Geometria Analítica

Do volume do prisma tira-se a altura; e H, sendo o centro da base superior, tem metade das coordenadas de G no plano e a cota igual à altura.

1. A base. [OFGE] é um quadrado no plano xOy com um vértice na origem e o oposto em G(4,4,0), logo o lado é 4 e A_{\text{base}} = 4\times 4 = 16.
2. A altura do prisma. 96 = 16 \times h \quad\Leftrightarrow\quad h = 6.
3. O ponto H. É o centro da base superior, que está no plano z = 6. O centro de um quadrado é o ponto médio da diagonal, e a diagonal da base superior vai de (0,0,6) a (4,4,6): H = \left(\frac{0+4}{2},\ \frac{0+4}{2},\ 6\right) = (2,\,2,\,6). \; \squareA pirâmide serve outras alíneas da prova; para esta, o que conta é só o prisma. Repare em que H é ao mesmo tempo o vértice da pirâmide e o centro de uma face do prisma — é isso que liga os dois sólidos.

A cota de V é a soma de duas alturas iguais: a do cubo e a da pirâmide. Daí sai a aresta.

1. A aresta do cubo. A face inferior do cubo está no plano xOy, e a pirâmide assenta na face superior. Como a altura da pirâmide é igual à aresta do cubo, a cota de V é o dobro da aresta: 2\,\overline{UQ} = z_{V} = 12 \quad\Leftrightarrow\quad \overline{UQ} = 6. \; \square
2. As coordenadas de U. Com aresta 6 e três arestas sobre os semieixos positivos, o cubo ocupa [0,6]^{3}, e U é o vértice da face superior oposto a S: U(6,\,6,\,6).
3. A distância pedida. \overline{UV} = \|(3-6,\ 3-6,\ 12-6)\| = \|(-3,\,-3,\,6)\| = \sqrt{9+9+36} = \sqrt{54}.
4. \sqrt{54} = \sqrt{9\times 6} = 3\sqrt{6}. \; \squareO segmento [UV] é uma aresta lateral da pirâmide. Vale a pena confirmar por outro caminho: a meia-diagonal da base é 3\sqrt2 e a altura é 6, logo \overline{UV} = \sqrt{18+36} = \sqrt{54} ✓ — a mesma conta, vista do triângulo retângulo [UMV].

Uma reta paralela a Oy tem x e z fixos e y livre.

1. Numa reta paralela ao eixo Oy, a variável que percorre \mathbb{R} é y, e as outras duas ficam constantes.
2. x = 2 \wedge z = 1 fixa exatamente x e z e deixa y livre: opção (B).
3. As outras: (A) fixa as três e define um ponto; (C) define a reta x=y=z, que não é paralela a nenhum eixo; (D) fixa só uma e define um plano.

Cada igualdade define um plano. Dois planos não paralelos intersetam-se segundo quê?

1. x = 0 é o plano yOz; z = 3 é um plano paralelo a xOy.
2. Os dois não são paralelos entre si — as normais (1,0,0) e (0,0,1) não são colineares —, logo intersetam-se.
3. A variável livre é y: o conjunto é a reta paralela ao eixo Oy que passa em (0,\,0,\,3).
4. A opção correta é a (C).Duas igualdades tiram dois graus de liberdade dos três do espaço, e sobra um — que é a dimensão de uma reta.

A e D são vértices consecutivos da face [ABCD]: a distância entre eles é a aresta.

1. A aresta. [AD] é um lado da face [ABCD], logo é uma aresta do cubo: \overline{AD} = \|(-6,\,-2,\,3)\| = \sqrt{36+4+9} = \sqrt{49} = 7.
2. V = 7^{3} = 343.
3. Confirmação. [AE] também é uma aresta: \overline{AE} = \|(-2,\,-3,\,-6)\| = \sqrt{4+9+36} = 7 \ ✓ e as duas são perpendiculares: (-6,-2,3)\cdot(-2,-3,-6) = 12+6-18 = 0 ✓Fazer as duas verificações custa dez segundos e apanha o erro mais comum destes itens: tomar por aresta um segmento que é, afinal, uma diagonal. Se \overline{AD} fosse a diagonal de uma face, o valor seria 7\sqrt2 \approx 9{,}9 — e o volume, outro.

Uma reta perpendicular a um plano tem a direção da normal desse plano. Qual é a normal de yOz?

1. O plano yOz tem equação x = 0, e portanto vetor normal (1,\,0,\,0) — a direção do eixo Ox.
2. Uma reta perpendicular ao plano tem a direção da normal, logo r é paralela ao eixo Ox (ou coincide com ele).
3. A opção correta é a (D).
4. As outras falham: sendo paralela a Ox, r é paralela ao plano xOy ou está nele, mas não lhe é perpendicular (A); só está contida em xOy se tiver cota nula, o que não é forçoso (B); e é paralela a Ox, não perpendicular (C).A palavra «necessariamente» é a chave: basta um contraexemplo para derrubar uma opção. A reta y = 0 \wedge z = 5 é perpendicular a yOz e não está em xOy.

Comece por ler a figura: [QR] é uma aresta lateral, e não um lado da base. Daí sai a área de cada face lateral, e com ela o lado da base.

1. Ler a figura. As bases são os triângulos equiláteros [ORT] e [PQS], em planos paralelos a yOz; as arestas laterais são [OP], [RQ] e [TS], paralelas ao eixo Ox. Logo \overline{QR} = 6 é o comprimento da aresta lateral, ou seja, a altura do prisma.
2. O lado da base. A área lateral são três retângulos iguais, cada um de área 72 \div 3 = 24: 24 = \ell \times 6 \quad\Leftrightarrow\quad \ell = 4.
3. Os vértices que se lêem de imediato. O(0,0,0), R(0,4,0) (em Oy, à distância 4) e P(6,0,0) (em Ox, à distância 6). O ponto Q, no outro extremo da aresta lateral que sai de R, é Q(6,\,4,\,0) — e confirma-se \overline{QR} = 6 ✓
4. O ponto S. É o terceiro vértice do triângulo equilátero [PQS], no plano x = 6. A sua ordenada é a do ponto médio de [PQ], ou seja 2; e a cota é a altura do triângulo equilátero de lado 4: h = \sqrt{4^{2}-2^{2}} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.
5. S\left(6,\ 2,\ 2\sqrt{3}\right).Trocar a aresta lateral com o lado da base leva a uma resposta completamente diferente — e as duas leituras são compatíveis com o texto do enunciado. É a figura que decide: repare em que Q e R estão em bases diferentes.

Uma face lateral é um triângulo isósceles: dois lados são arestas laterais (iguais entre si) e o terceiro é um lado da base.

1. A base. É paralela a xOy e A tem cota 7, logo toda a base está em z = 7. Como C está em Oz, C(0,0,7); e o centro E é o ponto médio de [AC]: E(4,\,4,\,7).
2. Os outros dois vértices são simétricos em relação a E: B+D = 2E = (8,8,14), com B de abcissa nula e D de ordenada nula: B(0,\,8,\,7), \qquad D(8,\,0,\,7). O lado da base é \overline{DA} = \|(0,8,0)\| = 8.
3. O vértice. A pirâmide é regular, logo V está na vertical de E; e pertence a xOy, logo tem cota nula: V(4,\,4,\,0).
4. A aresta lateral. \overline{DV} = \|(-4,\,4,\,-7)\| = \sqrt{16+16+49} = \sqrt{81} = 9, e, por regularidade, \overline{AV} = 9 também.
5. P_{[DAV]} = \overline{DA}+\overline{DV}+\overline{AV} = 8+9+9 = 26.Que a raiz dê exatamente 9 é o sinal de que os vértices estão certos: numa pirâmide regular, todas as arestas laterais são iguais, e um número «feio» aqui denunciaria um erro na localização de B, D ou V.

T e U estão os dois na face de cima do prisma. Que coordenadas têm em comum?

1. Os vértices. De U(2,2,4), a base é um quadrado de lado 2 e a altura é 4: O(0,0,0),\ P(2,0,0),\ Q(2,2,0),\ R(0,2,0),\ S(0,0,4),\ T(2,0,4),\ U(2,2,4),\ V(0,2,4).
2. O que T e U têm em comum. Ambos têm abcissa 2 e cota 4; o que varia entre eles é a ordenada. Logo a reta TU é paralela ao eixo Oy e x = 2 \ \wedge \ z = 4.
3. Outra leitura. A reta TU é a interseção do plano PTU (que é x = 2) com o plano STU (que é z = 4).Numa equação vetorial, a mesma reta seria (x,y,z) = (2,0,4)+k(0,1,0). Quando o enunciado pede «uma condição», a forma cartesiana costuma ser mais rápida — desde que a reta seja paralela a um eixo.

Pela figura, A está no semieixo negativo Ox. Em 19.2, interseta a reta com a circunferência e escolhe a solução que a figura mostra.

1. 19.1. A está no eixo Ox e na circunferência de raio 5, e pela figura tem abcissa negativa: A(-5,\,0).
2. Com declive \dfrac{1}{2} e passando em A: y = \dfrac{1}{2}(x+5), ou seja 2y = x+5, isto é x-2y+5 = 0. \quad \square
3. 19.2. B está na reta e na circunferência. Da reta, x = 2y-5. Substituindo em x^{2}+y^{2} = 25: (2y-5)^{2}+y^{2} = 25 \;\Leftrightarrow\; 4y^{2}-20y+25+y^{2} = 25 \;\Leftrightarrow\; 5y^{2}-20y = 0.
4. 5y(y-4) = 0 \;\Leftrightarrow\; y = 0 \;\vee\; y = 4.
5. A y = 0 corresponde x = -5, que é o ponto A. A y = 4 corresponde x = 2\times 4-5 = 3, logo B(3,\,4). \squareFatorizar em vez de aplicar a fórmula resolvente é mais rápido e não perde soluções — aqui o termo independente anula-se, e é isso que torna a fatorização imediata.

Dois pontos, (2,0) e (0,6). A ordenada na origem já lá está.

1. Passa em (0,\,6), logo b = 6 — o que exclui (C) e (D).
2. m = \dfrac{0-6}{2-0} = -3.
3. Logo y = -3x+6: opção (A).

Localize primeiro U e Q. A aresta que os une é vertical — logo duas coordenadas ficam fixas e a terceira varia num intervalo.

1. Do enunciado e de U(2,2,2), a aresta do cubo mede 2 e os vértices são O(0,0,0), P(2,0,0), Q(2,2,0), R(0,2,0), S(0,0,2), T(2,0,2), U(2,2,2) e V(0,2,2).
2. U(2,2,2) e Q(2,2,0) só diferem na cota: a aresta [UQ] é vertical.
3. Como é um segmento, e não uma reta, a cota tem de ficar limitada: x = 2 \;\wedge\; y = 2 \;\wedge\; 0 \leq z \leq 2.
4. Escrever só x = 2 \wedge y = 2 definiria a reta inteira, que é mais do que a aresta.É a diferença entre «reta» e «segmento» posta em condições: as duas igualdades dão a direção, a dupla desigualdade corta-lhe os extremos.

O volume do sólido é o do cubo mais o da pirâmide. Falta a área da base da pirâmide — que é o quadrado dos pontos médios, e não o [OPQR].

1. O cubo. De Q(2,2,0) e da posição de P e R nos eixos, a aresta é 2: V_{\text{cubo}} = 2^{3} = 8.
2. O volume da pirâmide. V_{\text{pirâmide}} = 10-8 = 2.
3. A base da pirâmide. Os seus vértices são os pontos médios dos lados de [OPQR]: A(1,0,0), B(2,1,0), C(1,2,0) e D(0,1,0). O lado é \overline{AB} = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}, \qquad A_{\text{base}} = \left(\sqrt{2}\right)^{2} = 2.
4. A altura. Como a base está no plano xOy, a altura é a cota de E: 2 = \frac{1}{3}\times 2\times z_{E} \quad\Leftrightarrow\quad z_{E} = 3.O quadrado dos pontos médios tem metade da área do original — aqui, 2 contra 4. É um resultado que vale a pena reconhecer: liga os dois quadrados sem calcular lado nenhum.

Refletir no plano xOy troca o sinal da cota. E a reta VW fica paralela a um dos eixos — falta só limitar as cotas.

1. O ponto W. A reflexão no plano xOy mantém a abcissa e a ordenada e troca o sinal da cota: W(1,\,2,\,-6).
2. A reta VW. V e W têm a mesma abcissa e a mesma ordenada, logo a reta é paralela ao eixo Oz: x = 1 \ \wedge \ y = 2.
3. O segmento. Falta limitar a cota entre as dos dois extremos: x = 1 \ \wedge \ y = 2 \ \wedge \ -6 \le z \le 6.É a diferença que estes itens querem testar: a mesma reta com ou sem a restrição da terceira coordenada dá uma reta ou um segmento. Esquecer a desigualdade é o erro típico.

As faces laterais são três retângulos, todos de altura 8. Falta saber a base de cada um — ou seja, os lados do triângulo [ABC].

1. Os vértices. As arestas laterais são perpendiculares à base [ABC], que está em xOy: são verticais, de comprimento 8 (a cota de E). Logo B(0,\,3,\,0), \qquad D(4,\,0,\,8). E como F é o simétrico de E em relação ao plano xOz (que troca o sinal da ordenada), F(0,\,-3,\,8) e C(0,\,-3,\,0).
2. Os lados da base. \overline{AB} = \|(-4,\,3,\,0)\| = 5 = \overline{AC}, \qquad \overline{BC} = \|(0,\,-6,\,0)\| = 6. (Confirma-se o triângulo isósceles.)
3. As três faces laterais são retângulos de altura 8: A_{\ell} = 5\times 8 + 5\times 8 + 6\times 8 = 40+40+48 = 128.«Prisma não regular» significa apenas que a base não é um polígono regular — o prisma continua a ser reto, como o enunciado diz ao garantir que as arestas laterais são perpendiculares às bases. É isso que faz das faces laterais retângulos, e não paralelogramos quaisquer.

A ordenada na origem é 2. Quanto ao declive, repare em que a reta desce e passa em (2,\,0).

1. Passando em (0,\,2), vem b = 2 — todas as opções o respeitam.
2. m = \frac{0-2}{2-0} = -1.
3. Logo y = -x+2: opção (C).

Vale a pena pôr coordenadas: base [OPQR] de lado 2 no plano xOy, com O na origem. O prisma é a redução da base a metade, a partir do centro — e os seus vértices de cima ficam a meia altura das arestas laterais.

1. Coordenadas de trabalho. Com O(0,0,0), P(2,0,0), Q(2,2,0), R(0,2,0) e V(1,1,h), a base do prisma é o quadrado de metade do lado, centrado no mesmo ponto: A(1{,}5;\ 0{,}5;\ 0),\quad B(1{,}5;\ 1{,}5;\ 0),\quad C(0{,}5;\ 1{,}5;\ 0),\quad D(0{,}5;\ 0{,}5;\ 0), e E, F, G, H por cima destes, à cota \frac{h}{2} — cada um no meio de uma aresta lateral.
2. a) concorrentes. D e Q estão ambos na diagonal OQ da base, logo a reta DQ é a reta OQ. E F está na aresta [QV], logo a reta VF é a reta QV. As duas encontram-se em Q.
3. b) AB (entre outras). A reta EH é paralela a Ox e está à cota \frac{h}{2}; a reta AB é paralela a Oy e está à cota 0. Não são paralelas nem se encontram: são não complanares. Servem igualmente OP, QR ou CD.
4. c) paralelos. O plano HGB contém a direção de [HG], que é paralela a Oy; a reta PQ também é paralela a Oy. Como P não pertence ao plano, a reta é estritamente paralela a ele.
5. d) concorrentes. Os pontos A, D e H têm todos ordenada 0{,}5, logo o plano ADH é y = 0{,}5. A reta FQ (que é a reta QV) não é paralela a esse plano — a ordenada varia ao longo dela — logo corta-o num ponto.
6. e) PQR (o plano da base). Os pontos B, Q e V têm todos abcissa igual à ordenada, logo o plano BQV é x = y: um plano vertical. E todo o plano vertical é perpendicular ao plano horizontal PQR, que é z = 0.Nas alíneas b) e e) há muitas respostas certas. Em itens de preencher espaços, convém escolher a mais fácil de justificar — e, se houver tempo, dizer numa linha porquê.

Conhece dois pontos: (2,\,0) e (0,\,8). A ordenada na origem lê-se de imediato; falta o declive.

1. A reta passa em (0,\,8), logo b = 8 — o que exclui as opções (C) e (D).
2. m = \frac{0-8}{2-0} = -4.
3. Logo y = -4x+8: opção (A).O sinal do declive vê-se na figura sem contas: a reta desce da esquerda para a direita, logo m < 0, e só a opção (A) o tem.

A base é um quadrado de lado 5. Use a fórmula do volume da pirâmide para achar a altura, e lembre-se de que W está por cima do centro do quadrado.

1. A base [OPQR] é um quadrado de lado \overline{OP} = 5, logo tem área 25.
2. Cálculo auxiliar: do volume da pirâmide, V = \frac{1}{3} \times A_{b} \times h \;\Leftrightarrow\; 75 = \frac{1}{3}\times 25 \times h \;\Leftrightarrow\; h = 9.
3. W é o centro da base superior, logo está na vertical do centro do quadrado [OPQR], que é \left(\dfrac{5}{2},\,\dfrac{5}{2},\,0\right), à altura h.
4. Logo W\left(\dfrac{5}{2},\;\dfrac{5}{2},\;9\right).

Repare na direção da aresta [QN]: é paralela a um dos eixos. E a abcissa de V lê-se sem contas, porque a pirâmide é regular.

1. A direção de QN. A face superior do cubo é [NOPQ], com O na origem, P em Ox e aresta 4: N(0,-4,0) e Q(4,-4,0). Logo \overrightarrow{QN} = (-4,\,0,\,0), paralelo ao eixo Ox.
2. Um plano perpendicular a Ox tem equação da forma x = k.
3. A abcissa de V. A pirâmide é regular e assenta na face [NOPQ], logo V está na vertical do centro dessa face, que tem abcissa 2 — metade da de Q.
4. x = 2.A altura da pirâmide não é dada — e não faz falta: o plano é vertical, e a cota de V não entra numa equação da forma x = k. Quando um dado não aparece na resposta, vale a pena perguntar porquê; aqui, a razão é geométrica.

Numa reta paralela ao eixo Oy, a ordenada varia e as outras duas coordenadas ficam presas aos valores do ponto dado.

1. Uma reta paralela ao eixo Oy tem vetor diretor (0,\,1,\,0): nela, a ordenada percorre \mathbb{R} e a abcissa e a cota são constantes.
2. Essas constantes são as do ponto por onde a reta passa, G(6,\,9,\,15): x = 6 \ \wedge \ z = 15.
3. A mesma reta, por uma equação vetorial: (x,y,z) = (6,\,9,\,15)+k(0,\,1,\,0), \quad k \in \mathbb{R}.A condição cartesiana lê-se como a interseção de dois planos: x = 6 é um plano perpendicular a Ox e z = 15 um plano perpendicular a Oz. Dois planos concorrentes intersetam-se numa reta — e é esta.

Um ponto está numa aresta quando duas das suas coordenadas são 0 ou 2, e só a terceira varia entre 0 e 2.

1. O cubo é 0 \leq x \leq 2 \wedge 0 \leq y \leq 2 \wedge 0 \leq z \leq 2. Numa aresta, duas coordenadas estão fixas nos extremos e a terceira percorre [0,2].
2. (1,1,2): só a cota está num extremo — está no interior de uma face, não numa aresta.
3. (1,2,0): a ordenada vale 2 e a cota vale 0, ambas nos extremos, e a abcissa 1 está entre 0 e 2. Está numa aresta.
4. (0,1,1): só a abcissa está num extremo — interior de uma face. (1,1,1): nenhuma nos extremos — é o centro do cubo.
5. A opção correta é a (B).

Paralela quer dizer mesmo declive. E A está no eixo Oy, o que dá a ordenada na origem sem contas.

1. A reta r tem declive 2, logo a paralela também.
2. A(0,\,-2) está no eixo Oy, portanto a ordenada na origem é -2.
3. A reta pedida é y = 2x-2.

Retas paralelas têm o mesmo declive. Calcule o de AB.

1. m_{AB} = \frac{4-3}{2-(-1)} = \frac{1}{3}.
2. Uma reta paralela tem o mesmo declive, \dfrac{1}{3}: opção (B).A opção (A) é o simétrico e a (C) é o inverso — nenhum dos dois dá paralelismo. O declive -\dfrac{1}{3} daria até uma reta que corta AB.

O plano x = 1 contém o eixo do cilindro — repare em que A, B e C têm todos abcissa 1. Que figura é então a secção?

1. O raio. B está na circunferência da base e A é o centro: r = \overline{AB} = \|(0,\,1,\,0)\| = 1.
2. Que plano é x = 1. Os pontos A(1,2,0) e C(1,2,3) — os centros das duas bases — têm abcissa 1, logo o plano x = 1 contém o eixo do cilindro.
3. Um plano que contém o eixo corta o cilindro segundo um retângulo, com um lado igual ao diâmetro da base e o outro igual à altura: A_{\text{secção}} = 2r \times h = 2 \times 3 = 6.Se o plano fosse, por exemplo, x = 1{,}5, ainda cortaria o cilindro num retângulo, mas mais estreito: a largura seria a corda 2\sqrt{r^{2}-d^{2}}, com d a distância do eixo ao plano. Aqui d = 0, e a corda é o diâmetro.

Determine A fazendo y = 0 e B fazendo x = 0. Depois é a média das coordenadas.

1. Cálculo auxiliar: com y = 0, 0 = 2x+4 \Leftrightarrow x = -2, logo A(-2,\,0). Com x = 0, y = 4, logo B(0,\,4).
2. Ponto médio: M\left(\dfrac{-2+0}{2},\;\dfrac{0+4}{2}\right) = (-1,\,2).
3. A opção correta é a (B).A opção (D) dá o ponto (-2,4), que junta a abcissa de A à ordenada de B sem fazer médias — o engano mais frequente neste tipo de item.

a) Duas condições: o vetor diretor tem de ser colinear com (-5,-1,7) e a reta tem de passar em A. Comece por localizar A.

b) O centro de uma superfície esférica que passa nos oito vértices de um cubo é o centro do cubo — o ponto médio de qualquer diagonal espacial. E [FC] é uma diagonal espacial.

1. a) A está no semieixo positivo Oy com \overline{OA} = 4, logo A(0,\,4,\,0).
2. Das quatro opções, só a (C) e a (D) têm vetor diretor colinear com (-5,-1,7) — ambas (5,1,-7) = -(-5,-1,7). As opções (A) e (B) têm diretores com terceira coordenada nula.
3. Falta ver qual passa em A(0,4,0).

   (C): (-10+5k,\ 2+k,\ 14-7k); de -10+5k = 0 vem k = 2, e então (0,\,4,\,0) ✓ (D): (10+5k,\ 2+k,\ -14-7k); de 10+5k = 0 vem k = -2, e então (0,\,0,\,0) \ne A ✗

   A opção correta é a (C).
4. b) O ponto C. Pertence ao plano ABC, de equação x = 0, e à reta FC. Da equação da reta, (-5-5k,\ 2-k,\ 14+7k): -5-5k = 0 \quad\Leftrightarrow\quad k = -1 \quad\Rightarrow\quad C(0,\,3,\,7).
5. O ponto F. Pertence ao plano xOy, logo tem cota nula: 14+7k = 0 \quad\Leftrightarrow\quad k = -2 \quad\Rightarrow\quad F(5,\,4,\,0).
6. O centro e o raio. [FC] é uma diagonal espacial do cubo, logo o centro da superfície esférica é o seu ponto médio: M = \left(\frac{0+5}{2},\ \frac{3+4}{2},\ \frac{7+0}{2}\right) = \left(\frac{5}{2},\ \frac{7}{2},\ \frac{7}{2}\right), r = \frac{\overline{FC}}{2} = \frac{\sqrt{25+1+49}}{2} = \frac{\sqrt{75}}{2}.
7. \left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{7}{2}\right)^{2}+\left(z-\frac{7}{2}\right)^{2} = \frac{75}{4}.Confirmação da aresta: \overline{FC} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}, e a diagonal espacial de um cubo de aresta a é a\sqrt{3} — logo a = 5. E \overline{AC} = \|(0,-1,7)\| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}, a diagonal de uma face ✓

As arestas [AG] e [DH] são paralelas, logo partilham vetor diretor. Escreva a reta AG, e use o facto de A estar no eixo Ox para a localizar.

1. Sendo AG paralela a DH, tem o mesmo vetor diretor (1,\,3,\,0). Como G(6,9,0) lhe pertence: (x,y,z) = (6,\,9,\,0)+k(1,\,3,\,0), \quad k \in \mathbb{R}.
2. Um ponto genérico é (6+k,\; 9+3k,\; 0). Estando A no eixo Ox, tem ordenada nula: 9+3k = 0 \;\Leftrightarrow\; k = -3 \;\Rightarrow\; A(3,\,0,\,0).
3. A, B e G têm cota nula, logo o plano ABG é o plano xOy. Assim D tem a abcissa e a ordenada de A e a cota de C: D(3,\,0,\,4).
4. Cálculo auxiliar: \overrightarrow{DF} = \overrightarrow{CG} = G-C = (6,\,3,\,-4), donde F = D + \overrightarrow{DF} = (3,0,4)+(6,3,-4) = (9,\,3,\,0).
5. O raio é \overline{AF} = \sqrt{(9-3)^{2}+(3-0)^{2}+0^{2}} = \sqrt{36+9} = \sqrt{45}.
6. A superfície esférica é (x-3)^{2}+y^{2}+z^{2} = 45.Não é preciso simplificar \sqrt{45}: o que entra na equação é r^{2}, e esse é exatamente 45.

Escreva a equação do plano mediador — sai muito simples — ou teste cada opção comparando as distâncias a P e a Q.

1. Cálculo auxiliar: ponto médio de [PQ]: (0,\,2,\,2); \overrightarrow{PQ} = (0,\,4,\,-4), que se simplifica para \vec{n}(0,\,1,\,-1).
2. Plano mediador: 0(x-0)+1(y-2)-1(z-2) = 0 \;\Leftrightarrow\; y-z = 0, isto é, y = z.A abcissa não aparece na equação: o plano é paralelo ao eixo Ox, e por isso a primeira coordenada das opções é irrelevante.
3. Testando as opções: (1,0,0) dá 0 = 0 ✓; (1,2,0) dá 2 \neq 0; (2,1,0) dá 1 \neq 0; (1,0,2) dá 0 \neq 2.
4. Confirmação pela definição, para a opção (A): \overline{PA} = \sqrt{1+0+16} = \sqrt{17} e \overline{QA} = \sqrt{1+16+0} = \sqrt{17} ✓

Um ponto pertence ao plano mediador de [AV] exatamente quando está à mesma distância de A e de V. Não é preciso escrever a equação do plano.

1. Do enunciado e de U(2,2,2): a aresta do cubo mede 2, e os vértices são O(0,0,0), P(2,0,0), Q(2,2,0), R(0,2,0), S(0,0,2), T(2,0,2), U(2,2,2) e V(0,2,2).
2. O ponto A tem coordenadas (0,\,0,\,4).
3. Cálculo auxiliar: \overline{TA} = \sqrt{(0-2)^{2}+(0-0)^{2}+(4-2)^{2}} = \sqrt{4+0+4} = \sqrt{8}, \overline{TV} = \sqrt{(0-2)^{2}+(2-0)^{2}+(2-2)^{2}} = \sqrt{4+4+0} = \sqrt{8}.
4. As duas distâncias são iguais, logo T pertence ao plano mediador de [AV].
5. Confirmação pela equação: o ponto médio de [AV] é (0,1,3) e \overrightarrow{AV} = (0,2,-2); o plano mediador é 2(y-1)-2(z-3) = 0, ou seja y-z+2 = 0. Substituindo T(2,0,2): 0-2+2 = 0 ✓

Identifique primeiro que vértices são esses dois pontos. Ficará com uma diagonal da base — e o plano mediador de uma diagonal de um quadrado contém a outra diagonal.

1. Com D(0,2,0) e [CD] no eixo Oy, vem C(0,\,4,\,0). A face está em xOy e a aresta mede 2, logo A(2,\,2,\,0) e B(2,\,4,\,0).
2. Os dois pontos dados são, portanto, A e C — os extremos de uma diagonal da face [ABCD].
3. Num quadrado, as diagonais são perpendiculares e bissetam-se: o plano mediador de [AC] é o plano perpendicular à face que contém a outra diagonal, [BD].
4. Esse plano contém B, D e o vértice de cima H: é o plano BDH.
5. Confirmação por coordenadas: \overrightarrow{AC} = (-2,\,2,\,0) serve de vetor normal, e o plano por B(2,4,0) com essa normal é -2(x-2)+2(y-4) = 0, ou seja y = x+2. O ponto médio de [AC] é (1,3,0), e 3 = 1+2 ✓; D(0,2,0) dá 2 = 0+2 ✓; H(0,2,2) dá 2 = 0+2 ✓

Comece por determinar as coordenadas de C: está no semieixo positivo Ox e na circunferência de raio 3.

1. C pertence ao eixo Ox, logo tem ordenada nula; e pertence à circunferência de centro na origem e raio 3, logo C(3,\,0).
2. Cálculo auxiliar: ponto médio de [BC]: M\left(\dfrac{6+3}{2},\dfrac{3+0}{2}\right) = \left(\dfrac{9}{2},\,\dfrac{3}{2}\right); declive de BC: \dfrac{3-0}{6-3} = 1.
3. A mediatriz é perpendicular a [BC], logo tem declive -1. Passando em M: \frac{3}{2} = -\frac{9}{2}+b \;\Leftrightarrow\; b = 6.
4. Logo a mediatriz é y = -x+6, como se pretendia.
5. Verificação: \overline{MB} = \sqrt{\left(6-\frac{9}{2}\right)^{2}+\left(3-\frac{3}{2}\right)^{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}+\frac{9}{4}} e \overline{MC} dá o mesmo ✓Também se podia partir de \overline{PB} = \overline{PC} e desenvolver; dá mais contas, mas é o caminho que dispensa saber a relação dos declives, que só se estuda no 11.º ano.

Em 2.1, repare em que B e C estão no eixo Oy, com as ordenadas de A e de D. Em 2.2, o caminho mais curto é o ponto médio mais o declive perpendicular.

1. 2.1. Sendo o trapézio retângulo e estando B e C no eixo Oy com as ordenadas de A e de D, vem B(0,\,7) e C(0,\,10).
2. Base menor \overline{BA} = 4; base maior \overline{CD} = 8; altura \overline{BC} = 10-7 = 3.
3. A_{[ABCD]} = \frac{4+8}{2}\times 3 = 18.
4. 2.2. Cálculo auxiliar: ponto médio de [AD]: M\left(\dfrac{4+8}{2},\dfrac{7+10}{2}\right) = \left(6,\,\dfrac{17}{2}\right); declive de AD: \dfrac{10-7}{8-4} = \dfrac{3}{4}.
5. A mediatriz é perpendicular a [AD], logo tem declive -\dfrac{4}{3}. Passando em M: \frac{17}{2} = -\frac{4}{3}\times 6 + b \;\Leftrightarrow\; \frac{17}{2} = -8+b \;\Leftrightarrow\; b = \frac{33}{2}.
6. Logo a mediatriz é y = -\dfrac{4}{3}x + \dfrac{33}{2}.
7. Verificação pela definição: de (x-4)^{2}+(y-7)^{2} = (x-8)^{2}+(y-10)^{2} sai 8x+6y = 99, ou seja y = -\dfrac{4}{3}x+\dfrac{33}{2} ✓Os dois caminhos — pela definição e pela perpendicular no ponto médio — têm de dar o mesmo. Fazer um e conferir com o outro custa trinta segundos e apanha erros de sinal.

Por simetria, o centro da circunferência está no eixo Oy. Escreva-o como C(0,\,k) e imponha que dista o mesmo do vértice e de um dos pontos de interseção.

1. O vértice da parábola é V(0,\,-1).
2. Cálculo auxiliar: interseção com s: x^{2}-1 = a \;\Leftrightarrow\; x^{2} = a+1 \;\Leftrightarrow\; x = \pm\sqrt{a+1}, o que faz sentido porque a > -1. Os pontos são P\left(\sqrt{a+1},\,a\right) e Q\left(-\sqrt{a+1},\,a\right).
3. Os três pontos são simétricos em relação ao eixo Oy, logo o centro da circunferência está nesse eixo: C(0,\,k).É a mediatriz de [PQ] — que é o eixo Oy — a garanti-lo. Poupa metade das contas em relação a resolver um sistema com duas incógnitas.
4. Impondo \overline{CV} = \overline{CP} e elevando ao quadrado: (k+1)^{2} = (a+1) + (k-a)^{2}.
5. Desenvolvendo: k^{2}+2k+1 = a+1+k^{2}-2ak+a^{2}, donde 2k+2ak = a+a^{2} \;\Leftrightarrow\; 2k(1+a) = a(1+a).
6. Como a > -1, tem-se 1+a \neq 0 e pode dividir-se: k = \dfrac{a}{2}.
7. O raio é \overline{CV} = \left|\dfrac{a}{2}-(-1)\right| = \left|\dfrac{a}{2}+1\right| = \dfrac{a}{2}+1, porque a > -1 implica \dfrac{a}{2}+1 > \dfrac{1}{2} > 0.