C) e (D), desenhados sobre eixos graduados de 9 a 33 de 4 em 4: (A) mínimo 9, primeiro quartil 13, mediana 21, terceiro quartil 25 e máximo 33; (B) mínimo 9, primeiro quartil 17, mediana 21, terceiro quartil 25 e máximo 33; (C) mínimo 9, primeiro quartil 13, mediana 17, terceiro quartil 25 e máximo 33; (D) mínimo 9, primeiro quartil 9, mediana 17, terceiro quartil 21 e máximo 33.
Item 61 construçãoMACS · Exame 2019 · 2.ª Fase

Uma leiloeira vende diversos artigos, entre os quais peças do espólio do Clube de Colecionadores.

a) No último leilão, uma das peças colocadas à venda obteve 10 licitações.

No diagrama de caule e folhas seguinte, apresenta-se o valor, em euros, de 9 dessas licitações.

CauleFolhas
14, 6
22
31, 2, 7
45, 8
50

O algarismo das dezenas de cada licitação é indicado no caule, e o algarismo das unidades é indicado nas folhas.

Admita que o valor médio das 10 licitações foi 34 euros.

Qual o valor da licitação em falta?

(A) 45 euros(B) 41 euros(C) 31 euros(D) 11 euros

b) A leiloeira regista os valores de venda dos artigos leiloados e, no final de cada mês, analisa-os.

Na figura seguinte, estão representados os diagramas de extremos e quartis relativos aos valores de venda, em euros, referentes a alguns meses.

Cinco diagramas de extremos e quartis paralelos dos valores de venda, em euros, de abril a agosto, sobre um eixo vertical que vai de 10 a 90 euros, de 10 em 10. Abril: mínimo 10, primeiro quartil 20, mediana 40, terceiro quartil 45 e máximo 60. Maio: 20, 30, 40, 60 e 70. Junho: 10, 20, 30, 45 e 60. Julho: 30, 40, 50, 70 e 80. Agosto: 20, 50, 70, 80 e 90.

Admita que o número de artigos vendidos pela leiloeira a um preço máximo de 60 euros, no mês de maio, foi 48.

Indique, fundamentando a sua indicação, um número de artigos, vendidos nesse mês, cujo valor de venda tenha sido, no mínimo, 40 euros.

c) No período de tempo correspondente ao gráfico da figura anterior, a leiloeira vendeu seis peças do Clube de Colecionadores.

Em abril, vendeu uma peça pelo valor da mediana e outra pelo valor mínimo. Em julho, vendeu uma peça pelo valor do primeiro quartil e outra pelo valor do terceiro quartil. Em agosto, vendeu duas peças pelo valor máximo.

Qual foi o valor obtido com estas vendas?

Item 62 construçãoMACS · Exame 2019 · Época especial

No Centro Comercial Futuro são realizados, periodicamente, inquéritos junto dos clientes com o objetivo de conhecer as suas preferências.

Foi pedido ao João e à Maria, dois colaboradores do CCF, que cada um perguntasse a 50 clientes (perfazendo o total de 100 clientes) quantos artigos haviam comprado naquele dia. O João organizou os dados na tabela seguinte, e a Maria organizou os dados no gráfico de barras seguinte.

N.º de artigos
comprados		N.º de clientes
08
114
212
313
a3
Gráfico de barras da Maria, com o número de clientes por número de artigos comprados: 0 artigos, 10 clientes; 1 artigo, 15 clientes; 2 artigos, 8 clientes; 3 artigos, 7 clientes; 4 artigos, 7 clientes; 5 artigos, 3 clientes. O eixo vertical é o número de clientes e o horizontal o número de artigos comprados.

a) Admita que a média do número de artigos comprados pelos 50 clientes inquiridos, cujos dados se encontram representados na tabela anterior, é 1,96.

Determine o valor de a.

b) Considere agora que a = 4.

Construa um diagrama de extremos e quartis que traduza os dados relativos ao número de artigos que os 100 clientes inquiridos compraram naquele dia no CCF.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades da sua calculadora e apresente a(s) lista(s) utilizada(s).

Item 63 construçãoMACS · Exame 2020 · 1.ª Fase

A venda de bilhetes para o concerto da banda BigBand gerou tanta procura que, na véspera do primeiro dia de venda, se formou fila para a aquisição de bilhetes à porta da bilheteira.

Ao longo do primeiro dia de venda dos bilhetes, as pessoas foram questionadas sobre o número de horas que permaneceram na fila antes da abertura da bilheteira (x) e sobre o tempo, em horas, que decorreu desde a abertura da bilheteira até terem adquirido os bilhetes (y).

A tabela seguinte apresenta as respostas dadas por sete das pessoas questionadas: A, B, C, D, E, F e G.

Pessoax
(horas)		y
(horas)
A300,5
B241
C22,52
D184
E128
F89
G312

a) O Filipe e um amigo chegaram e permaneceram juntos na fila para a aquisição de bilhetes.

O tempo médio de espera das nove pessoas, as sete referidas na Tabela 4 e os dois amigos, até à abertura da bilheteira foi 15,5 horas.

Determine quantas horas o Filipe esperou na fila até à abertura da bilheteira.

b) No final do primeiro dia de venda dos bilhetes, foi registado o tempo de espera de cada cliente, em horas, decorrido desde a abertura da bilheteira até ter adquirido os bilhetes, incluindo as pessoas mencionadas na tabela anterior.

A informação recolhida foi organizada num gráfico circular semelhante ao gráfico seguinte.

Gráfico circular do tempo de espera, em horas, com quatro setores e legenda: [0, 3[ com 60%, [3, 6[ com 16%, [6, 9[ com 16% e [9, 12] com 8%.

Admita que, das pessoas indicadas na tabela anterior, as que esperaram menos de três horas correspondem a 0,4% do número total de pessoas que adquiriram bilhetes nesse intervalo de tempo.

O número total de clientes que, nesse dia, adquiriram bilhete foi:

(A) 1250(B) 5(C) 750(D) 50

Item 64 escolha múltiplaMACS · Exame 2020 · 2.ª Fase

Um hotel divulgou, no final do mês de maio de 2019, a variação do número de quartos ocupados em cada mês, relativamente ao mês anterior.

No gráfico seguinte, apresentam-se os dados recolhidos, em percentagem.

Gráfico de barras com a variação percentual do número de quartos ocupados relativamente ao mês anterior: janeiro 38%, fevereiro 20%, março 10%, abril −25% e maio 40%. O eixo vertical vai de −30% a 60%, de 10 em 10 pontos percentuais, e a barra de abril desce abaixo do eixo horizontal.

No mês de abril, o hotel registou uma ocupação de 198 quartos.

Quantos quartos foram ocupados no mês de março?

  • (A)228
  • (B)264
  • (C)267
  • (D)792
Item 65 construçãoMACS · Exame 2020 · 2.ª Fase

Um dos aspetos mais importantes para que um Interrail decorra de acordo com o planeado é o cumprimento dos horários dos comboios.

a) Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados relativos aos tempos de atraso de comboios, em minutos, arredondados à unidade.

Tempo de atraso
(min)		N.º de comboiosFrequência absoluta
acumulada
02
214
4a
51337
b13
15
17100

Admita que a mediana do conjunto de dados apresentados na tabela anterior é 11 minutos e que todos os valores em falta na tabela são diferentes de zero.

Determine os valores de a e de b.

b) O atraso dos comboios é um dos motivos que levam os clientes a apresentarem reclamações. Uma companhia ferroviária apresentou, no seu relatório de qualidade do ano 2019, o ponto de situação relativamente às reclamações apresentadas. Estas foram classificadas como concluídas (respondidas) ou pendentes (a aguardar resposta).

No gráfico seguinte, indicam-se os dados referentes ao total das reclamações apresentadas e às apresentadas em duas das estações, E1 e E2.

Gráfico intitulado «Estado das reclamações apresentadas», com barras horizontais opostas: as concluídas crescem para a esquerda e as pendentes para a direita. Total: 55% concluídas e 45% pendentes; estação E1: 40% concluídas e 60% pendentes; estação E2: 25% concluídas e 75% pendentes.

Sabe-se que, do conjunto das reclamações apresentadas em todas as estações daquela companhia, 13 680 se encontram pendentes e que, do total das reclamações apresentadas, 40% são da estação E2.

Quantas reclamações apresentadas na estação E2 estão pendentes?

Item 66 construçãoMACS · Exame 2020 · Época especial

Numa turma do 1.º ciclo da Escola Básica de Avelares, os alunos, sempre que depositavam um resíduo no ecoponto amarelo ou no azul, faziam um registo em local próprio.

No final do mês, a professora recolheu os dados e organizou-os.

a) No que respeita ao número de resíduos depositados no ecoponto amarelo, a professora organizou os dados relativos aos rapazes na tabela seguinte e os dados relativos às raparigas no diagrama de caule e folhas que se lhe segue.

N.º de resíduosFrequência absoluta
53
64
132
162
CauleFolhas
05, 5, 7, a
11, 1, 3
22, 2

No caule do diagrama, apresenta-se o algarismo das dezenas e, nas folhas, o algarismo das unidades.

Admita que a mediana dos dados relativos a todos os alunos da turma é 8.

Determine o valor de a.

b) Na tabela seguinte, são apresentados os dados referentes ao ecoponto azul.

N.º de resíduosFrequência absoluta
14
25
56
94
101

Na figura seguinte, está representado um diagrama de extremos e quartis.

Diagrama de extremos e quartis numa escala de 1 a 10, com mínimo 1, primeiro quartil 2, mediana 5, terceiro quartil 8 e máximo 10.

O diagrama representado na figura anterior não traduz os dados apresentados na tabela acima.

Justifique esta afirmação.

Na sua resposta:

indique os valores dos quartis do conjunto dos dados apresentados na tabela acima;apresente o diagrama de extremos e quartis que traduz os dados apresentados na tabela acima.

Item 67 construçãoMACS · Exame 2021 · 1.ª Fase

A ParaPagar tem 150 funcionários na região de Lisboa e Vale do Tejo cujas idades se apresentam no histograma de frequências absolutas acumuladas, representado na figura seguinte, organizadas nas classes [18,\, 28[, [28,\, 38[, …, [58,\, 68[.

Histograma de frequências absolutas acumuladas das idades de 150 funcionários, nas classes [18, 28[, [28, 38[, [38, 48[, [48, 58[ e [58, 68[, com as barras acumuladas 15, 75, 120, 140 e 150; o eixo vertical vai até 160, de 20 em 20, e o horizontal marca as idades 18, 28, 38, 48, 58 e 68.

Determine, recorrendo ao histograma da figura anterior, a média das idades dos 150 funcionários.

Apresente o resultado com arredondamento às unidades.

Item 68 construçãoMACS · Exame 2021 · 2.ª Fase

No gráfico seguinte, está parcialmente apresentada, em percentagem, a taxa de utilização da cantina pelos alunos inscritos numa universidade, em cada um dos meses do ano de 2019, em que a e b representam a taxa correspondente ao mês 5 e ao mês 8, respetivamente.

Gráfico de linhas com a taxa de utilização da cantina, em percentagem, nos doze meses de 2019: 15,9%, 14,5%, 16,2%, 15,5%, a, 12,7%, 9,4%, b, 11,7%, 15,9%, 16,5% e 13,9%. O ponto do mês 5, rotulado a, fica um pouco abaixo dos 15,5% do mês 4, e o ponto do mês 8, rotulado b, fica abaixo dos 9,4% do mês 7 e é o mais baixo do gráfico.

a) No mês 6, frequentaram a cantina 1016 alunos.

No mês 7, o número de alunos que frequentaram a cantina diminuiu, aproximadamente, x\% relativamente ao número de alunos que a frequentaram no mês anterior.

Qual é o valor de x, com arredondamento às unidades?

(A) 26(B) 3(C) 35(D) 2

b) Admita que a mediana dos dados recolhidos, relativos à taxa de utilização da cantina ao longo dos meses do ano de 2019, é 14,9%.

Determine o valor de a.

Item 69 construçãoMACS · Exame 2021 · 2.ª Fase

Foram escolhidos, ao acaso, 110 alunos universitários que participaram no programa Erasmus+ num único semestre.

No gráfico seguinte, estão representados os dados referentes ao sexo e ao semestre de participação desses alunos.

Gráfico de barras com o número de alunos por semestre e por sexo, com legenda «Homens» e «Mulheres»: no 1.º semestre, 15 homens e 55 mulheres; no 2.º semestre, 10 homens e 30 mulheres. O eixo vertical, «Número de alunos», vai até 60, de 10 em 10.

Admita que a média da nota de candidatura dos alunos que participaram no programa Erasmus+ no primeiro semestre foi 15,65 valores e que a média da nota de candidatura dos alunos que participaram no programa Erasmus+ no segundo semestre foi 14,22 valores.

Determine a média da nota de candidatura destes 110 alunos universitários. Apresente o resultado na forma de dízima.

Item 70 construçãoMACS · Exame 2021 · Época especial

A rádio OnOfff é uma rádio local que transmite através da Internet, com recurso a tecnologia de transmissão de áudio e de vídeo em tempo real.

No Dia Internacional da Saúde, a rádio OnOfff lançou aos ouvintes o desafio seguinte: calcularem o seu índice de massa corporal (IMC) e de o enviarem para a rádio.

a) O diagrama de caule e folhas seguinte apresenta o IMC dos primeiros 20 ouvintes que responderam ao desafio. No caule, consta o algarismo das dezenas e, nas folhas, o algarismo das unidades de cada registo.

CauleFolhas
15, 5, 6, 7, 8, 9, 9
20, 0, 0, 3, 5, 6, 8, 9
30, 1, 1, 2, 3

Na tabela seguinte, apresentam-se os valores de referência do IMC e sua classificação.

IMC (kg/m2)Classificação
< 18{,}5Baixo peso
de 18,5 a 24,9Variação normal
de 25,0 a 29,9Pré-obesidade
\geq 30{,}0Obesidade

Fonte: DGS, Programa Nacional de Combate à Obesidade, 17 de março de 2005, in www.dgs.pt (consultado em abril de 2021). (Adaptado)

Qual é a percentagem dos 20 ouvintes considerados cujo IMC não pode ser classificado como variação normal?

(A) 70%(B) 45%(C) 25%(D) 20%

b) Os programas da rádio com maior participação dos ouvintes foram «A sua tarde na OnOfff» e «OnOfff night».

As respostas recebidas durante a emissão do programa «A sua tarde na OnOfff» apresentam-se no histograma de frequências absolutas simples, representado no gráfico seguinte, organizadas nas classes [14,\, 18[, [18,\, 22[, …, [30,\, 34[.

Histograma de frequências absolutas simples do IMC nas classes [14, 18[, [18, 22[, [22, 26[, [26, 30[ e [30, 34[, com as barras 18, a, 6, 32 e 16; o eixo vertical, «Frequência absoluta simples», vai até 35, de 5 em 5, e o horizontal é o valor de IMC, em quilogramas por metro quadrado.

Admita que a média dos dados agrupados de IMC apresentados no gráfico anterior é igual a 24.

Determine o valor de a.

Item 71 construçãoMACS · Exame 2022 · 1.ª Fase

A agência de viagens Ir&Voltar foi inaugurada a 3 de janeiro de 2015. Desde essa data até ao dia 3 de janeiro de 2018, houve um grupo de funcionários que se manteve na empresa.

Na tabela seguinte, estão representadas as idades desses funcionários no dia da inauguração da Ir&Voltar, em que b representa o número de funcionários com 31 anos.

Idade no dia da inauguração (em anos)Número de Funcionários
201
223
262
31b
402

No dia 3 de janeiro de 2018, a média das idades desses funcionários era 31{,}5 anos.

Determine quantos desses funcionários tinham 31 anos quando a agência foi inaugurada.

Item 72 construçãoMACS · Exame 2022 · 2.ª Fase

Um grupo de catorze pessoas, o grupo A, cuja média de idades é 20 anos, realizou uma festa no parque de campismo de Dujal.

a) Admita que a amplitude da distribuição das idades das pessoas do grupo A é 19 anos.

Em cada uma das opções seguintes, é apresentado um diagrama de caule e folhas. Nos diagramas, o algarismo das dezenas de cada registo é indicado no caule, e o algarismo das unidades é indicado nas folhas.

Qual dos diagramas seguintes pode representar as idades daquele grupo de pessoas?

(A) CauleFolhas
18, 8, 8, 8, 9, 9
20, 0, 0, 0, 0, 0, 0
30
(B) CauleFolhas
12, 2, 3, 3, 5, 5, 5
20, 1, 2
30, 0, 1, 1
(C) CauleFolhas
14, 6
20, 2
31, 2, 2, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 9
(D) CauleFolhas
12, 2, 2, 3, 3, 5, 5, 7, 8, 9
21, 1, 2
31

b) Ao grupo A, constituído por 14 pessoas, juntou-se um outro grupo de pessoas, o grupo B, cuja média de idades é 18 anos.

Admita que a média das idades da totalidade das pessoas dos dois grupos é 18{,}7 anos.

Determine por quantas pessoas é constituído o grupo B.

Item 73 construçãoMACS · Exame 2022 · Época especial

O Campeonato Mundial de Fórmula 1 é composto por várias corridas, denominadas Grandes Prémios (GP), que se realizam em países diferentes.

No final de cada GP, são atribuídos pontos aos pilotos, até à 10.ª posição, em função do lugar em que cada um terminou a prova.

Na tabela seguinte, está representado o sistema de pontuação utilizado.

Lugar1.º2.º3.º4.º5.º6.º7.º8.º9.º10.º
Pontos251815121086421

a) Um piloto obteve 58 pontos nos três primeiros GP.

Por quantas vezes, no máximo, pode ter ficado em segundo lugar?

(A) 0(B) 1(C) 2(D) 3

Em cada temporada do Campeonato Mundial de Fórmula 1, é definida previamente a ordem dos GP.

Numa determinada temporada, o GP da Austrália foi o primeiro a realizar-se, seguindo-se os da Espanha, do Canadá, do Reino Unido, da Itália, da França e do Japão.

Na figura seguinte, está registada a variação do número de pontos obtidos por Mike, um dos pilotos, em cada GP, em relação ao número de pontos obtidos no GP imediatamente anterior.

Gráfico de barras verticais com a variação do número de pontos de Mike em cada Grande Prémio, relativamente ao GP anterior: Espanha −21, Canadá 8, Reino Unido 6, Itália −8, França 0 e Japão 15. O eixo vertical vai de −25 a 20, de 5 em 5, e as barras negativas descem abaixo do eixo horizontal.

b) No GP do Reino Unido, Mike obteve 18 pontos.

Determine o número médio de pontos obtidos por este piloto nos quatro últimos GP apresentados na figura anterior.

c) As condições meteorológicas podem limitar a realização dos GP, inviabilizando a realização da totalidade das voltas previstas. Caso uma corrida termine antes de se efetuar um número de voltas correspondente a 70% do total de voltas previstas, atribui-se a cada um dos dez primeiros pilotos metade dos pontos apresentados na tabela anterior, arredondados às unidades.

Admita que:

o total de voltas do GP da Espanha é 66 e que, devido a condições adversas, só foram realizadas 45 voltas;Mike obteve o primeiro lugar no GP da Austrália, onde se percorreram todas as voltas previstas.

Determine o lugar em que Mike terminou o GP da Espanha.

Item 74 construçãoMACS · Exame 2023 · 1.ª Fase

No ano passado, a Festa da Freguesia teve a duração de catorze dias, consecutivos, correspondendo a duas semanas completas. A festa começou no domingo, dia 7, e terminou no sábado, dia 20.

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados das temperaturas (T), mínima e máxima, em graus Celsius (ºC), e da precipitação acumulada diária (P), em milímetros (mm), para cada dia da primeira semana da festa.

Dom., 7Seg., 8Terça, 9Quarta, 10Quinta, 11Sexta, 12Sáb., 13
CéuCéu nubladoCéu nubladoCéu nubladoCéu pouco nubladoCéu pouco nubladoCéu pouco nubladoCéu pouco nublado
T16 ºC · 26 ºC15 ºC · 23 ºC16 ºC · 28 ºC16 ºC · 29 ºC15 ºC · 29 ºC15 ºC · 28 ºC14 ºC · 26 ºC
P1 mm0{,}5 mm0{,}1 mm0{,}2 mm0 mm0{,}3 mm3 mm

a) Associe a cada conjunto de dados apresentados na Coluna I (e registados na tabela anterior) as afirmações da Coluna II que lhe correspondem.

Cada um dos números, de 1 a 7, deve ser associado apenas a uma letra, e todos os números devem ser utilizados.

Escreva na folha de respostas cada uma das letras da Coluna I, seguida do(s) número(s) correspondente(s) da Coluna II.

COLUNA I

(a) Dados da temperatura mínima(b) Dados da temperatura máxima(c) Dados da precipitação acumulada diária

COLUNA II

  • (1) O conjunto dos dados é o que apresenta média inferior à mediana.
  • (2) O conjunto dos dados é o que apresenta o primeiro quartil igual à mediana.
  • (3) Num par de dias consecutivos, são os únicos dados que apresentam um valor decrescente, enquanto os outros apresentam um valor crescente.
  • (4) O conjunto dos dados é amodal.
  • (5) O conjunto dos dados é o que apresenta menor dispersão em relação à média.
  • (6) A amplitude dos dados é igual a 6.
  • (7) A percentagem dos dados acima da sua média é inferior a 30%.

b) Admita que, comparando a temperatura máxima registada no domingo, dia 7, com a temperatura máxima registada no domingo, dia 14; comparando a temperatura máxima registada na segunda-feira, dia 8, com a temperatura máxima registada na segunda-feira, dia 15, e assim sucessivamente, as mesmas diminuíram exatamente o mesmo valor em graus Celsius.

Considere que a média das temperaturas máximas registadas na freguesia de Avelares durante os catorze dias da Festa da Freguesia foi 25{,}5 ºC.

Qual foi a descida, em graus Celsius, da temperatura máxima, comparando a temperatura máxima registada no domingo, dia 7, com a temperatura máxima registada no domingo, dia 14?

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

Item 75 construçãoMACS · Exame 2023 · 2.ª Fase

O Net Promoter Score (NPS) é um dos indicadores mais utilizados para aferir o grau de satisfação dos clientes relativamente a uma empresa.

Para calcular o NPS, um conjunto de clientes responde à questão:

«Numa escala de 0 a 10, recomendaria a nossa empresa a um amigo?» Em que 0 representa «nada provável» e 10 «extremamente provável».

Recolhidas as respostas, os clientes são divididos em três grupos: Promotores, se atribuem 9 ou 10 pontos; Neutros, se atribuem 7 ou 8 pontos; Detratores, se atribuem entre 0 e 6 pontos.

De seguida, aplica-se a seguinte fórmula:

NPS = percentagem de Promotores - percentagem de Detratores

O valor NPS obtido pode variar entre -100\% e 100\%.

Na tabela seguinte, apresenta-se a escala de classificação do grau de satisfação dos clientes de uma empresa, de acordo com o resultado do NPS, arredondado às unidades.

NPS (%)-110 a -10 a 4950 a 7475 a 100
Classificação do grau de satisfaçãoZona críticaZona de aperfeiçoamentoZona de qualidadeZona de excelência

A empresa de cruzeiros LZD pretende aferir o grau de satisfação dos seus clientes. Para isso, recolheu os resultados da pontuação atribuída por 1080 dos seus clientes. Na tabela seguinte, apresentam-se os resultados obtidos.

DetratoresNeutrosPromotores
Pontos012345678910
N.º de clientes03425902230124170369297

a) Atualmente, para aferir o grau de satisfação dos seus clientes, a empresa de cruzeiros LZD recorre ao cálculo do NPS, mas, anteriormente, recorria ao cálculo da média das pontuações atribuídas pelos clientes.

Admita que uma média de pontuações igual ou superior a 9 pontos corresponde a um grau de satisfação numa Zona de excelência.

Prove que o grau de satisfação dos clientes não se encontra na Zona de excelência, independentemente da forma de aferição, recorrendo aos dados das tabelas anteriores.

Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve duas casas decimais.

Na sua resposta, apresente: a média das pontuações atribuídas pelos clientes; o valor do NPS.

b) Complete o texto seguinte, selecionando a opção adequada a cada espaço.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A moda das pontuações atribuídas pelos Detratores é (I).

Os clientes Neutros representam, com arredondamento às unidades, aproximadamente (II) % da amostra.

A mediana das pontuações atribuídas pelos 1080 clientes é (III).

Os resultados obtidos estão organizados no gráfico circular (IV), no qual se apresenta a amplitude, em graus, de um dos sectores.

  • (I)   a) 1 · b) 3 · c) 6
  • (II)   a) 31 · b) 29 · c) 27
  • (III)   a) 10 · b) 9 · c) 8
  • (IV)   a), b) e c) são os três gráficos circulares da figura seguinte, com as amplitudes 193º, 219º e 222º.
Três gráficos circulares, as opções a), b) e c) do espaço IV, cada um repartido nos sectores Detratores, Neutros e Promotores, com a mesma legenda nos três. Em cada um está indicada a amplitude de um dos sectores: 193 graus no primeiro, 219 graus no segundo e 222 graus no terceiro. Em todos, o sector maior é o dos Promotores.

c) Analisados os resultados obtidos numa outra amostra composta por 1000 clientes da empresa LZD, conclui-se que 723 são clientes Promotores.

Admita que os clientes Detratores representam 8% da amostra.

Determine, para esta amostra, o número mínimo de clientes Neutros que teriam de passar a Promotores para que a empresa LZD se classificasse na Zona de excelência, de acordo com o resultado do NPS obtido.

Item 76 escolha múltiplaExame 2024 · 1.ª Fase

O gráfico da figura seguinte apresenta a distribuição das classificações finais, em valores, na disciplina de Português, dos 20 alunos de uma turma.

Gráfico de barras intitulado «Classificações finais na disciplina de Português», com as classificações em valores, de 8 a 20, no eixo horizontal, e as frequências relativas, de 0% a 30% de 5 em 5 pontos percentuais, no eixo vertical. As barras são: 8 com 5%, 10 com 15%, 12 com 10%, 13 com 20%, 14 com 25%, 17 com 20% e 20 com 5%; as restantes classificações não têm barra.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados no gráfico da figura anterior.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

Na turma, há I alunos com classificação final inferior a 13 valores na disciplina de Português.

A mediana da distribuição das classificações finais na disciplina de Português é II valores.

A classificação média final na disciplina de Português é III valores, e o desvio padrão desta distribuição, arredondado às décimas, é IV valores.

  • I   a) 4 · b) 6 · c) 10
  • II   a) 12{,}5 · b) 13 · c) 13{,}5
  • III   a) 13{,}4 · b) 13{,}6 · c) 13{,}8
  • IV   a) 2{,}9 · b) 3{,}8 · c) 4{,}1
Item 77 escolha múltiplaMACS · Exame 2024 · 2.ª Fase

Sala de Fuga é um jogo em que uma equipa, fechada numa sala ou num conjunto de salas, tem de resolver desafios, num intervalo de tempo limitado, para o conseguir concluir. Para ter sucesso e resolver os desafios, é necessário recorrer a diversas competências e apelar ao raciocínio lógico e à intuição.

Num determinado jogo de Sala de Fuga, registou-se, mensalmente, o número de equipas que nele participaram e, destas, quantas o concluíram e quantas não o concluíram.

Na figura seguinte, são apresentados os dados referentes à idade, em anos, organizada nas classes [18{,}28[, [28{,}38[ e [38{,}48[ dos capitães das equipas que participaram no jogo de Sala de Fuga num determinado mês, divididos em função do facto de a sua equipa ter concluído, ou não, o jogo de Sala de Fuga.

Gráfico com barras horizontais opostas, uma classe de idade por linha, com as classes escritas ao centro. À esquerda, «Concluíram»: 6 na classe [18,28[, 3 na classe [28,38[ e 21 na classe [38,48[. À direita, «Não concluíram»: 9 na classe [18,28[, 15 na classe [28,38[ e 21 na classe [38,48[.

Associe a cada classe, apresentada na Coluna I, as afirmações da Coluna II que lhe correspondem.

Cada um dos números, de 1 a 7, deve ser associado apenas a uma letra, e todos os números devem ser utilizados.

Escreva na folha de respostas cada uma das letras da Coluna I, seguida do(s) número(s) correspondente(s) da Coluna II.

COLUNA I

(a) [18{,}28[(b) [28{,}38[(c) [38{,}48[

COLUNA II

  • (1) Das equipas que concluíram o jogo de Sala de Fuga, o número de capitães cuja idade pertence a esta classe é o menor.
  • (2) 56% dos capitães de equipa têm idade pertencente a esta classe.
  • (3) A quinta parte dos capitães das equipas que não concluíram o jogo de Sala de Fuga tem idade pertencente a esta classe.
  • (4) É a classe em que é maior a diferença entre o número de capitães das equipas que concluíram o jogo de Sala de Fuga e o número de capitães das equipas que não o concluíram.
  • (5) Considerando a totalidade dos capitães das equipas, é a classe modal das suas idades.
  • (6) Considerando a totalidade dos capitães das equipas, é a classe mediana das suas idades.
  • (7) O primeiro quartil das idades dos capitães das equipas que não concluíram o jogo de Sala de Fuga pertence a esta classe.
Item 78 escolha múltiplaExame 2024 · Época especial

Uma empresa tem 50 funcionários, dos quais 12 são da área comercial e os restantes são da área de produção.

A distribuição dos vencimentos, em euros, dos funcionários da área de produção tem média 1010, desvio padrão 62{,}71 e mediana 900.

Na tabela seguinte, estão representados os vencimentos, em euros, dos 12 funcionários da área comercial.

Vencimento (em euros)Número de funcionários (área comercial)
9102
9202
9403
9602
9802
11001

Nenhum dos funcionários da empresa tem vencimento igual a 900 euros.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos vencimentos dos funcionários da área comercial é I euros, e o vencimento médio dos funcionários desta área é II ao vencimento médio dos funcionários da área de produção.

A dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área de produção é III à dispersão relativamente à média da distribuição dos vencimentos dos funcionários da área comercial.

A percentagem de funcionários da empresa com vencimento menor do que 900 euros é IV.

  • I   a) 930 · b) 940 · c) 950
  • II   a) inferior · b) igual · c) superior
  • III   a) inferior · b) igual · c) superior
  • IV   a) 36\% · b) 38\% · c) 50\%
Item 79 construçãoMACS · Exame 2024 · Época especial

Um navio de cruzeiro, que atracou no Funchal para a passagem de ano, tinha a bordo 1200 turistas de diferentes nacionalidades, tendo cada um deles apenas uma nacionalidade.

Na tabela seguinte, está registado o número de turistas de nacionalidade X, de nacionalidade Y e de nacionalidade Z. Os turistas de outras nacionalidades foram contabilizados na categoria «Outra».

NacionalidadeNúmero de turistas
X180
Y350
Z210
Outra460

Admita que a média das idades:

dos 1200 turistas que estavam a bordo do navio de cruzeiros é 54{,}5 anos;dos turistas de nacionalidade Y é 62 anos;dos turistas de «outra» nacionalidade é 56 anos;dos turistas de nacionalidade X é igual à média das idades dos turistas de nacionalidade Z.

Determine a média das idades dos turistas a bordo do navio de cruzeiro que têm nacionalidade X.

Item 80 construçãoMACS · Exame 2025 · 1.ª Fase

Numa praia frequentada pela Leonor, é possível realizar passeios de gaivota, de canoa ou de barco.

Na figura seguinte, apresenta-se a informação recolhida junto de 400 pessoas que realizaram, cada uma, apenas um dos passeios referidos e que tinham idades compreendidas entre os 18 e os 49 anos.

Painel com três gráficos. Em cima, o pictograma «Número de pessoas por tipo de passeio», com bonecos de tamanhos diferentes: Gaivota 200, Canoa 120 e Barco 80. Ao meio, «Percentagem de pessoas por tipo de passeio e respetiva duração, em horas», com três barras horizontais divididas nas durações ]0,1], ]1,2] e ]2,3]: Gaivota 50%, 25% e 25%; Canoa 60%, 30% e 10%; Barco 40%, 20% e 40%. Em baixo, «Número de pessoas por classe etária, em anos, e tipo de passeio», um gráfico de barras agrupadas por classe, sempre pela ordem Gaivota, Canoa, Barco: [18,26[ com 80, 28 e 22; [26,34[ com 80, 57 e 22; [34,42[ com 24, 27 e 27; [42,50[ com 16, 8 e 8.

Considere que as idades se distribuem uniformemente em cada uma das classes etárias apresentadas na figura anterior.

Às 200 pessoas que realizaram um passeio de gaivota, cujas idades são apresentadas na figura anterior, juntou-se um grupo de 24 pessoas (Grupo A), todas da mesma idade, que realizaram o mesmo tipo de passeio.

Estima-se que a média das idades destas 224 pessoas é 30 anos.

A que classe etária, das indicadas na figura anterior, pertence a idade de cada uma das pessoas do Grupo A? Justifique a sua resposta.

Item 81 escolha múltiplaExame 2025 · 2.ª Fase

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados referentes à produção de pera e de maçã, em quilogramas por hectare (kg/ha), em cada ano, de 2019 a 2023, em Portugal continental.

Ano20192020202120222023
Pera (kg/ha)17 53011 56520 20812 19710 929
Maçã (kg/ha)26 06720 08726 64421 33021 072

Fonte: Instituto Nacional de Estatística (consultado em setembro de 2024).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos valores da produção de maçã excede a mediana dos valores da produção de pera em I kg/ha.

De 2020 para 2021, a produção de maçã teve um aumento de, aproximadamente, II.

No que respeita à distribuição da produção de pera, houve III anos em que a produção foi inferior à soma da média com o desvio padrão.

De acordo com previsões do INE, a produção acumulada de maçã, de 2019 a 2024, seria 136\,270 kg/ha, enquanto a produção acumulada de pera, no mesmo período, corresponderia a 60\% da produção acumulada de maçã. De acordo com os dados da tabela e com esta previsão do INE, obtém-se para o valor da produção de pera em 2024, aproximadamente, IV kg/ha.

  • I   a) 6435 · b) 8554 · c) 9133
  • II   a) 25\% · b) 33\% · c) 75\%
  • III   a) dois · b) três · c) quatro
  • IV   a) 6557 · b) 9333 · c) 12\,643
Item 82 construçãoMACS · Exame 2025 · 2.ª Fase

A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.

O V_{O_2\max}, que é o volume máximo de oxigénio que uma pessoa pode consumir durante a realização de exercícios intensos, será tanto maior quanto melhor for a condição física dessa pessoa. Constitui um indicador importante da capacidade aeróbica e da eficiência cardiovascular de uma pessoa, permitindo comparar o desempenho aeróbico de diferentes indivíduos, mesmo com diferentes massas corporais.

A unidade de medida do V_{O_2\max} é expressa em mililitros de oxigénio por quilograma de massa corporal, por minuto (\mathrm{mLkg^{-1}min^{-1}}).

Admita que, no diagrama de caule-e-folhas apresentado na figura seguinte, estão registadas as medições do V_{O_2\max} (\mathrm{mLkg^{-1}min^{-1}}) realizadas num grupo A composto por 12 pessoas. O algarismo das dezenas de cada registo é apresentado no caule, e o algarismo das unidades é apresentado nas folhas.

Grupo A. O caule vale 10 e a folha vale 1, em mL kg⁻¹ min⁻¹.
CauleFolhas
20
37 7 9
41 1 1 3 6 6
52 2

Mais tarde, fizeram-se medições num outro grupo, grupo B, composto por 24 pessoas.

Determine a média do V_{O_2\max} (\mathrm{mLkg^{-1}min^{-1}}) das pessoas do grupo B, sabendo-se que, no conjunto das 36 pessoas, a média do V_{O_2\max} era 45 \mathrm{mLkg^{-1}min^{-1}}.

Item 83 construçãoMACS · Exame 2025 · Época especial

Durante a realização de um estudo estatístico, os participantes nesse estudo foram divididos em grupos. Nos diagramas de caule-e-folhas apresentados na figura seguinte, estão registadas as idades, em anos, dos participantes integrados no Grupo A e no Grupo B. Nos diagramas, o algarismo das dezenas de cada registo é apresentado no caule, e o algarismo das unidades é apresentado nas folhas.

Grupo A. O caule vale 10 anos e a folha vale 1 ano.
CauleFolhas
15 5 7 7
20 0 3 5 5
32 2
Grupo B. O caule vale 10 anos e a folha vale 1 ano.
CauleFolhas
17 9
20 0 0 5 5 9
34 4 4

a) Considere apenas os participantes integrados no Grupo A.

Quantos têm idade pertencente ao intervalo ]\overline{x}-s\,,\ \overline{x}+s[?

  • (A)6
  • (B)7
  • (C)8
  • (D)9

b) Construa um diagrama de extremos e quartis que traduza os dados referentes à idade, em anos, dos 22 participantes integrados no Grupo A e no Grupo B.

Para responder a esta questão, recorra às capacidades da sua calculadora e apresente a(s) lista(s) utilizada(s).

Item 84 construçãoMACS · Exame 2026 · 1.ª Fase

Ao entrar num estádio onde decorreu um jogo de um campeonato mundial de futebol, cada um dos 50 000 espectadores foi questionado acerca da distância, em quilómetros, entre o estádio e o seu alojamento, e acerca da sua idade, em anos.

As respostas relativas às distâncias, em quilómetros, entre o estádio e o alojamento, organizadas nas classes [0{,}100[, [100{,}200[, [200{,}300[ e [300{,}400[, apresentam-se, parcialmente, no gráfico seguinte. Admita que essas distâncias se distribuem uniformemente em cada uma das classes.

A tabela seguinte, parcialmente preenchida, relaciona essas distâncias com as idades dos espectadores, em anos, organizadas nas classes [5{,}30[, [30{,}55[ e [55{,}80[.

Histograma com quatro barras contíguas, uma por classe de distância — [0,100[, [100,200[, [200,300[ e [300,400[, em quilómetros. Só duas barras estão legendadas: a da classe [200,300[, com 15 100 espectadores, e a da classe [300,400[, com 10 100. A barra da classe [0,100[ é mais alta do que a da classe [100,200[, que é a mais baixa das quatro. Eixo vertical: N.º de espectadores; eixo horizontal: Distância (km).
Distância (km)Idade (anos)
[5{,}30[[30{,}55[[55{,}80[
[0{,}100[3000
[100{,}200[380045002500
[200{,}300[3500
[300{,}400[

a) Determine, em média, a que distância do estádio, em quilómetros, está alojado cada espectador.

b) Admita que 25% dos espectadores têm idades pertencentes à classe [55{,}80[.

Quantos destes espectadores estão alojados a uma distância superior ou igual a 300 km do estádio?

  • (A)1100
  • (B)2250
  • (C)3500
  • (D)4250
Item 85 construçãoMACS · Exame 2026 · 2.ª Fase

Em duas localidades, A e B, foram realizadas, em simultâneo, sessões de prevenção rodoviária para ciclistas, sujeitas a inscrição. No boletim de inscrição dessas sessões, solicitava-se que cada pessoa indicasse a sua idade e, relativamente à sua aptidão para o ciclismo, que assinalasse o seu nível, escolhendo entre Principiante, Intermédio ou Experiente.

No gráfico seguinte, estão representados os dados relativos à idade, em anos completos, das 100 pessoas inscritas na localidade A e das 150 pessoas inscritas na localidade B, bem como o nível de aptidão que cada uma assinalou. As idades estão agrupadas nas classes [5{,}25[, [25{,}45[ e [45{,}65[.

Gráfico de barras empilhadas, com seis barras agrupadas em três classes de idade — [5,25[, [25,45[ e [45,65[ — e, dentro de cada classe, uma barra para a localidade A e outra para a localidade B; cada barra está dividida, de baixo para cima, nos níveis Experiente, Intermédio e Principiante, com o número de pessoas escrito em cada segmento. Na localidade A: 5, 30 e 10 na classe [5,25[; 0, 20 e 5 na classe [25,45[; 3, 10 e 17 na classe [45,65[. Na localidade B: 15, 45 e 3 na classe [5,25[; 25, 20 e 0 na classe [25,45[; 25, 8 e 9 na classe [45,65[. Eixo vertical: N.º de pessoas, de 10 a 70; eixo horizontal: Idade (anos).

a) Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

O nível de aptidão para o ciclismo mais assinalado no boletim de inscrição pelas pessoas inscritas na localidade B e cuja idade pertence à classe [5{,}25[ foi (a).

Considerando o conjunto das pessoas inscritas nas duas localidades, o número de pessoas que tinham idade superior ou igual a 25 anos e assinalaram o nível Principiante é igual a (b). A percentagem de pessoas que, na localidade A, assinalaram o nível Intermédio e cuja idade pertence à classe (c) é igual à percentagem de pessoas que, na localidade B, assinalaram o mesmo nível de aptidão para o ciclismo e têm idade pertencente à mesma classe.

Admitindo que as idades se distribuem uniformemente em cada classe, há 3 anos, a média de idades, em anos, das pessoas que, na localidade A, assinalaram o nível Principiante era igual a (d).

(a) (1) Principiante · (2) Intermédio · (3) Experiente(b) (1) 9 · (2) 22 · (3) 31(c) (1) [5{,}25[ · (2) [25{,}45[ · (3) [45{,}65[(d) (1) 24{,}375 · (2) 27{,}375 · (3) 36{,}375

b) No gráfico seguinte, estão parcialmente registadas as idades, em anos completos, das 20 pessoas que, na localidade B, se inscreveram nas sessões de prevenção rodoviária, que tinham idade pertencente à classe [25{,}45[ e que assinalaram o nível Intermédio de aptidão para o ciclismo.

Gráfico circular repartido em cinco sectores, legendados por fora: «25 anos», «27 anos», «x anos — 6 pessoas», «38 anos» e «44 anos — 2 pessoas». Só dois sectores trazem o número de pessoas.

Admita que, no conjunto dos dados representados no gráfico anterior:

20% dizem respeito a pessoas com idade inferior ou igual a 27 anos;a idade mediana é igual a 34 anos;o valor de x pertence ao intervalo ]27{,}38[.

Determine o valor de x.

As percentagens da tabela são frequências relativas simples: acumula-as, nível a nível, e passa-as a números de pessoas multiplicando pelos 15\,800 inquiridos. Depois é só aplicar a definição — calcular \dfrac{25 \times n}{100} e \dfrac{50 \times n}{100} e ver em que nível caem essas posições da lista ordenada.
  1. As frequências relativas acumuladas. Somando as percentagens da tabela nível a nível: 10;\ 22;\ 38;\ 55;\ 74;\ 86;\ 94;\ 98;\ 99;\ 100 \quad (\%). A última é 100%, como tem de ser.
  2. Passar as acumuladas a número de pessoas. Com n = 15\,800 inquiridos, as três acumuladas de que se vai precisar valem 0{,}22 \times 15\,800 = 3476, \qquad 0{,}38 \times 15\,800 = 6004, \qquad 0{,}55 \times 15\,800 = 8690. Ordenadas as respostas por ordem crescente, isto quer dizer: as posições 3477 a 6004 são todas do nível 3, e as posições 6005 a 8690 são todas do nível 4.
  3. O primeiro quartil. Q_{1} = P_{25}, e \frac{25 \times 15\,800}{100} = 3950, que é inteiro, logo Q_{1} é a média dos valores das posições 3950 e 3951. Como 3476 < 3950 e 3951 \leq 6004, as duas posições estão no nível 3, e portanto Q_{1} = \frac{3+3}{2} = 3.
  4. A mediana. M_{e} = P_{50}, e \frac{50 \times 15\,800}{100} = 7900, também inteiro, logo M_{e} é a média dos valores das posições 7900 e 7901. Como 6004 < 7900 e 7901 \leq 8690, as duas posições estão no nível 4, e M_{e} = \frac{4+4}{2} = 4. Numa distribuição com tantos dados repetidos, as duas posições que a regra manda somar caem quase sempre no mesmo valor, e a média delas é esse valor. Em vez de listar 15\,800 respostas, basta saber entre que acumuladas cai cada posição — e é isso que a coluna das frequências acumuladas dá de graça.
RespostaQ_{1} = 3 e M_{e} = 4: as posições 3950 e 3951 caem no nível 3 (acumuladas 22% e 38%) e as posições 7900 e 7901 caem no nível 4 (acumuladas 38% e 55%).
Repara na palavra «aproximado» do enunciado: os comprimentos exatos dos 100 parafusos perderam-se quando os dados foram agrupados, e o que resta de cada classe é um valor que a represente. Escolhe esse valor — o ponto médio de cada intervalo — e trata a tabela como uma tabela de frequências vulgar.
  1. A marca de cada classe. Agrupados os dados, cada classe passa a ser representada pelo seu ponto médio, c_{i} = \dfrac{a+b}{2}. Com classes de amplitude 0{,}1 cm, as onze marcas são 5{,}05;\ 5{,}15;\ 5{,}25;\ 5{,}35;\ 5{,}45;\ 5{,}55;\ 5{,}65;\ 5{,}75;\ 5{,}85;\ 5{,}95;\ 6{,}05. A média assim obtida é aproximada, e é por isso que o enunciado diz «um valor aproximado»: dentro de cada classe faz-se de conta que os parafusos estão todos no meio, o que não é verdade. É o preço de trabalhar com dados agrupados.
  2. A soma das parcelas c_{i}\,n_{i}. \begin{aligned} &5{,}05 \times 3 + 5{,}15 \times 5 + 5{,}25 \times 9 + 5{,}35 \times 13 + 5{,}45 \times 18 + 5{,}55 \times 19\\ &\quad {}+ 5{,}65 \times 17 + 5{,}75 \times 10 + 5{,}85 \times 3 + 5{,}95 \times 2 + 6{,}05 \times 1 = 550{,}30. \end{aligned}
  3. A média. A amostra tem 100 parafusos, logo \overline{x} = \frac{550{,}30}{100} = 5{,}503 \approx 5{,}5 \ \text{cm}. O valor cai dentro da classe [5{,}5; 5{,}6[, que é a de maior frequência — e isso é boa notícia: num histograma quase simétrico como este, a média tem mesmo de ficar junto do centro.
Resposta\overline{x} \approx 5{,}5 cm

O gráfico é uma tabela de frequências desenhada: em baixo o número de livros, em cima o número de alunos que leu esse número de livros. Começa por somar as alturas das barras — é a dimensão da turma — e só depois soma os livros, dando a cada valor o peso da sua barra.

  1. Lê as seis alturas: 0 livros, 3 alunos; 1 livro, 7 alunos; 2 livros, 10 alunos; 3 livros, 3 alunos; 4 livros, 1 aluno; 5 livros, 1 aluno. A turma tem 3 + 7 + 10 + 3 + 1 + 1 = 25 alunos.
  2. Total de livros lidos: 0 \times 3 + 1 \times 7 + 2 \times 10 + 3 \times 3 + 4 \times 1 + 5 \times 1 = 45 livros.
  3. A média é \overline{x} = \dfrac{45}{25} = 1{,}8 livros por aluno.A média de dados com frequências não é a média dos valores distintos: \dfrac{0+1+2+3+4+5}{6} = 2{,}5 é a opção (C), e sai de dar o mesmo peso a valores que não têm a mesma frequência. A opção (B), 2, é a moda — o valor mais frequente, que aqui não coincide com a média.
Resposta(A)
Um caule e folhas não é um resumo: são os dados todos, escritos de outra maneira. Reconstrói os 22 tempos — o caule dá as dezenas, cada folha uma unidade — e é essa a lista que entra na calculadora. Na alínea b), escreve os dois extremos do intervalo com os valores que obtiveste e depois conta, na lista ordenada, quantos registos lá caem — com atenção às extremidades, porque o intervalo é aberto.
  1. a) A lista introduzida na calculadora. Lendo o diagrama linha a linha, os 22 registos são 86, 86, 87, 87, 87, 89, 89, 90, 90, 94, 94, 95, 95, 95, 95, 103, 103, 106, 106, 108, 111, 116. Cada folha é um registo: as folhas repetidas contam todas. A linha do caule 9 tem oito folhas e vale por oito tempos, não por quatro valores distintos.
  2. A média. Os 22 tempos somam 2112 minutos, logo \overline{x} = \frac{2112}{22} = 96 \ \text{minutos}.
  3. O desvio padrão. Com a mesma lista, a calculadora dá s \approx 8{,}98 minutos.
  4. b) O intervalo. \left]\,\overline{x} - s,\ \overline{x} + s\,\right[ \ = \ \left]\,96 - 8{,}98,\ 96 + 8{,}98\,\right[ \ = \ \left]\,87{,}02;\ 104{,}98\,\right[.
  5. Contar os registos que lhe pertencem. Da lista ordenada, ficam dentro 89, 89, 90, 90, 94, 94, 95, 95, 95, 95, 103 e 103 — 12 registos. Os cinco tempos de 86 e 87 minutos ficam fora: 87 < 87{,}02, por duas centésimas. É aqui que se ganha ou se perde este item — arredondar o extremo do intervalo a 87 arrastaria três registos para dentro e daria uma percentagem errada.
  6. A percentagem. \frac{12}{22} = 0{,}5454\ldots \approx 55\%.
Respostaa) \overline{x} = 96 minutos e s \approx 8{,}98 minutos · b) 12 dos 22 registos pertencem a \left]\,87{,}02;\ 104{,}98\,\right[, ou seja, cerca de 55%
Lê no diagrama os cinco números e pergunta-te qual deles é que fala de metade dos dados — e qual é que fala de um quarto. A afirmação junta a percentagem de um com o valor do outro: é aí que ela se desmonta.
  1. Os cinco números do diagrama. Extremo mínimo 14 anos, Q_{1} = 16, M_{e} = 17, Q_{3} = 18 e extremo máximo 22 anos.
  2. O que diz a mediana. A mediana é 17 anos: pelo menos 50% dos alunos têm 17 ou menos anos e pelo menos 50% têm 17 ou mais anos. É o valor 17, e não o 18, que está associado a metade da amostra.
  3. O que diz o terceiro quartil. Q_{3} = 18 anos: pelo menos 75% dos alunos têm 18 ou menos anos e pelo menos 25% têm 18 ou mais. Sobre os alunos com 18 ou mais anos, o diagrama garante 25%, e não 50%. A caixa vai de 16 a 18 e guarda os 50% centrais; a metade superior da amostra começa em 17 e não em 18. Trocar o quartil pela mediana é exatamente o engano que esta afirmação convida a cometer.
  4. Concluir. A afirmação é falsa. Do diagrama, o que se pode garantir é que 50% dos alunos inquiridos têm 17 ou mais anos de idade, e que 25% têm 18 ou mais. Os cinco números não determinam a distribuição toda: há distribuições com estes mesmos cinco números em que a percentagem de alunos com 18 ou mais anos chega a 50% — bastaria não haver nenhum aluno de 17 anos. Mas isso é um caso-limite, e não o que o diagrama afirma: como leitura do diagrama, a afirmação não se sustenta.
RespostaFalsa: sendo M_{e} = 17, o que o diagrama garante é que 50% dos alunos têm 17 ou mais anos; com 18 ou mais anos garante apenas 25%, que é o que diz Q_{3} = 18.
As duas representações não estão na mesma linguagem: o gráfico dá frequências relativas simples e a tabela dá-as acumuladas. Antes de comparar seja o que for, põe as duas do mesmo lado — de uma frequência acumulada para a simples vai-se por subtração da anterior. Com as duas listas de percentagens simples, a moda é imediata, e para a segunda metade da afirmação decide que respostas contas como «revelar gosto pela leitura».
  1. Passar a tabela dos rapazes a frequências relativas simples. Cada valor acumulado é a soma de todos os anteriores com o da sua linha, logo a simples obtém-se subtraindo a acumulada anterior: 12; \quad 38-12 = 26; \quad 82-38 = 44; \quad 97-82 = 15; \quad 100-97 = 3. Os rapazes distribuem-se, então, por 12%, 26%, 44%, 15% e 3%, e estas cinco percentagens somam 100%. A soma 100% é a conferência da conta. E repara que a última linha da tabela já dizia 100: numa tabela de frequências relativas acumuladas, a última linha vale sempre 100%.
  2. Do gráfico, as percentagens das raparigas. São já simples: 3%, 11%, 49%, 31% e 6%, pela mesma ordem de respostas — e somam também 100%.
  3. A moda. A moda é a resposta com maior frequência. Nas raparigas o maior valor é 49% e nos rapazes é 44%, e nos dois casos corresponde à mesma resposta: «Gosto de ler de vez em quando.» A primeira parte da afirmação é verdadeira.
  4. Comparar o gosto pela leitura. As respostas que revelam gosto pela leitura são «Gosto de ler de vez em quando.», «Gosto muito de ler.» e «Sou viciado na leitura.». Somando: \text{raparigas: } 49 + 31 + 6 = 86\% \qquad \text{rapazes: } 44 + 15 + 3 = 62\%. Do outro lado, 14% das raparigas contra 38% dos rapazes gostam pouco ou nada de ler.
  5. Concluir. A moda é a mesma nos dois sexos e a percentagem de raparigas que revelam gosto pela leitura, 86%, é bastante superior à dos rapazes, 62%. A afirmação é verdadeira. A moda de uma variável qualitativa é uma categoria, não um número: escreve-se a frase, e não a percentagem. Aqui as duas modas coincidem — e é justamente por coincidirem que a comparação tem de ser feita com as outras respostas.
RespostaVerdadeira: a moda é «Gosto de ler de vez em quando.» nos dois sexos (49% e 44%), e revelam gosto pela leitura 86% das raparigas contra 62% dos rapazes.
Ordena os doze rendimentos uma vez só: essa lista serve para as duas situações, porque a alteração troca um valor que já estava acima do meio por outro ainda mais acima. Calcula a média e a mediana antes e depois — e repara em qual das duas se mexeu.
  1. Antes da alteração: a média. Os doze rendimentos somam 1250+2800+1900+1650+1300+1800+1200+2500+1350+2100+1200+1500 = 20\,550, logo \overline{x} = \dfrac{20\,550}{12} = 1712{,}5 €.
  2. Antes da alteração: a mediana. Por ordem crescente, os rendimentos são 1200, 1200, 1250, 1300, 1350, 1500, 1650, 1800, 1900, 2100, 2500 e 2800. Como \dfrac{50 \times 12}{100} = 6 é inteiro, M_{e} = \frac{x_{6}+x_{7}}{2} = \frac{1500+1650}{2} = 1575. A mediana é, portanto, 1575 €.
  3. Depois da alteração: a média. O 2800 passa a 8000, e a soma sobe 5200: \overline{x} = \frac{25\,750}{12} = 2145{,}8333\ldots \approx 2145{,}83, ou seja, 2145{,}83 €.
  4. Depois da alteração: a mediana. A lista ordenada só muda no último lugar — 8000 ocupa o lugar que era do 2800, o mais alto de todos. As posições 6 e 7 continuam a ser 1500 e 1650, logo M_{e} = 1575 €, exatamente o mesmo valor de antes. É por isto que se diz que a mediana é resistente: ela só olha para a posição dos dados, e não para o valor deles. O rendimento do agregado B podia ter passado a 80\,000 € que a mediana ficaria na mesma nos 1575 €.
  5. Comentar a afirmação. A afirmação está certa, e estes dados mostram porquê. Antes da alteração, a média e a mediana estão próximas — 1712{,}5 € e 1575 € — e qualquer das duas resume razoavelmente os doze rendimentos. Depois da alteração, um único agregado com 8000 € puxa a média para 2145{,}83 €, um valor que dez dos doze agregados não atingem: a média deixou de representar o conjunto. A mediana, que não se moveu, continua a dizer que metade dos agregados ganha até 1575 €. Reduzir os dados a uma medida de localização é sempre uma redução drástica, e por isso a medida tem de ser escolhida à vista do que se quer resumir: aqui, depois da alteração, é a mediana.
RespostaAntes: \overline{x} = 1712{,}5 € e M_{e} = 1575 €. Depois: \overline{x} \approx 2145{,}83 € e M_{e} = 1575 €. Antes as duas servem; depois só a mediana representa bem os dados, porque a média foi arrastada pelo rendimento de 8000 €.
Lê as doze barras da turma A com cuidado — o 8 e o 14 não têm barra nenhuma — e trata a tabela da turma B do mesmo modo: valores numa lista, frequências noutra. Feitas as quatro contas, o que falta é explicar o António: ele não calculou nada, olhou para as duas representações e viu numa delas os dados amontoados num sítio só e na outra espalhados por toda a largura.
  1. A turma A. Do diagrama de barras: 1 aluno com 6 mensagens, 1 com 7, 2 com 9, 3 com 10, 1 com 11, 2 com 12, 6 com 13, 2 com 15, 3 com 16, 1 com 17, 2 com 18 e 1 com 19 — ao todo 25 alunos, que receberam 324 mensagens. Logo \overline{x}_{A} = \frac{324}{25} = 12{,}96 \ \text{mensagens}.
  2. A turma B. Da tabela, também 1+2+4+12+3+2+1 = 25 alunos, e \overline{x}_{B} = \frac{10+22+48+156+42+30+16}{25} = \frac{324}{25} = 12{,}96 \ \text{mensagens}. As duas médias são iguais, como a Marta disse.
  3. Os desvios padrão. Com as duas listas de cada turma na calculadora, s_{A} \approx 3{,}46 \qquad \text{e} \qquad s_{B} \approx 1{,}31 \ \text{mensagens}.
  4. O raciocínio do António. Na turma B os dados estão amontoados à volta do centro: 12 dos 25 alunos receberam exatamente 13 mensagens, e as frequências caem depressa dos dois lados, entre 10 e 16. Na turma A não há esse amontoado: as barras espalham-se de 6 a 19, com alunos a receber tão poucas como 6 e tantas como 19, longe da média 12{,}96. Como o desvio padrão mede precisamente o quanto os dados se afastam da média, uma distribuição espalhada tem de dar um desvio padrão maior do que uma distribuição concentrada — e isso lê-se nos gráficos, sem fazer contas nenhumas. A resolução oficial deste item usa o desvio padrão populacional \sigma, que divide por n; as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano definem o amostral s, que divide por n-1, e é esse o valor que aqui se dá. Com \sigma obtinha-se \sigma_{A} \approx 3{,}39 e \sigma_{B} = 1{,}28. A conclusão não muda uma vírgula: o da turma A é o maior nas duas convenções.
RespostaTurma A: \overline{x} = 12{,}96 e s \approx 3{,}46 (com \sigma, 3{,}39) · Turma B: \overline{x} = 12{,}96 e s \approx 1{,}31 (com \sigma, 1{,}28). As médias são iguais e os desvios padrão não, porque a turma B tem os dados concentrados no centro e a turma A tem-nos espalhados.
O pai do Henrique dá o mesmo valor a cada um dos três: é exatamente a situação da informação inicial, com esse valor no papel da constante k. Calcula a média que os três têm agora e vê quanto lhe falta para chegar a 1100 €.
  1. A média das quantias já depositadas. \overline{x} = \frac{720 + 800 + 910}{3} = \frac{2430}{3} = 810. Os três têm, em média, 810 € depositados.
  2. Usar a propriedade dada. O pai do Henrique dá a mesma quantia k a cada um dos três, ou seja, soma a constante k a todos os dados. Pela informação inicial, a nova média é 810 + k, e quer-se que valha 1100: 810 + k = 1100 \iff k = 290. Sem a propriedade dava o mesmo, mas com muito mais escrita: \dfrac{(720+k)+(800+k)+(910+k)}{3} = \dfrac{2430+3k}{3} = 810+k. É esta conta que a informação inicial poupa.
  3. Confirmação. Com 290 € para cada um, as quantias passam a 1010 €, 1090 € e 1200 €, e \frac{1010 + 1090 + 1200}{3} = \frac{3300}{3} = 1100.
RespostaO pai do Henrique deve oferecer 290 € a cada um dos jovens.
A coluna do PIB não entra nesta pergunta: a média pede-se para uma variável só, a taxa de alfabetização. Introduz na calculadora a lista dos sete valores da coluna TAA — e não te esqueças de a escrever na resposta, porque o enunciado exige que a apresentes.
  1. A lista introduzida na calculadora. É a coluna da taxa de alfabetização de adultos dos sete países: L_{1} = \{\, 15{,}4;\ 74{,}8;\ 43{,}5;\ 17{,}8;\ 11{,}5;\ 89{,}6;\ 61{,}2 \,\}. A coluna do PIB fica de fora. Introduzi-la como segunda lista não é erro — mas as estatísticas que se pedem são as de L_{1}, e é essa lista que a resposta tem de mostrar.
  2. A soma dos sete valores. 15{,}4 + 74{,}8 + 43{,}5 + 17{,}8 + 11{,}5 + 89{,}6 + 61{,}2 = 313{,}8.
  3. A média. \overline{x} = \frac{313{,}8}{7} = 44{,}82857\ldots \approx 44{,}8. A taxa de alfabetização de adultos é, em média, 44{,}8% no conjunto dos sete países.
Resposta\overline{x} \approx 44{,}8% de taxa de alfabetização de adultos
Lê as doze alturas do gráfico e escreve os quarenta valores por ordem crescente — é a partir dessa lista ordenada que sai tudo o que o item pede. A média calcula-se com as frequências; os extremos e os quartis contam-se por posições. Na alínea c) não repitas as contas: pensa no que acontece a cada dado quando se lhe soma 1 e no que isso faz à posição da média e à posição da mediana.
  1. a) A média. Do gráfico, 10 alunos leram 1 livro, 8 leram 2, 6 leram 3, 4 leram 7, 3 leram 8, 1 leu 10, 3 leram 11 e 5 leram 12 — ao todo 40 alunos. Então \overline{x} = \frac{10+16+18+28+24+10+33+60}{40} = \frac{199}{40} = 4{,}975 \approx 5 \ \text{livros}.
  2. Porque é que a média não serve aqui. Os alunos que leram 1, 2 ou 3 livros são 24 em 40, isto é, mais de metade da amostra, e nenhum aluno leu 4, 5 ou 6 livros. A média, 5 livros, cai justamente nesse intervalo vazio: é maior do que o que leu a maioria e muito menor do que o que leram os 9 alunos que passaram dos 10 livros. Não representa bem nem uns nem outros.
  3. b) Os cinco números. Com os 40 valores ordenados, o mínimo é 1 e o máximo é 12. As posições ocupadas por cada valor são: 1 a 10 valem 1; 11 a 18 valem 2; 19 a 24 valem 3; 25 a 28 valem 7; 29 a 31 valem 8; 32 vale 10; 33 a 35 valem 11; 36 a 40 valem 12.
  4. Aplicar a regra dos percentis. \dfrac{25 \times 40}{100} = 10, inteiro, logo Q_{1} = \dfrac{x_{10}+x_{11}}{2} = \dfrac{1+2}{2} = 1{,}5. \dfrac{50 \times 40}{100} = 20, inteiro, logo M_{e} = \dfrac{x_{20}+x_{21}}{2} = \dfrac{3+3}{2} = 3. E \dfrac{75 \times 40}{100} = 30, inteiro, logo Q_{3} = \dfrac{x_{30}+x_{31}}{2} = \dfrac{8+8}{2} = 8. Os três resultados vêm todos do caso inteiro da regra, porque 40 é múltiplo de 4. Só o primeiro quartil cai entre dois valores diferentes, e é por isso que é o único que não é inteiro.
  5. O diagrama de extremos e quartis. Sobre um eixo graduado de 0 a 12 livros, desenha-se a caixa de 1{,}5 a 8, com o traço da mediana em 3, o bigode da esquerda de 1 a 1{,}5 e o da direita de 8 a 12.
  6. Variabilidade e simetria. A amplitude é 12 - 1 = 11 livros e a caixa, que guarda os 50\% centrais, ocupa 8 - 1{,}5 = 6{,}5 livros — mais de metade de todo o percurso dos dados: a variabilidade é grande. E a distribuição é claramente assimétrica: os 25\% mais baixos cabem entre 1 e 1{,}5, enquanto os 25\% mais altos se espalham de 8 a 12. A mediana está encostada ao lado esquerdo da caixa, e o bigode da direita é muito mais comprido do que o da esquerda — os dados acumulam-se nos valores baixos e alongam-se para a direita.
  7. c) Somar um livro a cada aluno. Cada dado passa a ser x_{i}+1. A média fica \overline{x} + 1 = 4{,}975 + 1 = 5{,}975 \approx 6 livros. Quanto à mediana, somar a mesma constante a todos os dados não altera a ordem deles, e o valor que estava no meio continua no meio, aumentado de 1: M_{e} = 3 + 1 = 4 livros. As duas medidas de localização deslocam-se o mesmo, e é isso que uma translação faz: mexe o centro e não mexe a forma. Se o item perguntasse pelo desvio padrão ou pela amplitude interquartil, a resposta seria «não mudam nada».
Respostaa) \overline{x} \approx 5 livros, valor que cai numa zona sem alunos — não representa a amostra · b) mínimo 1, Q_{1} = 1{,}5, M_{e} = 3, Q_{3} = 8, máximo 12: grande variabilidade e distribuição assimétrica, com os dados concentrados nos valores baixos · c) a média passa a \approx 6 e a mediana a 4 — ambas aumentam 1 livro.
Na alínea a) não precisas de escrever mil números: constrói a coluna das frequências absolutas acumuladas do número de leitores de DVD e vê, para cada percentil, em que valor caem as posições que a regra manda procurar. Na b), calcula as quatro estatísticas com a calculadora e depois compara os dois gráficos como desenhos: num deles as barras altas estão encostadas uma à outra, no outro há barras altas nos dois extremos.
  1. a) As frequências acumuladas dos leitores de DVD. Com n = 1000 habitações e as frequências 330, 450, 47 e 173, as acumuladas são 330, 780, 827 e 1000. Ordenadas as mil habitações, as posições 1 a 330 valem 0, as posições 331 a 780 valem 1, as posições 781 a 827 valem 2 e as restantes valem 3.
  2. A mediana. \dfrac{50 \times 1000}{100} = 500, que é inteiro, logo M_{e} é a média dos valores das posições 500 e 501. As duas estão entre 331 e 780, ou seja, valem 1: M_{e} = \frac{1+1}{2} = 1 \ \text{leitor de DVD}.
  3. Os quartis. \dfrac{25 \times 1000}{100} = 250 é inteiro: as posições 250 e 251 estão ambas nas 330 primeiras, logo Q_{1} = 0. E \dfrac{75 \times 1000}{100} = 750 também é inteiro: as posições 750 e 751 estão entre 331 e 780, logo Q_{3} = 1. Um quartil pode muito bem coincidir com a mediana, como aqui acontece com Q_{3}: metade das habitações têm exatamente um leitor de DVD, e essa classe sozinha engole a mediana e o terceiro quartil.
  4. b) Os leitores de DVD. Com os valores 0, 1, 2, 3 numa lista e as frequências 330, 450, 47, 173 noutra, \overline{x} = \frac{0 \times 330 + 1 \times 450 + 2 \times 47 + 3 \times 173}{1000} = \frac{1063}{1000} = 1{,}063 \approx 1{,}06, e a calculadora dá s \approx 1{,}03 leitores de DVD.
  5. Os televisores. Com as frequências 5, 417, 450, 128, \overline{x} = \frac{0 \times 5 + 1 \times 417 + 2 \times 450 + 3 \times 128}{1000} = \frac{1701}{1000} = 1{,}701 \approx 1{,}70, e a calculadora dá s \approx 0{,}69 televisores. Com n = 1000 a diferença entre o desvio padrão amostral e o populacional já não se vê às centésimas: dividir por 999 ou por 1000 dá, nos dois casos, os mesmos 1{,}03 e 0{,}69.
  6. Concluir. A afirmação é verdadeira, e estes dois gráficos mostram-no. No dos televisores as duas barras altas — 1 e 2 televisores — estão encostadas uma à outra, à volta da média 1{,}70, e quase não há habitações longe dela: o desvio padrão é pequeno, 0{,}69. No dos leitores de DVD há barras altas em 0 e em 1 e ainda 173 habitações em 3, bem afastadas da média 1{,}06: os dados estão espalhados e o desvio padrão sobe para 1{,}03. Dados concentrados junto da média dão desvio padrão baixo; dados espalhados pelos extremos dão desvio padrão alto.
Respostaa) Q_{1} = 0, M_{e} = 1 e Q_{3} = 1 leitores de DVD · b) televisores \overline{x} \approx 1{,}70 e s \approx 0{,}69; leitores de DVD \overline{x} \approx 1{,}06 e s \approx 1{,}03 — a afirmação é verdadeira.
Na alínea a) inverte a fórmula da média: se a média que a calculadora mostrou é 48{,}5 e a amostra tem um número de alunos que a tabela dá, então a soma de todas as idades escritas é conhecida. Tira-lhe a parte que a Maria escreveu bem e o que sobra é a contribuição dos dois alunos de idade p. Na b), lê primeiro as seis alturas do gráfico de barras, que fazem para a escola da Maria exatamente o que a tabela faz para a outra escola; depois compara — as médias entre si e os desvios padrão entre si.
  1. a) Quantos alunos tem a amostra. 6 + 10 + 6 + 2 = 24 alunos.
  2. A soma das idades que a Maria escreveu. Da definição de média, \overline{x} = \dfrac{S}{n}, vem S = 48{,}5 \times 24 = 1164.
  3. Descontar a parte que estava certa. Os alunos de 14, 15 e 16 anos contribuem com 14 \times 6 + 15 \times 10 + 16 \times 6 = 84 + 150 + 96 = 330. Sobram 1164 - 330 = 834 para os dois alunos de idade p, logo 2p = 834 e p = 417. O 2 é o passo em que este item apanha quem se distrai: a coluna do p tem dois alunos, e não um. Dividir 834 por 1 daria 834, um número que a Maria não escreveu.
  4. b) A escola da Maria. Do gráfico de barras: 3 alunos sem irmãos, 6 com um, 8 com dois, 3 com três, nenhum com quatro e 4 com cinco — ao todo 24 alunos. Então \overline{x} = \frac{0 \times 3 + 1 \times 6 + 2 \times 8 + 3 \times 3 + 4 \times 0 + 5 \times 4}{24} = \frac{51}{24} = 2{,}125 \ \text{irmãos}, e a calculadora, com as duas listas, dá s \approx 1{,}569 irmãos.
  5. A outra escola. Da tabela, com os mesmos 24 alunos, \overline{x} = \frac{0 \times 1 + 1 \times 4 + 2 \times 14 + 3 \times 4 + 4 \times 1 + 5 \times 0}{24} = \frac{48}{24} = 2 \ \text{irmãos}, e a calculadora dá s \approx 0{,}834 irmãos. Neste item o arredondamento a três casas ainda distingue as duas convenções — s \approx 1{,}569 contra \sigma \approx 1{,}536 na escola da Maria —, mas a comparação que se pede é a mesma nas duas: o que decide é qual dos desvios padrão é maior, e é sempre o da escola da Maria.
  6. Comparar. As duas médias são próximas, 2{,}125 e 2 irmãos, mas os desvios padrão não: 1{,}569 > 0{,}834. Na outra escola quase todos os alunos têm dois irmãos e os restantes ficam ao lado; na escola da Maria há alunos espalhados por todos os valores, incluindo quatro com cinco irmãos, bem longe da média. Logo a amostra da escola da Maria tem maior variabilidade relativamente à média.
Respostaa) p = 417 · b) escola da Maria: \overline{x} = 2{,}125 e s \approx 1{,}569; outra escola: \overline{x} = 2 e s \approx 0{,}834 — médias parecidas, mas maior variabilidade na escola da Maria.
A linha (CE) não entra em nada: o item trata uma variável só, a classificação interna. Começa por contar quantos alunos têm cada classificação — é essa tabela de frequências que dá as alturas das barras — e só depois calcula a média. Para concluir, olha para onde ficam as barras mais altas e vê se a média cai lá dentro ou cai num sítio onde quase não há alunos.
  1. A tabela de frequências das classificações internas. Contando os 18 alunos, classificação a classificação: 8 tem 1 aluno, 9 tem 3, 10 tem 2, 11 tem 3, 12 não tem nenhum, 13 tem 1, 14 tem 4, 15 não tem nenhum, 16 tem 3, 17 e 18 não têm nenhum e 19 tem 1. As frequências somam 1+3+2+3+0+1+4+0+3+0+0+1 = 18, que é o número de alunos. A conferência da soma não é enfeite: num diagrama de barras que se desenha à mão a partir de dezoito valores soltos, esquecer ou repetir um aluno é o engano mais provável.
  2. O diagrama de barras. No eixo horizontal marcam-se as classificações de 8 a 19 e no vertical o número de alunos, de 0 a 4. As barras, separadas umas das outras, têm as alturas da tabela anterior — e as classificações 12, 15, 17 e 18 ficam sem barra.
  3. A média. \overline{x} = \frac{9+9+10+13+14+9+11+11+14+8+14+16+16+19+14+11+16+10}{18} = \frac{224}{18} \approx 12{,}4 \ \text{valores}.
  4. Relacionar o gráfico com a média. As classificações vão de 8 a 19, uma amplitude de 11 valores em 18 alunos, e as barras não formam um único monte: há um grupo em 9, 10 e 11 (oito alunos) e outro em 14 e 16 (sete alunos), separados por uma zona quase vazia. Os dados estão, portanto, muito dispersos.
  5. Concluir. A média, 12{,}4 valores, cai precisamente nessa zona vazia — a classificação 12 não foi obtida por nenhum aluno e a 13 só por um. Como não fica junto da maior concentração de dados, a média é pouco representativa desta amostra: resume dois grupos afastados num valor que quase ninguém tem. É o aviso que este tipo de item repete: a média está sempre definida, mas só representa bem os dados quando eles se juntam à volta dela. Num conjunto com dois grupos afastados, ela cai no vazio entre os dois.
Resposta\overline{x} \approx 12{,}4 valores; os dados estão muito dispersos e a média cai numa zona sem alunos, pelo que é pouco representativa da amostra.
Repara no que muda de uma tabela para a outra: as frequências são exatamente as mesmas e cada valor baixou uma unidade. Faz as duas contas na calculadora — os valores numa lista e as frequências noutra — e, antes de concluir, pergunta-te o que é que a subtração de 1 a todos os dados faz à distância de cada dado à média, que é o que o desvio padrão mede.
  1. A média com os dados da tabela. A amostra tem 66+46+38+38+12 = 200 sócios e \overline{x} = \frac{1 \times 66 + 2 \times 46 + 3 \times 38 + 4 \times 38 + 5 \times 12}{200} = \frac{66+92+114+152+60}{200} = \frac{484}{200} = 2{,}42 \ \text{filhos}.
  2. O desvio padrão com os dados da tabela. Com os valores numa lista e as frequências absolutas noutra, a calculadora dá s \approx 1{,}2852, ou seja, s \approx 1{,}3 filhos. Com n = 200 não se soma nada à mão: o enunciado manda usar a calculadora e pede quatro casas nos cálculos intermédios exatamente para o arredondamento final não escorregar.
  3. A média com os dados corrigidos. As frequências não mudam, mudam os valores: \overline{x} = \frac{0 \times 66 + 1 \times 46 + 2 \times 38 + 3 \times 38 + 4 \times 12}{200} = \frac{0+46+76+114+48}{200} = \frac{284}{200} = 1{,}42 \ \text{filhos}.
  4. O desvio padrão com os dados corrigidos. Repetindo o cálculo com a lista 0, 1, 2, 3, 4 e as mesmas frequências, a calculadora dá de novo s \approx 1{,}2852, isto é, s \approx 1{,}3 filhos.
  5. Concluir. A média baixou exatamente uma unidade, 2{,}42 - 1 = 1{,}42, e o desvio padrão ficou igual. É a propriedade da translação: subtrair 1 a todos os dados subtrai 1 à média e deixa a dispersão intacta, porque cada dado e a média se deslocam o mesmo, e a distância entre eles não se altera. O erro de transcrição, portanto, não estraga tudo: falseia a média em uma unidade e não toca no desvio padrão. Só as medidas de localização sentem uma translação; as de dispersão não. Aqui a diferença entre s e o desvio padrão populacional também não se vê: s \approx 1{,}2852 e \sigma \approx 1{,}2820 arredondam ambos a 1{,}3.
RespostaCom a tabela, \overline{x} = 2{,}42 e s \approx 1{,}3; com os dados corrigidos, \overline{x} = 1{,}42 e s \approx 1{,}3. A média baixa 1 filho e o desvio padrão não se altera.

A média conhecida vale por uma equação: doze pontos de acesso com média 512{,}5 dão uma soma que sabes calcular, e onze das doze parcelas estão na tabela. Com o valor de a reposto, mete os doze números numa lista da calculadora e lê o desvio padrão — escolhendo o que divide por n-1, o desvio padrão amostral s.

  1. A soma dos doze valores. A média é 512{,}5 habitantes por ponto de acesso, logo S = 512{,}5 \times 12 = 6150 \ \text{habitantes}.
  2. Os onze valores conhecidos. 531 + 518 + 481 + 535 + 493 + 500 + 490 + 525 + 502 + 493 + 550 = 5618.
  3. O valor em falta. a = 6150 - 5618 = 532 \ \text{habitantes}.
  4. O desvio padrão. Com os doze valores na calculadora, e tomando o desvio padrão amostral, s \approx 22{,}05, ou seja s \approx 22 habitantes com arredondamento às unidades. A resolução oficial deste item usa o desvio padrão populacional \sigma, que divide por n; as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano definem o amostral s, que divide por n-1, e é esse o valor que aqui se dá. Com \sigma obtinha-se 21{,}11, ou seja 21 às unidades.
Respostaa = 532 habitantes e s \approx 22 habitantes (com o desvio padrão populacional, \sigma \approx 21)

Cada quadro é uma tabela de frequências: numa lista os vencimentos, noutra o número de trabalhadores, e a calculadora dá média e desvio padrão de uma vez — faz isso duas vezes, uma por empresa. Antes de comparar, confirma que as duas empresas têm mesmo o mesmo número de trabalhadores, como o enunciado afirma; e repara no que salta à vista no quadro de X, um vencimento muito acima de todos os outros.

  1. A empresa X. São 4 + 6 + 3 + 1 + 1 + 1 = 16 \ \text{trabalhadores}, e a soma dos vencimentos é 500 \times 4 + 512 \times 6 + 752 \times 3 + 840 + 1520 + 3850 = 13\,538 euros.
  2. Média e desvio padrão de X. \overline{x}_{X} = \frac{13\,538}{16} = 846{,}125 \approx 846{,}13, \qquad s_{X} \approx 842{,}74. O arredondamento de 846{,}125 às centésimas faz-se para cima: 846{,}13.
  3. A empresa Y. São 5 + 10 + 1 = 16 \ \text{trabalhadores}, e a soma dos vencimentos é 750 \times 5 + 870 \times 10 + 1088 = 13\,538 euros — a mesma de X.
  4. Média e desvio padrão de Y. \overline{x}_{Y} = \frac{13\,538}{16} = 846{,}125 \approx 846{,}13, \qquad s_{Y} \approx 85{,}79.
  5. Comparar. As duas empresas têm o mesmo número de trabalhadores e exatamente o mesmo vencimento médio, cerca de 846{,}13 euros. O desvio padrão de X é quase dez vezes o de Y: em Y os vencimentos estão muito mais concentrados em torno da média, e em X muito mais dispersos. Duas distribuições com a mesma média podem ser completamente diferentes, e é isso que o desvio padrão mede. Em X o vencimento de 3850 euros, sozinho entre dezasseis, chega para afastar a média de todos os outros: dez dos dezasseis trabalhadores ganham menos de 520 euros, e mesmo assim a média passa dos 846.
RespostaEmpresa X: \overline{x} \approx 846{,}13 euros e s \approx 842{,}74 euros · Empresa Y: \overline{x} \approx 846{,}13 euros e s \approx 85{,}79 euros — mesma média, dispersão muito maior em X

Quarenta valores numa tabela desarrumada pedem primeiro uma tabela de frequências: conta quantos dias houve com 0 cafés, com 1, com 2, e assim por diante, e acumula. Com as acumuladas, cada quartil é só saber em que posição cai e ler o valor que lá está — não é preciso escrever o rol todo. Depois compara os cinco números que obtiveste, um a um, com os cinco que o diagrama do aluno mostra.

  1. Contar os quarenta dias. Houve 4 dias com 0 cafés, 9 com 1, 7 com 2, 7 com 3, 8 com 4, 3 com 5 e 2 com 8. As frequências acumuladas são 4, \quad 13, \quad 20, \quad 27, \quad 35, \quad 38, \quad 40, e a última é 40: a contagem fecha.
  2. Os extremos. O mínimo é 0 e o máximo é 8 cafés.
  3. O primeiro quartil. Q_{1} = P_{25} e \dfrac{25 \times 40}{100} = 10, que é inteiro; então Q_{1} = \frac{x_{10} + x_{11}}{2} = \frac{1 + 1}{2} = 1, porque as posições 5 a 13 valem todas 1.
  4. A mediana. \dfrac{50 \times 40}{100} = 20, inteiro; a posição 20 é a última das que valem 2 e a 21 é a primeira das que valem 3: M_{e} = \frac{x_{20} + x_{21}}{2} = \frac{2 + 3}{2} = 2{,}5.
  5. O terceiro quartil. \dfrac{75 \times 40}{100} = 30, inteiro; as posições 28 a 35 valem 4: Q_{3} = \frac{x_{30} + x_{31}}{2} = \frac{4 + 4}{2} = 4.
  6. O diagrama correto. Sobre um eixo de 0 a 8, a caixa vai de 1 a 4, com o traço da mediana em 2{,}5, e os bigodes vão até 0 e até 8: 0 \ \cdot \ 1 \ \cdot \ 2{,}5 \ \cdot \ 4 \ \cdot \ 8. Os bigodes vão sempre até ao mínimo e até ao máximo dos dados. O 8 aparece dois dias e tem de estar no diagrama.
  7. As diferenças. O mínimo (0) e o primeiro quartil (1) coincidem. Diferem três valores: a mediana é 2{,}5 e no diagrama do aluno é 2; o terceiro quartil é 4 e no do aluno é 3; o máximo é 8 e no do aluno é 7{,}5. O máximo denuncia logo o erro sem conta nenhuma: 7{,}5 cafés num dia é impossível numa variável que só toma valores inteiros.
RespostaMínimo 0, Q_{1} = 1, M_{e} = 2{,}5, Q_{3} = 4 e máximo 8; diferem a mediana, o terceiro quartil e o máximo

Dos três tipos de embalagem só um interessa: o de 5{,}4 quilogramas, com 760 saquetas de 7 gramas, que é o que a fábrica produz — daí vem o 760 do enunciado. Calcula a média da amostra a partir da tabela, com o número de caixas como frequência, e depois pensa no que acontece à média quando se tira o mesmo número de saquetas a todas as caixas: há uma propriedade que responde a isso sem refazer conta nenhuma.

  1. A dimensão da amostra. 1 + 1 + 2 + 3 + 5 + 8 = 20 \ \text{caixas}, como o enunciado diz.
  2. A média da amostra. Cada valor entra com o peso do número de caixas: \overline{x} = \frac{693 \times 1 + 714 \times 1 + 735 \times 2 + 756 \times 3 + 819 \times 5 + 840 \times 8}{20} = \frac{15\,960}{20} = 798 saquetas por caixa.
  3. O efeito de retirar a mesma quantidade a todas as caixas. Se a cada caixa se retirarem k saquetas, cada dado passa de x_{i} a x_{i} - k e a média passa de \overline{x} a \overline{x} - k. É a propriedade da translação: somar (ou subtrair) a mesma constante a todos os dados soma (ou subtrai) essa constante à média. Não é preciso refazer a tabela nem a soma ponderada.
  4. Resolver. 798 - k = 760 \iff k = 38.
RespostaDevem retirar-se 38 saquetas a cada caixa

São doze valores e duas medidas: mete-os todos numa lista da calculadora e lê a média e o desvio padrão de uma vez, sem contas intermédias. A única decisão que tens de tomar é qual dos dois desvios padrão da lista da máquina é o teu — o que divide por n-1 é o desvio padrão amostral s, e é esse que as Aprendizagens Essenciais de Matemática A definem.

  1. Os doze registos. 15\,680,\ 17\,549,\ 14\,746,\ 19\,418,\ 20\,353,\ 22\,222,\ 28\,763,\ 26\,894,\ 34\,370,\ 37\,174,\ 38\,108,\ 39\,043.
  2. A média. Os doze valores somam 314\,320, logo \overline{x} = \frac{314\,320}{12} = 26\,193{,}333\ldots \approx 26\,193{,}33 \ \text{sócios}.
  3. O desvio padrão. Com a calculadora, e tomando o desvio padrão amostral, s \approx 9113{,}84 \ \text{sócios}. A resolução oficial deste item usa o desvio padrão populacional \sigma, que divide por n; as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano definem o amostral s, que divide por n-1, e é esse o valor que aqui se dá. Com \sigma obtinha-se 8725{,}84. A média é a mesma nos dois casos: a divergência está só no divisor do desvio padrão.
  4. O que os dois números dizem. Em média foram cerca de 26\,193 sócios por jogo, com uma dispersão da ordem dos 9000 sócios — os registos vão dos 14\,746 aos 39\,043, e é uma amostra muito espalhada em torno da média.
Resposta\overline{x} \approx 26\,193{,}33 sócios e s \approx 9113{,}84 sócios (com o desvio padrão populacional, \sigma \approx 8725{,}84)

Na alínea a) usa a média ao contrário: quinze dias com média 90 dão uma soma que conheces, e o caule-e-folhas dá-te catorze das quinze parcelas — o que sobra é o registo em falta, e a é só o algarismo das unidades dele. Na alínea b) escreve o rol de 2010 já com o registo completo e determina Q_{1} e a mediana; do diagrama de 2011 os dois valores leem-se diretamente. Entre Q_{1} e a mediana está sempre o mesmo quarto dos dados: comparar concentrações é comparar amplitudes.

  1. a) A soma dos quinze dias. A média é 90 e há 15 registos, logo S = 90 \times 15 = 1350.
  2. Os catorze registos conhecidos. 75,\ 77,\ 77,\ 80,\ 80,\ 83,\ 88,\ 93,\ 99,\ 100,\ 100,\ 102,\ 105,\ 105, que somam 1264.
  3. O registo em falta. 1350 - 1264 = 86. Está no caule 8, e a folha é o algarismo das unidades: a = 6.
  4. b) O rol de 2010, com a = 8. 75,\ 77,\ 77,\ 80,\ 80,\ 83,\ 88,\ 88,\ 93,\ 99,\ 100,\ 100,\ 102,\ 105,\ 105.
  5. A mediana de 2010. São n = 15 dados e \frac{50 \times 15}{100} = 7{,}5, que não é inteiro; arredonda-se para cima e M_{e} = x_{8} = 88.
  6. O primeiro quartil de 2010. \frac{25 \times 15}{100} = 3{,}75, que também não é inteiro; arredonda-se para cima e Q_{1} = x_{4} = 80.
  7. Os dois valores de 2011. Leem-se no diagrama: Q_{1} = 80 e M_{e} = 100.
  8. Comparar as amplitudes. Entre Q_{1} e a mediana está, nas duas amostras, o mesmo quarto dos dados: 2010 \colon 88 - 80 = 8, \qquad 2011 \colon 100 - 80 = 20. Os mesmos 25\% dos dias ocupam 8 unidades em 2010 e 20 em 2011, logo estão mais concentrados em 2010 e a afirmação é verdadeira. É este o raciocínio que um diagrama de extremos e quartis permite: cada um dos quatro troços contém sempre um quarto dos dados, e por isso um troço mais curto é um troço com os dados mais juntos.
Respostaa) a = 6 · b) em 2010, Q_{1} = 80 e M_{e} = 88; em 2011, Q_{1} = 80 e M_{e} = 100 — a afirmação é verdadeira

O histograma dá frequências acumuladas, e a média não se calcula a partir delas: a altura de cada barra já traz dentro tudo o que veio antes. Recupera primeiro a frequência de cada classe por diferenças sucessivas — e confirma que as quatro somam 100\% —, e só depois faz a média de dados agrupados, com cada classe representada pela sua marca.

  1. Ler as frequências acumuladas. [20, 30[ \colon 10\%, \quad [30, 40[ \colon 30\%, \quad [40, 50[ \colon 80\%, \quad [50, 60[ \colon 100\%.
  2. Passar às frequências de cada classe. Por diferenças sucessivas: 10\%, \quad 30\% - 10\% = 20\%, \quad 80\% - 30\% = 50\%, \quad 100\% - 80\% = 20\%, e a soma é 100\%, como tinha de ser. A barra de uma classe num histograma de acumuladas diz o que se juntou até ao fim dessa classe. A frequência da própria classe é a diferença entre a sua barra e a anterior — e é essa que serve de peso na média.
  3. As marcas das classes. c_{1} = 25, \quad c_{2} = 35, \quad c_{3} = 45, \quad c_{4} = 55 \ \text{anos}.
  4. A média dos dados agrupados. \overline{x} = \frac{25 \times 10 + 35 \times 20 + 45 \times 50 + 55 \times 20}{100} = \frac{250 + 700 + 2250 + 1100}{100} = \frac{4300}{100} = 43 anos. Como as frequências estão em percentagem, dividir por 100 é dividir pelo total — não é preciso saber quantos jornalistas há.
  5. A prova de MACS tinha aqui uma segunda alínea, com um quadro das alturas dos jornalistas, que pedia o polígono de frequências acumuladas e a mediana de dados agrupados por processos geométricos — matéria que não consta das Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano, e que por isso não foi reproduzida.
Resposta\overline{x} = 43 anos, aproximadamente

Na alínea a) o primeiro gesto é ordenar os catorze valores: a tabela está arrumada por dias da semana, e a ordem dos dias não é a ordem dos números. Só depois procura as posições centrais e vê a que dias correspondem os dois valores que lá caem. Na alínea b) precisas da média diária de 2015, que sai dos mesmos catorze valores, e a percentagem de aumento compara-se sempre com o valor inicial.

  1. a) Ordenar os catorze registos. 184,\ 200,\ 208,\ 224,\ 232,\ 240,\ 256,\ 264,\ 280,\ 280,\ 288,\ 312,\ 328,\ 344.
  2. A posição da mediana. São n = 14 dados e M_{e} = P_{50}: \frac{50 \times 14}{100} = 7, que é inteiro; então M_{e} = \dfrac{x_{7} + x_{8}}{2}, a média dos dois valores centrais.
  3. Que dias são esses. x_{7} = 256 e x_{8} = 264: na tabela, 256 é a quarta-feira da segunda semana e 264 a quinta-feira da segunda semana. É a opção (C). A opção (D) é a armadilha: aponta para as duas casas que ficam a meio da tabela. A mediana lê-se no rol ordenado, nunca na tabela por ordem de dias.
  4. b) A média diária de 2015. Os catorze valores somam 3640, logo \overline{x} = \frac{3640}{14} = 260 \ \text{utilizadores por dia}.
  5. O aumento. 292{,}5 - 260 = 32{,}5 \ \text{utilizadores por dia}.
  6. Em percentagem do valor inicial. \frac{32{,}5}{260} = 0{,}125, ou seja, um aumento de 12{,}5\%.
Respostaa) opção (C) · b) aumento de 12{,}5\%

A tabela tem duas colunas de números, mas a pergunta só fala de custos: a coluna dos espectadores não entra em conta nenhuma. Calcula a média dos sete custos e depois percorre a coluna a comparar cada valor com ela — a resposta é uma contagem, não uma medida.

  1. Os dados que interessam. Só a coluna do custo de produção, em milhares de euros: 435,\ 379,\ 65,\ 60,\ 276,\ 59,\ 43.
  2. O custo médio. \overline{x} = \frac{435 + 379 + 65 + 60 + 276 + 59 + 43}{7} = \frac{1317}{7} \approx 188{,}1 milhares de euros.
  3. Contar os que o superam. São 435 (filme A), 379 (filme B) e 276 (filme E): três filmes. Quatro dos sete filmes custaram menos de 70 milhares de euros e mesmo assim a média passa dos 188: são os dois filmes caros que a puxam. A média não parte os dados ao meio — quem contar «metade dos sete» responde 4 e cai na opção (D).
Resposta(C)

O ponto A está lá só para te ensinar a ler o gráfico; a pergunta é noutro sítio. Sobe pela vertical das 10 semanas e vê em que curvas é que ela corta as massas 14 e 27 gramas — cada curva traz o seu percentil escrito à direita. Depois lembra-te do que um percentil diz: a percentagem de larvas que fica abaixo dele.

  1. Ler o gráfico na vertical das 10 semanas. A massa 14 gramas está sobre a curva P_{15} e a massa 27 gramas está sobre a curva P_{85}.
  2. Traduzir cada percentil. P_{15} = 14 gramas quer dizer que 15\% das larvas de 10 semanas têm massa até 14 gramas; P_{85} = 27 gramas quer dizer que 85\% têm massa até 27 gramas.
  3. A percentagem entre as duas massas. 85\% - 15\% = 70\%. Subtraem-se percentagens acumuladas, e não os percentis: 27 - 14 daria a amplitude do intervalo de massas, que não é o que se pergunta.
  4. Passar às larvas. 0{,}70 \times 500 = 350 \ \text{larvas}.
Resposta350 larvas

São duas coisas independentes, e depois uma comparação. A classe modal lê-se logo no histograma, sem contas. A média de dados agrupados é a média de sempre, mas com cada classe representada pela sua marca, o ponto médio dos extremos — e com a frequência da classe como peso; confirma primeiro que as cinco frequências somam as 100 sessões.

  1. Ler o histograma. As cinco classes e as respetivas frequências absolutas são [100, 150[ \colon 16, \quad [150, 200[ \colon 24, \quad [200, 250[ \colon 8, \quad [250, 300[ \colon 32, \quad [300, 350[ \colon 20, e 16 + 24 + 8 + 32 + 20 = 100 sessões, como o enunciado diz.
  2. As marcas das classes. Cada classe representa-se pelo seu ponto médio: c_{1} = 125, \quad c_{2} = 175, \quad c_{3} = 225, \quad c_{4} = 275, \quad c_{5} = 325.
  3. A média dos dados agrupados. \overline{x} = \frac{125 \times 16 + 175 \times 24 + 225 \times 8 + 275 \times 32 + 325 \times 20}{100} = \frac{23\,300}{100} = 233 espectadores por sessão. É um valor aproximado: dentro de cada classe não se sabe onde estão os dados, e a marca faz de conta que estão todos no meio. Com os dados originais o valor seria outro, próximo deste.
  4. A classe modal. É a classe com maior frequência: 32 sessões, na classe [250, 300[.
  5. Comparar. 233 pertence a [200, 250[, e não a [250, 300[. Logo a média não pertence à classe modal. Não há nenhuma razão para que pertencesse. A classe modal está à direita, mas as duas primeiras classes juntam 40 sessões que puxam a média para baixo — e a classe [200, 250[, a mais pobre de todas, é onde a média acaba por cair.
Resposta\overline{x} = 233 espectadores e classe modal [250, 300[: a média não pertence à classe modal

Começa por transcrever o diagrama para uma lista de vinte tempos — o caule dá as dezenas e cada folha uma unidade — e mete-a na calculadora, que te dá a média e o desvio padrão de uma vez. Depois escreve o intervalo com os números já arredondados como o enunciado manda e conta; como o intervalo é aberto nos dois extremos, é mais rápido contar os tempos que ficam de fora — os mais baixos e os mais altos — e subtrair aos vinte.

  1. Ler o diagrama. Os vinte tempos, em minutos, são 46,\ 48,\ 48,\ 50,\ 50,\ 50,\ 54,\ 56,\ 56,\ 56,\ 57,\ 62,\ 62,\ 63,\ 65,\ 69,\ 74,\ 74,\ 74,\ 79.
  2. A média. A soma dos vinte registos é 1193, logo \overline{x} = \frac{1193}{20} = 59{,}65 \ \text{minutos}, valor exato, como o enunciado pede.
  3. O desvio padrão. Com a calculadora, s \approx 10{,}12 minutos, ou seja s \approx 10 minutos com arredondamento às unidades. Aqui as duas teclas da calculadora dão a mesma resposta: o desvio padrão amostral, s \approx 10{,}12, e o populacional, \sigma \approx 9{,}87, arredondam ambos a 10. O do capítulo — e o das Aprendizagens Essenciais de Matemática A — é o amostral, o que divide por n-1.
  4. O intervalo. \left]\,59{,}65 - 10;\ 59{,}65 + 10\,\right[ \ = \ \left]\,49{,}65;\ 69{,}65\,\right[.
  5. Contar os que ficam de fora. Abaixo de 49{,}65 estão 46, 48 e 48; acima de 69{,}65 estão 74, 74, 74 e 79. São sete registos.
  6. Os que ficam dentro. 20 - 7 = 13 \ \text{atletas}.
Resposta13 atletas (\overline{x} = 59{,}65 min e s \approx 10 min)

Na alínea a) usa a média ao contrário: cinco anos com média 13\,576 dão uma soma que conheces, e a tabela já traz quatro das cinco parcelas. Na alínea b) começa por fechar a coluna das frequências acumuladas até onde os dados chegam — repara que a acumulada 51 da terceira linha te dá a frequência que falta ali — e só depois procura as posições do primeiro quartil e da mediana entre os 150 testes; com dois desses cinco números já se elimina três das quatro opções.

  1. a) A soma dos cinco anos. A média é a soma a dividir pelo número de anos, logo a soma é 13\,576 \times 5 = 67\,880 \ \text{testes}.
  2. Os quatro anos conhecidos. 10\,980 + 12\,000 + 15\,000 + 16\,450 = 54\,430.
  3. O ano em falta. a = 67\,880 - 54\,430 = 13\,450 \ \text{testes}.
  4. b) Fechar a coluna das acumuladas. Até 9 ms acumulam-se 18 testes; até 13 ms, 18 + 27 = 45. Como a acumulada até 17 ms é 51, a esse valor correspondem 51 - 45 = 6 testes, e até 21 ms acumulam-se 51 + 42 = 93. 18, \quad 45, \quad 51, \quad 93, \quad \ldots, \quad 150. As frequências de 25 e de 29 ms não se separam: só se sabe que somam 150 - 93 - 15 = 42. É por isso que o enunciado pergunta qual dos diagramas pode representar os dados, e não qual os representa.
  5. O primeiro quartil. São n = 150 dados e Q_{1} = P_{25}: \frac{25 \times 150}{100} = 37{,}5, que não é inteiro; arredonda-se para cima e Q_{1} = x_{38}. As 18 primeiras posições valem 9 ms e as posições 19 a 45 valem 13 ms, logo Q_{1} = 13 ms.
  6. A mediana. M_{e} = P_{50} e \frac{50 \times 150}{100} = 75, que é inteiro; então M_{e} = \dfrac{x_{75} + x_{76}}{2}. As posições 52 a 93 valem todas 21 ms, logo M_{e} = 21 ms.
  7. Escolher o diagrama. Procura-se o que tem Q_{1} = 13 e M_{e} = 21: a opção (B) tem Q_{1} = 17, a (C) e a (D) têm mediana 17. Sobra a opção (A). Os quatro diagramas têm o mesmo mínimo, 9, e o mesmo máximo, 33 — os extremos não decidem nada. O que os separa é o interior da caixa, e por isso é aí que se calcula.
  8. A prova de MACS abria esta alínea a) com dois gráficos de barras da distribuição da latência nessa região em 2015 e em 2017. Nenhuma das duas perguntas os usa, e não foram reproduzidos.
Respostaa) a = 13\,450 testes · b) opção (A)
Na alínea a) usa a média ao contrário: dez licitações com média 34 euros somam um valor que conheces, e o diagrama dá-te nove das dez parcelas. Na b), procura no diagrama de maio o que são 60 euros e o que são 40 euros — são dois dos cinco números do diagrama, e cada um deles diz que percentagem dos artigos lhe fica abaixo ou acima; com uma dessas percentagens e os 48 artigos chegas ao total do mês. Na c), lê nos diagramas os cinco valores pedidos, mês a mês, e não te esqueças de que em agosto foram duas peças.
  1. a) As nove licitações do diagrama. 14,\ 16,\ 22,\ 31,\ 32,\ 37,\ 45,\ 48,\ 50 \ \text{euros}, \qquad \text{de soma } 295.
  2. A soma das dez. A média das dez licitações é 34 euros, logo somam 34 \times 10 = 340 euros.
  3. A licitação em falta. 340 - 295 = 45 \ \text{euros}. É a opção (A).
  4. b) Ler o diagrama de maio. Os cinco números de maio são 20, 30, 40, 60 e 70 euros: 60 euros é o terceiro quartil e 40 euros é a mediana.
  5. O total de artigos vendidos em maio. Como Q_{3} = 60, pelo menos 75% dos artigos foram vendidos a 60 euros ou menos, e esses são os 48 do enunciado: 0{,}75 \, t = 48 \iff t = 64 \ \text{artigos}.
  6. Os que valeram, no mínimo, 40 euros. Como M_{e} = 40, pelo menos 50% dos artigos foram vendidos a 40 euros ou mais: 0{,}50 \times 64 = 32 \ \text{artigos}. O item pede «um número, fundamentando», e não «o número»: um diagrama de extremos e quartis não determina a distribuição toda, só as percentagens que os cinco números marcam. O 32 é a indicação que sai diretamente da mediana e se justifica em duas linhas.
  7. c) As seis peças, mês a mês. Em abril, a mediana vale 40 euros e o mínimo 10 euros; em julho, Q_{1} = 40 euros e Q_{3} = 70 euros; em agosto, o máximo é 90 euros, e foram duas peças.
  8. O total. 40 + 10 + 40 + 70 + 2 \times 90 = 340 \ \text{euros}.
Respostaa) opção (A), 45 euros · b) 32 artigos (o total de maio é 64) · c) 340 euros
Na alínea a), a média de dados em tabela de frequências dá-te a soma de todos os registos: multiplica-a pelos 50 clientes e desconta o que as quatro primeiras linhas já explicam — o que sobra é o que os três clientes da última linha compraram ao todo. Na b), a tabela do João e o gráfico da Maria são dois conjuntos de 50 clientes que se juntam num só de 100: soma as frequências valor a valor antes de fazer seja o que for, e não te esqueças de que aqui a vale 4, e não o que encontraste na alínea anterior.
  1. a) A soma dos 50 registos do João. A média é a soma a dividir pelo número de clientes, logo \sum x_{i}\,n_{i} = 1{,}96 \times 50 = 98.
  2. O que as quatro primeiras linhas explicam. 0 \times 8 + 1 \times 14 + 2 \times 12 + 3 \times 13 = 0 + 14 + 24 + 39 = 77.
  3. O valor de a. Sobram 98 - 77 = 21 artigos, comprados pelos 3 clientes da última linha: 3a = 21 \iff a = 7. Confirmação: \dfrac{77 + 7 \times 3}{50} = \dfrac{98}{50} = 1{,}96.
  4. b) Juntar os dois conjuntos. Com a = 4, somam-se as frequências do João e as da Maria, valor a valor:
    N.º de artigos012345
    João814121330
    Maria10158773
    Total18292020103

    As listas para a calculadora são L_{1} = 0, 1, 2, 3, 4, 5 e L_{2} = 18, 29, 20, 20, 10, 3, com 18 + 29 + 20 + 20 + 10 + 3 = 100 clientes.

  5. As frequências acumuladas. 18, 47, 67, 87, 97 e 100 — é o que permite saber que valor ocupa cada posição.
  6. Os cinco números. O mínimo é 0 e o máximo é 5. Com n = 100, as três contas dão inteiros: \begin{aligned} Q_{1} = P_{25} &: \tfrac{25 \times 100}{100} = 25 \Rightarrow Q_{1} = \tfrac{x_{25} + x_{26}}{2} = \tfrac{1 + 1}{2} = 1\\ M_{e} = P_{50} &: \tfrac{50 \times 100}{100} = 50 \Rightarrow M_{e} = \tfrac{x_{50} + x_{51}}{2} = \tfrac{2 + 2}{2} = 2\\ Q_{3} = P_{75} &: \tfrac{75 \times 100}{100} = 75 \Rightarrow Q_{3} = \tfrac{x_{75} + x_{76}}{2} = \tfrac{3 + 3}{2} = 3 \end{aligned} As posições leem-se nas acumuladas: as posições 19 a 47 valem 1, as 48 a 67 valem 2 e as 68 a 87 valem 3.
  7. O diagrama. Numa escala de 0 a 5 artigos: bigode de 0 a 1, caixa de 1 a 3 com o traço da mediana em 2, e bigode de 3 a 5. A alínea b) manda considerar a = 4, e não o a = 7 que a alínea a) deu: são dois cenários diferentes, e é assim no exame.
Respostaa) a = 7 · b) mínimo 0, Q_{1} = 1, M_{e} = 2, Q_{3} = 3 e máximo 5
Na alínea a), a coluna que interessa é a do x — o tempo antes de a bilheteira abrir —, e o Filipe e o amigo esperaram o mesmo tempo, o que faz deles uma incógnita só que entra duas vezes na soma. Na b), começa por contar quantas das sete pessoas da tabela esperaram menos de três horas depois de a bilheteira abrir, olhando para a coluna do y; a seguir repara que os 0,4% não são do total de clientes, mas do grupo que o setor de 60% representa.
  1. a) A soma dos tempos conhecidos. Da coluna do x: 30 + 24 + 22{,}5 + 18 + 12 + 8 + 3 = 117{,}5 \ \text{horas}.
  2. A equação da média. O Filipe e o amigo estiveram juntos na fila, logo esperaram o mesmo tempo t, e as nove pessoas têm média 15{,}5 horas: \frac{117{,}5 + 2t}{9} = 15{,}5 \iff 117{,}5 + 2t = 139{,}5 \iff t = 11.
  3. Confirmação. \dfrac{117{,}5 + 2 \times 11}{9} = \dfrac{139{,}5}{9} = 15{,}5.
  4. b) Quantas das sete esperaram menos de três horas. Agora conta-se o y. São as pessoas A, B e C, com 0{,}5, 1 e 2 horas: 3 pessoas. A troca de coluna é o primeiro alçapão do item: o x é o tempo antes da abertura, e a pergunta é sobre o tempo depois dela — que é o do gráfico circular.
  5. O setor que as contém. Sendo t o número total de clientes, o setor [0,\, 3[ vale 60% do total, ou seja, 0{,}60\,t clientes esperaram menos de três horas.
  6. Traduzir os 0,4%. As três pessoas são 0{,}4% desse grupo: 0{,}004 \times 0{,}60 \, t = 3 \iff 0{,}0024 \, t = 3 \iff t = 1250.
  7. Confirmação. 60% de 1250 são 750 clientes, e 0{,}4% de 750 são 3. É a opção (A). Quem aplicar os 0{,}4% ao total, e não ao setor, obtém 3 : 0{,}004 = 750 — que é precisamente a opção (C). O gráfico circular só é lido: nada aqui pede que se construa um.
Respostaa) 11 horas · b) opção (A), 1250 clientes
A barra de abril diz o que aconteceu de março para abril, e a percentagem é sempre calculada sobre o mês de partida — aqui, sobre março, que é justamente o que não se conhece. Escreve os 198 quartos de abril como uma percentagem do número de março e resolve a equação; ir de abril para março multiplicando por 1{,}25 é o caminho que este item põe à frente de propósito.
  1. Ler a barra certa. A barra de abril vale -25%: de março para abril o número de quartos ocupados diminuiu 25%.
  2. Escrever abril à custa de março. Sendo m o número de quartos ocupados em março, abril tem 100\% - 25\% = 75\% desse número: 0{,}75 \, m = 198.
  3. Resolver. m = \frac{198}{0{,}75} = 264 \ \text{quartos}.
  4. Confirmação. 264 \times 0{,}75 = 198. É a opção (B). As outras três são erros com nome. Dividir por 0{,}25 em vez de 0{,}75 dá 792 — a opção (D). Somar as duas barras, 25\% + 10\%, e fazer 198 \times 1{,}35 dá 267{,}3 — a opção (C); mas a barra de março diz o que março cresceu sobre fevereiro, e não tem nada que ver com esta pergunta. E acrescentar 25% a 198 daria 247{,}5: uma descida de 25% não se desfaz com uma subida de 25%, porque as bases são diferentes.
Respostaopção (B): 264 quartos
Na alínea a), a coluna das acumuladas preenche-se de baixo para cima tão bem como de cima para baixo: a linha dos 5 minutos dá-te as duas coisas de que precisas para recuar até à linha dos 4. Para o b, repara que a última acumulada é 100 — a dimensão da amostra — e que a acumulada da linha de b sai da linha anterior; só então aplica o procedimento da mediana. Na b), tem cuidado com a base de cada percentagem: os 45%, os 40% e os 75% não são todos do mesmo conjunto.
  1. a) A acumulada da linha dos 4 minutos. Na linha dos 5 minutos, a frequência é 13 e a acumulada é 37. Como a acumulada de uma linha é a anterior mais a sua frequência, N(4) = 37 - 13 = 24.
  2. O valor de a. A acumulada da linha dos 2 minutos é 14, logo 14 + a = 24 \iff a = 10.
  3. A acumulada da linha de b. A frequência dessa linha é 13 e a acumulada anterior é 37: N(b) = 37 + 13 = 50. Há, portanto, 50 comboios com atraso até b minutos e os outros 50 têm 15 ou 17 minutos de atraso.
  4. A mediana. A última acumulada é 100, logo n = 100. Como \dfrac{50 \times 100}{100} = 50 é inteiro, M_{e} = \frac{x_{50} + x_{51}}{2} = \frac{b + 15}{2} = 11 \iff b = 7. O x_{50} é o último dos 50 primeiros, que é b; o x_{51} é o primeiro dos seguintes, que é 15. E 7 está mesmo entre os 5 da linha de cima e os 15 da de baixo — a tabela está ordenada, e o valor tinha de caber ali.
  5. b) O total de reclamações. As 13\,680 pendentes são 45% do total: 0{,}45 \, t = 13\,680 \iff t = \frac{13\,680}{0{,}45} = 30\,400.
  6. As reclamações da estação E2. São 40% do total: 0{,}40 \times 30\,400 = 12\,160.
  7. As que estão pendentes. Na barra da E2, 75% das reclamações dessa estação estão pendentes: 0{,}75 \times 12\,160 = 9120. Cada percentagem tem a sua base, e o gráfico convida a confundi-las: os 45% são do total geral, os 40% também, mas os 75% são só da E2. Aplicar os 45% às reclamações da E2 daria 5472, que é uma resposta errada com ar de certa.
Respostaa) a = 10 e b = 7 · b) 9120 reclamações
Na alínea a), junta os dois conjuntos num só: conta quantos registos há ao todo e escreve os que conheces por ordem crescente, deixando a de fora por enquanto. Como a é uma folha do caule 0, é um número de um só algarismo — supõe onde ele cai na lista ordenada, aplica o procedimento da mediana e confirma no fim que o valor obtido cabe mesmo nesse sítio. Na b), o item já te diz o que fazer: calcula os cinco números da tabela e compara-os, um a um, com os do diagrama; basta um a diferir para a afirmação ficar justificada.
  1. a) Os registos dos rapazes. Da tabela, 3 + 4 + 2 + 2 = 11 registos: 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 6,\ 13,\ 13,\ 16,\ 16.
  2. Os registos das raparigas. Do diagrama, 9 registos: 5,\ 5,\ 7,\ a,\ 11,\ 11,\ 13,\ 22,\ 22, em que a é uma folha do caule 0, ou seja, um valor de um só algarismo. Ao todo, n = 11 + 9 = 20.
  3. Onde está a mediana. \dfrac{50 \times 20}{100} = 10, que é inteiro, logo M_{e} = \frac{x_{10} + x_{11}}{2} = 8 \iff x_{10} + x_{11} = 16.
  4. Localizar a. Os dezanove valores conhecidos, por ordem, são 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 6,\ 6,\ 6,\ 6,\ 7,\ 11,\ 11,\ 13,\ 13,\ 13,\ 16,\ 16,\ 22,\ 22. Se a ficar entre 7 e 11, as posições 10 e 11 são ocupadas por 7 e por a, e \frac{7 + a}{2} = 8 \iff a = 9. E 9 está mesmo entre 7 e 11: a suposição confirma-se. Confirmar que o valor encontrado cabe no lugar onde foi suposto é parte da resolução, não um extra. Se tivesse saído a = 13, a hipótese caía e as posições centrais teriam de ser recalculadas.
  5. b) Os vinte registos do ecoponto azul. 1,\ 1,\ 1,\ 1,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 2,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 5,\ 9,\ 9,\ 9,\ 9,\ 10. O mínimo é 1 e o máximo é 10.
  6. Os três quartis. Com n = 20, as três contas \dfrac{k \times 20}{100} dão inteiros: \begin{aligned} Q_{1} = P_{25} &: \tfrac{25 \times 20}{100} = 5 \Rightarrow Q_{1} = \tfrac{x_{5} + x_{6}}{2} = \tfrac{2 + 2}{2} = 2\\ M_{e} = P_{50} &: \tfrac{50 \times 20}{100} = 10 \Rightarrow M_{e} = \tfrac{x_{10} + x_{11}}{2} = \tfrac{5 + 5}{2} = 5\\ Q_{3} = P_{75} &: \tfrac{75 \times 20}{100} = 15 \Rightarrow Q_{3} = \tfrac{x_{15} + x_{16}}{2} = \tfrac{5 + 9}{2} = 7 \end{aligned}
  7. A justificação. O diagrama da figura tem o terceiro quartil em 8, e os dados da tabela dão Q_{3} = 7. Como os terceiros quartis são diferentes, aquele diagrama não traduz estes dados.
  8. O diagrama certo. Tem os cinco números 1, 2, 5, 7 e 10: bigode de 1 a 2, caixa de 2 a 7 com o traço da mediana em 5, e bigode de 7 a 10. Os bigodes vão sempre até ao mínimo e até ao máximo dos dados — neste capítulo não se assinalam pontos afastados nem se truncam bigodes.
Respostaa) a = 9 · b) mínimo 1, Q_{1} = 2, M_{e} = 5, Q_{3} = 7 e máximo 10; o diagrama da figura dá Q_{3} = 8, logo não traduz os dados
Repara no título do gráfico antes de usar as alturas: as barras são frequências acumuladas, e a média não se calcula com elas. Recupera primeiro as frequências de cada classe, subtraindo cada acumulada à anterior, e confirma que somam 150. Só depois entram as marcas das classes.
  1. Das acumuladas para as simples. As alturas lidas no histograma são N_{i} = 15,\ 75,\ 120,\ 140,\ 150. Subtraindo cada uma à anterior: n_{1} = 15, \quad n_{2} = 75 - 15 = 60, \quad n_{3} = 120 - 75 = 45, n_{4} = 140 - 120 = 20, \quad n_{5} = 150 - 140 = 10. Somam 15 + 60 + 45 + 20 + 10 = 150, que é o número de funcionários. A verificação da soma não é um luxo: quem usasse as alturas do histograma como se fossem frequências de classe obteria um total de 500 funcionários, e a média sairia disparatada. A última barra de um histograma de acumuladas é sempre n.
  2. As marcas das classes. As classes têm amplitude 10 e as suas marcas são c_{i} = 23,\ 33,\ 43,\ 53,\ 63.
  3. A média dos dados agrupados. \overline{x} = \frac{23 \times 15 + 33 \times 60 + 43 \times 45 + 53 \times 20 + 63 \times 10}{150} = \frac{345 + 1980 + 1935 + 1060 + 630}{150} = \frac{5950}{150} \approx 39{,}67.
  4. Arredondar às unidades. 39{,}67 arredonda para 40 anos. É um valor aproximado, e não a média verdadeira das 150 idades: ao substituir cada funcionário pela marca da sua classe, perde-se a informação de onde ele estava dentro dela.
Resposta40 anos (a média dos dados agrupados é \approx 39{,}67)
Na alínea a), as taxas do gráfico são percentagens do mesmo número de alunos inscritos, que não muda de mês para mês: por isso o número de alunos é proporcional à taxa, e dos 1016 alunos do mês 6 chegas ao mês 7 por uma regra de três simples. Cuidado com a base da percentagem final — a diminuição mede-se em relação ao mês anterior. Na b), há doze dados e dois deles são letras; não precisas de saber quanto vale b, basta saber onde ele fica na lista ordenada, e o gráfico diz-te isso.
  1. a) Do gráfico. A taxa do mês 6 é 12{,}7% e a do mês 7 é 9{,}4%. Como o número de alunos inscritos é o mesmo todo o ano, o número de utilizadores da cantina é proporcional à taxa.
  2. Quantos alunos no mês 7. \frac{1016}{12{,}7} = \frac{n_{7}}{9{,}4} \iff n_{7} = \frac{1016 \times 9{,}4}{12{,}7} = 752 \ \text{alunos}.
  3. A diminuição, em percentagem do mês anterior. \frac{1016 - 752}{1016} = \frac{264}{1016} \approx 0{,}2598, ou seja, cerca de 26% — opção (A). Os três distratores são três enganos com nome. Dividir os 264 pelos 752 do mês 7 dá 35% — opção (C): a diminuição mede-se sobre o valor de partida, não sobre o de chegada. E subtrair as taxas, 12{,}7 - 9{,}4 = 3{,}3, dá as opções (B) e (D): isso é a diferença em pontos percentuais, que não é uma variação percentual.
  4. b) Onde está a mediana. Há n = 12 dados. Pelo procedimento do percentil, \dfrac{50 \times 12}{100} = 6, que é inteiro, logo M_{e} = \frac{x_{6} + x_{7}}{2}.
  5. Ordenar o que se conhece. No gráfico, b é o ponto mais baixo de todos (fica abaixo dos 9{,}4% do mês 7), e a fica pouco abaixo de 15{,}5%. Ordenados, os dados são b,\ 9{,}4,\ 11{,}7,\ 12{,}7,\ 13{,}9,\ 14{,}5,\ a,\ 15{,}5,\ 15{,}9,\ 15{,}9,\ 16{,}2,\ 16{,}5, e os dois centrais são 14{,}5 e a. O valor de b nunca chega a ser preciso: só interessa que seja o menor, para não trocar as posições centrais.
  6. Resolver. \frac{14{,}5 + a}{2} = 14{,}9 \iff 14{,}5 + a = 29{,}8 \iff a = 15{,}3. E 15{,}3 está mesmo entre 14{,}5 e 15{,}5, como a ordenação supôs.
Respostaa) opção (A), x = 26 · b) a = 15{,}3%
O gráfico separa os alunos por sexo, mas as duas médias que o enunciado dá são por semestre: começa por juntar homens e mulheres de cada semestre, para saber quantos alunos cada média representa. Feito isso, a média das notas dos 110 alunos é a soma de todas as notas a dividir por 110 — e a soma das notas de um grupo é a média dele multiplicada pelo número de alunos que tem.
  1. Quantos alunos em cada semestre. Somando as duas barras de cada semestre: n_{1} = 15 + 55 = 70, \qquad n_{2} = 10 + 30 = 40, e 70 + 40 = 110, como o enunciado diz.
  2. A soma das notas de cada semestre. A soma das notas de um grupo é a média vezes o número de alunos: 15{,}65 \times 70 = 1095{,}5, \qquad 14{,}22 \times 40 = 568{,}8.
  3. A média dos 110 alunos. \overline{x} = \frac{1095{,}5 + 568{,}8}{110} = \frac{1664{,}3}{110} = 15{,}13 \ \text{valores}. É uma média ponderada, e o peso de cada semestre é o seu número de alunos. A média das duas médias, \dfrac{15{,}65 + 14{,}22}{2} = 14{,}935, está errada: o primeiro semestre tem quase o dobro dos alunos do segundo e puxa mais a média para o seu lado.
Resposta15{,}13 valores
Na alínea a) o trabalho está todo na leitura: escreve os vinte registos do diagrama por ordem e assinala, um a um, os que caem no intervalo de 18,5 a 24,9 — e repara que os extremos da tabela são 18,5 e 24,9, não 18 e 25. Depois conta os que sobram, que são os que a pergunta quer. Na b), a média de dados agrupados calcula-se com as marcas das classes — o ponto médio de cada uma —, e a barra desconhecida entra na conta duas vezes: no numerador, multiplicada pela marca da sua classe, e no denominador, no total de respostas.
  1. a) Ler o diagrama. Os vinte registos, por ordem, são 15,\ 15,\ 16,\ 17,\ 18,\ 19,\ 19,\ 20,\ 20,\ 20,\ 23,\ 25,\ 26,\ 28,\ 29,\ 30,\ 31,\ 31,\ 32,\ 33.
  2. Quais são «variação normal». São os que estão entre 18{,}5 e 24{,}9: os registos 19, 19, 20, 20, 20 e 23, ou seja, 6 ouvintes. O 18 fica de fora, porque 18 < 18{,}5, e o 25 também, porque 25 > 24{,}9. É aqui que o item se ganha ou se perde: quem os conta obtém 8 normais e 12 fora, isto é, 60\%, que nem sequer é opção.
  3. A percentagem pedida. Não são variação normal 20 - 6 = 14 ouvintes: \frac{14}{20} = 0{,}70, ou seja, 70% — opção (A).
  4. b) As marcas das classes. Cada classe tem amplitude 4 e a sua marca é o ponto médio: c_{1} = 16, \quad c_{2} = 20, \quad c_{3} = 24, \quad c_{4} = 28, \quad c_{5} = 32.
  5. A média dos dados agrupados. As frequências lidas no histograma são 18, a, 6, 32 e 16. A parte conhecida do numerador vale 16 \times 18 + 24 \times 6 + 28 \times 32 + 32 \times 16 = 288 + 144 + 896 + 512 = 1840, e o número de respostas conhecidas é 18 + 6 + 32 + 16 = 72. Logo \overline{x} = \frac{20a + 1840}{a + 72}.
  6. Resolver. \frac{20a + 1840}{a + 72} = 24 \iff 20a + 1840 = 24a + 1728 \iff 4a = 112 \iff a = 28. A média de dados agrupados é aproximada: dentro de cada classe supõe-se que todos os registos valem a marca. Aqui o enunciado dá-a como exata e usa-a para recuperar a barra que falta — é a leitura do histograma ao contrário.
  7. Confirmação. Com a = 28, o total é 100 respostas e \frac{16 \times 18 + 20 \times 28 + 24 \times 6 + 28 \times 32 + 32 \times 16}{100} = \frac{2400}{100} = 24.
Respostaa) opção (A), 70% · b) a = 28
A tabela é de 2015 e a média que o enunciado dá é de 2018: antes de fazer contas, transporta a média para a data da tabela. Entre 3 de janeiro de 2015 e 3 de janeiro de 2018 passaram exatamente três anos e todos os funcionários envelheceram três anos — e somar a mesma constante a todos os dados soma-a à média.
  1. Levar a média para a data da tabela. De 3 de janeiro de 2015 a 3 de janeiro de 2018 vão três anos, e cada funcionário do grupo envelheceu exatamente três anos. Somar 3 a todos os dados soma 3 à média, logo a média das idades no dia da inauguração era 31{,}5 - 3 = 28{,}5 \ \text{anos}. É a propriedade da translação: se y_{i} = x_{i} + 3, então \overline{y} = \overline{x} + 3. Trabalhar com 31{,}5 na tabela de 2015 é o erro que este item procura.
  2. A soma das idades conhecidas. 20 \times 1 + 22 \times 3 + 26 \times 2 + 40 \times 2 = 20 + 66 + 52 + 80 = 218. Faltam os b funcionários de 31 anos, que somam 31b, e o total de funcionários é 8 + b.
  3. A equação da média. \frac{218 + 31b}{8 + b} = 28{,}5 218 + 31b = 228 + 28{,}5b \iff 2{,}5b = 10 \iff b = 4.
  4. Confirmação. Com b = 4, as doze idades de 2015 são 20, 22, 22, 22, 26, 26, 31, 31, 31, 31, 40, 40, de soma 342, e \overline{x} = \frac{342}{12} = 28{,}5, \qquad 28{,}5 + 3 = 31{,}5.
Respostab = 4: quatro funcionários tinham 31 anos no dia da inauguração
O enunciado dá três informações sobre o grupo A — catorze pessoas, média 20 anos e amplitude 19 anos — e os quatro diagramas têm todos catorze folhas: o número de pessoas não elimina nenhum. Usa primeiro a condição mais barata de testar, que é a amplitude (uma subtração por diagrama), e só calcula a média nos que sobrarem. Na alínea b), escreve a média conjunta como a soma de todas as idades a dividir pelo número total de pessoas: a soma das idades do grupo A é 14 vezes a média dele, e a do grupo B é o número de pessoas, que é o que procuras, vezes 18.
  1. a) A amplitude, primeiro. A amplitude é a diferença entre o maior e o menor registo de cada diagrama: \begin{aligned} (A) &: 30 - 18 = 12 & (B) &: 31 - 12 = 19\\ (C) &: 39 - 14 = 25 & (D) &: 31 - 12 = 19 \end{aligned} Ficam de fora (A) e (C). Os quatro diagramas têm catorze folhas, ou seja, todos podiam ser um grupo de catorze pessoas. É a amplitude que os separa, e separa metade deles com quatro subtrações.
  2. Entre (B) e (D), decide a média. Em (B) as catorze idades são 12, 12, 13, 13, 15, 15, 15, 20, 21, 22, 30, 30, 31, 31, cuja soma é 280: \overline{x}_{(B)} = \frac{280}{14} = 20. Em (D) as idades são 12, 12, 12, 13, 13, 15, 15, 17, 18, 19, 21, 21, 22, 31, de soma 241, e \overline{x}_{(D)} = \frac{241}{14} \approx 17{,}21 \neq 20.
  3. Só o diagrama (B) tem, ao mesmo tempo, catorze registos, amplitude 19 e média 20.
  4. b) A soma das idades de cada grupo. Sendo n_{B} o número de pessoas do grupo B, a soma das idades do grupo A é 14 \times 20 = 280 anos e a do grupo B é 18\,n_{B} anos.
  5. A média dos dois grupos juntos. \frac{280 + 18\,n_{B}}{14 + n_{B}} = 18{,}7 280 + 18\,n_{B} = 261{,}8 + 18{,}7\,n_{B} \iff 18{,}2 = 0{,}7\,n_{B} \iff n_{B} = 26. A média conjunta não é a média das médias: essa daria 19. O valor dado, 18{,}7, está mais perto de 18 do que de 20 — sinal de que o grupo B é o maior dos dois, como o 26 confirma.
  6. Confirmação. \dfrac{280 + 18 \times 26}{14 + 26} = \dfrac{748}{40} = 18{,}7.
Respostaa) opção (B) · b) o grupo B tem 26 pessoas
Na alínea a) não há fórmula que valha: há muito poucas maneiras de somar três pontuações da tabela e obter 58, e o trabalho é encontrá-las todas e ver em quantas entra o 18. Na b), repara que o gráfico não dá pontos, dá variações: parte dos 18 pontos do Reino Unido e vai somando, GP a GP, o valor da barra seguinte. Na c), a primeira decisão é se a regra da metade se aplica — compara as 45 voltas realizadas com 70% das 66 previstas — e só depois se procura na tabela o lugar cuja metade dá os pontos que Mike fez.
  1. a) Que somas de três pontuações dão 58. As pontuações possíveis são as dez da tabela e ainda 0, para quem termina fora dos dez primeiros. Percorrendo-as todas, só há duas somas de três parcelas iguais a 58: 25 + 25 + 8 = 58 \qquad \text{e} \qquad 25 + 18 + 15 = 58. Com um 0 pelo meio era impossível: as duas maiores pontuações dão 25+25 = 50, e 50 < 58.
  2. Contar os segundos lugares. A pontuação do 2.º lugar é 18. Na primeira soma não aparece nenhum 18; na segunda aparece uma vez. Logo o máximo é um segundo lugar — opção (B).
  3. b) Do gráfico para as pontuações. Cada barra diz quanto Mike ganhou ou perdeu em relação ao GP anterior. Partindo dos 18 pontos do Reino Unido: \text{Itália} = 18 - 8 = 10, \qquad \text{França} = 10 + 0 = 10, \qquad \text{Japão} = 10 + 15 = 25. A barra 0 da França não significa zero pontos: significa que a pontuação não mudou.
  4. A média dos quatro últimos GP. Os quatro últimos GP da figura são o do Reino Unido, o da Itália, o da França e o do Japão: \overline{x} = \frac{18 + 10 + 10 + 25}{4} = \frac{63}{4} = 15{,}75.
  5. c) A regra da metade aplica-se? 70\% de 66 voltas são 0{,}70 \times 66 = 46{,}2 voltas, e só se realizaram 45. Como 45 < 46{,}2, a corrida terminou antes das 70\% e cada piloto recebeu metade dos pontos da tabela.
  6. Quantos pontos fez Mike em Espanha. Na Austrália ficou em primeiro lugar, com todas as voltas cumpridas: 25 pontos. A barra da Espanha vale -21, logo 25 - 21 = 4 \ \text{pontos em Espanha}.
  7. Do meio para o lugar. Esses 4 pontos são metade dos da tabela, ou seja, o lugar de Mike vale 2 \times 4 = 8 pontos. Na tabela, 8 pontos são o 6.º lugar. É o único lugar que serve: metade de cada uma das outras pontuações dá 13, 9, 8, 6, 5, 3, 2, 1 e 1 — nenhuma delas 4.
Respostaa) opção (B), uma vez · b) 15{,}75 pontos · c) 6.º lugar

Na alínea a), separa a tabela em três listas de sete valores e, para cada uma, calcula de uma vez média, mediana, primeiro quartil, desvio padrão e amplitude — as sete afirmações leem-se todas nesse quadro, e cada uma é uma comparação entre os três conjuntos. A afirmação (3) não é medida nenhuma: percorre-se a tabela dia a dia. Na alínea b), toda a segunda semana desce a mesma constante — e há uma propriedade que diz o que isso faz à média.

  1. a) As três listas, já ordenadas. Mínimas: 14, 15, 15, 15, 16, 16, 16. Máximas: 23, 26, 26, 28, 28, 29, 29. Precipitação: 0; 0{,}1; 0{,}2; 0{,}3; 0{,}5; 1; 3.
  2. Com n = 7: \dfrac{25 \times 7}{100} = 1{,}75 arredonda para 2, logo Q_{1} = x_{2}; e \dfrac{50 \times 7}{100} = 3{,}5 arredonda para 4, logo M_{e} = x_{4}. Daí: mínimas Q_{1} = 15 e M_{e} = 15; máximas Q_{1} = 26 e M_{e} = 28; precipitação Q_{1} = 0{,}1 e M_{e} = 0{,}3.
  3. Médias: mínimas \dfrac{107}{7} \approx 15{,}29 ºC; máximas \dfrac{189}{7} = 27 ºC; precipitação \dfrac{5{,}1}{7} \approx 0{,}73 mm. Desvios padrão amostrais: 0{,}76; 2{,}16; 1{,}05. Amplitudes: 16 - 14 = 2; 29 - 23 = 6; 3 - 0 = 3.
  4. (1) Média inferior à mediana: só nas máximas, 27 < 28 (nas mínimas 15{,}29 > 15 e na precipitação 0{,}73 > 0{,}3) → (b).
  5. (2) Primeiro quartil igual à mediana: só nas mínimas, Q_{1} = M_{e} = 15 → (a).
  6. (3) De segunda para terça, as duas temperaturas sobem (15 para 16 e 23 para 28) e a precipitação desce (0{,}5 para 0{,}1) → (c).
  7. (4) Nas mínimas repetem-se o 15 e o 16; nas máximas repetem-se o 26, o 28 e o 29; na precipitação os sete valores são todos diferentes, logo é a única distribuição amodal → (c).Amodal não é «sem valor repetido por acaso»: é ter todos os valores com a mesma frequência — aqui, todos com frequência 1.
  8. (5) O menor desvio padrão é 0{,}76, das mínimas → (a).Compara-se pelo desvio padrão porque é ele que mede a dispersão em relação à média. A amplitude também é pequena nas mínimas, mas é a afirmação (6) que fala dela, e com outro valor.
  9. (6) Amplitude igual a 6: máximas → (b).
  10. (7) Dados acima da própria média: mínimas 3 em 7, \approx 42{,}86\%; máximas 4 em 7, \approx 57{,}14\%; precipitação 2 em 7, \approx 28{,}57\%, a única inferior a 30\% → (c).
  11. b) A média das máximas da primeira semana é \dfrac{189}{7} = 27 ºC. Na segunda semana cada máxima é a do dia correspondente menos d, logo a média da segunda semana é 27 - d.Subtrair a mesma constante a todos os dados subtrai essa constante à média — não é preciso conhecer as sete temperaturas da segunda semana.
  12. As duas semanas têm sete dias cada, logo a média dos catorze dias é a média das duas médias semanais: \frac{27 + (27 - d)}{2} = 25{,}5 \iff 54 - d = 51 \iff d = 3A média das duas semanas só é a média das duas médias porque as semanas têm o mesmo número de dias. Com semanas de tamanhos diferentes seria preciso pesar cada média pelo número de dias.
Respostaa) (a) → (2) e (5); (b) → (1) e (6); (c) → (3), (4) e (7).   b) A descida foi de 3 ºC.

A tabela dos 1080 clientes é uma tabela de frequências: os pontos são os valores e o número de clientes as frequências. A alínea a) pede duas coisas independentes — a média das pontuações e o NPS —, e para o NPS só precisas das percentagens de Promotores e de Detratores. Na alínea c) repara que os Detratores ficam onde estão: cada Neutro que passa a Promotor sobe a percentagem de Promotores e, com ela, o NPS, ponto a ponto.

  1. a) A soma das pontuações é 1 \times 34 + 2 \times 25 + 3 \times 9 + 5 \times 22 + 6 \times 30 + 7 \times 124 + 8 \times 170 + 9 \times 369 + 10 \times 297 = 8920, logo \overline{x} = \dfrac{8920}{1080} \approx 8{,}26 pontos, que é inferior a 9.
  2. Promotores: 369 + 297 = 666 clientes, ou seja \dfrac{666}{1080} \approx 61{,}67\%. Detratores: 34 + 25 + 9 + 22 + 30 = 120 clientes, ou seja \dfrac{120}{1080} \approx 11{,}11\%.
  3. NPS = 61{,}67 - 11{,}11 = 50{,}56\%, valor que está entre 50 e 74: Zona de qualidade. Nem pela média (8{,}26 < 9) nem pelo NPS a empresa se encontra na Zona de excelência.
  4. (I) Entre os Detratores, que atribuíram de 0 a 6 pontos, a maior frequência é 34, na pontuação 1. A moda é 1 → a).A moda é o valor mais frequente, não a frequência. Quem responde 34 confunde as duas colunas da tabela.
  5. (II) Os Neutros são 124 + 170 = 294 clientes: \dfrac{294}{1080} \approx 27{,}2\%, ou seja 27\% arredondado às unidades → c).
  6. (III) Com n = 1080, \dfrac{50 \times 1080}{100} = 540 é inteiro, logo a mediana é a média das observações das posições 540 e 541. As frequências acumuladas são 0, 34, 59, 68, 68, 90, 120, 244, 414, 783 e 1080: as duas posições caem no bloco dos 9 pontos, logo M_{e} = 9 → b).
  7. (IV) O sector dos Promotores tem amplitude 360 \times \dfrac{666}{1080} = 222º, e é o gráfico da opção c).Os outros dois sectores dariam 40º (Detratores) e 98º (Neutros): as amplitudes 193º e 219º não correspondem a sector nenhum destes dados.
  8. c) Na nova amostra os Promotores são \dfrac{723}{1000} = 72{,}3\% e os Detratores 8\%, logo NPS = 72{,}3 - 8 = 64{,}3\%. Para a Zona de excelência é preciso NPS \ge 75\%.
  9. Cada Neutro que passa a Promotor acrescenta um cliente aos Promotores e não mexe nos Detratores, ou seja, sobe o NPS em 0{,}1 pontos percentuais. Faltam 75 - 64{,}3 = 10{,}7 pontos percentuais, ou seja \dfrac{10{,}7}{0{,}1} = 107 clientes.
Respostaa) Média \approx 8{,}26 pontos e NPS = 50{,}56\% — Zona de qualidade, e não Zona de excelência.   b) I → a) 1; II → c) 27; III → b) 9; IV → c) 222º.   c) 107 clientes.

O eixo vertical do gráfico dá frequências relativas, e nenhuma das medidas se calcula diretamente a partir delas. Passa-as primeiro a frequências absolutas — multiplica cada percentagem pelos 20 alunos — e confirma que as sete parcelas somam 20. Daí em diante é a tabela de frequências de sempre: uma lista com as classificações e outra com o número de alunos.

  1. Multiplica cada frequência relativa pelos 20 alunos: 8 → 1 aluno, 10 → 3, 12 → 2, 13 → 4, 14 → 5, 17 → 4, 20 → 1. As sete frequências somam 20, como tinha de ser.Este é o passo que o item avalia. As classificações 9, 11, 15, 16, 18 e 19 aparecem no eixo mas não têm barra: têm frequência zero e não entram em conta nenhuma.
  2. I. Com classificação inferior a 13 valores estão os alunos com 8, 10 e 12: 1 + 3 + 2 = 6 alunos. (São 5\% + 15\% + 10\% = 30\% da turma, e 0{,}30 \times 20 = 6.)
  3. II. Como n = 20 e \dfrac{50 \times 20}{100} = 10 é inteiro, a mediana é a média dos valores das posições 10 e 11. As frequências acumuladas são 1, 4, 6, 10, 15, 19, 20: a décima observação é 13 e a décima primeira é 14, logo M_{e} = \dfrac{13 + 14}{2} = 13{,}5 valores.A coluna das frequências acumuladas é o que evita escrever as vinte classificações uma a uma — diz logo em que valor cai cada posição.
  4. III. A soma das classificações é 8 \times 1 + 10 \times 3 + 12 \times 2 + 13 \times 4 + 14 \times 5 + 17 \times 4 + 20 \times 1 = 272, logo \overline{x} = \dfrac{272}{20} = 13{,}6 valores.
  5. IV. Com as mesmas duas listas, o desvio padrão amostral é s \approx 2{,}945, ou seja 2{,}9 valores arredondado às décimas.Aqui o valor populacional da calculadora, \sigma \approx 2{,}871, arredonda também a 2{,}9: as duas convenções dão a mesma opção. As outras duas hipóteses, 3{,}8 e 4{,}1, são grandes de mais para um conjunto em que quase todos os valores ficam entre 10 e 17.
RespostaI → b) 6; II → c) 13{,}5; III → b) 13{,}6; IV → a) 2{,}9.

Antes de olhar para as sete afirmações, escreve um quadro pequeno: por classe, quantos concluíram, quantos não concluíram e o total. Repara que há três conjuntos de dados em jogo — os que concluíram, os que não concluíram e a totalidade dos capitães —, e cada afirmação diz claramente sobre qual deles fala. Para as afirmações (6) e (7) não precisas de calcular a mediana nem o quartil: basta saber em que posição eles caem e, pelas frequências acumuladas, em que classe está essa posição.

  1. Do gráfico: concluíram 6, 3 e 21 capitães nas classes [18{,}28[, [28{,}38[ e [38{,}48[; não concluíram 9, 15 e 21. Os totais por classe são 15, 18 e 42, num total de 75 capitães, dos quais 45 não concluíram.
  2. (1) Entre os que concluíram, o menor número é 3, na classe [28{,}38[ → (b).
  3. (2) \dfrac{42}{75} = 0{,}56, ou seja 56\% dos capitães estão na classe [38{,}48[ → (c).
  4. (3) A quinta parte de 45 é 9, que é o número de capitães da classe [18{,}28[ entre os que não concluíram → (a).
  5. (4) As diferenças entre os que não concluíram e os que concluíram são 9 - 6 = 3, 15 - 3 = 12 e 21 - 21 = 0. A maior é 12, na classe [28{,}38[ → (b).
  6. (5) A classe modal é a de maior frequência: [38{,}48[, com 42 capitães → (c).
  7. (6) Com n = 75, \dfrac{50 \times 75}{100} = 37{,}5 não é inteiro, logo a mediana é a observação da posição 38. As frequências absolutas acumuladas são 15, 33 e 75: a posição 38 cai na terceira classe, [38{,}48[ → (c).Basta localizar a posição na coluna das acumuladas — não se interpola dentro da classe. Em dados agrupados a mediana identifica-se pela classe em que cai.
  8. (7) Nos 45 capitães que não concluíram, \dfrac{25 \times 45}{100} = 11{,}25 não é inteiro, logo Q_{1} é a observação da posição 12. As acumuladas são 9, 24 e 45: a posição 12 cai na classe [28{,}38[ → (b).Repara que este quartil é do conjunto dos que não concluíram, e não da totalidade dos capitães. Trocar os conjuntos é o erro que este item procura.
Resposta(a) [18{,}28[ → (3); (b) [28{,}38[ → (1), (4) e (7); (c) [38{,}48[ → (2), (5) e (6).

Da área comercial tens os dados todos, e são só doze: escreve o rol e trabalha sobre ele. Da área de produção não tens dados nenhuns — tens as três medidas, e é com elas que respondes: a média serve para o espaço II, o desvio padrão para o III e a mediana para o IV. No último espaço, pensa no que a mediana 900 diz sobre a posição dos 38 funcionários da produção, e repara que a área comercial não contribui com ninguém.

  1. I. O rol dos 12 vencimentos da área comercial é 910, 910, 920, 920, 940, 940, 940, 960, 960, 980, 980, 1100 euros. Como \dfrac{50 \times 12}{100} = 6 é inteiro, a mediana é a média dos valores das posições 6 e 7: M_{e} = \dfrac{940 + 940}{2} = 940 euros.
  2. II. A soma dos doze vencimentos é 11\,460 euros, logo \overline{x} = \dfrac{11\,460}{12} = 955 euros. Como 955 < 1010, o vencimento médio da área comercial é inferior ao da área de produção.Na área comercial a média (955) é maior do que a mediana (940): é o vencimento de 1100 euros a puxá-la para cima. A média não resiste a um valor afastado; a mediana resiste.
  3. III. O desvio padrão amostral dos vencimentos da área comercial é s \approx 51{,}79 euros, contra 62{,}71 euros na área de produção. Como 62{,}71 > 51{,}79, a dispersão relativamente à média é superior na área de produção.É o desvio padrão que mede a dispersão em torno da média, e as duas distribuições estão na mesma unidade, por isso comparam-se diretamente. Com o desvio padrão populacional da calculadora, \sigma \approx 49{,}58, a conclusão seria a mesma.
  4. IV. Na área comercial o vencimento mais baixo é 910 euros: ninguém ganha menos de 900 euros. Na área de produção a mediana é 900 euros e ninguém ganha exatamente 900 euros, logo metade dos 38 funcionários — 19 — ganha menos do que isso. Na empresa inteira são 19 em 50: \dfrac{19}{50} = 0{,}38, ou seja 38\%.A mediana é a fronteira que deixa metade dos dados de cada lado. É por isso que ela dá a contagem sem que se conheça um único vencimento da produção.
RespostaI → b) 940; II → a) inferior; III → c) superior; IV → b) 38\%.

Chama m à média das idades dos turistas de nacionalidade X — que é também a dos de nacionalidade Z — e escreve a soma das idades de cada um dos quatro grupos: é o número de turistas vezes a média do grupo. A soma das quatro parcelas tem de dar a soma das idades dos 1200 turistas, que sai da média 54{,}5.

  1. Os quatro grupos têm 180, 350, 210 e 460 turistas, e 180 + 350 + 210 + 460 = 1200.
  2. A soma das idades dos 1200 turistas é 1200 \times 54{,}5 = 65\,400 anos.
  3. Seja m a média das idades dos turistas de nacionalidade X, que é igual à dos de nacionalidade Z. As somas dos quatro grupos são 180m, 350 \times 62 = 21\,700, 210m e 460 \times 56 = 25\,760, logo 180m + 21\,700 + 210m + 25\,760 = 65\,400
  4. Daí 390m = 65\,400 - 47\,460 = 17\,940 e m = \dfrac{17\,940}{390} = 46 anos.X e Z têm a mesma média mas números diferentes de turistas (180 e 210): por isso as duas parcelas se juntam em 390m, e não se faz a média das médias, que ignorava os pesos.
Resposta46 anos

Dos três gráficos do painel só interessa o de baixo, e dele só as barras da gaivota. Com as quatro frequências e as marcas das quatro classes etárias, calcula a soma das idades das 200 pessoas — é essa soma, e não a média, que entra na conta seguinte. Depois escreve a média das 224 pessoas em função da idade comum do Grupo A e resolve a equação.

  1. No gráfico de baixo, as barras da gaivota valem 80, 80, 24 e 16 pessoas nas classes [18{,}26[, [26{,}34[, [34{,}42[ e [42{,}50[. Somam 200, que é o número do pictograma.
  2. As marcas das quatro classes são 22, 30, 38 e 46 anos.
  3. A soma das idades das 200 pessoas é 22 \times 80 + 30 \times 80 + 38 \times 24 + 46 \times 16 = 1760 + 2400 + 912 + 736 = 5808 anos.Estas idades são aproximadas — cada pessoa foi representada pela marca da sua classe. É o enunciado que o autoriza, ao dizer que as idades se distribuem uniformemente em cada classe.
  4. Chamando n à idade comum das 24 pessoas do Grupo A, a média das 224 pessoas é \frac{5808 + 24n}{224} = 30 \iff 5808 + 24n = 6720 \iff 24n = 912 \iff n = 38
  5. Cada pessoa do Grupo A tem 38 anos, e 38 pertence à classe [34{,}42[.O resultado é coerente: a média das 200 era \dfrac{5808}{200} = 29{,}04 anos, e para a média subir até 30 o grupo que se junta tem mesmo de entrar acima dela.
RespostaCada pessoa do Grupo A tem 38 anos, pelo que a sua idade pertence à classe [34{,}42[.

Os quatro espaços tratam-se um a um, e o primeiro gesto é sempre o mesmo: ordenar cada linha da tabela antes de procurar a mediana — a ordem dos anos não é a ordem dos valores. Para o espaço III precisas da média e do desvio padrão da linha da pera, e depois basta contar quantos dos cinco anos ficam abaixo da soma dos dois. O espaço IV não é estatística: é a diferença entre o acumulado previsto para 2019–2024 e o que a tabela já registou de 2019 a 2023.

  1. I. Ordena cada linha. Pera: 10\,929, 11\,565, 12\,197, 17\,530, 20\,208. Maçã: 20\,087, 21\,072, 21\,330, 26\,067, 26\,644. Com n = 5, \dfrac{50 \times 5}{100} = 2{,}5 não é inteiro: arredonda-se para 3 e a mediana é o terceiro valor. Logo M_{e} = 12\,197 na pera e M_{e} = 21\,330 na maçã, e 21\,330 - 12\,197 = 9133 kg/ha.A mediana não é o valor do ano do meio da tabela: é o do meio da lista ordenada. Quem lê a tabela pela ordem dos anos apanha 20\,208 e 26\,644 e falha os dois valores.
  2. II. De 2020 para 2021 a produção de maçã sobe 26\,644 - 20\,087 = 6557 kg/ha, a partir de 20\,087 kg/ha. O aumento relativo é \dfrac{6557}{20\,087} \approx 0{,}3264, ou seja, aproximadamente 33\%.A variação divide-se sempre pelo valor inicial. O aumento absoluto, 6557, está à espera na opção a) do espaço IV — é o distrator de quem pára a meio.
  3. III. Para a produção de pera, \overline{x} = \dfrac{72\,429}{5} = 14\,485{,}8 kg/ha e s \approx 4136{,}16 kg/ha, logo \overline{x} + s \approx 18\,621{,}96 kg/ha. Ficam abaixo deste valor 17\,530, 11\,565, 12\,197 e 10\,929: são quatro anos, e só 20\,208 fica acima.Com o desvio padrão populacional que a calculadora também mostra, \sigma \approx 3699{,}49, o limite seria 18\,185{,}29 kg/ha e a contagem manter-se-ia em quatro. A resposta não depende da convenção — mas o desvio padrão do 10.º ano de Matemática A é o amostral s.
  4. IV. A produção acumulada de pera prevista para 2019–2024 é 0{,}6 \times 136\,270 = 81\,762 kg/ha. De 2019 a 2023 a tabela dá 72\,429 kg/ha, logo para 2024 sobram 81\,762 - 72\,429 = 9333 kg/ha.
RespostaI → c) 9133; II → b) 33\%; III → c) quatro; IV → b) 9333.

Uma média é sempre uma soma a dividir por um número de dados — e é a soma que se transporta de um grupo para o outro. Tira do caule-e-folhas as doze medições do grupo A e soma-as; depois escreve a soma das 36 medições a partir da média 45. A diferença entre as duas somas é a soma do grupo B.

  1. Do diagrama, as 12 medições do grupo A são 20, 37, 37, 39, 41, 41, 41, 43, 46, 46, 52 e 52 \mathrm{mLkg^{-1}min^{-1}}. A soma é 495, logo \overline{x}_{A} = \dfrac{495}{12} = 41{,}25.
  2. Nas 36 pessoas a média é 45, logo a soma de todas as medições é 45 \times 36 = 1620.
  3. A soma das medições do grupo B é 1620 - 495 = 1125.
  4. Como o grupo B tem 24 pessoas, \overline{x}_{B} = \dfrac{1125}{24} = 46{,}875 \mathrm{mLkg^{-1}min^{-1}}.A média das 36 não é a média das duas médias: \dfrac{41{,}25 + 46{,}875}{2} \approx 44{,}06, que não é 45. O grupo B tem o dobro das pessoas do grupo A e por isso pesa o dobro.
Resposta46{,}875 \mathrm{mLkg^{-1}min^{-1}}

Começa por transcrever os dois diagramas para duas listas de idades — o caule dá as dezenas e cada folha uma unidade. Na alínea a) precisas da média e do desvio padrão só do Grupo A, e depois é contar quantas idades caem dentro do intervalo (que é aberto nos dois extremos). Na alínea b) junta as duas listas numa só, com 22 idades, e determina os cinco números: mínimo, Q_{1}, mediana, Q_{3} e máximo.

  1. a) Do diagrama, o Grupo A tem as idades 15, 15, 17, 17, 20, 20, 23, 25, 25 e 29 anos.
  2. A soma é 206, logo \overline{x} = \dfrac{206}{10} = 20{,}6 anos, e o desvio padrão amostral é s \approx 4{,}77 anos. O intervalo é ]20{,}6 - 4{,}77\,,\ 20{,}6 + 4{,}77[ \ = \ ]15{,}83\,,\ 25{,}37[.
  3. Das dez idades ficam de fora 15, 15 (abaixo de 15{,}83) e 29 (acima de 25{,}37). Pertencem ao intervalo 10 - 3 = 7 participantes.A resolução oficial da prova usa o desvio padrão populacional da calculadora, \sigma \approx 4{,}52, com o qual o intervalo seria ]16{,}08\,,\ 25{,}12[ — e a contagem continuaria a ser 7. Este item é seguro nas duas convenções, mas o símbolo que o próprio enunciado escreve é s, o desvio padrão amostral do 10.º ano.
  4. b) Juntando os dois grupos numa só lista, as 22 idades ordenadas são 15, 15, 17, 17, 17, 20, 20, 20, 20, 20, 23, 25, 25, 25, 25, 29, 29, 32, 32, 34, 34, 34 anos.
  5. Os cinco números, com n = 22: mínimo 15; Q_{1} = P_{25}, e como \dfrac{25 \times 22}{100} = 5{,}5 não é inteiro arredonda-se para 6, logo Q_{1} = x_{6} = 20; M_{e} = P_{50}, e como \dfrac{50 \times 22}{100} = 11 é inteiro, M_{e} = \dfrac{x_{11} + x_{12}}{2} = \dfrac{23 + 25}{2} = 24; Q_{3} = P_{75}, e como \dfrac{75 \times 22}{100} = 16{,}5 arredonda para 17, Q_{3} = x_{17} = 29; máximo 34.
  6. O diagrama de extremos e quartis desenha-se sobre um eixo em anos: a caixa vai de 20 a 29, com o traço da mediana em 24, e os bigodes prolongam-se até 15 à esquerda e até 34 à direita.Os bigodes vão sempre até ao mínimo e ao máximo dos dados. Metade das idades está entre 20 e 29 anos — é a caixa —, e a mediana não está a meio dela: fica encostada à esquerda, sinal de que os valores mais baixos estão mais concentrados.
Respostaa) (B)   b) Diagrama com mínimo 15, Q_{1} = 20, M_{e} = 24, Q_{3} = 29 e máximo 34 anos.

O histograma só está legendado em duas barras, e a tabela só tem uma linha completa — mas as duas peças completam-se. Soma a linha da classe [100{,}200[ para saber quantos espectadores lá estão, junta-lhe os dois valores lidos no gráfico e recupera a quarta frequência pelo total de 50\,000. Na alínea b), trabalha só com a última coluna da tabela: sabes quantos espectadores tem ao todo e já lá estão três dos quatro valores.

  1. a) A linha da classe [100{,}200[ está completa na tabela: 3800 + 4500 + 2500 = 10\,800 espectadores. Do histograma leem-se 15\,100 para a classe [200{,}300[ e 10\,100 para a classe [300{,}400[. Como os espectadores são 50\,000, a classe [0{,}100[ tem 50\,000 - 10\,800 - 15\,100 - 10\,100 = 14\,000.As duas barras sem legenda não se leem pela altura: deduzem-se. E o resultado é coerente com o desenho — a barra de [0{,}100[ é mais alta do que a de [100{,}200[, que é mesmo a mais baixa das quatro.
  2. As marcas das quatro classes são 50, 150, 250 e 350 km.
  3. Com as marcas como valores e as frequências 14\,000, 10\,800, 15\,100 e 10\,100, \overline{x} = \frac{50 \times 14\,000 + 150 \times 10\,800 + 250 \times 15\,100 + 350 \times 10\,100}{50\,000} = \frac{9\,630\,000}{50\,000} = 192{,}6 ou seja, em média, cada espectador está alojado a 192{,}6 km do estádio.É um valor aproximado: dentro de cada classe as distâncias verdadeiras foram substituídas pela marca. O enunciado autoriza-o ao dizer que as distâncias se distribuem uniformemente em cada classe.
  4. b) Os espectadores com idade na classe [55{,}80[ são 0{,}25 \times 50\,000 = 12\,500 — é o total da última coluna da tabela.
  5. Essa coluna já regista 3000, 2500 e 3500 nas três primeiras classes de distância, ou seja 9000 espectadores. Para a classe [300{,}400[ sobram 12\,500 - 9000 = 3500.
Respostaa) 192{,}6 km.   b) (C)

Na alínea a), lê os números escritos dentro dos segmentos: cada barra é uma localidade dentro de uma classe, e os segmentos são os três níveis. Como as duas localidades têm totais diferentes (100 e 150), o espaço (c) compara-se em percentagem e não em número de pessoas; e o espaço (d) pede a média de dados agrupados, ou seja, cada classe representada pela sua marca. Na alínea b), reconstrói o rol das 20 idades a partir das quatro informações e pensa em que posições cai a mediana.

  1. (a) Na barra da localidade B da classe [5{,}25[, os três segmentos valem 15 (Experiente), 45 (Intermédio) e 3 (Principiante). O maior é o do nível Intermédio — opção (2).
  2. (b) Idade superior ou igual a 25 anos são as classes [25{,}45[ e [45{,}65[. Os segmentos de Principiante nessas quatro barras valem 5 e 17 na localidade A e 0 e 9 na localidade B: 5 + 17 + 0 + 9 = 31 pessoas — opção (3).
  3. (c) Percentagens de nível Intermédio na localidade A: \dfrac{30}{100} = 30\%, \dfrac{20}{100} = 20\% e \dfrac{10}{100} = 10\%. Na localidade B: \dfrac{45}{150} = 30\%, \dfrac{20}{150} \approx 13{,}3\% e \dfrac{8}{150} \approx 5{,}3\%. A única classe em que as duas percentagens coincidem é [5{,}25[ — opção (1).Em número de pessoas, 20 e 20 na classe [25{,}45[ pareciam a resposta. Não são: as duas localidades têm 100 e 150 inscritos, e a mesma contagem dá percentagens diferentes.
  4. (d) Os Principiantes da localidade A são 10, 5 e 17, num total de 32 pessoas. Com as marcas das classes, 15, 35 e 55 anos, a média de idades hoje é \dfrac{10 \times 15 + 5 \times 35 + 17 \times 55}{32} = \dfrac{1260}{32} = 39{,}375 anos. Há três anos cada uma tinha menos 3 anos, logo a média era 39{,}375 - 3 = 36{,}375 anos — opção (3).Não é preciso refazer a conta com as idades de há três anos: subtrair a mesma constante a todos os dados subtrai essa constante à média, e mais nada.
  5. b) São 20 pessoas. Os 20\% com idade inferior ou igual a 27 anos são 0{,}20 \times 20 = 4 pessoas, que são as dos sectores «25 anos» e «27 anos». O gráfico dá ainda 6 pessoas com x anos e 2 com 44 anos, logo o sector dos 38 anos tem 20 - 4 - 6 - 2 = 8 pessoas.
  6. Como 27 < x < 38, o rol ordenado é: 4 valores até 27 anos (posições 1 a 4), 6 valores iguais a x (posições 5 a 10), 8 valores iguais a 38 (posições 11 a 18) e 2 valores iguais a 44.
  7. Com n = 20, \dfrac{50 \times 20}{100} = 10 é inteiro, logo a mediana é a média dos valores das posições 10 e 11: \dfrac{x + 38}{2} = 34 \iff x + 38 = 68 \iff x = 30. E 30 pertence mesmo a ]27{,}38[.
Respostaa) (a) → (2) Intermédio; (b) → (3) 31; (c) → (1) [5{,}25[; (d) → (3) 36{,}375.   b) x = 30
R7

Dados bivariados

Até aqui olhou-se para uma variável de cada vez. Agora observam-se duas sobre as mesmas unidades, e a pergunta muda: haverá associação entre elas? A nuvem de pontos responde primeiro; só depois vêm o coeficiente de correlação e a reta de regressão — e nessa ordem, sempre. É a matéria que o Exame Nacional de Matemática A avalia desde 2023.

Aprendizagens Essenciais · 10.º ano · págs. 24–25
  • Reconhecer que, para estudar a associação entre duas variáveis quantitativas de uma população, se observam essas variáveis sobre cada unidade estatística, obtendo-se uma amostra de pares de dados. (pág. 24)
  • Reconhecer a importância da representação dos dados no diagrama de dispersão, nuvem de pontos, para interpretar a forma, direção e força da associação (linear) entre as duas variáveis. (pág. 24)
  • Identificar o coeficiente de correlação linear r, como medida dessa direção e grau de associação (linear), e saber que assume valores pertencentes a [−1, 1], dizendo-se com base nesse valor que a correlação é positiva, negativa ou nula. Recorrer à tecnologia para proceder ao cálculo do coeficiente de correlação linear. (pág. 24)
  • Compreender que no caso do diagrama de dispersão mostrar uma forte associação linear entre as variáveis, essa associação pode ser descrita pela reta de regressão ou reta dos mínimos quadrados. Utilizar a tecnologia para determinar uma equação da reta de regressão. (pág. 24)
  • Compreender que na construção da reta de regressão não é indiferente qual das variáveis é que se considera como variável independente ou explanatória. (págs. 24–25)
  • Compreender que a existência de outliers influencia estes procedimentos. (pág. 25)
  • Utilizar a reta de regressão para inferir o valor da variável dependente ou resposta, para um dado valor da variável independente ou explanatória, quando existe uma forte associação linear entre as variáveis, quer positiva, quer negativa, e desde que este esteja no domínio dos dados considerados. (pág. 25)
  • Compreender que não se pode confundir correlação com relação causa-efeito, pois podem existir variáveis "perturbadoras" que podem provocar uma aparente associação entre as variáveis em estudo. (pág. 25)
  • Entender que um gráfico de linhas é um caso particular de um diagrama de dispersão, em que se pretende estudar a evolução de uma das variáveis relativamente a outra variável, de um modo geral o tempo, e em que se unem, por linhas, os pontos representados. (pág. 25)

1 · Pares de dados e diagrama de dispersão

Mede-se a altura de vinte alunos: é uma amostra de vinte números, e tudo o que R2 a R6 fizeram serve para a resumir. Mede-se agora, nos mesmos vinte alunos, a altura e o comprimento do pé: passa a haver vinte pares de números, e a pergunta interessante deixa de ser «qual é a altura típica?» para passar a ser «quem tem o pé maior é, em geral, mais alto?».

Amostra bivariada

Para estudar a associação entre duas variáveis quantitativas de uma população, observam-se as duas sobre cada unidade estatística. Obtém-se uma sequência de n pares

(x_{1}, y_{1}), \quad (x_{2}, y_{2}), \quad \ldots, \quad (x_{n}, y_{n}),

a que se chama amostra bivariada. O que a torna diferente de duas amostras quaisquer é que os dois valores de cada par vêm da mesma unidade — do mesmo aluno, do mesmo dia, da mesma encomenda. Trocar a ordem de uma das listas destrói a informação toda.

Diagrama de dispersão

O diagrama de dispersão, ou nuvem de pontos, representa cada par como o ponto P_{i}(x_{i}, y_{i}) de um referencial. Não se unem os pontos, e não há ordem nenhuma para os percorrer.

Nele leem-se três coisas, e é sempre por esta ordem que se leem:

a forma — os pontos alinham-se? encurvam? não têm forma nenhuma? a direção — a nuvem sobe (associação positiva) ou desce (associação negativa)? a força — os pontos estão apertados junto de uma reta ou espalhados à volta dela?

A escala faz parte do desenho

Começar os dois eixos em 0 quando os dados vivem todos entre 1{,}55 e 1{,}75 amontoa a nuvem num canto e esconde tudo o que ela tinha para dizer. A janela escolhe-se à volta dos dados, e não à volta da origem. Ao contrário do histograma, onde o eixo vertical tem de começar em zero para as áreas serem comparáveis, aqui não há área nenhuma a comparar: há posições.

2 · Variável explanatória e variável resposta

Explanatória e resposta

Das duas variáveis, a explanatória (ou independente) é a que se usa para explicar ou prever, e vai no eixo horizontal; a resposta (ou dependente) é a que se quer explicar, e vai no eixo vertical.

A escolha não é estatística: é do contexto. Nenhuma conta a decide — decide-a quem conhece a situação. Entre «idade» e «altura» de uma criança, a explanatória é a idade: cresce-se porque se vai tendo mais anos, e não ao contrário.

Esta decisão não é uma formalidade. Trocar os papéis das duas variáveis dá outra reta de regressão — não a mesma reta escrita ao contrário —, e o §5 mostra isso com números.

3 · O coeficiente de correlação linear

Depois de olhar para a nuvem, quer-se um número que diga a direção e a força da associação linear. É o coeficiente de correlação.

Coeficiente de correlação linear r

Numa amostra bivariada de n pares,

r = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2}}\,\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\overline{y}\right)^{2}}}.

Prova-se que -1 \le r \le 1, seja qual for a amostra. Esta fórmula aparece uma única vez em todo o capítulo, e está aqui para se perceber de onde vem o sinal — não para se calcular à mão. O cálculo faz-se com a calculadora ou com o Python.

O numerador é uma soma de produtos de desvios, e é dele que sai o sinal:

quando as duas variáveis crescem juntas, um ponto acima da média em x está também, em geral, acima da média em y: os dois desvios têm o mesmo sinal, o produto é positivo, e a soma dá r > 0; quando uma cresce e a outra decresce, os desvios têm sinais opostos, os produtos são negativos, e r < 0; quando não há relação linear nenhuma, uns produtos saem positivos e outros negativos, cancelam-se uns aos outros, e r fica perto de 0.

O denominador não tem sinal — são duas raízes quadradas — e serve só para obrigar o resultado a ficar entre -1 e 1, e para o tornar independente das unidades: o r é o mesmo em centímetros ou em metros.

Como se lê o valor

|r| perto de 1: associação linear forte. |r| perto de 0: associação linear fraca ou nula. o sinal de r dá a direção: positiva ou negativa.

r = 1 ou r = -1 se e só se os pontos estiverem todos sobre uma mesma reta. Onde acaba «fraca» e começa «forte» é uma convenção de leitura, e não um teorema: não há nenhum valor a partir do qual a associação passe oficialmente a ser forte.

r perto de 0 não quer dizer «sem associação»

O coeficiente de correlação mede apenas o que há de linear na relação entre as duas variáveis. Pode existir uma relação perfeita — uma em que o valor de y fica completamente determinado pelo de x — e ainda assim r ser exatamente 0. O exemplo seguinte é um desses.

Exemplo 14 Adubo a mais

Cinco vasos iguais receberam doses diferentes de adubo. Registou-se a dose, x, em gramas por vaso, e a altura média das plantas, y, em centímetros:

(1, 4), \quad (2, 7), \quad (3, 8), \quad (4, 7), \quad (5, 4).

Descreve a associação entre as duas variáveis.

  1. A nuvem, primeiro. Os pontos sobem de 4 até 8 e depois voltam a descer até 4: desenham um arco, e não uma reta.
  2. O número, depois. Com a calculadora, r = 0 — exatamente 0, e não uma aproximação.
  3. A verificação faz-se à mão em duas linhas: \overline{x} = 3 e \overline{y} = 6, e os cinco produtos de desvios são (-2)(-2) + (-1)(1) + (0)(2) + (1)(1) + (2)(-2) = 4 - 1 + 0 + 1 - 4 = 0.
  4. E, no entanto, a associação é perfeita: para cada dose há uma e uma só altura, e o desenho mostra-o sem margem para dúvidas.
  5. A conclusão é a que interessa guardar: r = 0 não diz «não há associação». Diz «não há associação linear».O que se passa aqui tem sentido agronómico: pouco adubo alimenta mal e adubo a mais queima as raízes. O ótimo está no meio — e é justamente o tipo de relação que uma reta nunca poderia descrever.
Respostar = 0; a associação existe e é forte, mas não é linear
dose de adubo (g) altura média (cm) 0 1 2 3 4 5 2 4 6 8
Há uma relação evidente entre as duas variáveis — e mesmo assim o coeficiente de correlação é 0. Ele mede o que há de linear na relação, e aqui não há nada de linear: o desenho vem primeiro, o número vem depois.
Sobre o r^{2} que a máquina mostra

A calculadora — e alguns enunciados de exame — mostram ainda r^{2}, o coeficiente de determinação, que é o quadrado de r. Não é matéria do 10.º ano e este capítulo não o usa; repara só nisto, que chega para ler um enunciado: sendo um quadrado, r^{2} não tem sinal, e para saber se a correlação é positiva ou negativa olha-se para a nuvem ou para o declive da reta.

4 · A reta de regressão

Reta de regressão (reta dos mínimos quadrados)

Quando a nuvem mostra uma associação aproximadamente linear, essa associação pode ser descrita por uma reta. De entre todas as retas que se poderiam traçar sobre a nuvem, a reta de regressão é aquela para a qual é mínima a soma dos quadrados dos desvios verticais dos pontos à reta — daí o outro nome, reta dos mínimos quadrados.

Escreve-se

y = ax + b,

com a o declive e b a ordenada na origem, e obtém-se com a tecnologia: a calculadora ou o Python. Duas propriedades que se usam sempre:

a reta passa pelo centro de gravidade (\overline{x}, \overline{y}) — o que dá uma verificação imediata da equação que a máquina devolveu; o declive a tem o mesmo sinal de r.

A ordem é sempre esta: nuvem, depois r, depois a reta

Primeiro desenha-se a nuvem. Só se ela mostrar uma associação aproximadamente linear é que faz sentido calcular r e a reta. Uma nuvem curva dá reta e dá r na mesma — a máquina não se recusa a nada —, e o que se obtém são dois números que não querem dizer coisa nenhuma.

Exemplo 15 O custo de um envio

Um serviço de encomendas cobrou os seguintes valores por cinco envios. A massa, x, está em quilogramas, e o custo, y, em euros:

(2, 5), \quad (4, 8), \quad (6, 10), \quad (8, 13), \quad (10, 14).

a) Constrói o diagrama de dispersão e descreve a associação. b) Determina o coeficiente de correlação linear, com três casas decimais. c) Determina uma equação da reta de regressão. d) Interpreta os dois coeficientes no contexto. e) Confirma o resultado pelo centro de gravidade.

  1. a) A nuvem sobe e os cinco pontos ficam quase alinhados: associação linear positiva e forte.
  2. b) Com a calculadora, r \approx 0{,}990 — o que confirma a leitura do desenho.
  3. c) A mesma aplicação dá a = 1{,}15 e b = 3{,}1: y = 1{,}15x + 3{,}1.
  4. d) A ordenada na origem, b = 3{,}10 €, é o que se paga antes de pesar seja o que for: a parte fixa do envio.
  5. O declive, a = 1{,}15 € por quilograma, é o que cada quilograma acrescenta ao custo.
  6. e) As médias são \overline{x} = 6 e \overline{y} = 10. Substituindo: 1{,}15 \times 6 + 3{,}1 = 6{,}9 + 3{,}1 = 10 = \overline{y}. \ \checkmarkEsta última verificação vale sempre a pena, e demora cinco segundos: se a reta que se escreveu não passar por (\overline{x}, \overline{y}), houve um engano a copiar os coeficientes da máquina.
Respostar \approx 0{,}990 · y = 1{,}15x+3{,}1 · a parte fixa é 3{,}10 € e cada quilograma custa 1{,}15 €
(x̅, y̅) massa (kg) custo do envio (euros) 0 2 4 6 8 10 2,5 5 7,5 10 12,5 15
A reta dos mínimos quadrados é a que torna mínima a soma dos quadrados dos desvios verticais — os segmentos tracejados. Passa sempre pelo centro de gravidade (\overline{x}, \overline{y}), e isso é uma boa maneira de confirmar a equação que a máquina deu.

Laboratório · A nuvem, o r e a reta y = ax + b

arrasta os pontos

Arrasta um ponto para longe da nuvem e vê o r cair e a reta inclinar-se atrás dele: é o efeito de um outlier, e chega um ponto em cinco. Liga os desvios verticais — são os quadrados destes segmentos que a reta torna mínimos. Depois carrega nos quatro botões de Anscombe: os quatro conjuntos têm o mesmo r, a mesma média em x e em y e a mesma reta, e são quatro nuvens completamente diferentes. É a razão pela qual se olha para o desenho antes de calcular o que quer que seja. As palavras «forte», «fraca» e «nula» da leitura são uma convenção de leitura, e não uma regra.

5 · Prever — e onde parar

Previsão

Para estimar o valor da variável resposta a partir de um valor da variável explanatória, substitui-se esse valor de x na equação da reta e lê-se o y.

Só é legítimo com duas condições, e as duas têm de se verificar: (i) a associação linear é forte; (ii) o valor de x está dentro do domínio dos dados observados.

Voltando ao exemplo dos envios, com a reta y = 1{,}15x+3{,}1: quanto custaria enviar uma encomenda de 7 kg?

y = 1{,}15 \times 7 + 3{,}1 = 8{,}05 + 3{,}1 = 11{,}15.

As duas condições verificam-se — 7 está entre 2 e 10, e r \approx 0{,}990 —, e a estimativa é de 11{,}15 €.

Para 40 kg, a conta também se faz: daria 49{,}10 €. Mas não se responde. Nada nos dados diz o que acontece a essa massa: pode haver um escalão de preço a partir de certo peso, um limite acima do qual a encomenda deixa de ser aceite, ou uma tabela completamente diferente. A reta foi ajustada a massas entre 2 e 10 kg, e é só aí que ela tem alguma coisa a dizer.

Trocar as variáveis dá outra reta

A reta de y em função de x minimiza os desvios verticais. Para prever x a partir de y é preciso a outra reta de regressão, a que minimiza os desvios horizontais — e não é a primeira resolvida em ordem a x. Com os dados deste exemplo,

y = 1{,}15x + 3{,}1 \qquad \text{e} \qquad x = 0{,}85y - 2{,}52,

e 0{,}85 \ne \dfrac{1}{1{,}15} \approx 0{,}87. As duas retas cruzam-se no centro de gravidade e só coincidem quando |r| = 1. É mais uma razão para a variável explanatória se escolher antes de se ir à máquina.

6 · Outliers, e correlação não é causa

Um outlier — um dado muito diferente do padrão dos restantes, como se definiu em R6 §4 — tem aqui um efeito ainda mais visível do que nas medidas de localização: num conjunto de pares, um único ponto afastado chega para mudar o valor de r e o declive da reta.

Exemplo 16 Um ponto mal registado

Aos cinco envios do exemplo anterior junta-se um sexto: uma encomenda de 12 kg que custou 4 €. O par é (12, 4), e resultou de um engano no registo.

Compara r e a reta de regressão com e sem esse par.

  1. Com os seis pares. A calculadora dá r \approx 0{,}209 e y = 0{,}23x + 7{,}40.
  2. Sem o sexto par. r \approx 0{,}990 e y = 1{,}15x + 3{,}1, como antes.
  3. O declive caiu de 1{,}15 para 0{,}23 — a reta quase deitou —, e o coeficiente de correlação passou de «forte» a «praticamente nulo».
  4. Um ponto em seis destruiu a associação.O que se faz a seguir não é uma regra automática. Procura-se a razão do valor afastado: se foi um erro de registo, corrige-se ou retira-se, e diz-se que se retirou; se for um valor genuíno, fica — e a resposta tem de mencionar que ele existe e que influencia os resultados. O que nunca se faz é apagar um dado só porque estraga a reta.
RespostaCom os seis pares, r \approx 0{,}209 e y = 0{,}23x+7{,}40; com os cinco, r \approx 0{,}990 e y = 1{,}15x+3{,}1.
massa (kg) custo do envio (euros) 0 2 4 6 8 10 12 2,5 5 7,5 10 12,5 15
O ponto destacado é um outlier. A reta de traço claro é a dos cinco pontos; a outra é a dos seis. Um único ponto afastado mudou o declive de 1{,}15 para 0{,}23 — e qualquer previsão feita com a segunda estaria errada.
Correlação não é causa

Um r grande diz que as duas variáveis andam juntas. Não diz que uma faça a outra acontecer. Pode haver uma terceira variável — uma variável perturbadora — a mexer nas duas ao mesmo tempo, e a produzir uma associação aparente entre coisas que nada têm a ver uma com a outra.

Nas semanas em que se vendem mais gelados também se vendem mais óculos de sol, e a correlação entre as duas vendas é altíssima. Não é o gelado que faz comprar óculos: é o calor, que faz as duas coisas.

Para concluir que x causa y é preciso muito mais do que um coeficiente de correlação: é preciso um estudo desenhado para isso — comparar situações iguais em tudo o resto, ou observar o que acontece depois de se alterar o x. Ler uma notícia com esta pergunta em mente é uma das coisas mais úteis que a Estatística do 10.º ano deixa.

7 · Gráfico de linhas

Gráfico de linhas

O gráfico de linhas é um caso particular do diagrama de dispersão: a variável do eixo horizontal é, em geral, o tempo, e os pontos consecutivos unem-se por segmentos, pela ordem do eixo horizontal.

Serve para ler a evolução de uma variável — subidas, descidas, quebras, regularidades. E é o tempo que autoriza a união dos pontos: num diagrama de dispersão vulgar não há ordem nenhuma para os percorrer, e uni-los não faria sentido nenhum.

Exemplo 17 Uma semana de exposição

Uma exposição esteve aberta sete dias. O número de visitantes, de segunda-feira a domingo, foi

40, \quad 55, \quad 62, \quad 58, \quad 70, \quad 120, \quad 145.

a) Descreve a evolução do número de visitantes. b) Faz sentido unir os pontos por segmentos? E o que representa a linha entre segunda e terça-feira?

  1. a) De segunda a sexta-feira o número de visitantes sobe de forma suave, de 40 para 70, com uma pequena descida à quarta-feira (58, contra 62 na terça).
  2. No fim de semana o número dispara: 120 no sábado e 145 no domingo — mais do dobro do melhor dia útil.
  3. b) Sim, faz sentido: no eixo horizontal está o tempo, os dias têm uma ordem natural, e unir os pontos torna a evolução legível de uma vez.
  4. Mas a linha entre segunda e terça-feira não representa observações: ninguém contou visitantes a meio da noite de segunda para terça. Serve só para a vista seguir a passagem de um dia para o seguinte.É a diferença entre unir pontos e inventar dados. O gráfico de linhas une; quem o lê tem de saber que só os pontos foram medidos.
Respostaa) subida suave durante a semana, com uma descida à quarta-feira, e um salto grande ao sábado e ao domingo · b) sim, porque o eixo horizontal é o tempo; a linha entre dois dias não é uma observação
seg ter qua qui sex sáb dom dia da semana visitantes 25 50 75 100 125
Aqui os pontos unem-se, e isso quer dizer alguma coisa: no eixo horizontal está o tempo, e cada segmento é a passagem de um dia para o seguinte. Num diagrama de dispersão os pontos não se unem — não há ordem nenhuma para os percorrer.
Python O r e a reta, à mão de máquina

O programa calcula as três somas de que tudo depende — S_{xx}, S_{yy} e S_{xy} — e daí o coeficiente de correlação, o declive, a ordenada na origem e uma previsão. São os dados do exemplo dos envios.

x = [2, 4, 6, 8, 10]
y = [5, 8, 10, 13, 14]

n = len(x)
mx = sum(x) / n
my = sum(y) / n

Sxx = sum((x[i] - mx) ** 2 for i in range(n))
Syy = sum((y[i] - my) ** 2 for i in range(n))
Sxy = sum((x[i] - mx) * (y[i] - my) for i in range(n))

r = Sxy / (Sxx * Syy) ** 0.5
a = Sxy / Sxx
b = my - a * mx

print("Sxx", Sxx, " Sxy", Sxy, " Syy", Syy)
print("r =", round(r, 4))
print("reta: y =", round(a, 2), "x +", round(b, 2))
print("previsao para x = 7:", round(a * 7 + b, 2))

Acrescenta o par (12, 4) às duas listas — x passa a acabar em 12 e y em 4 — e corre outra vez: o r cai de 0{,}99 para 0{,}21 e o declive de 1{,}15 para 0{,}23. É exatamente o que o laboratório desta secção faz quando arrastas um ponto para longe da nuvem, e é o exemplo do outlier de §6, feito em três linhas.

NumWorks Do par de listas à reta, em quatro ecrãs

Cinco semanas de crescimento de um feijoeiro: x = 1, 2, 3, 4, 5 (semanas) e y = 2{,}1;\ 3{,}9;\ 6{,}2;\ 7{,}8;\ 10{,}1 (altura, em centímetros).

  1. Os pontos. Em home›Regressão, escreve a coluna X1 toda — um valor, EXE, o seguinte — e só depois a coluna Y1.

    As duas colunas têm de ficar com o mesmo número de linhas: cada linha é um par, observado na mesma unidade estatística. Uma linha a mais numa delas e a máquina recusa-se a trabalhar.

    Separador Dados da aplicação Regressão da NumWorks, com a coluna X1 de 1 a 5 e a coluna Y1 com 2,1, 3,9, 6,2, 7,8 e 10,1
    As duas listas escritas lado a lado, par a par.

  2. A nuvem. Passa ao separador Gráfico. Repara no rodapé: o coeficiente de correlação já lá está, antes de se ter escolhido modelo nenhum — na captura, r = 0{,}9986517556.

    É a ordem certa, e a máquina impõe-na sozinha: primeiro vê-se a nuvem, e só depois se decide se faz sentido ajustar-lhe uma reta.

    Nuvem de cinco pontos alinhados no separador Gráfico da aplicação Regressão da NumWorks, com o coeficiente de correlação no rodapé
    Os cinco pontos e, em baixo, o r — antes de qualquer modelo.

  3. O modelo. Com o gráfico à vista, sobe à barra de cima e abre Regressão: aparece a lista dos modelos. Escolhe o linear, ax+b.

    Os outros modelos da lista — quadrático, exponencial, logarítmico — não são matéria do 10.º ano. Aqui usa-se sempre o linear.

    Lista de modelos de regressão da NumWorks, com o modelo linear ax+b selecionado
    A lista dos modelos. O do 10.º ano é o primeiro, ax+b.

  4. A reta e o centro de gravidade. A reta aparece por cima da nuvem. As teclas ↑ e ↓ mudam o que o rodapé mostra, e um dos pontos que ele dá é o centro de gravidade (\overline{x}, \overline{y}) = (3;\ 6{,}02), por onde a reta passa sempre.

    O separador Estat dá os números todos: o r, o Coeficiente a e o Coeficiente b. Com estes cinco pontos, a = 1{,}99 e b = 0{,}05 — ou seja, y = 1{,}99x + 0{,}05: o feijoeiro cresce cerca de 2 cm por semana.

    Reta de regressão desenhada sobre a nuvem de cinco pontos, no separador Gráfico da aplicação Regressão da NumWorks
    A reta por cima da nuvem, e o rodapé a percorrer os pontos notáveis.

Os outros modelos de regressão, o que cada linha do separador Estat mostra e as restantes aplicações da máquina estão no tutorial da calculadora, com as capturas todas.

O que fica de fora de um capítulo de revisão: o trabalho de projeto

As Aprendizagens Essenciais fecham a Estatística do 10.º ano com um trabalho de projeto: formular um problema, planificar a recolha, ir buscar dados reais, analisá-los, escrever o relatório e apresentá-lo. Não cabe no formato de um capítulo de revisão — mas é onde tudo isto se junta, e é assim que a Estatística se faz fora da escola. As próprias Aprendizagens Essenciais sugerem temas: a nossa região em números, a cantina da escola, as alterações climáticas.

Exercícios propostos

Catorze exercícios sobre dados bivariados: construir e ler a nuvem de pontos, escolher a variável explanatória, obter r e a reta de regressão com a calculadora e interpretar os dois coeficientes no contexto, prever dentro do domínio dos dados — e recusar prever fora dele —, ler um gráfico de linhas, e os três de nível 3: o efeito de um outlier, as duas retas de regressão e a diferença entre correlação e causa.

Exercício 88§R7 · construir a nuvem

Num estudo sobre seis canteiros iguais registaram-se o número de horas de rega por semana, x, e a altura média das plantas, y, em centímetros:

(1, 3), \quad (2, 5), \quad (3, 6), \quad (4, 8), \quad (5, 9), \quad (6, 11).

a) Constrói o diagrama de dispersão, com as horas de rega no eixo horizontal. b) Descreve a forma, a direção e a força da associação.

Exercício 89§R7 · que valores pode r tomar

Numa amostra bivariada, a nuvem de pontos mostra uma associação linear negativa e forte.

Qual dos valores seguintes pode ser o coeficiente de correlação linear r?

  • (A)0{,}95
  • (B)-1{,}4
  • (C)-0{,}92
  • (D)-0{,}08
Exercício 90§R7 · a reta com a calculadora

Uma máquina de venda automática foi recarregada em cinco dias seguidos. Registou-se o número de recargas, x, e o número de garrafas vendidas, y, em dezenas:

x12345
y3581013

a) Determina, com a calculadora, o coeficiente de correlação linear (três casas decimais) e uma equação da reta de regressão (duas casas decimais). b) Interpreta o declive no contexto.

Exercício 91§R7 · ler um gráfico de linhas

O gráfico mostra o número de livros requisitados na biblioteca de uma escola, mês a mês, de setembro a fevereiro.

set. out. nov. dez. jan. fev. mês livros requisitados 50 100 150
Número de livros requisitados por mês, de setembro a fevereiro.

a) Em que mês houve menos requisições, e quantas? b) Descreve a evolução em duas frases. c) Explica por que razão este gráfico é um caso particular de diagrama de dispersão.

Exercício 92§R7 · usar a reta

Ajustou-se a reta de regressão y = 0{,}8x + 12 a uma amostra bivariada em que os valores de x observados estão todos entre 10 e 40.

A estimativa de y para x = 25 é:

  • (A)20
  • (B)32
  • (C)37
  • (D)320
Exercício 93§R7 · explanatória e resposta

Em cada uma das situações seguintes vão observar-se duas variáveis sobre as mesmas unidades estatísticas.

a) Idade de uma árvore e diâmetro do tronco. b) Horas de treino por semana e tempo obtido numa prova de 5 km. c) Número de habitantes de um município e número de farmácias. d) Temperatura máxima do dia e consumo de eletricidade em ar condicionado.

Para cada uma, indica qual é a variável explanatória e qual é a resposta, justificando pelo contexto.

Exercício 94§R7 · emparelhar nuvens e valores

As três nuvens seguintes têm seis pontos cada uma.

A 1 6 B 1 6 C 1 6 y 2 4 6 8 10
Três nuvens de seis pontos, na mesma escala. A pergunta é sempre a mesma: há tendência linear, e em que sentido?

Os coeficientes de correlação linear destas três amostras são, por alguma ordem,

r_{1} = -0{,}995, \qquad r_{2} = 0{,}090, \qquad r_{3} = 0{,}995.

Associa cada valor à sua nuvem, justificando pela direção e pela dispersão dos pontos.

Exercício 95§R7 · declive e ordenada na origem

Numa agência imobiliária registaram-se a área, x, em metros quadrados, e a renda mensal, y, em centenas de euros, de oito apartamentos:

x1012141618202224
y2225283234384043

a) Determina, com a calculadora, o coeficiente de correlação linear e uma equação da reta de regressão, com três casas decimais. b) Interpreta a e b no contexto, e explica por que razão o valor de b não tem aqui significado prático.

Exercício 96§R7 · prever, e não prever

Continua com a reta obtida no exercício anterior, y = 1{,}512x + 7{,}048, em que x é a área em metros quadrados e y a renda mensal em centenas de euros.

a) Estima a renda mensal de um apartamento com 19\ \text{m}^{2}. b) Explica por que razão não se deve responder à mesma pergunta para um apartamento com 150\ \text{m}^{2}.

Exercício 97§R7 · o que r não diz

Numa amostra bivariada obteve-se r = 0{,}03.

Qual das afirmações seguintes é verdadeira?

  • (A)Não existe qualquer associação entre as duas variáveis.
  • (B)Não existe associação linear apreciável, mas pode existir outra.
  • (C)As duas variáveis são independentes.
  • (D)A reta de regressão é horizontal e descreve bem os dados.
Exercício 98§R7 · construir um gráfico de linhas

Registou-se o número de visitantes de um museu, mês a mês, de janeiro a agosto:

mêsjan.fev.mar.abr.mai.jun.jul.ago.
visitantes210195240300330410620580

a) Constrói o gráfico de linhas. b) Indica qual é a variável explanatória. c) Explica por que razão não faz sentido calcular aqui um coeficiente de correlação entre «mês» e «visitantes» sem olhar primeiro para o desenho.

Exercício 99§R7 · o efeito de um outlier

Num serviço de encomendas registaram-se a massa, x, em quilogramas, e o custo do envio, y, em euros, de seis encomendas:

(2, 5), \quad (4, 8), \quad (6, 10), \quad (8, 13), \quad (10, 14), \quad (12, 4).

a) Determina r e a equação da reta de regressão com os seis pares, e depois só com os cinco primeiros. b) Explica o que aconteceu e o que se deve fazer antes de calcular seja o que for.

Exercício 100§R7 · trocar os papéis

Considera os cinco pares

(2, 5), \quad (4, 8), \quad (6, 10), \quad (8, 13), \quad (10, 14).

a) Determina a reta de regressão de y em função de x. b) Determina a reta de regressão de x em função de y. c) Verifica que a reta de b) não é a de a) resolvida em ordem a x, e explica porquê.

Exercício 101§R7 · correlação não é causa

Um jornal publica a seguinte notícia:

«Nos concelhos onde há mais bibliotecas há menos desemprego. Abrir bibliotecas reduz o desemprego.»

a) Diz o que um coeficiente de correlação pode e não pode sustentar. b) Nomeia uma variável perturbadora plausível e explica como ela produziria esta associação sem que houvesse relação de causa e efeito.

Marca os seis pontos numa janela justa aos dados — não é preciso começar os eixos em 0. Depois responde às três perguntas de sempre: os pontos alinham-se? sobem ou descem? estão apertados junto de uma reta ou espalhados?

  1. a) Seis pontos, com x de 1 a 6 no eixo horizontal e y de 3 a 11 no vertical. A rega é a variável explanatória: é ela que se manipula, e a altura é a resposta.
  2. b) Forma: os pontos dispõem-se quase sobre uma reta — a associação é linear.
  3. Direção: à medida que x cresce, y também cresce — a associação é positiva.
  4. Força: os pontos afastam-se muito pouco da reta — a associação é forte. Com a calculadora, r \approx 0{,}996, o que confirma a leitura.A leitura do desenho vem primeiro e o número vem depois — nunca ao contrário. Aqui o r só serviu para confirmar aquilo que os olhos já tinham visto.
Respostab) associação linear, positiva e forte (r \approx 0{,}996)

Duas perguntas, por esta ordem: o valor está em [-1, 1]? E o seu sinal e o seu módulo dizem «negativa» e «forte»?

  1. A opção (B) está fora de [-1, 1]: nenhum coeficiente de correlação vale -1{,}4.
  2. A opção (A) é positiva — descreveria uma associação em que as duas variáveis crescem juntas.
  3. A opção (D) é negativa, mas tem módulo 0{,}08, muito perto de 0: seria uma associação linear fraca, quase nula.
  4. Fica a opção (C): -0{,}92 é negativo e tem módulo perto de 1.São dois passos independentes. O sinal dá a direção; o módulo dá a força. Confundir os dois leva a aceitar -0{,}08 como «forte» só por ser negativo.
Resposta(C)

Na calculadora, aplicação Regressão: a coluna do x, a coluna do y, modelo linear ax+b. O declive é o Coeficiente a.

  1. a) A máquina dá r \approx 0{,}998: associação linear positiva e muito forte.
  2. E dá a = 2{,}5 e b = 0{,}3, ou seja y = 2{,}5x + 0{,}3.
  3. Confirmação. A reta passa pelo centro de gravidade: \overline{x} = 3, \overline{y} = 7{,}8, e 2{,}5 \times 3 + 0{,}3 = 7{,}8. ✓
  4. b) Por cada recarga a mais, o número de garrafas vendidas aumenta, em média, 2{,}5 dezenas — ou seja, cerca de 25 garrafas.O declive lê-se sempre assim: por cada unidade a mais em x, y varia a, nas unidades de y. Sem as unidades, a interpretação não diz nada.
Respostaa) r \approx 0{,}998 e y = 2{,}5x+0{,}3 · b) cada recarga acrescenta, em média, 2{,}5 dezenas de garrafas

Em c), pergunta-te quais são as duas variáveis que estão a ser observadas e o que representa cada ponto.

  1. a) Em dezembro, com 90 requisições.
  2. b) De setembro a novembro há uma subida regular, de 120 para 160. Em dezembro dá-se uma quebra acentuada, para 90, e a partir daí a subida recomeça e ultrapassa os valores anteriores, chegando a 190 em fevereiro.
  3. A quebra de dezembro explica-se pelo contexto: o mês tem menos dias de aulas.
  4. c) Estão a observar-se duas variáveis sobre as mesmas unidades — o mês e o número de requisições —, e cada ponto é um par (x_{i}, y_{i}): é exatamente um diagrama de dispersão.
  5. O que o distingue é que a variável do eixo horizontal é o tempo, e por isso os pontos têm uma ordem natural e unem-se por segmentos.Os segmentos não são observações: entre novembro e dezembro ninguém contou nada. Servem só para a vista seguir a evolução pela ordem do tempo.
Respostaa) dezembro, 90 requisições · c) porque cada ponto é um par de valores de duas variáveis, sendo a do eixo horizontal o tempo

Substitui x por 25 na equação. E confirma antes que 25 está dentro do domínio dos dados.

  1. O valor 25 está entre 10 e 40: a previsão é legítima.
  2. y = 0{,}8 \times 25 + 12 = 20 + 12 = 32.
  3. A opção (A) esquece a ordenada na origem; a (D) multiplica sem dividir pela escala.Prever é substituir — mas só depois de duas verificações: a associação linear é forte, e o valor de x está dentro do intervalo dos dados observados. Fora dele, a conta faz-se e a resposta não se dá.
Resposta(B)

A pergunta a fazer é sempre a mesma: qual das duas é que se usaria para explicar ou prever a outra? Essa é a explanatória, e vai no eixo horizontal.

  1. a) Explanatória: a idade. Resposta: o diâmetro. A árvore engrossa porque envelhece; não envelhece porque engrossa.
  2. b) Explanatória: as horas de treino. Resposta: o tempo na prova. Treina-se para melhorar o tempo — e a associação será negativa, porque mais treino corresponde a menos minutos.
  3. c) Explanatória: o número de habitantes. Resposta: o número de farmácias. As farmácias abrem onde há gente.
  4. d) Explanatória: a temperatura máxima. Resposta: o consumo. Liga-se o ar condicionado por causa do calor.
  5. A escolha não se decide com os dados: decide-se com o conhecimento da situação.E não é indiferente. A reta de y em função de x minimiza os desvios verticais; trocar os papéis muda os desvios que se minimizam, e dá outra reta — é o que a nota de §5 e o exercício e7m mostram com números.
RespostaExplanatórias: a) idade · b) horas de treino · c) número de habitantes · d) temperatura máxima. As restantes são as respostas.

Primeiro o sinal: qual das nuvens desce? Depois o módulo: qual das duas restantes tem os pontos quase sobre uma reta?

  1. Sinal. Só a nuvem B desce — o y diminui quando o x aumenta. Logo r_{1} = -0{,}995 é o de B.
  2. Módulo. Restam A e C, as duas sem direção descendente. Em A os pontos estão quase sobre uma reta a subir; em C estão espalhados, sem tendência visível.
  3. Logo r_{3} = 0{,}995 é o de A e r_{2} = 0{,}090 é o de C.
  4. Repara em que A e B têm o mesmo módulo, 0{,}995: as duas associações são igualmente fortes, e só o sinal as distingue.Em C, o valor 0{,}090 não é zero — quase nunca é, com dados reais. O que ele diz é que não há associação linear apreciável; um r desta ordem lê-se como «nada de linear a assinalar».
RespostaA ↔ 0{,}995 · B ↔ -0{,}995 · C ↔ 0{,}090

Em b), pergunta-te o que significaria x = 0 nesta situação — e se esse valor pertence ao intervalo dos dados observados.

  1. a) A calculadora dá r \approx 0{,}998, a \approx 1{,}512 e b \approx 7{,}048: y = 1{,}512x + 7{,}048.
  2. b) O declive: por cada metro quadrado a mais, a renda aumenta, em média, 1{,}512 centenas de euros — cerca de 151 euros.
  3. A ordenada na origem é o valor que a reta dá em x = 0: uma renda de 7{,}048 centenas de euros para um apartamento de área nula.
  4. Não tem significado prático por duas razões, e as duas contam: um apartamento com 0\ \text{m}^{2} não existe, e x = 0 está muito longe do intervalo observado, que vai de 10 a 24\ \text{m}^{2}.O b nem sempre se interpreta. Às vezes é uma parte fixa com sentido — a taxa que se paga antes de pesar a encomenda, no exemplo de §4 — e às vezes é só o ponto onde a reta corta o eixo, muito fora do que se observou. É o contexto que decide, não a fórmula.
Respostaa) r \approx 0{,}998 e y = 1{,}512x+7{,}048 · b) o declive vale cerca de 151 euros por metro quadrado; b não tem significado, porque x = 0 é impossível e está fora do domínio dos dados

Em a), substitui na equação tal como ela ficou escrita, com os coeficientes já arredondados. Em b), olha para o intervalo dos x observados.

  1. a) y = 1{,}512 \times 19 + 7{,}048 = 28{,}728 + 7{,}048 = 35{,}776 \approx 35{,}78.
  2. São 35{,}78 centenas de euros, ou seja cerca de 3578 euros por mês.
  3. A previsão é legítima: 19 está entre 10 e 24, e a associação linear é forte (r \approx 0{,}998).
  4. b) O valor 150 está fora do domínio dos dados: observaram-se apartamentos entre 10 e 24\ \text{m}^{2}, e nada nesta amostra diz o que acontece a um apartamento seis vezes maior do que o maior observado.
  5. A conta faz-se — daria 1{,}512 \times 150 + 7{,}048 \approx 233{,}85 centenas de euros —, mas o número não é uma estimativa: é uma extrapolação.A regra das Aprendizagens Essenciais está escrita com estas palavras: a reta usa-se para inferir desde que este esteja no domínio dos dados considerados. Fora dele, a relação pode nem sequer continuar a ser linear.
Respostaa) \approx 35{,}78 centenas de euros · b) porque 150 está fora do domínio dos dados observados

Lembra-te do que o r mede — e do que não mede. O exemplo do adubo, em §3, responde a esta pergunta sozinho.

  1. O coeficiente de correlação mede apenas a associação linear. Um valor perto de 0 diz que não há tendência linear apreciável — e mais nada.
  2. As opções (A) e (C) vão longe de mais: pode haver uma associação forte e não linear, como no exemplo do adubo, em que r = 0 e o y fica completamente determinado pelo x.
  3. A opção (D) engana em duas frentes: a reta sai quase horizontal, é verdade, mas dizer que «descreve bem os dados» é precisamente o que r \approx 0 não autoriza.
  4. Fica a (B).É a razão pela qual a nuvem se desenha antes de se calcular o que quer que seja. Um r pequeno é um convite a olhar para o desenho, não uma conclusão.
Resposta(B)

Em a), marca os oito pontos e une-os pela ordem dos meses. Em c), repara na forma da linha: sobe sempre? sobe da mesma maneira?

  1. a) No eixo horizontal os oito meses, no vertical o número de visitantes, de 0 a cerca de 650. Marcam-se os oito pontos e unem-se por segmentos, pela ordem dos meses.
  2. b) A variável explanatória é o mês — o tempo —, e a resposta é o número de visitantes.
  3. c) Porque o r só mede o que há de linear na relação, e esta não é linear: há uma quebra em fevereiro, uma subida cada vez mais acentuada até julho e uma descida em agosto.
  4. A máquina daria r \approx 0{,}937, um valor alto — e uma reta ajustada a estes oito pontos falharia justamente onde interessa, no salto de julho.É o mesmo erro do exemplo do adubo, ao contrário: ali um r nulo escondia uma associação perfeita; aqui um r alto esconde uma forma que não é uma reta. Nos dois casos, o desenho responde e o número não.
Respostab) o mês · c) porque a evolução não é linear — há uma quebra em fevereiro e um salto em julho —, e o r só mede associação linear

Antes de escrever números, marca os seis pontos. Um deles não acompanha os outros — e é o mais pesado que custa menos.

  1. a) Com os seis pares. A calculadora dá r \approx 0{,}209 e y = 0{,}23x + 7{,}40.
  2. Só com os cinco primeiros. r \approx 0{,}990 e y = 1{,}15x + 3{,}10.
  3. b) Os cinco primeiros pontos estão quase alinhados a subir. O sexto, (12, 4), é um outlier: é a encomenda mais pesada e a mais barata, o que contraria tudo o resto — muito provavelmente um erro de registo.
  4. Esse único ponto puxou a reta para baixo do lado direito: o declive caiu de 1{,}15 para 0{,}23 e o r de 0{,}990 para 0{,}209. Um ponto em seis destruiu a associação.
  5. Antes de calcular, desenha-se a nuvem. Se houver um ponto muito afastado, procura-se a razão: um engano de registo corrige-se ou retira-se, mas um valor genuíno não se apaga só porque incomoda — e nesse caso diz-se, na resposta, que ele existe e que influencia os resultados.Repara em que os dois cálculos estão certos: a máquina fez o que lhe pediram nos dois casos. O que muda é a pergunta a que a resposta serve — e essa decide-se a olhar para o desenho, não a carregar em teclas.
Respostaa) com seis, r \approx 0{,}209 e y = 0{,}23x+7{,}40; com cinco, r \approx 0{,}990 e y = 1{,}15x+3{,}10 · b) o sexto ponto é um outlier, e a nuvem desenha-se antes de qualquer cálculo

Em b), volta a introduzir as listas na máquina trocadas: a lista dos y na coluna do x e a dos x na do y.

  1. a) y = 1{,}15x + 3{,}10, com r \approx 0{,}990.
  2. b) Com as listas trocadas, x = 0{,}85y - 2{,}52. (O r é o mesmo: r não distingue os papéis das duas variáveis.)
  3. c) Resolvendo a de a) em ordem a x: y = 1{,}15x+3{,}10 \iff x = \frac{y-3{,}10}{1{,}15} \approx 0{,}87y - 2{,}70.
  4. E 0{,}87 \ne 0{,}85: as duas retas são diferentes.
  5. A razão está na definição. A reta de a) torna mínima a soma dos quadrados dos desvios verticais — as distâncias medidas na direção do y. A de b) torna mínima a soma dos quadrados dos desvios horizontais. São dois problemas de mínimo diferentes, e por isso duas soluções diferentes.As duas retas passam as duas pelo centro de gravidade (6, 10) — cruzam-se lá — e só coincidem quando os pontos estão exatamente sobre uma reta, isto é, quando |r| = 1. Quanto mais fraca é a associação, mais afastadas ficam uma da outra.
Respostaa) y = 1{,}15x+3{,}10 · b) x = 0{,}85y-2{,}52 · c) não coincidem porque os desvios que se minimizam são uns verticais e outros horizontais

Em b), procura uma terceira variável que faça as duas coisas ao mesmo tempo: subir o número de bibliotecas e baixar o desemprego.

  1. a) Um coeficiente de correlação diz que as duas variáveis andam juntas, e com que força e em que sentido. Não diz que uma faz a outra acontecer.
  2. A primeira frase da notícia é uma descrição da associação e pode estar certa. A segunda é uma afirmação de causa e efeito, e não se tira de um r.
  3. b) Uma variável perturbadora plausível é a dimensão económica do concelho — população, riqueza, atividade das empresas.
  4. Um concelho maior e mais rico tem mais equipamentos culturais, e portanto mais bibliotecas; e tem também mais emprego, e portanto menos desemprego. A terceira variável mexe nas duas ao mesmo tempo, e a associação aparece sem que nenhuma das duas cause a outra.
  5. Para concluir que abrir bibliotecas reduz o desemprego seria preciso um estudo desenhado para isso — comparar concelhos parecidos em tudo o resto, ou acompanhar o que acontece depois de abrir uma biblioteca. Um coeficiente de correlação não substitui esse trabalho.O teste rápido é sempre o mesmo: consigo imaginar uma terceira variável que explique as duas? Se sim, a relação de causa e efeito fica por demonstrar — e quase sempre consigo.
Respostaa) sustenta a associação, não a causalidade · b) por exemplo a dimensão ou a riqueza do concelho, que faz subir as bibliotecas e descer o desemprego ao mesmo tempo

Exercícios de Exame · Dados bivariados

Vinte itens, e são os que mais interessam a quem vai fazer o Exame de Matemática A: seis são de Prova Nacional de Matemática A (os Exames de 2024, de 2025 e de 2026, em que a correlação e a reta de regressão entraram para valer), e os outros catorze vêm dos exames de Matemática Aplicada às Ciências Sociais, que fazem estas perguntas desde 2006 — uma disciplina que trata estes assuntos há vinte anos. Os de MACS não contam para o número de itens de Exame de Matemática A anunciado na capa. Em todos, o coeficiente de correlação e a reta obtêm-se com a calculadora — e em todos vale a mesma regra: primeiro a nuvem, só depois os números.

Item 86 construçãoMACS · Exame 2006 · 2.ª Fase

Na tabela seguinte, estão alguns dados sobre a população residente em Portugal, desde 1864 até ao final do século XX.

Ano (a)População, em milhões (p)
18644{,}3
18784{,}7
18905{,}1
19005{,}4
19116{,}0
19206{,}0
19306{,}8
19407{,}8
19508{,}5
19608{,}9
19708{,}6
19819{,}8
19919{,}9
200010{,}3

Na figura abaixo está representado o diagrama de dispersão relativo aos dados apresentados na tabela, assim como a respetiva reta de regressão, cuja equação é

p = 0{,}0477a - 84{,}95
Diagrama de dispersão com catorze pontos e a respetiva reta de regressão: no eixo horizontal o ano, com o eixo interrompido por um traço em ziguezague antes de 1850 e marcas em 1850, 1900, 1950 e 2000; no eixo vertical a população em milhões, com marcas em 5 e 10. Os pontos sobem quase em linha reta, de cerca de 4,3 milhões em 1864 até 10,3 milhões em 2000, e a reta atravessa-os.

a) Com recurso à calculadora, determine o coeficiente de correlação linear das variáveis a e p, tendo em conta a tabela apresentada. Apresente o valor pedido na forma de dízima, arredondado às milésimas. Explique como procedeu e interprete esse valor, tendo em conta o diagrama de dispersão apresentado.b) Explique porque razão o modelo linear acima apresentado (reta de regressão) não pode ser adequado para estimar o número de habitantes, em Portugal, há alguns séculos (três ou mais), nem para prever a evolução da população portuguesa, a muito longo prazo (relacione uma tal previsão com os recursos, alimentares e outros, necessariamente limitados).

Item 87 construçãoMACS · Exame 2007 · 1.ª Fase

Num dos muitos sites em que se joga xadrez online, na Internet, a entrada de um jogador é condicionada pelo gestor do site, com probabilidade fixa igual a 0{,}8, em cada tentativa de entrada na sala de jogo.

O gestor do site decidiu estudar a evolução do número de jogadores de xadrez, desde o lançamento do site até à sexagésima semana, para o que foi registando o número de jogadores, de cinco em cinco semanas, tendo obtido a tabela seguinte:

Tempo (em semanas) (x)Número de jogadores (em milhares) (y)
520
1046
1558
2082
25110
30128
35136
40163
45170
50194
55210
60245

Represente na sua calculadora o diagrama de dispersão dos dados e determine a equação da reta de regressão linear, y = ax + b, indicando os valores de a e b com uma aproximação às centésimas.

Transcreva para a sua folha de prova um esboço, no mesmo referencial, dos gráficos obtidos (diagrama de dispersão e reta de regressão linear).

Item 88 construçãoMACS · Exame 2008 · 2.ª Fase

Na atualidade, há uma crescente preocupação com a preservação da natureza, nomeadamente, quanto à necessidade de proteger espécies que se encontram em vias de extinção.

Considere que uma certa espécie animal se encontrava em vias de extinção. Para a proteger, tomaram-se medidas protecionistas, designadamente, a criação de uma área protegida, no seu habitat natural.

Admita que, no início, apenas existiam 8 animais da espécie nessa área. A tabela seguinte traduz a contagem anual do número de animais nela existentes.

Anos decorridos desde a criação da área protegida (x)Número de animais existentes na área protegida (y)
08
19
213
318
424
530
638
745
862
975
1084
1188
12100

O gráfico seguinte representa os dados da tabela, através de uma nuvem de pontos.

Nuvem de pontos com treze pontos: no eixo horizontal os anos decorridos, de 0 a 12; no eixo vertical o número de animais, graduado de 10 a 100 de 10 em 10. Os pontos sobem da esquerda para a direita, com um crescimento lento no início e mais acentuado a partir do sétimo ano.

Com recurso à calculadora, determine o modelo de regressão linear, de equação y = ax + b, que se ajusta à nuvem de pontos apresentada.

Indique os valores de a e de b, com uma aproximação às décimas.

Item 89 construçãoMACS · Exame 2009 · 1.ª Fase

As despesas de um agregado familiar com a alimentação dependem de muitos fatores. Do ponto de vista sociológico, pode ser estudada a relação entre as despesas mensais com a alimentação e o rendimento mensal. Para conhecer esta relação, recolheram-se, aleatoriamente, os dados relativos a doze agregados familiares. Obtiveram-se os dados representados no diagrama de dispersão e constantes da tabela.

Diagrama de dispersão com doze pontos: no eixo horizontal o rendimento mensal, em euros, graduado de 0 a 3000 de 500 em 500; no eixo vertical as despesas com a alimentação, em euros, graduadas de 0 a 700 de 100 em 100. Os pontos sobem da esquerda para a direita, concentrados entre 1200 e 2800 euros de rendimento e entre 350 e 600 euros de despesa.
Agregado familiarRendimento mensal (€) xDespesas com a alimentação (€) y
A1250425
B2800600
C1900550
D1650425
E1300400
F1800575
G1200375
H2500600
I1350375
J2100550
K1200350
L1500400

a) Admita que a associação entre as variáveis x e y é linear. Classifique o tipo e o grau de associação entre as variáveis x e y, a partir da interpretação do valor do coeficiente de correlação. Na sua resposta deve: apresentar o valor do coeficiente de correlação, com arredondamento às décimas; classificar o tipo e o grau de associação linear entre as variáveis; justificar a forma como classificou o tipo e o grau de associação linear entre as variáveis x e y.b) Considere a equação y = ax + b, da reta de regressão linear das variáveis em estudo, e também os dados da tabela. Determine os valores de a e b, recorrendo à calculadora. Apresente os resultados com quatro casas decimais.c) Faça a estimativa do valor das despesas mensais com a alimentação de um agregado familiar cujo rendimento mensal é de €1750. Apresente o resultado, em euros, com arredondamento às unidades. Caso não tenha respondido ao item anterior, e somente nesse caso, considere a = 0{,}1705 e b = 177{,}0151.

Item 90 construçãoMACS · Exame 2010 · 2.ª Fase

Um grupo de alunos está interessado em estudar o grau de desenvolvimento de sete países. As variáveis estudadas foram analisadas individualmente e através de associações entre elas.

A tabela e o diagrama de dispersão seguintes apresentam, para os sete países, num determinado ano, duas das variáveis: a Taxa de Alfabetização de Adultos (TAA), em percentagem; e o Produto Interno Bruto per capita (PIB), em dólares.

PaísTAA (x)PIB (y)
A15{,}41\,839
B74{,}87\,932
C43{,}54\,251
D17{,}82\,586
E11{,}51\,524
F89{,}612\,674
G61{,}26\,275
Diagrama de dispersão com sete pontos: no eixo horizontal a taxa de alfabetização de adultos, em percentagem, graduado de 0 a 100 de 20 em 20; no eixo vertical o PIB, em dólares, graduado de 0 a 14 000 de 2000 em 2000. Os pontos sobem da esquerda para a direita, quase alinhados, com o ponto mais à direita, de coordenadas (89,6; 12 674), claramente acima do alinhamento dos restantes.

Nos dois itens seguintes, pode recorrer à calculadora. Sempre que recorrer a estatísticas obtidas na calculadora (média, desvio padrão, coeficiente de correlação, declive e ordenada na origem de uma reta de regressão, etc.), apresente a(s) lista(s) que introduziu na calculadora para a(s) obter.

a) Admita um modelo em que a associação entre as variáveis TAA (x) e PIB (y) é, aproximadamente, linear. Considere a equação y = ax + b, da reta de regressão linear, e também os dados da tabela anterior. Indique os valores de a, de b e do coeficiente de correlação linear, r, recorrendo à calculadora. Apresente os resultados com quatro casas decimais.b) Ao analisar os dados que constam da tabela anterior, um economista reparou que o PIB do país F é de 12\,674 dólares e que a TAA é de 89{,}6\%. Segundo alguns analistas, este ponto encontra-se fora do contexto dos restantes quando se pretende ajustar um modelo de regressão linear, sendo considerado um outlier. A partir dos dados apresentados na tabela anterior e no Diagrama de dispersão, ao excluir os valores relativos ao país F, o valor do coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y é, aproximadamente, r = 0{,}9937, e a equação da reta de regressão linear, considerando os coeficientes com quatro casas decimais, é y = 96{,}6098x + 457{,}8482. Num pequeno texto, explique o efeito da exclusão do outlier no valor do coeficiente de correlação linear e na reta de regressão, quando se pretende fazer previsões.

Item 91 construçãoMACS · Exame 2012 · 2.ª Fase

O professor da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais da escola de Xisto estudou a existência de uma correlação linear entre as classificações dos alunos na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI) e as classificações desses mesmos alunos no exame nacional da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais (CE).

Os dados recolhidos encontram-se organizados na tabela seguinte.

N.º do aluno123456789101112131415161718
(CI) x99101314911111481416161914111610
(CE) y78{,}29{,}512{,}113{,}77{,}514{,}210{,}614{,}56{,}312{,}117{,}214{,}84{,}211{,}79{,}515{,}28{,}5

a) Uma aluna, após calcular o coeficiente de correlação dos dados organizados na tabela anterior, afirma: «A correlação linear entre as classificações dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI) e as classificações obtidas no exame (CE) é fraca. No entanto, se excluirmos as classificações do aluno número 14, essa correlação linear aumenta substancialmente.» Justifique a veracidade da afirmação da aluna. Na sua resposta, deve: determinar o coeficiente de correlação linear incluindo as classificações do aluno número 14; determinar o coeficiente de correlação linear excluindo as classificações do aluno número 14; relacionar os valores dos dois coeficientes, justificando a veracidade da afirmação da aluna. Apresente os coeficientes de correlação com arredondamento às milésimas.b) Admita que a reta de regressão y = 1{,}0927x - 1{,}8476, no intervalo [8,\,18], se ajusta, aproximadamente, aos pontos do diagrama de dispersão das variáveis x: «classificação dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no final do 3.º período de 2010 (CI)» e y: «classificação dos alunos da escola de Xisto na disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais no exame nacional de 2010 (CE)». Calcule a estimativa do valor da classificação no exame da disciplina de Matemática Aplicada às Ciências Sociais de um aluno da escola de Xisto que, no final do 3.º período de 2010, tenha obtido a classificação de 12. Apresente o resultado com arredondamento às décimas. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, quatro casas decimais.

Item 92 construçãoMACS · Exame 2013 · 2.ª Fase

Nas tabelas seguintes encontram-se o número total de pontos de acesso à rede postal e a densidade postal (número de habitantes / número de pontos de acesso), de 2001 a 2009, em Portugal.

AnoNúmero total de pontos de acesso à rede postal
200119\,775
200221\,758
200321\,008
200420\,630
200520\,457
200620\,215
200719\,897
200819\,155
200918\,394
AnoDensidade postal (habitantes / pontos de acesso)
2001471{,}3
2002481{,}4
2003501{,}2
2004512{,}5
2005517{,}9
2006525{,}5
2007534{,}1
2008554{,}8
2009563{,}2

Ao serem representados os dados que constam das tabelas anteriores num diagrama de dispersão, verificou-se que o ponto (19\,775;\ 471{,}3), correspondente ao ano 2001, se encontrava fora do contexto dos restantes, se se pretendesse ajustar um modelo de regressão linear, sendo considerado um outlier.

Explique o efeito da exclusão do outlier no valor do coeficiente de correlação linear e na reta de regressão quando se pretende fazer previsões.

Na sua resposta, deve:

apresentar os dados das tabelas num diagrama de dispersão, incluindo o ano 2001;determinar o valor do coeficiente de correlação linear entre as variáveis número total de pontos de acesso à rede postal (x) e densidade postal (y), incluindo o ano 2001;apresentar a simulação do efeito da exclusão do ano 2001 no valor do coeficiente de correlação linear e na reta de regressão y = ax + b;referir o efeito da exclusão do outlier quando se pretende fazer previsões.

Apresente os resultados com arredondamento às milésimas.

Item 93 construçãoMACS · Exame 2015 · Época especial

O número, N, de sócios do Grupo Desportivo de Altivo (GDA), em função do número de anos, t, que decorreram após o final de 1980, é bem aproximado pelo modelo N(t) = at + b, com arredondamento às unidades, sendo a e b duas constantes.

A tabela seguinte apresenta o número de sócios do GDA no final de alguns anos.

AnoN.º de sócios
198010 585
199023 150
200030 981
201039 125

a) Estime o número de sócios que o GDA atingiu no final de 2005 com base no modelo N(t), admitindo que este se mantém válido entre o final de 1980 e o final de 2010. Apresente o resultado com arredondamento às unidades. Caso proceda a arredondamentos nos cálculos intermédios, conserve, no mínimo, uma casa decimal.

b) O diagrama de dispersão representado na figura seguinte mostra uma forte associação linear negativa entre o número de sócios do Grupo Desportivo de Altivo (GDA), e o número de lugares por vender nos jogos de futebol.

n.º de sócios do GDA n.º de lugares por vender 0 10000 20000 30000 40000 35000 40000 45000 50000 55000 60000
Sócios do GDA e lugares por vender, nos quatro anos do quadro.

Relativamente à figura anterior, apenas uma das opções seguintes está correta.

Opção IOpção IIOpção III
r = -0{,}987r = -0{,}987r = -0{,}087
a = 1{,}744a = -0{,}558a = -1{,}744
b = 10\,354{,}123b = 65\,346{,}152b = 65\,346{,}152

Em cada uma das opções, r representa o coeficiente de correlação linear, e a e b representam os parâmetros da reta de regressão linear y = ax + b

Elabore uma composição na qual:

identifique a opção correta;apresente uma razão para rejeitar cada uma das restantes opções.

Item 94 construçãoMACS · Exame 2016 · 2.ª Fase

A maratona é a última prova em diversos encontros desportivos.

Existem diversos estudos estatísticos sobre esta prova, que envolvem dados como o tempo de conclusão da prova, a frequência cardíaca dos atletas no final da prova ou as condições climatéricas.

Na tabela seguinte, estão parcialmente registados os dados referentes à frequência cardíaca do atleta vencedor da maratona, no momento em que acaba a prova, nas edições do Encontro Desportivo Internacional dos últimos dez anos.

Sabe-se ainda que:

a média dos valores constantes da tabela seguinte é 166{,}5;P representa as pulsações por minuto do atleta que venceu a maratona na edição de 2012.

Ano2006200720082009201020112012201320142015
Frequência cardíaca (pulsações/minuto)165166166168170170P160160168

Na figura seguinte, está representado o diagrama de dispersão da temperatura ambiente, em graus Celsius (ºC), e da frequência cardíaca, em pulsações por minuto, dos atletas referidos na tabela anterior, no final da prova.

temperatura ambiente (°C) frequência cardíaca (puls./min) 0 10 20 30 40 155 160 165 170 175
Temperatura ambiente e frequência cardíaca no final da prova, nas dez edições.

a) Considere as seguintes afirmações.
O atleta vencedor em 2012 terminou a maratona com uma frequência cardíaca entre 169 e 171 pulsações por minuto.
A mediana das frequências cardíacas é 170 pulsações por minuto.
O coeficiente de correlação linear entre a temperatura ambiente e a frequência cardíaca dos atletas pode ser -0{,}85.
Elabore uma pequena composição na qual justifique, com base nos dados apresentados, que as três afirmações são falsas.b) A reta de equação y = 0{,}71x + 147{,}1 é a que melhor se ajusta ao diagrama de dispersão apresentado na figura anterior, em que y representa a frequência cardíaca do atleta vencedor, em pulsações por minuto, e x representa a temperatura ambiente no final da prova, em ºC. Conclua, atendendo à reta ajustada ao diagrama, se 31{,}7 ºC será um valor admissível da temperatura ambiente registada no final da maratona, no ano de 2006.

Item 95 construçãoMACS · Exame 2017 · Época especial

Na tabela seguinte, estão registados, para cada um dos filmes, A, B, C, D, E, F e G, o custo de produção, em milhares de euros, e o número de espectadores, em milhares, que teve nas semanas de exibição em Portugal.

FilmeCusto de produção (em milhares de euros) xNúmero de espectadores (em milhares) y
A43599
B37984
C6516
D6013
E27675
F5912
G439

Admita que a relação entre as variáveis x e y da tabela anterior é, aproximadamente, linear, sendo modelada pela reta de regressão de equação da forma y = ax + b.

Estime o custo de produção de um filme com 52{,}5 milhares de espectadores.

Apresente o resultado, em milhares de euros, arredondado às unidades.

Na sua resposta, utilize os valores de a e de b com três casas decimais.

Item 96 construçãoMACS · Exame 2020 · 1.ª Fase

A venda de bilhetes para o concerto da banda BigBand gerou tanta procura que, na véspera do primeiro dia de venda, se formou fila para a aquisição de bilhetes à porta da bilheteira.

Ao longo do primeiro dia de venda dos bilhetes, as pessoas foram questionadas sobre o número de horas que permaneceram na fila antes da abertura da bilheteira (x) e sobre o tempo, em horas, que decorreu desde a abertura da bilheteira até terem adquirido os bilhetes (y).

A tabela seguinte apresenta as respostas dadas por sete das pessoas questionadas: A, B, C, D, E, F e G.

Pessoax (horas)y (horas)
A300,5
B241
C22,52
D184
E128
F89
G312

Admita que a relação entre as variáveis x e y, da tabela anterior, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma y = ax + b.

Determine qual poderá ter sido o tempo que decorreu desde a abertura da bilheteira até à aquisição dos bilhetes por parte de uma pessoa que tenha estado seis horas na fila antes da abertura da bilheteira.

Apresente o resultado em horas, arredondado às unidades.

Na sua resposta, apresente a equação da reta de regressão, com os valores de a e de b arredondados com três casas decimais.

Item 97 escolha múltiplaMACS · Exame 2022 · 1.ª Fase

O diagrama de dispersão representado na figura seguinte mostra uma forte associação linear positiva entre o preço das viagens de avião vendidas na agência de viagens Ir&Voltar, num determinado período de tempo, e as horas de voo despendidas na viagem de ida e volta.

Diagrama de dispersão com o eixo horizontal graduado de 0 a 1200, de 200 em 200, e o eixo vertical graduado de 0 a 35, de 5 em 5. Cinco pontos dispostos numa subida da esquerda para a direita: aproximadamente (250; 6), (380; 14), (550; 10), (800; 16) e (1000; 30).

Em cada uma das opções seguintes, são dados um valor de r, coeficiente de correlação linear, e a equação de uma reta.

Em qual das opções poderão estar representados o valor de r e uma equação da reta de regressão linear da distribuição representada na figura anterior?

  • (A)r = -0{,}92
    y = 0{,}03x - 0{,}86
  • (B)r = -0{,}2
    y = -0{,}03x - 0{,}86
  • (C)r = 0{,}92
    y = -0{,}03x - 0{,}86
  • (D)r = 0{,}89
    y = 0{,}03x - 0{,}86
Item 98 construçãoMACS · Exame 2024 · 2.ª Fase

Sala de Fuga é um jogo em que uma equipa, fechada numa sala ou num conjunto de salas, tem de resolver desafios, num intervalo de tempo limitado, para o conseguir concluir. Para ter sucesso e resolver os desafios, é necessário recorrer a diversas competências e apelar ao raciocínio lógico e à intuição.

Num determinado jogo de Sala de Fuga, registou-se, mensalmente, o número de equipas que nele participaram e, destas, quantas o concluíram e quantas não o concluíram.

Na figura seguinte, estão organizados os dados recolhidos, referentes a cinco meses.

Gráfico de barras tridimensional com cinco colunas empilhadas, uma por cada um dos cinco meses; em cada coluna, a parte de baixo, mais escura, é o número de equipas que concluíram o jogo e a parte de cima, mais clara, o número das que não concluíram: 24 e 31, 30 e 45, 44 e 56, 62 e 63, 50 e 75. Por baixo, a legenda «Concluíram» e «Não concluíram».

Admita que a relação entre as variáveis «número de equipas que participaram neste jogo de Sala de Fuga» (x), num determinado mês, e «número de equipas que concluíram o jogo de Sala de Fuga» (y), nesse mesmo mês, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma y = ax + b, com os valores de a e de b estimados com base nos dados apresentados na figura ao lado.

Num outro mês, participaram neste jogo de Sala de Fuga 80 equipas.

Estime o número de equipas que o concluiu nesse mês, com base no modelo de regressão linear.

Apresente o resultado arredondado às unidades.

Na sua resposta, apresente:

as listas que introduziu na calculadora;a equação da reta de regressão, com os valores de a e de b arredondados com três casas decimais.

Item 99 escolha múltiplaExame 2024 · 2.ª Fase

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos à remuneração base média mensal dos trabalhadores portugueses por conta de outrem, por sexo, em seis anos pertencentes ao período de 1995 a 2020.

AnosRemuneração base média mensal – homens (€) (x)Remuneração base média mensal – mulheres (€) (y)
1995542,8416,8
2000674,7523,6
2005832,5672,0
2010976,7800,8
2015990,1825,0
20201109,2960,3

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados representados no gráfico da figura anterior.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana da remuneração base média mensal dos homens é I euros, e a amplitude interquartil é II euros.

De 2015 para 2020, a remuneração base média mensal das mulheres teve um aumento percentual igual a III.

O coeficiente de correlação linear das variáveis x e y, apresentadas na tabela, arredondado às milésimas, é IV.

  • Ia) 832{,}5 · b) 854{,}3 · c) 904{,}6
  • IIa) 315{,}4 · b) 440{,}9 · c) 566{,}4
  • IIIa) 14{,}1% · b) 16{,}4% · c) 17{,}2%
  • IVa) 0{,}874 · b) 0{,}913 · c) 0{,}998
Item 100 escolha múltiplaExame 2025 · 1.ª Fase

Na tabela seguinte, apresentam-se os dados relativos ao diâmetro biparietal, x, em centímetros, medido na trigésima quarta semana de gravidez, e ao correspondente perímetro cefálico, y, em centímetros, medido à nascença, de uma amostra de oito recém-nascidos numa maternidade.

Diâmetro biparietal em cm (x)Perímetro cefálico em cm (y)
7,4930,36
7,8131,99
8,2133,66
8,3035,26
8,6635,51
8,7634,86
9,0435,30
9,2437,63

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

A mediana dos diâmetros biparietais apresentados excede a respetiva média, arredondada às centésimas, em I cm.

A amplitude da amostra dos perímetros cefálicos apresentados é II cm.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y, apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é III.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de y em função de x, e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, para um recém-nascido, nesta maternidade, cujo diâmetro biparietal na trigésima quarta semana de gravidez tenha sido 8{,}50 cm, estima-se que o perímetro cefálico à nascença seja, aproximadamente, é IV cm.

  • Ia) 0{,}04 · b) 0{,}7 · c) 1{,}75
  • IIa) 2{,}58 · b) 3{,}64 · c) 7{,}27
  • IIIa) 0{,}87 · b) 0{,}94 · c) 3{,}54
  • IVa) 34{,}54 · b) 36{,}11 · c) 41{,}62
Item 101 construçãoMACS · Exame 2025 · 2.ª Fase

A corrida em trilhos ou corrida todo o terreno é um desporto que consiste em correr em trilhos através de montanhas e colinas, cruzando riachos e rios, com subidas e descidas íngremes. No nosso país, realizam-se diversas provas deste tipo, normalmente designadas por trail.

O V_{O_2\text{max}}, que é o volume máximo de oxigénio que uma pessoa pode consumir durante a realização de exercícios intensos, será tanto maior quanto melhor for a condição física dessa pessoa. Constitui um indicador importante da capacidade aeróbica e da eficiência cardiovascular de uma pessoa, permitindo comparar o desempenho aeróbico de diferentes indivíduos, mesmo com diferentes massas corporais.

A unidade de medida do V_{O_2\text{max}} é expressa em mililitros de oxigénio por quilograma de massa corporal, por minuto (\text{mLkg}^{-1}\text{min}^{-1}).

Os praticantes de atletismo podem recorrer a estudos teóricos para prever o tempo mínimo necessário para concluir uma maratona, tendo em conta o valor do V_{O_2\text{max}} medido no início da maratona.

Num estudo teórico, relacionou-se cada valor do V_{O_2\text{max}} (x), em \text{mLkg}^{-1}\text{min}^{-1}, com a previsão do tempo mínimo (y), em minutos, necessário para concluir uma maratona.

Na tabela seguinte, apresentam-se alguns dados recolhidos nesse estudo.

x3648607284
y250198164140122

Admita que a relação entre as variáveis x e y, da tabela anterior, é bem aproximada por uma regressão linear, na forma y = ax + b.

Um praticante de atletismo, no momento em que iniciou uma maratona, tinha um V_{O_2\text{max}} igual a 50 \text{mLkg}^{-1}\text{min}^{-1}.

Estime o tempo mínimo necessário para que o praticante de atletismo conclua essa maratona, com base no modelo de regressão linear.

Apresente o resultado em minutos, arredondado às unidades.

Na sua resposta, apresente:

as listas que introduziu na calculadora;a equação da reta de regressão, com o valor de a arredondado com três casas decimais.

Item 102 escolha múltiplaExame 2025 · Época especial

A Maria tem um plano de treinos de corrida. Em cada treino, utiliza uma aplicação que regista a distância percorrida e a energia gasta.

No diagrama de dispersão da figura seguinte, apresentam-se os valores registados em alguns desses treinos, sendo x a distância percorrida, em quilómetros, e y a correspondente energia gasta, em quilocalorias.

Diagrama de dispersão com sete pontos, cada um rotulado com as suas coordenadas: (5; 340), (6,5; 450), (7; 478), (7,7; 515), (8; 550), (8,6; 580) e (9,4; 630); no eixo horizontal a distância x, em quilómetros, e no eixo vertical a energia y, em quilocalorias. Os eixos não têm escala numerada e a origem está marcada com 0.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Escreva na folha de respostas cada um dos números, I, II, III e IV, seguido da opção a), b) ou c) que lhe corresponde. A cada espaço corresponde uma só opção.

Nos treinos cujos registos se apresentam, a Maria percorreu, em média, cerca de I quilómetros por treino (valor arredondado às décimas). Neste conjunto de treinos, a mediana das quilocalorias gastas foi II.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de y em função de x obtido a partir dos dados representados no diagrama, verifica-se uma correlação III entre a distância percorrida e as quilocalorias gastas por treino. Com base nesse modelo e utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, estima-se que a Maria, num treino em que percorra 6 quilómetros, gaste, aproximadamente, IV quilocalorias (valor arredondado às unidades).

  • Ia) 7{,}5 · b) 7{,}7 · c) 9{,}4
  • IIa) 506 · b) 515 · c) 630
  • IIIa) negativa forte · b) positiva fraca · c) positiva forte
  • IVa) 408 · b) 411 · c) 415
Item 103 escolha múltiplaExame 2026 · 1.ª Fase

Existem vários indicadores utilizados na monitorização de um peso saudável. Dois desses indicadores são o Índice de Massa Corporal (IMC), expresso em quilogramas por metro quadrado, e a Taxa Metabólica Basal (TMB), expressa em quilocalorias por dia.

Na tabela seguinte, apresentam-se os valores do IMC e da TMB de sete mulheres.

Na figura seguinte, estão representados, para as variáveis idade, em anos, e TMB, em quilocalorias por dia, das sete mulheres:

  • o diagrama de dispersão;
  • a reta de regressão e a respetiva equação reduzida;
  • o quadrado do coeficiente de correlação linear, r^2.

Tabela

MulheresIMC (x)TMB (y)
A24,61282
B23,41291
C23,91385
D27,51513
E23,61379
F22,71202
G31,21567

Figura

Diagrama de dispersão da TMB, em quilocalorias por dia, no eixo vertical, graduado de 0 a 1800 de 300 em 300, em função da idade, em anos, no eixo horizontal, graduado de 0 a 75 de 15 em 15, com os sete pontos correspondentes às sete mulheres e a reta de regressão a descer; escritas no interior, a equação y = -9,02x + 1777,62 e r ao quadrado igual a 0,887.

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

A média dos valores da TMB das sete mulheres, arredondada às unidades, é (a) quilocalorias por dia.

Relativamente à distribuição dos valores do IMC apresentados na Tabela, existem exatamente (b) mulheres com IMC pertencente ao intervalo ]Q_1,Q_3[, em que Q_1 e Q_3 são, respetivamente, o primeiro quartil e o terceiro quartil dessa distribuição.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Tabela é (c) ao coeficiente de correlação linear entre as variáveis apresentadas na Figura.

Relativamente às variáveis apresentadas no diagrama de dispersão, e admitindo a validade do modelo de regressão linear aí apresentado, uma mulher com 43 anos terá uma TMB aproximadamente igual a (d) quilocalorias por dia (valor arredondado às unidades).

  • (a)(1) 1351 · (2) 1374 · (3) 1379
  • (b)(1) 3 · (2) 4 · (3) 5
  • (c)(1) inferior · (2) igual · (3) superior
  • (d)(1) 1350 · (2) 1379 · (3) 1390
Item 104 escolha múltiplaExame 2026 · 2.ª Fase

O Instituto Nacional de Estatística (INE) realiza, de forma periódica, o Inquérito às Despesas das Famílias, o qual permite analisar o modo como os agregados familiares portugueses distribuem as suas despesas.

Na tabela seguinte, apresentam-se as percentagens da despesa anual média associadas à habitação e à alimentação, em relação à despesa total anual média por agregado familiar, em seis anos do período entre 1989 e 2023.

AnoDespesa anual média em habitação (%) (x)Despesa anual média em alimentação (%) (y)
1989/199012,429,5
1994/199520,621,0
2005/200626,615,5
2010/201129,213,3
2015/201631,914,3
2022/202339,012,9

Fonte: www.ine.pt (consultado em setembro de 2025).

O desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à habitação é (a) ao desvio padrão das percentagens da despesa anual média associada à alimentação.

De acordo com dados do INE, em 2022/2023, a despesa anual média associada à alimentação foi 3121 euros. Considerando os dados da tabela, em 2022/2023, a despesa anual média associada à habitação, arredondada às unidades, foi (b) euros.

O coeficiente de correlação linear entre as variáveis x e y, apresentadas na tabela, arredondado às centésimas, é (c).

Em 2000, a despesa anual média associada à habitação foi 19{,}8% da despesa total anual média. Admitindo a validade do modelo de regressão linear de y em função de x, e com base nas estimativas dos parâmetros, arredondadas às milésimas, estima-se que a percentagem da despesa anual média associada à alimentação, em relação à despesa total anual média, em 2000, foi, aproximadamente, (d) (valor arredondado às décimas).

  • (a)(1) inferior · (2) igual · (3) superior
  • (b)(1) 1217 · (2) 4338 · (3) 9436
  • (c)(1) -0{,}93 · (2) -0{,}88 · (3) 0{,}86
  • (d)(1) 20{,}2% · (2) 22{,}2% · (3) 35{,}0%
Item 105 escolha múltiplaExame 2026 · Época especial

Para estudar a associação entre o Produto Interno Bruto (PIB) real per capita de um país e a quantidade de gases com efeito de estufa (GEE) emitidos per capita nesse país, recolheram-se os dados relativos a 2021 de nove países europeus, apresentados na tabela seguinte.

PaísesPIB real per capita (milhares de euros) (x)GEE per capita (tCO2eq) (y)
Alemanha35,489,1
Eslovénia21,317,6
Espanha23,456,1
Dinamarca50,017,5
Irlanda70,5312,3
Luxemburgo84,4914,7
Países Baixos41,869,6
Portugal18,065,5
Roménia9,616,0

Fonte: PORDATA (consultado em outubro de 2025).

Complete o texto seguinte, selecionando a opção correta para cada espaço, de acordo com os dados apresentados na tabela.

Assinale, na folha de respostas, para cada letra, o número da opção selecionada.

Em 2021, o PIB real per capita da Roménia foi, aproximadamente, (a) do PIB real per capita do Luxemburgo (valor arredondado às unidades).

Relativamente à distribuição dos valores do PIB real per capita apresentados na tabela, existem exatamente (b) países com PIB real per capita pertencente ao intervalo \left]\overline{x}-s,\, \overline{x}+s\right[, em que \overline{x} e s são, respetivamente, a média e o desvio padrão amostral dessa distribuição.

Admitindo a validade do modelo de regressão linear de y em função de x obtido a partir dos dados apresentados na tabela, verifica-se uma correlação linear (c) entre o PIB real per capita e as emissões de GEE per capita. Com base nesse modelo, utilizando as estimativas dos parâmetros arredondadas às milésimas, e sabendo que, em 2021, o PIB real per capita da França foi 32{,}53 milhares de euros, estima-se que, nesse ano, a quantidade de GEE emitidos per capita na França, em tCO2eq, tenha sido (d) (valor arredondado às décimas).

  • (a)(1) 9% · (2) 11% · (3) 13%
  • (b)(1) 6 · (2) 7 · (3) 8
  • (c)(1) negativa forte · (2) positiva fraca · (3) positiva forte
  • (d)(1) 7{,}9 · (2) 8{,}3 · (3) 11{,}6
Na alínea a) a variável independente é o ano: são os 1864, 1878, … que entram na lista dos x, tal e qual, sem os converteres em «anos decorridos». Na alínea b) não há nada para calcular com a calculadora — há duas contas de cabeça a fazer com a equação da reta: uma para um ano de há três séculos e outra para um ano bem à frente. Faz essas duas substituições e a resposta escreve-se sozinha.
  1. a) Introduz na calculadora as duas listas: em x os catorze anos, 1864, 1878, \ldots, 2000, e em y as populações correspondentes, em milhões, 4{,}3; 4{,}7; \ldots; 10{,}3. Pede a regressão linear das duas listas e lê o coeficiente de correlação: r \approx 0{,}9877, ou seja, r \approx 0{,}988 com arredondamento às milésimas.
  2. Interpretação: r é positivo e está muito próximo de 1, o que significa uma correlação linear positiva e muito forte — a população cresceu ao longo do período. É o que se vê no diagrama de dispersão: os catorze pontos estão quase todos sobre a reta de regressão, e a reta ajusta-se bem à nuvem. A pergunta pede duas coisas — o valor e a leitura do diagrama. Um r próximo de 1 e uma nuvem quase alinhada dizem a mesma coisa por dois caminhos, e é essa correspondência que a resposta tem de mostrar.
  3. b) Para trás, substitui um ano de há três séculos na equação da reta: p = 0{,}0477 \times 1700 - 84{,}95 = -3{,}86 O modelo daria -3{,}86 milhões de habitantes — um número negativo de pessoas, que não tem significado nenhum. Logo, o modelo não serve para estimar a população há três ou mais séculos.
  4. Para a frente, substitui um ano bem posterior: p = 0{,}0477 \times 2100 - 84{,}95 = 15{,}22 A reta cresce indefinidamente: quanto maior for o ano, maior a população que o modelo prevê, sem limite. Ora, os recursos alimentares e os demais recursos do território são limitados e não podem sustentar uma população que cresça sempre ao mesmo ritmo. Logo, o modelo também não serve para prever a evolução a muito longo prazo. Nos dois casos a falha é a mesma: a reta foi ajustada aos anos de 1864 a 2000 e só descreve o que aconteceu nesse intervalo. Sair dele é extrapolar, e nada garante que a tendência se mantenha lá fora — aqui, o próprio bom senso mostra que não se mantém.
Resposta a) r \approx 0{,}988: correlação linear positiva e muito forte, o que se confirma no diagrama, onde os pontos estão quase sobre a reta. b) Porque em ambos os casos se extrapola muito para fora do intervalo dos dados: para trás o modelo dá população negativa (p = -3{,}86 milhões em 1700) e para a frente dá um crescimento ilimitado, insustentável com recursos finitos.
Faz o trabalho pela ordem que o enunciado pede: primeiro a nuvem no ecrã da calculadora, para veres a forma, e só depois a regressão. No esboço não precisas de escala rigorosa — precisas de mostrar os doze pontos a subir, a reta a passar entre eles e os dois eixos identificados com as variáveis e as unidades. A frase inicial sobre a probabilidade 0{,}8 não entra em nenhuma conta.
  1. Introduz na calculadora as duas listas: em x os tempos 5, 10, 15, \ldots, 60 (em semanas) e em y os números de jogadores 20, 46, 58, \ldots, 245 (em milhares). Manda desenhar o diagrama de dispersão: os doze pontos aparecem quase alinhados, a subir da esquerda para a direita. A frase sobre a probabilidade fixa de 0{,}8 é contexto herdado de outra alínea da prova e não intervém aqui — reconhecer o que é enfeite faz parte de ler um enunciado.
  2. Pede a regressão linear das duas listas. O ecrã dá a \approx 3{,}8531 e b \approx 4{,}9394.
  3. Arredondando às centésimas, a \approx 3{,}85 e b \approx 4{,}94, pelo que a reta de regressão é y = 3{,}85x + 4{,}94
  4. Sobrepõe a reta ao diagrama de dispersão e transcreve o ecrã: eixo horizontal com o tempo, em semanas, de 0 a 60; eixo vertical com o número de jogadores, em milhares, de 0 a 245; os doze pontos a subir e a reta a atravessá-los, deixando alguns pontos acima e outros abaixo. O ajustamento é muito bom — a calculadora dá r \approx 0{,}996 —, e é isso que o esboço tem de mostrar: pontos praticamente sobre a reta, e não uma reta desenhada por fora da nuvem.
Resposta a \approx 3{,}85 e b \approx 4{,}94, isto é, y = 3{,}85x + 4{,}94. O esboço mostra os doze pontos quase alinhados, a subir, com a reta a passar entre eles.
A primeira coluna da tabela já é a lista dos x — repara que começa em 0 e não em 1, e que o 0 conta como um dos treze pontos. Com as duas colunas nas duas listas da calculadora, é a regressão linear que dá os dois coeficientes de uma vez; depois só tens de arredondar cada um às décimas e escrever a equação da reta.
  1. Introduz na calculadora as duas listas: em x os treze valores 0, 1, 2, \ldots, 12 dos anos decorridos e em y as contagens correspondentes, 8, 9, 13, \ldots, 100. São treze pontos, não doze: o ano 0, com os 8 animais iniciais, é um deles. Deixá-lo de fora muda os dois coeficientes.
  2. Pede a regressão linear das duas listas. O ecrã dá a \approx 8{,}2033 e b \approx -3{,}5275.
  3. Arredondando às décimas, a \approx 8{,}2 e b \approx -3{,}5. O modelo de regressão linear é y = 8{,}2x - 3{,}5
  4. A reta traduz a tendência de crescimento da população: cerca de 8{,}2 animais por ano, em média. Olha para a nuvem antes de te contentares com a reta: os pontos não estão alinhados, encurvam para cima — a população cresce cada vez mais depressa. A reta resume a tendência dentro dos doze anos observados, mas usá-la para prever muito à frente seria abusar do modelo. O próprio b \approx -3{,}5 denuncia isso: no ano 0 a reta dá -3{,}5 animais e a tabela regista 8.
Resposta a \approx 8{,}2 e b \approx -3{,}5, ou seja, y = 8{,}2x - 3{,}5.
Uma só entrada de dados serve as três alíneas: mete a coluna dos rendimentos numa lista e a das despesas noutra e manda a calculadora fazer a regressão linear das duas — o ecrã dá-te de uma vez o coeficiente de correlação e os dois coeficientes da reta. Depois é só ler cada número com o arredondamento que cada alínea pede e, na última, substituir o rendimento na equação que acabaste de escrever.
  1. Introduz na calculadora as duas listas: em x os doze rendimentos mensais e em y as doze despesas com a alimentação, pela ordem da tabela. Pede a regressão linear das duas listas.
  2. a) A calculadora dá r \approx 0{,}9024, ou seja, r \approx 0{,}9 com arredondamento às décimas. Como r é positivo, a associação é positiva: a rendimentos maiores correspondem, em geral, despesas maiores. Como r está próximo de 1, o grau de associação linear é forte. Logo, a associação linear entre x e y é positiva e forte. O sinal e o módulo de r respondem a coisas diferentes: o sinal diz o tipo (positiva ou negativa) e a proximidade de 1 diz o grau (forte ou fraca). A pergunta pede os dois, e uma resposta que só diga «forte» fica a meio.
  3. b) Da mesma regressão, com quatro casas decimais: a \approx 0{,}1656 e b \approx 185{,}1833. A reta de regressão é y = 0{,}1656x + 185{,}1833. O declive a é positivo, como tinha de ser: o sinal do declive e o sinal de r são sempre o mesmo. Se te saísse um a negativo com r positivo, tinhas trocado as listas.
  4. c) Substitui x = 1750 na reta: y = 0{,}1656 \times 1750 + 185{,}1833 = 474{,}9833 Arredondando às unidades, a estimativa é de 475 euros. Substitui-se o valor arredondado que ficou escrito na reta, que é o que a alínea anterior mandou apresentar. E repara que 1750 está dentro do intervalo dos rendimentos observados, de 1200 a 2800 euros: é uma estimativa por interpolação, e é para isso que o modelo serve.
Resposta a) r \approx 0{,}9: associação linear positiva e forte. b) a \approx 0{,}1656 e b \approx 185{,}1833. c) Cerca de 475 euros.

A alínea a) é trabalho direto de calculadora, com as duas colunas da tabela e quatro casas decimais em tudo. A alínea b) não pede conta nenhuma nova: o r sem o país F já vem dado, e o que se espera é que o compares com o que obtiveste em a) e digas o que isso muda para quem quer fazer previsões.

  1. a) As duas listas. \begin{aligned} x &: 15{,}4,\ 74{,}8,\ 43{,}5,\ 17{,}8,\ 11{,}5,\ 89{,}6,\ 61{,}2\\ y &: 1\,839,\ 7\,932,\ 4\,251,\ 2\,586,\ 1\,524,\ 12\,674,\ 6\,275 \end{aligned}
  2. a) Os três valores. Com as sete observações, a calculadora dá a \approx 123{,}7159 \qquad b \approx -248{,}7235 \qquad r \approx 0{,}9634 ou seja, y = 123{,}7159x - 248{,}7235. O enunciado pede quatro casas decimais: escrevem-se as quatro, mesmo quando a última é pequena face à grandeza dos dados.
  3. b) A comparação. Sem o país F, o enunciado indica r = 0{,}9937. Como 0{,}9937 > 0{,}9634, a exclusão do outlier aproxima o coeficiente de correlação de 1: a associação linear positiva, que já era forte, passa a ser praticamente perfeita.
  4. b) O efeito nas previsões. Com um r mais próximo de 1, os seis pontos ficam quase sobre a reta y = 96{,}6098x + 457{,}8482, que se ajusta à nuvem melhor do que a reta obtida em a). As estimativas de PIB feitas a partir dela são, por isso, mais fiáveis. O país F não é um erro de medida: é um país cujo PIB sobe muito acima do que a taxa de alfabetização faria esperar. Ao retirá-lo, ganha-se ajuste mas perde-se alcance — a nova reta só descreve os seis países que ficaram, e é dentro do intervalo das taxas deles que a previsão vale.
Respostaa) a \approx 123{,}7159, b \approx -248{,}7235 e r \approx 0{,}9634; b) sem o país F o coeficiente sobe de 0{,}9634 para 0{,}9937, a reta ajusta-se melhor à nuvem e as previsões tornam-se mais fiáveis

Na alínea a) o trabalho é o mesmo duas vezes: r com os dezoito alunos e r depois de apagares o par do aluno número 14 — repara no que ele tem de especial antes de o apagares. Na alínea b) a reta já é dada: só falta ver que 12 pertence a [8,\,18] e substituir.

  1. a) Com os dezoito alunos. Introduzidas as duas listas na calculadora, a classificação interna em x e a de exame em y: r \approx 0{,}439 Um valor tão longe de 1 corresponde a uma correlação linear fraca — é o que a aluna diz na primeira parte da afirmação.
  2. a) Sem o aluno número 14. Esse aluno tem x = 19 e y = 4{,}2: a classificação interna mais alta da turma com a pior classificação de exame. Apagando esse par e repetindo com os dezassete restantes: r \approx 0{,}913 Um só ponto entre dezoito faz o coeficiente saltar de 0{,}439 para 0{,}913. É a lição do item: r não é resistente, e um ponto muito afastado do padrão dos outros chega para esconder uma associação forte.
  3. a) A conclusão. Como 0{,}913 é muito maior do que 0{,}439 e está próximo de 1, a correlação passa de fraca a forte quando se exclui o aluno número 14. A afirmação da aluna é, portanto, verdadeira.
  4. b) A estimativa. A classificação interna 12 pertence ao intervalo [8,\,18], onde a reta dada se ajusta. Substituindo x = 12: y = 1{,}0927 \times 12 - 1{,}8476 = 13{,}1124 - 1{,}8476 = 11{,}2648 Arredondando às décimas, 11{,}3 valores. A reta dada no enunciado é precisamente a reta de regressão dos dezassete alunos, sem o número 14 — é a que faz sentido usar para prever, e por isso o intervalo de validade indicado é [8,\,18], que já não inclui o 19.
Respostaa) r \approx 0{,}439 com o aluno n.º 14 e r \approx 0{,}913 sem ele — a correlação passa de fraca a forte, logo a afirmação é verdadeira; b) 11{,}3 valores

É o mesmo trabalho feito duas vezes: uma com os nove anos e outra com oito, depois de apagares na calculadora a linha de 2001. O que a resposta tem de conter é a comparação dos dois valores de r — e o que essa comparação diz sobre a confiança que se pode ter nas previsões.

  1. As duas listas e a nuvem. Com x o número de pontos de acesso e y a densidade postal, os nove pares vão para a calculadora e o diagrama de dispersão mostra oito pontos praticamente alinhados a descer, e o ponto de 2001, (19\,775;\ 471{,}3), nitidamente afastado desse alinhamento. O par de 2001 é o único em que muitos pontos de acesso convivem com uma densidade baixa; nos restantes anos a rede encolhe e a densidade sobe. É por estar fora do padrão dos outros — e não por estar errado — que se lhe chama outlier.
  2. Com os nove anos. A calculadora dá r \approx -0{,}728 \qquad y = -0{,}022x + 970{,}216
  3. Sem o ano de 2001. Apagando o primeiro par e repetindo com os oito restantes: r \approx -0{,}992 \qquad y = -0{,}025x + 1036{,}193
  4. O efeito. Ao excluir o outlier, o coeficiente de correlação passa de -0{,}728 para -0{,}992, ou seja, aproxima-se muito de -1: a associação linear negativa, que era apenas moderada, passa a ser muito forte. A reta ajusta-se por isso bem melhor à nuvem, e as previsões feitas a partir dela tornam-se mais fiáveis. Repara no que muda e no que não muda: o sinal do declive é negativo nos dois casos — o sentido da associação era esse desde o início. O que o único ponto afastado estragava era a força da associação, e com ela a qualidade do ajuste.
RespostaCom 2001, r \approx -0{,}728; sem 2001, r \approx -0{,}992 e y = -0{,}025x + 1036{,}193. Excluído o outlier, a correlação fica muito mais forte, a reta ajusta-se melhor à nuvem e as previsões passam a ser mais fiáveis

Na alínea a), o t conta anos depois do final de 1980: é essa a lista que entra na calculadora, e não os anos do calendário. Na alínea b), cada opção errada é errada por um motivo só — procura, em cada uma, o número cujo sinal ou cuja grandeza a figura desmente.

  1. a) A lista do t. O t conta os anos decorridos após o final de 1980, logo 1980 é t = 0, 1990 é t = 10, 2000 é t = 20 e 2010 é t = 30: \begin{aligned} t &: 0,\ 10,\ 20,\ 30\\ N &: 10\,585,\ 23\,150,\ 30\,981,\ 39\,125 \end{aligned} Introduzir os anos do calendário — 1980, 1990, … — dá outro b e leva a substituir 2005 no modelo. O a até sairia igual, mas a previsão sairia errada.
  2. a) O modelo. A calculadora dá a \approx 934{,}5 e b \approx 11\,942{,}6: N(t) = 934{,}5t + 11\,942{,}6
  3. a) A previsão. O final de 2005 corresponde a t = 25, que está entre 0 e 30: N(25) = 934{,}5 \times 25 + 11\,942{,}6 = 23\,362{,}5 + 11\,942{,}6 = 35\,305{,}1 Arredondando às unidades, cerca de 35\,305 sócios.
  4. b) A opção correta é a Opção II. A nuvem desce da esquerda para a direita e os quatro pontos estão quase alinhados: a associação é linear negativa e forte. Ora a Opção II tem r = -0{,}987 (negativo e muito perto de -1), declive a = -0{,}558 negativo, e b = 65\,346{,}152, que é onde a reta corta o eixo vertical — coerente com a nuvem, que para valores pequenos de x ronda os 60\,000 lugares por vender.
  5. b) Porque se rejeitam as outras duas. A Opção I tem a = 1{,}744 > 0: um declive positivo significaria que a mais sócios corresponderiam mais lugares por vender, e a figura mostra exatamente o contrário. A Opção III tem r = -0{,}087, praticamente nulo, que corresponde a uma nuvem sem alinhamento nenhum — e não a quatro pontos quase sobre uma reta. Na Opção I, o r negativo e o declive positivo contradizem-se um ao outro: bastava isso para a excluir, sem sequer olhar para a figura.
Respostaa) N(t) = 934{,}5t + 11\,942{,}6 e N(25) \approx 35\,305 sócios; b) Opção II

Cada afirmação da alínea a) cai por um motivo diferente: a primeira exige que descubras o P a partir da média, a segunda que ordenes os dez valores, e a terceira resolve-se só a olhar para a nuvem. Na alínea b), o ano de 2006 tem na tabela uma frequência cardíaca conhecida — é esse o y com que entras na reta.

  1. a) Descobrir P. A soma das nove frequências conhecidas é 165+166+166+168+170+170+160+160+168 = 1493. Como a média dos dez valores é 166{,}5, a soma dos dez é 166{,}5 \times 10 = 1665, e portanto P = 1665 - 1493 = 172. 172 não está entre 169 e 171: a primeira afirmação é falsa.
  2. a) A mediana. Ordenando os dez valores: 160,\ 160,\ 165,\ 166,\ 166,\ 168,\ 168,\ 170,\ 170,\ 172 Como \dfrac{50 \times 10}{100} = 5 é inteiro, a mediana é a média dos valores das posições 5 e 6: M_{e} = \frac{166 + 168}{2} = 167. A mediana é 167 e não 170: a segunda afirmação é falsa. O 170 é a moda, não a mediana — aparece duas vezes, tal como o 160, o 166 e o 168. Confundir a que se repete com a que fica no meio é o erro que este distrator procura.
  3. a) O coeficiente de correlação. Na figura, os pontos sobem da esquerda para a direita: a temperaturas mais altas correspondem frequências cardíacas mais altas. A associação linear é positiva, logo r > 0 e não pode ser -0{,}85. A terceira afirmação é falsa.
  4. b) A temperatura em 2006. A tabela diz que em 2006 a frequência cardíaca do vencedor foi 165 pulsações por minuto. Substituindo y = 165 na reta ajustada: 165 = 0{,}71x + 147{,}1 \iff x = \frac{165 - 147{,}1}{0{,}71} = \frac{17{,}9}{0{,}71} \approx 25{,}2
  5. Segundo a reta, a temperatura em 2006 terá andado à volta de 25{,}2 ºC. Os 31{,}7 ºC estão muito longe desse valor, pelo que não é um valor admissível. Pelo caminho inverso chega-se ao mesmo: a 31{,}7 ºC a reta faria corresponder 0{,}71 \times 31{,}7 + 147{,}1 \approx 169{,}6 pulsações, quando as registadas em 2006 foram 165.
Respostaa) P = 172, M_{e} = 167 e r > 0 — as três afirmações são falsas; b) a reta dá x \approx 25{,}2 ºC, logo 31{,}7 ºC não é admissível

Lê com atenção o que é dado: 52{,}5 milhares de espectadores é um valor de y, e o que se pede é o custo, que é o x. Determina a reta como sempre e depois, em vez de substituíres, resolve a equação em ordem a x.

  1. As duas listas. \begin{aligned} x &: 435,\ 379,\ 65,\ 60,\ 276,\ 59,\ 43\\ y &: 99,\ 84,\ 16,\ 13,\ 75,\ 12,\ 9 \end{aligned}
  2. A reta de regressão. A calculadora dá a \approx 0{,}233 e b \approx 0{,}238: y = 0{,}233x + 0{,}238 Com r \approx 0{,}992, o ajuste é muito bom: cada mil euros de produção estão associados a mais 0{,}233 milhares de espectadores.
  3. O que se dá e o que se pede. Os 52{,}5 milhares de espectadores são o valor de y; o custo de produção é o x. Resolve-se a equação: 52{,}5 = 0{,}233x + 0{,}238 \iff x = \frac{52{,}5 - 0{,}238}{0{,}233} = \frac{52{,}262}{0{,}233} \approx 224{,}3 A reta é a de y sobre x, e é com ela que se trabalha nos dois sentidos — é o que o exame pede. Trocar as listas para obter uma «reta de x sobre y» dá outra reta e outro resultado.
  4. Arredondando às unidades, cerca de 224 milhares de euros. O enunciado manda usar a e b com três casas decimais, e é esse arredondamento que decide a unidade: com os coeficientes exatos da calculadora obtinha-se 224{,}7, que arredondaria a 225. Quando o enunciado fixa as casas dos coeficientes, é com esses que se faz a conta.
Respostay = 0{,}233x + 0{,}238; o custo de produção estimado é de cerca de 224 milhares de euros

As duas colunas da tabela são as duas listas, na ordem em que estão — não precisas de as reordenar por x crescente. Obtida a reta, «seis horas na fila» é o valor de x que vais substituir.

  1. As duas listas. \begin{aligned} x &: 30,\ 24,\ 22{,}5,\ 18,\ 12,\ 8,\ 3\\ y &: 0{,}5,\ 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 9,\ 12 \end{aligned} A tabela vem com o x em ordem decrescente. A calculadora não se importa com a ordem — só com o emparelhamento.
  2. A reta de regressão. A calculadora dá a \approx -0{,}459 e b \approx 12{,}913: y = -0{,}459x + 12{,}913 O declive é negativo, e faz sentido: quem chegou mais cedo à fila comprou os bilhetes mais depressa depois de a bilheteira abrir. O coeficiente de correlação é r \approx -0{,}983.
  3. A previsão. Seis horas na fila é x = 6, valor que está entre 3 e 30: y = -0{,}459 \times 6 + 12{,}913 = -2{,}754 + 12{,}913 = 10{,}159
  4. Arredondando às unidades, cerca de 10 horas.
Respostay = -0{,}459x + 12{,}913; cerca de 10 horas

Não é preciso calcular nada: cada opção traz dois números com sinal, e uma nuvem que sobe da esquerda para a direita já obriga cada um deles a ter um sinal certo. Vê primeiro o sinal de r, depois o sinal do declive.

  1. O sinal de r. A associação linear é positiva — a nuvem sobe da esquerda para a direita —, logo r > 0. Ficam de fora as opções (A), com r = -0{,}92, e (B), com r = -0{,}2.
  2. O sinal do declive. Na reta de regressão y = ax + b, o declive tem sempre o mesmo sinal do coeficiente de correlação. Com r > 0, tem de ser a > 0. A opção (C) tem a = -0{,}03: fica de fora. O declive e o r partilham o numerador — a soma dos produtos dos desvios. Por isso nunca podem ter sinais diferentes, e uma opção que os cruze é sempre distrator.
  3. O que resta. Só a opção (D) tem r = 0{,}89 e a = 0{,}03, ambos positivos, e um r perto de 1, como pede uma associação forte. Introduzindo na calculadora cinco pontos lidos na figura obtém-se a \approx 0{,}026 e r \approx 0{,}881 — a confirmação de que a ordem de grandeza da opção (D) é mesmo a da nuvem. Mas o item não pede esse trabalho: fecha-se só com os sinais.
RespostaOpção (D)

A lista do x não está escrita em lado nenhum: o número de equipas que participaram num mês é a coluna inteira desse mês, ou seja, a soma das duas parcelas da barra. Constrói primeiro essa lista, mês a mês, e só depois vais à calculadora.

  1. Construir a lista do x. Em cada mês, participaram as equipas que concluíram mais as que não concluíram: \begin{aligned} 24+31 &= 55 & 30+45 &= 75 & 44+56 &= 100\\ 62+63 &= 125 & 50+75 &= 125 \end{aligned} É aqui que o item se ganha ou se perde. Quem tomar por x a parte clara da barra — as que não concluíram — resolve todo o resto sem erro nenhum e chega a um resultado errado.
  2. As duas listas. \begin{aligned} x &: 55,\ 75,\ 100,\ 125,\ 125\\ y &: 24,\ 30,\ 44,\ 62,\ 50 \end{aligned}
  3. A reta de regressão. Com estas listas, a calculadora dá a \approx 0{,}474 e b \approx -3{,}487: y = 0{,}474x - 3{,}487 O coeficiente de correlação é r \approx 0{,}957: positivo e forte, como a figura deixava esperar. Repara que há dois meses com x = 125 e valores de y diferentes — nada impede que a mesma abcissa apareça duas vezes.
  4. A previsão. Com x = 80, que está entre 55 e 125: y = 0{,}474 \times 80 - 3{,}487 = 37{,}92 - 3{,}487 = 34{,}433
  5. Arredondando às unidades, cerca de 34 equipas.
Respostax: 55,\ 75,\ 100,\ 125,\ 125 e y: 24,\ 30,\ 44,\ 62,\ 50; y = 0{,}474x - 3{,}487; cerca de 34 equipas
Os espaços I e II são só sobre a coluna dos homens, que já está ordenada por ordem crescente — aplica-lhe a definição de percentil, com n = 6, e tens a mediana e os dois quartis. O espaço III é uma variação percentual entre dois anos: repara bem em qual dos dois valores é o de partida. Só o espaço IV precisa das duas colunas ao mesmo tempo.
  1. I A coluna dos homens já está por ordem crescente: 542{,}8; 674{,}7; 832{,}5; 976{,}7; 990{,}1; 1109{,}2. Com n = 6, \frac{50 \times 6}{100} = 3, que é inteiro, pelo que a mediana é a média dos valores das posições 3 e 4: M_{e} = \frac{832{,}5 + 976{,}7}{2} = 904{,}6 A opção c).
  2. II Para Q_{1} = P_{25}: \frac{25 \times 6}{100} = 1{,}5, que não é inteiro; arredonda-se para cima, m = 2, e Q_{1} = x_{2} = 674{,}7. Para Q_{3} = P_{75}: \frac{75 \times 6}{100} = 4{,}5, que não é inteiro; arredonda-se para cima, m = 5, e Q_{3} = x_{5} = 990{,}1. A amplitude interquartil é Q_{3} - Q_{1} = 990{,}1 - 674{,}7 = 315{,}4 A opção a). A opção c), 566{,}4, é 1109{,}2 - 542{,}8, isto é, a amplitude total. A interquartil mede a dispersão dos 50% centrais, e é sempre menor.
  3. III A remuneração das mulheres passou de 825{,}0 euros em 2015 para 960{,}3 euros em 2020, um aumento de 135{,}3 euros. O aumento percentual é \frac{960{,}3 - 825{,}0}{825{,}0} = 0{,}164 ou seja, 16{,}4%: a opção b). Divide-se pelo valor inicial, o de 2015. Dividir pelo de 2020 daria 135{,}3 \div 960{,}3 \approx 14{,}1%, que é exatamente a opção a) — o distrator está montado sobre esse engano.
  4. IV Introduz as duas colunas em duas listas da calculadora e pede a regressão linear: r \approx 0{,}997983, ou seja, r \approx 0{,}998 às milésimas: a opção c). Um r tão próximo de 1 era de esperar: as duas remunerações subiram lado a lado, ano a ano. Se te saísse 0{,}874, valia a pena reconferir se alguma entrada da lista foi mal copiada.
Resposta I → c) 904{,}6; II → a) 315{,}4; III → b) 16{,}4%; IV → c) 0{,}998.
As duas colunas já vêm ordenadas por ordem crescente de x, o que poupa trabalho na mediana e na amplitude — mas cuidado: o espaço I fala dos diâmetros (a coluna x) e o espaço II fala dos perímetros (a coluna y). No espaço I segue à risca a ordem das palavras do enunciado: arredonda a média às centésimas antes de a subtrair à mediana.
  1. Introduz na calculadora as duas listas: em x os oito diâmetros biparietais e em y os oito perímetros cefálicos, pela ordem da tabela.
  2. I A soma dos diâmetros é 67{,}51, logo \overline{x} = \frac{67{,}51}{8} = 8{,}43875 \approx 8{,}44 cm. Para a mediana, n = 8 e \frac{50 \times 8}{100} = 4, que é inteiro, pelo que M_{e} é a média dos valores das posições 4 e 5: M_{e} = \frac{8{,}30 + 8{,}66}{2} = 8{,}48 A mediana excede a média em 8{,}48 - 8{,}44 = 0{,}04 cm: a opção a). O enunciado diz «a respetiva média, arredondada às centésimas» — o arredondamento vem antes da subtração. Sem ele a diferença seria 0{,}04125, que também arredondaria a 0{,}04, mas em muitos itens não arredondar na altura certa muda mesmo a opção.
  3. II A amplitude dos perímetros cefálicos é o máximo menos o mínimo: 37{,}63 - 30{,}36 = 7{,}27 \text{ cm} A opção c). A amplitude é dos y, os perímetros. A dos x seria 9{,}24 - 7{,}49 = 1{,}75, que aparece — não por acaso — como opção do espaço I.
  4. III Da regressão linear das duas listas, r \approx 0{,}9354, ou seja, r \approx 0{,}94 às centésimas: a opção b). A opção c), 3{,}54, é o declive da reta de regressão (a \approx 3{,}536) e não o coeficiente de correlação. Basta lembrar que r está sempre entre -1 e 1 para a excluir sem calcular nada.
  5. IV A mesma regressão dá, às milésimas, a \approx 3{,}536 e b \approx 4{,}480, isto é, y = 3{,}536x + 4{,}480. Para x = 8{,}50: y = 3{,}536 \times 8{,}50 + 4{,}480 = 34{,}536 Arredondando às centésimas, 34{,}54 cm: a opção a). O diâmetro 8{,}50 cm está entre 7{,}49 e 9{,}24, os extremos da amostra: a estimativa faz-se dentro do domínio dos dados, que é a única situação em que o modelo se pode aplicar.
Resposta I → a) 0{,}04; II → c) 7{,}27; III → b) 0{,}94; IV → a) 34{,}54.

Os cinco pares da tabela são as duas listas que a calculadora quer: na primeira o V_{O_2\text{max}}, na segunda o tempo. Pede-lhe a regressão linear, escreve a equação com o a às três casas decimais que o enunciado exige — e só depois é que o 50 entra em cena.

  1. As duas listas. Na calculadora, x (o V_{O_2\text{max}}) e y (o tempo, em minutos): \begin{aligned} x &: 36,\ 48,\ 60,\ 72,\ 84\\ y &: 250,\ 198,\ 164,\ 140,\ 122 \end{aligned} A ordem dos pares não importa, mas a correspondência importa: o 36 tem de ficar em frente ao 250.
  2. A reta de regressão. A calculadora dá a \approx -2{,}617 e b = 331{,}8: y = -2{,}617x + 331{,}8 O declive é negativo, e tem de ser: quanto maior é o volume de oxigénio consumido, menor é o tempo previsto. A calculadora dá também r \approx -0{,}978, muito perto de -1 — é o que autoriza usar este modelo.
  3. A previsão. O valor x = 50 está entre 36 e 84, ou seja, dentro do intervalo dos dados: a estimativa é legítima. y = -2{,}617 \times 50 + 331{,}8 = -130{,}85 + 331{,}8 = 200{,}95
  4. Arredondando às unidades, 201 minutos.
Respostay = -2{,}617x + 331{,}8; o tempo mínimo previsto é de aproximadamente 201 minutos
Os dados não estão em tabela nenhuma: estão escritos ao lado de cada ponto do diagrama, e o primeiro trabalho é copiá-los para duas listas — as sete distâncias e as sete energias. A partir daí a calculadora dá tudo. Só um cuidado no espaço II: a mediana pede-se às quilocalorias, não às distâncias.
  1. Lê no diagrama os sete pares e passa-os para duas listas: x: 5; 6{,}5; 7; 7{,}7; 8; 8{,}6; 9{,}4 (quilómetros) e y: 340; 450; 478; 515; 550; 580; 630 (quilocalorias).
  2. I A soma das distâncias é 52{,}2, logo \overline{x} = \frac{52{,}2}{7} \approx 7{,}457 Arredondando às décimas, 7{,}5 quilómetros: a opção a). A opção b), 7{,}7, é um dos valores da lista — o do quarto ponto, que é a mediana das distâncias. Média e mediana são medidas diferentes, e o enunciado pede a média.
  3. II Os sete valores de y já estão por ordem crescente. Para M_{e} = P_{50}: \frac{50 \times 7}{100} = 3{,}5, que não é inteiro; arredonda-se para cima, m = 4, e M_{e} = y_{4} = 515 quilocalorias: a opção b). A opção a), 506, é a média das quilocalorias (3543 \div 7 \approx 506{,}14). O distrator apanha quem calcula a medida errada, e é por isso que vale a pena reler o que se pede antes de carregar na tecla.
  4. III Da regressão linear das duas listas, r \approx 0{,}998: positivo e praticamente igual a 1. A correlação é positiva forte: a opção c). É o que a nuvem mostra — sete pontos quase alinhados, a subir.
  5. IV A mesma regressão dá, às milésimas, a \approx 65{,}558 e b \approx 17{,}268, isto é, y = 65{,}558x + 17{,}268. Para x = 6: y = 65{,}558 \times 6 + 17{,}268 = 410{,}616 Arredondando às unidades, 411 quilocalorias: a opção b). Os 6 quilómetros estão dentro do intervalo das distâncias registadas, de 5 a 9{,}4 quilómetros — é uma interpolação, e é aí que a reta se pode usar com confiança.
Resposta I → a) 7{,}5; II → b) 515; III → c) positiva forte; IV → b) 411.
Antes de calcular seja o que for, repara em que as variáveis da Tabela (IMC e TMB) não são as da Figura (idade e TMB): há dois estudos diferentes no mesmo item, e cada espaço diz com qual se trabalha. Os espaços (a) e (b) são só a Tabela; o (d) é só a equação impressa na Figura; e no (c) não precisas de calcular o segundo coeficiente — o sinal do declive da reta desenhada chega para o comparar.
  1. (a) A soma das sete TMB é 1282+1291+1385+1513+1379+1202+1567 = 9619, logo \overline{y} = \frac{9619}{7} \approx 1374{,}14 Arredondando às unidades, 1374 quilocalorias por dia: a opção (2).
  2. (b) Ordena os sete valores do IMC: 22{,}7 \le 23{,}4 \le 23{,}6 \le 23{,}9 \le 24{,}6 \le 27{,}5 \le 31{,}2. Para Q_{1} = P_{25}: \frac{25 \times 7}{100} = 1{,}75, que não é inteiro; arredonda-se para cima, m = 2, e Q_{1} = x_{2} = 23{,}4. Para Q_{3} = P_{75}: \frac{75 \times 7}{100} = 5{,}25, que não é inteiro; arredonda-se para cima, m = 6, e Q_{3} = x_{6} = 27{,}5.
  3. No intervalo ]23{,}4; 27{,}5[ estão 23{,}6, 23{,}9 e 24{,}6 — três mulheres: a opção (1). O intervalo é aberto nos dois extremos, e por isso as mulheres cujo IMC é exatamente 23{,}4 ou exatamente 27{,}5 ficam de fora. Contá-las daria 5, que é a opção (3).
  4. (c) Na Tabela, a TMB cresce com o IMC e a regressão dá r \approx 0{,}88, positivo. Na Figura, a reta de regressão é y = -9{,}02x + 1777{,}62, de declive negativo, e o coeficiente de correlação tem o sinal do declive: é negativo. Um número positivo é maior do que um número negativo, logo o coeficiente da Tabela é superior ao da Figura: a opção (3). Não é preciso calcular o r da Figura — nem sequer se conhecem as idades. O sinal do declive resolve a comparação. O r^{2} = 0{,}887 impresso não ajuda aqui: ao elevar ao quadrado perde-se justamente o sinal.
  5. (d) Substitui x = 43 na equação da reta da Figura: y = -9{,}02 \times 43 + 1777{,}62 = 1389{,}76 Arredondando às unidades, 1390 quilocalorias por dia: a opção (3). O 43 é uma idade, e a reta que se usa tem de ser a do estudo idade–TMB, isto é, a da Figura. Quem fosse buscar a reta da Tabela estaria a substituir uma idade no lugar de um IMC.
Resposta (a) → (2) 1374; (b) → (1) 3; (c) → (3) superior; (d) → (3) 1390.
Os quatro espaços resolvem-se com as mesmas duas listas na calculadora — a coluna da habitação e a coluna da alimentação — menos o espaço (b), que é uma regra de três simples e não tem nada a ver com regressão: se 12{,}9% da despesa total valem 3121 euros, começa por descobrir quanto vale a despesa total e só depois tira dela a percentagem da habitação.
  1. Introduz na calculadora as duas listas da tabela: em x as seis percentagens da habitação, 12{,}4; 20{,}6; 26{,}6; 29{,}2; 31{,}9; 39{,}0, e em y as seis da alimentação, 29{,}5; 21{,}0; 15{,}5; 13{,}3; 14{,}3; 12{,}9.
  2. (a) Os desvios padrão amostrais são s_{x} \approx 9{,}23 e s_{y} \approx 6{,}46. Como 9{,}23 > 6{,}46, o desvio padrão da habitação é superior ao da alimentação: a opção (3). A resolução oficial compara os desvios padrão populacionais, 8{,}43 e 5{,}90, e chega à mesma conclusão — é sempre assim numa comparação entre duas listas com o mesmo n, porque uma convenção é a outra multiplicada por \sqrt{n/(n-1)}, o mesmo fator para as duas. O que conta no Exame de Matemática A é o amostral s.
  3. (b) Em 2022/2023 a alimentação foi 12{,}9% da despesa total e valeu 3121 euros. Logo, a despesa total foi \frac{3121}{0{,}129} \approx 24\,193{,}80 \text{ euros} e a despesa com a habitação, que é 39{,}0% desse valor, foi 0{,}39 \times 24\,193{,}80 \approx 9436 euros: a opção (3). As duas percentagens da tabela referem-se à despesa total, e não uma à outra. Quem calcula 39% de 3121 obtém 1217, que é precisamente a opção (1) — o distrator está lá à espera de quem salta o passo da despesa total.
  4. (c) Da regressão linear das duas listas, r \approx -0{,}9261, isto é, r \approx -0{,}93 às centésimas: a opção (1). O sinal já se adivinhava na tabela: à medida que a percentagem gasta em habitação sobe, a gasta em alimentação desce. Um r positivo, como o da opção (3), estaria em contradição com os próprios dados.
  5. (d) A mesma regressão dá, às milésimas, a \approx -0{,}648 e b \approx 35{,}006, ou seja, y = -0{,}648x + 35{,}006. Para x = 19{,}8: y = -0{,}648 \times 19{,}8 + 35{,}006 = 22{,}1756 Arredondando às décimas, 22{,}2%: a opção (2). Substitui-se com os parâmetros já arredondados às milésimas, porque é isso que o enunciado manda. E 19{,}8% está dentro do intervalo dos x observados, de 12{,}4% a 39{,}0%: a estimativa é uma interpolação, que é onde o modelo tem valor.
Resposta (a) → (3) superior; (b) → (3) 9436; (c) → (1) -0{,}93; (d) → (2) 22{,}2%.
O espaço (a) não precisa de estatística nenhuma: é uma razão entre dois números da tabela, escrita em percentagem — e repara em qual deles é o «todo». Nos outros três, mete a coluna do PIB e a das emissões em duas listas: a primeira dá-te a média e o desvio padrão amostral para construir o intervalo de (b) — que é aberto —, e as duas juntas dão o coeficiente de correlação de (c) e a reta de (d).
  1. (a) A razão entre o PIB da Roménia e o do Luxemburgo é \frac{9{,}61}{84{,}49} \approx 0{,}1137 ou seja, cerca de 11{,}4%. Arredondando às unidades, 11%: a opção (2). Divide-se pelo valor do Luxemburgo, porque é dele que a frase diz «do PIB real per capita do Luxemburgo» — é esse o todo a que a percentagem se refere.
  2. (b) Introduz na calculadora a lista dos nove valores do PIB. Ela dá \overline{x} \approx 39{,}42 e, para o desvio padrão amostral, s \approx 25{,}15. O intervalo é \left]39{,}42 - 25{,}15;\ 39{,}42 + 25{,}15\right[ \ = \ \left]14{,}27;\ 64{,}57\right[
  3. Percorre a coluna do PIB e conta quantos valores caem nesse intervalo: 18{,}06 (Portugal), 21{,}31 (Eslovénia), 23{,}45 (Espanha), 35{,}48 (Alemanha), 41{,}86 (Países Baixos) e 50{,}01 (Dinamarca) — seis países. Ficam de fora 9{,}61, 70{,}53 e 84{,}49. A opção (1). O enunciado diz «desvio padrão amostral»: é a tecla que divide por n-1, a mesma que as Aprendizagens Essenciais de Matemática A do 10.º ano definem. Na calculadora, o s e o \sigma aparecem lado a lado na mesma lista de resultados, e enganar-se de linha é o erro mais comum deste tipo de item.
  4. (c) Com as duas listas, a regressão linear dá r \approx 0{,}931: positivo e próximo de 1. A correlação é positiva forte: a opção (3).
  5. (d) A mesma regressão dá, às milésimas, a \approx 0{,}115 e b \approx 4{,}188, isto é, y = 0{,}115x + 4{,}188. Para x = 32{,}53: y = 0{,}115 \times 32{,}53 + 4{,}188 = 7{,}92895 Arredondando às décimas, 7{,}9 tCO2eq: a opção (1). O PIB da França, 32{,}53 milhares de euros, está entre 9{,}61 e 84{,}49, os extremos dos nove países da amostra — a estimativa é uma interpolação, e é para isso que a reta serve.
Resposta (a) → (2) 11%; (b) → (1) 6; (c) → (3) positiva forte; (d) → (1) 7{,}9.
01

Teste rápido

Doze questões de resposta imediata, com correção e explicação, sobre as sete secções de revisão. Serve para veres se a Estatística do 10.º ano está no sítio — ou se convém voltar atrás antes de entrar nas Probabilidades e na Inferência.

Pergunta 1 de 12
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Formulário essencial e referências

Tudo o que este capítulo usa, numa página. Se alguma linha parecer nova, é sinal de que a secção correspondente merece uma segunda leitura.

As quatro frequências

Para cada valor distinto x_{i} de uma amostra de dimensão n:

n_{i} \ \text{(absoluta)}, \qquad N_{i} = n_{1}+n_{2}+\ldots+n_{i}, \qquad f_{i} = \frac{n_{i}}{n}, \qquad F_{i} = \frac{N_{i}}{n} = f_{1}+f_{2}+\ldots+f_{i} \sum_{i=1}^{p} n_{i} = n, \qquad \sum_{i=1}^{p} f_{i} = 1, \qquad N_{p} = n, \qquad F_{p} = 1

Acumulada quer dizer «até aqui, inclusive»: N_{i} conta as observações com valor menor ou igual a x_{i}, e F_{i} é a fração correspondente.

A tabela de frequências

x_{i}n_{i}N_{i}f_{i}F_{i}
valor distintofrequência absolutaabsoluta acumuladafrequência relativarelativa acumulada

Uma linha por valor distinto, por ordem crescente. As duas verificações que apanham quase todos os erros são a soma da coluna n_{i}, que tem de dar n, e a soma da coluna f_{i}, que tem de dar 1.

Classes e marca da classe

[a,\ b[\ , \qquad h = b-a \ \ \text{(igual em todas as classes)}, \qquad c_{i} = \frac{a+b}{2}

Cada classe é fechada à esquerda e aberta à direita; a primeira contém o mínimo, a última contém o máximo, e entre elas não há lacunas nem sobreposições. A marca da classe c_{i} é o ponto médio, e é o valor que representa a classe quando não se conhecem os dados um a um.

No histograma, o eixo horizontal leva os extremos das classes com a respetiva unidade e o vertical a frequência. Com classes de igual amplitude, a área de cada retângulo é proporcional à frequência — logo a altura também.

Média, moda e mediana

\overline{x} = \frac{x_{1}+x_{2}+\ldots+x_{n}}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} x_{i}\,n_{i}

A segunda forma é a que se usa a partir de uma tabela de frequências: cada valor distinto pesa tanto quanto a sua frequência absoluta.

Moda M_{o}: o valor de maior frequência absoluta. Pode haver mais do que um — distribuição bimodal — ou nenhum, quando todos os valores têm a mesma frequência — amodal. Em dados agrupados fala-se de classe modal.

Mediana M_{e}, com os dados ordenados: com n ímpar é o valor da posição \dfrac{n+1}{2}; com n par é a média dos valores das posições \dfrac{n}{2} e \dfrac{n}{2}+1. Pode não ser um valor da amostra.

Percentis e quartis

Sendo x_{1} \le x_{2} \le \ldots \le x_{n} os dados ordenados e k um inteiro de 1 a 99, o percentil de ordem k obtém-se assim:

calcula-se \dfrac{k \times n}{100}; se o resultado for um número inteiro m, então P_{k} = \dfrac{x_{m}+x_{m+1}}{2} — a média do valor da posição m com o seguinte; se não for inteiro, arredonda-se para cima, e sendo m esse inteiro, P_{k} = x_{m}.

Interpretação, que é o que os exames pedem por palavras: pelo menos k\% dos dados são menores ou iguais a P_{k} e pelo menos (100-k)\% são maiores ou iguais a P_{k}.

Q_{1} = P_{25}, \qquad Q_{2} = P_{50} = M_{e}, \qquad Q_{3} = P_{75}

O diagrama de extremos e quartis desenha-se com os cinco números mínimo, Q_{1}, M_{e}, Q_{3} e máximo, e os bigodes vão até ao mínimo e até ao máximo.

Medidas de dispersão

\text{amplitude} = \text{máximo}-\text{mínimo}, \qquad \text{AIQ} = Q_{3}-Q_{1}

A amplitude interquartil (AIQ) é a amplitude dos 50\% centrais da distribuição.

s^{2} = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2}, \qquad s = \sqrt{s^{2}}

A variância amostral s^{2} divide a soma dos quadrados dos desvios por n-1, e não por n; vem nas unidades dos dados ao quadrado. O desvio padrão amostral s vem nas unidades dos dados, e é a medida de dispersão que se lê.

10.º · a amostra12.º · a população
centromédia \overline{x}valor médio {\mu}
dispersãodesvio padrão amostral s, que divide por n-1desvio padrão populacional {\sigma}, que divide por n
de onde vemde dados observadosde um modelo de probabilidade

A média não muda de nome ao mudar de lado — o desvio padrão muda. Os dois lados ficam lado a lado em Probabilidades · §13.

Dados agrupados em classes

Quando só se conhece a tabela de classes, cada dado é substituído pela marca da sua classe e os valores saem aproximados:

\overline{x} \approx \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{p} c_{i}\,n_{i}, \qquad s \approx \sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{p} n_{i}\left(c_{i}-\overline{x}\right)^{2}}

O sinal \approx fica escrito no papel: são estimativas, não os valores exatos.

A transformação y = ax+b

Se cada dado x_{i} for substituído por y_{i} = a\,x_{i}+b, com a > 0:

\overline{y} = a\,\overline{x}+b, \quad M_{e}(y) = a\,M_{e}(x)+b, \quad Q_{1}(y) = a\,Q_{1}(x)+b, \quad Q_{3}(y) = a\,Q_{3}(x)+b s_{y} = a\,s_{x}, \qquad \text{AIQ}(y) = a\,\text{AIQ}(x), \qquad \text{amplitude}(y) = a \times \text{amplitude}(x)

Somar b desloca as medidas de localização e não mexe nas de dispersão; multiplicar por a multiplica as duas.

Três propriedades, e a resistência

\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right) = 0, \qquad s = 0 \iff \text{todos os dados são iguais}

A soma dos desvios dá sempre zero — é por isso que se elevam ao quadrado antes de os somar.

A média e o desvio padrão são pouco resistentes: mudam sempre que um dado se altera, e tanto mais quanto maior for a alteração. A mediana e a AIQ são resistentes. Com outliers ou com uma distribuição claramente assimétrica, usam-se mediana e amplitude interquartil.

E \text{AIQ} = 0 não quer dizer que não haja variabilidade: quer dizer apenas que os 50\% centrais são todos iguais.

Dados bivariados

r = \frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)\left(y_{i}-\overline{y}\right)}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(x_{i}-\overline{x}\right)^{2}}\ \sqrt{\sum_{i=1}^{n}\left(y_{i}-\overline{y}\right)^{2}}}, \qquad -1 \le r \le 1

Esta fórmula está aqui para se lerem os sinais, e não para se calcular: o coeficiente de correlação obtém-se com a calculadora ou com o Python. O sinal dá a direção da associação linear e |r| dá a força; |r| = 1 se e só se os pontos estiverem sobre uma reta.

A reta de regressão y = ax+b — a reta dos mínimos quadrados — obtém-se também com a tecnologia. Passa sempre pelo centro de gravidade (\overline{x}, \overline{y}), e o declive a tem o sinal de r. Uma previsão substitui o valor de x na equação, e só é legítima com associação linear forte e com x dentro do domínio dos dados observados.

Antes de qualquer conta, o diagrama de dispersão: uma nuvem curva dá r e dá reta na mesma — dá números que não querem dizer nada. E uma correlação forte não é uma relação de causa e efeito.

Sobre a calculadora

As duas aplicações

Estatística — os valores escrevem-se em V1 e as frequências em N1 (que fica a 1 quando os dados vêm soltos, um a um). O separador Estat dá a dimensão, o mínimo, o máximo, a amplitude, a média, a mediana e os quartis; o separador Gráfico dá o histograma e o diagrama da caixa. Regressão — as duas listas escrevem-se em X1 e Y1. O r aparece no rodapé do Gráfico ainda antes de se escolher modelo nenhum; escolhido o modelo linear ax+b, o separador Estat dá o Coeficiente a e o Coeficiente b, que são o declive e a ordenada na origem da reta.

Duas letras na mesma lista

Na aplicação Estatística a calculadora mostra \sigma, que divide a soma dos quadrados dos desvios por n, logo a seguir à média; o s, que divide por n-1, está mais abaixo na mesma lista, com o rótulo amostral escrito ao lado. A que aparece primeiro não é a que se quer. As Aprendizagens Essenciais do 10.º ano fixam o desvio padrão amostral s, e é esse o símbolo deste livro — é o que está em todas as fórmulas de cima. Mas algumas resoluções oficiais, incluindo de Matemática A, apresentam o valor de \sigma: saber que são duas contas diferentes, e reconhecer qual delas está à frente, faz parte. Com os dez tempos de R4 e R5, \sigma \approx 5{,}20 e s \approx 5{,}49; a diferença entre os dois é tanto maior quanto menos dados houver.

Quartis: há mais do que um processo

Programas de cálculo e calculadoras gráficas calculam quartis de maneiras diferentes, e nem sempre chegam ao mesmo valor. Neste capítulo — e nos exames — vale sempre o procedimento de percentil que está aqui em cima, com \dfrac{k \times n}{100}.

Referências

Aprendizagens Essenciais · Matemática A · 10.º ano (janeiro de 2023), tema «Estatística», págs. 20 a 26 — é daqui que sai tudo o que este capítulo tem, e é aqui que está, escrito com todas as letras, o que ele não tem. Onde isto é preciso, no 12.º ano — a variável aleatória e a sua distribuição em Probabilidades · §12; o valor médio e o desvio padrão de uma variável aleatória em Probabilidades · §13, que retomam a média e o s de R4 e R5; o modelo Normal em Probabilidades · §14. Onde isto é preciso, no tema opcional — a população, a amostra e a média como estimador em Inferência · §01; o Teorema Limite Central em Inferência · §02; os intervalos de confiança, que partem da média e do desvio padrão de uma amostra, em Inferência · §03. F. J. Anscombe, «Graphs in Statistical Analysis», The American Statistician (1973) — os quatro conjuntos de dados do laboratório de R7, que têm as mesmas medidas e nuvens completamente diferentes.

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