Números Complexos

São quatro potências consecutivas de i. Reduz cada expoente ao resto da divisão por 4 — ou lembra-te de que a soma de quatro consecutivas é sempre a mesma.

1. 2027 = 4 \times 506 + 3 ⟹ i^{2027} = i^{3} = -i
2. 2028 = 4 \times 507 ⟹ i^{2028} = i^{0} = 1
3. 2029 = 4 \times 507 + 1 ⟹ i^{2029} = i  ·  2030 = 4 \times 507 + 2 ⟹ i^{2030} = -1
4. Soma: -i + 1 + i - 1 = 0.Quaisquer quatro potências consecutivas de i somam 0 — vale a pena guardar.

Isola z^{2} e escreve a raiz de um número negativo com i: \sqrt{-k} = i\sqrt{k}, com k > 0. Uma equação do 2.º grau em ℂ tem sempre duas soluções.

1. a) z^{2} = -25 \Leftrightarrow z = \pm\sqrt{-25} = \pm 5i
2. b) 4z^{2} = -9 \Leftrightarrow z^{2} = -\dfrac{9}{4} \Leftrightarrow z = \pm\dfrac{3}{2}i
3. Confirmação: (5i)^{2} = 25i^{2} = -25 ✓ e 4\left(\dfrac{3}{2}i\right)^{2} = 4 \times \left(-\dfrac{9}{4}\right) = -9 ✓

As potências de i repetem-se de 4 em 4: 1,\, i,\, -1,\, -i. Pergunta-te qual é o resto da divisão de n por 4 que dá -i.

1. i^{n} = i^{r}, sendo r o resto da divisão de n por 4.
2. Como i^{0} = 1, i^{1} = i, i^{2} = -1 e i^{3} = -i, tem-se i^{n} = -i exatamente quando r = 3.
3. Ou seja, n é da forma n = 4k + 3, com k \in \mathbb{N}_{0}: 3, 7, 11, 15, \ldots

Divide o expoente por 4 e fica só com o resto: i^{n} = i^{r}.

1. 15 = 4 \times 3 + 3 ⟹ i^{15} = i^{3} = -i
2. 40 = 4 \times 10 ⟹ i^{40} = i^{0} = 1
3. 102 = 4 \times 25 + 2 ⟹ i^{102} = i^{2} = -1
4. 2025 = 4 \times 506 + 1 ⟹ i^{2025} = i^{1} = i

Só interessa o resto da divisão de 2023 por 4.

1. 2023 = 4 \times 505 + 3, logo o resto é 3.
2. i^{2023} = i^{3} = -i.

Isola z^{2} e usa \sqrt{-k} = i\sqrt{k}, com k > 0. Em ℂ há sempre duas soluções.

1. a) z^{2} = -7 \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt{7}
2. b) z^{2} = -\dfrac{16}{9} \Leftrightarrow z = \pm\dfrac{4}{3}i
3. c) z^{2} = -\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow z = \pm\dfrac{i}{\sqrt{2}} = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}i

Reduz cada potência ao resto por 4 e só depois soma. Atenção aos sinais de subtração.

1. 10 = 4 \times 2 + 2 ⟹ i^{10} = -1; 15 = 4 \times 3 + 3 ⟹ i^{15} = -i
2. 20 = 4 \times 5 ⟹ i^{20} = 1; 25 = 4 \times 6 + 1 ⟹ i^{25} = i
3. Substituindo: -1 - (-i) + 1 - i = -1 + i + 1 - i = 0

Quatro potências consecutivas de i somam 0. Quantos grupos completos de quatro cabem em 2026 parcelas? E o que sobra?

1. Agrupando de quatro em quatro a partir de i^{1}: i - 1 - i + 1 = 0.
2. 2026 = 4 \times 506 + 2: há 506 grupos completos (soma 0) e sobram duas parcelas, i^{2025} e i^{2026}.
3. i^{2025} = i e i^{2026} = -1, logo a soma é i - 1 = -1 + i.

A fórmula resolvente também vale em ℂ: quando \Delta < 0, escreve \sqrt{\Delta} = i\sqrt{|\Delta|}.

1. \Delta = 2^{2} - 4 \times 1 \times 5 = 4 - 20 = -16
2. \sqrt{-16} = 4i, logo z = \dfrac{-2 \pm 4i}{2} = -1 \pm 2i
3. Verificação: (-1+2i)^{2} + 2(-1+2i) + 5 = (-3 - 4i) + (-2 + 4i) + 5 = 0 ✓

Põe i^{n} em evidência. O que sobra dentro do parêntesis já não depende de n.

1. i^{n} + i^{n+1} + i^{n+2} + i^{n+3} = i^{n}\left(1 + i + i^{2} + i^{3}\right)
2. 1 + i + i^{2} + i^{3} = 1 + i - 1 - i = 0
3. Logo a soma é i^{n} \times 0 = 0, qualquer que seja n. É por isto que o valor de i^{n} só depende do resto de n por 4: o ciclo fecha-se de quatro em quatro.

Estuda os quatro casos possíveis para o resto de n por 4 e, em cada um, calcula também o resto de 2n.

1. Se n = 4k+1: i^{n} = i e 2n = 8k+2 ⟹ i^{2n} = -1. Soma i - 1 \neq 0.
2. Se n = 4k+2: i^{n} = -1 e 2n = 8k+4 ⟹ i^{2n} = 1. Soma -1 + 1 = 0 ✓
3. Se n = 4k+3: i^{n} = -i e i^{2n} = -1. Soma -i - 1 \neq 0.
4. Se n = 4k: i^{n} = 1 e i^{2n} = 1. Soma 2 \neq 0.
5. Só o segundo caso serve: n dá resto 2 na divisão por 4, ou seja n = 2, 6, 10, 14, \ldots

Dois complexos são iguais quando têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária. Uma igualdade em ℂ vale por duas igualdades em ℝ.

1. Parte real: a + 2 = 3 \Leftrightarrow a = 1
2. Parte imaginária: b - 1 = -4 \Leftrightarrow b = -3Atenção ao sinal: a parte imaginária de 3 - 4i é -4, e não 4.
3. Confirmação: (1+2) + (-3-1)i = 3 - 4i ✓

Repara que 5 é o complexo 5 + 0i: a parte imaginária do segundo membro é zero.

1. Escrever o segundo membro na forma algébrica: 5 = 5 + 0i.
2. Parte real: 2a - 1 = 5 \Leftrightarrow a = 3
3. Parte imaginária: a + b = 0 \Leftrightarrow 3 + b = 0 \Leftrightarrow b = -3

Real ⟺ parte imaginária nula. Imaginário puro ⟺ parte real nula e parte imaginária não nula. Factoriza k^{2} - 3k + 2 antes de decidir: o mesmo factor aparece nas duas partes de z, e isso muda tudo.

1. \operatorname{Re}(z) = k - 1 e \operatorname{Im}(z) = k^{2} - 3k + 2 = (k-1)(k-2).Factorizar não é um enfeite: põe à vista que o factor k-1 é comum às duas partes.
2. a) z \in \mathbb{R} \Leftrightarrow (k-1)(k-2) = 0 \Leftrightarrow k = 1 \vee k = 2.
3. Com k = 1 vem z = 0; com k = 2 vem z = 1. Ambos reais ✓
4. b) imaginário puro \Leftrightarrow k - 1 = 0 \;\wedge\; (k-1)(k-2) \neq 0.
5. A primeira condição obriga a k = 1; mas com k = 1 o produto (k-1)(k-2) anula-se, e a segunda condição falha.As duas exigências puxam para lados opostos pelo mesmo factor: anular a parte real anula também a imaginária. Não há k nenhum — e uma resposta vazia é uma resposta.

Antes de ler as partes, escreve cada número na forma a + bi: em d) simplifica i^{2} e em e) simplifica o radical e divide.

1. a) \operatorname{Re} = -4, \operatorname{Im} = 7 · b) \operatorname{Re} = 3, \operatorname{Im} = -1
2. c) z = 0 + 2026i: \operatorname{Re} = 0, \operatorname{Im} = 2026
3. d) 7i^{2} = -7, logo \operatorname{Re} = -7 e \operatorname{Im} = 0 — é um número real.
4. e) \sqrt{18} = 3\sqrt{2}, logo z = \dfrac{3 - 3\sqrt{2}i}{3} = 1 - \sqrt{2}i: \operatorname{Re} = 1, \operatorname{Im} = -\sqrt{2}

Um imaginário puro tem parte real nula e parte imaginária não nula. Atenção ao caso z = 0.

1. (A) 0 = 0 + 0i: tem parte imaginária nula, é real, não é imaginário puro ✗
2. (B) 4 = 4 + 0i é real ✗ · (D) 2 - 2i tem \operatorname{Re} = 2 \neq 0 ✗
3. (C) -3i = 0 - 3i: \operatorname{Re} = 0 e \operatorname{Im} = -3 \neq 0 ✓

Dois complexos são iguais quando têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária: uma equação em ℂ vale por duas em ℝ.

1. Igualando as partes reais: 2x - 1 = 5 \Leftrightarrow x = 3
2. Igualando as partes imaginárias: y + 3 = -2 \Leftrightarrow y = -5

Real ⟺ parte imaginária nula. Imaginário puro ⟺ parte real nula e parte imaginária não nula — é esta segunda condição que costuma eliminar uma das soluções.

1. a) k + 2 = 0 \Leftrightarrow k = -2. Nesse caso z = 0, que é real.
2. b) k^{2} - 4 = 0 \;\wedge\; k + 2 \neq 0 \Leftrightarrow (k = -2 \vee k = 2) \;\wedge\; k \neq -2
3. Fica k = 2, e então z = 4i ✓
4. c) k^{2} - 4 = 0 \;\wedge\; k + 2 = 0 \Leftrightarrow k = -2

A igualdade dá-te duas equações; resolve o sistema por substituição.

1. Partes reais: x - 2 = 2y, ou seja x = 2y + 2
2. Partes imaginárias: y + 1 = x - 5
3. Substituindo: y + 1 = 2y + 2 - 5 \Leftrightarrow y + 1 = 2y - 3 \Leftrightarrow y = 4
4. E então x = 2 \times 4 + 2 = 10. Verificação: 8 + 5i = 8 + 5i ✓

Escreve 0 na forma algébrica: 0 = 0 + 0i. Depois iguala parte a parte.

1. a + bi = 0 + 0i ⟺ a = 0 e b = 0.
2. A opção (A) falha: 2 + 0i = 2 \neq 0. A (C) falha com a = b = 1 e a (D) com a = 1, b = -1.

Primeiro descobre para que valores de m a parte imaginária se anula; só depois calcula z em cada um deles.

1. z é real ⟺ m^{2} - 1 = 0 \Leftrightarrow m = -1 \vee m = 1
2. Se m = -1: z = (-1 - 1) + 0i = -2
3. Se m = 1: z = (1 - 1) + 0i = 0
4. Não há outros casos, logo z = -2 ou z = 0, como se pretendia.

As duas partes anulam-se para valores de k que se sobrepõem — é aí que está a subtileza. Fatoriza k^{2} - 5k + 6.

1. k^{2} - 5k + 6 = (k - 2)(k - 3), logo z = (k-2)(k-3) + (k-2)i.
2. Real ⟺ k - 2 = 0 \Leftrightarrow k = 2; nesse caso também a parte real se anula e z = 0.
3. Imaginário puro ⟺ (k-2)(k-3) = 0 \;\wedge\; k - 2 \neq 0 \Leftrightarrow k = 3; nesse caso z = i.
4. Para qualquer outro k (isto é, k \neq 2 \wedge k \neq 3) as duas partes são não nulas: z não é real nem imaginário puro.

Passa tudo para um lado e supõe, por absurdo, que b \neq d. O que ficarias a concluir sobre i?

1. De a + bi = c + di vem a - c = (d - b)i.
2. Suponhamos, por absurdo, que d - b \neq 0. Então i = \dfrac{a - c}{d - b}.
3. O segundo membro é um quociente de números reais, logo i seria real — o que é falso, pois i^{2} = -1 < 0 e o quadrado de um real nunca é negativo.
4. Logo d - b = 0, ou seja b = d; e então a - c = 0, ou seja a = c. É esta unicidade que autoriza, em todos os exercícios, «igualar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária».

Desenvolve o quadrado, separa parte real e parte imaginária e lembra-te de que um imaginário puro tem parte real nula e parte imaginária não nula.

1. (k+i)^{2} = k^{2} + 2ki + i^{2} = \left(k^{2} - 1\right) + 2k\,i
2. Imaginário puro ⟺ k^{2} - 1 = 0 \;\wedge\; 2k \neq 0
3. k^{2} = 1 \Leftrightarrow k = -1 \vee k = 1; ambos verificam k \neq 0.
4. De facto, (1+i)^{2} = 2i e (-1+i)^{2} = -2i.

Calcula primeiro o produto zw na forma algébrica e só depois o seu módulo. Do outro lado, multiplica os módulos de z e de w.

1. zw = (1-2i)(3+i) = 3 + i - 6i - 2i^{2} = 3 - 5i + 2 = 5 - 5i
2. |zw| = \sqrt{5^{2} + (-5)^{2}} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}
3. |z| = \sqrt{1+4} = \sqrt{5} e |w| = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}, logo |z||w| = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ✓O módulo é multiplicativo — ao contrário do que acontece com a soma, onde só vale a desigualdade triangular.

Lembra-te de que z\overline{z} = |z|^{2}. Com z = a + bi, a primeira condição é a^{2} + b^{2} = 25.

1. Seja z = a + bi. Então z\overline{z} = |z|^{2} = a^{2} + b^{2} = 25.
2. Com a = \operatorname{Re}(z) = 3: 9 + b^{2} = 25 \Leftrightarrow b^{2} = 16 \Leftrightarrow b = \pm 4.
3. Leitura geométrica: os afixos estão na circunferência de centro O e raio 5 e na reta vertical x = 3 — são os dois pontos de interseção.

Não precisas de calcular o conjugado passo a passo: usa as propriedades z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z) e z \overline{z} = |z|^{2}. Ambas dão resultados reais — logo a soma é real.

1. z + \overline{z} = 2 \operatorname{Re}(z) = 2 \times 2 = 4
2. z \times \overline{z} = |z|^{2} = 2^{2} + (-5)^{2} = 4 + 25 = 29
3. Soma: 4 + 29 = 33. Como 4 e 29 são reais, a soma é real.

Escreve z = a+bi e usa z\overline{z} = |z|^{2} = a^{2}+b^{2}, que é real. Depois iguala partes reais e partes imaginárias.

1. Seja z = a + bi, com a, b \in \mathbb{R}. Então z\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^{2}+b^{2}, que é real.
2. z\overline{z} + z = \left(a^{2}+b^{2}\right) + a + bi = 1
3. Igualando partes reais e partes imaginárias:\begin{cases} a^{2}+b^{2}+a = 1 \\ b = 0 \end{cases}
4. Substituindo b=0 na primeira equação:a^{2}+a-1 = 0 \;\Leftrightarrow\; a = \dfrac{-1 \pm \sqrt{5}}{2}
5. z = \dfrac{\sqrt{5}-1}{2} \quad \lor \quad z = \dfrac{-\sqrt{5}-1}{2}
6. Repare-se em que as soluções são reais — era de esperar, porque a condição b=0 saiu da própria equação.

Calcula |z|^{2} = \dfrac{a^{2}+b^{2}}{(1-c)^{2}} e usa a condição dada para substituir a^{2}+b^{2}.

1. Como z = \dfrac{a}{1-c} + \dfrac{b}{1-c}i, tem-se|z|^{2} = \dfrac{a^{2}}{(1-c)^{2}} + \dfrac{b^{2}}{(1-c)^{2}} = \dfrac{a^{2}+b^{2}}{(1-c)^{2}}
2. Da condição a^{2}+b^{2}+c^{2}-c = 0 vem a^{2}+b^{2} = c - c^{2} = c(1-c).
3. Substituindo:|z|^{2} = \dfrac{c(1-c)}{(1-c)^{2}} = \dfrac{c}{1-c}
4. Nota geométrica: escrevendo a condição como a^{2}+b^{2}+\left(c-\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}, vê-se que os pontos (a,b,c) pertencem à superfície esférica de centro \left(0,0,\frac{1}{2}\right) e raio \frac{1}{2}.

z+\overline{z} = 2\operatorname{Re}(z). Falta exprimir 1-c à custa de |z|^{2}.

1. Parte real. z + \overline{z} = 2\operatorname{Re}(z) = \dfrac{2a}{1-c}.
2. Exprimir 1-c. De |z|^{2} = \dfrac{c}{1-c} vem|z|^{2} = \dfrac{c-1+1}{1-c} = -1 + \dfrac{1}{1-c} \;\Leftrightarrow\; 1-c = \dfrac{1}{1+|z|^{2}}
3. Substituição.z+\overline{z} = \dfrac{2a}{1-c} \;\Leftrightarrow\; 2a = \left(z+\overline{z}\right)(1-c) = \dfrac{z+\overline{z}}{1+|z|^{2}}
4. a = \dfrac{z+\overline{z}}{2\left(1+|z|^{2}\right)}
5. Do mesmo modo, de z-\overline{z} = \dfrac{2b}{1-c}i obtém-se b = \dfrac{\left(\overline{z}-z\right)i}{2\left(1+|z|^{2}\right)}.

Faz z = a + bi, com a, b \in \mathbb{R}, e desenvolve z^{2} e |z|^{2}. A igualdade em ℂ dá duas condições em ℝ.

1. Com z = a + bi: z^{2} = \left(a^{2} - b^{2}\right) + 2ab\,i e |z|^{2} = a^{2} + b^{2}.
2. Somando: z^{2} + |z|^{2} = \left(a^{2} - b^{2} + a^{2} + b^{2}\right) + 2ab\,i = 2a^{2} + 2ab\,i
3. Igualar a zero: 2a^{2} = 0 \;\wedge\; 2ab = 0 \Leftrightarrow a = 0 (e então 2ab = 0 é automático).A segunda condição não acrescenta nada: uma vez a = 0, o produto ab já é nulo, seja qual for b.
4. Logo z = bi, com b \in \mathbb{R}: os imaginários puros e o zero.
5. Geometricamente: o conjunto é o eixo imaginário.

Conjugar é trocar o sinal da parte imaginária. Simplifica primeiro d) e f); repara no que acontece a um número real.

1. a) -2 - 3i · b) 1 + i · c) -2026i
2. d) 7i^{2} = -7 é real, logo o conjugado é o próprio: -7
3. e) -10 é real: conjugado -10. Um complexo é real se e só se z = \overline{z}.
4. f) \dfrac{3 - 3\sqrt{2}i}{3} = 1 - \sqrt{2}i, cujo conjugado é 1 + \sqrt{2}i

|a + bi| = \sqrt{a^{2} + b^{2}} — é a distância do afixo à origem. Deixa o resultado em forma exata.

1. a) \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 · b) \sqrt{25 + 0} = 5
2. c) \sqrt{0 + 4} = 2 · d) \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}
3. e) \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2

O módulo de um produto é o produto dos módulos — e o módulo nunca é negativo.

1. |-2z| = |-2| \times |z| = 2 \times 3 = 6
2. A opção (C) fica automaticamente excluída: um módulo é sempre \geq 0.

Conjugar reflete no eixo real; trocar o sinal reflete na origem. Os quatro afixos formam sempre um retângulo com os lados paralelos aos eixos.

1. a) \overline{z} = 3 - 4i, -z = -3 - 4i, -\overline{z} = -3 + 4i
2. b) Os afixos são (3,4), (3,-4), (-3,-4) e (-3,4) — um em cada quadrante.
3. c) É um retângulo de largura 2 \times 3 = 6 e altura 2 \times 4 = 8.
4. Área = 6 \times 8 = 48 unidades de área.

Escreve z = a + bi com a, b \in \mathbb{R} e faz as contas. Depois interpreta: a que correspondem a e b?

1. Com z = a + bi, tem-se \overline{z} = a - bi.
2. z + \overline{z} = (a + a) + (b - b)i = 2a, que é real, pois a \in \mathbb{R}.
3. z - \overline{z} = 0 + 2bi = 2bi: parte real nula, logo imaginário puro se b \neq 0 e igual a 0 se b = 0.
4. Daqui saem as duas fórmulas do formulário: \operatorname{Re}(z) = \dfrac{z + \overline{z}}{2} e \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z - \overline{z}}{2i}.

Multiplica (a+bi)(a-bi) e compara com |z|^{2}.

1. z\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^{2} - (bi)^{2} = a^{2} + b^{2} = |z|^{2}
2. Logo z\overline{z} = 2^{2} = 4. Note-se que o resultado é sempre real e não negativo.

Escreve z = 3 + bi e impõe o módulo. Geometricamente, estás a intersetar uma circunferência com uma reta vertical.

1. z = 3 + bi com b \in \mathbb{R}.
2. |z| = 5 \Leftrightarrow \sqrt{9 + b^{2}} = 5 \Leftrightarrow 9 + b^{2} = 25 \Leftrightarrow b^{2} = 16
3. b = -4 \vee b = 4, logo z = 3 - 4i ou z = 3 + 4i.
4. São os dois pontos em que a reta x = 3 corta a circunferência de centro na origem e raio 5 — e são conjugados um do outro.

Em b) começa por |zw|^{2} e usa que o conjugado de um produto é o produto dos conjugados.

1. a) Com z = a + bi: z\overline{z} = (a+bi)(a-bi) = a^{2} + b^{2} e |z|^{2} = \left(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\right)^{2} = a^{2}+b^{2}. São iguais.
2. b) |zw|^{2} = (zw)\overline{(zw)} = z w \overline{z}\,\overline{w}
3. Reordenando: = \left(z\overline{z}\right)\left(w\overline{w}\right) = |z|^{2}|w|^{2} = \left(|z||w|\right)^{2}
4. Como módulos são números não negativos, de |zw|^{2} = \left(|z||w|\right)^{2} vem |zw| = |z||w|.

Escreve z = a + bi, iguala as duas partes e vê o que sobra. Depois calcula z^{2} com o que descobriste.

1. \overline{z} = -z \Leftrightarrow a - bi = -a - bi
2. Igualando as partes reais: a = -a \Leftrightarrow 2a = 0 \Leftrightarrow a = 0. As partes imaginárias já coincidem.
3. Logo z = bi: é imaginário puro se b \neq 0 e z = 0 se b = 0.
4. Então z^{2} = (bi)^{2} = b^{2}i^{2} = -b^{2}, que é real e \leq 0, pois b^{2} \geq 0.

No produto, distributiva e i^{2} = -1. No quociente, multiplica numerador e denominador pelo conjugado do denominador: o denominador passa a ser |w|^{2} = 1^{2} + 4^{2}.

1. zw = (3-2i)(1+4i) = 3 + 12i - 2i - 8i^{2} = 3 + 10i + 8 = 11 + 10i
2. \dfrac{z}{w} = \dfrac{(3-2i)(1-4i)}{1^{2}+4^{2}} = \dfrac{3 - 12i - 2i + 8i^{2}}{17} = \dfrac{-5 - 14i}{17}
3. Ou seja, \dfrac{z}{w} = -\dfrac{5}{17} - \dfrac{14}{17}i.Controlo: o módulo do resultado é \left|\dfrac{z}{w}\right| = \dfrac{\sqrt{5^{2}+14^{2}}}{17} = \dfrac{\sqrt{221}}{17} e |w| = \sqrt{17}; pelo módulo do produto, \left|\dfrac{z}{w} \times w\right| = \dfrac{\sqrt{221} \times \sqrt{17}}{17} = \dfrac{\sqrt{17^{2} \times 13}}{17} = \sqrt{13}, que é |z| — coerente com o resultado.

Repara que as duas parcelas são conjugadas uma da outra. E a soma de um complexo com o seu conjugado é 2\operatorname{Re}… Em alternativa, multiplica cada fração pelo conjugado do seu denominador.

1. \dfrac{1+i}{1-i} = \dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{1 + 2i + i^{2}}{2} = \dfrac{2i}{2} = i
2. \dfrac{1-i}{1+i} = \overline{\left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)} = \overline{i} = -iO conjugado de um quociente é o quociente dos conjugados — poupa a segunda conta.
3. Soma: i + (-i) = 0.

Isola z: z = \dfrac{3-i}{2+i}. Depois é uma divisão como as outras — conjugado do denominador.

1. z = \dfrac{3-i}{2+i} = \dfrac{(3-i)(2-i)}{2^{2}+1^{2}} = \dfrac{6 - 3i - 2i + i^{2}}{5}
2. = \dfrac{6 - 5i - 1}{5} = \dfrac{5 - 5i}{5} = 1 - i
3. Verificação: (2+i)(1-i) = 2 - 2i + i - i^{2} = 2 - i + 1 = 3 - i ✓

Aqui não podes «dividir»: a incógnita aparece também conjugada. Faz z = a + bi, com a, b \in \mathbb{R}, e transforma a igualdade em ℂ em duas igualdades em ℝ.

1. Seja z = a + bi. Então \overline{z} = a - bi e 3z - \overline{z} = 3a + 3bi - a + bi = 2a + 4bi
2. Igualando a 4 + 8i: 2a = 4 \;\wedge\; 4b = 8 \Leftrightarrow a = 2 \;\wedge\; b = 2.
3. Verificação: 3(2+2i) - (2-2i) = 6 + 6i - 2 + 2i = 4 + 8i ✓

Calcula o produto e a soma em função de a e b. «Real» anula a parte imaginária; «imaginário puro» anula a parte real e exige parte imaginária não nula.

1. Produto:z_{1}z_{2} = (2-i)(a+bi) = 2a + 2bi - ai - bi^{2} = (2a+b) + (2b-a)i
2. Soma:z_{1}+z_{2} = (2+a) + (b-1)i
3. Para o produto ser real: 2b - a = 0, ou seja, a = 2b.
4. Para a soma ser imaginário puro: 2+a = 0 e b - 1 \neq 0.
5. De a = -2 e a = 2b vem b = -1, que satisfaz b \neq 1.
6. z_{2} = -2 - i
7. Confirmação: z_{1}z_{2} = (2-i)(-2-i) = -4-2i+2i+i^{2} = -5 (real ✓) e z_{1}+z_{2} = -2i (imaginário puro ✓)

Desenvolve (x+yi)^{2} e iguala o resultado a 30-16i: igualando partes reais e imaginárias, obténs um sistema que conduz a uma equação biquadrada.

1. Procura-se x+yi tal que (x+yi)^{2} = 30-16i. Ora(x+yi)^{2} = x^{2}-y^{2} + 2xy\,i
2. Igualando partes reais e imaginárias:\begin{cases} x^{2}-y^{2} = 30 \\ 2xy = -16 \end{cases} \;\Leftrightarrow\; \begin{cases} x^{2}-y^{2} = 30 \\ y = -\dfrac{8}{x} \end{cases}
3. Substituindo na primeira equação:x^{2} - \dfrac{64}{x^{2}} = 30 \;\Leftrightarrow\; x^{4} - 30x^{2} - 64 = 0
4. Com t = x^{2} \geq 0:t = \dfrac{30 \pm \sqrt{900+256}}{2} = \dfrac{30 \pm 34}{2} \;\Leftrightarrow\; t = 32 \;\lor\; t = -2
5. Como t \geq 0, fica x^{2} = 32, ou seja, x = \pm 4\sqrt{2}, e então y = -\dfrac{8}{x} = \mp\sqrt{2}.
6. 4\sqrt{2} - \sqrt{2}\,i \qquad \text{ou} \qquad -4\sqrt{2} + \sqrt{2}\,i
7. Confirmação: \left(4\sqrt{2}-\sqrt{2}i\right)^{2} = 32 - 16i + 2i^{2} = 30-16i ✓

Trata as duas parcelas separadamente. Na primeira, multiplica pelo conjugado do denominador (ou repara que (1+i)^{2} = 2i). Na segunda, lembra-te de que \dfrac{1}{i} = -i.

1. \dfrac{1+i}{1-i} = \dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2i}{2} = i
2. \dfrac{2}{i} = \dfrac{2 \times (-i)}{i \times (-i)} = \dfrac{-2i}{1} = -2iTruque útil: \dfrac{1}{i} = -i, porque i \times (-i) = -i^{2} = 1.
3. z = i - 2i = -i, logo |z| = 1.

Multiplica como se fossem polinómios em i e troca i^{2} por -1. Para dividir, multiplica em cima e em baixo pelo conjugado do denominador.

1. a) (2+1) + (-3+4)i = 3 + i
2. b) 3z - 2w = (6 - 9i) - (2 + 8i) = 4 - 17i
3. c) (2-3i)(1+4i) = 2 + 8i - 3i - 12i^{2} = 2 + 5i + 12 = 14 + 5i
4. d) \dfrac{2-3i}{1+4i} = \dfrac{(2-3i)(1-4i)}{1^{2}+4^{2}} = \dfrac{2 - 8i - 3i - 12}{17} = \dfrac{-10 - 11i}{17}

Em a) multiplica por i em cima e em baixo. Guarda o resultado: \dfrac{1}{i} = -i aparece muitas vezes.

1. a) \dfrac{1}{i} = \dfrac{i}{i^{2}} = \dfrac{i}{-1} = -i
2. b) \dfrac{2(1+i)}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2 + 2i}{2} = 1 + i
3. c) \dfrac{(1+i)^{2}}{(1-i)(1+i)} = \dfrac{2i}{2} = i

Procura o número que multiplicado por i dá 1.

1. i \times (-i) = -i^{2} = 1
2. Logo i^{-1} = -i. Também se obtém por \dfrac{1}{i} = \dfrac{\overline{i}}{|i|^{2}} = \dfrac{-i}{1}.

Não desenvolvas o binómio. Começa por calcular (1+i)^{2} — o resultado é muito simples — e sobe às potências seguintes.

1. (1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i
2. (1+i)^{4} = \left[(1+i)^{2}\right]^{2} = (2i)^{2} = 4i^{2} = -4
3. (1+i)^{8} = \left[(1+i)^{4}\right]^{2} = (-4)^{2} = 16

Isola z como farias em ℝ; só a divisão final exige o truque do conjugado.

1. a) z = \dfrac{1-3i}{2+i} = \dfrac{(1-3i)(2-i)}{4+1} = \dfrac{2 - i - 6i + 3i^{2}}{5} = \dfrac{-1 - 7i}{5}
2. b) z = (2+i)(1-i) = 2 - 2i + i - i^{2} = 3 - i
3. Verificação de b): \dfrac{3-i}{1-i} = \dfrac{(3-i)(1+i)}{2} = \dfrac{4 + 2i}{2} = 2 + i ✓

Calcula primeiro (1-i)^{2}.

1. (1-i)^{2} = 1 - 2i + i^{2} = -2i
2. (1-i)^{4} = (-2i)^{2} = 4i^{2} = -4

Quando aparece \overline{z} na equação, não há atalho: escreve z = a + bi e transforma a equação num sistema em a e b.

1. Com z = a + bi: z + 2\overline{z} = (a + bi) + 2(a - bi) = 3a - bi
2. Igualando a 6 - i: 3a = 6 \;\wedge\; -b = -1
3. a = 2 e b = 1, logo z = 2 + i. Verificação: (2+i) + 2(2-i) = 6 - i ✓

Simplifica z primeiro — o resultado é surpreendentemente simples. Para c) usa \dfrac{1}{z} = \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}}.

1. a) z = \dfrac{(3+11i)(2+i)}{4+1} = \dfrac{6 + 3i + 22i - 11}{5} = \dfrac{-5 + 25i}{5} = -1 + 5i
2. Logo \operatorname{Re}(z) = -1 e \operatorname{Im}(z) = 5.
3. b) i^{3} = -i, logo i^{3}z = -i(-1+5i) = i - 5i^{2} = 5 + i: \operatorname{Re} = 5, \operatorname{Im} = 1
4. c) |z|^{2} = 1 + 25 = 26, logo \dfrac{1}{z} = \dfrac{-1 - 5i}{26}: \operatorname{Re} = -\dfrac{1}{26}, \operatorname{Im} = -\dfrac{5}{26}

Parte de z\overline{z} = |z|^{2} e divide ambos os membros por z|z|^{2}.

1. a) Sabemos que z\overline{z} = |z|^{2}. Como z \neq 0, também |z|^{2} \neq 0.
2. Dividindo ambos os membros por z\,|z|^{2}: \dfrac{\overline{z}}{|z|^{2}} = \dfrac{1}{z}.
3. b) |3-4i|^{2} = 9 + 16 = 25 e \overline{z} = 3 + 4i.
4. Logo \dfrac{1}{3-4i} = \dfrac{3+4i}{25} = \dfrac{3}{25} + \dfrac{4}{25}i.

Simplifica o numerador até ao fim antes de racionalizar — vais ver que ele fica reduzido a um imaginário puro.

1. i^{18} = i^{4\times4+2} = i^{2} = -1.
2. Numerador: 2(1-i) - (-1) - 3 = 2 - 2i + 1 - 3 = -2i.
3. Multiplicando pelo conjugado do denominador:\dfrac{-2i}{1-2i} = \dfrac{-2i(1+2i)}{1^{2}+2^{2}} = \dfrac{-2i - 4i^{2}}{5} = \dfrac{4 - 2i}{5}
4. Separando as partes: \dfrac{4}{5} - \dfrac{2}{5}i.

Desenvolve o quadrado, reduz i^{35} e só depois racionaliza. O resultado é surpreendentemente simples.

1. (2+i)^{2} = 4 + 4i + i^{2} = 3 + 4i.
2. i^{35} = i^{4\times8+3} = i^{3} = -i, logo 6i^{35} = -6i.
3. Numerador: (3+4i) + 1 + (-6i) = 4 - 2i.
4. Multiplicando pelo conjugado do denominador:\dfrac{4-2i}{1+2i} = \dfrac{(4-2i)(1-2i)}{1^{2}+2^{2}} = \dfrac{4 - 8i - 2i + 4i^{2}}{5} = \dfrac{-10i}{5} = -2i

Desenvolve o produto e anula a parte real — sem esquecer de confirmar que a parte imaginária não fica também nula.

1. (k-i)(3-2i) = 3k - 2ki - 3i + 2i^{2} = (3k-2) + (-2k-3)i
2. Imaginário puro \Leftrightarrow 3k-2 = 0 \;\wedge\; -2k-3 \neq 0.
3. Da primeira condição, k = \dfrac{2}{3}.
4. Confirmação: -2 \times \dfrac{2}{3} - 3 = -\dfrac{13}{3} \neq 0 ✓

Dividir por 3i faz-se multiplicando numerador e denominador por i (ou por -i): repara em que i \times i = -1 torna o denominador real.

1. (1+2i)(3+i) = 3 + i + 6i + 2i^{2} = 3 - 2 + 7i = 1 + 7i.
2. i^{6} = i^{2} = -1 e i^{7} = i^{3} = -i.
3. Numerador: (1+7i) - (-1) + (-i) = 2 + 6i.
4. Multiplicando numerador e denominador por i:\dfrac{2+6i}{3i} = \dfrac{(2+6i)\,i}{3i^{2}} = \dfrac{2i + 6i^{2}}{-3} = \dfrac{-6 + 2i}{-3} = 2 - \dfrac{2}{3}i

Três potências consecutivas de i: reduz cada uma pelo resto da divisão do expoente por 4 e soma. Vais ver que duas se cancelam.

1. 4n = 4 \times n + 0, logo i^{4n} = i^{0} = 1.
2. i^{4n+1} = i^{1} = i e i^{4n+2} = i^{2} = -1.
3. i^{4n} + i^{4n+1} + i^{4n+2} = 1 + i - 1 = i
4. O afixo de i pertence ao semieixo imaginário positivo: é o ponto z_{2}.

Dois complexos são iguais quando têm a mesma parte real e a mesma parte imaginária. Não te esqueças de trocar o sinal da parte imaginária ao conjugar.

1. \overline{z_{2}} = (3p-4) - (2-5k)i = (3p-4) + (5k-2)i.
2. z_{1} = \overline{z_{2}} traduz-se no sistema\begin{cases} 3k+2 = 3p-4 \\ p = 5k-2 \end{cases}
3. Substituindo a segunda equação na primeira:3k+2 = 3(5k-2) - 4 \Leftrightarrow 3k+2 = 15k-10 \Leftrightarrow 12 = 12k \Leftrightarrow k = 1
4. Então p = 5 \times 1 - 2 = 3.

Um imaginário puro tem parte real nula e parte imaginária não nula — confirma sempre a segunda condição no fim.

1. \overline{z_{2}} = 3 + ki.
2. z_{1}\overline{z_{2}} = (2+i)(3+ki) = 6 + 2ki + 3i + ki^{2} = (6-k) + (2k+3)i
3. Imaginário puro \Leftrightarrow 6-k = 0 \;\wedge\; 2k+3 \neq 0.
4. Da primeira condição, k = 6; e 2 \times 6 + 3 = 15 \neq 0 ✓

«Inversos um do outro» significa z \times w = 1. Calcula \dfrac{1}{z} na forma algébrica e iguala parte a parte.

1. i^{11} = i^{4\times2+3} = i^{3} = -i, logo w = (k-1) - 2p\,i.
2. z e w inversos \Leftrightarrow zw = 1 \Leftrightarrow w = \dfrac{1}{z}.
3. \dfrac{1}{1+i} = \dfrac{1-i}{(1+i)(1-i)} = \dfrac{1-i}{2} = \dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2}i
4. Igualando as partes real e imaginária: k - 1 = \dfrac{1}{2} e -2p = -\dfrac{1}{2}.
5. k = \dfrac{3}{2} e p = \dfrac{1}{4}, logo k + p = \dfrac{3}{2} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{7}{4}.

Reduz primeiro as potências de i (resto da divisão do expoente por 4) e só depois racionaliza, multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador.

1. i^{6} = i^{2} = -1 e i^{7} = i^{3} = -i.
2. Numerador: -1 + 2(-i) = -1 - 2i.
3. Multiplicando pelo conjugado do denominador:\dfrac{-1-2i}{2-i} = \dfrac{(-1-2i)(2+i)}{2^{2}+1^{2}} = \dfrac{-2 - i - 4i - 2i^{2}}{5} = \dfrac{-2 - 5i + 2}{5} = \dfrac{-5i}{5}
4. Logo o valor é -i.

i^{n} só depende do resto da divisão de n por 4. Escreve cada expoente na forma 4q + r.

1. 8n = 4 \times 2n + 0, logo i^{8n} = i^{0} = 1.
2. 8n-1 = 4(2n-1) + 3, logo i^{8n-1} = i^{3} = -i.
3. 8n-2 = 4(2n-1) + 2, logo i^{8n-2} = i^{2} = -1.
4. Substituindo:i^{8n} \times i^{8n-1} + i^{8n-2} = 1 \times (-i) + (-1) = -1 - i
5. Parte real e parte imaginária negativas \Rightarrow afixo no 3.º quadrante: o ponto w_{3}.

Agrupa as parcelas de quatro em quatro: i^{0}+i^{1}+i^{2}+i^{3} = 0. Depois basta contar quantas parcelas há ao todo e ver quantas sobram.

1. As potências de i repetem-se de 4 em 4 e a soma de quatro consecutivas é nula:i^{0}+i^{1}+i^{2}+i^{3} = 1 + i - 1 - i = 0
2. A soma tem 2019 parcelas (de i^{0} a i^{2018}). Como 2019 = 4 \times 504 + 3, há 504 blocos completos (soma nula) e sobram três parcelas.
3. As três últimas são i^{2016}, i^{2017}, i^{2018}. Como 2016 = 4 \times 504, vem i^{2016} = 1, i^{2017} = i e i^{2018} = -1.
4. Soma: 1 + i - 1 = i.

«u é raiz quadrada de w» significa u^{2} = w. Desenvolve o quadrado e usa a igualdade de complexos — repara que a parte imaginária determina logo k.

1. Se k+i é raiz quadrada de 3-4i, então (k+i)^{2} = 3 - 4i.
2. Desenvolvendo: (k+i)^{2} = k^{2} + 2ki + i^{2} = (k^{2}-1) + 2k\,i.
3. Igualdade de complexos: k^{2} - 1 = 3 \;\wedge\; 2k = -4.
4. Da segunda equação, k = -2; a primeira confirma: (-2)^{2} - 1 = 3 ✓

A informação sobre zw determina-o completamente: estar na bissetriz do 3.º quadrante quer dizer que zw = -a - ai, com a > 0, e o módulo dado fixa o valor de a. Depois resolve em ordem a w.

1. Simplificar z. Primeira parcela: \dfrac{4}{1+i} = \dfrac{4(1-i)}{2} = 2 - 2i.
2. Segunda parcela: i^{7} = i^{3} = -i, logo \dfrac{2}{-i} = 2i (porque \dfrac{1}{-i} = i).
3. z = (2-2i) - 2i = 2 - 4i.
4. Traduzir as condições sobre zw. O afixo pertence à bissetriz do 3.º quadrante ⟹ as partes real e imaginária são iguais e negativas: zw = -a - ai, com a > 0. Com módulo 5\sqrt{2}: |zw| = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \;\Leftrightarrow\; a = 5Logo zw = -5 - 5i.
5. Logo w = \dfrac{-5-5i}{2-4i}. Multiplicando pelo conjugado do denominador: w = \dfrac{(-5-5i)(2+4i)}{2^{2}+4^{2}} = \dfrac{-10 - 20i - 10i - 20i^{2}}{20} = \dfrac{10 - 30i}{20}
6. w = \dfrac{1}{2} - \dfrac{3}{2}i. Verificação: (2-4i)\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}i\right) = 1 - 3i - 2i + 6i^{2} = -5 - 5i, cujo módulo é \sqrt{50} = 5\sqrt{2} ✓

Põe w = a+bi, racionaliza z e escreve as duas condições como um sistema em a e b. A condição \operatorname{Re}(w) < 0 serve para escolher entre as duas soluções.

1. Com w = a+bi:z = \dfrac{(a+bi)(3+4i)}{3^{2}+4^{2}} = \dfrac{(3a-4b) + (4a+3b)i}{25}
2. \operatorname{Im}(z) + \operatorname{Re}(z) = 0 \Leftrightarrow \dfrac{(4a+3b) + (3a-4b)}{25} = 0 \Leftrightarrow 7a - b = 0 \Leftrightarrow b = 7a.
3. |w| = 5 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2} = 25. Substituindo:a^{2} + 49a^{2} = 25 \Leftrightarrow 50a^{2} = 25 \Leftrightarrow a^{2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow a = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}
4. Como \operatorname{Re}(w) < 0, vem a = -\dfrac{\sqrt{2}}{2} e b = 7a = -\dfrac{7\sqrt{2}}{2}.

Reduz cada potência ao seu resto módulo 4: i^{4n} = 1, seja qual for n.

1. Como i^{4} = 1, tem-se i^{4n} = 1 para todo o natural n. Logo:
2. i^{4n+1} = i^{4n} \times i = i  ·  i^{4n-1} = \dfrac{i^{4n}}{i} = \dfrac{1}{i} = \dfrac{-i}{-i^{2}} = -i
3. Substituindo:z = \dfrac{2 - (-i)}{i} = \dfrac{2+i}{i}
4. Multiplicando numerador e denominador por -i:z = \dfrac{(2+i)(-i)}{i \times (-i)} = \dfrac{-2i - i^{2}}{1} = 1 - 2i
5. O resultado não depende de n.

A soma entre parêntesis tem 100 parcelas e as potências de i repetem-se de 4 em 4. Agrupa-as quatro a quatro.

1. A soma. As potências de i repetem-se com período 4, e em cada bloco de quatro consecutivas a soma é nula:i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i - 1 - i + 1 = 0
2. Como 100 = 4 \times 25, a soma i + i^{2} + \cdots + i^{100} reparte-se exatamente em 25 blocos desses, pelo que vale 0.
3. Em alternativa, tratando-a como a soma dos 100 primeiros termos de uma progressão geométrica de primeiro termo i e razão i:i \times \dfrac{1-i^{100}}{1-i} = i \times \dfrac{1-1}{1-i} = 0
4. A primeira parcela.\dfrac{1}{i} = \dfrac{-i}{-i^{2}} = -i
5. Conclusão.\dfrac{1}{i} + \left(i + i^{2} + \cdots + i^{100}\right) = -i + 0 = -i∎

Em b), divide numerador e denominador por z_{2} — a expressão passa a depender apenas de \frac{z_{1}}{2z_{2}}.

1. a) Multiplicando numerador e denominador por z e usando z\,\overline{z} = |z|^{2}:\dfrac{z}{\overline{z}} = \dfrac{z^{2}}{z\,\overline{z}} = \dfrac{z^{2}}{|z|^{2}}Dividir por um número real positivo divide o módulo por esse número, e \left|z^{2}\right| = |z| \times |z| = |z|^{2}. Logo \left|\dfrac{z}{\overline{z}}\right| = \dfrac{|z|^{2}}{|z|^{2}} = 1. ∎
2. b) Por hipótese \dfrac{z_{1}}{2z_{2}} = ki para algum k \in \mathbb{R} \setminus \{0\}.
3. Dividindo numerador e denominador por z_{2}:\left|\dfrac{\frac{z_{1}}{2}+z_{2}}{\frac{z_{1}}{2}-z_{2}}\right| = \left|\dfrac{\frac{z_{1}}{2z_{2}}+1}{\frac{z_{1}}{2z_{2}}-1}\right| = \left|\dfrac{1+ki}{-1+ki}\right|
4. Ora -1+ki = -\left(1-ki\right) = -\overline{1+ki}, pelo que\left|\dfrac{1+ki}{-\overline{1+ki}}\right| = |-1| \times \left|\dfrac{1+ki}{\overline{1+ki}}\right| = 1 \times 1 = 1usando a alínea anterior.
5. O valor é 1, qualquer que seja k.

A distância entre dois afixos é o módulo da diferença. A soma constrói-se «fechando o paralelogramo»: somam-se as partes reais e as partes imaginárias.

1. z - w = (1-4) + (2-3)i = -3 - i
2. \overline{AB} = |z - w| = \sqrt{(-3)^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{10}
3. z + w = (1+4) + (2+3)i = 5 + 5i, de afixo (5,\,5).O afixo de z+w é o quarto vértice do paralelogramo de vértices O, A e B.

Escreve z = a + bi com a < 0 e b < 0 e vê os sinais das partes real e imaginária de cada transformado. Em alternativa, pensa nas simetrias: eixo real, origem e rotação de 90^{\circ}.

1. Afixo no 3.º quadrante ⟹ z = a + bi com a < 0 e b < 0.
2. \overline{z} = a - bi: parte real a < 0, parte imaginária -b > 0 ⟹ 2.º quadrante (simetria em relação ao eixo real).
3. -z = -a - bi: -a > 0 e -b > 0 ⟹ 1.º quadrante (simetria em relação à origem).
4. iz = i(a+bi) = -b + ai: -b > 0 e a < 0 ⟹ 4.º quadrante (rotação de 90^{\circ} no sentido positivo).Confirma com um exemplo: z = -2-3i dá \overline{z} = -2+3i, -z = 2+3i e iz = 3-2i.

Faz as duas transformações por ordem: primeiro o conjugado (reflexão no eixo real), depois a multiplicação por i (rotação de 90° no sentido positivo). Podes também testar com um caso concreto, como z = 1 + i.

1. Se z está no 1.º quadrante, então \operatorname{Re}(z) > 0 e \operatorname{Im}(z) > 0. Escrevendo z = a + b i, com a > 0 e b > 0.
2. \overline{z} = a - b i — afixo no 4.º quadrante (reflexão no eixo real).
3. i \overline{z} = i(a - b i) = a i - b i^{2} = b + a i
4. Como b > 0 e a > 0, o afixo de i\overline{z} tem abcissa e ordenada positivas.

P e Q são simétricos relativamente ao eixo real, pelo que [PQ] é vertical e o eixo real é a sua mediatriz.

1. O perímetro é 12, logo cada lado mede 4: \overline{OP} = \overline{OQ} = \overline{PQ} = 4.
2. Como Q é a imagem geométrica de \overline{w}, os pontos P e Q são simétricos relativamente ao eixo real. O segmento [PQ] é, portanto, vertical, e o eixo real corta-o no seu ponto médio R.
3. Sendo w = x + yi com y>0 (o ponto P está no 2.º quadrante), tem-se \overline{PQ} = 2y = 4, donde y = 2.
4. No triângulo retângulo [OPR], com \overline{OP} = 4 e \overline{PR} = 2:\overline{OR}^{2} = 4^{2} - 2^{2} = 12 \;\Leftrightarrow\; \overline{OR} = 2\sqrt{3}
5. Como P está no 2.º quadrante, a sua abcissa é negativa: x = -2\sqrt{3}.
6. w = -2\sqrt{3} + 2i
7. Confirmação: |w| = \sqrt{12+4} = 4 ✓

Rodar o vetor \overrightarrow{z_{1}z_{2}} de 90^{\circ} é o mesmo que multiplicar o complexo z_{2}-z_{1} por i — ou por -i, conforme o sentido.

1. O lado do quadrado é dado por z_{2}-z_{1} = 3+i.
2. Num quadrado, o lado seguinte obtém-se rodando este vetor de \dfrac{\pi}{2}, o que corresponde a multiplicar por i (sentido positivo) ou por -i (sentido negativo).
3. Sentido positivo: i(3+i) = -1+3i, dondez_{3} = z_{2} + (-1+3i) = 3+5i \qquad z_{4} = z_{1} + (-1+3i) = 4i
4. Sentido negativo: -i(3+i) = 1-3i, donde z_{3} = 5-i — que está abaixo do eixo real e não serve.
5. Como se exige que z_{3} e z_{4} estejam acima do eixo real, a solução é a primeira.
6. z_{3} = 3+5i \qquad z_{4} = 4i
7. Confirmação: |z_{2}-z_{1}| = |z_{3}-z_{2}| = \sqrt{10} e z_{4}-z_{1} = z_{3}-z_{2}, logo [z_1z_2z_3z_4] é um quadrado ✓

Basta olhar para os sinais de \operatorname{Re}(z) e de \operatorname{Im}(z). Se uma delas for nula, o afixo está sobre um eixo.

1. a) (3,2): ambas positivas ⟹ 1.º quadrante · b) (-2,1) ⟹ 2.º quadrante
2. c) (-3,-2) ⟹ 3.º quadrante · d) (0,-2) ⟹ semieixo imaginário negativo
3. e) \left(\frac{5}{2},0\right) ⟹ semieixo real positivo · f) \left(1,-\frac{5}{2}\right) ⟹ 4.º quadrante

-4 = -4 + 0i: a parte imaginária é nula.

1. O afixo é o ponto (-4, 0).
2. Com ordenada nula, está sobre o eixo real; com abcissa negativa, no semieixo real negativo. Os quadrantes não incluem os eixos.

A distância entre os afixos de z e w é |z - w|.

1. w - z = (4-1) + (6-2)i = 3 + 4i
2. |3 + 4i| = \sqrt{9 + 16} = 5

As coordenadas do ponto médio são as médias das coordenadas — e isso, em ℂ, escreve-se \dfrac{z + w}{2}.

1. A(-2, 1) e B(4, 3).
2. Ponto médio: \left(\dfrac{-2+4}{2},\, \dfrac{1+3}{2}\right) = (1, 2)
3. Em ℂ: \dfrac{z + w}{2} = \dfrac{2 + 4i}{2} = 1 + 2i

Conjugar é refletir no eixo real: a abcissa mantém-se, a ordenada troca de sinal.

1. z no 2.º quadrante ⟹ z = a + bi com a < 0 e b > 0.
2. \overline{z} = a - bi: parte real a < 0 e parte imaginária -b < 0 ⟹ 3.º quadrante.

Escreve z = a + bi com os sinais que o 4.º quadrante impõe e faz as contas até à forma algébrica. Para a alínea c), lembra-te de que \dfrac{1}{i} = -i.

1. 4.º quadrante ⟹ a > 0 e b < 0, com z = a + bi.
2. a) i\overline{z} = i(a - bi) = b + ai: abcissa b < 0 e ordenada a > 0 ⟹ 2.º quadrante.Reflectir no eixo real e depois rodar 90^\circ — a ordem importa.
3. b) -\overline{z} = -a + bi: -a < 0 e b < 0 ⟹ 3.º quadrante.
4. c) \dfrac{z}{i} = -iz = -i(a+bi) = b - ai: b < 0 e -a < 0 ⟹ 3.º quadrante.Duas transformações diferentes podem cair no mesmo quadrante: dividir por i é rodar -90^\circ.

Reflexão no eixo real: conjugado. Reflexão no eixo imaginário: -\overline{z}. Rotação de 90^\circ: multiplicar por i.

1. a) \overline{z} = 3 - 4i
2. b) -\overline{z} = -3 + 4i — só a abcissa muda de sinal.
3. c) iz = i(3+4i) = 3i + 4i^{2} = -4 + 3i
4. Repara que os três têm o mesmo módulo, 5: reflexões e rotações não mudam a distância à origem.

Escreve z = a + bi e w = c + di e compara |z - w| com a fórmula da distância entre dois pontos do plano.

1. Com z = a + bi e w = c + di, os afixos são A(a,b) e B(c,d).
2. z - w = (a - c) + (b - d)i, logo |z - w| = \sqrt{(a-c)^{2} + (b-d)^{2}}.
3. É exatamente a fórmula da distância entre A e B no plano. É por isto que |z - z_{0}| = r define uma circunferência de centro no afixo de z_{0} e raio r.
4. Aplicação: z - w = -3 + 4i, logo \overline{AB} = \sqrt{9 + 16} = 5.

Mostra primeiro que os quatro têm o mesmo módulo e depois que cada um se obtém do anterior por uma rotação de 90^\circ.

1. Como |i| = 1, tem-se |iz| = |i||z| = |z|; do mesmo modo |-z| = |z| e |-iz| = |z|.
2. Os quatro afixos estão portanto sobre a mesma circunferência de centro na origem e raio |z|.
3. Multiplicar por i leva o afixo (x,\, y) a (-y,\, x), que é a rotação de 90^{\circ} de centro O. Partindo do afixo de z e rodando quatro vezes 90^{\circ}, obtêm-se os afixos de iz, -z e -iz, e volta-se ao ponto de partida.
4. Quatro pontos igualmente espaçados numa circunferência, de 90^\circ em 90^\circ, formam um quadrado inscrito nessa circunferência — e o centro é a origem.

Escreve w = a+bi e as coordenadas dos três pontos. Vais ver que o triângulo é retângulo — com os catetos paralelos aos eixos.

1. Com w = a+bi (a>0, b>0): A(a,\,b), B(a,\,-b) e C(-a,\,-b).
2. B e C têm a mesma ordenada, logo \overline{BC} = |a-(-a)| = 2a = 8 \Leftrightarrow a = 4.
3. |w| = 5 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2} = 25 \Leftrightarrow 16+b^{2} = 25 \Leftrightarrow b = 3 (positivo).
4. A e B têm a mesma abcissa, logo \overline{AB} = 2b = 6 e [AB] \perp [BC]: o triângulo é retângulo em B.
5. A_{[ABC]} = \dfrac{6 \times 8}{2} = 24

Podes fazê-lo em dois passos: primeiro i \times z (rodar +90^\circ), depois o simétrico. Ou num só: rodar -90^\circ.

1. Multiplicar por i é rodar +90^\circ: partindo de P, obtém-se o ponto Q, ou seja i z = Q.
2. Logo -i z = -Q: o simétrico de Q em relação à origem.
3. Pela figura, esse simétrico é o ponto T.

Fatoriza por agrupamento: z^{2}(z-1) + 4(z-1). Depois marca os três afixos — o triângulo é isósceles.

1. Agrupando: z^{3}-z^{2}+4z-4 = z^{2}(z-1)+4(z-1) = (z-1)\left(z^{2}+4\right).
2. As soluções são z = 1 e z^{2} = -4 \Leftrightarrow z = \pm 2i.
3. Afixos: A(1,\,0), B(0,\,2) e C(0,\,-2).
4. \overline{BC} = 4 (ambos no eixo imaginário) e, por simetria, \overline{AB} = \overline{AC} = \sqrt{1^{2}+2^{2}} = \sqrt{5}.
5. Perímetro = 4 + 2\sqrt{5}.

Faz a soma geometricamente, pela regra do paralelogramo, diretamente na figura. Só depois é que multiplicas por i.

1. Somando z_{2} e z_{4} pela regra do paralelogramo, as partes reais anulam-se e obtém-se um afixo sobre o semieixo imaginário positivo: z_{2}+z_{4} = z_{3}.
2. Multiplicar por i é rodar +90^\circ em torno da origem, sem alterar o módulo.
3. Rodando z_{3} (semieixo imaginário positivo) de +90^\circ, obtém-se um afixo do semieixo real negativo, à mesma distância da origem: o ponto z_{5}.
4. Logo (z_{2}+z_{4}) \times i = z_{3} \times i = z_{5}.

Todos os pontos assinalados na recta horizontal têm a mesma parte imaginária de M. Escreve z_{2} = x + yi, faz o produto e usa essa informação.

1. Como M é o afixo de 2+i, a reta horizontal onde estão N, R, Q, P e M é a reta de equação \operatorname{Im}(z) = 1.
2. Escrevendo z_{2} = x + yi:z_{1}z_{2} = (2+i)(x+yi) = (2x - y) + (x + 2y)i
3. N pertence àquela reta, logo \operatorname{Im}(z_{1}z_{2}) = 1, ou seja x + 2y = 1.
4. Como z_{2} é um dos pontos assinalados, também tem y = 1 (se fosse S, que está no semieixo real negativo, seria z_{2} = x com x < 0, e então \operatorname{Im}(z_{1}z_{2}) = x < 0, e não 1).
5. De x + 2 = 1 vem x = -1: z_{2} = -1+i, cujo afixo é o ponto R.
6. Confirmação: (2+i)(-1+i) = -2 + 2i - i + i^{2} = -3 + i ✓ — é o ponto N.

Começa por \dfrac{1}{i} = -i: assim \dfrac{w}{3i} = \dfrac{1}{3} \times (-iw). Multiplicar por -i é multiplicar por i (rodar 90^\circ) e tomar o simétrico em relação à origem; multiplicar por \dfrac{1}{3} é uma homotetia. Podes fazê-las por qualquer ordem.

1. \dfrac{1}{i} = \dfrac{-i}{-i^{2}} = -i, logo\dfrac{w}{3i} = \dfrac{1}{3} \times \dfrac{w}{i} = \dfrac{1}{3} \times (-iw)
2. -iw = -(iw): multiplicar por i roda o afixo de w (2.º quadrante) 90^\circ no sentido positivo, para o 3.º quadrante, e o sinal menos leva-o, pela simetria em relação à origem, ao 1.º quadrante, com o mesmo módulo: o ponto z_{2}.
3. Falta multiplicar por \dfrac{1}{3}: é a homotetia de centro O e razão \dfrac{1}{3}, que leva o afixo ao longo da mesma semirreta até um terço da distância — o ponto z_{1}.
4. Pela ordem inversa: \dfrac{w}{3} = z_{3} e \dfrac{z_{3}}{i} = z_{1}. O resultado é o mesmo.

Desfaz as duas operações pela ordem inversa: primeiro a multiplicação por i (rodar), depois o conjugado (espelhar no eixo real).

1. De z = i\overline{w} vem \overline{w} = \dfrac{z}{i} = -iz: uma rotação de -90^\circ aplicada a z, sem mudar o módulo.
2. Pela figura, z tem afixo no 2.º quadrante; rodando -90^\circ obtém-se um afixo do 1.º quadrante com o mesmo módulo — o ponto z_{1}. Logo \overline{w} = z_{1}.
3. Falta desfazer o conjugado: w = \overline{z_{1}}, ou seja, o simétrico de z_{1} em relação ao eixo real.
4. Pela figura, esse simétrico é z_{2}.

Separa o -2i em duas coisas: -2iw = 2 \times (-iw). O fator -i roda o afixo (multiplicar por i e depois tomar o simétrico em relação à origem); o fator real 2 muda a distância à origem.

1. -2iw = 2 \times \left(-(iw)\right): multiplicar por i roda o afixo 90^\circ no sentido positivo, o sinal menos aplica a simetria em relação à origem, e o fator 2 é a homotetia de centro O e razão 2, que duplica a distância à origem.
2. Pela figura, w tem afixo no 4.º quadrante. Multiplicando por i, passa ao 1.º quadrante; o simétrico em relação à origem fica no 3.º quadrante.
3. Isso deixa dois candidatos: z_{3} e z_{4}.
4. z_{3} está à mesma distância da origem que w; só z_{4} está ao dobro dessa distância.

Escreve z_{1} = a+ai (os vértices estão sobre as bissetrizes) e os outros três em função de a. Depois testa cada afirmação.

1. O quadrado tem centro em O e lados paralelos aos eixos, logo os vértices estão sobre as bissetrizes dos quadrantes: z_{1} = a+ai, z_{2} = -a+ai, z_{3} = -a-ai e z_{4} = a-ai, com a>0.
2. (A) |z_{3}-z_{1}| e |z_{4}-z_{2}| são os comprimentos das duas diagonais, que num quadrado são iguais — verdadeira.
3. (B) z_{1}+z_{4} = (a+ai)+(a-ai) = 2a = 2\operatorname{Re}(z_{1}) — verdadeira.
4. (D) \overline{z_{1}} = a-ai, logo -\overline{z_{1}} = -a+ai = z_{2} — verdadeira.
5. (C) \dfrac{z_{4}}{i} = z_{1} \Leftrightarrow z_{4} = i z_{1}. Mas iz_{1} = i(a+ai) = ai - a = -a+ai = z_{2} \neq z_{4} — falsa.
6. Multiplicar por i roda +90^\circ: leva z_{1} a z_{2}, e não a z_{4}.

Simplifica primeiro i^{3}. Multiplicar por i roda 90^\circ no sentido positivo — e multiplicar por -i?

1. i^{3} = i^{2} \times i = -i, logo i^{3}z = -iz = -(iz).
2. Multiplicar por i é a rotação de 90^\circ de centro O, no sentido positivo: o afixo fica na mesma circunferência e dá um quarto de volta. Rodando A, chega-se a um extremo do diâmetro [BD], perpendicular a [AC] — pela figura, o ponto B. Logo iz tem afixo B.
3. O sinal menos aplica a simetria em relação à origem: o simétrico de B é o outro extremo do diâmetro [BD], o ponto D.

Como D é a origem, o vértice A «é» z. O vértice C obtém-se de A por uma rotação de 90^\circ em torno de D — e B é o quarto vértice do paralelogramo construído sobre D, A e C.

1. Como D = 0, o vértice A é o afixo do complexo z.
2. Num quadrado, os lados [DA] e [DC] têm o mesmo comprimento e são perpendiculares; pela figura, C obtém-se de A pela rotação de 90^\circ de centro D = O, no sentido positivo, que é multiplicar por i. Logo C é o afixo de iz.
3. O quadrado [ABCD] é um paralelogramo com o vértice D na origem, e o vértice oposto a D é B: pela regra do paralelogramo, B é o afixo da soma dos complexos representados por A e por C:z + iz = z(1+i)

Não precisas de coordenadas — repara em que vértices do quadrado são diametralmente opostos.

1. O centro do quadrado é a origem, logo A e C são simétricos em relação a O: z_{3} = -z_{1}.
2. Do mesmo modo, B e D são simétricos: z_{4} = -z_{2}.
3. z_{1} + z_{2} + z_{3} + z_{4} = z_{1} + z_{2} - z_{1} - z_{2} = 0

Multiplicar z_{1} por z_{2} tem de manter o módulo (o triângulo é equilátero com vértice em O) e rodar o afixo. Que módulo tem então z_{2}?

1. [OFG] é equilátero, logo \overline{OG} = \overline{OF}, ou seja, |z_{1}z_{2}| = |z_{1}|. Como |z_{1}z_{2}| = |z_{1}|\,|z_{2}| e |z_{1}| = \sqrt{2} \neq 0, vem |z_{2}| = 1.
2. Módulos das quatro opções:\left|\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}i\right| = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{2}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \qquad \left|\tfrac{1}{2} + \tfrac{\sqrt{3}}{2}i\right| = \sqrt{\tfrac{1}{4} + \tfrac{3}{4}} = 1\left|1 + \sqrt{2}\,i\right| = \sqrt{3}, \qquad \left|1 + \sqrt{3}\,i\right| = 2
3. Só a opção (B) tem módulo 1.

Escreve w = a - ai, com a > 1, e calcula -iw^{2} na forma algébrica: dá um número real, o que deixa dois candidatos no mesmo semieixo. Aí decide o módulo: compara |-iw^{2}| com |w| = \overline{OW}.

1. \operatorname{Im}(w) = -\operatorname{Re}(w) e \operatorname{Re}(w) > 1, logo w = a - ai = a(1-i), com a > 1.
2. w^{2} = a^{2}(1-i)^{2} = a^{2}\left(1 - 2i + i^{2}\right) = -2a^{2}\,i, logo-iw^{2} = -i\left(-2a^{2}\,i\right) = 2a^{2}\,i^{2} = -2a^{2}
3. -2a^{2} é um número real negativo: o afixo pertence ao semieixo real negativo — só B ou C.
4. Distâncias à origem: \left|-iw^{2}\right| = 2a^{2} e \overline{OW} = |w| = \sqrt{a^{2} + a^{2}} = a\sqrt{2}. Como a\sqrt{2} > \sqrt{2} > 1, tem-se 2a^{2} = a\sqrt{2} \times a\sqrt{2} > a\sqrt{2}: o afixo está mais afastado da origem do que W. Só o ponto C serve.

Como A está no semieixo imaginário positivo, z_{1} = ri, sendo r o raio — e então z_{1}^{2} é um número real negativo. Multiplicar z_{2} por um real negativo é aplicar a simetria em relação à origem e uma homotetia: em que quadrante está B?

1. Seja r o raio da circunferência. Como A pertence ao semieixo imaginário positivo, z_{1} = ri, e então z_{1}^{2} = r^{2}i^{2} = -r^{2}.
2. Logo z_{1}^{2} \times z_{2} = -r^{2}z_{2} = r^{2} \times \left(-z_{2}\right) O afixo de -z_{2} é o simétrico de B em relação à origem, e multiplicar pelo real positivo r^{2} é uma homotetia de centro O, que não muda o quadrante.
3. Na figura, B é o vértice inferior esquerdo: está no 3.º quadrante. O seu simétrico em relação à origem está no 1.º quadrante — e o afixo de z_{1}^{2} \times z_{2} também. B não está sobre nenhum eixo: o triângulo é simétrico em relação ao eixo imaginário, que passa por A, e o lado [BC], oposto a A, fica abaixo do eixo real.

Rodar em torno da origem não muda a distância a O. O ponto A(0,\,-2) está à distância 2 de O, no lado do ângulo de amplitude -\dfrac{{\pi}}{2}; rodado de \dfrac{{\pi}}{3}, passa para o lado do ângulo de amplitude -\dfrac{{\pi}}{2} + \dfrac{{\pi}}{3}.

1. Seja A' o transformado de A. A rotação tem centro O, logo A' fica à mesma distância de O que A(0,\,-2): \overline{OA'} = 2.
2. A está no semieixo imaginário negativo, isto é, no lado do ângulo de amplitude -\dfrac{{\pi}}{2} (círculo trigonométrico, 11.º ano). Rodando \dfrac{{\pi}}{3} no sentido positivo, A' fica no lado do ângulo de amplitude-\dfrac{{\pi}}{2} + \dfrac{{\pi}}{3} = -\dfrac{{\pi}}{6}
3. Um ponto à distância 2 da origem, no lado do ângulo de amplitude {\alpha}, tem coordenadas \left(2\cos{\alpha},\, 2\operatorname{sen}{\alpha}\right):A'\left(2\cos\left(-\dfrac{{\pi}}{6}\right),\; 2\operatorname{sen}\left(-\dfrac{{\pi}}{6}\right)\right) = \left(\sqrt{3},\, -1\right)
4. A' é o afixo de \sqrt{3} - i.
5. Controlo: |\sqrt{3}-i| = \sqrt{3+1} = 2 ✓, e a distância de A a A' é \left|(\sqrt{3}-i) - (-2i)\right| = |\sqrt{3}+i| = 2: o triângulo [OAA'] é equilátero, como numa rotação de \dfrac{{\pi}}{3} tem de ser ✓

As diagonais de um losango são perpendiculares e bissetam-se. Aqui estão sobre os eixos, e cada lado é a hipotenusa de um triângulo retângulo com as semidiagonais como catetos.

1. z_{1} e z_{3} reais \Rightarrow A e C no eixo real; z_{2} e z_{4} imaginários puros \Rightarrow B e D no eixo imaginário.
2. As diagonais de um losango bissetam-se, logo o centro é a origem: z_{3} = -z_{1} e z_{4} = -z_{2}.
3. De |z_{1} - z_{3}| = |2z_{1}| = 6 vem |z_{1}| = 3: as semidiagonais sobre o eixo real medem 3.
4. Com z_{2} = bi, o triângulo retângulo de catetos 3 e |b| tem hipotenusa \overline{AB} = 5:3^{2} + b^{2} = 5^{2} \Leftrightarrow b^{2} = 16 \Leftrightarrow |b| = 4
5. Logo \{z_{2},\,z_{4}\} = \{4i,\,-4i\} e z_{2} \times z_{4} = 4i \times (-4i) = -16i^{2} = 16.

A condição \operatorname{Im}(w) = \operatorname{Re}(w), com o afixo no 1.º quadrante, dá w = a + ai, com a > 0. Calcula i\,w^{3} na forma algébrica: o valor de a não altera os sinais, e a pergunta é só sobre o quadrante.

1. Como W está no 1.º quadrante e \operatorname{Im}(w) = \operatorname{Re}(w), tem-se w = a + ai = a(1+i), com a > 0.
2. (1+i)^{2} = 1 + 2i + i^{2} = 2i, logo (1+i)^{3} = 2i(1+i) = 2i + 2i^{2} = -2 + 2i e w^{3} = a^{3}(1+i)^{3} = a^{3}(-2 + 2i)
3. Multiplicando por i: i\,w^{3} = a^{3}\left(-2i + 2i^{2}\right) = a^{3}(-2 - 2i) = -2a^{3} - 2a^{3}\,i
4. As partes real e imaginária são iguais e negativas — o afixo pertence ao 3.º quadrante, sobre a bissetriz desse quadrante.
5. Dos pontos da figura, o único do 3.º quadrante é C.