Tutorial da NumWorks

1 · As teclas que mudam as outras

A NumWorks tem menos teclas do que funções, e resolve isso com duas teclas modificadoras. Estão no canto de cima, à esquerda, e são as únicas que vale a pena decorar:

shift — dá acesso ao que está escrito por cima de cada tecla, na cor amarela. Carrega-se e larga-se; não se mantém premida. alpha — dá acesso às letras, na cor vermelha, uma por tecla: e^x é o a, ln é o b, log é o c, e assim por diante até ao +, que é o z.

Há um terceiro sinal que se procura durante muito tempo antes de se encontrar: o igual. Não tem tecla própria — escreve-se com shift›π. É dele que se precisa para escrever sistemas na aplicação Equações.

2 · As doze aplicações

Carrega em home e escolhe com as setas. São doze, em quatro filas de três:

Cálculo — a folha de contas. É onde se passa metade do tempo. Funções — escrever f(x), ver o gráfico e a tabela, e mandar a máquina calcular zeros, extremos, interseções, tangentes e integrais. Equações — resolver equações e sistemas, exactamente ou por aproximação. Estatística — listas, medidas, histograma, diagrama de extremos e quartis. Regressão — nuvens de pontos e o modelo que melhor lhes assenta. Probabilidades — binomial, normal, e as probabilidades que o 12.º ano pede. É a aplicação que noutras máquinas se chama «distribuições». Inferência — intervalos de confiança e testes de hipóteses. Sequências — as sucessões, por termo geral e por recorrência, com tabela, gráfico e somas. Python — escrever e correr programas na própria máquina.

Repara no nome: o que o programa chama sucessões a máquina chama Sequências, e o que o programa chama distribuições a máquina arruma em Probabilidades. É a mesma matemática com outro rótulo, e é onde toda a gente se perde da primeira vez.

3 · As definições, que é onde se perdem os pontos

Em home›Definições há três linhas que decidem se as tuas contas dão o que devem:

Valor do ângulo — Radianos, Graus ou Grados. No 12.º ano é quase sempre radianos. Uma máquina em graus dá \operatorname{sen}(\pi) \approx 0{,}0548 em vez de 0, e nada no ecrã avisa. Formato numérico — Decimal, Científico ou Engenharia, mais o número de algarismos significativos. Deixa em decimal com 10 algarismos, que é como vem. Complexos — Real, Cartesiana ou Exponencial. Em Real, a máquina responde nonreal a \sqrt{-4}. Muda-o quando chegares aos complexos.

4 · Apagar e desfazer

delete apaga o caractere à esquerda do cursor. shift›delete limpa a linha inteira. Na aplicação Cálculo, ↑ percorre o histórico; OK sobre um resultado antigo copia-o para a linha nova. ans é o último resultado — poupa copiar números longos, e não perde casas decimais pelo caminho.

Se alguma vez a máquina ficar irreconhecível — menus que não são teus, definições trocadas —, home›Definições›Reset da calculadora põe tudo como saiu da caixa. Apaga também os teus scripts, por isso é o último recurso e não o primeiro.

1 · Frações, raízes e expoentes

Fração: ÷ cria a barra e põe o cursor em cima. ↓ desce para o denominador, → sai da fração. Raiz quadrada: √, que é tecla própria. Para uma raiz de índice n, toolbox›Raiz de índice n — ou a potência, que dá no mesmo: \sqrt[3]{8} = 8^{1/3}. Expoente: x^y. Depois de escrever o expoente, → desce dele — sem isso, o que escreveres a seguir fica lá em cima.

2 · Exacto ou aproximado

A NumWorks responde as duas coisas quando pode:

← e → escolhem qual dos dois se copia. Quando o exercício diz «valor exacto», é o da esquerda que se escreve na folha — e é o da esquerda que mostra que a máquina simplificou \sqrt{8} para 2\sqrt{2} sozinha.

3 · A caixa de ferramentas

toolbox abre um catálogo com tudo o que a máquina sabe fazer, arrumado por temas:

Lá dentro estão Cálculo (derivada, integral, somatório, produto), Números complexos, Probabilidade, Aritmética (mdc, mmc, factorização em primos), Matrizes, Listas e Trigonometria.

Vale a pena abrir a caixa uma vez de vento em popa e ver o que lá está. Metade das perguntas «a máquina faz isto?» respondem-se em trinta segundos, e a resposta é quase sempre sim.

4 · Guardar valores em letras

Não há tecla sto nenhuma nesta máquina, ao contrário do que acontece noutras. Quem guarda valores é a tecla var:

À esquerda da seta escreve-se a expressão, à direita a letra (com alpha). Serve para não reescrever um número comprido três vezes:

var mostra depois o que está guardado, e é por aí que se apagam as variáveis, as funções e as listas que já não fazem falta.

1 · Ligar os complexos

Como vem de fábrica, a máquina não os conhece:

Em home›Definições›Complexos há três opções:

Real — a máquina recusa tudo o que saia de \mathbb{R}. É o que vem de fábrica. Cartesiana — os resultados saem na forma a + bi. Exponencial — os resultados saem na forma \rho e^{i\theta}. É a que o programa chama forma trigonométrica ou polar.

O i tem tecla própria, na segunda fila. Com a máquina em cartesiana:

2 · Módulo, argumento e conjugado

Estão todos em toolbox›Números complexos:

abs(z), ou |z| — o módulo. arg(z) — o argumento, em radianos, no intervalo \left]-\pi, \pi\right]. conj(z) — o conjugado \bar{z}. re(z) e im(z) — a parte real e a parte imaginária.

3 · Passar de uma forma à outra

Não é preciso reescrever nada: mudar a definição de Cartesiana para Exponencial reescreve o histórico todo na forma nova.

O argumento sai sempre em decimal na forma exponencial, mesmo quando é \frac{\pi}{4}. Para o ler como fração de \pi, divide-o por \pi numa linha à parte — 0{,}7853981634 \div \pi dá 0{,}25, e aí já se reconhece.

4 · Raízes de índice n

A máquina dá uma raiz, e o exercício pede todas. z^{1/3} devolve a raiz de argumento mais pequeno em valor absoluto; as outras duas obtêm-se somando \frac{2\pi}{3} ao argumento, uma de cada vez.

É por isso que este é dos poucos sítios em que a máquina serve mais para confirmar do que para resolver: a fórmula das n raízes tem de sair da tua mão, e a máquina diz-te se a primeira está certa.

1 · Escrever a função

Em home›Funções aparece a lista, com três separadores em cima: Expressões, Gráfico e Tabela. Escolhe Adicionar um elemento e escreve a expressão — a variável escreve-se com x,n,t.

Cada função tem uma cor e um interruptor: desligá-la tira-a do gráfico sem a apagar. Os três pontos à direita da expressão abrem as opções — cor, derivada a traçar, intervalo do gráfico. Podes escrever f(x) dentro de outra função: g(x)=f(x)+2 funciona, e é a maneira rápida de estudar translações.

2 · A janela, que é metade do trabalho

Na barra de cima do gráfico:

Auto — a máquina escolhe uma janela que mostre alguma coisa. É por onde se começa, e é o que está ligado de fábrica. Eixos — escrever à mão o x mínimo e máximo, o y mínimo e máximo, e ligar o ortonormado. Sem ortonormado, uma circunferência sai elipse e um ângulo recto não parece recto. Navegar — mover e ampliar com as setas, sem escrever números.

3 · O menu Cálculo

No separador Gráfico, OK abre o menu que resolve quase tudo:

Zeros — onde a função corta o eixo Ox. Máximo e Mínimo — os extremos, dentro da janela. Imagem inversa — o x tal que f(x) é o valor que escreveres. É a maneira de resolver f(x) = k. Interseção — onde duas funções se encontram, quando há duas. É a maneira de resolver f(x) = g(x) sem álgebra nenhuma. Tangente — a reta tangente num ponto, desenhada e com a equação. Integral — \int_a^b f, com a área sombreada no gráfico.

Estes dão um resultado de cada vez. Uma função com três zeros exige três saltos com → — e é aí que se esquece um.

4 · A tabela

Com passo 0{,}001 vê-se uma função a aproximar-se de um limite, que é exactamente o que os capítulos dos limites pedem. E o interruptor Resultados exatos mostra \frac{1}{3} em vez de 0{,}3333333333.

1 · Uma equação

Em home›Equações, Adicionar uma equação. Escreve-se só o lado esquerdo: o = 0 a máquina põe sozinha.

2 · Sistemas

Adicionar uma equação outra vez acrescenta uma linha, e a máquina desenha a chaveta. Aqui já é preciso o sinal de igual, que se escreve com shift›π, e as incógnitas com alpha — o y é alpha›3.

3 · Quando não há solução exacta

Numa equação como e^x = 3x a máquina passa a resolução aproximada e pede um intervalo. Dá uma solução de cada vez — e, tal como nos zeros de uma função, é preciso procurar em cada intervalo onde se suspeite que haja uma.

1 · As duas maneiras de definir

Em home›Sequências, Adicionar uma sequência. Antes de escrever seja o que for, a máquina pergunta o tipo:

Explícita — dá-se u_n, o termo geral. O n escreve-se com x,n,t. Recorrência de primeira ordem — dá-se u_{n+1} em função de u_n, e o primeiro termo. Recorrência de segunda ordem — dá-se u_{n+2} em função de u_{n+1} e u_n, e os dois primeiros termos. É o que Fibonacci precisa.

2 · Onde começa o n

Nas opções da sucessão está a linha que decide tudo o resto:

Confirma que está em 1. As Aprendizagens Essenciais definem as sucessões em \mathbb{N} \setminus \{0\}, e com o início em zero todas as ordens ficam deslocadas de uma unidade: o que a máquina chama u_5 passa a ser o sexto termo.

3 · A tabela e o gráfico

4 · A soma dos termos

No separador Gráfico, OK abre as opções e ali está Soma dos termos: pede o primeiro índice, depois o último, e devolve a soma com as parcelas desenhadas.

Serve para confirmar a fórmula, não para a substituir. No exame a resposta é a fórmula aplicada; a máquina diz-te se te enganaste a contar os termos — que é o erro mais frequente do capítulo.

1 · Escrever e correr

Em home›Python está a lista de scripts. Já vem com quatro exemplos da própria NumWorks:

EXE sobre um script abre-o para escrever; OK abre antes as opções, que é onde está o Executar.

toolbox dentro do editor dá o catálogo das funções, com as palavras da linguagem e os módulos — poupa escrever letra a letra com alpha. var dá as variáveis e as funções já definidas no script.

2 · A consola

3 · O que lá está

math — sqrt, pi, e, sin, cos, log, floor, factorial. cmath — os complexos, com sqrt que aceita negativos. random — randint, random, choice. matplotlib.pyplot — uma versão reduzida, com plot, scatter, bar, show. turtle — para desenhar, e é dos poucos sítios em que uma máquina de calcular é divertida.

4 · Do livro para a máquina

Os programas deste livro correm na NumWorks tal e qual, com uma excepção: os que usam input(). Na máquina o input() funciona, mas é incómodo de escrever — vale mais fixar o valor numa variável no princípio do programa e mudá-lo ali.

O simulador desta página é o mesmo emulador oficial que está no botão Calculadora da barra de topo, em qualquer capítulo. O que escreveres num, escreves no outro.

1 · Meter os dados

Em home›Estatística há três separadores — Dados, Gráfico e Estat — e duas colunas: Valores V1 e Frequências N1. Escreve-se um valor, EXE, o seguinte.

Se os dados vierem numa tabela de frequências, escreve-se o valor em V1 e a frequência em N1 — não é preciso repetir nada. Se vierem soltos, escrevem-se todos em V1 e deixa-se N1 como está. Há espaço para três conjuntos ao mesmo tempo: V1/N1, V2/N2 e V3/N3, lado a lado.

2 · As medidas

3 · Os gráficos

O separador Gráfico começa por perguntar qual: Histograma, Diagrama da caixa, Frequências acumuladas ou Distribuição normal.

1 · Os pontos

Em home›Regressão há duas colunas, X1 e Y1: cada linha é um ponto.

2 · Escolher o modelo

Na barra de cima do gráfico, Regressão abre a lista dos modelos:

O separador Estat traz, a seguir às medidas de cada coluna, as quatro linhas que interessam: Coefic. correlação r, Coeficiente a, Coeficiente b e Coefic. determinação r^2.

3 · Prever

Com a curva desenhada, as setas ← e → andam sobre ela e o rodapé vai dizendo o x e o y. É o que os itens de «estime o valor para…» pedem — e é preciso dizer na folha que o valor saiu do modelo, e qual foi o modelo.

1 · Escolher a distribuição

Binomial — pede n e p. Normal — pede \mu e \sigma.

2 · As perguntas

Escritos os parâmetros, Seguinte leva ao ecrã de contas:

3 · A pergunta ao contrário

É o modo que se esquece: em vez de escrever o x, escreve-se a probabilidade na caixa da direita e deixa-se o x em branco. A máquina devolve o x.

É assim que se respondem os itens do tipo «acima de que valor estão os 10% mais altos» sem tabelas nenhumas — e é assim que se calcula a margem de erro de um intervalo de confiança, no capítulo da Inferência.

1 · O modo de exame

Está em home›Definições›Modo de exame, quase no fim da lista. A máquina reconhece o país pela sua configuração e oferece o modo que aqui se usa:

Com o modo ligado, uma luz vermelha intermitente acende na parte de cima da máquina. É o que o vigilante vê da mesa. Não se sai do modo de exame sem ligar a máquina a um computador. Liga-o em casa, na véspera, e confirma que a luz acende. Depois de o ligar, confirma as definições — o valor do ângulo e o formato dos complexos. Começas de uma máquina limpa, e é o pior momento para descobrir que está em graus.

2 · O que a folha de prova quer ver

Nos itens que dizem «recorrendo às capacidades gráficas da calculadora», a cotação está no que se escreve, não no número. Uma resposta completa tem:

as funções introduzidas, escritas; a janela usada — os valores mínimo e máximo dos dois eixos; um esboço do que se viu, com o ponto assinalado; o valor lido, arredondado como o enunciado pede.

3 · Uma lista para a véspera

Pilha carregada. Modo de exame testado, e a luz a acender. Valor do ângulo em radianos. Complexos em cartesiana, se o exame os tiver. Saber onde está o Cálculo do gráfico sem procurar.